定积分及其应用复习
定积分及其应用复习
基本知识点
一、定积分的概念和基本性质
1.定积分定义： 0
1
()lim ()n
b
i i a
x i f x dx f x ξ?→==?∑?
说明
① 如果函数()f x 在[,]a b 上可积，则定积分()b
a f x dx ?为一常数，它仅与被积函数()f x 和
积分区间[,]a b 有关，与区间的划分及i ξ的取法无关，与积分变量用什么字母表示无关，如()()b
b
a
a
f x dx f t dt =??。
② 若()f x 在[,]a b 上无界，则()f x 在[,]a b 上不可积，即有界是函数可积的必要条件。 ③ 函数()f x 在[,]a b 上可积的充分条件是()f x 在[,]a b 上连续或只有有限个间断点（第一类间断点）。 2．定积分的几何意义
① 若在[,]a b 上，()0,,f x a b ≥<则()b
a
f x dx ?
表示由曲线()y f x =和直线
,x a x b x
==及轴所围成的曲边梯形面积。 ② 在[,],()0,,()0b
a a
b f x a b f x dx ≤<≤?上这时且曲边梯形的曲边位于x 轴的下方，
故这时定积分()b
a
f x dx ?表示曲边梯形面积的负值;
③ 在[,]a b 上，()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形部分位于x 轴上方，部分位于x 轴下方，此时定积分()b a f x dx ?表示x 轴上方图形面积与x 轴下方图形的面积的差，即各部分面积的代数和。 3．定积分的基本性质 （1）关于定积分的两个规定
① 当a b =时，()0b
a f x dx =?.
② ()()b a
a
b
f x dx f x dx =-??.
（2） b
a
dx b a =-?
（3）定积分的代数和运算性质： [()()]()()b b b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx ±=±??? 。
该性质对有限个函数的代数和运算都是成立的。 （4）定积分的数乘运算性质： ()()b
b
a
a
kf x dx k f x dx =??
（5） 定积分的路径性质：设,,a b c 为不相同的常数，则有
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??
该性质说明定积分对于区间具有可加性。
（6）定积分的不等式性质： 如果在[,]a b 上，()0f x ≥，则()0b
c
f x dx ≥? ()a b <.
特别 若()[,]f x a b 在上连续且不恒为零，则()0b
a
f x dx >?
推论1：如果在[,]a b 上，()()f x f x ≤，则()()b b
a
a
f x dx
g x dx ≤?? ()a b <
推论2：若()f x 可积，则()f x 可积，且
()()b
b
a
a
f x dx f x dx ≤?
? ()a b <
（7）定积分的估值性质：若对任意的[,]x a b ∈，恒有()m f x M ≤≤，则
()()()b
a
m b a f x dx M b a -≤≤-?
说明
性质（6）与性质（7）成立的条件是积分下限小于上限。
（8）定积分中值定理：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使()()()()b
a f x dx f
b a a b ξξ=-∈≤?
二、 积分上限函数及其导数 1．积分上限函数
设()f x 在区间[,]a b 上连续，x 为[,]a b 上任意一点，称函数
()(),[,],[,]x
a
x f t dt x a b t a x Φ=∈∈?
为积分上限函数或变上限积分。 2．积分上限函数的导数
定理：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()()x
a x f t dt Φ=?
在[,]a b 上具有导数，且'()()()x
a d
x f t dt f x dx Φ==? ()a x b ≤≤
由上述定理进一步可得如下求导公式
()()b
x
d
f t dt f x dx =-? ()
[][]()
()()()()()x x d
f t dt f x x f x x dx βαββαα''=-? 3．原函数存在定理：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则函数()()x
a
x f t dt Φ=?就是()
f x 在[,]a b 上的一个原函数。
该定理从理论上解决了连续函数的原函数存在问题，同时，该定理也初步提示了积分学中定积分与原函数之间的联系，为我们通过原函数解决定积分的计算问题奠定了基础。
三、定积分的计算
1．牛顿——莱布尼兹公式（Newton-Leibniz ）
设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()()F x f x 是的任一个原函数，则有：
()()()b
a
f x dx F b F a =-?
说明
使用牛顿——莱布尼兹公式求定积分时要求被积函数连续，该条件不满足时要慎用。
2．定积分的换元法
设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而函数()x t ?=满足下列条件：
① ()t ?是定义在区间[α、β]上的单调连续函数； ② (),();a b ?α?β== ③ '()t φ在[α、β]上连续。
则有换元公式 ()[()]'()b
a f x dx f t t dt β
α
??=??
3．定积分的分部积分法
若函数'()'()u x v x 和均在区间[,]a b 上连续，则有定积分部积分公式：
()'()()()'()()b
b
b a a
a
u x v x dx u x v x u x v x dx =-?
?
说明
定积分的分部积分公式中，()()u x v x 与选取原则与不定积分分部积分公式中
()()u x v x 与的选取原则相同。 四、 反常积分（广义积分） 1．无穷区间上的广义积分
（1）如果函数()f x 在[,)a +∞上连续，则函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的广义积分定义为()lim ()b
a
b f x dx f x dx +∞
∞
→+∞=?
?。
（2）如果函数()f x 在(,]b -∞上连续，则函数()f x 在无穷区间(,]b -∞上的广义积分定义为()lim ()b
b
a
a f x dx f x dx -∞
→-∞=?
?。
若以上右端极限存在，称广义积分()a
f x dx +∞
?与()b
f x dx -∞
?
收敛，如果上述极限不存在，
就称广义积分()a
f x dx +∞?与()b
f x dx -∞
?
发散，这时虽然仍用同样的记号，但已不表示具体
的数值了。
（3）若对某个常数c （一般取0c =），若广义积分
()()c
c
f x dx f x dx +∞
-∞
?
?
与
都收敛，则称上述两个广义积分之和为函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞上的广义积分，记
作()f x dx +∞
-∞
?
，即()()()c
c
f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞-∞
=+?
?
?
lim ()lim ()c b
a
c
a b f x dx f x dx →-∞→+∞=+??
这时也称广义积分()f x dx +∞
-∞
?收敛，否则发散。
说明
若()F x 是()f x 的一个原函数，则可以利用以下各式简化反常积分的计算。
()()
lim (()())
a
a
b f x dx F x F b F a +∞
+∞
→+∞
==-?
()()lim (()())b
b a f x dx F x F b F a -∞-∞
→+∞
==-?
()()
lim ()lim ()b a f x dx F x F b F a +∞
+∞-∞
-∞
→+∞
→+∞
==-?
2．无界函数的反常积分
如果被积函数()f x 在[,]a b 上某点（或有限个点）处无界，则称积分()b
a f x dx ?为无
界函数的反常积分或瑕积分，并称使被积函数无界的点为瑕点。
设函数()f x 在点a 的右邻域内无界（l i m ()x a
f x +
→=±∞），则定义反常积分
()b
a
f x dx ?
=0
lim ()b
a f x dx ε
ε++→?
，这时也称瑕积分()b
a
f x dx ?收敛；如果上述极限不存在，则称
瑕积分()b a
f x dx ?发散。
类似地可定义当()f x 在b 的左邻域内无界或在点()c a c b <<无界时，反常积分
()b
a
f x dx ?
的敛散性，这时
()b
a
f x dx ?=0lim ()b a
f x dx ε
ε+-→?
，
()b a
f x dx ?
=0
lim ()c a
f x dx ε
ε+-→?
+0
lim ()b
c f x dx η
η++→?
（注意ε与η独立）
。 3．常用的反常积分 （1）1
1
,1,11,1
p
p p dx x p +∞
?>?
-=??+∞≤?
?
（2）11
(ln ),1,11(1)(ln ),1p p
a
a p p dx a x x p -+∞
?>?
-=>??+∞≤?
?
（3
）2
2
x e
dx +∞
-=
? （4）0
sin 2
x dx x π
+∞
=?
（5）1
1
,01,11(0),1
p
p p dx p x p ?<??∞≥?
?
（6）1(),01,11(0)1()(),1p
b b p
p a
a b a p dx dx p p x a b x p -?-<
==>-?--?∞≥?
?? 五、 定积分的应用 1．定积分的元素法
元素法简单地说就是把所求量表达成为某个函数在某个区间上的定积分的分析方法，如果所求量具有以下特点，则可以用定积分计算所求量的大小。
① 所求量的大小，取决于某个变量的一个变化区间[,]a b 及定义该区间上的函数。 ② 所求量对于区间具有可加性，即在[,]a b 上的总量等于[,]a b 上各个子区间上的部分量之和。
③ 部分量的近似值是i x ?的线性函数，其误差量比i x ?高阶的无穷小。
④ 所求量归结为具有相同结构的和式的极限。 2．利用定积分求平面图形的面积 （1）直角坐标系下平面图形面积的计算
①连续曲线()(()0),y f x f x x a x b =≥==及及x 轴所围成的平面图形面积为
()b
a
A f x dx =?
②由两条曲线1122()(),y f x y f x x a x b ====与及所围成的平面图形面积为
12(()()b
a
A f x f x dx =-? 12()f f >
③连续曲线()(()0),x y y c y d φφ=≥==及y 及
y
轴所围成的平面图形面积为
()d
c
A y dy φ=?
④由方程1()x y φ=与2()x y φ=以及,y c y d
==
所围成的平面图形面积为12[()()]d
c
A y y dy φφ=-? 12()φφ>
（2）利用定积分求旋转体的体积
①连续曲线()(()0),y f x f x x a x b =≥==及及x 轴所围成的平面图形分别绕x 轴与y 轴旋转一周而成的旋转体的体积分别为
2()b
a
V f x dx π=?
与 2()b
a
V xf x dx π=?
②由两条曲线1122()(),y f x y f x x a x b ====与及所围成的平面图形分别绕x 轴与y 轴旋
转一周而成的旋转体的体积分别为22
12()()b
a V f x f x dx π??=-?
?? 与 []122()()b
a
V x f x f x dx π=-?
③连续曲线()(()0),x y y c y d φφ=≥==及y 及y 轴所围成的平面图形绕y 轴与x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()d
c V y dy πφ=?
与 2()b
a
V y y dy πφ=?
④由方程1()x y φ=与2()x y φ=以及,y c y d ==所围成的平面图形绕y 轴与x 轴旋转一周
而成的旋转体的体积为22
12()()d
c V y y dy πφφ??=-?
?? 与 []122()()b
a
V y y y dy πφφ=-?
补充题 一、判断题
1．设）
，在（∞+∞-)(),(x g x f 连续，则有并满足),()(x g x f
x
dt t g dt t f 0
)()( （ ）
2．?---=+1
1
1).21(2)(e dx e x x x
（ ）
3． 对任何实数a ，等式??--=a
a
dx x a f dx x f 0
)()(总成立。 （ ）
4. ()3
22
121
1
2
=
++?-dx x x （ ） 5.()[,]()()().b
b
b
b
f x b b f x dx f x dx
---=-??设在上连续，则
6.()[,]()().
b
a
f x a b f x dx ξξ∈?若函数在上连续，则至少存在一点[a,b],使得
=f()(b-a)
[]??-+=--a
a a
dx
x f x f dx x f a a x f 0
).(
)()()(],[)(.7上连续，则在设
8.()()(,)()(),()().(
).
x
x
f x
g x f x g x f t dt g t dt -∞+∞<
二、选择题
1．若函数()f x 在区间[a ，b]上可积，则下列不等式中成立的是（ A ）。
.()().()().
()().
()()b
b
b b
a a
a
a
b
b
b
b
a
a
a
a
A f x dx f x dx
B f x dx f x dx
C f x dx f x dx
D f x dx f x dx
≤≥==?
????
??
?
2.设)(x f 为连续函数，='=?)(,)()(ln 1x F dt t f x F x
x
则（ A ）。
A. )1(1)(ln 12
x f x
x f x +
B ． )1
()(ln x
f x f +
C. )1(1)(ln 12
x f x x f x
- D ．)1
()(ln x f x f -
3. 下列广义积分收敛的是（ C ）.
dx
x
x
D dx x x C dx x x B dx x x
A e
e
e
e
????∞
+∞
++∞
+∞
ln 1.
)(ln 1
.
ln 1
.ln .2
不存在
等于为连续函数，则，其中设.
.
)(...
________)(lim )()()(.4222
D C a f a B a A B x F x f dt t f a x x x F a x x
a →?-=无穷多
个内的根有在开区间则方程上连续，且在闭区间设.
2
.
1.0..________),(0)
(1
)(,0)(],[)(.5D C B A B b a dt t f dt t f x f b a x f x
a
x
b
??
=+>
?
?
??---+x
x
x
x
dt
t f D dt
t f C dt
t f t f t B dt
t f t f t A A x f 0
20
2
0)(.
)(.
)]()([.)]()([..
_______)(.6必为偶函数的是定积分定义的函数中，连续，则在下列变上限设.________2
1
.72
2=-+?
+∞
dx x x 广义积分 A
发散
.41ln
31.2ln 2
3.
2ln 32.
D C B A
3
2)
(0
2
.
2
.
2.0..________)0()(,0,0)0()(.8D C B A D f x dt t f x f x f x f ='→=?
则是等价无穷小，
与时当有连续的导数，设
9.._________0
?+∞
收敛，则反常积分
dx e kx 0.0.0.0
.>≥<≤k D k C k B k A
3
2
3
2
2
33
2
2
3
2232.32....
_________)(,)(.10t
t x x x
x x
x x x t e t te D e x xe C e e B e e A x F dt e x F ----='=?则设
11. 设)(x f 连续，则=-?dt t x f t dx
d x )(2
20= 。 A. )(2x xf
B ． )(2x xf C. 2)(2x xf
D ． -2)(2x xf
二、填空题（每小题3分，共21分）
20
11.()(),()_________.1f x f t dt f x x ==+设则 2.,2_________.
-===x x y e y e x 曲线和及直线所围图形的面积为3．?-=-+1
1._______________)]()([dx x f x f x
4．?
-=++22
2
.________________2dx x
x x
5． .)(.________
)(0
22连续其中x f dt t x f t dx d
x
=-? 6． ??=++=1
01
3
2._____________)(,)(11)(dx x f dx x f x x x f 则若
7．
21
______________.x x
dx
e e
+∞
-=+?
8．广义积分2
1
(ln )e
dx x x +∞
?
= 。 三、计算
1 利用被积函数的大小比较下列两个定积分的大小： （1）10x xe dx -?
与10e ?； （2
）1?与2
1ln xdx ?； 解:
(1) []()0,1x F x xe x -=-∈,由于 (
)(]()10,0,1,x F x x e x -'=-+
≥∈
因此()F x 在[]0,1上单增，又由于(1)0F =，因此[]0,1x ∈时，
()(1)0,F x F ≤=
即x xe -≤由定积分的性质可得
1
x
xe dx -≤
?
1
.e ?
（2
）[
]()ln ,1,2,(2)ln 20,F x x x F =∈=>由于
[]1()0,1,2,F x x x
'=
-=<∈ 因此()F x 在[]1,2上单减，[]1,2x ∈
时，()(2)0,ln ,F x F x ≥>>
由定积分的性质可得1≥
?2
1
ln .xdx ?
2 求下列变限函数的导数， 其中()f x 连续。 （1）
ln(2(),();x t x
F x dt F x +'=?求 ※（2）10
1()(),().x t F x f u du dt F x t ??
''=????
??求 解: （1） 由变限函数的求导公式可得
[
](
)ln(1)22()ln(1)2.
x x x
F x x x +''
'=+=
（2）0
2
00()()11()(),()().x
x x xf x f u du F x f u du F x f u du x x x '-??'''=== ???
??? 3.求dx x x ?
-+1
02
)
2()1ln( 解: x d x dx x x -+=-+??21)1ln()2()1ln(1
1
02 =2ln 31
21-- 4．求.)
1(4
1
?
+x x dx
解：?
?
+=+2
1
4
1)
1(2)
1(2x x dx
x x x d
dx x x )111(22
1
?+-=
3ln 22ln 4-=
5． 已知2()arctan(1),(0)0f x x f '=-=，求1
()f x dx ? 分析 因已知()f x '，用分部积分法，并设()u f x =，又注意到(0)0f =，而积分上限为1，应设(1)dv dx d x ==- 解 : 1
11
220
00
11()(1)(1)()(1)()arctan(1)(1)02I f x d x x f x x f x dx x d x '=-=---=---???
2(1)1122001111111arctan arctan ln(1)ln 200222184
84x t
t tdt t dt t t ππ-==
=-=-+=-+??. 6. ※ 求220sin lim x
x x xt
dt
t x →?
解 设xt u =，则
2
3
2302232302230
00sin sin sin 23sin 3sin lim
lim lim()10122x x x x x u x x du x x x x x u x x I x x x x
→→→-===-=-=?
7. 计算2
1
arctan x
dx x +∞
?
解： 12111111
arctan ()arctan ln 21(1)442
I xd x dx I x x x x ππ+∞+∞+∞=-=-+=+=++?? 1I 计算如下 因
22
11(1)1x
x x x x
=-++，取1b >，则
2221
111111ln ln(1)ln 21(1)122b
b b b x dx dx dx b x x x x x =-=-+=+++?
?? 所以
21
111ln 2]ln 2(1)22b dx x x +∞
→+∞=+=+?
练习
1. 。
求?-??
???<≥+=1
1
2
)(,
011)(dx x f x e x x
x f x 2． dx e
x ?-1
21
1
2
3．
dx x
x ?+3
0)1(1
4.计算 21
()1
x x
d dt dx x t -++?。
解1 被积函数含参变量x .设x t u +=，则
2201111x x x x dt du x t u +-=+++??，22011211x x d x
I du dx u x x ++==+++? 解2 因定积分易求.先求定积分，再求导 22
2112ln(1),11x x x dt x x I x t x x -+=++=++++? 四、应用题
1. 求曲线x y e =与x y e -=及1x =所围图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
解
1
22
220
1()()(2).2x x V e e dx e e π--??=-=+-??? 2．设直线y=ax 与抛物线2y x =所围成的面积为1s ，它们与直线x=1所围成的图形面积为2s ，并且a<1.
(1) 确定a 的值，使12s s +达到最小，并求出最小值。
(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：(1) 当0< a<1时，1
2
230111
()().323a a
s ax x dx x ax dx a a =-+-=-+??
1
2
220
1()()0,0,2a
a
s ax x dx x ax dx a a s '''=-+-=-
===??得
26s s =是极小值即最小值,其值为 当0a ≤时，0
1
2
230
111()().623a s ax x dx x ax dx a a =-+-=--+??
2111
0,0.223s a s a s '=--<=单调减少，故时，取最小值，此时s=
（2）
当0< a<1时
1
24420
1
11()().2
230
x V x x dx x x dx π
ππ=-+-=?
当0a ≤时，1
40
1
.5x V x dx ππ==?
定积分的简单应用求体积
定积分的简单应用求体 积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲） 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：
2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?
不定积分单元测试题
不定积分单元测试题https://www.360docs.net/doc/ea16071400.html,work Information Technology Company.2020YEAR
不定积分单元测试题 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题2分，总计 20 分 ） 1、设12(),()F x F x 是区间I 内连续函数()f x 的两个不同的原函数，且()0f x ≠,则在区间I 内必有（ ） （A ）12()()F x F x C -=； （B ）12()()F x F x C ?=； （C ）12()()F x CF x =； （D ）12()()F x F x C += 2、若()(),F x f x '=则()dF x ?=（ ） （A ）()f x ； （B ）()F x ； （C ）()f x C +； （D ）()F x C + 3、()f x 在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的原函数一定存在 （A ）有极限存在； （B ）连续； （C ）有界； （D ）有有限个间断点 4、函数2()(||)f x x x =+的一个原函数()F x = ( ) （A ）343 x ； （B ）243x x ； （C)222()3x x x +； （D ）22()3 x x x + 5、已知一个函数的导数为2y x '=，12x y ==且时,这个函数是（ ） （A ）2;y x C =+ （B ）2 1;y x =+ （C ）2 2x y C =+; （D ）1y x =+. 6、下列积分能用初等函数表出的是（ ） （A ） 2x e dx -?； （B ） （C ）1ln dx x ?； （D ）ln x dx x ?. 7、2ln x dx x =?（ ） （A ）11ln x C x x ++; （B ）11ln x C x x --+;
定积分的方法总结
定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+§1.7定积分的简单应用
定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==? =??及，所以两曲线的交点为 （0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标， 直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图， 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。
定积分的简单应用(6)
§1.7 定积分的简单应用（一） 一：教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin ＝ 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案：3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 2 x y =y x = A B C D O
(完整版)高中数学选修2-2第一章导数测试题
选修2-2第一章单元测试 (一) 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝x ·sin x 的导数为( ) A ．f ′(x )＝2x ·sin x ＋x ·cos x B ．f ′(x )＝2x ·sin x －x ·cos x C ．f ′(x )＝sin x 2x ＋x ·cos x D ．f ′(x )＝sin x 2x －x ·cos x 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2 4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2 5.图中由函数y ＝f (x )的图象与x 轴围成的 阴影部分的面积，用定积分可表示为( ) A. ???-3 3f (x )d x B.??13f (x )d x ＋??1－3f (x )d x C. ???-31f (x )d x D. ???-3 1f (x )d x －??13f (x )d x 6．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，给出下面四个判断：
①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点； ③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x＝2是f(x)的极小值点． 其中，所有正确判断的序号是() A．①②B．②③C．③④D．①②③④ 7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是() A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7 C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21 8．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)() A．30元B．60元C．28 000元D．23 000元 9．函数f(x)＝－x e x(a 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如 七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0 ? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二） 重庆大学 高等数学Ⅱ-1-2 课程试卷 juan 2012 ~2013 学年 第 1学期 开课学院： 数学 课程号： 10019565 考试日期： 20121215 考试方式： 考试时间： 120 分钟 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若lim ()x f x k →∞ '=，则lim[()()]x f x a f a →∞ +-为【A 】 A ．ka B ．k C ．a D ．不存在 2.若()x f x e -=，则(ln ) f x dx x '=? 【A 】 A ．1c x + B ．1 c x -+ C ．x c + D ．x c -+ 3.曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为【C 】 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4.极限2 lim ln ()() x x x x a x b →+∞=-+【C 】 A ． 0 B ．1 C ．a b - D ．b a - 5.设曲线2 x y e -=，则其拐点的个数为【B 】 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设ln sin y x =，在5[ ,]66 ππ 上满足罗尔中值定理中的ξ= 2 π 2. = ln(x c ++ 3.若()f x 的一个原函数为 tan x x ，则()xf x dx '=? 2 2t a n s e c x x c x -+ 4.极限011lim ln(1)x x x →??-=? ?+? ? 1 2 5.曲线2 ()sin()f x x =，则(6) (0)f = 120- 解法1：2()sin(),(0)0f x x f == 2()2cos(),(0)0f x x x f ''== 22222()2cos 4sin 2cos 4(),(0)2f x x x x x x f x f ''''=-=-= 222()4sin 8()4()12()4(),(0)0f x x x xf x x f x xf x x f x f ''''''''=---=--= (4)2()12()12()8()4()f x f x xf x xf x x f x ''''=---- 212()20()4()f x xf x x f x '''=--- (5)2()12()20()20()8()4()f x f x f x xf x xf x x f x '''''''''=----- 232()28()4()f x xf x x f x ''''''=--- (6)2(4)()32()28()28()8()4()f x f x f x xf x xf x x f x ''''''''''=----- 2(4)60()36()4()f x xf x x f x '''''=--- .(6) (0)120f =- 解法2：35 11sin 3!5!x x x x =- ++ 2261011 ()sin 3!5! f x x x x x ==-++ (6)1 (0)6!1203! f =-?=- 三、计算题（一）（每小题8分，共24分） 命 题人： 组 题人： 审题人： 命题时间： 教 务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密 定积分知识点总结 北京航空航天大学 李权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()( 特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下 和 特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和，可以得到 定积分知识点总结 航空航天大学 权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()( 特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下和 特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标） 1、知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具：多媒体 五、教学设计 教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例： 实例1：国家大剧院的主题构造 类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？ 边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的 路程？ 2、复习回顾： 如何计算曲边梯形的面积？ 3、引入课题： 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师：启 发，引导 学生：思 考，回 忆。 学生：疑 惑，思 考，感 受。 教师：启 发，引 导。 学生：复 习，回忆 老师：引 入课题 数学源于生活，又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察，创设问题情境，体 验数学在现实生活中的 无处不在，激发学生的学 习热情，引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来，训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下，引导学生把所学知识 与实际问题联系起来，回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀，里程表坏了，你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) ( 高中数学选修第一章导 数测试题 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 选修2-2第一章单元测试 (一) 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝x ·sin x 的导数为( ) A ．f ′(x )＝2x ·sin x ＋x ·cos x B ．f ′(x )＝2x ·sin x －x ·cos x C ．f ′(x )＝sin x 2x ＋x ·cos x D ．f ′(x )＝sin x 2x －x ·cos x 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e D ．ln2 4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2 5.图中由函数y ＝f (x )的图象与x 轴围成的阴影部分的面积，用定积分可表示为( ) A. ???-33 f (x )d x f (x )d x ＋??1－3f (x )d x C. ???-31f (x )d x D. ???-3 1f (x )d x －??13f (x )d x 6．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，给出下面四个判断： ①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点； ③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． 其中，所有正确判断的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②③④ 7．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21 D ．a ＝0或a ＝21 8．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，销售量为Q ，则销量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元 D ．23 000元 9．函数f (x )＝－x e x (a f (b ) D ．f (a )，f (b )大小关系不能确定 10．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在? ? ???－∞，－13内 定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围 成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 导数与定积分测试卷 一、 选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1.曲线2)(3 -+=x x x f 在点P 处的切线平行于直线14-=x y ，则点P 的坐标为（ ） )0,1.(A )8,2.(B )0,1.(C 和)4,1(-- )8,2.(D 和)4,1(-- 2.若2)(0'-=x f ，则=--+→h h x f h x f h ) ()(000 lim （ ） 2.-A 4.-B 6.-C 8.-D 3.函数13)(3 +-=x x x f 在]0,3[-上的最大、最小值分别是（ ） 1,1.-A 17,1.-B 17,3.-C 19,3.-D 4.若函数b bx x x f 33)(3 +-=在)1,0(内有极小值，则b 的取值范围是（ ） 10.<b C 2 1.< b D 5.由曲线x x f = )(和3 )(x x g =所围成图形的面积可用定积分表示为（ ） dx x dx x A ? ? + 1 3 1 . dx x dx x B ? ?- 1 1 03 . dx x dx x C ? ? - - 1 1 3 . dx x dx x D ? ? - 1 3 1 . 6.设))(()(),...,()(),()(,sin )('1'12'010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+，则=)(2011x f （ ） x A sin . x B sin .- x C cos . x D cos .- 7.设653 1)(2 3+++= x ax x x f 在区间]3,1[上为单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） ),5.[+∞- A ]3,.(--∞ B ),5[]3,.(+∞- ?--∞C ]5, 5.[- D 8.已知函数2 2 3 )(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，则b a +的值为（ ） 07.或-A 16-.或B 0.C 7.-D 9.设)100)...(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则=)1(' f （ ） 99.-A ！ 100.-B ！ 100.C ！ 0.D 10.由曲线1,2,===y x e y x 围成的区域的面积为（ ） e e A -2 . 1.2 --e e B 3.2 -e C e D -3. 定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L §1.7定积分的简单应用（二课时） 一：教学目标 知识与技能：初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；让学生深刻理解定积 分的几何意义以及微积分的基本定理。 过程与方法：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方 法 情感态度与价值观：体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）， 培养学生唯物主义思想。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程：（第一课时） 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x y x ?=?==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 20 0x dx = -? ? ，所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =- ，曲线y = x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形 2 x y =y x A B C D O高中数学定积分知识点
七大积分总结
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