考点1--零点的求法及零点的个数
考点1 零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点。
[例1] 求函数
222
3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根 [解析]令 32220x x x --+=，∴2(2)(2)0x x x ---=
∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或
即函数
222
3+--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。
题型2：确定函数零点的个数。
[例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数.
[解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数
[解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。
方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数
即求ln 62y x y x =??
=-?的交点的个数。画图可知只有一个。
[反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法：
①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围
[例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数
()a x ax x f --+=3222
,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。
[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点
寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2
x 的系数，故要对a 进行
讨论
[解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.
令
()2
48382440
a a a a ?=++=++=, 解得
32a -±=
①当
32a --=
时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;
②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。 ③当
()
y f x =在[
]
1,1-上有两个零点时, 则
()()20824401
1121010a a a a f f >?
??=++>??-<-
?
≥?
?
-≥?
或
()()20824401
1121010a a a a f f
??=++>??-<-
?
≤?
?
-≤?
解得5a ≥
或
a <
综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或
a ≤
。
[反思归纳]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也
是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.
②二次函数2()f x ax bx c =++的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。 考点3 根的分布问题
[例5] 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围
[解题思路]由于二次函数的图象可能与x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论 [解析]（1）若m=0，则f （x ）=－3x+1，显然满足要求. （2）若m ≠0，有两种情况：
原点的两侧各有一个，则????
??<=>--=01
04)3(2
12m x x m m Δm ＜0；
都在原点右侧，则???
??
?
???
>=>-=
+≥--=,01,023,04)3(21212m x x m m x x m m Δ解得0＜m ≤1，综上可得m ∈（－∞，1］。
[反思归纳]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论：
①方程f （x ）=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小?a·f（r ）＜0.
②二次方程f （x ）=0的两根都大于r ??
?????>?>->-=?.
0)(,
2,042r f a r a b ac b Δ
③二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根
???????
??>?>?<-
<>-=?.
0)(,0)(,2,
042p f a q f a q a b p ac b Δ
④二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根?f （p ）·f（q ）＜0，或f
（p ）=0，另一根在（p ，q ）内或f （q ）=0，另一根在（p ，q ）内.
⑤方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）??
?>?
A ．(
],1-∞；B ．(
]{},01-∞U ；C ．(
)(]
,00,1-∞U ；D ．(
)
,1-∞
[解析] B ；依题意得（1）
??
???<>--=?>0)0(04)2(0
2
f m m 或（2）
??
???>>--=?<0)0(04)2(02
f m m 或
（3）
???=--=?≠04)2(02m m 显然（1）无解；解（2）得0 2、方程2 23x x -+=的实数解的个数为 _______ 。 [解析] 2；在同一个坐标系中作函数x y )21(=及 32 +-=x y 的图象，发现它们有 两个交点 故方程 223x x -+=的实数解的个数为2。 3、已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_________。 [解析] (－3，23 ） 只需2(1)2290f p p =--+>或2(1)210f p p -=-++> 即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p ∈(－3, 23 )。 4、设函数321 ()2 x y x y -==与的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是（ ）。 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案B 。 5、若方程2(2)210x k x k +-+-=的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k 的取值范围。 [解析] 1223k <<；令12)2()(2 -+-+=k x k x x f ，则依题意得 ?? ? ??><>0)2(0)1(0 )0(f f f ，即??? ??>-+-+<-+-+>-0 1242401221012k k k k k ，解得12 2 3k <<。 （三）、小结反思：本课主要注意以下几个问题：1．利用函数的图象求方程的解 的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题 。 （四）作业布置：限时训练10中12、13、14 课外练习：限时训练10中1、3、4、6、7、9、10、11 补充题：1、定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解； (3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。 那么，其中正确命题的个数是（ )。 A ． 1; B. 2; C. 3; D. 4。 [解析] B ；由图可知，][)(a a x f ，-∈，][)(a a x g ，-∈，由左图及f[g(x)]=0得 ]2[)(1a a x x g --∈=，，]02[)(2，a x x g -∈=， 2)(a x g = ，由右知方程f[g(x)]=0有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及g[f(x)]=0得) 2()(0a a x x f ，∈=，由左图 知方程g[f(x)]=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及f[f(x)]=0得 ]2[)(1a a x x f --∈=，，] 02[)(2，a x x f -∈=， 2)(a x f =，又由左图得到方程f[f(x)]=0最多有三个解，故(3)错误；由右图及g[g(x)]=0得) 2()(0a a x x g ，∈=， 由右图知方程g[g(x)]=0有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择B 2、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=。 (1)若方程有两根,其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围。 (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围。 [解析](1)条件说明抛物线2()221f x x mx m =+++与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 ???????? ???->-<∈- ??? ?>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴21 65-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 ??? ??? ?<-<≥?>>10, 0,0)1(,0)0(m f f ?????? ??? <<--≤+≥->->?.01,2121, 21,21m m m m m 或 (这里0<－m<1是因为对称轴x=－m 应在区间(0，1)内通过) 1.函数y= ) 23(log 2 1-x 的定义域是 （ ） A.［1，+∞） B.（3 2,+∞） C.［3 2，1］ D.（3 2,1］ 2.设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题： ①当b≥0时，函数y=f(x)是单调函数 ②当b=0,c ＞0时，方程f(x)=0只有一个实根 ③函数y=f(x)的图象关于点（0，c ）对称 ④方程f(x)=0至多有3 个实根，其中正确命题的个数为（ ）。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ） A.y=x 2 1 (x∈(0,+∞)) B.y=3x (x∈R) C.y=x 3 1 (x∈R) D.y=lg|x|(x≠0) 4.已知偶函数f(x)满足条件：当x∈R 时，恒有f(x+2)=f(x),且0≤x≤1时，有 )(x f '＞0,则 f （)19 98,f （)17 101,f （)15 106的大小关系是 （ ） A. f （)19 98＞f （)15 106＞f （) 17 101 B. f （)15 106＞ f （)19 98＞f （) 17 101 C. f （)17 101＞ f （)19 98＞ f （)15 106 D. f （)15 106＞ f （)17 101＞f （)19 98, 5.如图为函数y=m+log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是 （ ） A.m ＜0,n ＞1 B.m ＞0,n ＞1 C.m ＞0,0＜n ＜1 D.m ＜0,0＜n ＜1 6.已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=2x -1，则f(log 212)的值为（ ） A.3 1 B.3 4 C.2 D.11 7.（2009·重庆理，4）已知函数y=31++-x x 的最大值为M ，最小值为m ，则 M m 的值为 （ ） A.4 1 B.2 1 C.2 2 D. 2 3 8.若方程2ax 2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，则a 的取值范围是 （ ） A.a ＜-1 B.a ＞1 C.-1＜a ＜1 D.0≤a＜1 9.f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间 （0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A.5 B.4 C.3 D.2 10.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表： 表1 市场供给表 表2 市场需求表 根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ） A.（2.3，2.4）内 B.（2.4，2.6）内 C.（2.6，2.8）内 D.（2.8，2.9）内 11.已知函数f(x)=log a ( 12+x +bx) (a ＞0且a≠1)，则下列叙述正确的是（ ） A.若a=21,b=-1,则函数f(x)为R 上的增函数 B.若a=2 1,b=-1,则函数f （x)为R 上的减函数 C.若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，则b=±1 D.若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则b=1 12.设函数 f （x ）=?? ???≥<-, )0()0(7 )2 1(x x x x 若f(a)＜1,则实数a 的取值范围是 （ ） A.（-∞,-3） B.(1,+∞) C.(-3,1) D.(-∞,-3)Y (1,+∞) 二、填空题 13.已知函数f(x)=log 2(x 2+1)(x≤0)，则）2（1 -f = . 单价（元/kg ） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量 （1 000kg ） 50 60 70 75 80 90 单价（元/kg ） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2 供给量 （1 000kg ） 50 60 65 70 75 80 14.已知函数f(x)=?? ???<+≥) 4()1()4() 2 1(x x f x x 则f(log 23)的值为 . 15.用二分法求方程x 3-2x-5=0在区间［2，3］内的实根，取区间中点x 0=2.5,那么下一个有实根的区间是 . 答案 （2，2.5） 16.对于函数f(x)定义域中任意的x 1,x 2 (x 1≠x 2), 有如下结论： ①f(x 1+x 2)=f(x 1)f(x 2); ②f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2); ③ 2 121)()(x x x f x f --＞0; ④f(2 21 x x +)＜ 2 ) ()(21x f x f + 当f(x)=2x 时，上述结论中正确结论的序号是 . 三、解答题 17．设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f(x+2)=-f(x), 当-1≤x≤1时，f(x)=x 3 . （1）证明：f(x)是奇函数； （2）当x∈［3，7］时，求函数f(x)的解析式. 18.等腰梯形ABCD 的两底分别为AB=10，CD=4，两腰AD=CB=5，动点P 由B 点沿折线BCDA 向A 运动，设P 点所经过的路程为x ，三角形ABP 的面积为S （1）求函数S=f(x)的解析式； （2）试确定点P 的位置，使△ABP 的面积S 最大. 19.据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3 000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x (x ＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3 000a 元 (a ＞0). （1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大. 20.设a,b∈R，且a≠2,定义在区间（-b,b ）内的函数f(x)=x ax 211lg ++是奇函数. （1）求b 的取值范围； （2）讨论函数f(x)的单调性. 21.已知定义域为R 的函数f(x)满足f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. (1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a); (2)设有且仅有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0,求函数f(x)解析表达式. 22.已知函数y=f(x)是定义在区间［-2 3，2 3］上的偶函数，且 x∈［0，2 3］时，f （x ）=-x 2-x+5. （1）求函数f(x)的解析式； （2）若矩形ABCD 的顶点A ，B 在函数y=f(x)的图象上，顶点C ，D 在x 轴上，求矩形ABCD 面积的最大值. 第4讲与函数的零点相关的问题 函数零点的个数问题 1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个. 2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B. 3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为. 解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1, 当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1 答案:(-1,0)∪(0,+∞) 4.(2015北京卷)设函数f(x)= ①若a=1,则f(x)的最小值为; ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是. 解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ②当a≤0时,显然函数f(x)无零点; 当0 函数零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数 222 3+--=x x x y 的零点就是求方程 0222 3=+--x x x 的根 [解析]令 32 220x x x --+=，∴ 2(2) (2) x x x --- = ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或 即函数222 3 +--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数 ()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是 一个实数。 题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。 方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区 间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 [解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2 x 的系 数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在 []1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440 a a a a ?=++=++=, 解得 37 2a -±= ①当 37 2a --= 时, ()y f x =恰有一个零 点在[ ] 1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时， () y f x =在[ ] 1,1-上也恰有一个零点。 ③当()y f x =在[ ] 1,1-上有两个零点时, 则 ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<-??-<- 2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出 求函数零点的几种方法 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】 函数零点 一、知识点回顾 1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。 注意：（1）零点不是点； （2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(++c bx ax 的解集是 例2 若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围． 变式 1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-， ，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围． 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤? ； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>?? ?≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或 ax b +<－c ；|ax b +| 优质资料---欢迎下载 函数的零点及二分法 1、引入：已知函数26y x x =-- （1）当x 取何值时，0y =；（2）当x 取何值时，0,0y y >< 2、零点：如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α＝，则α叫做这个函数的零点。 3、二次函数()20y ax bx c a =++≠ （1）方程的根与函数的零点: （2）二次函数零点的性质： 注： ①任意的图像是连续不间断的函数，上述性质成立。 ②通过奇数重零点时，函数值变号，这样的零点叫变号零点；通过偶数重零点时，函数值不变号。 ③相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。 4、二分法： (1)原理：若函数()y f x =在区间[],a b 上连续不间断，且()()0f a f b ?<，则在[],a b 内至少 有一个零点α，使()0f α=。 (2) 定义：对于在区间[],a b 上连续不断，且()()0f a f b ?<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。 (3)变号零点：曲线通过零点时变号，此零点叫变号零点；曲线通过零点时不变号，此零点叫不变号零点。 (4)二分法的步骤：见教材P73 三、例题： 例1：已知函数3222y x x x =--+（1）求此函数的零点； （2）解不等式y>0 小结：形如：()()()()1200n x x x x x x ---><数轴标根。 （系数为1） 例2、解不等式：（1）()()()2110x x x --+<3（2）()()()21210x x x --+> 函数零点 一、知识点回顾 1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。 注意：（1）零点不是点； （2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(++c bx ax 的解集是 例2若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围． 变式 1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围． 2、已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ） A ．a b αβ<<< B ．a b αβ<<< C ．a b αβ<<< D ．a b αβ<<< 绝对值的零点分段法 一、教学目标： 1.理解并掌握零点分段法的含义和解题步骤； 2.能够熟练地运用零点分段法解决化简和求最值两类问题。 二、零点分段法： 此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。因为含有参数的绝对值化简，化简的结果的随着参数的情况而改变的，所以需要用零点分段法将参数的情况分类化，然后将每一类化简得出即可。 三、词义解释： 1、零点：是使式子等于0时，未知数的值；如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解即x=1.5，且一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就对应有几个零点；如∣x∣+∣x-3∣就有两个零点，分别是0和3，而∣x+1∣+∣x-1∣- ∣x-3∣就有3个零点，分别是-1、1和3. 2、分段：分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，并且将数轴分割成小段：如有两个零点时，在数轴上标出这两个零点后可以发现数轴被这两个点分成了3段。一般来说，有n各不相同的零点就会把数轴分成n+1段。 四、用零点分段法解题的步骤： 通常分三步 （1）求出所有式子的零点； （2）将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来； （3）在分出的段中，每一段上讨论原各个式子的正负性，去掉绝对值。 五、例题和练习 题型一：化简 例1、化简∣x∣+∣x-1∣ 练1、化简∣x+1∣+∣x∣-∣x-3∣ 例2、化简∣x+2∣-2∣x-1∣+3∣x-4∣练2、化简3∣x+5∣+4∣x∣-5∣x-1∣ 题型二：求最值 例3、求∣x+1∣+∣x-2∣的最小值. 练3、求∣2x+1∣-∣x-2∣的最小值. 练习1.化简：∣x+2∣-∣2x-1∣+2∣x+1∣. 3．1.1方程的根与函数的零点 1．函数零点的概念 函数的零点：□1对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的根． 2．方程的根与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数根?□2函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?□3函数y＝f(x)有零点． 3．零点的存在性定理 □4如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立． (2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．() (2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．() (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)<0.() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)(教材改编P88T1)函数f(x)＝x2＋3x的零点是________． (2)(教材改编P88例1)若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)<0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________． (3)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．答案(1)0和－3(2)1(3)(1.25,1.5) 『释疑解难』 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c. (2)零点的存在性定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图(1)中函数在区间(a，b)内有4个零点，图(2)中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (3)零点的存在性定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图(3)，虽然在区间(a，b)内函 初一数学压轴题：绝对值化简求值 一、【考点】绝对值的代数意义、绝对值化简 【北大附中期中】 设a，b，c为实数，且化简|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c| 【解析】 |a|+a=0，即|a|=-a，a≤0； |ab|=ab，ab≥0，b≤0； |c|-c=0，即|c|=c，c≥0 原式=-b+a+b-c+b-a+c=b 【答案】b 二、【考点】有理数运算、绝对值化简 【人大附期中】 在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#” 法则：a#b#c=(|a-b-c|+a+b+c)/2 如：（-1）#2#3=[|（-1-2-3）|+（-1）+2+3]/2=5 （1）计算：3#（-2）#（-3）___________ （2）计算：1#（-2）#（10/3）=_____________ （3）在-6/7,-5/7……-1/7,0,1/9,2/9……8/9这15个数中，①任取三个数作为a、b、c的值，进行“a#b#c”运算，求所有计算结果的最大值__________， ②若将这十五个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#b#c”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，那么五个结果之和的最大值是___________ 【分析】将a#b#c=(|a-b-c|+a+b+c)/2进行取绝对值化简。 【解析&答案】 (1)原式=3 (2)原式=4/3 (3)当a＜b+c时，原式=b+c，当a≥b+c时，原式=a ①令b=7/9，c=8/9时 a#b#c的最大值为b+c=5/3 ②4（提示，将1/9,2/9……8/9分别赋予b、c同时赋予a 四个负数；最后一组，a=0，b、c赋予两个负数即可） 三、【考点】绝对值与平方的非负性、二元一次方程组 【北京四中期中】 已知：（a+b）2+|b+5|=b+5，|2a-b-1|=0，求ab的值． 【分析】考察平方和绝对值的非负性，若干个非负数的和为零，则每个数都为零。 【解析】 由题意知b+5>0，（a+b）2+b+5=b+5，即（a+b）2=0……① 2a-b-1=0……② 解得a=1/3，b=-1/3 所以ab=-1/9 【答案】-1/9 四、【考点】绝对值化简，零点分段法 《函数零点》教学设计 一、教学目标： 1.函数零点理解函数零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系； 2.理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元 二次方程根的分布问题； 3.通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对 数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识。 二、教学重点：函数零点存在性的判断。 三、教学难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用。 四、教学方法： 在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务，尝试指导与自主学习相结合。 五、教学过程： 1、实例引入 解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x． 意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情． 2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系． 问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？ 学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标． 意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备． 3、一般函数的图象与方程根的关系． 问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！ 师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：y＝2x－4，y＝2x－8，y＝ln(x－2)，y＝(x－1)(x＋2)(x－3)．比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论： 方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标． 意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫 4、函数零点． 概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为（D ）A．(0，0)，(4，0) B．0，4 C．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D．–4，0，4 设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解． 说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值． ②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根． 5、归纳函数的零点与方程的根的关系． 问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？ （1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根； ②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． （2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言． 以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础． 6、零点存在性定理的探索． 探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： 在区间[-2，1]上有零点______； f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）． 在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）． （2）观察函数的图象： ①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）． 意图：通过归纳得出零点存在性定理． 7、零点存在性定理： 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线， 并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． 即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？ ，2]；（2）f(x)=e x-1+4x-4，x∈[0，1]． （1）f(x)=log2x，x∈[1 2 考点1 零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数 222 3+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根 [解析]令 32220x x x --+=，∴2(2)(2)0x x x ---= ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或 即函数 222 3+--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。 题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。 方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222 ,如果函数 .. 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ，有|x | 函数的零点教案设计 ※教案背景 （1）、课题：函数的零点 （2）、教材版本：人教B版数学必修（一）第二章2.4.1函数的零点 （3）、课时：1课时 ※教材分析 （1）本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。 函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。 （2）本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。 ※教学目标： 1、知识与技能 （1）理解函数（结合二次函数）零点的概念。 （2）领会函数零点与相应方程的根的关系，掌握零点存在的判定条件。 2、过程与方法 （1）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。 （2）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生的观在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神。 ※教学重点：是函数零点的概念及求法 ※教学难点：是利用函数的零点作图教学方法： ※教学方法：以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，视频等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。 ※教学环节 （一）、课前延伸 1、知识链接，温故知新 求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象。 通过学生熟悉一元二次方程入手，观察函数图像与x轴的交点与相应方程根的关系，让学生建立数型结合的思想。（用投影仪展示函数图象） 【百度搜索】https://www.360docs.net/doc/ea11349228.html,/testdetail/26588/ 《函数的零点》课堂教学设计 一．教学内容 本课内容选自经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的人教版普通高中课程标准试验教科书，数学必修①，B 版第二单元《函数》中的《函数的零点》，新授课，第一课时。 1．知识背景 2．4节《函数与方程》作为新课程改革试验教材中的新增内容，其课程目标是想 通过对本节的学习，使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，这也是本章渗透的主要数学思想． 2．本节内容 《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步 探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 二．教学目标 知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在 研究和解决问题过程的一般思维方法。 （2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的 关系，掌握零点存在的判定条件。 （3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。 过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。 情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想, 理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。 三．教学重点 重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点． 具体流程设计 一、创设情境 画函数322--=x x y 的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程0322=--x x [师生互动] 师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系。 函数的零点的求法 复习内容：1.知识点（1）函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈= ， 把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．（2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2.方法（1）代数法求函数零点：直接求方程0)(=x f 的实数根；（2）几何法求函 数零点：对于不能直接求解的超越方程，可以将)()(0)(x h x g x f =?=再分别设 )(x g y =，)(x h y =转化为它们的图象交点问题，即：函数)(x g y =与)(x h y =的图象 有几个交点，那么方程0)(=x f 就有几个实根，函数)(x f y =就有几个有零点。 1.函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2．函数1 2 1()()2 x f x x =-的零点个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3 ．函数3 ()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 [答]（ ） （A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2） 解析：04 147lg )47 ()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数 02lg )2(>=f 知0x 属于区间（1.75，2） 5.0x 是函数f(x)=2x + 1 1x -的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞），则 （A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0 1 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ，有|x | 函数的零点及应用 一、要点扫描 1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线且f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内有零点． 2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f (x )＝0. 3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点的横坐标，实际上就是求函数y ＝f (x )－g (x )的零点，即求f (x )－g (x )＝0的根． 二、典型例题剖析 1．求函数的零点 例1 求函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点． 解 令f (x )＝x 3－3x ＋2＝0，∴(x ＋2)(x －1)2＝0. ∴x ＝－2或x ＝1， ∴函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为－2,1. 评注 求函数的零点，就是求f (x )＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x 轴的交点问题． 2．判断函数零点的个数 例2 已知函数f (x )＝a x ＋x －2 x ＋1 (a ＞1)，判断函数f (x )＝0的根的个数． 解 设f 1(x )＝a x (a ＞1)，f 2(x )＝－x －2 x ＋1 ，则f (x )＝0的解，即为f 1(x )＝f 2(x )的解，即为函数f 1(x ) 与f 2(x )的交点的横坐标． 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(高中数学函数的零点教学设计
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