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广东省广州市越秀区育才实验学校2022-2023学年九年级上学期期中考试英语试题

广东省广州市越秀区育才实验学校2022-2023学年九年级上学期期中考试英语试题
With the temperature rising, spring is a good time to go out and travel far away. Tang Dynasty poet Wang Weibid farewell to his friend in this season. The poemA Farewell Songdescribes his experience.
25. A.becauseB.yetC.orD.so
三、阅读（共两节；满分35分）
第一节阅读理解（共15小题；每小题2分，满分30分）
阅读下列短文，从26～40各题所给的A、B、C和D项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该选项涂黑。
( A )
A Farewell Song
Wang Wei
①No dust is raised on the road wet with morning▲
2022学年第一学期期中诊断性调研九年级英语调研卷
本调研题共8页，分第Ⅰ卷/第一部分（选择题）和第Ⅱ卷/第二部分（非选择题），满分90分，建议完成时间100分钟。
第Ⅰ卷/第一部分（选择题，共60分）
一、语法选择（共15小题；每小题1分，满分15分）
阅读下面短文，按照句子结构的语法性和上下文连贯的要求，从各题所给的A、B、C和D项中选出最佳选项。
21. A.occasionallyB.frequentlyC.earlyD.daily
22. A.findB.spendC.wasteD.await
23. A.sadlyB.firmlyC.angrilyD.carefully
24. A.difficultB.excitingC.differentD.interesting

2022-2023学年北京市西城区育才学校九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2022-2023学年北京市西城区育才学校九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2022-2023学年北京市西城区育才学校九年级（上）期中数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一元二次方程2x2+x−5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A. 2，1，5B. 2，1，−5C. 2，0，−5D. 2，0，52.下列四个图形中，是中心对称图形的是( )A. B.C. D.3.将抛物线y=x2向上平移3个单位后所得的解析式为( )A. y=x2+3B. y=x2−3C. y=(x+3)2D. y=(x−3)24.在平面直角坐标系xOy中，点A(2,3)关于原点对称的点的坐标是( )A. (2,−3)B. (−2,3)C. (3,2)D. (−2,−3)5.用配方法解方程x2+4x=1，变形后结果正确的是( )A. (x+2)2=5B. (x+2)2=2C. (x−2)2=5D. (x−2)2=26.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，Δ=b2−4ac，则下列四个选项正确的是( )A. b<0，c<0，Δ>0B. b>0，c<0，Δ<0C. b>0，c<0，Δ>0D. b<0，c>0，Δ<07.二次函数y=−x2+2x+4的最大值为( )A. −2B. 2C. 5D. 98.小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，一些颗粒没有充分爆开，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足的函数关系p=at2+bt+c(a、b、c是常数)，小高记录了三次实验的数据(如图).根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.抛物线y=−3(x−1)2+2的顶点坐标是．10.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个根为x=1，则m的值为______．11.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,2)的抛物线的表达式：．12.若二次函数y=2x2−3的图象上有两个点A(−3,m)、B(2,n)，则m______n(填“<”或“=”或“>”)．13.把二次函数y=x2−6x+5配成y=(x−ℎ)2+k的形式是______．14.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为．15.抛物线y=ax2+b+c的部分图象如图所示，则当y<0时，x的取值范围是______ ．16.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1,0).P是第一象限内任意一点，连接PO，PA.若∠POA=m°，∠PAO=n°，则我们把P(m°,n°)叫做点P的“双角坐标”．(1)点(1,1)的“双角坐标”为______；(2)若点P到x轴的距离为1，则m+n的最小值为______．2三、解答题（本大题共12小题，共96.0分。

2021-2022学年广东省广州市越秀区育才中学九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年广东省广州市越秀区育才中学九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年广东省广州市越秀区育才中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程4x2−3x−2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A. 4，3，2B. 4，−3，2C. 4，−3，−2D. 4，3，−22.对于二次函数y=−(x−1)2+4，下列说法不正确的是()A. 当x=1时，y有最大值3B. 当x≥1时，y随x的增大而减小C. 开口向下D. 函数图象与x轴交于点(1,0)和(3,0)3.把抛物线y=−x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为()A. y=−(x−1)2−3B. y=−(x+1)2−3C. y=−(x−1)2+3D. y=−(x+1)2+34.下列结论中，正确的是()A. 长度相等的两条弧是等弧B. 相等的圆心角所对的弧相等C. 平分弦的直径垂直于弦D. 圆是中心对称图形5.若关于x的方程x2+mx−6=0有一个根为2.则另一个根为()A. −2B. 2C. 4D. −36.⊙O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP=7，则P与⊙O的位置关系是()A. P在圆内B. P在圆上C. P在圆外D. 无法确定7.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B的度数为()A. 80°B. 60°C. 50°D. 40°8.关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A. k>−1B. k<−1C. k>−1且k≠0D. k≥−1且k≠09.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO与AB相交于点C，PA=6，∠APB=60°，则OC的长等于()A. √3B. 3C. 3−√3D. 6−3√310.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−1，且过点(1,0)，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab>0且c<0；②4a−2b+c>0；③8a+c>0；④c=3a−3b；⑤直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2+x1⋅x2=−5.其中正确的选项是()A. ①③B. ①②④C. ②④⑤D. ②③④⑤二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若y=(m−2)x m2−2是关于x的二次函数，则常数m的值为______．12.正六边形的半径为3，它的边长是______，它的中心角是______，它的面积是______．13.若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长是______．14.飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=60t−1.5t2，飞机着陆后滑行______米才能停下来．15.设m，n分别为一元二次方程x2+2x−2020=0的两个实数根，则m2+3m+n=______．16.如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.用适当方法解方程．(1)x2−49=0．(2)x2+3x−4=0．18.如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB=24cm，CD=8cm．(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；(2)求(1)中所作圆的半径．19.如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．最大高度为6米，底部宽度为12m，AO=3m.现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数解析式．20.某商场销售一批商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出5件．(1)若降价x元，可多卖y件，求y与x的函数关系．(2)降价多少元时，达到最大利润，每天能获得最大盈利是多少？21.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．(1)尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E(不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)；(2)探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．22.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当0<x<3时，直接写出y的取值范围；(3)点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点E，交AB于点D，连接BE、OE，连接DE并延长交BC 的延长线于点H．(1)求∠ABE的度数；(2)求证：OA=BH；(3)已知⊙O的半径为2，请直接写出阴影部分的面积．24.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(12,52)和B(4,6)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)当C为抛物线顶点的时候，求△BCE的面积；(3)是否存在这样的点P，使△BCE的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．25.已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．(1)若∠BAC=30°，①求AB的长；②判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明．(2)如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：方程4x2−3x−2=0中二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，−3，−2，故选：C．根据方程找出二次项的系数，一次项系数及常数项即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】A【解析】解：∵y=−(x−1)2+4，∴对称轴为x=1，顶点坐标为(1,4)，∵a=−1<0，∴开口向下，故C正确；∴当x=1时，y有最大值，最大值为4，故A不正确；当x≥1时，y随x的增大而减小，故B正确；令y=0可得−(x−1)2+4=x2−2x−3=0，解得：x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)，故D正确．故选：A．由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、C，令y=0，解关于x的一元二次方程则可求得答案．本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：当y=−x2向左平移1个单位时，顶点由原来的(0,0)变为(−1,0)，当向上平移3个单位时，顶点变为(−1,3)，则平移后抛物线的解析式为y=−(x+1)2+3．故选：D．利用二次函数平移的性质．本题主要考查二次函数y=ax2、y=a(x−ℎ)2、y=a(x−ℎ)2+k的关系问题．4.【答案】D【解析】解：A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；C、此弦不能是直径，命题错误；D、圆是中心对称图形，正确，故选：D．利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识，难度不大5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系．解决本题亦可把一个根代入，求出m，解关于x的方程，得另一个根．先设出方程的另一个根，根据两根的积与系数的关系，得方程求解即可．【解答】解：设方程的另一个根为α，根据根与系数的关系，2α=−6，∴α=−3．故选：D．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，d<r(d即点到圆心的距离，r即圆的半径)即可得到结论．【解答】解：∵OP=7>5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选C．7.【答案】C【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠A=40°，∴∠B=90°−∠A=50°．故选：C．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C=90°，又由直角三角形中两锐角互余，即可求得答案．此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意直径所对的圆周角是直角定理的应用．8.【答案】C【解析】解：根据题意得k≠0且Δ=22−4⋅k×(−1)>0，解得k>−1且k≠0．故选：C．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=(2k−1)2−4k⋅(k−2)>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．9.【答案】A【解析】解：如图，连接OA，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PA=6，∠APB=60°，∴OA⊥PA，∠APO=30°=∠PBO，PA=PB，∴∠AOC=60°，AB⊥PO∴∠CAO=30°∴AO=2CO，∵tan∠APO=AOPA=√33∴AO=√33×6=2√3∴CO=√3故选：A．根据切线的性质和切线长定理可得OA⊥PA，∠APO=30°=∠PBO，PA=PB，根据直角三角形的性质可得OA=2CO，根据锐角三角函数可求AO的长，即可求OC的长．本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数等知识，熟练运用切线的性质是本题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵抛物线对称轴x =−1，经过(1,0)， ∴−b 2a=−1，a +b +c =0，∴b =2a ，c =−3a ， ∵a <0， ∴b <0，c >0，∴ab >0且c >0，故①错误， ∵抛物线对称轴x =−1，经过(1,0)， ∴(−2,0)和(0,0)关于对称轴对称， ∴x =−2时，y >0，∴4a −2b +c >0，故②正确， ∵抛物线与x 轴交于(−3,0)， ∴x =−4时，y <0， ∴16a −4b +c <0， ∵b =2a ，∴16a −8a +c <0，即8a +c <0，故③错误， ∵c =−3a =3a −6a ，b =2a ， ∴c =3a −3b ，故④正确，∵直线y =2x +2与抛物线y =ax 2+bx +c 两个交点的横坐标分别为x 1，x 2， ∴方程ax 2+(b −2)x +c −2=0的两个根分别为x 1，x 2， ∴x 1+x 2=−b−2a，x 1⋅x 2=c−2a，∴x 1+x 2+x 1x 2=−b−2a+c−2a=−2a−2a+−3a−2a=−5，故⑤正确，故选：C ．根据二次函数的图象和性质一一判断即可．本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11.【答案】−2【解析】解：∵y=(m−2)x m2−2是关于x的二次函数，∴{m−2≠0m2−2=2，解得：m=−2．故答案为：−2．根据二次函数的定义即可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了二次函数的定义，根据二次项系数非零及最高次数为二，找出关于m的一元一次不等式及一元二次方程是解题的关键．12.【答案】360°27√32【解析】解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=16×360°=60°，∴中心角是：60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=OC=3，∴它的边长是3；在Rt△OBH中，OH=OB⋅sin60°=3×√32=3√32，∴S正六边形ABCDEF =6S△OBC=6×12×3×3√32=27√32．故答案为：3，60°，27√32．首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长，继而求得正六边形的面积．此题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．13.【答案】6【解析】解：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm，则：120πl180=4π，解得l=6．故答案为：6．易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：nπr180．14.【答案】600【解析】解：∵s=−32t2+60t=−32(t−20)2+600，∴当t=20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，故答案为：600．将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键．15.【答案】2018【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m=2020，m+n=−2是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系即可得出m2+2m=2020，m+n=−2，将其代入m2+3m+n=m2+2m+m+n中即可求出结论．【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x−2020=0的两个实数根，∴m2+2m−2020=0，即m2+2m=2020，m+n=−2，则m2+3m+n=m2+2m+m+n=2020−2=2018， 故答案为2018．16.【答案】2√2【解析】解：过A 作关于直线MN 的对称点A′，连接A′B ，由轴对称的性质可知A′B 即为PA +PB 的最小值， 连接OB ，OA′，AA′， ∵AA′关于直线MN 对称， ∴ AN⏜=A′N ⏜， ∵∠AMN =30°，∴∠A′ON =60°，∠BON =30°， ∴∠A′OB =90°， 过O 作OQ ⊥A′B 于Q ， 在Rt △A′OQ 中，OA′=2， ∴A′B =2A′Q =2√2， 即PA +PB 的最小值2√2． 故答案为：2√2．过A 作关于直线MN 的对称点A′，连接A′B ，由轴对称的性质可知A′B 即为PA +PB 的最小值，由对称的性质可知AN ⏜=A′N ⏜，再由圆周角定理可求出∠A′ON 的度数，再由勾股定理即可求解．本题考查的是轴对称−最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．17.【答案】解：(1)∵x 2−49=0，∴x 2=49， ∴x 1=7，x 2=−7； (2)∵x 2+3x −4=0， ∴(x +4)(x −1)=0， 则x +4=0或x −1=0，解得x1=−4，x2=1．【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：(1)作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA 长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．(2)连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=(x−8)cm，则根据勾股定理列方程：x2=122+(x−8)2，解得：x=13．答：圆的半径为13cm．【解析】(1)、由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；(2)、在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．本题利用了垂径定理，中垂线的性质，勾股定理求解．19.【答案】解：(1)由题意得：A(0,3)，P(6,6)；(2)设抛物线解析式为：y=a(x−6)2+6，∵抛物线y=a(x−6)2+6经过点(0,3)，∴3=a(0−6)2+6，即a=−112，∴y=−112(x−6)2+6，即y=−112x2+x+3∴抛物线解析式为y=−112x2+x+3．【解析】(1)根据所建坐标系易求A、P的坐标；(2)可设解析式为顶点式，把A点(或B点)坐标代入求待定系数求出解析式．本题考查二次函数的应用，关键是根据坐标系和已知数据列出函数关系式．20.【答案】解：(1)由题意得：y=20+52x，∴y与x的函数关系式为y=52x+20；(2)设商场平均每天盈利w元，则w=(20+52x)(40−x)，=−52x2+80x+800，=−52(x−16)2+1440，∵−2<0，∴当x=16时，w取最大值，最大值为1440．答：每件衬衫降价16元时，商场平均每天盈利最多，最大利润为1440元．【解析】(1)根据每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出5件，得出y与x的函数关系式；(2)利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=(40−降低的价格)×(20+增加的件数)写出函数关系式，再利用二次函数最值求法得出即可．此题主要考查了二次函数、一次函数的应用，解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降价后增加的销售量．21.【答案】解：(1)如图所示；(2)OE//AC，OE=12AC．证明如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC，∵∠BAD=12∠BOD，∴∠BOD=∠BAC，∴OE//AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OEB=90°，∴BE=CE，OE⊥BC，又∵OA=OB，∴OE为△ABC的中位线，∴OE//AC，OE=12AC．【解析】本题考查了尺规作图：作已知角的角平分线．也考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理．(1)利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；(2)由AD平分∠BAC得到∠BAD=12∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD=12∠BOD，则∠BOD=∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE//AC，OE=12AC．22.【答案】解：(1)将A(−1,0)和B(3,0)代入y=−x2+bx+c∴{0=−1−b+c0=−9+3b+c解得：{b =2c =3∴抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3 ∴顶点坐标为：(1,4)(2)由于抛物线的对称轴为：x =1， ∴0<x <3时， ∴0<y ≤4 (3)设P(x,y) ∴△PAB 的高为|y|， ∵A(−1,0)、B(3,0) ∴AB =4 ∵S △PAB =10， ∴12×4×|y|=10 ∴y =±5， 当y =5时， ∴5=−x 2+2x +3 此时方程无解， 当y =−5时，∴−5=−x 2+2x +3， 解得：x =4或x =−2， ∴P(4,−5)或(−2,−5)【解析】(1)将A 与B 的坐标代入抛物线的解析式即可求出b 与c 的值． (2)根据图象即可求出y 的取值范围．(3)设P(x,y)，△PAB 的高为|y|，AB =4，由S △PAB =10列出方程即可求出y 的值，从而可求出P 的坐标．本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，属于中等题型．23.【答案】解：(1)∵AC 与圆相切，故OE ⊥AC ，在Rt △AOE 中，∠AOE =90°−∠A =60°， ∵OB =OE ，∴∠ABE=∠OEB=12∠AOE=30°；(2)在Rt△AOE中，∠A=30°，则AO=2OE，在△DBH中，点O是BD的中点，OE//BH，故OE是△DBH的中位线，故OE=12BH，即OA=BH；(3)在△AOE中，OE=2=12AO，则AE=OE⋅tan∠AOE=2√3，则阴影部分的面积=S△AOE−S扇形ODE=12×2×2√3−60°360∘⋅π⋅22=2√3−2π3．【解析】(1)AC与圆相切，故OE⊥AC，在Rt△AOE中，∠AOE=90°−∠A=60°，而OB=OE，即可求解；(2)在Rt△AOE中，∠A=30°，则AO=2OE，而OE是△DBH的中位线，故OE=12BH，即可求解；(3)由阴影部分的面积=S△AOE−S扇形ODE，即可求解．此题属于圆的综合题，涉及了三角形中位线的性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．24.【答案】解：(1)将点A、B的代入抛物线表达式得：{14a+12b+6=5216a+4b+6=6，解得：{a=2b=−8，故抛物线的表达式为：y=2x2−8x+6；(2)函数的对称轴为：x=2，则点C(2,−2)，当x=2时，y=x+2=4，点E(−2,0)，则PC=6，△BCE的面积=12×PC(x B−x E)=12×6×6=18；(3)存在，理由：设点P(x,x +2)，点C(x,2x 2−8x +6)S △BCE =12×PC(x B −x E )=12×(x +2−2x 2+8x −6)×6=−6x 2+27x −12， ∵−6<0，故S △BCE 有最大值，当x =94时，S △BCE 最大值为：1478．【解析】(1)将点A 、B 的代入抛物线表达式，即可求解；(2)△BCE 的面积=12×PC(x B −x E )=12×6×6=18；(3)S △BCE =12×PC(x B −x E )=12×(x +2−2x 2+8x −6)=−6x 2+27x −12，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，本题是二次函数基本题，难度不大．25.【答案】解：(1)①∵∠ACG =90°，∠BAC =30°，∴BC =12AB ，AC 2+BC 2=AB 2， ∵AC =2，∴22+(12AB)2=AB 2， ∴AB =4√33； ②直线FD 与以AB 为直径的⊙O 相切，证明如下：连接OD ，如图：∵∠ACG =90°，∠BAC =30°，∴∠ABC =60°，∵将△ACB 沿AB 边所在的直线翻折得到△ADB ，∴∠ABD =∠ABC =60°，∴∠DBF =180°−∠ABD −∠ABC =60°，∵∠ADB=∠C=90°，OA=OB，∴OD=OB=OA，即D在以AB为直径的⊙O上，而∠ABD=60°，∴△BOD是等边三角形，∴∠ODB=60°=∠DBF，∴OD//CG，∵DF⊥CG，∴OD⊥DF，∴直线FD与以AB为直径的⊙O相切；(2)延长AD交CG于点E，如右图：同(1)中的方法，可证点C在⊙O上；∴四边形ADBC是圆内接四边形．∴∠FBD=∠1+∠2．同理∠FDB=∠2+∠3．∵∠1=∠2=∠3，∴∠FBD=∠FDB，又∠DFB=90°，∴∠FBD=∠FDB=45°，∴∠1+∠2=45°，∴EC=AC=2，设BC=x，则BD=BC=x，∵∠EDB=90°，∴EB=√2x.∵EB+BC=EC，∴√2x+x=2，解得x=2√2−2，∴BC=2√2−2．AB，而AC=2，结合勾股定理即可得到答案；【解析】(1)①由∠BAC=30°可得BC=12②连接OD，根据∠ACG=90°，∠BAC=30°及将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，可得∠DBF=180°−∠ABD−∠ABC=60°，证明△BOD是等边三角形，即得∠ODB=60°=∠DBF，从而OD//CG，可证明直线FD与以AB为直径的⊙O相切；(2)延长AD交CG于点E，可证点C在⊙O上，即有四边形ADBC是圆内接四边形，由∠CAB=∠BAD=∠DAH可得∠FBD=∠FDB=45°，从而EC=AC=2，设BC=x，则BD=BC=x，EB=√2x，即有√2x+x=2，解得BC=2√2−2．本题主要考查了切线的判定，圆的内接四边形等知识点，根据已知的边的长或相等角得出特殊角从而构建出特殊的直角三角形是解题的关键．。

东北育才学校九年级上册期中试卷检测题

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东北育才学校九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.2．阅读以下材料，并解决相应问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在求解某些特殊方程时，利用换元法常常可以达到转化的目的，例如在求解一元四次方程42210x x -+=，就可以令21x =，则原方程就被换元成2210t t -+=，解得 t = 1，即21x =，从而得到原方程的解是 x = ±1材料二：杨辉三角形是中国数学上一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现，它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列，下图为杨辉三角形：……………………………………（1）利用换元法解方程：()()222312313+-++-=x x x x（2）在杨辉三角形中，按照自上而下、从左往右的顺序观察， an 表示第 n 行第 2 个数（其中 n≥4），bn 表示第 n 行第 3 个数，n c 表示第(n )1-行第 3 个数，请用换元法因式分解：()41-⋅+n n n b a c【答案】（1）317x -+=或317x --= 或x=-1或x=-2；（2）()41-⋅+n n n b a c =（n 2-5n+5）2【解析】【分析】（1）设t=x 2+3x-1，则原方程可化为：t 2+2t=3，求得t 的值再代回可求得方程的解； （2）根据杨辉三角形的特点得出a n ，b n ，c n ，然后代入4（b n -a n ）•c n +1再因式分解即可．【详解】（1）解：令t=x 2+3x-1则原方程为：t 2+2t=3解得：t=1 或者 t=-3当t=1时，x 2+3x-1=1 解得：3172x -+= 或3172x -= 当t=-3时，x 2+3x-1=-3解得：x=-1或x=-2 ∴方程的解为：317x -+=或317x --=或x=-1或x=-2 （2）解：根据杨辉三角形的特点得出：a n =n-1(1)(2)2n n n b --= (2)(3)2n n n c --= ∴4（b n -a n ）•c n +1=（n-1）（n-4）（n-2）（n-3）+1=（n 2-5n+4）（n 2-5n+6）+1=（n 2-5n+4）2+2（n 2-5n+4）+1=（n 2-5n+5）2【点睛】本题主要考查因式分解的应用．解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．3．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D（4，7）（2）y=3944x （3）详见解析【解析】试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°=∠AOB，∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB，∴△DAE≌△ABO（AAS），∴DE=OA=4，AE=OB=3，∴OE=7，∴D（4，7）；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C（7，3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），代入B（3，0），C（7，3）得，，解得，∴y=x﹣；（3）存在．点P与点B重合时，P1（3，0），点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数4．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．5．如图1，已知△ABC 中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t≤4）.解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.（3）如图2，把△APQ 沿AP 翻折，得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t 使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当BF PC⊥s时，PQ∥BC．（2）不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC 的面积平分．（3）存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为137-cm2．【解析】（1）证△APQ∽△ABC，推出APAB=AQAC，代入得出10210t-=28t，求出方程的解即可；（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-5 6t2+6t=12×12×8×6，求出此方程无解，即可得出答案.（3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、OD、和PD的长度；然后在Rt△PQD中，根据勾股定理列出方程（8-185t）2-（6-65t）2=（2t）2，求得时间t的值；最后根据菱形的面积等于△AQP的面积的2倍，进行计算即可.解：（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴APAB=AQAC，即10210t-=28t，解得：t=20 9,∴当t=209时，PQ∥BC.（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．∴PD∥BC，∴F ，即B ，解得6PD 6-5t =． 216625S PD AQ t t =⨯=-， 假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则有S △AQP = C S △ABC ，而S △ABC =12AC•BC=24，∴此时S △AQP =12． 而S △AQP 2665t t =-， ∴266125t t -=，化简得：t 2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（3）假设存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t ．如答图2所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ，则有PD∥BC，∴D ，即COD ∆，解得：OC ，h ，∴QD=AD﹣AQ=t ．在Rt△PQD 中，由勾股定理得：QD 2+PD 2=PQ 2，即h ，化简得：13t 2﹣90t+125=0，解得：t 1=5，t 2=t ，∵t=5s 时，AQ=10cm ＞AC ，不符合题意，舍去，∴t=52． 由（2）可知，S △AQP =54∴S 菱形AQPQ′=2S △AQP =2×258=3372+cm 2． 所以存在时刻t ，使四边形137-cm 2． “点睛”本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ． （1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '．①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ，258；（3）①57,24M ⎛⎫' ⎪⎝⎭；②45° 【解析】【分析】（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值．（2）设M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），然后根据面积关系将△ABM 的面积进行转化． （3）①由（2）可知m ＝52，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值． ②可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值．【详解】（1）令x ＝0代入y ＝﹣3x+3，∴y ＝3，∴B （0，3），把B （0，3）代入y ＝﹣x 2+2x+b 并解得：b ＝3，∴二次函数解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3．（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，∴0＝﹣x2+2x+3，∴x＝﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y＝0代入y＝﹣3x+3，∴x＝1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB＝12×m×3+12×1×（-m2+2m+3）-12×1×3＝﹣12（m﹣52）2+258，∴当m＝52时，S取得最大值258．（3）①由（2）可知：M′的坐标为（52，74）．②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d 1+d 2＝BF ， 此时只要求出BF 的最大值即可，∵∠BFM′＝90︒，∴点F 在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H ，∵点C 在线段BM′上，∴F 在优弧'BM H 上，∴当F 与M′重合时，BF 可取得最大值，此时BM′⊥l 1，∵A （1，0），B （0，3），M′（52，74）， ∴由勾股定理可求得：AB ＝10，M′B ＝55，M′A ＝854， 过点M′作M′G ⊥AB 于点G ，设BG ＝x ，∴由勾股定理可得：M′B 2﹣BG 2＝M′A 2﹣AG 2， ∴8516﹣（10﹣x ）2＝12516﹣x 2， ∴x ＝5108， cos ∠M′BG ＝'BG BM ＝2，∠M′BG= 45︒ 此时图像如下所示，∵l 1∥l′，F 与M′重合，BF ⊥l 1∴∠B M′P=∠BCA ＝90︒，又∵∠M′BG=∠CBA= 45︒∴∠BAC ＝45︒．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，点(),p tq 与(),q tp ()0t ≠称为一对泛对称点．（1）若点()1,2，()3,a 是一对泛对称点，求a 的值；（2）若P ，Q 是第一象限的一对泛对称点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，过点Q 作QB y ⊥轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，连接AB ，PQ ，判断直线AB 与PQ 的位置关系，并说明理由；（3）抛物线2y ax bx c =++()0a ＜交y 轴于点D ，过点D 作x 轴的平行线交此抛物线于点M （不与点D 重合），过点M 的直线y ax m =+与此抛物线交于另一点N ．对于任意满足条件的实数b ，是否都存在M ，N 是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点(),M M M x y ，(),N N N x y 探究当M y ＞N y 时M x 的取值范围；若不是，请说明理由．【答案】（1）23；（2）AB ∥PQ ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M ，y M )，N(x N ，y N )，当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0【解析】【分析】（1）利用泛对称点得定义求出t 的值，即可求出a.（2）设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），根据题干条件得到A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）的坐标，利用二元一次方程组证出k 1=k 2，所以AB ∥PQ.（3）由二次函数与x 轴交点的特征，得到D 点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案.【详解】（1）解：因为点（1，2），（3，a ）是一对泛对称点，设3t ＝2解得t ＝23所以a ＝t×1＝23（2）解：设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），其中0＜p ＜q ，t ＞0. 因为PA ⊥x 轴于点A ，QB ⊥y 轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，所以点A ，B ，C 的坐标分别为：A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）设直线AB ，PQ 的解析式分别为：y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，其中k 1k 2≠0.分别将点A （p,0），B （0,tp ）代入y ＝k 1x ＋b 1，得111pk b tp b tp +=⎧⎨=⎩. 解得11k t b tp=-⎧⎨=⎩ 分别将点P （p,tq ），Q （q,tp ）代入y ＝k 2x ＋b 2，得2222pk b tp qk b tp +=⎧⎨+=⎩. 解得22k t b tp tp =-⎧⎨=+⎩ 所以k 1＝k 2.所以AB ∥PQ（3）解：因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）交y 轴于点D ，所以点D 的坐标为（0,c ）.因为DM ∥x 轴，所以点M 的坐标为（x M ,c ），又因为点M 在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）上.可得ax M 2＋bx M ＋c ＝c ，即x M （ax M ＋b ）＝0.解得x M ＝0或x M ＝－b a. 因为点M 不与点D 重合，即x M ≠0，也即b≠0， 所以点M 的坐标为（－b a ,c ） 因为直线y ＝ax ＋m 经过点M ，将点M （－b a ,c ）代入直线y ＝ax ＋m 可得，a·（－b a）＋m ＝c. 化简得m ＝b ＋c所以直线解析式为：y ＝ax ＋b ＋c. 因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝ax ＋b ＋c 交于另一点N ，由ax 2＋bx ＋c ＝ax ＋b ＋c ，可得ax 2＋（b －a ）x －b ＝0.因为△＝（b －a ）2＋4ab ＝（a ＋b ）2，解得x 1＝－b a ，x 2＝1. 即x M ＝－b a ，x N ＝1，且－b a≠1，也即a ＋b≠0.所以点N 的坐标为（1,a ＋b ＋c ）要使M （－b a,c ）与N （1,a ＋b ＋c ）是一对泛对称点， 则需c ＝t ×1且a ＋b ＋c ＝t ×（－b a ）. 也即a ＋b ＋c ＝（－b a）·c 也即（a ＋b ）·a ＝－（a ＋b ）·c. 因为a ＋b≠0，所以当a ＝－c 时，M ，N 是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形.此时点M 的坐标为（－b a,－a ），点N 的坐标为（1,b ）. 所以M ，N 两点都在函数y ＝b x（b≠0）的图象上. 因为a ＜0， 所以当b ＞0时，点M ，N 都在第一象限，此时 y 随x 的增大而减小，所以当y M ＞y N 时，0＜x M ＜1；当b ＜0时，点M 在第二象限，点N 在第四象限，满足y M ＞y N ，此时x M ＜0.综上，对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M （x M ,y M ），N （x N ,y N ），当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0.【点睛】本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论；（2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0），∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0∵b ＝1，a ＝﹣12c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下，又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤， ∴﹣b 2≥4a ，∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ），∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，∴c （a+b+c ）＞0，∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0，∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0，∵a≠0，则9a 2＞0，∴两边同除以9a 2得，24()()033b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩， ∴4233b a -<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<． 【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．9．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为（x ，y ），当x ＜0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣x ，y ）；当x≥0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣y ，x ）． （1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=k x的图象上，则k= ； （2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为 ，∠BOB′的大小是 度．（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．【答案】(1) －2；(2) y=13x+103，90；(3) m ＜0，或m=32；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论；（2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可．【详解】（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =k x中，得到k =－2． 故答案为：－2．（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中． 得到：2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11033y x =+． ∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°．故答案为：y =13x +103，90． （3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）．将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．解得：12m m ==（不合题意，舍去）．所以m = ③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）．将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．解得：123322m m ==（不合题意，舍去）．所以m =．综上所述：m 的取值范围是m ＜0，m 或m ． （4）∵四边形ECP 'D 是菱形，∴点E 与点P '关于x 轴对称．∵点E 的坐标为（2，n ），∴点P '的坐标为（2，﹣n ）．①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣n =（﹣2﹣2）2+n ，解得：n =﹣8．②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣2=（﹣n ﹣2）2+n ．解得：n 1=﹣2，n 2=﹣3．综上所述：n 的值是n =﹣8，n =﹣2，n =﹣3．【点睛】本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．10．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值； （3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）E （2，73-） 【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案； （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标.【详解】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得，03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x =-+-．（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则11:():():3:222ABD BCD S S AD h DC h AD DC ∆∆=⋅⋅==， 又∵DH//y 轴，∴25CH DC DH OC AC OA ===． ∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH 为等腰直角三角形，∴26355CH DH ==⨯=． ∴64255BH BC CH =-=-=． ∴tan ∠DBC=32DH BH =. （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ，∠OFA=∠OCA -∠FAC=45°-∠FAC ，∵∠BAC=∠FAC ，∴∠OAB=∠OFA ．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到∠BPC=∠AP′B=__________；，进而求出等边△ABC的边长为__________；问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．【答案】（17；（25【解析】试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形.(2)利用（1）中的解题思路，把△BPC,旋转，到△BP’A,连接PP’,BP’，容易证明△APP’是直角三角形，∠BP’E=45°，已知边BP’=BP=2，BE=BP’=1，勾股定理可求得正方形边长.（1）150° 7（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′=2；连接PP′，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′=2，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°；在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=5，∵222+=，即AP′2+PP′2=AP2；125∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，∴∠AP′B=135°，∴∠B PC=∠AP′B=135°．过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，∴∠EP′B=45°，∴EP′=BE=1，∴AE=2；∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5；∴∠BPC=135°，正方形边长为5．点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，解题利用了旋转的性质，一般利用正方形，等腰，等边三角形的隐含条件，构造全等三角形，把没办法利用的已知条件转移到方便利用的图形位置,从而求解.12．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD 的度数；（3）如图3，如果=45°，AB =2，AE=，求点G到BE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）45°或135°；（3）.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.（2）当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可.（3）根据和求解即可.试题解析：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.∴∠BAE=∠DAG..∴△ABE≌△ADG（SAS）.∴BE=DG..（2）如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时∠FCD 的度数为45°或135°.（3）如图3，连接GB、GE.由已知α=45°，可知∠BAE=45°.又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵，∴GE =8.∴.过点B作BH⊥AE于点H.∵AB=2，∴. ∴..设点G到BE的距离为h.∴.∴.∴点G到BE的距离为.考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．13．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3（3m，∵S△BEG=12•EG•BN=12•BG•EH，∴EH=3?(13)2m mm+=32m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=3+362246mEHEB m==．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，14．（1）发现如图，点A为线段BC外一动点，且BC a=，AB b=.填空：当点A位于____________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a，b的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE . ①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是2，点P 的坐标为（22） 【解析】 【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b ，故答案为CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，AD ABCAD EABAC AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CAD≌△EAB，∴CD=BE；②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，∵22，∴最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE=2，∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2，∴P（2-2，2）．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时①证明：△BFC是等腰三角形；②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．【答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.【解析】【详解】分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，最后根据直角三角形斜中线的性质得出答案．详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=12BE=BF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，∴CF=DF且CF⊥DF．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．四、初三数学圆易错题压轴题（难）16．四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的O过点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若CD的延长线与圆相切于点F，已知直径AB=4．求阴影部分的面积.。

无锡育才中学九年级上册期中试卷检测题

无锡育才中学九年级上册期中试卷检测题

无锡育才中学九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7k =±详见解析 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=1472k ±∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17.3+-∴满足条件的k 值存在，且7k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．2．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A ，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：（1）每台A 型空气净化器和B 型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B 型空气净化器的进货量不少于A 型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A 型空气净化器的净化能力为300 m 3/小时，B 型空气净化器的净化能力为200 m 3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m ２，室内墙高3 m ．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A 型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A 型空气净化器的利润为200元，每台B 型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A 型空气净化器33台，购进B 型空气净化器67台；（3）至少要购买A 型空气净化器2台.【解析】解：（1）设每台A 型空气净化器的利润为x 元，每台B 型空气净化器的利润为y 元，根据题意得：5102000,200,{{1052500.100.x y x x y y +==+==解得 答：每台A 型空气净化器的利润为200元，每台B 型空气净化器的利润为100元.（2）设购买A 型空气净化器m 台，则购买B 型空气净化器（100﹣m ）台，∵B 型空气净化器的进货量不少于A 型空气净化器的2倍，∴100-m ≥2m ，解得：m≤100. 3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.∵要使W最大，m需最大，∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：12[300a+200(5-a)]≥200×3.解得：a≥2.∴至少要购买A型空气净化器2台.3．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D（4，7）（2）y=3944x （3）详见解析【解析】试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°=∠AOB，∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB，∴△DAE≌△ABO（AAS），∴DE=OA=4，AE=OB=3，∴OE=7，∴D（4，7）；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C（7，3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），代入B（3，0），C（7，3）得，，解得，∴y=x﹣；（3）存在．点P与点B重合时，P1（3，0），点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数4．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32 ，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．5．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值． 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k ≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．如图，抛物线()250y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值． （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】（1）265y x x =-+- （2）2t =；2（3）5412或4或5412【解析】【分析】（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d 为()24542d BP sin t =⋅︒=-，则12PBE S BE d =⨯⨯)()122244222t t t =⨯⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值； （3）先求出2454222AM AB sin =⋅︒=⨯=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ 是平行四边形，得到22NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角形，求得22884NH NQ HQ =+=+=；设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ， (),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可．【详解】解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为265y x x =-+-．()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE的距离()4542d BP sin t =⋅︒=- 所以12PBE S BE d =⨯⨯)()1244222t t t t =⨯⨯-=-； ∵二次函数()()42f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴0422t +==时， ∴()()()22422maxf t f ==⨯⨯-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值为()3由题意得454AM AB sin =⋅︒== 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，∴NQ AM ==过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H∵:5BC l y x =-，∴NQH 为等腰直角三角形，∴22884,NH NQ HQ =+=+=设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ，(),5H m m -，①点N 在x 轴上方时，此时()()2655,NH m m m =-+--- ∴()()26554m m m -+---=，即()()140,m m --= 解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --= 解得54152m -=<（舍）或5412m += ③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得5412m -=或5412m +=（舍）综上所述，5414,2m m +==，5412m -=符合题意， 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为541-或4或541+．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键7．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线22y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD交直线AC 于点D ．①是否存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213222y x x =+- (2)①存在，点P 的坐标为(22,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--②1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525Q ⎝⎭，44525Q ⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为(t ,213222t t +-)，利用21442∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解；②先设出D点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解．【详解】解：(1)由题意得,将(4,0)A-，(1,0)B两点坐标代入解析式中：1642020a ba b--=⎧⎨+-=⎩，解得：1232ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴此抛物线的解析式为213222y x x=+-，故答案为213222y x x=+-．(2)①存在点P，使得PAC∆的面积是ABC∆面积的45．理由如下：作出如下所示示意图：∵点(4,0)A-，(1,0)B，∴4OA=，5AB=，令0x=，则2y=-，∴(0,2)C-，∴2OC=，∴1152522ABCS AB OC∆=⋅=⨯⨯=，∴445545PAC ABCS S∆∆==⨯=，设直线AC的解析式为y mx n=+，则有402m nn-+=⎧⎨=-⎩，解得：122mn⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =--． 设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213222t t +-， 即213,222P t t t ⎫⎛+- ⎪⎝⎭． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛--⎪⎝⎭． ∴2213112222222PD t t t t t ⎫⎛=+----=+ ⎪⎝⎭． ∵22111424222PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯+=+． ∴244t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=， 解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--， 故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x x ，则EO=-x ，DE=122x +，在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO²+ED²=DO²， 故221(2)42++=x x ，解得80(),5舍==-x x ，此时Q 点坐标为816,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE²+EO²=QO²， 故221()()42+=m m ，解得124545,==-m m ，此时Q 点坐标为4525,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或4525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,55Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．故答案为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．8．如图，过原点的抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ． （1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移． 【解析】 【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ． 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩，∴02c b =⎧⎨=⎩．∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ． ∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）．当点O′在y=12-x 2+2x 上． 则−12m 2+2m ＝m ．解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2． 当点C′在y=12-x 2+2x 上， 则12-×(32m )2+2×32m ＝12m ，解得：1209m =，20m =（舍去）． ∴m=209（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处．以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″． 当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短． ∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A （4，0），点C′（103，109），点B （2，2）． ∴点A′（83，89）． ∴点A″的坐标为（83，289）． 设直线OA″的解析式为y=kx ，将点A″代入得：82839k =， 解得：k=76． ∴直线OA″的解析式为y=76x ． 将y=2代入得：76x=2， 解得：x=127，∴点B′得坐标为（127，2）． ∴n=212277-=． ∴存在n=27，抛物线向左平移．【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．9．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）21233y x x =-++；（2）当92n =时，PBA S ∆最大值为818；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析【解析】 【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值. (3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】解：()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得396a =+ 13a ∴=-∴抛物线()21363y x =--+，即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+-设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 22231991919813222222228PBAS n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时，PBA S ∆最大值为818()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭过D 作对称轴的垂线，垂足为G , 则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴= 在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-=)21336233t t t ⎛⎫-=--++ ⎪⎝⎭化简得(1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ∆中229276AD AG GD ++=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m +=∴1233,33m m ==-综上所述，Q 点坐标为()()0,330,33-或故存在点Q ，且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.10．如图，经过原点的抛物线2y ax x b =-+与直线2y =交于A ，C 两点，其对称轴是直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点为D ，线段AC 与y 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式，并写出点D 的坐标；（2）若点E 为线段BC 上一点，且2EC EA -=，点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点，连接PE ，过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ，连接PF ，探究在P 点运动过程中，线段PE ，PF 有何数量关系？并证明所探究的结论；（3）设抛物线顶点为M ，求当t 为何值时，DMF ∆为等腰三角形？【答案】（1）214y x x =-；点D 的坐标为(4,0)；（2）5PF PE =，理由见解析；（3）512t =或98t = 【解析】【分析】 （1）先求出a 、b 的值，然后求出解析式，再求出点D 的坐标即可；（2）由题意，先求出点E 的坐标，然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，得到2EF PE =，结合勾股定理，即可得到答案；（3）根据题意，可分为三种情况进行分析：FM FD =或DF DM =或FM MD =，分别求出三种情况的值即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y ax x b =-+经过原点，∴0b =．又抛物线的对称轴是直线2x =，∴122a --=，解得：14a =． ∴抛物线的解析式为：214y x x =-． 令2104y x x =-=， 解得：10x =，24x =．∴点D 的坐标为(4,0)．（2）线段PE 、PF 的数量关系为：5PF PE =．证明：由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ，如图①，AE EG GC +=，∴EG GC AE =-，∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-，∵2EC EA -=，∴1EG =，∴(1,2)E ，过点E 作EH x ⊥轴于H ，则2EH OB ==．∵PE EF ⊥，∴90PEF ∠=︒，∵BE EH ⊥，∴90BEH ∠=︒．∴PEB HEF ∠=∠．在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中，∵PEB HEF ∠=∠，90EHF EBP ∠=∠=︒，∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，∴12PE BE EF HE ==， ∴2EF PE =． 在Rt PEF ∆中，由勾股定理得：222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=， ∴5PF PE =．（3）由2211(2)144y x x x =-=--， ∴顶点M 坐标为(2,1)-．若DMF ∆为等腰三角形，可能有三种情形：（I ）若FM FD =．如图②所示：连接MG 交x 轴于点N ，则90MNF ∠=︒，∵(4,0)D ， ∴2222125MD MN ND =+=+=设FM FD k ==，则2NF k =-．在Rt MNF ∆中，由勾股定理得：222NF MN MF +=，∴22(2)1k k -+=，解得：54k =， ∴54FM =，34NF =， ∴1MN =，即点M 的纵坐标为1-；令1y =-，则2114x x -=-， ∴2x =，即ON=2，∴OF=114， ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．∵(1,2)E ，∴1,2BE BP t ==-，∴221(2)PE t =+-， ∴251(2)PF t =•+-，在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=,∴22211()55(2)4t t +=+-， ∴98t =． （II ）若DF DM =．如图③所示：此时5FD DM ==∴45OF =，∴(45,0)F ，由（I ）知，221(2)PE t =+-，251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=，∴222(45)55(2)t t +-=+-∴512t =． （III ）若FM MD =．由抛物线对称性可知，此时点F 与原点O 重合．∵PE EF ⊥，点P 在直线AC 上方，与点P 在线段OB 上运动相矛盾，故此种情形不存在．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）11．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．（1）求AF 和BE 的长；（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒，记旋转中ABF 为''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）129,55AF BF ==；（2）95m =或165m =；（3）存在4组符合条件的点P 、点Q ，使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为2或25891055或35105【解析】【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=90°，在Rt △ABD 中，AB=3，AD=4，由勾股定理得：2222345AB AD +=+=，∵S△ABD12=BD•AE=12AB•AD，∴AE=AB AD3412 BD55⋅⨯==，∵点F是点E关于AB的对称点，∴AF=AE125=，BF=BE，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AB=3，AE125 =，由勾股定理得：BE2222129355 AB AE⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭；（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE95 =，由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′95 =，①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，根据平移的性质知：∠1=∠4，∴∠3=∠2，∴BB′=B′F′95=，即95m=；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，AB⊥AD，∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D=B′F′95 =，∴BB′=BD-B′D=5-91655=，即m165=；（3）存在．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠2=∠BAE，∵点F是点E关于AB的对称点，∴∠1=∠BAE，∴∠1=∠2，在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，则∠Q=∠DPQ，∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，∴∠3=∠Q，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=F′A′+A′Q=1227355+=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=2222927910 BF F Q555⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=9105 5-；②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，则∠2=∠P，∵∠1=∠2，∴∠1=∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ=A′Q，∴F′Q=F′A′-A′Q=125-BQ，在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，即：222 91255BQ BQ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：158 BQ=，∴DQ= BD-BQ=5-1525 88=；③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，则∠3=∠4．∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，∴∠4=90°-12∠2．∵∠1=∠2，∴∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=A′Q-A′F′=3-123 55=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=222293310 BF F Q55⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=3105-；④如图④-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，则∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BQ=BA′=3，∴DQ=BD-BQ=5-3=2．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：2或25891055或35105【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．12．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ，PD．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△PDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF，∴PD=PQ=AP=PF，∴点A、F、Q、P四点共圆，∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形．考点：四边形综合题．13．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出O C=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．试题解析：（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．14．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，则BD ＝CE ,(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BDC ＝60°，求证：AD+CD ＝BD ；(3)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝m°，点E 为△ABC 外一点，点D 为BC 中点，∠EBC ＝∠ACF ，ED ⊥FD ，求∠EAF 的度数（用含有m 的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12m°. 【解析】 分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC ，只要证明△DAB ≌△EAC 即可；（2）如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．首先证明△BDE 是等边三角形，再证明△ABD ≌△CBE 即可解决问题；（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．想办法证明△AFE ≌△AFG ，可得∠EAF=∠FAG=12m°. 详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE ，∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DAB≌△EAC，∴BD=EC．（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．∵DB=DE，∠BDC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．15．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）612；（3）△FGH的周长最大值为32（a+b），最小值为32（a﹣b）．【解析】试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；（3）首先证明△GFH的周长=3GF=32BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：。

育才三中初三年级数学上册期中试卷

育才三中初三年级数学上册期中试卷

育才三中初三年级数学上册期中试卷(含解析解析)育才三中2021初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)一、选择题（每题3分，共36分）每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）请将正确选项的字母代号填写在“答题表一”内，否则不给分）1.已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范畴是（◆◆）A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0 且m≠1 D．m为任意数2.学生冬季运动装原先每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是(◆◆)A．9% B．8.5% C．9.5% D．10%3.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（◆◆）.（A）一组对边平行而另一组对边不平行（B）对角线相等（C）对角线互相垂直（D）对角线互相平分4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是(◆◆)(A)当AB＝BC时，它是菱形(B)当AC⊥BD时，它是菱形(C)当∠ABC＝90°时，它是矩形(D)当AC＝BD时，它是正方形5．已知x1，x2是方程x2－x－3＝0的两个根，那么x1＋x2的值是（◆◆）A．1 B．5 C．7 D．6．7．已知线段AB，点C是它的黄金分割点(AC＞BC)设以AC为边的正方形的面积为S1，以AB、CB分别为长和宽的矩形的面积为S2，则S1与S2 关系正确的是(◆◆)(A) S1＞S2 (B) S1＝S2 (C) S1＜S2 (D)不能确定8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．关于两人的观点，下列说法正确的是（◆◆）(A) 两人都对(B) 两人都不对(C) 甲对，乙不对(D) 甲不对，乙对9．如图，一个正方体被截去四个角后得到一个几何体，它的俯视图是（◆◆）A．B．C．D．10．如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形C EFH也为正方形，则△DBF的面积为（◆◆）A．4 B．C．D．211．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿DE 折叠，使点B落在AC边上的F处，同时DF∥BC，则BD的长是(◆◆)(A) (B) (C) (D)12．如图，，∠1＝∠2，则关于结论：①△ABE∽△ACF；②△A BC∽△AEF③④，其中正确的结论的个数是(◆◆)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题（每题3分，共12分）请将答案填写在“答题表二”13．若x＝1是一元二次方程x2＋x＋c＝0一个解，则c2＝_◆◆◆◆_．14．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，对角线AC 与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_◆◆◆◆_．15．如图，正方形OABC∽正方形ODEF，它们是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是◆◆◆◆．16．矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，BG延长交DC于点F ，CF＝1，FD＝2，则BC的长为＿◆◆◆◆＿。

重庆市九龙坡区育才中学九年级(上)期中数学试卷 含解析

2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．22．图中立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．3．为了调查某校初三年级学生的数学学习情況；以下样本最具代表性的是（）A．该年级篮球社团的学生B．该年级部分女学生C．该年级跑步较快的学生D．从每个班级中，抽取学号为10的整数倍的学生4．若△ABC∽△DEF，相似比为4：3，则△ABC与△DEF对应的中线之比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：165．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为m、n，则一次函数y＝（m+n）x+mn的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+x﹣3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＝y1＜y2B．y3≤y2≤y1C．y2＜y1＝y3D．y1＜y2＜y37．估计÷﹣1的计算结果应在（）A．2和2.5之间B．2.5和3之间C．3和3.5间D．3.5和4之间8．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1 9．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为8的是（）A．x＝﹣3，y＝1 B．x＝﹣2，y＝﹣2 C．x＝，y＝﹣D．x＝﹣3，y＝10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．下列说法，其中正确的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c＜0；④b﹣c＞2aA．①②B．①③④C．②④D．①②④11．如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程﹣＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．13 B．15 C．20 D．2212．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD 交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A．B．C．3 D．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．计算：（π﹣2019）0+（﹣）3＝．14．2019年10月7日统计，国庆假期重庆迎外地游客人数达到38590000次，38590000科学记数法表示为．15．已知点A（a，2019）与点A′（﹣2020，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为．16．如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其它因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为cm．17．小蒲家与学校之间是一条笔直的公路，小蒲从家步行前往学校的途中发现忘带作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小蒲沿原路返回，两人相遇后，小蒲立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，小蒲到达学校刚好比妈妈到家晩了2分钟．若小蒲步行的速度始终不变，打电话和交接作业本的时间忽略不计，小蒲和妈妈之间的距离y米与小蒲打完电话后步行的时间x分钟之间的函数关系如图所示；则相遇后妈妈返回家的速度是每分钟米．18．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，毎箱的成本分别为箱中A、B、C三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg、3kg、1kg，乙种方式每分別裳A、B、C三种水果2kg、6kg、2kg，甲每箱的总成本是每千克A成本的15倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%；丙每箱在成本上提高40%标价后打八折销售获利为每千克A 成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：1：5时，则销售的总利润率为．三、解答题（共78分）19．解方程：（1）2x2﹣x﹣1＝0（2）3（x﹣3）2＝4（x﹣3）20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB中点，连CD，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF ⊥ED的延长线于F．（1）若∠B＝25°，求∠ADC的度数；（2）求证：DF＝DE．21．我校初二体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多．为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整下题表格．收集数据：从选择篮球和排球的学生各随机抽取10人，进行了测试，测试成绩如下：排球9 9.5 9 9 8 10 9.5 8 4 9.5篮球9.5 9.5 8.5 8.5 10 9.5 6 8 6 9整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：（说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格．）分折数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：应用数据（1）填空：a ＝，b＝．（2）初三年级的小伟和小明看到上面数据后，小伟说：排球项目整体水平较高：小明说：篮球项目整体水平较高．你同意的看法，理由为：①；②．（从两个不同的角度说明推理的合理性）（3）如果初二年级有180人选排球项目，请信计该年级排球项目获得优秀的人数．22．对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“终极数”，并记f（N）＝K．例如，456→4+5+6＝15→1+5＝6，∴f （456）＝6．（1）计算：f（2019）＝．f（20192020）＝．（2）有一个三位自然数M＝，已知f（M）＝4，且x＜y＜z，请求出所有满足条件的自然数M．23．某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对分段函数y＝的图象与性质进了探究，请补充完整以下的探索过程．（1）填空：a＝．b＝．（2）①提上述表格补全函数图象；②该函数图象是关于对称的（横线上填轴对称或中心对称）图形．（3）若直线y＝x+t与该函数图象有三个交点，直接写出t的取值范围．24．国庆期间电影《我和我的祖国》上映，在全国范围内掀起了观影狂潮．小王一行5人相约观影，由于票源紧张，只好选择3人去A影院，余下2人去B影院，已知A影院的票价比B影院的每张便宜5元，5张影票的总价格为310元．（1）求A影院《我和我的祖国》的电影票为多少钱一张；（2）次日，A影院《我和我的祖国》的票价与前一日保持不变，观影人数为4000人．B 影院为吸引客源将《我和我的祖国》票价调整为比A影院的票价低a%但不低于50元，结果B影院当天的观影人数比A影院的观影人数多了2a%，经统计，当日A、B两个影院《我和我的祖国》的票房总收入为505200元，求a的值．25．如图，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，E为对角线AC上一点，且AE＝AB，F为CE 的中点，接DF、BF，BG⊥BF与AC交于点G；（1）若AB＝2，求EF的长；（2）求证：CG﹣EF＝BG．26．如图，二次函数y＝﹣x2+x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C．（1）若点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P，垂足为F，当PE﹣2EF取得最大值时，在抛物线y的对称轴上找点M，在x轴上找点N，使得PM+MN+NB 的和最小，若存在，求出该最小值及点N的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在（1）的条件下，若点P′为点P关于x轴的对称点，将抛物线y沿射线BP′的方向平移得到新的抛物线y′，当y′经过点A时停止平移，将△BCN沿CN边翻折，点B 的对应点为点B′，B′C与x轴交于点K，若抛物线y′的对称轴上有点R，在平画内有点S，是否存在点R、S使得以K、B′、R、S为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．2【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．【解答】解：2的相反数是﹣2．故选：A．2．图中立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的三视图，即可解答．【解答】解：根据图形可得俯视图为：故选：B．3．为了调查某校初三年级学生的数学学习情況；以下样本最具代表性的是（）A．该年级篮球社团的学生B．该年级部分女学生C．该年级跑步较快的学生D．从每个班级中，抽取学号为10的整数倍的学生【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．【解答】解：根据样本要随机，不能抽查特定人群，所以A、B、C选项中的抽查方式不具备随机性，D选项抽查方式具有随机性，因此最具有代表性；故选：D．4．若△ABC∽△DEF，相似比为4：3，则△ABC与△DEF对应的中线之比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比计算．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为4：3，∴△ABC与△DEF对应的中线之比为4：3，故选：A．5．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为m、n，则一次函数y＝（m+n）x+mn的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用根与系数的关系可得出m+n＝2，mn＝﹣1，结合一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝（m+n）x+mn的图象经过第一、三、四象限，此题得解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为m、n，∴m+n＝2，mn＝﹣1，∴一次函数y＝（m+n）x+mn的图象经过第一、三、四象限．故选：B．6．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+x﹣3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＝y1＜y2B．y3≤y2≤y1C．y2＜y1＝y3D．y1＜y2＜y3【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x＝，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2，y3的大小关系．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+x﹣3＝﹣（x﹣）2﹣，∴对称轴为x＝，∵a＜0，∴x＜时，y随x增大而增大，∵（3，y3）关于对称轴的对称点为（﹣2，y3）∴y3＝y1＜y2．故选：A．7．估计÷﹣1的计算结果应在（）A．2和2.5之间B．2.5和3之间C．3和3.5间D．3.5和4之间【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算进而估算的取值范围，进而得出答案．【解答】解：÷﹣1＝﹣1，∵3＜＜3.5，∴2＜﹣1＜2.5，故选：A．8．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，解得k≤0且k≠﹣1．故选：D．9．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为8的是（）A．x＝﹣3，y＝1 B．x＝﹣2，y＝﹣2 C．x＝，y＝﹣D．x＝﹣3，y＝【分析】将各项中的x与y代入运算程序中计算即可．【解答】解：当x＝﹣3，y＝1时，x2+y2＝9+1＝10，当x＝﹣2，y＝﹣2时，x2+y2＝4+4＝8，当x＝，y＝﹣时，x2+y2＝2+2＝4，当x＝﹣3，y＝﹣时，x2+y2＝18+2＝20．故选：B．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．下列说法，其中正确的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c＜0；④b﹣c＞2aA．①②B．①③④C．②④D．①②④【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），其对称轴为直线x ＝1，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0）和（﹣1，0），且b＝﹣2a，由图象知：a＜0，c＞0，b＞0，b2﹣4ac＞0，∴abc＜0故结论①②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故结论③错误；∵a﹣b+c＝0，a＜0，∴2a﹣b+c＜0，∴b﹣c＞2a，故结论④正确；故结论正确的有①②④，故选：D．11．如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程﹣＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．13 B．15 C．20 D．22【分析】根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．【解答】解：原不等式组的解集为﹣＜x≤，因为不等式组有且仅有四个整数解，所以0≤＜1，解得2≤m＜7．原分式方程的解为y＝，因为分式方程有非负数解，所以≥0，解得m＞1，且m≠5，因为m＝5时y＝2是原分式方程的増根．所以符合条件的所有整数m的和是2+3+4+6＝15．故选：B．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD 交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A．B．C．3 D．【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH＝AC＝1，AH＝CH＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH＝CH＝1．得出DE＝EH ﹣HD＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝1，BM＝AM ＝．由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH＝AC＝1，AH＝CH＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝．∴△ABE的面积＝AE×BM＝×（1+）×＝；故选：B．二．填空题（共6小题）13．计算：（π﹣2019）0+（﹣）3＝．【分析】直接利用零指数幂的性质结合有理数的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：（π﹣2019）0+（﹣）3＝1﹣＝．故答案为：．14．2019年10月7日统计，国庆假期重庆迎外地游客人数达到38590000次，38590000科学记数法表示为 3.859×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：38590000＝3.859×107，故答案为：3.859×107．15．已知点A（a，2019）与点A′（﹣2020，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为 1 ．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值进而得出答案．【解答】解：∵点A（a，2019）与点A′（﹣2020，b）是关于原点O的对称点，∴a＝2020，b＝﹣2019，∴a+b＝1．故答案为：1．16．如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其它因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为100 cm．【分析】根据题意可证明出△ABC∽△CDB，利用相似三角形的性质解答．【解答】解：∵AB⊥BD，AC⊥AB，∴AC∥BD．∴∠ACB＝∠DBC．∵∠A＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△CDB．∴＝，∴BC2＝AC•BD，在Rt△ABC中，BC2＝AC2+AB2＝102+302＝1000，∴10BD＝1000．∴BD＝100（cm）．故答案为100．17．小蒲家与学校之间是一条笔直的公路，小蒲从家步行前往学校的途中发现忘带作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小蒲沿原路返回，两人相遇后，小蒲立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，小蒲到达学校刚好比妈妈到家晩了2分钟．若小蒲步行的速度始终不变，打电话和交接作业本的时间忽略不计，小蒲和妈妈之间的距离y米与小蒲打完电话后步行的时间x分钟之间的函数关系如图所示；则相遇后妈妈返回家的速度是每分钟50 米．【分析】由图象列出方程组，即可求解．【解答】解：设相遇后妈妈返回家的速度是每分钟x米，小蒲的速度为每分钟y米，由题意得：解得：∴相遇后妈妈返回家的速度是每分钟50米．18．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，毎箱的成本分别为箱中A、B、C三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg、3kg、1kg，乙种方式每分別裳A、B、C三种水果2kg、6kg、2kg，甲每箱的总成本是每千克A成本的15倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%；丙每箱在成本上提高40%标价后打八折销售获利为每千克A 成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：1：5时，则销售的总利润率为17.8% ．【分析】分别设每千克A、B、C三种水果的成本为x、y、z，设丙每箱成本为m，然后根据题意将甲、乙、丙三种方式的每箱成本和利润用x表示出来即可求解．【解答】解：设每千克A、B、C三种水果的成本分别为为x、y、z，依题意得：6x+3y+z＝12.5x，∴3y+z＝6.5x，∴每箱甲的销售利润＝12.5x•20%＝2.5x乙种方式每箱成本＝2x+6y+2z＝2x+13x＝15x，乙种方式每箱售价＝12.5x•（1+20%）÷（1﹣25%）＝20x，∴每箱乙的销售利润＝20x﹣15x＝5x，设丙每箱成本为m，依题意得：m（1+40%）•0.8﹣m＝1.2x，解得m＝10x．∴当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：1：6时，总成本为：12.5x•2+15x•1+10x•5＝90x，总利润为：2.5x•2+5x+1.2x•5＝16x，销售的总利润率为×100%≈17.8%，故答案为：17.8%．三．解答题（共8小题）19．解方程：（1）2x2﹣x﹣1＝0（2）3（x﹣3）2＝4（x﹣3）【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×2×（﹣1）＝11，x＝，x1＝，x2＝；（2）移项得：3（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0，（x﹣3）[3（x﹣3）﹣4]＝0，x﹣3＝0，3（x﹣3）﹣4＝0，x1＝3，x2＝．20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB中点，连CD，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF ⊥ED的延长线于F．（1）若∠B＝25°，求∠ADC的度数；（2）求证：DF＝DE．【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论；（2）根据矩形的判定定理得到四边形ACEF是矩形，由矩形的性质得到CE＝AF，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，点D是AB中点，∴CD＝BD＝AB，∴∠DCB＝∠B＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°；（2）∵DE⊥BC，AF⊥ED，∴∠ACB＝∠F＝∠CEF＝90°，∴四边形ACEF是矩形，∴CE＝AF，∵DE⊥BC，CD＝BD，∴CE＝BE，∴AF＝BE，在△AFD与△BED 中，∴△AFD≌△BED（AAS），∴DF＝DE．21．我校初二体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多．为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整下题表格．收集数据：从选择篮球和排球的学生各随机抽取10人，进行了测试，测试成绩如下：排球9 9.5 9 9 8 10 9.5 8 4 9.5篮球9.5 9.5 8.5 8.5 10 9.5 6 8 6 9整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：（说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格．）分折数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：应用数据（1）填空：a＝9 ，b＝9.5 ．（2）初三年级的小伟和小明看到上面数据后，小伟说：排球项目整体水平较高：小明说：篮球项目整体水平较高．你同意小伟的看法，理由为：①排球成绩的平均数较高；②排球成绩的中位数较大．（从两个不同的角度说明推理的合理性）（3）如果初二年级有180人选排球项目，请信计该年级排球项目获得优秀的人数．【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可；（2）通过平均数、中位数两个方面进行比较得出结论，（3）样本估计总体，样本中优秀占，因此估计180人中有的人得优秀．【解答】解：（1）篮球成绩从大到小排序后处于第5、6为的都是9，因此篮球成绩的中位数a＝9分，排球成绩为9.5分出现次数最多，是3次，因此排球成绩的众数为b＝9.5分；故答案为：9，9.5．（2）小伟，①排球成绩的平均数较高，②排球成绩的中位数较大；故答案为：小伟，①排球成绩的平均数较高，②排球成绩的中位数较大；（3）180×＝126（人），答：该年级排球项目获得优秀的人数有126人．22．对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“终极数”，并记f（N）＝K．例如，456→4+5+6＝15→1+5＝6，∴f （456）＝6．（1）计算：f（2019）＝ 3 ．f（20192020）＝7 ．（2）有一个三位自然数M＝，已知f（M）＝4，且x＜y＜z，请求出所有满足条件的自然数M．【分析】（1）由题意直接可求；（2）由已知条件得到4＝0+4＝1+3＝2+2，即z+y+z的值为4或13或22，再结合x＜y ＜z，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2019→2+0+1+9＝12→1+2＝3，∴f（2019）＝3；20192020→2+0+1+9+2+0+2+0＝16→1+6＝7，∴f（20192020）＝7；故答案为3，7；（2）∵三位自然数M＝，f（M）＝4，∵4＝0+4＝1+3＝2+2，当4＝0+4时，x+y+z＝4，或x+y+z＝40（舍），∵x＜y＜z，∴x＝0，y＝1，z＝3，此时不符题意；当4＝1+3时，x+y+z＝13或x+y+z＝31（舍），∵x＜y＜z，∴满足条件的M为139，148，157，238，247，256，346，当4＝2+2时，x+y+z＝22，∵x＜y＜z，∴满足条件的M为589，678，综上所述，所有满足条件的M为139，148，157，238，247，256，346，589，678．23．某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对分段函数y＝的图象与性质进了探究，请补充完整以下的探索过程．（1）填空：a＝﹣1 ．b＝ 4 ．（2）①提上述表格补全函数图象；②该函数图象是关于点（1，0）对称的中心对称（横线上填轴对称或中心对称）图形．（3）若直线y＝x+t与该函数图象有三个交点，直接写出t的取值范围．【分析】（1）把（1，0），（2，1）代入y＝ax2+bx﹣3构建方程组即可解决问题．（2）画出函数图象，根据中心对称的定义即可解决问题．（3）求出直线y＝x与两个二次函数只有一个交点时t的值即可判断．【解答】解：（1）把（1，0），（2，1）代入y＝ax2+bx﹣3得到，解得，故答案为﹣1，4．（2）函数图象如图所示，该函数关于点（1，0）成中心对称，是中心对称图形．故答案为（1，0），中心对称．（3）由，消去y得到2x2﹣x﹣2﹣2t＝0，当△＝0时，1+16+16t＝0，t＝﹣，由消去y得到2x2﹣7x+2t+6＝0，当△＝0时，49﹣16t﹣48＝0，t＝，观察图象可知：当﹣＜t＜时，直线y＝x+t与该函数图象有三个交点．24．国庆期间电影《我和我的祖国》上映，在全国范围内掀起了观影狂潮．小王一行5人相约观影，由于票源紧张，只好选择3人去A影院，余下2人去B影院，已知A影院的票价比B影院的每张便宜5元，5张影票的总价格为310元．（1）求A影院《我和我的祖国》的电影票为多少钱一张；（2）次日，A影院《我和我的祖国》的票价与前一日保持不变，观影人数为4000人．B 影院为吸引客源将《我和我的祖国》票价调整为比A影院的票价低a%但不低于50元，结果B影院当天的观影人数比A影院的观影人数多了2a%，经统计，当日A、B两个影院《我和我的祖国》的票房总收入为505200元，求a的值．【分析】（1）设A影院《我和我的祖国》的电影票为x元一张，由5张影票的总价格为310得关于x的一元一次方程，求解即可；（2）当日A、B两个影院《我和我的祖国》的票房总收入为505200元，得关于a的方程，再设a%＝t，得到关于t的一元二次方程，解得t，然后根据题意对t的值作出取舍，最后得a的值．【解答】解：（1）设A影院《我和我的祖国》的电影票为x元一张，由题意得：3x+2（x+5）＝310∴3x+2x＝300∴x＝60答：A影院《我和我的祖国》的电影票为60元一张；（2）由题意得：60×4000+60（1﹣a%）×4000（1+2a%）＝505200化简得：2400（1﹣a%）（1+2a%）＝2652设a%＝t，则方程可化为：2t2﹣t+0.105＝0解得：t1＝15%，t2＝35%∵当t1＝15%时，60×（1﹣15%）＝51＞50；当t2＝35%时，60×（1﹣35%）＝39＜50，故t1＝15%符合题意，t2＝35%不符合题意；∴当t1＝15%时，a＝15．答：a的值为15．25．如图，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，E为对角线AC上一点，且AE＝AB，F为CE 的中点，接DF、BF，BG⊥BF与AC交于点G；（1）若AB＝2，求EF的长；（2）求证：CG﹣EF＝BG．【分析】（1）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出∠BAD＝∠BCD＝60°，AC⊥BD，OB ＝OD，OA＝OC，∠OAB＝∠BAD＝30°，由直角三角形的性质得出OB＝AB＝1，OA＝OB ＝，得出AC＝2OA＝2，求出CE＝AC﹣AE＝2﹣2，即可得出答案；（2）设AB＝2a，同（1）得OB＝AB＝a，OA＝OB＝a，得出AC＝2OA＝2a，求出CE＝AC﹣AE＝（2﹣2）a，OE＝AE﹣OA＝（2﹣）a，得出OF＝OE+EF＝a，得出OB＝OF，证出△BOF是等腰直角三角形，得出∠BFG＝45°，证明△BFG是等腰直角三角形，得出GF＝BG，即可得出结论．【解答】（1）解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠OAB＝∠BAD＝30°，∴OB＝AB＝1，OA＝OB＝，∴AC＝2OA＝2，∵AE＝AB＝2，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵F为CE的中点，∴EF＝CE＝﹣1；（2）证明：设AB＝2a，同（1）得：OB＝AB＝a，OA＝OB＝a，∴AC＝2OA＝2a，∵AE＝AB＝2a，∴CE＝AC﹣AE＝（2﹣2）a，OE＝AE﹣OA＝（2﹣）a，∵F为CE的中点，∴EF＝CE＝（﹣1）a，∴OF＝OE+EF＝（2﹣）a+（﹣1）a＝a，∴OB＝OF，∵AC⊥BD，∴△BOF是等腰直角三角形，∴∠BFG＝45°，∵BG⊥BF，∴△BFG是等腰直角三角形，∴GF＝BG，∵GF＝CG﹣CF＝CG﹣EF，∴CG﹣EF＝BG．26．如图，二次函数y＝﹣x2+x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C．（1）若点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P，垂足为F，当PE﹣2EF取得最大值时，在抛物线y的对称轴上找点M，在x轴上找点N，使得PM+MN+NB 的和最小，若存在，求出该最小值及点N的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在（1）的条件下，若点P′为点P关于x轴的对称点，将抛物线y沿射线BP′的方向平移得到新的抛物线y′，当y′经过点A时停止平移，将△BCN沿CN边翻折，点B 的对应点为点B′，B′C与x轴交于点K，若抛物线y′的对称轴上有点R，在平画内有点S，是否存在点R、S使得以K、B′、R、S为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过点B作直线HB与x轴的夹角为45°，则直线HB的表达式为：y＝x﹣12，过点C作CH⊥BH于点H，交函数对称轴于点M，交x轴于点N，则点N为所求，即可求解；（2）分B′K为菱形的一条边、B′K为菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C，则点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（12，0）、（0，6），则直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，设点P（x，﹣x2+x+6），则点E（x，﹣x+6），PE﹣2EF＝y P﹣3y E＝﹣x2+x+6﹣3（﹣x+6）＝﹣x2+3x﹣12，当x＝9时，PE﹣2EF有最大值，此时，点P（9，6），即点C是点P关于函数对称轴的对称点，过点B作直线HB与x轴的夹角为45°，则直线HB的表达式为：y＝x﹣12…①，过点C作CH⊥BH于点H，交函数对称轴于点M，交x轴于点N，则点N为所求，BH＝BN，PM+MN+NB的和最小值＝CM+MN+NH＝CH即为最小值，同理直线CH的表达式为：y＝﹣x+6…②，当y＝0时，x＝6，故点N（6，0），联立①②并解得：x＝9，故点H（9，﹣3），PM+MN+NB的和最小值＝CH＝＝9；（2）存在，理由：y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，点P（9，6），则点P′（9，﹣6），则直线BP′表达式中的k值为：2，设抛物线向左平移m个单位，则向下平移2m个单位，则y′＝﹣（x﹣+m）2++2m，将点A的坐标代入上式并解得：m＝3，则y′＝﹣x2+x+3，令y′＝0，则x＝﹣3或6，故点N（6，0），函数的对称轴为：x＝，同理可得：直线CN的表达式为：y＝﹣x+6，直线BB′的表达式为：y＝x﹣12，联立上述两式并解得：x＝9，即交点坐标为：（9，﹣3），该点是点B（12，0）和点B′的中点，由中点公式可得：点B′（6，﹣6），同理可得：直线CB′的表达式为：y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点K（3，0），设点S（m，n），点R（，s），而点B′、K的坐标分别为：（12，0）、（3，0）；①当B′K为菱形的一条边时，点K向右平移3个单位向下平移6个单位得到B′，同样，点R（S）向右平移3个单位向下平移6个单位得到S（R），即+3＝m，s﹣6＝n或﹣3＝m，s+6＝n，且KR＝B′R，即（6﹣）2+（s+6）2＝（）2+s2，解得：m＝或﹣，n＝﹣或，即点S的坐标为：（，﹣）或（﹣，）；②当B′K为菱形的一条对角线时，由中点公式得：6+3＝m+，s﹣6＝n，且KR＝B′R，即（6﹣）2+（s+6）2＝（）2+s2，解得：m＝，故点P（，﹣）．。

浙江省杭州市锦绣育才教育集团2022-2023学年九年级上学期期中试英语

锦绣育才教育集团2022-2023学年九年级上学期英语期中试题第I卷第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题，每小题2分，满分10分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小愿。

从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有1秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题，每段对话仅读一遍。

1.What is the sweater made of?A.Paper.B.Silk.C.Cotton.2.What's the relationship between the two speakers?A.Doctor and patient.B.Friends.C Mother and son.3.Where may Alice's Dew classmate be from?A.Germany.D Japan.C.China.4.What does Dale's uncle do?A.A policeman.B.A guideC.A reporter.5.What are they talking about?A.Chinese clay.B.Sky lanterns.C.Paper cutting.第二节(共10小题，每小题2分，满分20分)听下面3段对话成独自。

每段对话成独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置，听每段对话成独白前，你有时间阅读各小题，每小题5秒钟。

听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听下面一段对话，回答第6至第8三个小题。

6.What is Li Ming like now?A.He is shortB He is outgoing.C.He is silent7.What did Li Ming always do when he was a student according to Mr. Zhang?A.Being late for school.B.Fighting with classmates.C.Not finishing homework on time.8.When does Li Ming get up every morning?A.At 8.00.B.At 6:45.C.At 6:15.听下面一对话，回答第9至第11三个小题。

广东省广州市育才实验中学九年级数学上学期期中试题(无答案) 新人教版

九年级数学试卷（问卷）说明：1．本试卷分为选择题部分和非选择题部分，全卷共三大题25小题，共150分．考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用2B 铅笔涂在答题卡上．3．本卷分“问卷”和“答卷”，本试卷选择题部分必须填在答题卡上，否则不给分；非选择题部分的试题，学生在解答时必须将答案写在“答卷”上指定的位置（方框）内，写在其他地方答案无效，“问卷”上不可以用来答题；4．不准使用计算器。

一、选择题（本大题每题3分，共30分） 1、如果代数式1-x x有意义，那么x 的取值范围是（ ） A 、0≥x B 、1≠x C 、0>x D 、10≠≥x x 且 2、平面直角坐标系内一点P （－2,3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A 、（3，－2） B 、（2,3） C 、（－2，－3） D 、（2，－3） 3、下列图形中，是中心对称的图形有（ ）①正方形 ； ②长方形 ； ③等边三角形； ④线段； ⑤锐角； ⑥平行四边形。

A 、5个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、化简a1a -的结果是（ ） A 、a - B 、a C 、-a - D 、-a5、关于x 的二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或-1 D 、216、k 为实数，则关于x 的方程2(21)10x k x k +++-=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根第8题图C ．没有实数根D ．无法确定7、把抛物线y ＝2x 2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A ．y ＝2(x+3)2+4 B ．y ＝2(x+3)2－4 C ．y ＝2(x －3)2－4 D ．y ＝2(x －3)2+48、函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么一元二次方程ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根9、二次函数y=(x －3)(x ＋2)的图象的对称轴是（ ）A ．x=3．B ．x=－2．C ．x=12-D ．x=12． 10、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题每题3分，共18分） 11、实数p 在数轴上的位置如图所示， 化简=-+-22)2()1(p p ______________. 12、188-= .13、点P （2，3）绕着原点逆时针方向旋转90o 与点P /重合，则P /的坐标为 .14、若1x ，2x 是方程210x x +-=的两个根，则2212x x +=___________.15抛物线2)3(94-=x y 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，则△AOB 的面积为 . 16、某二次函数的图象与x 轴交于点(－1，0)，(4，0)，且它的形状与抛物线y ＝－x 2形状相同。

2022-2023学年四川省成都七中育才学校九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年四川省成都七中育才学校九年级（上）期中数学试卷1. 若3x=2y(y≠0)，则下列比例式成立的是( )A. x3=2yB. x2=y3C. yx=23D. y3=2x2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB=45，则AC的长为( )A. 9B. 10C. 12D. 133. 关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A. a≤1B. a<1C. a≤1且a≠0D. a<1且a≠04. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，下列说法错误的是( )A. 若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形B. 若AC=BD，四边形ABCD是矩形C. 若AC⊥BD且AC=BD，四边形ABCD是正方形D. 若∠ABC=90°，四边形ABCD是正方形5. 点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC)，且AB=2，则AC的长为( )A. 2√5−2B. √5−2C. √5−1D. 3−√56. 如图，AD//BE//FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果AB=4，AC=9，那么DE的值是( )EFA. 49B. 59C. 45D. 547. 某服装公司今年10月的营业额为200万元，按计划第四季度的总营业额要达到900万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为( )A. 200(1+x)2=900B. 200[1+(1+x)+(1+x)2]=900C. 200[1+x+(1+x)2]=900D. 900(1+x)2=2008. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，D在BC边上，∠ADE=∠B，CD=4，若△ABD的面积等于9，则△CDE的面积为( )A. 4B. 2C. 3D. 69. 因式分解：x2−4=______．10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AB=9，BC=6，则BD的长为______．11. 若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个根为x=1，则m的值为______．12. 如图所示，某河提的横断面是梯形ABCD，BC//AD，迎水坡AB长13米，且AB边的坡度，则河堤的高BE为______米．为12513. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点别以点C，E为圆心、大于12F，∠CBE=60°，BC=6，则BF的长为______．14. (1)计算|√3−2|+√12−6sin30°+(−1)−1；2(2)解方程x2−6x+8=0．15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别是A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)．(1)作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△A2B2C2，使它与原三角形相似比为2：1；(3)求△A2B2C2的面积．16. 根据国家教育部的教育方针：培养德智体美劳全面发展的优秀人才，七中育才中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《我爱川菜》开课以来引起讨论热潮，九年级1班数学兴趣小组对本班同学对《我爱川菜》的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：(1)九年级1班共有学生______名，扇形统计图中C类所在扇形的圆心角度数为______；(2)九年级共有学生5600人，请根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？(3)九年级1班周末准备举行秋游活动，某小组在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，想从中随机抽取两名同学担任“秋游主厨”，用画树状图成列表的方法求出抽到的一男一女的概率．17. 七中育才中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走7米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上．(1)求∠ABC的度数；(2)求新教学楼OB的高度．(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，结果精确到0.1m)．18. 如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在BC上，连接CE．(1)如图1，当ACAB =AEAD=1时，则线段BD与线段CE的数量关系是______，位置关系是______；(2)如图2，当ACAB =AEAD=3时，请猜想线段BD与线段CE的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)如图3，在(2)的条件下，连接BE，分别取线段BE，DE的中点M，N，连接MN，MC，NC，若AB=√10，∠ADB=60°，求出△MNC的面积．19. 已知x=2y+1，则代数式x2−4xy+4y2的值为______．20. 若a，b是一元二次方程x2−2x−1=0的两个实数根，则a2+2b−ab的值是______．21. 有六张除数字外都相同的卡片，分别写有−1，0，1，2，3，4这六个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的方程1+ax+1=ax−3有解的概率是______．22. 如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点O是AC中点，在△DEF中，∠F=90°，∠DEF=30°，DE=AC，将DE与AC重合，如图2，再将△DEF绕点O顺时针旋转60°，AB与EF 相交于点G，与DE相交于点H，若AG=2，则GH的长是______．23. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，E是AC上一个动点，连接DE，过点C作AC的垂线l，过点D作DF⊥DE交l于点F，过点D作DG⊥EF于点G，tan∠EDG=√2，点H是AD中点，连接HE，则HE+√6EC的最小值为______．324. 红旗连锁超市通过收集、整理、分析数据后发现，某商品的日销量y(单位：克)与销售单价x(单位：元/克)满足一次函数的关系，部分数据如表：(1)求y关于x的函数关系式；(2)若该商品成本为15元/克，为尽量让顾客受惠，请问该商品的销售单价为每克多少元时，每日盈利200元？销售单价x(元/克22.52535.540)销售量y(克)22.5209.5525. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=1x+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，以2AB为边作矩形ABCD，点C落在x轴正半轴上．(1)求矩形ABCD的面积；(2)点E在直线AB上，连接DE，点F在直线DE上，∠CFD=90°．①当F点为DE中点时，求E点坐标；②当BE=BF时，求线段BE的长．26. 在菱形ABCD中，BC=5，cos∠ABD=4，动点M从B点出发沿线段BD以每秒钟1个单位5的速度向D点运动(到达D点后停止)，设点M运动时间为t，将点A绕着点M顺时针旋转90°，得到对应点A′，连接A′M，MC．(1)如图1，求证：A′M=MC；(2)如图2，连接AC，若△ACM与△A′DM相似，求t的值；(3)若点C关于直线A′M的对称点C′在菱形的边上，请直接写出t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A 、由x3=2y 得，xy =6，故本选项比例式不成立； B 、由x2=y3得，3x =2y ，故本选项比例式成立； C 、由yx =23得，2x =3y ，故本选项比例式不成立；D 、由y 3=2x 得，xy =6，故本选项比例式不成立． 故选：B ．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：在Rt △ABC 中， ∵AB =15，cosB =BC BA=45，∴BC =12． ∴AC =√AB 2−BC 2 =√152−122 =9． 故选：A ．先利用直角三角形的边角间关系求出BC ，再利用勾股定理求出AC ．本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】解：根据题意得a ≠0且△=(−2)2−4a >0， 解得a <1且a ≠0． 故选：D ．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a ≠0且△=(−2)2−4a >0，然后求出两不等式的公共部分即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．4.【答案】D【解析】解：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，A、若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、若AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、若AC⊥BD且AC=BD，则平行四边形ABCD是正方形，故选项C不符合题意；D、若∠ABC=90°，则平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可．本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及正方形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：根据题意得AC=√5−12AB=√5−12×2=√5−1．故选：C．根据黄金分割的定义可得到AC=√5−12AB，然后把AB=2代入计算即可．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=√5−12≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．6.【答案】C【解析】解：∵AD//BE//FC，AB=4，AC=9，∴DE EF =ABBC=49−4=45，故选：C．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、准对应关系是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵该服装公司今年10月的营业额为200万元，该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，∴该服装公司今年11月的营业额为200(1+x)万元，12月的营业额为200(1+x)2万元．根据题意得：200+200(1+x)+200(1+x)2=900，即200[1+(1+x)+(1+x)2]=900．故选：B．由该服装公司今年10月的营业额及该公司11，12两个月营业额的月均增长率，可得出该服装公司今年11月的营业额为200(1+x)万元，12月的营业额为200(1+x)2万元，结合该服装公司第四季度的总营业额要达到900万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：过点D作DM⊥AB于M，过点E作EN⊥BC于N，∵AB=AC=6，∴∠B=∠C，∵∠ADE=∠B，∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE．∴AB DC =DMEN，∵△ABD的面积等于9，∴1 2AB⋅DM=12×6×DM=9，∴DM=3，∴6 4=3EN，∴EN=2．∴△CDE的面积为12CD⋅EN=12×4×2=4，故选：A．过点D作DM⊥AB于M，过点E作EN⊥BC于N，根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C，再由三角形的外角定理推出∠DAB=∠EDC，从而得出△ABD∽△DCE，根据相似三角形的性质求出EN，即可求解．本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用等腰三角的性质及相似三角形的判定和性质求解是解题的关键．9.【答案】(x+2)(x−2)【解析】解：x2−4=(x+2)(x−2)．故答案为：(x+2)(x−2)．直接利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．10.【答案】4【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=√AB2−BC2=√92−62=3√5，∵S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AC，∴CD=BC⋅ACAB =6×3√59=2√5，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD=√AC2−CD2=√45−20=5，∴BD=AB−AD=9−5=4，故答案为：4．根据勾股定理求出AC的长，再根据等面积法求出CD的长，再由勾股定理得出AD的长即可推出结果．本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11.【答案】1【解析】解：把x=1代入方程x2−2x+m=0得1−2+m=0，解得m=1．故答案为：1．把x=1代入方程x2−2x+m=0得1−2+m=0，然后解关于m的方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12.【答案】12，得：【解析】解：由已知斜坡AB的坡度125BE：AE=12：5，设AE=5x米，则BE=12x米，在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：132=5x2+(12x)2，即169x2=169，解得：x=1或x=−1(舍去)，5x=5，12x=12即河堤高BE等于12米．故答案为：12．，可得到BE、AE的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的长，由此得由已知斜坡AB的坡度125解．本题主要考查的是坡度的定义和勾股定理的应用，解题的关键是从图中抽象出直角三角形，难度不大．13.【答案】6√3【解析】解：由作法得BE=BC=6，BF平分∠CBE，∠CBE=30°，∴∠CBF=∠EBF=12∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∴∠F=∠CBF，∴∠F=∠EBF=30°，∴BE=FE，过E点作EH⊥BF于H，如图，则BH=FH，BE=3，在Rt△BEH中，∵EH=12∴BH=√3EH=3√3，∴BF=2BH=6√3．故答案为6√3．利用基本作图得到BE=BC=6，BF平分∠CBE，则∠CBF=∠EBF=30°，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明∠F=∠EBF=30°，所以BE=FE，过E点作EH⊥BF于H，如图，则BH= FH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BH，从而得到BF的长．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．14.【答案】解：(1)|√3−2|+√12−6sin30°+(−1)−12+(−2)=2−√3+2√3−6×12=√3−3；(2)x2−6x+8=0，∴(x−2)(x−4)=0，∴x−2=0或x−4=0，∴x1=2，x2=4．【解析】(1)根据特殊角的三角函数，绝对值的性质，二次根式的性质，负整数指数幂进行计算即可；(2)根据因式分解法解一元二次方程即可．本题考查了解一元二次方程，二次根式，特殊角的三角函数，负整数指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．15.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；(2)如图，△A2B2C2为所作；(3)△A2B2C2的面积=4×4−12×4×2−12×2×2−12×4×2=6．【解析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)把A、B、C的坐标都乘以−2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；(3)把三角形的面积转化为正方形与四个直角三角形面积之差进行计算便可．本题考查了轴对称变换，三角形的面积，位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．16.【答案】40108°【解析】解：(1)九年级1班共有学生为：4÷10%=40(名)，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×1240=108°，故答案为：40，108°；(2)D类的人数有：40−4−40×45%−12=6(人)，估计九年级学生选择D类大约有5600×640=840(人)，答：估计九年级学生选择D类的大约有840人；(3)画树状图如下：所有等可能的结果共有12种，其中抽到的一男一女的结果数为8，∴抽到的一男一女的概率为：812=23．(1)根据A的人数和所占的百分比求出九年级1班的人数，再用360°乘以C类所占的百分比即可求出C类所在扇形的圆心角度数；(2)用该校的总人数乘以D类所占的百分比即可得出答案；(3)画树状图，得出所有等可能的结果为12种，其中抽到的一男一女的结果为8种，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：(1)∵∠BCO是△ABC的外角，∴∠ABC=∠BCO−∠A=55°−45°=10°；(2)在Rt△AOB中，∠A=45°，则OA=OB，∵AC=7米，∴OC=(OB−7)米，在Rt△COB中，∠BCO=55°，∵tan∠BCO=OBOC，∴OBOB−7=1.43，解得：OB≈23.3，答：新教学楼OB的高度约为23.3米．【解析】(1)根据三角形的外角性质计算，得到答案；(2)根据等腰直角三角形的性质得到OA=OB，根据正切的定义列出方程，解方程求出OB．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．18.【答案】BD=CE BD⊥CE【解析】解：(1)∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，又∵ACAB =AEAD=1，∴△ABD∽△ACE，∴BD CE =AEAD=1，∠B=∠ACE，∴BD=CE，∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=90°，∴BD⊥CE，故答案为：BD=CE，BD⊥CE；(2)CE=3BD，BD⊥CE，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，又∵ACAB =AEAD=3，∴△ABD∽△ACE，∴CE BD =AEAD=3，∠B=∠ACE，∴CE=3BD，∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=90°，∴BD⊥CE；(3)如图3，过点A作AH⊥BC于H，∵ACAB=3，AB=√10，∴AC=3√10，∴BC=√AB2+AC2=√10+90=10，∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AH，∴AH=√10×3√1010=3，∴BH=√AB2−AH2=√10−9=1，∵∠ADB=60°，AH⊥BC，∴∠DAH=30°，∴AH=√3DH，∴DH=√3，∴BD=1+√3，∵CE=3BD，∴CE=3+3√3，∴S△BDE=12×BD×CE=6+3√3，∵点M是BE的中点，点N是DE的中点，∠BCE=90°，∴CM=12BE，CN=12DE，MN=12BD，∴MN BD =CNDE=CMBE=12，∴△MNC∽△BDE，∴S△MNC S△BDE =14，∴S△MNC=14×(6+3√3)=6+3√34．(1)通过证明△ABD∽△ACE，可得∠B=∠ACE，BD=CE，可得结论；(2)通过证明△ABD∽△ACE，可得∠B=∠ACE，BD=3CE，可得结论；(3)先求出三角形BDE的面积，通过证明△MNC∽△BDE，可得S△MNCS△BDE =14，即可求解．本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质，灵活运用性质相似三角形的性质是解题的关键．19.【答案】1【解析】解：∵x=2y+1，∴x−2y=1．∴(x−2y)2=1．∴x2−4xy+4y2=1．故答案为：1．根据完全平方公式解决此题．本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．20.【答案】6【解析】解：∵a是一元二次方程x2−2x−1=0的实数根，∴a2−2a−1=0，∴a2−2a=1．∵a，b是一元二次方程x2−2x−1=0的两个实数根，∴a+b=2，ab=−1，∴a2+2b−ab=(a2−2a)+2(a+b)−ab=1+2×2−(−1)=6．故答案为：6．利用一元二次方程的解，可得出a2−2a=1，利用根与系数的关系，可得出a+b=2，ab=−1，再将其代入a2+2b−ab=(a2−2a)+2(a+b)−ab中，即可求出结论．本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出a2−2a=1，a+b=2，ab=−1是解题的关键．21.【答案】23【解析】解：∵1+ax+1=ax−3，∴(1+a)(x−3)=a(x+1)，∴x=4a+3，∵x≠−1且x≠3，∴a≠−1且a≠0，∴使分式方程有解的a的值有4个，∴使关于x的方程1+ax+1=ax−3有解的概率是46=23．故答案为：23．解分式方程得出x=4a+3，根据分式方程有解得出a≠−1且a≠0，再利用概率公式即可得出答案．本题考查了分式方程的解、概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．22.【答案】4−2√3【解析】解：如图，设EF与AC交于点N，过点H作HP⊥AC于P，∵将△DEF绕点O顺时针旋转60°，∴∠AOE=60°，AO=OE，∵∠DEF=30°，∴∠ONE=90°，∴ON=12OE=12OA，∴ON=NA，∵∠BAC=45°，∠ANE=90°，∴∠BAC=∠AGN=45°，∴AN=NG，∴AG=√2AN=2，∴NA=√2，∴OA=2√2，∵∠BAC=45°，PH⊥AO，∠AOE=60°，∴AP=PH，PH=√3OP，∴AH=√2AH，∵OP+AP=OA=2√2，∴OP+√3OP=2√2，∴OP=√6−√2，∴AP=3√2−√6，∴AH=6−2√3，∴GH=4−2√3，故答案为：4−2√3．由旋转的性质和直角三角形的性质求出AH的长，即可求解．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．23.【答案】5√23【解析】解：在矩形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵CF⊥EC于点C，∴∠ECF=90°，∴∠ECD∠DCF=90°，∴∠DAC=∠DCF，∴△ADE∽△CDF，∴AD：CD=DE：DF，∵∠ADC=∠EDF=90°，∴△ADC∽△EDF，∴∠DAC=∠DEG，∵DG⊥EF于点G，∴∠EDG+∠DEG=90°，∵∠DAC+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠EDG，∴tan∠BAC=tan∠DEF=√2，即BC：AB=√2，∵AB=2，∴BC=2√2，∴AC =2√3， ∴sin∠BAC =√63． 如图，作AC 的垂直平分线TL ，交AB 的延长线于点T ，连接TC ，过点E 作EQ ⊥CT 于点Q ， ∴AT =CT ，∴∠BAC =∠ACT ，即sin∠ACT =sin∠BAC =√63． ∴EQ =√63EC ．∴HE +√63EC =HE +EQ ，∴求HE +√63EC 的最小值，即为求HE +EQ 的最小值，过点H 作HJ ⊥CT 于点J ，HJ 即为所求最小值．设BT =x ，则AT =TC =2+x ，在Rt △BTC 中，由勾股定理可知，x 2+(2√2)2=(x +2)2，解得x =1．∴AT =CT =3．如图，连接HT ，HC ，∵点H 是AD 的中点，∴AH =HD =√2，∵S △HTC =S ABCD +S △BTC −S △AHT −S △CDH ，∴12HJ ⋅TC =AB ⋅BC +12BT ⋅BC −12AT ⋅AH −12DH ⋅CD ，即12HJ ⋅3=2×2√2+12×1×2√2−12×3×√2⋅−12×√2×2. 解得HJ =5√23． 故答案为：5√23． 根据题意可得，△ADE∽△CDF ，所以AD ：CD =DE ：DF ，结合∠ADC =∠EDF =90°，可得△ADC∽△EDF ，由等角的余角相等可知，∠BAC =∠EDG ，所以tan∠BAC =tan∠DEF =√2，即BC ：AB =√2，可得sin∠BAC =√63.作AC 的垂直平分线TL ，交AB 的延长线于点T ，连接TC ，过点E 作EQ ⊥CT 于点Q ，所以AT =CT ，素以∠BAC =∠ACT ，即sin∠ACT =sin∠BAC =√63.所以EQ =√63EC.求HE +√63EC的最小值，即为求HE +EQ 的最小值，过点H 作HJ ⊥CT 于点J ，HJ 即为所求最小值．设BT =x ，则AT =TC =2+x ，先根据勾股定理可得出x =1，所以AT =CT =3.由S △HTC =S ABCD +S △BTC −S △AHT −S △CDH ，可求得HJ 的长度．本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，将所求目标转化为求垂线段的长度是解题关键．24.【答案】解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y =kx +b(k ≠0)，将(22.5,22.5)，(25,20)代入y =kx +b 得：{22.5k +b =22.525k +b =20， 解得：{k =−1b =45， ∴y 关于x 的函数关系式为y =−x +45．(2)根据题意得：(x −15)(−x +45)=200，整理得：x 2−60x +875=0，解得：x 1=25，x 2=35，又∵要尽量让顾客受惠，∴x =25．答：该商品的销售单价应为每克25元．【解析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出y 关于x 的函数关系式；(2)利用总利润=每克的销售利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合要尽量让顾客受惠，即可得出该商品的销售单价应为每克25元．本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)利用待定系数法，求出一次函数解析式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．25.【答案】解：(1)当y =0时，12x +2=0，解得：x =−4，∴A(−4,0)，当x =0时，y =2，∴B(0,2)，∴OA =4，OB =2，在Rt △AOB 中，AB =√OA 2+OB 2=√42+22=2√5，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，即∠ABO+∠CBO=90°，∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBO=∠BAO，∵∠BOC=∠AOB=90°，∴△BOC∽△AOB，∴OC OB =OBOA，即OC2=24，∴OC=1，∴BC=√OB2+OC2=√22+12=√5，C(1,0)，∴S矩形ABCD=AB⋅BC=2√5×√5=10；(2)①如图1，连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AB=CD=2√5，∴D(−3,−2)，设E(t,12t+2)，则CE2=(t−1)2+(12t+2)2=54t2+5，∵∠CFD=90°，∴CF⊥DF，∵F点为DE中点，∴CE=CD，即CE2=CD2，∴54t2+5=(2√5)2，解得：t=±2√3，∵点E在直线AB上，∴点E的坐标为(−2√3,2−√3)或(2√3,2+√3)；②∵∠CFD=90°，∴点F在以CD为直径的圆上运动，∵四边形ABCD是矩形，AD=√5，BC=2√5，∴AB与以CD为直径的圆相切于AB的中点，当点E在线段AB上时，如图2，∵BE=BF，∴点E与点F重合，AB=√5；∴BE=12当点E在线段BA的延长线上时，如图3，连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，∴∠DAE=90°，∵BE=BF，∴∠AED=∠BFE，∵∠EBC+∠CFE=90°+90°=180°，∴四边形BCFE是圆内接四边形，∴∠BFE=∠BCE，∴∠AED=∠BCE，∴△DAE∽△EBC，∴AE BC =ADBE，设BE=k(k>0)，则AE=k−2√5，∴k−2√5√5=√5k，解得：k=√5+√10或k=√5−√10(不符合题意，舍去)，∴BE=√5+√10；当点E在线段AB的延长线上时，如图4，连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，AB//CD，∴∠CBE=90°，∵∠CFD=90°，∴∠CFD=∠CBE=90°，∴四边形BECF是以CE为直径的圆的内接四边形，∴∠ECB=∠BFE，∵BE=BF，∴∠BEF=∠BFE，∴∠ECB=∠BEF，即∠ECB=∠DEA，∵∠EBC=∠DAE=90°，∴△DAE∽△EBC，∴AE BC =ADBE，设BE=t(t>0)，则AE=t+2√5，∴√5√5=√5t，解得：t=√10−√5或k=−√5−√10(不符合题意，舍去)，∴BE=√10−√5；综上所述，线段BE的长为√5或√10+√5或√10−√5．【解析】(1)先求出点A、B的坐标，利用勾股定理求得AB=2√5，再证得△BOC∽△AOB，可求得BC=√5，即可求得答案；(2)①如图1，连接CE，利用待定系数法可得直线AB的解析式为y=12x+2，设E(t,12t+2)，则CE2=(t−1)2+(12t+2)2=54t2+5，再由线段垂直平分线的性质可得CE=CD，建立方程求解即可得出答案；②分三种情况：点E在线段AB上时，点E在线段BA的延长线上时，点E在线段AB的延长线上时，分别画出图形，运用四点共圆及相似三角形的判定和性质即可求得答案．本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，直角三角形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度较大，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．26.【答案】(1)证明：如图1中，连接AC交BD于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，∴MA=MC，由旋转变换的性质可知MA=MA′，∴A′M=MC；(2)解：如图2−1中，当△ACM∽△DMA′时，∵AM=MC=MA′，∴△ACM≌△DMA′，∴AC=DM，∵AB=BC=5，∠AOB=90°，∴cos∠ABD=OBAB =45，∴OB=4，∴OA=PC=√AB2−OB2=√52−42=3，∴DM=AC=6，∵BM=BD−DM=8−6=2，∴t=2．如图2−2中，当△ACM∽△MA′D时，ACA′M =AMDM，∴√3+(t−4)=√32+(t−4)28−t，解得t=1±2√6，经检验，t=1+2√6是方程的解，且符合题意．t=1−2√6不符合题意舍弃；综上所述，满足条件的t的值为2或1+2√6．(3)如图3−1中，当点C′落在AD上时，连接CC′，设∠CMA′=∠A′MC′=α．∵MA=MC=MC′，∴∠MAC=12(180°−90°−α)=45°−12α，∠MAC′=12(180°−90°+α)=45°+12α，∴∠DAC=∠MAC′−∠MAC=α，∴∠DAO=∠A′MC′，∵∠AMC′+∠A′MC′=90°，∠DAO+∠ADO=90°，∴∠AMC′=∠ADM，∴∠AMD=∠AC′M=∠DAM，∴DA=DM=5，∴BM=BD−DM=8−5=3，∴t=3．当t=4时，点C′与点A重合，符合题意．如图3−2中，当点C′落在AB上时，同法可证BM=BA，t=5．如图3−3中，当C′与C重合时，△AMC是等腰直角三角形，∴OM=OA=OC=3，∴BM=7，∴t=7．综上所述，满足条件的t的值为3或4或5或7．【解析】(1)如图1中，连接AC交BD于点O.证明MA=MC，可得结论；(2)分两种情形：如图2−1中，当△ACM∽△DMA′时，如图2−2中，当△ACM∽△MA′D时，分别求解即可；(3)分四种情形：如图3−1中，当点C′落在AD上时，连接CC′，设∠CMA′=∠A′MC′=α.当t=4时，点C′与点A重合，符合题意．如图3−2中，当点C′落在AB上时，如图3−3中，当C′与C重合时，△AMC是等腰直角三角形，分别求解即可．本题属于相似形综合题，考查了菱形的性质，旋转变换，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。

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泗县育才学校九年级期中考试数学试题2014-11
一、选择题（共40分）
1．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图为同一种图形的是（ ）

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
2、下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．菱形 B．正方形 C．等腰三角形 D．线段

3．用配方法解方程2420xx，下列配方正确的是( )．
A．2(2)2x B．2(2)2x C．2(2)2x D．2(2)6x

4、一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，12个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸
出一个球，摸到白球的概率是（ ）

A．13 B．18 C．415 D．411

5．在下列命题中，真命题是( )．
A.一组对边平行的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

6．某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为
x
，则下面所列方程中正确的是( )．

A.22891256x B.

2
2561289x

C. 289(1-2x)=256 D. 256(1-2x)= 289
7．如图，5个边长为1cm的立方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为（ ）
A、13cm2 B、16cm2
C、20cm2 D、23cm2

8．如图，四边形ABCD各边的中点分别为E，F，G，H，则四边形EFGH一定是( )．
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

班
级
：
姓
名
：
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考
号
：
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学
号
：
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_
_
9．已知，a.b.c分别是△ABC的三条边长且kaccbba。则△ABC的形状是（ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、不能确定
10．如图，菱形ABCD中，对角线AC=16cm，BD=12cm，DH⊥BC于点H，交AC于点G，
则GH的长度是（ ）cm。

A、2528 B、1021 C、1528 D、2125

二、填空题（共20分）
11、汽车刹车距离S（m）与速度V（km/h）之间的关系式S=1100v2,在一段规定时速为40 km/h
的道路上，一辆行驶中的汽车发现前方25m处有一行人，立即刹车，结果还是发生了危
险事故，请问此车辆有没有超超速？ （填：有、没有）

12．若定义一种新运算：bcaddcba ，如917282178，已知-5x19x，
则x= 。
13．已知△ABC∽△EFG，且S△ABC=160cm²,S△EFG=250cm²,AB=20cm,那么EF= cm。
14．小明家的墙上有一块边长为20㎝的正方形标靶，其中间有一块不规则的深色阴影，小
明想测算阴影部分的面积，经过多次投标，发现每枝标都投到了正方形上，并且投中阴影部

分的频率稳定在103附近，于是小明估计阴影部分面积约为 cm²。
三、解答题
15．解下列方程（共8分）
（1）X（X - 3）= 2(X - 3) (2)(3X + 2 )²=（X – 7 ）²

16．（8分）如右图木桩AB、CD在某种光源的照射下，在地面上留下的影子分别
为BE、DF，请在图中画出光源P及木桩MN的影子。
17．（8分）如右图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点P是AD上一动点，过
点P的直线EF∥BC，求证：CDFPBDEP。

18．（8分）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时
影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一
部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的应高为2米，求旗杆的高度．

19．（10分）一个不透明的布袋里装有3个红球，2个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）随机摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球.利用列表或树状图求两

次摸出的球恰好颜色不同的概率；
（2）现又将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为85，求n的值.

20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的
实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若3（x1+x2）= x1x2，求k的值.

21、（12分）已知如图，E、F是四边形ABCD的
对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE
求证：（1）△AFD≌△CEB
（2）四边形ABCD是平行四边形


22（12分）工业废气排放是造成雾霾天气的重要原因，为了减少雾霾的形成，相关部门拟
定措施限定工业废气排放量，其工厂2013年工业废气的排放总量为14400万m³，
计划到2015年底，将排放量降为8100万m³。
（1）求该工厂平均每年排放量减少的百分率是多少？
（2）请你按照这个百分率，预测一下，2017年底该工厂废气排放量降低到多少万立方米？

23．（14分）如右图， CM、CN分别平分△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE,点P是AC边上
一动点，过点P的直线MN∥BC。
（1）求证:△MCN是直角三角形。
（2）回答，当P运动到AC边上的什么位置时，四边形AMCN是矩形，并指明你的结论。
（3）在（2）的条件下，△ABC需满足什么条件可使得四边形AMCN为正方形？（直接回答
无须证明）。

A B
D
C

E
F

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