2017届山东省威海市第一中学高三上学期模块检测理科数学试题及答案

山东省威海市第一中学2017届高三上学期模块检测数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

一.选择题:本大题共10个小题,每个小题5分,共计50分.每个小题只有一个选项符合题意.1.已知全集为R ,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B = ( )A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或2． 已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( )A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |4． 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．145.已知1sin()44x π-=，则sin 2x 的值为( ) A .78 B .916 C .1516 D .1516± 6． 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D7．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π12个单位8．由函数y =x =1，0y =所围成的图形的面积等于 （ ）A ．12B ．32C ．31D ．169．已知函数()212log ,.0,=()0,log -),0x x f x af a x x >⎧⎪->⎨<⎪⎩若（则实数a 的取值范围是 ( ) A (-1,0)0,1⋃（） B(,1)(1)-∞-⋃+∞， C(10)(1)-⋃+∞，， D(,1)(01)-∞-⋃，10.[]0,1∈偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)且在x 时，f(x)=-x+1,则 关于x 的方程[]10,310x∈f(x)=()在x 上解的个数是（ ） A ．1B ．2C3．D ．4第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的位置内。

书写的答案如需改动，请先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

不按题号顺序答题或超出答题区域书写的答案无效；在试卷上答题不得分。

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分,请将答案填在第Ⅱ答题纸上)11．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________． 12．曲线y ＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．13．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于 14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 15.已知|||lg |,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则函数22()3()1y f x f x =-+的零点的个数为_______个.三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x = 求的最大值17． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．18．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．19．某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (100万元)可增加销售额约为－t 2＋5t (100万元)(0≤t ≤3)．(1)若该集团将当年的广告费控制在300万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？(2)现在该集团准备投入300万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x (100万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (100万元)．请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大．20. 已知函数()ln f x ax x =+.（Ⅰ）若1a =，求()f x 在[]1,x e ∈上的最大值；（Ⅱ）若当[]1,x e ∈()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）函数2()ln F x ax x x =++在区间（0,2）上有两个极值点，求a 的取值范围. 21.已知函数32()f x ax bx =+在点(3,(3))f 处的切线方程为122270x y +-=，且对任意的[)0,x ∈+∞，()ln(1)f x k x '≤+恒成立. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()()+2ln(1)F x f x x '=+在[)0,+∞上的极值 （Ⅲ）求实数k 的最小值；威海一中2017学年度高三理科数学试题答案1----5 C C B C A 6—10 B C BA D11 ±3 12 5x ＋y -3=0 . 13 4 14．π 15. 5 16.17．解： (1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝ 6.--------------2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.--------------4分解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.--------------5分 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝ 2.--------------6分(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝223.-----------7分由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.-----------8分因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，-----------9分因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫4292＝79.-----------10分所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327. -----------12分 18．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x＝12sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，-----------5分所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.-----------6分(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12，π4上是增函数，-----------8分f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝14，-----------11分所以函数f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.-----------12分 19．(1) 解：(1)设投入广告费t (100万元)后由此增加的收益为f (t )(100万元)，则f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)， ∴当t ＝2时，f (t )max ＝4.即集团投入200万元广告费，才能使由广告费而产生的收益最大． -----------6分(2)设用于技术改造的资金为100x 万元，则用于广告的费用为100(3－x )万元，则由这两项所增加的收益为g(x)＝（－13x3＋x2＋3x）＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－13x3＋4x＋3(0≤t≤3)．对g(x)求导，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x ＝2或x＝－2(舍去)．当0≤x<2时，g′(x)>0，即g(x)在[0，2)上单调递增；当2<x≤3时，g′(x)<0，即g(x)在(2，3]上单调递减．∴当x＝2时，g(x)max＝g(2)＝253.故在300万元资金中，200万元用于技术改造，100万元用于广告促销，使集团由此所产生的收益最大，最大收益为25003万元． -----------12分21. 解：（Ⅰ）将3x =代入直线方程得92y =-，∴92792a b +=-①--------------1分2()32,(3)6f x ax bx f ''=+=-，∴2766a b +=-② --------------2分①②联立，解得11,32a b =-=∴3211()32f x x x =-+-------------4分 （Ⅱ）/(23)(1)()1x x F x x +-+=+--------------5分/()01F x x =⇒= --------------6分--------------7分()1=2ln 2F x F 的极大值为（）--------------8分（Ⅲ）2()=f x x x '-+，∴2ln(1)x x k x -+≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立； 即2ln(1)0x x k x -++≥在[)0,x ∈+∞恒成立； 设2()ln(1)g x x x k x =-++，(0)0g =，--------------9分∴只需证对于任意的[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥[)221()21,0,11k x x k g x x x x x ++-'=-+=∈+∞++--------------10分 设2()21h x x x k =++-，1）当=18(1)0k ∆--≤，即98k ≥时，()0h x ≥，∴()0g x '≥()g x 在[)0,+∞单调递增，∴()(0)g x g ≥--------------12分2）当=18(1)0k ∆-->，即98k <时，设12,x x 是方程2210x x k ++-=的两根且12x x <由1212x x +=-，可知10x <，分析题意可知当20x ≤时对任意[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥； ∴10,1k k -≥≥，∴918k ≤<综上分析，实数1k ≥，所以k的最小值为1.--------------14分。