导数专题复习配详细答案

导数专题复习(配详细答案)

体型一：

关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法： (1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系

(2)端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结 合思想”，创建不等关系求出取值范围。

注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f '(x)

0得到两个根；

第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、 常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值 -----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论( >0,=0,<0)

第二种：变更主元

(即关于某字母的一次函数)

-----(已知谁的范围就把谁作为主元

)；

例1：设函数y f (x)在区间D 上的导数为f (x)， f (x)在区间D 上的导数为g(x)，若在区间D 上，g(x) 0恒成立，则称函数y f (x)在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，

(1 )若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围;

(2)若对满足 m 2的任何一个实数 m ，函数f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”，求b a 的最大

g (x) x 2 mx 3

f(x)

4

x

12

mx 3 3x 2 6 2

解:由函数f (x)

4

x 3 mx 3x 2

x 3 —

得 f (x) 12 6 2

3

2

mx 3x

(1) Q y f(x)在区间0,3上为“凸函数”

2x x 3 0 2 1 x 1

2x x 2 3 0

则 g(x) x 2 mx 3 0

在区间［0,3］上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值

入手: 等价于g max (x)

g(0) g(3)

9 3m 3 0

解法二: 分离变量法: ???当 x 0

时，g(x) 2

x mx 3 0恒成立, x 3时,g(x)

x 2 mx

0恒成立

等价于m

x 2 3

x —的最大值 x

(0 x 3 )恒成立,

而 h(x) x 3 ( 0 x

x 3 )是增函数，贝y h max (x) h(3) 2

(2) ???当m 2时f (x)在区间 a,b 上都为“凸函数”

则等价于当m 2时g(x) 2

x mx 3

0恒成立

变更主元法

再等价于F (m) mx x 2

3 0在m 2恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题)

F( 2) 0 F(2)

例2:设函数f(x) 1x3 2ax2 3a2x b(0 a 1,b R)

3

(I)求函数f (x)的单调区间和极值；

(n)若对任意的x [a 1,a 2],不等式| f (x) a恒成立，求a的取值范围

(二次函数区间最值的例子)

2 2

解: (I) f (x) x 4ax 3a x 3a x a

4

又0 a 1, ???

5

令f (x) 0,得f (x)的单调递增区间为(a,3a)

令f (x) 0,得f (x)的单调递减区间为,玄)和(3a, + )

x=a 时，f(x) 极小值=—a3

4

b；当x=3a时, f(x) 极大值=b.

由| f (x) a,得：对任意的[a 1,a 2],

2 2

x 4ax 3a a恒成立①则等价于g(x)这个二次函数

g max(x) a

g min (x) a

2 2

g(x) x 4 ax 3a 的对称轴x 2a Q 0 a 1, a a a 2a (放缩法)

g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

2 2

g(x) x 4ax 3a在[a 1,a 2]上是增函数.

g(x)max g(a 2)

g(x)min g(a 1)

于是，对任意x[a

1.

2a 1.

4a 4.

1,a 2]，不等式①恒成立，等价于

1.

即定义域在对称轴的右边,

a

5

a

g(a 1) 2a 1

第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x) g(x)恒成立 h(x) f(x) g(x) 0恒成立；从而转化为 第一、二种题型

例3；已知函数f(x) x 3 ax 2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为

3，

3

t 6

2

g(x) x 3

x 2

(t 1)x 3 (t 0)

2

(［)求a,b 的值；

(n)当x ［ 1,4］时，求f(x)的值域；

(川)当x ［1,4］时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数t 的取值范围。

f(x)的值域是［4,16］

思路2 :二次函数区间最值 二、参数问题

解法1：转化为f '(x) 0或f '(x) 0在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间 的子集；

做题时一定要看清楚“在(m,n )上是减函数”与“函数的单调减区间是( a,b)”，要弄清楚两句话的区

别:

前者是后者的子集

(I)如果函数 g(x) f (x)是偶函数，求f (x)的极大值和极小值;

解：(I)

f /

(x)

3x 2

2ax ???

f /(1) 3

b 1 a

解得：

(n)由(i)知,

f (x)在［1,0］上单调递增，在 ［0,2］上单调递减，在［2,4］上单调递减

又 f( 1)

4, f(0)

0, f(2)

4, f (4)

16

(川)令 h(x) f (x) g(x)

-x 2 (t 1)x 3 x [1,4] 2

思路1：要使f(x)

g(x)恒成立，只需h(x) 0 ,即t(x 2

2x) 2x 6分离变量

例4:已知a R ，函数f (x)

1 3 x 12

(4a 1)x .

1 2 解：f (x) x2 (a 1)x (4a 1).

4

1 3 1 2

(I)V f (x)是偶函数，??? a 1. 此时f (x) x 3x, f (x) -x 3,

12 4

令f (x) 0,解得：x 2?、3.

列表如下:

可知：f (x)的极大值为f( 23) 43 , f (x)的极小值为f(2..3) 4.3.

(n)v函数f(x)是(，)上的单调函数，

1 2

?- f (x) —X2 (a 1)x (4a 1) 0,在给定区间R上恒成立判别式法

4

2 1 2

贝U (a 1) 4 (4a 1) a 2a 0, 解得：0 a 2.

4

综上，a的取值范围是{a0 a 2}.

1 3 1 2

例5、已知函数f(x) x3(2 a)x2(1 a)x(a 0).

3 2

(I)求f(x)的单调区间；

(II )若f (x)在［0, 1］上单调递增，求a的取值范围。子集思想

(1) f (x)x2(2 a)x 1 a (x 1)(x 1a).

1、当a0时,f (x)(x 1)20恒成立，

当且仅当x 1时取“=”号，f(x) 在(,

)单调递增。

2、当a0时，由f (x)

0,得

X11,X2 a1,且X1 X2,

单调增区间：(1,a 1)

f (x) 单调增区间：(，1),(a 1,) -1