伯努力方程练习题

伯努力方程(Bernoulli’s Equation)是流体力学中描述理想流体(ideal fluid)能量守恒的方程式。理想流体满足以下4个条件：1. 流体是非粘性的(nonviscous)，在相邻流层之间无内摩擦力；2. 流体不可压缩(incompressible)，因此密度恒定；

3. 流体运动是稳态的(steady)，即流体中每一点的运动速度、密度和压力不随时间改变；

4. 流体运动不存在湍流(turbulence)，意味着每个流体单元相对于中心的角速度为零，因此在该运动的流体中无任何涡流(eddy current)。

由于质量守恒及液体的流动处于稳态，因此有连续性方程(Equation of Continuity):

根据能量守恒，可推导出理想流体的伯努力方程：

通常表示为：

伯努力方程中的每一项都是压力单位，在SI单位制中是Pa或N/m2。由于1J=1N·m，所以1Pa=1J/m3。每一项的物理意义是单位体积的能或做功，压力表

ρv2为单位体积具有的动能，ρgy为单示单位体积的流体对前方流体所做的功。1

2

位体积具有的重力势能。

伯努力方程有两个特殊情况：1. 水平流动的液体y1=y2；2. 静止的液体v1=v2=0，则得到流体静力学方程：

伯努力方程将理想流体不同两点的流速、压力和高度联系了起来，在应用该方程计算过程中先要分别写出每点各自的3个参数。需要考虑几个要点：

1.是否是以上2个特例；

2.如果不是特例1，选择参考水平面，一般选择2个中较低的点作为参考

比较简单；

3.如果给出两处流体截面的半径或面积，则可根据连续性方程确定它们的

流速关系；

4.如果一个截面面积远远大于另一个截面（比如水桶里的水面和水桶下方

的小孔），则截面大的流速v≈0；

5.和大气相通则压力等于大气压(或表压为零)。

[例题一] 一个装满水的桶在水面以下0.80m处有一个开孔。(a)当出口是水平开放的，水流出的速度是多少？(b)如果开口末端是竖直向上的，则形成的“喷泉”能达到多高？

解：(a) 由于P1=P2，则伯努力方程为

点1比点2高0.80m，即

根据连续性方程

A1》A2，v1相对于v2可忽略不计，故v1≈0。伯努力方程简化为

各项同除以ρ，解出v2：

(b) 取点喷泉最高点为点2，故v2=0。伯努力方程简化为

“喷泉”恰好回到和桶内水面等高！

(a)计算出小孔水流出的速度相当于水直接从0.80m自由落体(Torricelli’s law)，然而这并不奇怪因为伯努力方程是能量守恒的一种表达形式(不计能量损失)。(b)的结果被称为托里拆利原理(Torricelli’s theorem)，实际上由于摩擦力和空气阻力造成的能量损失，喷泉不可能达到原来水面的高度。

[例题二]一个横截面积为1.00m2的大管道下降5.00m并缩小至0.500m2到达一个阀门。如果在②处的压力为大气压，阀门敞开使水自由流出，计算水流出阀门的速度。

解：对截面①、②应用伯努力方程，两处的压力都为大气压(或表压均为零)，高度差为h。已知两处的截面积，根据连续性方程可求得流速比值。

[例题三] 文丘里流量计(Venturi meter)被用来测定管道内液体的流速。一段收缩的管道(横截面A2)放置在正常的管道(横截面A1)中，两个竖直向上的细管分别大气相通，其中一个位于管道收缩部位。两个细管的作用类似于压力计，可以测定两点之间的压力差，并据此计算出管道中液体的流速。假定管道中输送的液体为水，A1=2.0A2，h1=1.20m，h2=0.80m。(a)计算两点的速度比v2/v1；(b)计算表压力P1和P2；(c)计算管道中水的流速v1。

解：(a) 根据连续性方程

(b) 表压力为相对于标准大气压的压力

(c) 伯努力方程

由于管道水平，y1≈y2，可忽略重力势能密度ρgy的微小差异

[例题四] 一架飞机的两个机翼分别是4.00m2，通过设计机翼上方和下方的空气流速分别为245m/s和222m/s。假定跨越机翼压力差产生的推力是竖直向上的，计算飞机的质量以便能够支撑自身的重量。

解：对机翼下方(点1)和机翼上方(点2)应用伯努力方程，重力势能相对于其它项很小可以忽略

思考：机翼上方和下方的气流并不在同一流线上，为什么可以应用伯努力方程？

[例题五] 用虹吸管从高位槽向反应器加料，如图所示。高位槽和反应器均与大气相通，要求料液在管内以5 m/s的速度流动（不计能量损失）。求高位槽的液面应比虹吸管的出口高出多少米？

解：取高位槽液面为截面1—1，虹吸管出口内侧为截面2—2，并取截面2—2为标准面。在两截面间列伯努利方程式，即

gh1＋v12

2＋p1

ρ

＝gh2＋v2

2

2

＋p2

ρ

式中，h1＝h，h2＝0，v1＝0，v2＝5 m/s，p1＝p2＝0（表压）

将上述数值代入，并简化

9.81h＝12.5

解得h＝1.27 m

即高位槽液面应比虹吸管出口高1.27m。

练习题：

1.下图是两个大坝的俯视图，具有相同的宽度和高度，它们的右边分别是一个

大湖和一条窄的河流，哪一个大坝应该建得更加牢固?

2.土拨鼠生活在至少具有两个入口的地下巢穴，它们在一个入口上修建一个土

堆(下图所示)，开放于四周微风吹过时产生的气流。另一个入口位于地表，周围几乎没有空气流动。这一结构如何在巢穴中产生气流达到换气的目的?

3.浇花软管的半径为1.0cm，水在管中以1.4m/s的速度水平流动，通过0.25cm

的喷嘴水平喷出。水在软管内的表压力是多少？

4.如下图所示，虹吸管是引导液体翻越障碍的装置。长途汽车中途加油由于大

油桶不能倾倒而用虹吸管，或利用虹吸管跨越河堤引河水灌溉。那么，液体在出口处的流速多大？在最高点处液体内的压力多大？最大扬水高度是多少？这些问题都可利用伯努利方程解出。假定虹吸管具有均匀的直径，水在其中稳定流动且没有内摩擦力。(a) 如果距离h=1.00m，计算水流出虹吸管的流速；(b) 虹吸管最大的扬水高度y是多少？(提示：为了保持液体的连续性，压力不能低于液体的蒸汽压。)

参考答案：(a) 4.43m/s；(b) y≤10.3m。

5.水靠空气压力从灭火器中喷出，水面位于喷嘴下方0.500 m。在灭火器中需要

多大的空气表压力(相对于大气压高出的压力)，才能使水以30.0 m/s的速度喷出？

参考答案：455 kPa。

6.一支注射器内药物的密度与水相同。注射器内筒的横截面积A=2.50×10-5m2，

针筒部分的横截面积a=1.00×10-8m2。在活塞未受到推力的情况下，各处的压力均为1 atm。现给与活塞F=2.00 N的推力，使药物水平从针筒喷出。求药物离开针筒尖部的速度。

参考答案：12.6 m/s。