浙江省2015届高三高考全真模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2015届高三高考考前精品卷 数学(理) Word版含答案
2015年高三年级模拟考试（精品卷）理科数学试卷命题人：高三理科备课组一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 是虚数单位，复数iiz +=12，则=-2z （ ）A. 2B.22C.2D.12.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=，若“1=a ”是“φ≠⋂B A ”的充分条件，则b 的取值范围是 ( )A ．-2≤b<2 B．-2<b≤2 C ．-3＜b ＜-1 D ．-2＜b ＜23.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）B．34.若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是 （ ）A 5B ．6C ．7D ．85.已知变量y ,x 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-003202x y x y x ，则()yx z +=22的最大值为 （ ）A. 2B. 22C. 2D.46.定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为 （ ）A. (]1,2B. (1,2)C.(0,2)D.(0,1)7.某厂生产的零件外径)04.0,10(~N ξ，今从该厂上、下午生产的零件中各取一件，测得外径分别为10.5cm,9.3cm,则可认为 （ ） A ．上午生产情况正常，下午生产情况异常B ．上午生产情况异常，下午生产情况正常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均不正常8.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，b A B c C B a 21cos sin cos sin =+， 且b a > ，则B ∠= （ ）A .6π B. 3π C.32π D.65π9.已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值 ( )A.63B. 147C.155D.10510.已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若QF PF 3=，则QF = （ ）A .25 B.38C. 3D.6 11.若G 是ABC ∆的重心，a ，b ，c 分别是角C B A ,,的对边，若30aG bG cGC A +B +=，则角=A （ ） A . 90 B.60 C.45 D.3012.已知函数()x f 的导函数为)('x f ，满足()2'12)(x x f x xf =+，且1)1(=f 则函数()x f 的最大值为 （ ）A . 0 B. e C.2eD. e 2 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2015年高考真题：理科数学(浙江卷)试卷(含答案)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q =ð （ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2] 【答案】C.考点：集合的运算.2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合∴体积3322231223=⨯⨯+=V ， 故选C.3.已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等 比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>【答案】B.考点：1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.等比数列的概念 4.命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 【答案】D. 【解析】试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，可知选D. 考点：命题的否定5.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A. 11BF AF --B. 2211BF AF --C. 11BF AF ++D. 2211BF AF ++ 【答案】A. 【解析】试题分析：11--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选A. 考点：抛物线的标准方程及其性质6.设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+， A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 【答案】A.考点：集合的性质7.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 【答案】D.考点：函数的概念8.如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤【答案】B. 【解析】试题分析：根据折叠过程可知'A CB ∠与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易 得A DB α'∠≥，当且仅当AC BC =时，等号成立，故选B 考点：立体几何中的动态问题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2015年全国高考理科数学试题及答案-浙江卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q =ðA.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2] 2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm 3. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>4. 命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是A. **,()n N f n N ∀∈∉且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∉或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n >5. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是 A.11BF AF -- B.2211BF AF --C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++6. 设,A B 是有限集，定义：(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A中的元素个数.命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+. A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 7. 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+8. 如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB a '∠≥二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2015年浙江省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年浙江省高考数学试题及答案(理科)【解析版】D点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 8cm 3B ．12cm 3 C ．D ．考点： 由三视图求面积、体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答： 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ．点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ） A ． a 1d ＞0，dS 4＞0 B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点： 等差数列与等比数列的综合．专题： 等差数列与等比数列．分析： 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号． 解答： 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ， 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C 在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转析：化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d （A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card （A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立， 故选：A 点评： 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ） A ．f （sin2x ）=sinx B ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f（x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D ． 点评： 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α 考点： 二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．考函数的值．点：专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x ）的最小值是．故答案为：0；．点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析： 由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间．解答： 解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π， 由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ） 点评： 本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a =．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评： 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ． 考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析： 根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值． 解答： 解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0， 即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3． 故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R ，，则x0= 1，y 0=2，|=2．考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y ，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2 =x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析： （1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=． （2）由=×=3，可得c ，即可得出b ．解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2， 又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π），∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2． ∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答： （1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，）， =（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1， 又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ； （2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（0，，1）， ∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f （x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m ×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m 2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB ==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB =，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB 取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *）， 又∵a 2=a 1﹣=，∴==2，又∵a n ﹣a n+1=，∴a n ＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n ∈N *）；（2）由已知，=a n ﹣a n+1，=a n ﹣1﹣a n ，…，=a 1﹣a 2， 累加，得S n =++…+=a 1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立； 当n ≥2时，=．下面证明：≥a n ≥（n ≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k 时也成立，则a k+1=﹣+， 由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥， a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n ≥2，均有≥a n ≥， ∴=≥≥=，即（n ∈N *）．点评： 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ．[0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．8cm 3 B ．12cm 3 C ．D ．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ） A ． f （sin2x ）=sinx B ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= ，f （x ）的最小值是 ．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n ，证明（n∈N*）．41。
2015年浙江高考数学理科试卷带详解
2015年全国高考数学 浙江卷数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.(15浙江高考)已知集合{}220P x x x =-≥，{}12Q x x =<≤，则()P Q =R（ ）A.[)0,1B.(]0,2C.()1,2D.[]1,2 【参考答案】C【测量目标】集合的运算. 【试题分析】由题意得，()()0,2P =R，()()1,2P Q ∴=R ，故选C.2. (15浙江高考)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）3cm B.123cm C.332cm 3 D. 340cm 3第2题图【参考答案】C【测量目标】三视图.【试题分析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积323132222cm 33V =+⨯⨯=，故选C.3. (15浙江高考)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ） A.140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <> 【参考答案】B【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和，等比数列的概念. 【试题分析】等差数列{}n a ，348,,a a a 成等比数列，()()()2111153273a d a d a d a d ∴+=++⇒=-，()()4141122233S a a a a d d ∴=+=++=-，2214520,033a d d dS d ∴=-<=-<，故选B.4. (15浙江高考)命题“(),n f n **∀∈∈N N 且()f n n ≤”的否定形式是（ ）A. (),n f n **∀∈∈N N 且()f n n > B. (),n f n **∀∈∈N N 或()f n n >C. ()00,n f n **∃∈∈N N 且()00f n n > D. ()00,n f n **∃∈∈N N 或()00f n n >【参考答案】D【测量目标】命题的否定.【试题分析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.5. (15浙江高考)如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）第5题图A.11BF AF --B.2211BF AF --C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 【参考答案】A【测量目标】抛物线的标准方程及其性质. 【试题分析】11BCF B ACF A BF S x BC S AC x AF -===-△△，故选A. 6. (15浙江高考)设,A B 是有限集，定义()()(),d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(),0d A B >”的充要条件； 命题②：对任意有限集,,A B C ，()()(),,,d A C d A B d B C +≤， A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立，命题②不成立 D.命题①不成立，命题②成立 【参考答案】A【测量目标】集合的性质.【试题分析】命题①显然正确，通过下面文氏图亦可知(),d A C 表示的区域不大于()(),,d A B d B C +的区域，故命题②也正确，故选A.第6题图7. (15浙江高考)存在函数()f x 满足，对任意x ∈R 都有（ ） A.()sin 2sin f x x = B.()2sin 2f x x x =+C.()211f x x +=+D.()221f x x x +=+ 【参考答案】D【测量目标】函数的概念.【试题分析】A ：取0x =，可知()sin0sin0f =，即()00f =，再取π2x =，可知()πsin πsin 2f =，即()01f =，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取1x =，可知()22f =，再取1x =-，可知()20f =，矛盾，∴C 错误，D ：令()()()()210101t x t f t tt f x x =+∴-=⇔=+≥，≥，符合题意，故选D.8. (15浙江高考)如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A CD '，所成二面角A CD B '--的平面角α，则（ ）第8题图A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C.A CB α'∠≤D.A CB α'∠≥ 【参考答案】B【测量目标】立体几何中的动态问题.【试题分析】根据折叠过程可知A CB '∠与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得A DB α'∠≥，当且仅当AC BC =时，等号成立，故选B.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. (15浙江高考)双曲线2212x y -=的焦距是_________，渐近线方程是__________. 【参考答案】322y x =±.【测量目标】双曲线的标准方程及其性质.【试题分析】由题意得：1,a b c =====，∴焦距为2c =2b y x x a =±=±. 10. (15浙江高考)已知函数()()223,1lg 1,1x x x f x x x ⎧+-⎪=⎨⎪+<⎩≥，则()()3f f -=_________，()f x 的最小值是___________.【参考答案】0，3. 【测量目标】分段函数. 【试题分析】()()3ff -=()10f =，当1x ≥时，()3f x ≥，当且仅当x =当1x <时，()0f x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，故()f x最小值为3.11. (15浙江高考)函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是__________，单调递减区间是_________. 【参考答案】3π7πππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，.【测量目标】三角恒等变形，三角函数的性质. 【试题分析】()π32242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故最小正周期为π，单调递减区间为 3π7ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 12. (15浙江高考)若4log 3a =，则22aa-+=________.【测量目标】对数的计算.【试题分析】4log 3,43222a a a a a -=∴=⇒=∴+==13. (15浙江高考)如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======,点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是____________.第13题图【参考答案】78【测量目标】异面直线的夹角.【试题分析】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结,PM PC ，则可知PMC ∠即为异面直线,AN CM 所成角（或其补角）易得:122PM AN ==，22213PC PN CN =+=+=,2222CM AC AM =-=,8237cos 82222PMC +-∴∠==⨯⨯，即异面直线,AN CM 所成角的余弦值为78.第13题图14. (15浙江高考)若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是_________. 【参考答案】3【测量目标】线性规划的运用，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系.【试题分析】221x y +≤表示圆221x y +=及其内部，易得直线63x y --与圆相离，故6363x y x y --=--，当220x y +-≥时，226324x y x y x y +-+--=-+，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数24z x y =-+，则可知当34,55x y ==时，min 3z =，当220x y +-<时，2263834x y x y x y +-+--=--，可行域为大的弓形内部，目标函数834z x y =--，同理可知当34,55x y ==时，min 3z =，综上所述，2263x y x y +-+--的最小值为3.第14题图15. (15浙江高考)已知12,e e 是空间单位向量，1212⋅=e e ，若空间向量b 满足1252,2⋅=⋅=b e b e ，且对于任意,x y ∈R ，()()()120102001,x y x y x y -+-+=∈R ≥b e e b e e ，则0x =______，0y =_______，=b _________.【参考答案】1，2，【测量目标】平面向量的模长，函数值的最值.【试题分析】问题等价于()12x y -+b e e 当且仅当00,x x y y ==时，取得最小值1，两边平方即22245x y x y xy++--+b 在00,x x y y ==时，取得最小值1，()()22222222434545224y x y x y xy x y x y y x y -⎛⎫++--+=+-+-+=++- ⎪⎝⎭b b 27-+b，000002401220271y x x y y -⎧+=⎧⎪=⎪⎪⎪∴-=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==⎪⎪⎩⎩b b .三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (15浙江高考)（本小题满分14分）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222π1,42A b a c =-=. （1）求tan C 的值；（2）若△ABC 的面积为7，求b 的值. 【测量目标】三角恒等变形，正弦定理. 【试题分析】（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，2cos 2sin B C ∴-=，又由π4A =，即3π4B C +=，得cos2sin 22sin cos B C C C -==,解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，()0,πC ∈得sin C C ==()πsin sin sin 4B A C C ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，sin B ∴=正弦定理得3c =，又π1,sin 7,42A bc A bc ==∴=b =. 17. (15浙江高考)（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190,2,4BAC AB AC A A ∠====，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ;（2）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值.第17题图【测量目标】线面垂直的判定与性质，二面角的求解.【试题分析】（1）设E 为BC 中点，由题意得1A E ⊥平面ABC ，1A E AE ∴⊥，,AB AC AE BC =∴⊥，故AE ⊥平面1A BC ，由,D E 分别为11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =，从而1//DE A A ，所以四边形1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ，又AE ⊥平面1A BC ，∴1A D ⊥平面1A BC ；（2）作1A F BD ⊥，且1A F BD F =，连结1B F ，由2AE EB ==，1190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==,由1111,A D B D A B B B ==，得11A DB B DB ≅△△，由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，由1143A FB F ==，且112,A B =由余弦定理得，111cos 8A FB ∠=-.第17题图18. (15浙江高考)（本题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值.（1）证明：当2a ≥时，(),2M a b ≥；（2）当,a b 满足(),2M a b ≤时，求a b +的最大值.【测量目标】二次函数的性质，分类讨论的思想.【试题分析】（1）由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由2a ≥得2a -≥1，故()f x 在[]1,1-上单调，∴()()(){},max1,1M a b f f =-，当2a ≥时，由()()1124f f a --=≥，得()(){}max 112f f -，≥，即(),2M a b ≥；当2a ≤-时，由()()1124f f a --=-≥，得()(){}max 112f f --，≥，即(),2M a b ≥，综上，当2a ≥时，(),2M a b ≥；（2）由(),2M a b ≤得()()112112a b f a b f ++=-+=-≤,≤，故33a b a b +-≤，≤，由,0,0a b ab a b a b ab ⎧+⎪+=⎨-<⎪⎩≥，得3a b +≤，当2,1a b ==-时，3a b +=，且221x x +-在[]1,1-上的最大值为2，即()2,12M -=，所以a b +的最大值为3.19. (15浙江高考)（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称. （1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 的面积最大值（O 为坐标原点）.第17题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，求函数最值.【试题分析】（1）由题知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，由22121x y y x bm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112102bx x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，224220b m ∴∆=-++> ① 将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=- ②由①②得m<或m>；（2）令160,22tm⎛⎫⎛⎫=∈-⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22ABt=+，且O到直线AB的距离为21td+=，设△AOB的面积为()S t，()122S t AB d∴=⋅=，当且仅当212t=时，等号成立，故△AOB面积的最大值为2.20. (15浙江高考)（本题满分15分）已知数列{}n a满足112a=且()21n n na a a n*+=-∈N（1）证明：()112nnana*+∈N≤≤；（2）设数列{}2n a的前n项和为n S，证明()()()112221nSnn n n*∈++N≤≤.【测量目标】数列与不等式结合综合题.【试题分析】（1）由题意得，21n n na a a+-=-≤0，即11,2n n na a a+≤≤，由()111n n na a a--=-得()()()12111110n n na a a a a--=--->，由12na≤≤得[]2111,21n nn n n na aa a a a+==∈--，即112nnaa+≤≤；（2）由题意得21n n na a a+=-，11n nS a a+∴=-①，由1111nn n naa a a++-=和112nnaa+≤≤得11112n na a+-≤≤，1112n nn na a+∴-≤≤，因此()()111212na nn n*+∈++N≤≤②，由①②得()()112221nSn n n++≤≤.。
2015年高考真题：理科数学(浙江卷)试卷(含答案)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q =ð （ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2] 【答案】C.考点：集合的运算.2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合∴体积3322231223=⨯⨯+=V ， 故选C.3.已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等 比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>【答案】B.考点：1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.等比数列的概念 4.命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 【答案】D. 【解析】试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，可知选D. 考点：命题的否定5.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A. 11BF AF --B. 2211BF AF --C. 11BF AF ++D. 2211BF AF ++ 【答案】A. 【解析】试题分析：11--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选A. 考点：抛物线的标准方程及其性质6.设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+， A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 【答案】A.考点：集合的性质7.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 【答案】D.考点：函数的概念8.如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤【答案】B. 【解析】试题分析：根据折叠过程可知'A CB ∠与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易 得A DB α'∠≥，当且仅当AC BC =时，等号成立，故选B 考点：立体几何中的动态问题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)及答案
2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．[1，2]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0 5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1| 8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y0∈R），则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1＜≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．[1，2]【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF 与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card （A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B 成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B ∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD 折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线﹣y2=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x ≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．【分析】直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．【解答】解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．【分析】根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y0∈R），则x0=1，y0=2，|=2．【分析】由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得．【解答】解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故==2故答案为：1；2；2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|=|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，易知（|a|+|b|）max=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S=，再利用均值△OAB不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S==|n|•=，△OAB由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，△AOB解得m=，取得最大值为．当且仅当m=时，S△AOB20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1＜≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得＞1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=a1﹣a n+1，对a n+1=a n﹣a n2两边同除以a n+1a n采用的范围，从而得出结论．累积法可求出a n+1﹣a n=﹣a n2≤0，即a n+1≤a n，【解答】证明：（1）由题意可知：a n+1故a n≤，1≤．由a n=（1﹣a n﹣1）a n﹣1得a n=（1﹣a n﹣1）（1﹣a n﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴＞1，∴==≤2，∴1＜≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1，①由a n=a n﹣a n2两边同除以a n+1a n得，和1≤≤2，+1得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n，≤（n∈N*）②，因此≤a n+1由①②得≤（n∈N*）．。
浙江省杭州第二中学2015届高三高考仿真考试数学(理)试题(pdf版)
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2015年高考真题浙江卷 理科数学 (含答案解析)
理科数学2015年高三2015年浙江卷理数理科数学单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。
）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（）A.B.C.D.3.已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（）A.B.C.D.4.命题“且的否定形式是（）A. 且B. 或C. 且D. 或5.如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（）A.B.C.D.6.设是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，（）命题①：对任意有限集，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，A. 命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D. 命题①不成立，命题②成立7.存在函数满足，对任意都有（）A.B.C.D.8.如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（）A.B.C.D.填空题（本大题共7小题，每小题____分，共____分。
）9.双曲线的焦距是（），渐近线方程是（）。
10.已知函数，则（），的最小值是（）．11.函数的最小正周期是（），单调递减区间是（）。
12．若，则（）．13．如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是（）14.若实数满足，则的最小值是( ）．15.已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则（），（），（）．简答题（综合题）（本大题共5小题，每小题____分，共____分。
）16.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，=.（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为7，求b的值。
17.如图，在三棱柱-中，BAC=，AB=AC=2，A=4，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.（1）证明：D平面；（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.18.已知函数f（x）=+ax+b（a，b R）,记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值。
【数学】浙江省杭州市2015年高三高考模拟命题试卷15(理)
DC BA 侧视图正视图浙江省杭州市2015年高三高考模拟命题试卷15（理科）一．选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1．(原创)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=0,100,2)(2x x x x x f x ，则 f (lg(23))＋f (sin π)＝ （ ）Ａ 3 B 6 C29 D 11102．(改编必修５) “1-=m ”是“直线()0112=+-+y m mx 和直线093=++my x 垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(原创)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为( )4．(原创) “若实数a ，b ，c 满足9.19.19.1log log log c b a <<，则下列关系中不可能成立．．．．．的是 （ ）A a b c <<B b a c <<C c b a <<D a c b <<5．（改编自2015年1月襄阳市普通高中调研统一测试）若正实数x ，y 满足9（x+1）+y=(x+1)y ，则x +y 的最小值是 （ ） A 19B 16C 18D 156．(改编)已知圆22:1C x y +=，点A （－2，0）及点B （2，a ），从A 点观察B 点，要使 视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是 （ ） A.（－∞，－1）∪（－1，+∞） B.（－∞，－2）∪（2，+∞） C. （－∞，－4）∪（4，+∞） D.（－∞，，+∞） 7．（改编自合肥一中及其联谊学校届高三第二次大联考）设在∆ＡＢＣ中，c=1,b=2a,则CA CB ⋅的最大值为 （ ）A13 B 2 C D 3 8．（改编自苏北四市高三年级第二次调研考试）定义在),1(+∞上的函数()f x 满足下列两个 条件：⑴对任意的),1(+∞∈x 恒有(2)2()f x f x =成立； ⑵当(1,2]x ∈ 时，()2f x x =-；记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 ( )A ． [)2,1B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,34D ．⎪⎭⎫⎝⎛2,34二．填空题：本大题共7小题，第9题每空2分，第10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分。
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- 1 - 浙江省2015年普通高考（考前全真模拟考试） 数学（理） 试题卷 考试须知： 1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷共4页，三个大题， 20 个小题，总分150分，考试时间为120分钟。 2．请考生用规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，答在试题卷上无效。 3．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 4．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式： 柱体的体积公式Vsh其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高．
锥体的体积公式13Vsh其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高．
台体的体积公式112213Vhssss，其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高． 球的表面积公式24SR．
球的体积公式343VR,其中R表示球的半径． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合1,2,3,4,5,6,1,2,4,2,3,6UMN，则UCMNU（ ） A．1,2,3 B．5 C．1,3,4 D．2 2．已知2:560,:||1pxxqxa，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ） A．(,3] B．[2,3] C．2, D．(2,3)
3．设,xy满足条件22xyxxy，则2zxy的最小值为（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 4．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n - 2 -
xyOAB
SMN
C
第8题
C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β D．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β 5．设,abrr为两个互相垂直的单位向量，已知,,OAaOBbOCmanbuuurruuurruuurrr．若ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则mn （ ） A．1或－3 B．－1或3 C．2或－4 D．－2或4
6．已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．4 7．如图，正ABC的中心位于点0,1,0,2GA，动点P从A点出发 沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度 02AGPxx，向量OPuuur在1,0ar方向的射影为
y（O为坐标原点），则y关于x的函数yfx的图象是（ ）
A． B． ． D． 8．如图，已知点(0,3)S，,SASB与圆22:0(0)Cxymym
和抛物线22(0)xpyp都相切，切点分别为,MN和,AB，
//SAON，ABMNuuuruuuur，则实数的值为（ ）
A．4 B．23 C．3 D．33
第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题有7小题，共36分（其中1道三空题，每空2分，3道两空题，每空3分，3道 - 3 -
一空题，每空4分）。 9．函数sin()fxAx（,,A为常数，0,0,0A）的图象如图所示，则A= ，= ，3f= ．
10．已知等差数列na的前n项和为2(10)(1)nSnknk，则 实数k ，na= ．
11．设函数222,0,0xxxfxxx，则1f= ，若3ffa，则实数a的取值范围 是 ．
12．若右图为某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去一部分后的直观图与三 视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为 ，三棱锥D －BCE的体积为 ． 13．点F是抛物线2:2(0)xpyp的焦点，1F是双曲线 2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，若线段1FF的中点P恰为
抛物线与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离 心率e ．
14．已知向量(1,3),(2,0).abrr若(0)cbcrrrr，当[3,2]t时， 的取值范围为 ．
15．对于任意实数x，记[]x表示不超过x的最大整数， {}[]xxx，x表示不小于x的最小整数， 若 中满足方程[]{}1xxx的一切实
数，则 的值是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分(16.17.18.19小题各为15分，20小题为14分)．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．
第12题 第9题 - 4 -
16．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若tan21tanAcBb． （1）求角A的大小； （2）若函数22sin()3cos2,,442fxxxx，在xB处取到最大值a，求 ABC的面积．
17．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是 CD的中点． （1）求证：平面CBE⊥平面CDE； （2）求二面角C—BE—F的余弦值．
18．如图，椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为32，上、 下顶点为,AB，点(0,2)P关于直线yx的对称点在椭圆 M上，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点
,CD （C在线段PD之间）． （1）求椭圆M的方程； （2）求 的取值范围； （3）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否 为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．已知等差数列na的公差为d（0d），等比数列nb的公比为q（0q），且满足
xyOP
C
DA
BQ
第18题
C F D
A B E
第17题 - 5 -
11231,,abab65.ab （1）求数列na的通项公式； （2）数列nb的前n项和为nT，求证： ．
20．已知函数222()loglogfxxmxa，2()1gxx． （1）当1a时，求()fx在[1,4]x上的最小值； （2）当0,2am时，若对任意的实数[1,4]t，均存在[1,8]ix（1,2i），且12xx，使
得()2()iigxaaftx成立，求实数a的取值范围． - 6 -
数学（理）参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C D B C C A
二、填空题（本大题有7小题，共36分。其中1道三空题，每空2分，3道两空题，每空3分， 3道一空题，每空4分）
9． 2,2,1 10．1；212n 11．1，3a 12．4， 83
13． 324 14．1,26 15． 解：显然，x不可能是整数，否则由于{}0x，[]{}1xxx不可能成立．设[]xa， 则{}xxa，1xa，代入得()(1)1axaa，解得1(1)xaaa． 考虑到x∈［0,n+1］，且[]0x，所以a=1,2,…，,n，故符合条件的解有n个，即m=n，且
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 16．解：（1）因为sincos2sin1cossinsinABCABB，
所以sin2sincosCCA， 又因为sin0C，所以1cos2A， 所以3A．………………………………………………………………………………6分
（2）因为22sin()3cos24fxxx12sin23x， 所以，当232x，即512x时，max3fx， 此时5,C,3.124Ba - 7 -
因为sinsinacAC ，所以23sin26sin32aCcA， 则1162933sinB362244Sac．……………………………………15分 17．（1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE平面CDE， 所以平面CDE⊥平面ACD． 在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE． 取CE的中点M，连接BM、FM， 由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF． 所以BM⊥平面CDE． 又BM平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．……………………………………………7分 法一：（2）过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，
则∠NHF就是二面角C—BE—F的平面角．
在Rt△FNH中，NH=3625，FH=45，
所以36cos8NHNHFFH 故二面角C—BE—F的余弦值为368………………………………………………………15分 法二：以F为坐标原点，FD、FA、FM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则
F(0,0,0)，E(1,0,2) ， B(0,3,1) ， C(－1,0,0)，
可求得面FBE的一个法向量为13(2,,1)3nur， 平面CBE的一个法向量为2(1,0,1)nuur， 则 M
y
x z C F D
A
B E