中考数学反比例函数-经典压轴题附答案
反比例函数压轴题精选(含答案)
2009-2013年中考反比例函数经典结论：如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 12AOB AOC S S k ∆∆==； (II ) OBAC S k =矩形。
下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图①，OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。
(2)如图②，OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。
经典例题例 1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = 2 ；(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -例2．(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x y 6=),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .解析：因为A，B 在反比例函数xy 6=上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此),(),,(2211y xBy x A 中有1212,y y x x -=-=，所以24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x例3．(2010山东威海) 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．(1) 求反比例函数xmy =和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积． 解：(1)∵ 反比例函数xmy =的图象经过点A ﹙－2，－5﹚， ∴ m =(－2)×( －5)＝10．∴ 反比例函数的表达式为xy 10=． ∵ 点C ﹙5，n∴ 2510==n ． ∴ C 的坐标为﹙5，2﹚． ∵ 一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入b kx y +=，得 ⎩⎨⎧+=+-=-.5225b k b k ，解得⎩⎨⎧-==.31b k ，∴ 所求一次函数的表达式为y ＝x －3．(2) ∵ 一次函数y =x －3的图像交y 轴于点B ， ∴ B 点坐标为﹙0，－3﹚． ∴ OB ＝3． ∵ A 点的横坐标为－2，C 点的横坐标为5，∴ S △AOC = S △AOB + S △BOC =()22152215212-21=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．例4．（2007福建福州）如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标． 解：（1）点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．∴点A 的坐标为(42)，．点A 是直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>的交点，428k ∴=⨯=．（2）解法一：如图1，点C 在双曲线上，当8y =时，1x =∴点C 的坐标为(18)，．过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形解法二：如图2，过点C A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，点C 在双曲线8y x =上，当8y =时，1x=．∴点C 的坐标为(18)，．点C ，A 都在双曲线8y x=上， 4COE AOF S S ∴==△△ COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形． COA CEFA S S ∴=△梯形．1(28)3152CEFA S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△．（3）反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形．1124644POA APBQ S S ∴==⨯=△平行四边形． 设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8()P m m，．过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△． 若04m <<，如图3，POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴·．解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，． 若4m >，如图4，AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．图2图3图4例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线1y x b2过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．【答案】解：（1）设反比例函数的解析式kyx，∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴k43，即k=12。
哈尔滨备战中考数学压轴题专题复习——反比例函数的综合
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．【答案】（1）解：∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，∴3= ，点C与点A关于原点O对称，∴k=6，C（﹣2，﹣3），即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；（2）解：过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，∵点A（2，3），k=6，∴AN=2，∵△APO的面积为2，∴，即，得OP=2，∴点P（0，2），设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b，，得，∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2，当y=0时，0=0.5x+2，得x=﹣4，∴点D的坐标为（﹣4，0），设过点A（2，3），B（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=mx+b，则，得，∴过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=1.5x，∴点D到直线AC的直线得距离为：= ．【解析】【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离．2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，∴k=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣，∵点B在反比例函数y=﹣的图形上，∴﹣2m=﹣6，∴m=3，∴B（3，﹣2），∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，∴AB=PQ，AB∥PQ，设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，设点Q（n，﹣），∴﹣ =﹣n+c，∴c=n﹣，∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣，∴P（1，n﹣﹣1），∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣﹣1+ ）2=2（n﹣1）2，∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），∴AB2=50，∵AB=PQ，∴50=2（n﹣1）2，∴n=﹣4或6，∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．3．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值．（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2，当y=0时，﹣3x+2=0，x= ，∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0＜m＜，，DANG则，﹣3x+2= ，当x=m时，﹣3m+2= ，∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）（2）解：由题意得：，ax+2= ，ax2+2x﹣k=0，∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，∴△=4+4ak=0，ak=﹣1，∴k=﹣，则，解得：，∵OM= ，∴12+（﹣）2=（）2，a=±（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，∴A′（2，1），B′（1，3），点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，当点M′与A′重合时，k=2，当点M′与B′重合时，k=3，∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)反比例函数（含答案）?解读考点知识点 1.反比例函数概念反比例函数概2.反比例函数图象念、图象和性3.反比例函数的性质质 4.一次函数的解析式确定名师点晴会判断一个函数是否为反比例函数。
知道反比例函数的图象是双曲线，。
会分象限利用增减性。
能用待定系数法确定函数解析式。
会用数形结合思想解决此类问题．反比例函5.反比例函数中比例系数的几何能根据图象信息，解决相应的实际问题．数的应用意义能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。
?2年中考【2021年题组】y?1．（2021崇左）若反比例函数kx的图象经过点（2，－6），则k的值为（）A．－12 B．12 C．－3 D．3【答案】A．【解析】y?试题分析：∵反比例函数kx的图象经过点（2，��6），∴k?2?(?6)??12，解得k=��12．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2．（2021苏州）若点A（a，b）在反比例函数A．0 B．��2 C．2 D．��6 【答案】B．【解析】y?y?2x的图象上，则代数式ab��4的值为（）试题分析：∵点（a，b）反比例函数22b?x上，∴a，即ab=2，∴原式=2��4=��2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 3．（2021来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（）- 1 -A． B． C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2021河池）反比例函数y1?mx（x?0）的图象与一次函数y2??x?b的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当y2?y1时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【答案】B．【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时，y2?y1．故选B．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．- 2 -5．（2021贺州）已知k1?0?k2，则函数y?k1x和y?k2x?1的图象大致是（）A．【答案】C．B．C． D．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 6．（2021宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（��3，0），（3，0），点P在y?反比例函数2x的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D．【解析】y?试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为��3，把x=��3代入此时P点有1个；22y??x得3，所以2222222(x?3)?()(x?3)?()22x，PB=x，AB2 ②当∠APB=90°，设P（x，x），PA=222222(x?3)?()?(x?3)?()222(3?3)xxPA?PB?AB==36，因为，所以=36，整理得2x4?9x2?4?0，所以x2?9?659?65x2?22，或，所以此时P点有4个；y?22y?x得3，所以此时P点有1个；③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2021自贡）若点（的点，并且x1，y1），（x2，y2），（x3，y3y??），都是反比例函数1x图象上y1?0?y2?y3，则下列各式中正确的是（）- 3 -A．D．x1?x2?x3 B．x1?x3?x2 C．x2?x1?x3x2?x3?x1【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，点（的点，且（x1，y1）xy，xy，（2，2）（3，3）都是反比例函数y??1x上y1?0?y2?y3，xy，xy位于第三象限，x?x3，则（2，2）（3，3）y随x的增大而增大，2 x1，y1）位于第一象限，x1最大，故x1、x2、x3的大小关系是x2?x3?x1．故选D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2021凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面y?直角坐标系，双曲线3x经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C．考点：反比例函数系数k的几何意义．y?9．（2021眉山）如图，A、B是双曲线kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）48A．3 B．3 C．3 D．4- 4 -【答案】B．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．（2021内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点Ay?的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线有公共点，则k的取值范围为（）kx与正方形ABCDA．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C．【解析】试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则Ay?的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线kx经过点（1，1）时，k=1；当双曲线kx经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．- 5 -11．（2021孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函y?数1ky?x的图象上．若点B在反比例函数x的图象上，则k的值为（）A．��4 B．4 C．��2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．41012．（2021宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）- 6 -【答案】A．B． C． D．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．y?13．（2021三明）如图，已知点A是双曲线2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n??2m B．【答案】B．【解析】n??24n??m C．n??4m D．m2试题分析：∵点C的坐标为（m，n），∴点A的纵坐标是n，横坐标是：n，∴点A 的坐22标为（n，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：m，∴点B2nm?2222mmn??mn，∴m2n2?4，又∵m＜0，n＞0，∴的坐标为（m，m），又∵n，∴- 7 -mn??2，∴n??2m，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．y?14．（2021株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数图象上的概率是（）12x1111A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．OA3?OB4．15．（2021乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，∠y?AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kx的图象2过点C．当以CD为边的正方形的面积为7时，k的值是（）- 8 -A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．（2021重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴y?平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数ABCD的面积为（）3x的图象经过A，B两点，则菱形A．2 B．4 C．22 D．42 【答案】D．【解析】y?试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数3x的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D．- 9 -考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2021临沂）在平面直角坐标系中，直线y??x?2与反比例函数1y?x的图象有2个公共点，则b的取值范围是公共点，若直线y??x?b与反比例函数（）y?1x的图象有唯一A．b＞2 B．��2＜b＜2 C．b＞2或b＜��2 D．b＜��2 【答案】C．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．（2021滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA12y??y?x、x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为的两边分别与函数（）- 10 -A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 19．（2021扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是．【答案】（��1，��3）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（��1，��3）．故答案为：（��1，��3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2021泰州）点（a��1，1）、（a+1，2）在反比例函数yyy?k?k?0?x的图象上，若y1?y2，- 11 -则a的范围是．【答案】��1＜a＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．y?21．（2021南宁）如图，点A在双曲线23ky?x（x?0）上，x（x?0）点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】63．【解析】y?试题分析：因为点A在双曲线2323x（x?0）上，设A点坐标为（a，a），因为四23边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，a），可得：3a?k=23a=63，故答案为：63．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2021桂林）如图，以?ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直y?角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是．kx的图象- 12 -【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．综合题；4．压轴题． 23．（2021贵港）如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y?x?1上，点B1，B2，…，y??Bn均在双曲线1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若则a2021= ．a1??1，【答案】2．- 13 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2021南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1?1x，则y2与x的函数表达式是．【答案】【解析】y2?4x．试题分析：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数y1?1x上，11∴设A（a，a），∴OC=a，AC=a，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△ACOCOAACOCOA12?????OBD，∴BDODOB，∵A为OB的中点，∴BDODOB2，∴BD=2AC=a，- 14 -2k2y2?2a??4yx，∴k=aOD=2OC=2a，∴B（2a，a），设，∴2与x的函数表达式是：y2?44y2?x．故答案为：x．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．y?25．（2021攀枝花）如图，若双曲线kx（k?0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．363【答案】25．- 15 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．93(x＞0)y?x26．（2021荆门）如图，点A1，A2依次在的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．【答案】（62，0）．- 16 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2021南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OCy?是△OAB的中线，点B，C在反比例函数于．3x（x?0）的图象上，则△OAB的面积等9【答案】2．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 28．（2021烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比y?例函数kx（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．- 17 -15【答案】4．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． 29．（2021玉林防城港）已知：一次函数y??2x?10的图象与反比例函数y?kx（k?0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，��2a+10），B（b，��2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交BC5?BD2，求△ABC的面积．于另一点C，连接BC交y轴于点D．若y?【答案】（1）81?x，B（1，8）；（2）（��4，��2）、（��16，2）；（3）10．- 18 -【解析】y?试题分析：（1）把点A的坐标代入kx，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=��2x+10，当y=0时，��2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5��4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴AHMH2MH??EHAH，∴12，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y?mx，1?y?x??2??x?4811?y??y?xy?2?x，2，则有4m?2，解得m=2，∴直线AP的解析式为解方程组?得：??x??4?y??2，∴点P的坐标为（��4，��2）或?．1②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（��16，2）．?- 19 -1综上所述：符合条件的点P的坐标为（��4，��2）、（��16，2）；?（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，CDCTBC5CTCD3????BD2．∵A（a，��2a+10）∴△CTD∽△BSD，∴BDBS．∵BD2，∴BS，B（b，��2b+10），∴C（��a，2a��考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2021年题组】1. （2021年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）y?4x上，分别经过A、B两点向轴作垂- 20 -④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．- 26 -9. （2021年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线y?2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线是．y?kx（k＜0）上运动，则k的值【答案】��6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．- 27 -10. （2021年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y?kx（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=��2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．- 28 -考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．?考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
函数选填压轴题(含一次函数、二次函数、反比例函数)—2024年中考数学抢分秘籍(通用)(解析版)
函数选填压轴题（含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）一次函数、二次函数、反比例函数在中考选择题、填空题考场中是热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.1．从考点频率看，一次函数、二次函数、反比例函数图象和性质是高频考点、必考点，所以必须提高对函数图象和性质理解和掌握的能力.2．从题型角度看，以选择题、填空题最后一题为主，分值3分左右，着实不少！易错点一 反比例函数求K 值未考虑图象所在的象限【例1】（2024·湖南长沙·三模）如图，点M 是反比例函数(0)ky x x=<图像上的一点，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，点P 在y 轴上．若MNP △的面积是3，则k = ．【答案】6−【分析】本题考查反比例函数k 值的几何意义，连接OM ，根据平行线间的距离处处相等，得到2MONMPNkSS==，结合双曲线过第二象限，求出k 值即可．【详解】解：连接OM ，∵MN x ⊥， ∴MN OP ∥， ∴3MONMPNSS==，∵点M 是反比例函数(0)ky x x =<图像上的一点，∴32k =， ∴6k =，∵双曲线过第二象限， ∴6k =−； 故答案为：6−．【例2】 （2024·安徽合肥·一模）如图，已知反比例函数ky x=（0k ＜）的图象经过Rt OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若AOC 的面积为9，则k 的值为 ．【答案】6−【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，设2,2AB a OB b ==，则()2,2A b a −，()2,C b m −，结合图象经过Rt OAB 斜边OA 的中点D ，得到(),D b a −，根据点D ，点C 都在ky x =图象上，得到2k bm ba =−=−，得到2a m =，继而得到13222AC AB CB a a a =−=−=，结合AOC 的面积为9，得到132922a b ⨯⨯=，计算得6ab =，解答即可．【详解】设2,2AB a OB b ==，则()2,2A b a −，()2,C b m −，∵图象经过Rt OAB 斜边OA 的中点D ， ∴(),D b a −，∵点D ，点C 都在ky x =图象上，∴2k bm ba =−=−， ∴2a m =，∴13222AC AB CB a a a=−=−=， ∵AOC 的面积为9， ∴132922a b ⨯⨯=，∴6ab =， ∴6k ba =−=−． 故答案为：6−．【例3】 （2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，Rt ABC △的边AC x ∥轴，90,BAC BC ∠=︒的延长线过原点O ，且2BC OC =，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ，若Rt ABC △的面积是2，则k 的值为 ．【答案】3【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．延长BA 交x 轴于点D ，证明BAC BDO ∽△△，求得相似比为23，利用相似比求得Rt DBO △的面积，利用等高的两个三角形求得Rt DAO △的面积，再利用比例系数k 的几何意义求解即可．【详解】解：延长BA 交x 轴于点D ，连接OA ，∵AC 平行于x 轴，90BAC ∠=︒， ∴BD x ⊥轴，∴BAC BDO ∽△△， ∵2BC OC =， ∴23BC BA BO BD ==， ∵Rt ABC △的面积是2，∴Rt DBO △的面积是229232⎛⎫÷= ⎪⎝⎭，Rt DAO △的面积是193322⨯=， ∴3232k =⨯=，故答案为：3．易错点二 一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题【例1】 （2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数ky x=的图象与一次函数y x b =−+的图象如图所示，则函数2y x bx k =++的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，先根据一次函数、反比例函数的图象得到k b 、的符号，进而由k b 、判断出抛物线与y 轴的交点位置、对称轴位置，又结合10a =>可知抛物线开口向上，据此即可求解，掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数的图象可得，0k >，由一次函数图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可得，0b >， ∵0k >，∴二次函数与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∵抛物线的对称轴b x 02=−<，∴抛物线的对称轴位于y 轴的左侧， 又∵10a =>， ∴抛物线开口向上， 故选：A ．【例2】 （2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过(0,6)A 的一次函数1y 的图象与经过(0,2)B 的一次函数2y 的图象相交于点C ．若点C 的纵坐标为3，则函数12y y y =⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点()(),30C c c <，一次函数1y 的解析式为116y k x =+，一次函数2y 的解析式为222y k x =+，求出136y x c =−+，212y x c =+，然后再求出2122312y y x c =−+，最后进行判断即可．【详解】解：设点()(),30C c c <，一次函数1y 的解析式为116y k x =+，一次函数2y 的解析式为222y k x =+，把(),3C c 分别代入两个函数解析式得： 136ck =+，232ck =+，解得：13k c =−，21k c =，∴136y x c =−+，212y x c =+，∴21223136212y y x x x c c c ⎛⎫⎛⎫=−++=−+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵230c −<， ∴2122312y y x c =−+的图象为开口向下，顶点为()0,12的抛物线， 所以C 选项符合题意． 故选：C ．【例3】 （2024·安徽芜湖·一模）已知反比例函数()0ky k x=≠在第二象限内的图像与一次函数y ax b =+的图像如图所示，则函数21y ax bx k =−−+的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数y ax b =+的图象经过第一、二、三象限，且与y 轴交于正半轴，则00a b ，，反比例函数()0ky k x =≠的图象经过第二、四象限，则0k <，从而函数21y ax bx k =−−+的图象开口向下，对称轴为直线0102bx k a −=−−+，，从而排除A 、D ，C ，故可得解．【详解】解：∵一次函数y ax b =+的图象经过第一、二、三象限，且与y 轴交于正半轴，则00a b ，，反比例函数()0ky k x =≠的图象经过第二、四象限，则0k <，∴函数21y ax bx k =−−+的图象开口向下，对称轴为直线01022b b x k a a −=−=−+，．∴综上，可得B 正确． 故选：B ．易错点三 根据二次函数的图象讨论各系数a ,b ,c 有关式子正误【例1】 （2024·四川达州·模拟预测）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，其对称轴为直线12x =−，且经过点(2,0)−，下列结论：①0abc <； ②0a b −=； ③点11(,)x y 和22(,)x y 在抛物线上，当1212x x >≥−时，12y y >；④不等式20ax bx c ++≥的解集是2x ≤−或32x ≥；⑤一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为112x =−，21x =．其中错误的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线对称轴为直线2bx a =−可判断①，由抛物线与x 轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与y 轴交点位置可判断③，由抛物线经过(2,0)及抛物线的对称性可判断④，由根与系数关系可判断⑤．【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，0a ∴>，抛物线对称轴为直线122b x a =-=-，0a b ∴=>，0a b ∴−=，故②正确；抛物线和y 轴交点在负半轴，0c ∴<， <0abc ∴，∴①正确；当1212x x >≥−时，两点都在对称石侧．图象部分．y 随x 增大而增大，12y y ∴>，∴③正确；不等式20ax bx c ++≥，抛物线在x 轴上方时，x 取值范围，而抛物线和x 轴交点为(2,0)−和(1,0)，∴解集是2x ≤−或1x ≥； ∴④错误．20ax bx c ++=的两个根11x =，22x =−，∴121ba −=−=−，()122ac =⨯−=−，0a b c ++= 12b c ∴−=，2ac =−，20cx bx a ∴++=的两个根1x =，2x =，∴⑤错误．故选：B ．【例2】 （2024·湖南永州·一模）如图，抛物线2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()2,0A −、()6,0B 两点，与y 轴相交于点C ，以下结论：①240b ac −>；②0abc >；③当0y >时，26x −<<；④0a b c ++<．正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】本题考查二次函数的开口，对称轴，与x 轴交点个数，自变量取值范围等知识．可借用数形结合的方法．【详解】①：图象与x 轴有两个交点∴240b ac −>∴①正确；②：图象开口向上0a ∴>对称轴b x 02a =−>0b ∴<图象与y 轴的交点在y 轴负半轴0c ∴< 0abc ∴>∴②正确；③：由图象可知，当0y <时，26x −<< ∴③不正确；④：由图象知，当1x =时，0y a b c =++< ∴④正确．故选：B ．【例3】 （2024·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数2(y ax bx c a b c =++、、为常数，且0)a ≠的图象如图所示，其对称轴为直线2x =，有以下结论：①0,0a b >>；②16430a b c ++>；③240ac b −<；④a 2b c 0−+> ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解答关键是根据抛物线的位置确定待定字母的取值范围．根据二次函数的图象的位置，确定a 、b 、c 的符号，通过对称轴，与x 轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可．【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴0a >，∵对称轴在y 轴的右侧， ∴a 、b 异号，∴0b <，故①错误， ∵对称轴为对称轴为直线22b x a ==−，，∴4b a =−，∵抛物线与y 轴交于正半轴， ∴0c >，∴16431616330a b c a a c c ++=−+=>， 故②正确；∵抛物线与x 轴交于两点，∴20ax bx c ++=有两个不相等的实数根， ∴240b ac −>， ∴240ac b −<，故③正确； ∵4b a =−，∴289a b c a a c a c −+=++=+ ∵0a >，0c >， ∴90a c +>， ∴a 2b c 0−+>， 故④正确；所以正确的个数有3个， 故答案为：C【例4】 （2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x −，部分图象如图所示，给出下面4个结论：①24b ac >；②1230a b c −>；③82a c b +>；④若点()10.5,y −，()22,y −在抛物线()20y ax bx c a =++≠上，则12y y <．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数与一元二次方程的关系，即可判断①结论；根据二次函数系数与图象的关系，即可判断②结论；由抛物线图象可知，当1x =时，0y =，即可判断③结论；根据二次函数的增减性，即可判断④结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点，240b ac ∴−>，24b ac ∴>，①结论正确；抛物线开口向上，对称轴为直线=1x −，且与y 轴交点在负半轴， 0a ∴>，12ba −=−，0c <，20b a ∴=>，110a a −∴=>，20b >，30<c ，1230a b c −∴<，②结论错误；由函数图象可知，当1x =时，0y a b c =++=，3c a b a ∴=−−=−，828340a c b a a a a ∴+−=−−=>，82a c b ∴+>，③结论正确；∴抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x −，∴点()10.5,y −离对称轴近，点()22,y −离对称轴远，12y y ∴<，④结论正确，∴正确的结论有3个，故选：C ．题型一 反比例函数与特殊四边形【例1】（2024·山西大同·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的两边OA OC 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数k y x=的图象与AB 相交于点M ，与BC 相交于点N ，若点B 的坐标为()4,2,MON 的面积是154，则k 的值为 ．【答案】2【分析】本题主要考查了反比例函数的k 的值，求出点M 的坐标为44k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点N 的坐标为,22k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据154MONOCNOAMBMNOABC SS SSS=−−−=矩形进行计算即可．【详解】解：四边形OABC 是矩形，AB OC ∴=，OA BC =，∵B 点的坐标为()4,2,∴2,4AB OC BC AO ====，则点M 的坐标为44k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点N 的坐标为,22k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴MON OCN OAM BMNOABC SS SSS=−−−矩形11115842222244k k k k ⎛⎫⎛⎫=−−−−⨯−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得，2k = 故答案为：2．1．（2024·安徽合肥·一模）如图，菱形ABCD 的顶点B 在y 轴的正半轴上，C 在x 轴的正半轴上，A ，D 在第一象限，BD x ∥轴，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过面积为2的菱形ABCD 的中心E ，交AB 于点F ．（1）k 的值为 ． （2）BFAB的值为 ．【答案】 1【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质． （1）由菱形的性质，得到BEC 的面积是12，而矩形BOCE 的面积是1，即可得到k 的值；（2）设点E 的坐标为1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，分别求得点A ，B 的坐标，再利用待定系数法求得直线AB 的解析式，联立求得点F 【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BE DE =，AE CE =，BEC ∴的面积14=⨯菱形ABCD 的面积11242=⨯=，∵BE OC ∥，BO OC ⊥， ∴四边形BOCE 是矩形， ∴矩形BOCE 的面积12212BEC =⨯=⨯=的面积，k ∴的值是1．故答案为：1；（2）由（1）得反比例函数的解析式为1y x =，设点E 的坐标为1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线AB 的解析式为y mx n =+，则设点B 的坐标为10a ⎛⎫⎪⎝⎭，，设点A 的坐标为2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴21am n a n a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得211m a n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AB 的解析式为211y x a a=+， 联立2111y x a a y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得x =（负值已舍），∴2B ABFa ==，2．（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数44y x =−+的图像分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点．正方形ABCD 的顶点C ，D 在第一象限，且顶点D 在反比例函数()0ky k x=≠的图像上．（1）AOB 的面积为 ；（2）若正方形ABCD 向左平移n 个单位长度后，顶点C 恰好落在反比例函数的图像上，则k n += ． 【答案】 2 8【分析】（1）首先求得点AB 、的坐标，可得1OA =，4OB =，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）过点C 作CE y ⊥轴于点E ，交反比例函数图像于点F ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，证明OAB EBC △≌△，≌OAB GDA △△，进而确定点C D F 、、的坐标，然后求得k n 、的值，即可获得答案．【详解】解：（1）对于一次函数44y x =−+， 令0y =，则有440x −+=，解得1x =，即(1,0)A ， 令0x =，则4y =，即(0,4)B ， ∴1OA =，4OB =， ∴1211422AOBSOA OB ⋅=⨯⨯==；（2）如图，过点C 作CE y ⊥轴于点E ，交反比例函数图像于点F ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB BC CD DA ===，90ABC DAB ∠=∠=︒， ∴90CBE ABO ∠+∠=︒， ∵CE y ⊥轴，OA OB ⊥， ∴90ABO BAO ∠+∠=︒， ∴CBE BAO ∠=∠，在OAB 和EBC 中，90CEB BOA CBE BAO BC AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)OAB EBC ≌， ∴1BE OA ==，4CE OB ==， ∴415OE OB BE =+=+=，即(4,5)C ， 同理可得(AAS)OAB GDA ≌， ∴4AG OB ==，1DG OA ==， ∴5OG OA AG =+=，即(5,1)D ， 将点(5,1)D 代入反比例函数()0ky k x =≠，可得15k=，解得5k =，即该反比例函数解析式为5y x =，∵CE y ⊥轴， ∴点F 的纵坐标为5，∴点F 的横坐标为1，即(1,5)F ，∵将正方形ABCD 向左平移n 个单位长度后，顶点C 恰好落在反比例函数的图像上，即此时点C F 、重合，∴点C 移动了413−=个单位长度，即3n =， ∴538k n +=+=． 故答案为：（1）2；（2）8．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键．题型二 一次函数与反比例函数【例1】（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =+与双曲线4y x=交于点A 、点B ，将直线AB 向下平移b 个单位后双曲线交于点C 、点D ，M 是第二象限内一点，连接MA 、MB ，若以M 为位似中心的MCD △与MAB △位似，位似比为32，则b 的值为 ．【答案】9【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理．由题意可得AB =，设直线DE 的解析式为2y x m =+，点()11,2C x x m +，()22,2D x x m +，根据两点间距离公式求得=92，进而得到()212128144x x x x +−=，由点C D ，恰好都落在反比例函数图象上得到42x m x +=，即2240x mx +−=，由根和系数的关系得()2814224b ⎛⎫−−⨯−= ⎪⎝⎭，求出m 的值，据此即可求解．【详解】解：联立224y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得22x y =−⎧⎨=−⎩或14x y =⎧⎨=⎩， ∴点()2,2B−−，()1,4A ，∴AB ==∵MCD △与MAB △位似，相似比为32， ∴32CD AB =，∴CD =，∵将直线AB 向下平移b 个单位， ∴设直线CD 的解析式为2y x m =+，点()11,2C x x m +，()22,2D x x m +，=92=，∴()212128144x x x x +−=，∵点C D ，恰好都落在反比例函数图象上， ∴CD 与反比例函数的交点方程为42x m x +=，即2240x mx +−=，由根与系数的关系得，()2814224b ⎛⎫−−⨯−=⎪⎝⎭， 解得7m =−或7(不合，舍去)， 令0x =，则2022y =⨯+=，∴直线22y x =+和2y x m =+与y 的交点分别为()02，和()07−，，∴()279b =−−=，故答案为：9．【例2】（2024·安徽池州·一模）如图，已知直线3:34l y x =−+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ．请解决下列问题：（1）线段AB 的长为 ；（2）若菱形BCDE 的边BC x ∥轴，另一边BE 在直线l 上，且点B 是AE 的中点，点D 在反比例函数()00ky k x x=≠<，的图象上，则k = ．【答案】 5 54−【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）分别求出直线3:34l y x =−+y 轴交于点()0,3B ，与x 轴交于点()4,0A ，从而得出4OA =，3OB =，再由勾股定理计算即可得出答案；（2）延长DE 交y 轴于点F ，由菱形的性质得出5BC CD DE EB ====，证明()AAS BEF BAO ≌，即可得出点D 的坐标，代入反比例函数解析式即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意，得当0x =时，3y =， ∴直线3:34l y x =−+与y 轴交于点()0,3B ．当0y =时，4x =，∴直线3:34l y x =−+与x 轴交于点()4,0A ，4∴=OA ，3OB =．在Rt AOB △中，5AB ==， 故答案为：5；（2）如图，延长DE 交y 轴于点F ．，点B 是AE 的中点，5AB BE ∴==．四边形BCDE 是菱形，5BC CD DE EB ∴====．DE x ∥轴，90EFB AOB ∴∠=∠=︒，EBF ABO ∠=∠，()AAS BEF BAO ∴≌，4EF OA ∴==，3BF OB ==，9DF DE EF ∴=+=，336OF =+=，()9,6D ∴−．点()9,6D −在反比例函数()0ky k x =≠的图象上，9654k ∴=−⨯=−，故答案为：54−．1．（2024·新疆·一模）已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线my x=相交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,6．如图，当点A 落在x 轴负半轴时，过点C 作x 轴的垂线垂足为E ，过点D 作y 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ．当2CDAB=时，则点C 的坐标为 ．【答案】()3,2−−【分析】先证明EFC 的面积和EFD △的面积相等； 证明四边形DFEA 与四边形FBCE 都是平行四边形，故可得出CE BF =，FDB EAC ∠=∠，再由全等三角形的判定定理得出DFB AEC ≌，故AC BD =，设2CD k =，AB k =，12DB AC k ==， 可得12DB AB =，再证明DFB AOB ∽△△，可算出2OA =，4OB =，进一步可得答案．【详解】解：如图，连接CF ，ED ，CO ，∵y kx b =+于my x =相交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,6．∴6m =，即反比例为6y x =，设(),C a b ，则6ab =，∵1632EFCEOCS S ==⨯=，而11632EFDS=⨯⨯=，∴EFCEFDSS=；∵两三角形同底， ∴两三角形的高相同， ∴EF CD ∥，∵DF AE ∥，BF CE ∥，∴四边形DFEA 与四边形FBCE 都是平行四边形， FDB BAO ∠=∠， ∴CE BF =， ∵BAO EAC ∠=∠， ∴FDB EAC ∠=∠， ∵90BFD CEA ∠=∠=︒，∴DFB AEC ≌， ∴AC BD =， ∵2CDAB =，设2CD k =，AB k =，12DB AC k ==，∴12DB AB =， ∵DF AO ∥， ∴DFB AOB ∽△△， ∴12DF DB BF AO AB BO ===， ∵1DF =， ∴2OA =， ∵6OF =， ∴4OB =， ∴()2,0A −，()0,4B ，∴直线AB 的解析式为24y x =+，联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得246y x y x ⎧⎪⎨⎪=+⎩= ，解得：32x y =−⎧⎨=−⎩， 16x y ⎧⎨⎩== ， ∴()3,2C −−．故答案为：()3,2−−【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积、相似三角形的性质，题目综合性较强．题型三 几何图形中动点之函数问题【例1】（2024·河南信阳·一模）如图1，已知ABCD Y 的边长AB为30B ∠=︒，AE BC ⊥于点E ．现将ABE 沿BC 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的ABE 与ABCD Y 重叠部分的面积S与运动时间t 的函数图象如图2，则当t 为9时，S 的值是（ ）A B ．C D ．【答案】C【分析】本题考查的是动点函数图象问题、平行四边形的性质、勾股定理及含30度角的性质，熟练掌握以上知识点，弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系，是解题的关键．根据题意得出AE =6BE =，结合函数图象确定12BC =，当运动时间6t >时，为二次函数，且在6t =时达到最大值，对称轴为6t =，二次函数与坐标轴的另一个交点为()0,0，然后确定二次函数解析式，代入求解即可．【详解】解：∵AB 为30B ∠=︒，AE BC ⊥于点E ．∴AE =∴6BE ==，由运动的ABE 与ABCD Y 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象得： 当运动到6时，重叠部分的面积一直不变， ∴6CE =， ∴12BC =，由函数图象得：当运动时间6t >时，为二次函数，且在6t =时达到最大值，对称轴为直线6t =， ∴二次函数与坐标轴的另一个交点为()0,0，设二次函数的解析式为()12(6)S at t t =−>，将点(代入得：a =，∴()12(6)S t t =−>，当t 为9时，S =．故选：C ．【例2】（2024·河南濮阳·一模）如图1，在矩形ABCD 中，2,BC AB M =为AD 的中点，N 是线段BD 上的一动点．设,DN x MN AN y =+=，图2是y 关于x 的函数图象，其中Q 是图象上的最低点，则a 的值为（ ）A ．7B ．8CD 【答案】D【分析】由图象右端点的横坐标为BD =5AB =，10AD =，5AM MD ==，作点M 关于BD 的对称点E ，连接AE 交BD 于N ，连接ME 交BD 于O ，连接DE ，得y AN MN AE =+=，根据两点之间，线段最短，得到此时y 最小，最小值为AE 的长度，通过证明MOD BAD ∽，求出OM =2ME OM ==E 作EF AD ⊥于F ，利用勾股定理求出2MF =，4EF =，7AF AM MF =+=，从而求得AE 的长度，即可求解．【详解】解：∵图象右端点的横坐标为 ∴BD =∵矩形ABCD 中， ∴90BAD ∠=︒，AD BC =∴222AB AD BD +=∵2BC AB = ∴()(2222AB AB +=∴5AB = ∴10AD =∵M 为AD 的中点， ∴5AM MD ==作点M 关于BD 的对称点E ，连接AE 交BD 于N ，连接ME 交BD 于O ，连接DE ，如图，∴MN NE =，5DE DM ==， ∴y AN MN AE =+=，根据两点之间，线段最短，得此时y 最小， ∵点M 关于BD 的对称点E ， ∴BD 垂直平分ME ，∵MDO ADB ∠=∠，90BAD MOD ∠=∠=︒， ∴MOD BAD ∽，∴OM MD AB BD =，即5OM =∴OM∴2ME OM == 过点E 作EF AD ⊥于F ，由勾股定理，得22222ME MF EF DE DF −==−，∵DF DM MF =−，∴(()222255MF MF −=−−，解得：2MF =，∴4EF =，527AF AM MF =+=+=，∴AE∵Q 是图象上的最低点， ∴a 是y 的最小值，∴a 故选：D ．【点睛】本题考查几何动点函数图象问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握利用轴对称求最短距离问题是解题的关键．1．（2024·河南周口·一模）如图1，矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC −匀速运动，到达点C 时停止运动，连接AP 、PE ，设AP 为x ，PE 为y ，且y 关于x 的函数图象如图2所示，则AP 的最大值为（ ）AB ．5C D ．【答案】B【分析】本题考查动点问题与函数图象，矩形的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．在函数图象中找到当0x =时，2y =，得出2y PE AE ===，进而得到4AB =，再利用图象的拐点得出3AD =，由图象知P 到达C 时得最长，由勾股定理即可求出其值．【详解】解：由图知，当0x =时，2y =，即当P 在A 点时2y PE AE ===， 点E 为AB 的中点，， ∴24AB AE ==，当P 在AD 上运动时，PE 慢慢增大，P 到D 点时，从图中的拐点可知，此时y PE DE ===∴3AD =，当P 在DC 上运动时，PE 先减小再增大，直到P 到达C 点时，此时AP AC =4DC AB ==，∴5AP =，故选：B ．2．（2024·安徽合肥·一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =．AB 与矩形DEFG 的一边EF 都在直线l 上，其中4AB =、1DE =、3EF =，且点B 位于点E 处．将ABC 沿直线，向右平移，直到点A 与点E 重合为止．记点B 平移的距离为x ，ABC 与矩形DEFG 重叠区域面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据CB 经过点D 和CA 经过点D 时计算出1x =和3x =，再分01x ≤≤，13x <≤和34x <≤三种情况讨论，画出图形，利用面积公式解答即可． 【详解】解：当BC 经过点D 时，如图所示：ABC 为等腰直角三角形， 45DBE ∴∠=︒，1DE =，90DEB ∠=︒，11tan 451DE EB ∴===︒；当AC 经过点D 时，如图所示：45A ∠=︒，1DE =，1AE ∴=，413EB AB AE ∴=−=−=；①当01x ≤≤时，如图所示：此时EB x =，45HBE ∠=︒，tan 45HE EB x ∴=︒⋅=，2111222y EB HE x x x ∴=⋅=⋅=；②当13x <≤时，如图所示：过M 作MN AB ⊥于N ， 此时，1MN =，45MBN ∠=︒，1BN ∴=，EB x =，1EN EB NB x ∴=−=−，四边形DENM 是矩形，1DM EN x ∴==−，111()(1)1222y DM EB DE x x x ∴=+⋅=−+⨯=−；③当34x <≤时，如图所示：此时1IR =，45IBR ∠=︒ 1BR ∴=，EB x =，1ER DI x ∴==−，4AE AB EB x =−=−，45B ∠=︒，tan454TE AE x ∴=⋅︒=−，1DE =，1(4)3DT DE TE x x ∴=−=−−=−， DG AB ∥，45DKT ∴∠=︒，33tan 451DT x DK x −∴===−︒，()22ΔΔ1111111(3)45222IRB DTK DERI y S S S x x x x ∴=+−=⨯−+⨯⨯−⨯−=−+−四边形．故选：D ． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解三角形等知识，关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行运算．3．（2024·河南平顶山·一模）如图1，在ABC 中，60ABC ∠=︒．动点P 从点A 出发沿折线A →B →C 匀速运动至点C 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 随x 变化的关系图像，其中M 为曲线DE 的最低点，则ABC 的面积为（ ）A ．BC ．D 【答案】C【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．作AD BC ⊥，当动点P 运动到点D 时，线段AP 的长度最短，此时AB BD +P 运动到点C 时，运动结束，此时3AC =，根据直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：作AD BC ⊥，垂足为D ，当动点P 运动到点D 时，线段AP 的长度最短，此时点P 运动的路程为AB BD +=当动点P 运动到点C 时，运动结束，线段AP 的长度就是AC 的长度，此时AC =，∵60ABC ∠=︒， ∴30BAD ∠=︒，∴2AB BD =，∴3AB BD BD +==∴BD =，AB =，∴2AD ==，在Rt △ABD 中，AC =，∴CD =，∴BC BD CD =+=∴ABC 的面积为11222BC AD ⨯=⨯=故选：C ．题型四 二次函数与其他函数综合问题【例1】（2024·安徽宿州·一模）如图，已知抛物线242y ax ax =−+−（a 是常数且0a >）和线段MN ，点M 和点N 的坐标分别为()()0,4,5,4．（1）抛物线的对称轴为直线x = ；（2）当1a =时，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后与线段MN 仅有一个交点，则k 的取值范围是 ． 【答案】 2 2k =或611k <≤【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，利用数形结合的数学思想作出图形，根据图形进行求解是解决问题的关键．（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线()422ax a =−=⨯−，即可求解；（2）由题意可知，当1a =时，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后抛物线为()224222y x x x k=−+−=−−++，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段MN 上，当抛物线经过点()5,4N 时，求出对应k 的值，结合图形即可求解．【详解】解：（1）∵242y ax ax =−+−，∴抛物线的对称轴为直线()422ax a =−=⨯−，故答案为：2； （2）当1a =时，()224222y x x x =−+−=−−+，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后抛物线为()222y x k=−−++，当抛物线顶点恰好平移到线段MN 上，此时，24k +=，可得2k =； 当抛物线经过点()0,4M 时，此时()20224k −−++=，可得6k =，此时()0,4M 关于对称轴2x =对称的点()4,4M '，在线段MN 上，不符合题意；当抛物线经过点()5,4N 时，此时()25224k −−++=，可得11k =，此时()5,4N 关于对称轴2x =对称的点()1,4N '−，不在线段MN 上，符合题意；结合图形可知，平移后的抛物线与线段MN 仅有一个交点时，2k =或611k <≤； 故答案为：2k =或611k <≤．1．（2024·安徽合肥·一模）我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标6倍的点，则把该函数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”20y x =+，其“行知点”为()424，． （1）直接写出函数24y x=图象上的“行知点”是 ； （2）若二次函数()()21332y a x a x a =−+++的图象上只有一个“行知点”，则a 的值为 ． 【答案】 ()212，或()212−−， 3−【分析】本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，将新定义与所学二次函数，一元二次方程的知识相结合，熟练掌握跟与系数关系是解题关键．（1）根据题目所给“行知点”的定义，列出方程求解即可；（2）根据题目所给“行知点”的定义，列出方程，根据只有一个“行知点”得出该方程只有一个实数根，再根据一元二次方程根的判别式，即可解答．【详解】解：（1）根据题意可得：246x x =，整理得：24x =， 解得：122,2x x ==−，经检验，122,2x x ==−是原分式方程的解；∴函数24y x =图象上的“行知点”是)212，或()212−−，； 故答案为：()212，或()212−−，．（2）∵二次函数()()21332y a x a x a =−+++的图象上只有一个“行知点”， ∴方程()()216332x a x a x a =−+++有两个相等的实数根，且30a −≠，整理得：()()213302a x a x a −+−+=，∴()()2134302a a a −−⨯⨯−=，解得：123,3x x ==−， 综上：a 的值为3−．故答案为：3−．2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x x =−−与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 在抛物线上，且与点C 关于抛物线对称轴对称，则点D 坐标为 ，连接OD ，DB ，点P 在抛物线第四象限内不与B ，C 两点重合．过点P 作y 轴的垂线与线段BC 交于点E ，以PE 为边作Rt PEF △，使90PEF ∠=︒，点F 在点E 的下方，且274EF =，点F 恰好落在射线BD 上，再将PEF !绕点E 旋转得到P EF ''△ （点P 的对应点为点P '，点F 的对应点为点F '），当P E '与OD 垂直时，点P '的横坐标为 ．【答案】()3,4− 6320或720 【分析】（1）由234y x x =−−得(0,4)C −，对称轴为直线32x =，由D 与C 关于对称轴对称，得(3,4)D −．（2）延长EP '交x 轴于R ，延长FE 交x 轴于N ，过D 作DM x ⊥轴，过P '作P K x '⊥轴．先求直线BC 解析式为4y x =−，再求直线BD 解析式为416y x =−．设(,4)E t t −，(,416)F t t −，由274EF =计算得7(4E ，9)4−，7(4F ，9)．证明OMD ENR △∽△，得3RN =，154ER =．由平行相似得EP NK ER NR '=，75NK =，再计算即可．【详解】解：（1）由234y x x =−−得(0,4)C −，(4,0)B ，∴对称轴为直线32x =， D 与C 关于对称轴对称，(3,4)D ∴−，故答案为：()3,4−．（2）延长EP '交x 轴于R ，延长FE 交x 轴于N ，过D 作DM x ⊥轴，过P '作P K x '⊥轴．如图：设直线BC 解析式为y mx n =+，∴404m n n +=⎧⎨=−⎩，1m ∴=，n =−4，4y x ∴=−，设直线BD 解析式为y ax b =+，∴4034a b a b +=⎧⎨+=−⎩，4a ∴=，16b =−，416y x ∴=−． E 在直线BC 上，∴设(,4)E t t −，(,416)F t t ∴−，27(4)(416)1234EF t t t ∴=−−−=−=， 74t ∴=． 7(4E ∴，9)4−，7(4F ，9)−．29344x x −−=−， 71(22x x ∴==−不在第四象限，舍去）．7(2P ∴，4)−．设直线OD 解析式为y hx =，(3,4)D −，43h ∴−=，43h ∴=−，43y x ∴=−． 94EN ∴=，4DM =，3OM =，EP OD '⊥，90MOD NRE ∴∠+∠=︒，90MOD MDO ∠+∠=︒，NRE MDO ∴∠=∠，90ENR DMO ∠=∠=︒，OMD ENR ∴△∽△， ∴EN RN ER OM DM OD ==， ∴94345RN ER==， 3RN ∴=，154ER =．P K EN '∥， ∴EP NK ER NR '=，75NK ∴=， 7(4N ，0)，77(45K ∴−，0)或77(45+，0)，7(20K ∴，0)或63(20，0)， P '∴的横坐标为：720或6320．故答案为：(3,4)−，720或6320．【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，掌握抛物线解析式的求法，以及相似的运用，是解题关键．。
初三数学中考专题： 反比例函数与最值压轴题
1．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，在第一象限内以OA 为边作OABC ，点()2,C y 和边AB 的中点D 都在反比例函数()0k y x x =>的图象上，已知OCD 的面积为92（1）求反比例函数解析式；（2）点(),0P a 是x 轴上一个动点，求PC PD -最大时a 的值；（3）过点D 作x 轴的平行线（如图2），在直线l 上是否存在点Q ，使COQ ∆为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图：在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，2OB =，//AB x 轴，双曲线k y x=经过点B ，将AOB 绕点B 逆时针旋转，使点O 的对应点D 落在x 轴正半轴上．AB 的对应线段CB 恰好经过点O ．（1）求证OBD 是等边三角形；（2）求出双曲线的解析式，并判断点C 是否在双曲线上．请说明理由；（3）在y 轴上是否存在一点P ．使PBD △的周长最小．若存在．求点P 的坐标：若不存在，请说明理由．3．如图，点(,4)A m ，(,2)B n 在反比例函数k y x=的图象上，AD x ⊥轴于点D ，BC x ⊥轴于点C ，3DC =． （1）求m ，n 的值并写出反比例函数的表达式；（2）连接AB ，已知在线段DC 上存在一E 点，使ABE ∆的面积等于5，请求出点E 的坐标．（3）设P 是x 轴上的一个动点，是否存在点P 使得的ABP ∆的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，平面直角坐标系中，点A （0，2），点B （3，﹣2），以AB 为边在y 轴右侧作正方形ABCD ，反比例函数k y x=（x ＞0）恰好经过点D ． （1）求D 点坐标及反比例函数解析式；（2）在x 轴上有两点E ，F ，其中点E 使得ED +EA 的值最小，点F 使得|FD ﹣FA |的值最大，求线段EF 的长．5．如图，一次函数2y kx =+的图象与y 轴交于点A ，正方形ABCD 的顶点B 在x 轴上，点D 在直线2y kx =+上，且AO =OB ，反比例函数n y x =（0x >）经过点C ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P 是x 轴上一动点，当PCD ∆的周长最小时，求出P 点的坐标；（3）在（2）的条件下，以点C 、D 、P 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M 的坐标．6．如图在平面直角坐标系中，O 为原点，A 、B 两点分别在y 轴、x 轴的正半轴上，△AOB 的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数4yx=的图像上．（1）求点P的坐标；（2）若OA＝OB，则①∠P的度数为；②求出此时直线AB的函数关系式；（3）如果直线AB的关系式为y＝kx＋n，且0＜n＜2，作反比例函数nyx=-，过点P(0，1)作x轴的平行线与4yx=的图像交于点M，与nyx=-的图像交于点N，过点N作y轴的平行线与y＝kx＋n的图像交于点Q，若MN＋QN的和始终是一个定值d，求此时k的值及定值d．7．如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数y＝6x（x＞0）图象上一点，点B在x轴上，AD＝BD，四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y＝6x（x＞0）图象于点E．（1）平行四边形ABCD的面积等于，（2）设D点横坐标为m，①试用m表示点C的坐标；②试用m表示点E的坐标．（要有推理和计算过程）（3）求CE：EB的值．（4）求EB的最小值．8．点A ，C 是反比例函数()0k y k x=>图象上的两点，AB x ⊥轴．（1）如图1，当ABC ∆是边长为2的等边三角形时，求k 的值；（2）如图2，当AC BC =时，连接OA ，随着点A 在反比例函数图象上移动，四边形OACB 的面积是否为定值？若是，请用含k 的代数式表示这个定值；若不是，请说明理由．9．定义：对于函数y ，我们称函数叫做函数|y |的正值函数．例如：函数y 1x =的正值函数为y =|1x |． 如图，曲线y 4x=(x ＞0)请你在图中画出y =x +3的正值函数的图象． （1）写出y =x +3的正值函数的两条性质； （2）y =x +3的正值函数的图象与x 轴、y 轴、曲线y 4x =(x ＞0)的交点分别是A ，B ，C ．点D 是线段AC 上一动点(不包括端点)，过点D 作x 轴的平行线，与正值函数图象交于另一点E ，与曲线交于点P ．①试求△PAD 的面积的最大值；②探索：在点D 运动的过程中，四边形PAEC 能否为平行四边形？若能，求出此时点D 的坐标；若不能，请说明理由．10．如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．（1）写出中点D的坐标，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN ON的最小值．参考答案1．（1）6y x =；（2）6；（3）存在．点Q 的坐标为93,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或173,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或2322⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭或2322⎛⎫ ⎪ -⎪⎝⎭ 解：（1）当2x =时，2k y =， 2,2k C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， OABC 中，//BC OA ，2B c k y y ∴==， D 是边AB 的中点，124D B k y y ∴==，即：4,4D k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 作CE x ⊥轴于点,E DF x ⊥轴于点F ，则()19422422OCD CDFE k k S S ∆⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭梯形，解得：6k =． ∴反比例函数解析式为：6y x=． ()2在PCD 中，PC PD CD -<，当,,P C D 在一条直线上时，PC PD CD -=，由()1知，(),(32,34,2C D ），∴设直线CD 的解析式为：1y k x b =+， 则1123,342k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得：139,42k b =-=， CD ∴的解析式为：3942=-+y x ， 由39042x -+=，得6x =， PC PD ∴-最大时，a 的值为6；()3设点Q 的坐标为3,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，①当∠QOC=90°时，则OQ 2+OC 2=QC 2，即：()22222233232322m m ⎛⎫⎛⎫+++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：m=94-， ∴点Q 的坐标为93,42⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当∠OCQ=90°时，则CQ 2+OC 2= OQ 2，即：()22222233232322m m ⎛⎫⎛⎫-+-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：m=174， ∴点Q 的坐标为173,42⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当∠OQC=90°时，则CQ 2+OQ 2= OC 2，即：()22222233232322m m ⎛⎫⎛⎫-+-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：， ∴点Q的坐标为23,22⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭或2322⎛⎫ ⎪ -⎪⎝⎭． 综上所述，点Q 的坐标为93,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或173,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或23,22⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭或2322⎛⎫ ⎪ -⎪⎝⎭．2．（1）见解析；（2）双曲线解析式为：y =，在，理由见解析；（3）存在，点(0,3P 解：（1）∵//AB x 轴，∴ABO BOD ∠=∠，∵AOB ∆绕点B 逆时针旋转△CDB∴ABO=CBD ∠∠，∴BOD OBD ∠=∠，∵OB BD =，∴BOD BDO ∠=∠=∠OBD，∴BOD 是等边三角形．（2）由（1）得：BOD 是等边三角形，∴60BOD ∠=︒，y B x B =OB•cos60°=2×1=12∴B ， ∵双曲线k y x=经过点B ，∴1k ==∴双曲线的解析式为y x=； ∵60ABO ∠=︒，90AOB ∠=︒，∴30A ∠=︒，∴2AB OB =，∵AB BC =，∴2BC OB =，∴OC OB =，∴(1,C -，∵1(-⨯=，∴点C 在双曲线上；（3）∵PBD △的周长BD PB PD =++，且BD 是定值， ∴当PB PD +取最小值时，PBD △有最小值，如图，作点B 关于y 轴的对称点'B ，连接'B D 交y 轴于点P ，∵B ，∴2OB =，()'-13B ，∵BOD 是等边三角形，∴2BO OD ==，∴点D （2，0），设直线'B D 解析式为y kx b =+，∴02k b k b=-+=+⎪⎩，∴k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴33y x =-+， 当0x =时，3y =，∴点P ． 3．（1）3m =，6n =，12y x=；（2）(4,0)E ；（3）存在，点(5,0)P ．解：（1）点(,4)A m ，(,2)B n 在反比例函数k y x=的图象上， 42k m n ∴==，即2n m =，3DC =，3n m ∴-=，3m ∴=，6n =，∴点(3,4)A ，点(6,2)B ，3412k ∴=⨯=，∴反比例函数的表达式为12y x=； （2）设点(,0)E x ， 3DE x ∴=-，6CE x =-，4=AD ，2BC =，()()11163436295222ABE ADE BCE ABCD S S S S x x x ∆∆∆=--=⨯⨯-⨯---⨯=-+=四边形，4x ∴=，∴点(4,0)E ；（3）ABP ∆的周长AB AP BP =++，又AB 是定值，∴当AP BP +的值最小是，ABP ∆的周长最小，如图，作点B 关于x 轴的对称点(6,2)F -，连接AF 交x 轴于点P ，此时PA PB +有最小值，设直线AF 的解析式为y kx b =+，4326k b k b=+⎧⎨-=+⎩， 解得210k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AF 的解析式为210y x =-+，当0y =时，5x =，∴点(5,0)P ．4．（1）D （4，5），20y x=；（2）8021EF = （1）作DM ⊥y 轴于M ，BN ⊥y 轴于N ，∵点A （0，2），点B （3，﹣2），∴OA =2，ON =2，∴AN =4，BN =3，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD =90°，AB =AD ，∴∠NAB +∠DAM =90°，∵∠NAB +∠ABN =90°，∴∠DAM =∠ABN ，在△ANB 和△DMA 中，90ABN DAM ANB DMA AB AD ∠=∠⎧⎪∠+∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ANB ≌△DMA （AAS ），∴AM =BN =3，DM =AN =4，∴OM =5，∴D （4，5）， ∵反比例函数k y x =（x ＞0）恰好经过点D ． ∴k =4×5=20， ∴双曲线为20y x=； （2）如图2所示：作A 点关于x 轴对称点A ′，连接DA ′，交x 轴于点E ，此时ED +EA 的值最小，∵A （0，2），∴A ′（0，﹣2），设直线DA ′的解析式为：y ax b =+，把A （0，﹣2），D （4，5）代入得245b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：742a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线DA ′解析式为：724y x =-， 当0y =则87x =， 故E 点坐标为：（87，0）， 延长DA 交x 轴于F ，此时|FD ﹣FA |的值最大，设直线AD 的解析式为y mx n =+，把A （0，2），D （4，5）代入得245n m n =⎧⎨+=⎩， 解得342m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AD 的解析式为324y x =+， 当0y =则83x =-， ∴F （83-，0）， ∴88807321EF =+=． 5．（1）y =x +2，8y x =；（2）P （103，0）；（3）M 的坐标为（43，2），（83，6）或（163，﹣2）． （1）设一次函数y =kx +2的图象与x 轴交于点E ，连接BD ，如图1所示．当x =0时，y =kx +2=2，∴OA =2．∵四边形ABCD 为正方形，OA =OB ，∴∠BAE =90°，∠OAB =∠OBA =45°，∴∠OAE =∠OEA =45°，∴OE =OA =2，点E 的坐标为（﹣2，0）．将E （﹣2，0）代入y =kx +2，得：﹣2k +2=0，解得：k =1，∴一次函数的解析式为y =x +2．∵∠OBD =∠ABD +∠OBA =90°，∴BD ∥OA ．∵OE =OB =2，∴BD =2OA =4，∴点D 的坐标为（2，4）．∵四边形ABCD 为正方形，∴点C 的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．∵反比例函数y n x =（x ＞0）经过点C ，∴n =4×2=8，∴反比例函数解析式为y 8x=． （2）作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '交x 轴于点P ，此时△PCD 的周长取最小值，如图2所示．∵点D 的坐标为（2，4），∴点D '的坐标为（2，﹣4）．设直线CD '的解析式为y =ax +b （a ≠0），将C （4，2），D '（2，﹣4）代入y =ax +b ，得：4224a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得：310a b =⎧⎨=-⎩，∴直线CD '的解析式为y =3x ﹣10． 当y =0时，3x ﹣10=0，解得：x 103=，∴当△PCD 的周长最小时，P 点的坐标为（103，0）．（3）设点M 的坐标为（x ，y ），分三种情况考虑，如图3所示． ①当DP 为对角线时，10423240x y ⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩，解得：432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴点M 1的坐标为（43，2）； ②当CD 为对角线时，10243042x y ⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩，解得：836x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴点M 2的坐标为（83，6）； ③当CP 为对角线时，10243420x y ⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩，解得：1632x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴点M 3的坐标为（163，﹣2）．综上所述：以点C 、D 、P 为顶点作平行四边形，第四个顶点M 的坐标为（43，2），（83，6）或（163，﹣2）．6．（1）P(2，2)；（2）①22.5°；②4y x =-+-（3）k ＝2，d ＝3．解：（1）过P 作PC⊥x 轴于点C ，作PD⊥y 轴于点D ，PE⊥AB 于点E ，如图1，∵AP 和BP 分别是∠BAF 和∠ABC 的平分线，∴PC=PE=PD，设PC=a ，则P （a ，a ），把P （a ，a ）代入4y x=中得，a 2=4， ∴2a =±，由于0a >，因此2a =，∴P(2，2)；（2）①∵OA=OB，∠A0B=90°，∴∠OAB=45°，∴∠BAD=135°，∵∵AP 和BP 分别是∠BAF 和∠ABC 的平分线，∴∠PAD=67.5°，∠POA=45°，∴∠APO=∠PAD -∠POA=22.5°，∴∠P＝22.5°；②过P 作PD⊥y 轴于点D ，如图2，∵OA=OB，OP 平分∠AOB，∴OP⊥AB，∵AP 平分∠BAD，∴PH=PD，由（1）知P （2，2），∴PH=PD=OD=2，OP= ，∴OH=2，OH=4-∴A（0，4-，B（4-0），设直线AB 的解析式为：y =mx +n （m ≠0），则(440n m n ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩ ，解得14m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线AB的函数关系式为4y x =-+-（3）如图，把y ＝1代入4y x=中，x ＝4， ∴M(4，1)． 把y ＝1代入n y x=-中，x ＝－n ， ∴N(－n ，1)． 把x ＝－n 代入 y ＝kx ＋n 中，y ＝－kn ＋n ，∴Q(－n ，－kn ＋n)．∴MN＋QN ＝（4＋n ）＋（－kn ＋n －1）＝－kn ＋2n ＋3＝（－k ＋2）n ＋3，∵0＜n ＜2，∴当k ＝2时，MN ＋QN 为定值，定值d ＝3．7．（1）12；（2）①C(3m，6m )m +，6m ）；（3；（4）﹣2解：（1）如图，作DH⊥AB 于H ，设D （m ，n ）． ∵DA＝DB ，DH⊥AB，∴AH＝BH ＝m ，∵点D 在y ＝6x 上， ∴mn＝6，∴S 平行四边形ABCD ＝AB•DH＝2mn ＝12．故答案为12．（2）①由题意D （m ，6m），其中m ＞0 由（1）可知AB ＝2m ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD＝AB ＝2m ，∴C（3m ，6m）． ②∵B（2m ，0），C （3m ，6m ）， 设直线BC 的解析式为y=kx ＋b将点B 和点C 的坐标代入，得0263mk b mk b m=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得：2612k m b m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线BC 的解析式为y ＝26mx ﹣12m ，由26612y x y x m m⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1)6x m y m ⎧=⎪⎨=⎪⎩或(16(1x m y m ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩（因为点E在第一象限，而(1m -＜0，故舍去），m +，6m）． （3）作EF⊥x 轴于F ，CG⊥x 轴于G ．∵EF∥CG， ∴CE BE ＝FG BF． （4）∵CE BE，AD ， 要使得BE 最小，只要AD 最小，=， ∴AD 的最小值为∴BE＝﹣8．（1）k =（2）四边形OACB 的面积是k ，为定值．（1）设点(),2A a ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则BD =1CD =，如图1，则()C a +．∵ 点A ，C 在同一个反比例函数的图象上，∴2a a =+∴a =∴2k ==（2）四边形OACB 的面积是定值． 证明如下：设,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点C 作CD AB ⊥于点D ，如图2， ∵AC BC =， ∴2k BD a =，即点C 的纵坐标为2k a． ∵点C 在反比例函数的图象上， ∴2,2k C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴CD a =，∴ABC ∆的面积为11222k k AB CD a a ⋅=⋅⋅=． ∵Δ2OAB k S =， ∴ 四边形OACB 的面积是k ，为定值．9．（1）①图象与x 轴交于(﹣3，0)，②当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小；（2）①m32=-时，△PAD 的面积最大，最大值为258；②能，D (﹣1，2)． （1）y =x +3的正值函数为y =|x +3|，函数图象如图所示：函数y =|x +3|的性质：①图象与x 轴交于（﹣3，0）．②当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小．③当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大．（2）①如图2中，设D（m，m+3），则P（43m+，m+3），∴PD43m=-+m2343m mm--+=+，∴S△APD12=•（2343m mm--++）•（m+3）12=-（m2+3m﹣4）12=-（m32+）2258+，∵12-＜0，∴m32=-时，△PAD的面积最大，最大值为258．②如图2中，连接EC．假设四边形APCE是平行四边形，则AD=CD．∵A（﹣3，0），C（1，4），∴D（﹣1，2），∴P（2，2），E（﹣5，2），∴DE=DP=3．∵DE=DP，AD=DC，∴四边形APCE是平行四边形，符合条件．10．（1）D(32，2)，y=3x；（2）458；（3）4．（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．∵OD=DB，∴D(32，2)．∵y=kx经过D(32，2)，∴k=3，∴反比例函数的解析式为y=3x．（2）如图①中，连接OE，OF．由题意E(34，4)，F(3，1)，∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣12×4×34﹣12×3×1﹣12×3×(3﹣34)=458．（3）如图②中，作N J⊥BD于J．HK⊥BD于K．由题意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，∴BH∴sin∠CBH =CH BH ∵OM ⊥BH ，∴∠OMH =∠BCH =90°．∵∠MOH +∠OHM =90°，∠CBH +∠CHB =90°， ∴∠MOH =∠CBH ．∵OB =OH ，OM ⊥BH ，∴∠MOB =∠MOH =∠CBH ，∴sin∠J OD ，∴N J=ON •sin∠NOD ON ，∴NH ON =NH +N J ，根据垂线段最短可知，当J ，N ，H 共线，且与HK 重合时，HN ON 的值最小，最小值=HK 的长．∵OB =OH ，BC ⊥OH ，HK ⊥OB ，∴HK =BC =4，∴HN ON 是最小值为4．。
与一次函数、反比例函数、二次函数有关问题的压轴题之五大题型(解析版)--2024年中考数学满分压轴题
与一次函数、反比例函数、二次函数有关问题的压轴题之五大题型目录【题型一 一次函数实际应用问题】【题型二 二次函数的实际应用问题】【题型三 一次函数与反比例函数综合问题】【题型四 二次函数的综合问题】【题型五 一次函数、反比例函数、二次函数综合问题】【题型一一次函数实际应用问题】1(2023·江苏南京·三模)A、B两地相距120km，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发mh．设甲车行驶的时间为x h ，甲、乙两车离A地的距离分别为y1km、y2 km，图中线段OP表示y1与x的函数关系．(1)甲车的速度为km/h；(2)若两车同时到达目的地，在图中画出y2与x的函数图像，并求甲车行驶几小时后与乙车相遇；(3)若甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，直接写出m的范围．【答案】(1)60(2)图象见解析，甲车出发后87h与乙车相遇；(3)14<m<35【分析】(1)根据路程除以时间即可得到甲车的速度；(2)求出乙车比甲车晚出发0.5h，即可画出图象，再求出y1=60x，y2=-80x+160，联立解析式解方程组即可得到答案；(3)求得y1=60x，y2=-80x+120+80m，联立解方程组可得y1=y2=6067+4 7m，根据甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，可列60<6067+4 7m<72，即可解得答案．【详解】(1)解：由图可得，甲车的速度为120÷2=60km/h，故答案为：60；(2)解：∵乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地，∴乙车行驶时间为120÷80=1.5h ，∵m=2-1.5=0.5h ，∴乙车比甲车晚出发0.5h，画出y2与x的函数图象如下：图象CD即为y2与x的函数图象，由题意得y1=60x，设CD的函数表达式为y2=kx+b，将2，0，0.5,120代入y2=kx+b，得2k+b=00.5k+b=120 ，解得k=-80 b=160 ，∴y2=-80x+160，由-80x+160=60x，解得x=8 7，∴甲车出发后87h与乙车相遇，答：甲车出发后87h与乙车相遇；(3)解：根据题意得y1=60x，y2=120-80x-m=-80x+120+80m，由60x=-80x+120+80m得：x=67+47m，当x=67+47m时，y1=y2=6067+47m，∵甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，∴60<6067+4 7m<72，解得14<m<35，∴m的范围是14<m<35．【点睛】本题考查一次函数的应用，解一元一次不等式组，涉及待定系数法，解题的关键是数形结合的应用．【变式训练】1(2023·江苏南京·三模)甲、乙两车从A地驶往B地，甲车出发1小时后，乙车出发，乙车出发1.5小时追上甲．甲、乙两车离B地的距离y1，y2(单位：km)与甲出发的时间x(单位：h)的图像如图①所示．(1)乙车的速度为km/h；a=(2)求y1与x之间的函数表达式；(3)在图②中画出甲、乙两车之间的距离s(单位：km)与甲车出发的时间x(单位：h)之间的函数图像．【答案】(1)100；5(2)y1=-60x+300(3)见解析【分析】(1)用路程除以时间求出乙车的速度即可；根据乙车追上甲车时，乙车通过的距离，求出甲车的速度，然后用总路程除以甲车速度得出甲车到达B地所用时间，即可求出a的值；(2)用待定系数法求出y1与x之间的函数表达式即可；(3)分四段画出甲、乙两车之间的距离s与甲车出发的时间x之间的函数图像即可．【详解】(1)解：乙车的速度为3004-1=100km/h；乙车追上甲车时，乙车通过的距离为：100×1.5=150km，此时甲车通过的距离为150km，甲车的速度为：150 2.5=60km/h，则a=30060=5；故答案为：100；5．(2)解：设y1与x之间的函数表达式为y1=kx+b k≠0，把0,300，5,0代入得：b=300 5k+b=0，解得：k=-60 b=300，∴y1与x之间的函数表达式为y1=-60x+300．(3)解：当0≤x<1时，两车之间的距离逐渐增大，当x=1时，两车之间的距离s=60；当1<x≤2.5时，两车之间的距离逐渐减小，当x=2.5时，两车之间的距离为s=0；当2.5<x≤4时，两车之间的距离逐渐增大，当x=4时，两车之间的距离为s=100-60×4-2.5= 60；当4<x≤5时，两车之间的距离逐渐减小，当x=5时，两车之间的距离为s=0；∴函数图象如图所示：【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据函数图像获得信息，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类．2(2023·江苏南京·二模)小明早晨从家里出发匀速步行去上学，中途没有停下来，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后t 分钟时，他所在的位置与家的距离为s 千米，且s 与t 之间的函数关系的图象如图中的折线段OA -AB 所示．(1)试求线段OA 所对应的函数关系式；(2)请解释图中线段AB 的实际意义；(3)请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过中，她所在位置与家的距离s (千米)与小明出发后的时间t (分钟)之间函数关系的图象．(注：请标注出必要的数据)【答案】(1)s =112t (0≤t ≤12)(2)小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟(3)见解析【分析】(1)待定系数求线段解析式即可求解；(2)根据题意，结合图象即可求解；(3)根据题意可得小明妈妈的速度是小明的2倍，进而补充函数关系图象，即可求解．【详解】(1)解：设线段OA 的解析式为y =kx ，将点12,1 代入，1=12k解得：k =112线段OA 对应的函数关系式为：s =112t (0≤t ≤12)；(2)图中线段AB 的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟；(3)由图象可知，小明花20分钟到达学校，则小明的妈妈花20-10=10分钟到达学校，∴小明妈妈的速度是小明的2倍，即：小明花12分钟走1千米，则妈妈花6分钟走1千米，又∵小明的妈妈在小明出发后10分钟出发，∴函数图象为经过点10,0，16,1的一段线段，如图所示，【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求直线解析式，从函数图象获取信息是解题的关键．3(2023·江苏南京·一模)如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为600m的队伍AB，排尾A处的传令兵从甲地和队伍AB沿同一直道同时出发．队伍AB以v1m/min的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以v2m/min的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B⋯⋯如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离y1(单位：m)与出发时间x(单位：min)之间的函数关系部分图象如图③所示．(1)v1=m/min，v2=m/min；(2)求线段MN所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)在图③中，画出排头B离甲地的距离y2(单位：m)与出发时间x之间的函数图象【答案】(1)75；125(2)y1=-125x+300012≤x≤15(3)见解析【分析】(1)由函数图象可知在第12分钟时传令兵到达排头B，此时传令兵比队伍多走600米，在第15分钟传令兵此时返回到排尾A，3分钟内队伍和传令兵的路程和为600米，由此建立方程组求解即可；(2)先求出M、N的坐标，再利用待定系数法求解即可；(3)y2(单位：m)与出发时间x之间的函数图象过图中两个拐点(点M和与点M类似的那个点)，由此画图即可．【详解】(1)解：12v2-v1=60015-12v2+v1=600，解得v1=75v2=125，故答案为：75；125；(2)解：125×12=1500，∴点M的坐标为12，1500，1500-125×3=1125，∴点N的坐标为15，1125，线段MN所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=kx+b，∴12k+b=1500 15k+b=1125 ，∴k=-125 b=3000 ，∴段MN所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=-125x+300012≤x≤15；(3)解：y2与x之间的函数图象如图所示．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．4(2023·江苏南京·一模)如图①，小明家，妈妈的单位和超市在一条直线上，一天傍晚，小明从家步行去超市，与此同时妈妈从单位骑行回家拿东西，再以相同的速度骑行去超市．如图②，线段OD和折线ABCD 分别表示小明和妈妈离家的距离y(m)与出发时间x(min)的关系．(1)小明步行的速度是m min，妈妈的单位距离超市m；(2)求线段CD所表示的y与x之间的函数表达式；(3)当x=时，小明与妈妈相距400m．【答案】(1)100；800(2)y=200x-1400(7≤x≤14)(3)23或4或10【分析】(1)根据图示数据解答；(2)设解析式后，根据图示把(7,0),(14,1400)代入求出即可；(3)根据题意知，小明与妈妈相距400m 有三次，利用列方程分别求出即可．【详解】(1)解：由图可知：小明步行的速度是1400÷14=100m min ，妈妈的单位距离超市1400-600=800m ；故答案为：100；800．(2)解：设线段 CD 所表示的函数表达式为： y =kx +b (k ≠0)，把(7,0),(14,1400)代入 y =kx +b (k ≠0)得：7k +b =014k +b =1400解得：k =200,b =-1400，线段 CD 所表示的函数表达式为：y =200x -1400(7≤x ≤14)．(3)由图示知，小明妈妈从单位骑行回家拿东西共用时间是3min ，小明妈妈从单位骑行速度是：600÷3=200m min 当小明妈妈从单位骑行回家拿东西时，小明与妈妈相距400m ，由题意列方程为：100x +200x =600-400，解得：x =23；当小明妈妈回家拿东西并在家停留4min 时，小明与妈妈相距400m ，此时x =4；当小明妈妈回家拿东西后再以相同的速度骑行去超市时，由题意列方程为：100x -(200x -1400)=400，解得： x =10，综上所述：x =23或4或10时，小明与妈妈相距400m ．故答案为：23或4或10．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合的思想解答．【题型二二次函数的实际应用问题】1(2023·江苏南京·二模)某水果店出售一种水果，每箱定价58元时，每周可卖出300箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗费为3元．(1)若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？(2)根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？【答案】(1)若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；(2)当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．【分析】(1)根据已知列式计算即可；(2)分两种情况：若每箱水果降价x 元，这种水果的每周销售利润为y 元，可得：y =(58-35-3-x )(300+25x )=-25(x -4)2+6400，若每箱水果涨价x '元，这种水果的每周销售利润为y '元，有y '=(58-35-3+x ')(300-10x ')=-10(x '-5)2+6250，由二次函数性质可得答案．【详解】(1)解：∵58-35-3=20，20×300=6000(元)，∴若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；(2)若每箱水果降价x元，这种水果的每周销售利润为y元，根据题意得：y=(58-35-3-x)(300+25x)=-25(x-4)2+6400，由二次函数性质可知，当x=4时，y的最大值为6400元；若每箱水果涨价x'元，这种水果的每周销售利润为y'元，根据题意得：y'=(58-35-3+x')(300-10x')=-10(x'-5)2+6250，由二次函数性质可知，当x'=5时，y'的最大值为6250元；综上所述，当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，分情况列出函数关系式．【变式训练】1(22-23九年级上·天津和平·阶段练习)俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。
填空压轴题(函数篇)-2023年中考数学压轴题专项训练(解析版)
填空压轴题(函数篇)1.压轴题速练1一．填空题(共40小题)1(2023•上虞区模拟)已知点A 在反比例函数y =12x(x >0)的图象上，点B 在x 轴正半轴上，若△OAB 为等腰直角三角形，则AB 的长为23或26 ．【答案】23或26．【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．【详解】解：当AO =AB 时，此时∠OAB =90°；∵A 在函数y =12x(x >0)上，∴S △OAB =12，∴12×OA ×AB =12，即12AB 2=12，∴AB =24=26；当AB =BO 时，此时∠ABO =90°；∵A 在函数y =12x (x >0)上，∴S △AOB =122=6，∴12×OB ×AB =6，即12AB 2=6，∴AB =23，当OA =OB 时，A 点落在y 轴上，故不合题意，综上所述，AB 的长为23或26．故答案为：23或26．2(2023•姑苏区校级一模)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (a ，b )，若点P '的坐标为ka +b ，a +b k(其中k 为常数且k ≠0)，则称点P '为点P 的“k -关联点”．已知点A 在函数y =3x (x >0)的图象上运动，且A 是点B 的“3-关联点”，若C (-1，0)，则BC 的最小值为 3105 ．【答案】3105．【分析】由A 是点B 的“3-关联点”，可设点B 坐标，表示出点A 坐标，由点A 在函数y =3x(x >0)的图象上，就得到点B 在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点M 、N ，过C 作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段CB ，此时CB 最小，由题中的数据，可以证明出△MON ∽△MBC ，进而得出MNMC =ONBC，进而求出BC ．【详解】解：过点B 作QB ⊥MN ，垂足为B ，设B (x ，y )，∵A 是点B 的“3-关联点”，∴A 3x +y ，x +y3 ，∵点A 在函数y =3x (x >0)的图象上，∴(3x +y )x +y3=3，即：3x +y =3或2x +y =-3(舍去x <0，y <0)，∴y =-3x +3，∴点B 在直线y =-3x +3上，直线y =-3x +3与x 轴、y 轴相交于点M 、N ，则M (1，0)、N (0，3)，∴MN =12+32=10，MC =MO +OC =1+1=2，当CB ⊥MN 时，线段BC 最短，∵∠CBM =∠NOM =90°，∠CMB =∠NMO ，∴△MON ∽△MBC ，∴MN MC =ON BC ，即102=3BC，解得：BC =3105，故答案为：3105．3(2023•海门市一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (m ，n )，B (m +4，n -2)是函数y =kx(k >0，x >0)图象上的两点，过点B 作x 轴的垂线与射线OA 交于点C ．若BC =8，则k 的值为6．【答案】6．【分析】作AD ⊥x 轴于点D ，设直线CB 与x 轴交于点E ，根据AD ∥CE ，得AD CE =ODOE，所以n =32m ，即可得到点A m ，32m ，B m +4，32m -2 ，代入y =kx (k >0，x >0)即可求出答案．【详解】解：如图，作AD ⊥x 轴于点D ，设直线CB 与x 轴交于点E ，∵点A (m ，n )，B (m +4，n -2)，BC =8，∴点D (m ，0)，E (m +4，0)，CE =n +6，∵AD ∥CE ，∴AD CE =ODOE ，∴n n +6=m m +4，∴n =32m ，∴点A m ，32m ，B m +4，32m -2 ，∵点A ，B 是函数y =kx(k >0，x >0)图象上的两点，∴k =m ⋅32m =(m +4)•32m -2 ，解得m =2，∴k =m ⋅32m =6，故答案为：6．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，关键是根据AD ∥CE ，得AD CE =OD OE，求出n =32m ．4(2023•建昌县一模)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数y =kx(k ≠0，x >0)的图象上，点C 在y 轴上，AB =AC ，AC ∥x 轴，BD ⊥AC 于点D ，若点A 的横坐标为5，BD =3CD ，则k 值为 154 ．【答案】154．【分析】延长BD 交x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，设B (m ，n )，可得BD =3m ，AD =5-m ，根据勾股定理求出m =1，进一步得出AF =n -3，再根据n =5(n -3)求出n =154即可得出结论．【详解】解：延长BD 交x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，则四边形BGCD ，COED ，ADEF 均为矩形，∴BG =CD ，AF =DE ，CD =OE ，设B (m ，n )，则有BG =CD =OE =m ，BE =n ，∵AC =AB =5，∴AD =AC -CD =5-m ，∵BD =3CD =3m ，∴AF =DE =n -3m ，在Rt △ABD 中，BD 2+AD 2=AB 2，∴(3m )2+(5-m )2=52，解得m 1=1，m 2=0(不符合题意，舍去)，∴DE =n -3，AF =n -3，∴B (1，n )，A (5，n -3)，∵点A ，B 在反比例函数y =kx(k ≠0，k >0)的图象上，∴n =5(n -3)，解得n =154，∴k =1×154=154．故答案为：154．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标一定满足该函数解析式是解答本题的关键．5(2023•碑林区校级模拟)如图，等腰直角△ABC的顶点A 坐标为(-3，0)，直角顶点B 坐标为(0，1)，反比例函数y =kx(x <0)的图象经过点C ，则k =-4．【答案】-4．【分析】先利用等角的余角相等证明∠CBD =∠BAO ，则可根据“AAS ”判断△AOB ≌△BDA ，所以OB =CD =1，OA =BD =3，则OD =OC +CD =4，从而得到点C 的坐标，代入y =kx(x <0)即可求得k 的值．【详解】解：作CD ⊥y 轴于D ，∵A (3，0)，B (0，1)，∴OA =3，OB =1，∵∠ABC =90°，∴∠ABO +∠CBD =90°，∵∠ABO +∠BAO =90°，∴∠CBD =∠BAO ，在△AOB 和△BDC 中，∠CBD =∠BAO ∠AOB =∠BDC =90°AB =BC ，∴△AOB ≌△BDA (AAS )，∴OB =CD =1，OA =BD =3，∴点C 的坐标(-1，4)，∵反比例函数y =kx(x <0)的图象经过点C ，∴k =-1×4=-4．故答案为：-4．6(2023•宁波模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 为等腰直角三角形，且∠A =90°，点B 的坐标为(4，0)．反比例函数y =kx(k ≠0)的图象交AB 于点C ，交OA 于点D ．若C 为AB 的中点，则OD OA=32 ．【答案】32．【分析】由等腰直角三角形的性质得到A (2，2)，直线OA 为y =x ，进一步求得点C (3，1)，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，与直线OA 的解析式联立，解方程组求得点D 的坐标，从而求得ODOA=32．【详解】解：∵点B 的坐标为(4，0)，∴OB =4，∵△OAB 为等腰直角三角形，且∠A =90°，∴A (2，2)，∴直线OA 为y =x ，∵C 为AB 的中点，∴C (3，1)，∵反比例函数y =kx(k ≠0)的图象交AB 于点C ，交OA 于点D ，∴k =3×1=3，∴反比例函数为y =3x，由y =3x y =x，解得x =3y =3 或x =-3y =-3 ，∴D (3，3)，∴OD OA=32．故答案为：32．7(2023•龙港市二模)如图，Rt △ABO 放置在平面直角坐标系中，∠ABO =Rt ∠，A 的坐标为(-4，0)．将△ABO 绕点O 顺时针旋转得到△A ′B ′O ，使点B 落在边A ′O 的中点．若反比例函数y =kx(x >0)的图象经过点B '，则k 的值为 3 ．【答案】3．【分析】连接BB′，交y轴于D，由题意可知OB=12OA，得出∠A′OB′=∠AOB=60°，证得△BOB′是等边三角形，然后证得BB′垂直于y轴，BD=B′D，从而求得BD=B′D=1，OD=3，得到B′(1，3)，代入y=k x(x>0)即可求得k的值．【详解】解：连接BB′，交y轴于D，由题意可知OB=12OA，∴∠OAB=30°，∴∠A′OB′=∠AOB=60°，∵BO=B′O，∴△BOB′是等边三角形，∵∠BOD=90°-60°=30°，∴OD平分∠BOB′，∴BB′垂直于y轴，BD=B′D，∴BB′∥x轴，∵A的坐标为(-4，0)，∴OA=4，∴OB=2，∴等边△BOB′的边长为2，∴BD=B′D=1，OD=3，∴B′(1，3)，∵反比例函数y=k x(x>0)的图象经过点B'，∴k=1×3=3，故答案为：3．8(2023•温州二模)如图，点A在x轴上，以OA为边作矩形OABC，反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象经过AB的中点E，交边BC于点D，连结OE．若OE=OC，CD=2，则k的值为 1633 ．【答案】1633．【分析】设OC =AB =m ，则AE =12OE =12m ，利用勾股定理求得OA =32m ，即可得到D (2，m )，E 32m ，12m，由k =xy 得到k =2m =32m •12m ，解得m =833，即可求得k =2m =1633．【详解】解：设OC =AB =m ，∵点E 是AB 的中点，∴AE =12AB∵OE =OC ，CD =2，∴AE =12OE =12m ，∴OA =OE 2-12OE 2=32OE =32m ，∴D (2，m )，E 32m ，12m ，∵反比例函数y =kx (k >0，x >0)的图象经过点D 、E ，∴k =2m =32m •12m ，解得m 1=833，m 2=0(舍去)，∴k =2m =1633，故答案为：1633．9(2023•石家庄二模)已知A ，B ，C 三点的坐标如图所示．(1)若反比例函数y =kx的图象过点A ，B ，C 中的两点，则不在反比例函数图象上的是点C ；(2)当反比例函数的图象与线段AC (含端点)有且只有一个y =kx公共点时，k 的取值范围是3≤k <4或k =12424 ．【答案】(1)C ；(2)3≤k <4或k =12124．【分析】(1)根据反比例函数系数k =xy 判断即可；(2)求得直线AC 的解析式，与反比例函数解析式联立，整理得3x 2-11x +2k =0，当Δ=0时，反比例函数的图象与直线AC 有且只有一个公共点，求得此时k 的值，根据k =4时，反比例函数经过A 、B 两点，k =3时，反比例函数经过C 点，根据图象即可得出3≤k <4时，反比例函数y =kx的图象与线段AC (含端点)有且只有一个公共点，从而得出3≤k <4或k =12124．【详解】解：(1)由坐标系可知，A (1，4)，B (2，2)，C (3，1)，∵1×4=2×2≠3×1，∴反比例函数y =kx的图象过点A 、B ，点C 不在反比例函数图象上，故答案为：C ；(2)设直线AC 为y =kx +b ，代入A 、C 的坐标得k +b =43k +b =1 ，解得k =-32b =112，∴直线AC 为y =-32x +112，令k x =-32x +112，整理得3x 2-11x +2k =0，当反比例函数的图象与直线AC 有且只有一个公共点时，Δ=0，∴(-11)2-4×3×2k =0，解得k =12124，由(1)可知k =4时，反比例函数图象过A (1，4)，B (2，2)两点，k =3时，反比例函数图象过C 点，∴3≤k <4时，反比例函数y =kx 的图象与线段AC (含端点)有且只有一个公共点，综上，当反比例函数y =kx的图象与线段AC (含端点)有且只有一个公共点时，k 的取值范围是3≤k<4或k =12124．故答案为：3≤k <4或k =12124．10(2023•郫都区二模)定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(-1，-1)是函数y =2x +1的图象的“等值点”．若函数y =x 2-2(x ≥m )的图象记为W 1，将其沿直线x =m 翻折后的图象记为W 2．当W 1、W 2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m 的取值范围为m <-98或-1<m <2．【答案】m <-98或-1<m <2．【分析】先求出函数y =x 2-2的图象上有两个“等值点”(-1，-1)或(2，2)，再利用翻折的性质分类讨论即可．【详解】解：令x =x 2-2，解得：x 1=-1，x2=2，∴函数y =x 2-2的图象上有两个“等值点”(-1，-1)或(2，2)，①当m <-1时，W 1，W 2两部分组成的图象上必有2个“等值点”(-1，-1)或(2，2)，W 1：y =x 2-2(x ≥m )，W 2：y =(x -2m )2-2(x <m )，令x =(x -2m )2-2，整理得：x2-(4m+1)x+4m2-2=0，∵W2的图象上不存在“等值点”，∴Δ<0，∴(4m+1)2-4(4m2-2)<0，∴m<-98，②当m=-1时，有3个“等值点”(-2，-2)、(-1，-1)、(2，2)，③当-1<m<2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，④当m=2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”(2，2)，⑤当m>2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m<-98或-1<m<2．故答案为：m<-98或-1<m<2．11(2023•双阳区一模)如图，抛物线y=-0.25x2+4与y轴交于点A，过AO的中点作BC∥x轴，交抛物线y=x2于B、C两点(点B在C的左边)，连接BO、CO，若将△BOC向上平移使得B、C两点恰好落在抛物线y=-0.25x2+4上，则点O平移后的坐标为(0，1.5)．【答案】(0，1.5)．【分析】先求得A的坐标，进而根据题意得到B、C两点的纵坐标为2，把y=2代入y=x2得x=±2，即可求得B(-2，2)，进一步求得x=-2时，函数y=-0.25x2+4的值，即可求得平移的距离，得到点O平移后的坐标．【详解】解：∵抛物线y=-0.25x2+4与y轴交于点A，∴A(0，4)，∴OA=4，∵过AO的中点作BC∥x轴，交抛物线y=x2于B、C两点(点B在C的左边)，∴B、C两点的纵坐标为2，把y=2代入y=x2得x=±2，∴B(-2，2)，把x=-2代入y=-0.25x2+4得y=-0.5+4=3.5，∴此时点B的坐标为(-2，3.5)，∴平移的距离为3.5-2=1.5，∴点O平移后的坐标为(0，1.5)，故答案为：(0，1.5)．12(2023•衡水二模)如图，点A a，-3 a(a<0)是反比例函数y=k x图象上的一点，点M(m，0)，将点A绕点M顺时针旋转90°得到点B，连接AM，BM．(1)k的值为-3；(2)当a=-3，m=0时，点B的坐标为(1，3)；(3)若a=-1，无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式．【答案】(1)-3；(2)(1，3)；(3)点B始终在函数y=x-2的图象上．【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数反比例函数y=kx即可求得；(2)作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据旋转的性质得出△BDM≌△MCA，从而得出AC=MD，CM=BD，即可得出点B的坐标；(3)由(2)可知AC=MD，CM=BD，根据题意得出B(3+m，m+1)，从而得出点B始终在函数y= x-2的图象上．【详解】解：(1)∵点A a，-3 a(a<0)是反比例函数y=k x图象上的一点，∴k=a•-3a=-3．故答案为：-3；(2)作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，∵∠AMB=90°，∴∠AMC+∠BMD=90°，∵∠AMC+∠MAC=90°，∴∠BMD=∠MAC，∵∠BDM=∠MCA=90°，BM=AM，∴△BDM≌△MCA(AAS)，∴AC=MD，CM=BD，∵a=-3，m=0，∴A(-3，1)，M(0，0)，∴AC=1，MC=3，∴MD=1，BD=3，∴B(1，3)；故答案为：(1，3)；(3)若a=-1，则A(-1，3)，由(2)可知AC=MD，CM=BD，∵M(m，0)，∴B(3+m，m+1)，∴点B始终在函数y=x-2的图象上．13(2023•市中区二模)如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1，0)、(2，0)、(2，1)、(1，1)、(1，2)、(2，2)⋯根据这个规律，第2023个点的坐标(45，2)．【答案】(45，2)．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，横坐标是奇数时，最后以横坐标为该数，纵坐标以0结束；据此求解即可．【详解】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，∴横坐标以n结束的有n2个点，∵452=2025，∴第2025个点的坐标是(45，0)，∴2023个点的纵坐标往上数2个单位为2，∴2023个点的坐标是(45，2)；故答案为：(45，2)．【点睛】本题考查了点坐标规律探究，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．14(2023•沈阳二模)某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降5元．【答案】5．【分析】设降价x元时，则日销售可以获得利润为W，由销售问题的数量关系表示出W与x之间的关系，根据关系式的性质就可以求出结论．【详解】解：设该种商品的销售单价应降价x元时，日销售可以获得利润为W元，由题意，得W=(100-70-x)(20+x)=-x2+10x+600=-(x-5)2+625，∵a=-1<0，∴当x=5时，W=625．最大故答案为：5．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，利润=(售价-进价)×销量的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是解题的关键15(2023•贵港二模)如图，抛物线y1截得坐标轴上的线段长AB=OD=6，D为y1的顶点，抛物线y2由y 1平移得到，y2截得x轴上的线段长BC=9．若过原点的直线被抛物线y1，y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为y =x ．【答案】y =x ．【分析】根据已知条件，待定系数求得抛物线y 1，y 2的解析式，设过原点的直线解析式为y =kx ，过原点的直线被抛物线y 1，y 2所截得的线段长相等，即可求解．【详解】解：∵抛物线y 1截得坐标轴上的线段长AB =OD =6，D 为y 1的顶点，∴A (-3，0)，B (3，0)，D (0，6)，设y 1的解析式为y =ax 2+6，代入(3，0)，得9a +6=0，解得：a =-23，∴y 1的解析式为y 1=-23x 2+6，∵抛物线y 2由y 1平移得到，y 2截得x 轴上的线段长BC =9，∴C (12，0)，则y 2的解析式为y =-23(x -3)(x -12)，即y 2=-23x 2+10x -24，设过原点的直线解析式为y =kx ，与y 1，y 2分别交于点F ，G ，H ，K ，如图所示，联立y =kx y 1=-23x 2+6，即-23x 2-kx +6=0，∴x 1+x 2=-3k2，x 1•x 2=-9，∴F 、G 两点横坐标之差为|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1⋅x 2=94k 2+36，联立y =kx y 2=-23x 2+10x -24，即-23x 2+(10-k )x -24=0，∴x 1+x 2=-3k -302，x 1⋅x 2=36，∴H 、K 两点横坐标之差为|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1⋅x 2=-3k -302 2-144，∵FG =HK ，∴94k 2+36=-3k -3022-144，解得k =1，故直线解析式为y =x ．故答案为：y =x ．16(2023•江都区一模)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 坐标分别为(3，4)，(-1，1)，点C 在线段AB 上，且AC BC=13，则点C 的坐标为 2，134 ．【答案】2，134．【分析】分别过点A ，B ，C 作x 轴的垂线垂足分别为E ，D ，F ，过点B 作BG ⊥AE 于点G ，交CF 于点H ，则CF ∥AE ，BH ⊥CF ，BD =HF =EG ，设点C 的坐标为(m ，n )，则CF =n ，OF =m ，可得CH=n -1，BH =m +1，根据△BHC ∽△BGA ，可得m +14=n -13=34，即可求解．【详解】解：如图，分别过点A ，B ，C 作x 轴的垂线垂足分别为E ，D ，F ，过点B 作BG ⊥AE 于点G ，交CF 于点H ，则CF ∥AE ，BH ⊥CF ，BD =HF =EG ，∵点A ，B 坐标分别为(3，4)，(-1，1)，∴BD =HF =EG =1，AE =4，BG =4，∴AG =3，设点C 的坐标为(m ，n )，则CF =n ，OF =m ，∴CH =n -1，BH =m +1，∵AC BC=13，∴BC AB=34，∵CF ∥AE ，∴△BHC ∽△BGA ，∴BH BG =CH AG =BC AB ，∴m +14=n -13=34，解得：m =2，n =134，∴点C 的坐标为2，134 ．故答案为：2，134 ．17(2023•龙华区二模)如图，在平面直角坐标系中，OA =3，将OA 沿y 轴向上平移3个单位至CB ，连接AB ，若反比例函数y =kx(x >0)的图象恰好过点A 与BC 的中点D ，则k =25 ．【答案】25．【分析】设A (m ，n )，则由题意B (m ，n +3)，进而求得D m 2，n +62，根据反比例函数系数k =xy ，得到k =mn =m 2•n +62，解得n =2，利用勾股定理求得m 的值，得到A (5，2)，代入解析式即可求得k 的值．【详解】解：设A (m ，n )，则B (m ，n +3)，∵点D 是BC 的中点，C (0，3)，∴D m 2，n +62，∵反比例函数y =kx (x >0)的图象恰好过点A 与BC 的中点D ，∴k =mn =m 2•n +62，解得n =2，∴A (m ，2)，∵OA =3，∴m 2+22=32，∴m =5(负数舍去)，∴A (5，2)，∴k =5×2=25，故答案为：25．18(2023•乐至县模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 、A 1、A 2、A 3⋯A n 在x 轴上，B 1、B 2、B 3⋯B n 在直线y =-33x +33上，若A (1，0)，且△A 1B 1O 、△A 2B 2A 1⋯△A n B n A n -1都是等边三角形，则点B n 的横坐标为1-3×2n -2(n 为正整数)．【答案】1-3×2n -2(n 为正整数)．【分析】过点B n 作B n ∁n ⊥x 轴于点∁n ，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出该直线与y 轴的交点，解直角三角形，可得出∠OAB 1=30°，利用等边三角形的性质及三角形的外角性质，可得出OA 1的长度，结合B 1C 1=32OA 1可得出B 1C 1的长，同理，可求出B n ∁n =3•2n -2(n ≥2，且n 为整数)，再结合一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点B n 的横坐标．【详解】解：过点B n 作B n ∁n ⊥x 轴于点∁n ，如图所示．∵直线的解析式为y =-33x +33，∴该直线与y 轴交于点0，33，∴tan ∠OAB 1=331=33，∴∠OAB 1=30°．∵△A 1B 1O 是等边三角形，∴∠A 1OB 1=60°，∴∠AB 1O =30°=∠OAB 1，∴OA 1=OB 1=OA =1，∴B 1C 1=32OA 1=32；同理：A 1A 2=AA 1=2，A 2A 3=AA 2=4，A 3A 4=AA 3=8，⋯，∴A n -1A n =AA n -1=2n -1(n ≥2，且n 为整数)，∴B n ∁n =32A n -1A n =3•2n -2(n ≥2，且n 为整数)，∴点B n 的纵坐标为3•2n -2(n 为正整数)．当y =3•2n -2时，3•2n -2=-33x +33，解得：x =1-3×2n -2，∴点B n 的横坐标为1-3×2n -2(n 为正整数)．故答案为：1-3×2n -2(n 为正整数)．19(2023•玄武区一模)已知函数y =2x 2-(m +2)x +m (m 为常数)，当-2≤x ≤2时，y 的最小值记为a ．a 的值随m 的值变化而变化，当m =2时，a 取得最大值．【答案】2．【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m 的范围即可．【详解】解：由二次函数y =2x 2-(m +2)x +m (m 为常数)，得到对称轴为直线x =m +24，抛物线开口向上，当m +24≥2，即m ≥6时，由题意得：当x =2时，a =8-2m -4+m =4-m ，a 随m 增大而减小，a 的最大值为-2；当-2<m +24<2，-10<m <6时，由题意得：当x =m +24时，a =2×m +24 2-(m +2)•m +24 +m =-18(m -2)2+32，则m =2时，a 取得最大值32；当m +24≤-2，即m ≤-10时，由题意得：当x =-2时，a =8+2m +4+m =3m +12，a 随m 增大而增大，a 的最大值为-18；综上，当m =2时，a 取得最大值．故答案为：2．20(2023•萧山区一模)已知点P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)在反比例函数y =6x图象上．(1)若x 1x 2=2，则y 1y 2= 12 ．(2)若x 1=x 2+2，y 1=3y 2，则当自变量x >x 1+x 2时，函数y 的取值范围是y <-32 ．【答案】(1)12；(2)y <-32．【分析】(1)把P 、Q 代入解析式得到y 1=6x 1，y 2=6x 2，进一步得到y 1y 2=6x 16x 2=x 2x 1=12；(2)由x 1=x 2+2，y 1=3y 2得到x 1=-1，x 2=-3，即可得到x 1+x 2=-4，求得x =-4时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可得到函数y 的取值范围．【详解】解：(1)∵点P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)在反比例函数y =6x图象上，∴y 1=6x 1，y 2=6x 2，∵x 1x 2=2，∴y 1y 2=6x 16x 2=x 2x 1=12，故答案为：12；(2)∵点P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)在反比例函数y =6x图象上，∴y 1=6x 1，y 2=6x 2，∵y 1=3y 2，∴6x 1=3×6x 2，∴x 2=3x 1，∵x 1=x 2+2，∴x 1=3x 1+2，∴x 1=-1，x 2=-3，∴x 1+x 2=-4，当x =-4时，y =6-4=-32，∵反比例函数y =6x中k >0，∴x <0时，y 随x 的增大而减小，∴当自变量x >x 1+x 2时，函数y 的取值范围是y <-32，故答案为：y <-32．21(2023•灞桥区校级模拟)如图，点A ，B 分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，以AB 为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数y=k x(k≠0)的图象上，点E在BC延长线上，CE=BC，EF⊥BE，交x轴于点F，边EF交反比例函数y=k x(k≠0)的图象于点P，记△BEF的面积为S，若S=k2+12，则k的值为8．【答案】8．【分析】作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N．设OA=b，OB=a．首先利用全等三角形的性质求出D、C两点坐标，再证明a=b，再构建方程求出k的值．【详解】解：如图作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N．设OA=b，OB=a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，AD=AB，∴∠DAM+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAM=∠ABO，∵∠AOB=∠DAM=90°，∴△AOB≌△BNC(AAS)，同理△BNC≌△DMA，∴DM=OA=BN=b，AM=OB=CN=a，∴D(b，a+b)，C(a+b，a)，∵点C，D恰好都落在反比例函数y=k x(k≠0)的图象上，∴b(a+b)=a(a+b)，∵a+b≠0，∴a=b，∴OA=OB，∴∠ABO=45°，∠EBF=45°，∵BE⊥EF，∴△BEF是等腰直角三角形，∵BC=EC，∴可得E(3a，2a)，F(5a，0)，∴12×4a×2a=k2+12，∴4a2=k2+12，∵D(a，2a)，∴2a2=k，∴2k=k2+12，∴k =8．故答案为：8．【点睛】本题考查反比例函数图象的点的特征，正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．22(2023•东莞市校级一模)如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．以AB 为边长作正方形ABCD ，S 正方形ABCD =50，点C 在反比例函数y =k /x (k ≠0，x >0)的图象上，将正方形沿x 轴的负半轴方向平移6个单位长度后，点D 刚好落在该函数图象上，则k 的值是8．【答案】8．【分析】作DF ⊥y 轴于点F ，CE ⊥x 轴于点E ，通过证得△OAB ≌△EBC ≌△FDA 可得出BE =OA =DF ，CE =OB =AF ，设OA =a ，OB =b ，即可得出C (a +b ，b )，D (a ，a +b )，进而把点C 和平移后的D 点坐标代入反比例函数的解析式求出k 的值即可．【详解】解：作DF ⊥y 轴于点F ，CE ⊥x 轴于点E ，正方形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠ABO +∠CBE =90°，Rt △ABO 中，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CBE =∠BAO ，在△OAB 与△EBC 中，∠CBE =∠BAO ∠BEC =∠AOB =90°BC =AB ，∴△OAB ≌△EBC (AAS )，∴BE =OA ，CE =OB ，同理△OAB ≌△FDA ，∴DF =OA ，AF =OB ，设OA =a ，OB =b ，则C (a +b ，b )，D (a ，a +b )，∵点C 在反比例函数y =k /x (k ≠0，x >0)的图象上，将正方形沿x 轴的负半轴方向平移6个单位长度后，点D 刚好落在该函数图象上，∴k =b (a +b )=(a -6)•(a +b )，∴a -6=b ，∵S 正方形ABCD =50，∴AB 2=50，∵OA 2+OB 2=AB 2，∴a 2+b 2=50，即a 2+(a -6)2=50，解得a =7(负数舍去)，∴b =a -6=1，∴k =b (a +b )=8．故答案为：8．23(2023•长春一模)如图，正方形ABCD 、CEFG 的顶点D 、F 都在抛物线y =-12x 2上，点B 、C 、E 均在y 轴上．若点O 是BC 边的中点，则正方形CEFG 的边长为1+2 ．【答案】1+2．【分析】设OB =OC =12BC =a ，且a >0，即可得D (-2a ，-a )，根据D (-2a ，-a )在抛物线y =-12x 2上，可得a =12，设正方形CEFG 的边长为b ，且b >0，同理可得F b ，-12-b ，代入y =-12x 2中，问题得解．【详解】解：∵点O 是BC 边的中点，∴设OB =OC =12BC =a ，且a >0，在正方形ABCD 中，DC =BC =2a ，DC ⊥BC ，∴D (-2a ，-a )，∵D (-2a ，-a )在抛物线y =-12x 2上，∴-a =-12(-2a )2，解得：a =12，设正方形CEFG 的边长为b ，且b >0，∴CE =EF =b ，∴OE =OC +CE =12+b ，∴结合正方形的性质，可知F b ，-12-b ，∵F b ，-12-b 在抛物线y =-12x 2上，∴-12-b =-12b 2，解得：b =1+2(负值舍去)，故答案为：1+2．24(2023•成都模拟)如图，在△AOB 中，AO =AB ，射线AB 分别交y 轴于点D ，交双曲线y =kx(k >0，x >0)于点B ，C ，连接OB ，OC ，当OB 平分∠DOC 时，AO 与AC 满足AO AC=23，若△OBD 的面积为4，则k = 407 ．【答案】407．【分析】通过证得△AOD ∽△ACO ，得到AD AB=23，即可求得△AOB 的面积为12，进一步求得△BOC 的面积为6，根据S △BOC =S 梯形BMNC 得出k 的值即可．【详解】解：作BM ⊥x 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，∵AO =AB ，∴∠AOB =∠ABO ，∴∠AOD +∠BOD =∠OCB +∠BOC ，∵∠BOD =∠BOC ，∴∠AOD =∠ACO ，∵∠OAD =∠CAO ，∴△AOD ∽△ACO ，∴AD OA =AO AC=23，∴AD AB=23，∵△OBD 的面积为4，∴△AOB 的面积为12，∵AO AC=23，∴AB AC=23，∴△BOC 的面积为6，∴COD 的面积为10，∴x B x C =410=25，∴设B 2x ，k 2x ，则C 5x ，k5x，∵S △BOC =S △BOM +S 梯形BMNC -S △CON ，S △BOM =S △CON =12|k |，∴S △BOC =S 梯形BMNC =12k 2x +k5x⋅(5x -2x )=6，解得k =407，故答案为：407．25(2023•北仑区二模)如图，将矩形OABC 的顶点O 与原点重合，边AO 、CO 分别与x 、y 轴重合．将矩形沿DE 折叠，使得点O 落在边AB 上的点F 处，反比例函数y =kx(k >0)上恰好经过E 、F 两点，若B 点的坐标为(2，1)，则k 的值为10-221 ．【答案】10-221．【分析】连结OF ，过E 作EH ⊥OA 于H ，由B 点坐标为(2，1)，即可得出E 点的坐标为(k ，1)，F 点的坐标为2，k 2 ，证得△EHD ∽△OAF ，得到EH OA =HD AF，求得HD =k4，进而求得OD =HD +OH =k 4+k =5k 4，AD =2-5k 4，由折叠可得DF =OD =5k 4，利用勾股定理得到关于k 的方程，解方程即可求得k 的值．【详解】解：连结OF ，过E 作EH ⊥OA 于H ．∵B 点坐标为(2，1)，∴E 点的纵坐标为1，F 点的横坐标为2，∵反比例函数y =kx(k >0)上恰好经过E 、F 两点，∴E 点的坐标为(k ，1)，F 点的坐标为2，k2，∵∠EDH +∠AOF =∠EDH +∠HED =90°，∴∠AOF =∠HED ，又∠EHD =∠OAF =90°，∴△EHD ∽△OAF ，∴EH OA =HD AF，即12=HD k 2，∴HD =k4，∴OD =HD +OH =k 4+k =5k 4，AD =2-5k4，由折叠可得DF =OD =5k4，在Rt △DAF 中，由勾股定理可得2-5k 4 2+k 2 2=5k 44，解得k 1=10-221，k 2=10+221(舍)．∴k 的值为10-221．故答案为：10-221．26(2023•合肥二模)已知函数y =x 2+mx (m 为常数)的图形经过点(-5，5)．(1)m =4．(2)当-5≤x ≤n 时，y 的最大值与最小值之和为2，则n 的值n =-3或n =10-2 ．【答案】(1)4；(2)n =-3或n =10-2．【分析】(1)把已知坐标代入解析式计算即可．(2)根据抛物线额性质，分类计算．【详解】解：(1)∵函数y=x2+mx(m为常数)的图形经过点(-5，5)，∴5=(-5)2-5m，解得m=4，故答案为：4；(2)由(1)得m=4，∴函数的解析式为y=x2+4x，∴y=x2+4x=(x+2)2-4，故抛物线的对称轴为直线x=-2，二次函数的最小值为-4，∵(-5，5)的对称点为(1，5)，当-5≤x≤n时，y的最大值与最小值之和为2，当-5≤n<-2时，最大值为5，x=n时，取得最小值，且为y=n2+4n，根据题意，得n2+4n+5=2，解得n=-3，n=-1(舍去)，故n=-3；当-2≤n≤1时，最大值为5，x=-2时，取得最小值，且为-4，根据题意，得5-4=1，不符合题意；当n>1时，x=-2时，取得最小值，且为-4，x=n时，取得最大值，且为y=n2+4n，根据题意，得n2+4n-4=2，解得n=10-2，n=-10-2(舍去)，故n=10-2；故答案为n=-3或n=10-2．27(2023•仓山区校级模拟)下表记录了二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)中两个变量x与y的6组对应值，x⋯-5x1x21x33⋯y⋯m020n m⋯其中-5<x1<x2<1<x3<3．根据表中信息，当-52<x<0时，直线y=k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围为2<k<83 ．【答案】2<k<8 3．【分析】由抛物线经过(-5，m)，(3，m)可得抛物线对称轴，从而可得a与b的关系，再将(1，0)代入解析式可得二次函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解．【详解】解：∵抛物线经过(-5，m)，(3，m)，∴抛物线对称轴为直线x=-b2a=-1，∴b=2a，y=ax2+2ax+2，将(1，0)代入y=ax2+2ax+2得0=a+2a+2，解得a=-2 3，∴y =-23x 2-43x +2=-23(x +1)2+83，∴x =-1时，y =83为函数最大值，将x =-52代入y =-23x 2-43x +2得y =76，将x =0代入代入y =-23x 2-43x +2得y =2，∴2<k <83满足题意．故答案为：2<k <83．28(2023•西安二模)如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x +1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y =kx(k <0)的图象在第二象限交于点C ，若AB =BC ，则k 的值为-2．【答案】-2．【分析】过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．求出点C 的坐标，可得结论．【详解】解：过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．∵直线y =-x +1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴A (1，0)，B (0，1)，∴OA =OB =1，∵OB ∥CH ，∴△AOB ∽△AHC ，∴OA AH =AB AC ，∴AO OH =AB CB=1，∴OA =OH =1，∴CH =2OB =2，∴C (-1，2)，∵点C 在y =kx的图象上，∴k =-2，故答案为：-2．29(2023•龙泉驿区模拟)在某函数的给定自变量取值范围内，该函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．当t ≤x ≤t +1时，一次函数y =kx +1(k >0)的界值大于3，则k 的取值范围是k >3；当t ≤x ≤t +2时，二次函数y =x 2+2tx -3的界值为2，则t =-1+22或-22 ．【答案】k >3；-1+22或-22．【分析】y =kx +1：根据k >0时，y 随x 的增大而增大，根据最大值-最小值>3列不等式可解答；y=x2+2tx-3：先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，分情况讨论，根据二次函数y=x2 +2tx-3的界值为2列方程可解答．【详解】解：当t≤x≤t+1时，一次函数y=kx+1(k>0)的界值大于3，∴y最大值-y最小值>3，∵k>0，y随x的增大而增大，∴x=t时，y最小值=tk+1，x=t+1时，y最大值=k(t+1)+1，∴k(t+1)+1-(tk+1)>3，∴k>3；y=x2+2tx-3=(x+t)2-3-t2，当x=-t时，y最小值=-3-t2，当x=t时，y=3t2-3，当x=t+2时，y=3t2+8t+1，①当-t≤t≤t+2时，t≥0，此时，当x=t时，y取最小值，当x=a+2时，y取最大值，∴y最大值=3t2+8t+1，y最小值=3t2-3，∴3t2+8t+1-(3t2-3)=2，解得t=-14(舍去)；②当t≤-t≤t+2时，-1≤t≤0，当-12≤t≤0时，y最大值=3t2+8t+1，y最小值=-3-t2，∴3t2+8t+1-(-t2-3)=2，解得t=-1+22或t=-1-22(舍)；当-1≤t≤-12时，y最大值=3t2-3，y最小值=-3-t2，3t2-3-(-t2-3)=2，解得t=-22或t=22(舍)；③当t≤t+2≤-t时，t≤-1，y最小值=3t2+8t+1，y最大值=3t2-3，∴3t2-3-(3t2+8t+1)=2，解得t=-34(舍去)；综上所述，t的值为-1+22或-22．故答案为：k>3；-1+22或-22．30(2023•姑苏区一模)如图①，四边形ABCD中，AB∥DC，AB>AD．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD-DC-CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t(s)，△APQ的面积为y(cm2)，则y与t的函数图象如图②所示，则AB=15cm．【答案】15．【分析】结合图象可知当t =13时，点P 到达点D ，此时y =90，AQ =13cm ，从而可求出此时△APQ 的高DE =12cm ，当t =18时，点P 到达点C ，点Q 已经停止，此时y =90，AQ =AB ．由AB ∥DC ，可知此时△APQ 的高也为12cm ，再根据三角形的面积公式即可求出AB 的长．【详解】解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，如图所示：当t =13时，P 到达D 点，即AD =AQ =13cm ，此时y =78，∴12AQ •DE =12×13•DE =78，∴DE =12，当t =18时，点P 到达点C ，此时点Q 已停止运动，此时y =90cm 2，AQ =AB ，∵AB ∥DC ，∴此时△APQ 的高也为12cm ，∴S △APQ =12AB •DE =12AB ×12=90，∴AB =15(cm )，故答案为：15．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，平行线间的距离，三角形的面积公式等知识．利用数形结合的思想是解题关键．31(2023•宁波模拟)如图，点B 是反比例函数y =8x(x >0)图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数y =kx(x >0)的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF ，BG ．则k =2；△BDF 的面积=3．【答案】2，3．【分析】连接OD ，表示出点M 的坐标，即可求得k 的值，根据△BDF 的面积=△OBD 的面积=S △BOA -S △OAD ，即可求得．【详解】解：连接OD ，设点B (m ，n )，则点M 12m ，12n，∵点B 是反比例函数y =8x(x >0)图象上一点，∴mn =8，∵反比例函数y =kx(x >0)的图象经过OB 的中点M ，∴k =12m ⋅12n =14mn =14×8=2，∴△BDF 的面积=△OBD 的面积=S △BOA -S △OAD =12×8-12×2=3．故答案为：2，3．32(2023•青羊区模拟)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =3x 与反比例函数y =kx(k ≠0)的图象交于A ，B 两点，C 是反比例函数位于第一象限内的图象上的一点，作射线CA 交y 轴于点D ，连接BC ，BD ，若CD BC=45，△BCD 的面积为30，则k =6．【答案】6．【分析】作CF ⊥y 于点I ，BF ⊥x ，交CI 的延长线于点F ，作AE ⊥CF 于点E ，设BC 交y 轴于点M ，设A (m ，3m )，则B (-m ，-3m )，k =3m 2，设点C 的横坐标为a ，则C a ，3m 2a，可证明tan ∠CAE =tan ∠CBF =a 3m ，则∠CAE =∠CBF ，即可推导出∠CDM =∠CMD ，则CD =CM ，所以CI CF =CMBC=CD BC=45，则CI =4FI ，所以a =4m ，C 4m ，3m 4 ，由CI MI =tan ∠CMD =tan ∠CBF =43，得DI=MI =3m ，则DM =6m ，于是得12×6m ×m +12×6m ×4m =30，则m 2=2，所以k =3m 2=6．【详解】解：作CF ⊥y 于点I ，BF ⊥x ，交CI 的延长线于点F ，作AE ⊥CF 于点E ，设BC 交y 轴于点M ，∵直线y =3x 经过原点，且与双曲线y =kx交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于原点对称，设A (m ，3m )，则B (-m ，-3m )，k =3m 2，设点C 的横坐标为a ，则C a ，3m 2a ，F -m ，3m 2a，∵tan ∠CAE =CE AE =a -m 3m -3m 2a =a 3m ，tan ∠CBF =CF BF =a +m 3m 2a+3m=a3m ，∴tan ∠CAE =tan ∠CBF ，∴∠CAE =∠CBF ，∵AE ∥BF ∥DM ，∠CAE =∠CDM ，∠CBF =∠CMD ，∴∠CDM =∠CMD ，∴CD =CM ，∵CI CF =CM BC =CD BC=45，∴CI =4FI ，∴a =4m ，∴C 4m ，3m4 ，∵CI MI=tan ∠CMD =tan ∠CBF =a 3m =4m 3m =43，∴DI =MI =34CI =34×4m =3m ，∴DM =DI +MI =6m ，∵12DM •FI +12DM •CI =S △BCD =30，∴12×6m ×m +12×6m ×4m =30，∴m 2=2，∴k =3m 2=3×2=6，故答案为：6．33(2023•锦江区模拟)已知关于x 的多项式ax 2+bx +c (a ≠0)，二次项系数、一次项系数和常数项分别a ，b ，c ，且满足a 2+2ac +c 2<b 2.若当x =t +2和x =-t +2(t 为任意实数)时ax 2+bx +c 的值相同；当x =-2时，ax 2+bx +c 的值为2，则二次项系数a 的取值范围是 215<x <27 ．【答案】215<a <27．【分析】先根据二次函数的对称性可得其对称轴是：-b 2a =t +2-t +22=2，得b 与a 的关系：b =-4a ，将(-2，2)代入y =ax 2+bx +c 中可得：c =2-12a ，代入a 2+2ac +c 2<b 2中可解答．【详解】解：∵当x =t +2和x =-t +2(t 为任意实数)时ax 2+bx +c 的值相同，∴-b 2a =t +2-t +22=2，∴b =-4a ，∵当x =-2时，ax 2+bx +c 的值为2，∴函数y =ax 2+bx +c 经过点(-2，2)，∴4a -2b +c =2，∴4a +8a +c =2，∴c =2-12a ，∵a 2+2ac +c 2<b 2，∴(a +c )2<b 2，∴(a +c )2-b 2<0，∴(a +c +b )(a +c -b )<0，∵b =-4a ，c =2-12a ，∴(a +2-12a -4a )(a +2-12a +4a )<0，∴(2-15a )(2-7a )<0，∴215<a <27．故答案为：215<a <27．34(2023•江北区一模)如图，菱形ABCO 的顶点A 与对角线交点D 都在反比例函数y =kx(k >0)的图象上，对角线AC 交y 轴于点E ，CE =2DE ，且△ADB 的面积为15，则k =8；延长BA 交x 轴于点F ，则点F 的坐标为 607，0 ．【答案】8，607，0．【分析】通过构造延长线得到直角三角形EOM ，再用射影定理求出ED 、DA 、DO 之间的数量关系，在通过△ODA 面积为15求出ED 、DA 、DO 实际长度，再通过求D 点到y 轴的距离求出D 点坐标，也解出k ，进而得出B 点坐标．再过点A 作AH ⊥ND 于H ，然后通过相似求出A 点坐标，进而得出AB 直线解析式，最后得出F 点坐标．【详解】解：延长DA 交x 轴于点M ，设DE =a ，则CE =2a ，CD =AD =3a ，∵ED =a ，∴AM =a ，∴Rt △MOE 中，OD ⊥EM ，OD 2=ED ⋅DM ，∴OD =2a ，∵S △AOD =12OD ⋅DA =15，∴2a ⋅3a 2=15，∴a =5过D 作DN ⊥y 轴，则tan ∠DOE =12，即ON =2DN ，∵OD =25，∴D (2，4)，即k =8．∵D (2，4)，∴B (4，8)，过点A 作AH ⊥ND 于H ，∵∠OND =∠H =90°，∠EDN +∠NDO =90°，∠NDO +∠HDA =90°，∴∠NDO =∠HDA ，∴△DHA ∽△OND ，∵DA =35，∴DH =6，AH =3，。
2022年中考数学复习之挑战压轴题(解答题)：反比例函数(含答案)
2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：反比例函数一．解答题（共10小题）1．（2021秋•双流区期末）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．（1）求AQ的长；（2）当a为何值时，CE＝AC？（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2021秋•天府新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P 的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．（1）求k，b的值．（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．3．（2022•南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx+12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•济南一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，4）和点B（m，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．①过点C作CE∥x轴交反比例函数y＝的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；②设M是x轴上一点，当∠CMO＝∠DCO时，求点M的坐标．5．（2021秋•锦江区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+与双曲线y＝交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，且S△COD＝．（1）求一次函数的解析式；（2）如图2，E的坐标为（6，0），将线段DO沿y轴向上（或向下）平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使AD′+EO′的值最小？若存在，求出AD′+EO′的最小值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，将直线OA沿x轴平移，平移过程中在第一象限交y＝的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021秋•渝中区校级月考）如图，已知直线y＝x+1与双曲线y＝交于A、B两点，且A点坐标为（a，2）．（1）求双曲线解析式及B点坐标．（2）将直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP+PQ的最小值．（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标．7．（2021•亭湖区校级一模）材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；②在平面直角坐标系里，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于点R；④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．根据以上材料解答下列问题：（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为；（2）求证：点Q在直线OM上；（3）求证：∠MOB＝∠AOB；（4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．8．（2021•铁岭模拟）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD＝2，tan∠ACO＝，点A的坐标为（m，3）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）连接OB，点P在直线AC上，且S△AOP＝2S△BOC，求点P的坐标．9．（2021•杭锦旗二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．10．（2020•岳麓区校级模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）如图1，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QP A．①若a＝1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求的值．2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：反比例函数（10题）参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2021秋•双流区期末）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．（1）求AQ的长；（2）当a为何值时，CE＝AC？（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【分析】（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．证明△ANQ是等腰直角三角形，可得结论；（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．用a表示出CE，OC，OE，利用勾股定理，构建方程求解即可；（3）存在．分三种情形：①如图2中，当EF＝OF时，②如图3中，当OE＝OF时，③当OE＝EF时，分别利用等腰三角形的性质，构建方程求解即可．【解答】解：（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．∵Q（，），∴QN＝，∵∠BOA＝90°，OA＝OB＝2，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴AQ＝QN＝；（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．∵∠OAB＝45°，CD⊥AB，∴△CDA是等腰直角三角形，∴DG＝CA＝a，∵DE⊥OB，∴四边形OEDG是矩形，∴OE＝DG＝a，∵CE＝AC，∴（2﹣a）2+（a）2＝a2，解得，a＝8+4（舍去），或a＝8﹣4，∴当a＝8﹣4时，CE＝AC；（3）存在．由（2）可知，C（2﹣a，0），E（0，），∴直线CE的解析式为y＝x+，∵Q（，），∴直线OQ的解析式为y＝x，由，解得，，∴F（，），①如图2中，当EF＝OF时，过点F作FH⊥OE于点H，则OH＝OE，∴＝a，解得，a＝0（舍去）或a＝，经检验，a＝是分式方程的解，∴C（，0）．②如图3中，当OE＝OF时，则OF＝a，过点F作FH⊥OC于点H．∵F（，），∴FH＝OH，∴FH＝OF＝a，∴＝a，解得，a＝0（舍去）或a＝，经检验，a＝是分式方程的解，∴C（，0）．③当OE＝EF时，过点E作EK⊥OF于点K，则OK＝OF＝FH，由△EOK∽△OFH，可得OE＝OK＝5FH，即FH＝OE，∴＝a，解得，a＝0（舍去）或a＝，经检验，a＝是分式方程的解，∴C（，0），综上所述，满足条件的点C的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．（2021秋•天府新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P 的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．（1）求k，b的值．（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】反比例函数及其应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】（1）将点B代入y＝x+b，求得b，进而求得y＝x﹣2，将A点坐标代入求得n；（2）表示出PQ的长，根据PQ•（x A﹣x B）＝3求得t，进而得出点P的坐标；（3）分为BC是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及BC为对角线．当BC为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴，作DG⊥CF，证明△BCF≌△CGD，进而得出CF＝OF，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．【解答】解：（1）∵直线y＝x+b过点B（0，﹣2），∴0+b＝﹣2，∴b＝﹣2，∵直线y＝x﹣2过点A（3，n），∴n＝3﹣2＝1，∴A（3，1），∵y＝过点A（3，1），∴k＝xy＝3×1＝3；（2）∵P（t，），Q（t，t﹣2），A（3，1），B（0，﹣2），∴PQ＝，∵S△APB＝S△APQ+S△BPQ＝（x A﹣x B），∴×3＝3，∴t＝，∴P（，）；（3）如图1，∵P（t，），Q（t，t﹣2），∴C（t，），当BC是边，点D在x轴正半轴上，作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G，∴∠BFC＝∠G＝90°，∴∠FBC+∠FCB＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCG+∠FCB＝90°，∴∠FBC＝∠DCG，∵BC＝CD，∴△BFC≌△CGD（AAS），∴CF＝DG，∵OF＝DG，∴OF＝CF，∴，∴t1＝1，t2＝﹣3（舍去），∴P（1，3）如图2，当点D在x轴的负半轴上时，由上知：BG＝DF＝2，∴t＝2，∴P（2，），当BC是对角线时，当BC是对角线时，点D在x轴负半轴上时，可得：CF＝OD，DF＝OB＝2，∴＝2﹣t，∴t＝1，∴P（1，3），如图4，CE＝DF＝2，DE＝BF，∴t+2＝，∴t1＝2﹣3，t2＝﹣2﹣3（舍去），当t＝2﹣3时，y＝＝2+3，∴P（2﹣3，2+3），综上所述：P（2，）或（1，3），（2﹣3，2+3）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．3．（2022•南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx+12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．【分析】（1）先解方程，求得A点坐标，根据△AOC∽△ACB，求得AB，进而求得B点坐标；（2）作DE⊥OC于E，先求得CD，可证△CDE∽△CBO，从而求得DE，CE，OE，进而求得结果；（3）分为四种情形：当△P AC∽△BCA时，此时△P AC≌△BCA，可直接写出点P坐标，当△P AC∽△ACB时，作PE⊥AB于E，先求得AP＝，再根据△PEA∽△ACO得PE＝，AE＝16，从而得出点P坐标，当△P AC∽△CBA时，此时△P AC≌△OCA，直接得出点P坐标，当△P AC∽△CAB时，此时△P AC≌△OAC，作PH⊥OC于H，AG⊥PH 于G，可证由△AGP∽△PHC，进一步求得点P坐标．【解答】解：由x2﹣15x﹣16＝0得，x1＝16，x2＝﹣1（舍去），∴OA＝16，∴A（16，0），当x＝0时，y＝12，∴C（0，12），∴OC＝12，∴AC＝＝＝20，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝∠AOC＝90°，∵∠OAC＝∠BAC，∴△AOC∽△ACB，∴，∴＝，∴AB＝25∴OB＝AB﹣OA＝25﹣16＝9，∴B（﹣9，0）；（2）如图1，作DE⊥OC于E，∵tan∠CAD＝＝，AC＝20，∴CD＝＝5，∵OC＝12，OB＝9，∴BC＝＝15，∵∠CED＝∠BOC＝90°，∴DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，∴＝，∴DE＝3，CE＝4，∴OE＝OC﹣CE＝8，∴D（﹣3，8），∴，∴m＝﹣24；（3）如图2，当△P AC∽△BCA时，此时△P AC≌△BCA，∵A（12，0），B（﹣9，0），C（0，12），∴P（25，12），如图3，当△P AC∽△ACB时，作PE⊥AB于E，∴，∴，∴AP＝，由△PEA∽△ACO得，＝＝，∴＝＝＝，∴PE＝，AE＝16，∴OE＝OA+AE＝32，∴P（32，），如图4，当△P AC∽△CBA时，此时△P AC≌△OCA，∴P（16，12），如图5，当△P AC∽△CAB时，此时△P AC≌△OAC，∴＝＝，作PH⊥OC于H，AG⊥PH于G，由△AGP∽△PHC得，＝＝＝，∴设AG＝4x，PG＝4y，则PH＝3x，CH＝3y，∵PH+PG＝OA＝16，OC+CH＝AG，∴，∴，∴PH＝3x＝，AH＝4x＝，∴P（，），综上所述：P（25，12）或（32，）或（16，12）或（，）．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，求反比例函数解析式，解一元二次方程，解直角三角形，勾股定理等知识，解决问题的关键是正确分类及计算能力．4．（2022•济南一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，4）和点B（m，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．①过点C作CE∥x轴交反比例函数y＝的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；②设M是x轴上一点，当∠CMO＝∠DCO时，求点M的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）利用待定系数法求出k2，k1，b即可解决问题．（2）①结论：△ACE是等腰直角三角形．利用勾股定理以及勾股定理的逆定理证明即可．②分两种情形：当点M在x轴的负半轴上时，当点M在x轴的正半轴上时，分别求解即可．【解答】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y＝上，∴k2＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点B（m，﹣2）在y＝上，∴m＝﹣4，∴B（﹣4，﹣2），∵y＝k1x+b的图象经过A（2，4），B（﹣4，﹣2），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+2．（2）对于y＝x+2，当x＝0时，y＝2，∴点C坐标为（0，2），当y＝0时，x＝﹣2，∴点D坐标为（﹣2，0），①结论：△ACE是等腰直角三角形．理由：∵CE∥x轴，∴点E的横坐标为2，∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴E（2，4），∴CE＝4，∵AC＝＝2，AE＝＝2，∴AC2+AE2＝（2）2+（2）2＝16＝CE2，AC＝AE，∴∠CAE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形．②如图，由①可知，OC＝2，OD＝2，∴CD＝2，当点M在x轴的负半轴上时，∵∠CM2O＝∠DCO，∠CDO＝∠CM2O+∠M2CD，∴∠CM2O＝∠DCM2，∴DM2＝CD＝2，∴OM2＝OD+DM2＝2+2，∴点M2的坐标为（﹣2﹣2，0），同理，当点M在x轴的正半轴上时，根据对称性可知点M1的坐标为（2+2，0），综上所述，点M的坐标为（2+2，0）或（﹣2﹣2，0）．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．（2021秋•锦江区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+与双曲线y＝交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，且S△COD＝．（1）求一次函数的解析式；（2）如图2，E的坐标为（6，0），将线段DO沿y轴向上（或向下）平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使AD′+EO′的值最小？若存在，求出AD′+EO′的最小值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，将直线OA沿x轴平移，平移过程中在第一象限交y＝的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）求出C，D两点坐标，可得结论；（2）作点A关于y轴的对称点A′，作A′A″∥OD，且A′A″＝OD，连接EA″交y 轴于点O′，此时AD′+EO′的值最小，求出直线EA″的解析式，可得结论；（3）分三种情形：如图3﹣1中，当点N在点E的左侧时，MN＝ME．如图3﹣2中，当MN＝ME时，如图3﹣3中，当点N在点E的右侧时，MN＝EN，分别构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+与y轴交于点D，∴D（0，），∴OD＝，∵S△COD＝，∴•OC•OD＝，∴×OC×＝，∴OC＝5，∴C（﹣5，0），把C（﹣5，0）代入y＝kx+，得到k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+；（2）由，解得或，∴A（3，4），B（﹣8，﹣），作点A关于y轴的对称点A′，作A′A″∥OD，且A′A″＝OD，连接EA″交y轴于点O′，此时AD′+EO′的值最小，∵E（6，0），A″（﹣3，），∴AD′+EO′的值最小为A''E＝＝，直线EA″的解析式为y＝﹣x+1，∴O′（0，1）；（3）如图3﹣1中，当点N在点E的左侧时，MN＝ME过点M作MH⊥x轴于点H，∵tan∠MNH＝＝，∴可以设HN＝3k，MH＝4k，则MN＝5k，∴NE＝MN＝5k，∴EH＝2k，∴M（6﹣2k，4k），∴（6﹣2k）×4k＝12，解得k＝，此时P（，6+2）或（，6﹣2）．如图3﹣2中，当MN＝ME时，此时M（6﹣3m，4m），∴（6﹣3m）×4m＝12，解得m＝1，此时P（3，﹣4）．如图3﹣3中，当点N在点E的右侧时，MN＝EN，此时M（6+8n，4n），∴（6+8n）×4n＝12，解得n＝（负根已经舍弃），可得P（，）综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，﹣3）或（，）或（，6+2）或（，6﹣2）．【点评】本题属于反比例函数综合题、考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数的应用、轴对称最短问题、菱形的性质，等腰三角形性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（2021秋•渝中区校级月考）如图，已知直线y＝x+1与双曲线y＝交于A、B两点，且A点坐标为（a，2）．（1）求双曲线解析式及B点坐标．（2）将直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP+PQ的最小值．（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出双曲线的解析式，构建方程组确定交点B的坐标；（2）首先判断出直线l是一三象限的角平分线，过点O作OT⊥直线l交AB于点T，作点Q关于y轴的对称点Q′，连接PQ′，考点AP+PQ＝QP+PQ′≥AT，求出AT，可得结论；（3）分三种情形：①当∠BAM＝90°时．②当∠ABM＝90°时．③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（﹣，），利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1经过点A（a，2），∴2＝a+1，∴a＝1，∴A（1，2），∵双曲线y＝经过点A（1，20，∴k＝2，∴双曲线的解析式为y＝，由，解得或，∴B（﹣2，﹣1）；（2）如图1中，∵直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，∴直线l是一三象限的角平分线，过点O作OT⊥直线l交AB于点T，作点Q关于y轴的对称点Q′，连接PQ′，∴AP+PQ＝QP+PQ′≥AT，由题意A（（1，2），T（﹣，），∴AT＝＝∴AP+PQ的最小值为；（3）如图2中，①当∠BAM＝90°时，M1（0，3），N1（﹣3，0）．②当∠ABM＝90°时，M2（0，﹣3），N2（3，0）．③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（﹣，），∵AB＝＝3，∴AJ＝JB＝JM＝，∴（﹣）2+（﹣m）2＝（）2，解得m＝，∴M3（0，），M4（0，），∵JN3＝JM3，JN4＝JM4，∴N3（﹣1，），N4（﹣1，），综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣3，0）或（3，0）或（﹣1，）或（﹣1，）．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把最值问题转化为垂线段最短，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．7．（2021•亭湖区校级一模）材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；②在平面直角坐标系里，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于点R；④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．根据以上材料解答下列问题：（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为（b，）；（2）求证：点Q在直线OM上；（3）求证：∠MOB＝∠AOB；（4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【分析】（1）由点P的坐标为（a，），PM∥x轴，可得点M的纵坐标为，由点R的坐标为（b，），RM∥y轴，可得点M的横坐标为b，即可求解；（2）先求出直线OM解析式和点Q坐标，将点Q坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线OM上；（3）连接PR，交OM于点S，由矩形的性质可得∠1＝∠2，由2PO＝PR＝2PS，可得PS＝PO，可得∠4＝∠3＝2∠2，由平行线的性质可得∠2＝∠5，即可得结论；（4）可以按照题意叙述的方法进行作图即可（方法不唯一）．【解答】（1）解：如图，∵点P的坐标为（a，），PM∥x轴，∴点M的纵坐标为，∵点R的坐标为（b，），RM∥y轴，∴点M的横坐标为b，∴点M（b，），故答案为：（b，）．（2）证明：设直线OM解析式为：y＝kx，∵点M（b，），∴＝bk，∴k＝，∴直线OM解析式为：y＝x，∵分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q，∴点Q（a，），∵当x＝a时，y＝×a＝，∴点Q在直线OM上；（3）证明：连接PR，交OM于点S，由题意得四边形PQRM是矩形，∴PR＝QM，SP＝PR，SM＝QM，∴SP＝SM，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠1+∠2＝2∠2，∵PR＝2PO，∴PS＝PO，∴∠4＝∠3＝2∠2，∵PM∥x轴，∴∠2＝∠5，∴∠AOB＝∠4+∠5＝3∠5，即∠MOB＝∠AOB；（4）解：如图，设边OA与函数y＝﹣（x＜0）的图象交于点P，以点P为圆心，2OP 的长为半径作弧，在第四象限交函数y＝﹣（x＞0）的图象于点R，过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM，则∠MOB＝∠AOB．【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．8．（2021•铁岭模拟）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD＝2，tan∠ACO＝，点A的坐标为（m，3）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）连接OB，点P在直线AC上，且S△AOP＝2S△BOC，求点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形．【分析】（1）根据Rt△COD中，tan∠ACO＝，CD＝2，即可得到D（0，2），C（4，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；（2）先解方程组求得B（6，﹣1），进而得到S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，设P（x，﹣x+2），再分两种情况：①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD+S△DOP，②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP﹣S△AOD，分别求得点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．【解答】解：（1）∵Rt△COD中，tan∠ACO＝，∴CO＝2OD，又∵CD＝2，∴OD2+4OD2＝（2）2，解得OD＝2，CO＝4，∴D（0，2），C（4，0），∵直线y＝ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2，把点A的坐标（m，3）代入，可得3＝﹣m+2，解得m＝﹣2，∴A（﹣2，3），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A，∴k＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；（2）解方程组，可得或，∴B（6，﹣1），∴S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，设P（x，﹣x+2），分两种情况：①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD+S△DOP，∴4＝×2×2+×2×|x|，解得x＝2，∴P（2，1）；②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP'﹣S△AOD∴4＝×2×|x|﹣×2×2，解得x＝﹣6，∴P'（﹣6，5）．综上所述，点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及解直角三角形的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时注意分类思想的运用．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．9．（2021•杭锦旗二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】反比例函数及其应用；矩形菱形正方形．【分析】（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，把D、E的坐标代入即可求出直线的解析式，把y＝2代入即可求出M的坐标．（2）把M的坐标代入反比例函数解析式求出即可，把x＝4代入直线的解析式即可求出N的坐标．（3）求出反比例函数的图象过B点的k值，即可求出答案．（4）求出直角三角形MBN的斜边上的高BL，根据相似求出LN，即可求出N的坐标．【解答】解：（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，把D、E的坐标代入得：，解得：k＝﹣，b＝3，∴直线DE的解析式是：y＝﹣x+3，∵矩形AOCB，B（4，2），∴把y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，∴M的坐标是（2，2）．（2）把M（2，2）代入y＝得：k＝4，即反比例函数的解析式是y＝，∵B（4，2），∴把x＝4代入y＝﹣x+3得：y＝1，∴N的坐标是（4，1），把N的坐标代入y＝得：左边＝4，右边＝4，左边＝右边，即点N在反比例函数的图象上．（3）把B（4，2）代入y＝得：k＝8，∵反比例函数y＝过M、N点，∴若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．（4）过B作BL⊥MN于L，在△MNB中，BM＝4﹣2＝2，BN＝2﹣1＝1，由勾股定理得：NM＝＝，S△MNB＝BM×BN＝MN×BL，∴2×1＝×BL，∴BL＝，如图所示：∵直角顶点B在反比例函数图象上，∴B的纵坐标是，代入y＝得：横坐标是2，∴OL＝2，∵△MNB是直角三角形，BL⊥MN于L，∴△BLN∽△MBN，∴＝，∴＝，∴LN＝，∴ON＝OL+LN＝2+＝或ON＝OL﹣LN＝2﹣＝（此时N在M的左边），∴N的坐标是（，0）或（，0）．【点评】本题考查了用待定系数法求一次和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．10．（2020•岳麓区校级模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）如图1，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QP A．①若a＝1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求的值．【考点】反比例函数综合题．【专题】几何综合题；反比例函数及其应用；应用意识．【分析】（1）构建方程组根据Δ＝0，确定k与a的关系，再求出方程组的解即可．（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B′，连接QB′交OA于P，此时∠BPO＝∠QP A，设Q（m，），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．利用全等三角形的性质证明OJ＝PB，JH＝PH，JM＝PM即可解决问题．【解答】解：（1）由消去x得到，x2﹣2ax+k＝0，由题意Δ＝0，∴4a2﹣4k＝0，∴k＝a2，解方程组得到，，∴B（a，a）．（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B′，连接QB′交OA于P，此时∠BPO ＝∠QP A，设Q（m，），∵B（1，1），B′（1，﹣1），∴PB+PQ＝PB′+PQ＝B′Q＝＝＝＝，∵1＞0，∴当m﹣＝1时，PB+PQ的值最小，最小值为．②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．由题意，B（a，a），A（2a，0），∴OH＝BH＝AH＝a，∵OM⊥PB，BH⊥OA，∴∠OHJ＝∠BKJ＝90°，∵∠OJH＝∠BJK，∴∠HOJ＝∠HBP，∵∠OHJ＝∠BHP＝90°，OH＝BH，∴△OHJ≌△BHP（ASA），∴OJ＝PB，JH＝PH，∠OJH＝∠BPH，AP＝BJ，∵∠AHB＝90°，HB＝HA，∴∠P AM＝∠JBM＝45°，∵∠BPH＝∠APM，∠OJH＝∠BJM，∴∠BJM＝∠APM，∴△BJM≌△APM（ASA），∴JM＝PM，∴OM﹣PB＝OJ+JM﹣BP＝JM＝PM，∴＝1．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．考点卡片1．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．2．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．3．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）。
2020年中考数学压轴题专项训练：反比例函数的综合(含答案)
2020年数学中考压轴题专项训练：反比例函数的综合1．已知一次函数y＝kx﹣（2k+1）的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝﹣的图象分别交于C、D两点．（1）如图1，当k＝1，点P在线段AB上（不与点A、B重合）时，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N．当矩形OMPN的面积为2时，求出点P的位置；（2）如图2，当k＝1时，在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由；（3）若某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，求k的值．解：（1）当k＝1，则一次函数解析式为：y＝x﹣3，反比例函数解析式为：y＝﹣，∵点P在线段AB上∴设点P（a，a﹣3），a＞0，a﹣3＜0，∴PN＝a，PM＝3﹣a，∵矩形OMPN的面积为2，∴a×（3﹣a）＝2，∴a＝1或2，∴点P（1，﹣2）或（2，﹣1）（2）∵一次函数y＝x﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点，∴点A（3，0），点B（0，﹣3）∴OA＝3＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝3，∵x﹣3＝﹣∴x＝1或2，∴点C（1，﹣2），点D（2，﹣1）∴BC＝＝，设点E（x，0），∵以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，且∠CBO＝∠BAE＝45°，∴，或，∴，或＝，∴x＝1，或x＝﹣6，∴点E（1，0）或（﹣6，0）（3）∵﹣＝kx﹣（2k+1），∴x＝1，x＝，∴两个函数图象的交点横坐标分别为1，，∵某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，∴1＝，或5＝∴k＝2．如图，已知直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，与x轴交于C点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？（3）点P是y＝（x＞0）图象上的一个动点，作PQ⊥x轴于Q点，连接PC，当S△CPQ ＝S时，求点P的坐标．△CAO解：（1）把A （1，4）代入y ＝（x ＞0），得m ＝1×4＝4，∴反比例函数为y ＝；把A （1，4）和B （4，1）代入y ＝kx +b 得， 解得：， ∴一次函数为y ＝﹣x +5．（2）根据图象得：当1＜x ＜4时，一次函数值大于反比例函数值；（3）设P （m ，），由一次函数y ＝﹣x +5可知C （5，0），∴S △CAO ＝＝10，∵S △CPQ ＝S △CAO ，∴S △CPQ ＝5， ∴|5﹣m |•＝5，解得m ＝或m ＝﹣（舍去）， ∴P （，）．3．如图，直线y ＝kx +b （b ＞0）与抛物线y ＝x 2相交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，与x 轴正半轴相交于点D ，于y 轴相交于点C ，设△OCD 的面积为S ，且kS +8＝0．（1）求b 的值．（2）求证：点（y 1，y 2）在反比例函数y ＝的图象上．（1）解：∵直线y＝kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，∴D（0，b），C（﹣，0）∴由题意得OD＝b，OC＝﹣，∴S＝∴k•（）+8＝0，∴b＝4（b＞0）；（2）证明：∵，∴，∴x1•x2＝﹣16∴，∴点（y1，y2）在反比例函数y＝的图象上．4．如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，∴AB＝n，OB＝m，又∵△AOB的面积是3，∴mn＝3，∴mn＝6，∵点A在双曲线y＝上，∴k＝mn＝6；（2）如图，延长DC交x轴于E，由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，∵AB⊥x轴，∴∠ABE＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴∠DEB＝90°，∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，∴C（m+n，n﹣m），∵点A，C都在双曲线上，∴mn＝（m+n）（n﹣m），即m2+mn﹣n2＝0，方程两边同时除以n2，得+﹣1＝0，解得＝，∵n＞m＞0，∴＝．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数k （k ＞0），给出如下定义：当ka +b ＞0时，将以点P 为圆心，ka +b 为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．例如，在如图1中，点P （1，1）的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．（1）在点P 1（2，1），P 2（1，﹣3）中，存在1倍相关圆的点是 P 1 ，该点的1倍相关圆半径为 3 ．（2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直线ON 与点M 的倍相关圆的位置关系，并证明．（3）如图3，已知点A 的（0，3），B （1，m ），反比例函数y ＝的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关于y 轴对称．①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为 3 ．②点D 在直线AB 上，点D 的倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆心，hR 为半径的圆与反比例函数y ＝的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值．解：（1）由题意知，k＝1，（2，1），a＝2，b＝1，针对于P1∴ka+b＝2+1＝3＞0，∴点P（2，1）的1倍相关圆为以点P为圆心，3为半径的圆，1（1，﹣3），a＝1，b＝﹣3，针对于P2∴ka+b＝1﹣3＝﹣2＜0，∴点P（1，﹣3）不存在1倍相关圆2；3；故答案为：P1（2）如图2中，结论：直线ON与点M的倍相关圆的位置关系是相切．理由：设点M的坐标为（n，0），过M点作MP⊥ON于点P，∴点M的倍相关圆半径为n．∴OM＝n．∵MP⊥ON，∴∠OPM＝90°，∵∠MON＝30°，∴MP＝OM＝n，∴点M的倍相关圆的半径为MP，∴直线ON与点M的倍相关圆相切；（3）①如图3中，记直线AB与x轴的交点为E，直线l与x轴的交点为F，∵B（1，m）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝6，∴B（1，6）∵A（0，3），∴直线AB的解析式为y＝3x+3，令y＝0，则3x+3＝0，∴x＝﹣1，∴E（﹣1，0），∵直线l是直线AB关于y轴对称，∴点F与点E关于y轴对称，∴F（1，0），∴直线l的解析式为y＝﹣3x+3，∵点C在直线l上，∴设C（c，﹣3c+3），由题意知，k＝3，∴3c+（﹣3c+3）＝3，∴点C的3倍相关圆的半径是3，故答案为：3；②∵点D在直线AB上，设D（d，3d+3），由题意知，k＝，∴R＝d+（3d+3）＝d+3＞0，∴d＞﹣．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象交于点M，且B为AM的中点．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）过B做x轴的平行线，交反比例函数y＝图象于点C，连接MC，AC．求△AMC的面积．解：（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H．∵AB＝MB，∠MHB＝∠AOB，∠MBH＝∠ABO，∴△ABO≌△MBH（AAS），∴BH＝BO，MH＝AO，∵直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴当y＝0时，x＝﹣1．当x＝0时，y＝2．∴A（﹣1，0），B（0，2）．∴BH＝BO＝2，MH＝AO＝1．∴M（1，4）．把M（1，4）代入中，得k＝4．∴反比例函数的解析式为．（2）∵AB＝BM，∴S△ABC ＝S△BCM．∵点C在反比例函数图象上，且BC∥x轴，∴点C纵坐标为2．把y＝2代入，得x＝2．∴点C坐标为（2，2），∴，∴S△AMC＝4．7．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），正方形OABC的顶点B在函数y ＝（k≠0，x＜0）的图象上，直线l：y＝﹣x+b与函数y＝（k≠0，x＜0）的图象交于点D，与x轴交于点E．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A时，直接写出△DCE内的整点的坐标；②若△DCE内的整点个数恰有6个，结合图象，求b的取值范围．解：（1）依题意知：B（﹣2，2），∴反比例函数解析式为y＝﹣．∴k的值为﹣4；（2）①∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A，∴b＝2，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2，解得，，，∴D（1﹣，1+），E（2，0），∴△DCE内的整点的坐标为（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1）；②当b＝2时，△DCE内有3个整点，当b＝3时，△DCE内有6个整点，∴b的取值范围是2＜b≤3．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．（1）求k的值；（2）已知点P（a，﹣2a）（a＜0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x﹣2于点M，交函数y＝（x＜0）的图象于点N．①当a＝﹣1时，求线段PM和PN的长；②若PN≥2PM，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．解：（1）∵函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．∴k＝﹣1×6＝﹣6．（2）①当a＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2）．∵直线y＝﹣2x﹣2，反比例函数的解析式为y＝﹣，PN∥x轴，∴把y＝2代入y＝﹣2x﹣2，求得x＝﹣2，代入y＝﹣求得x＝﹣3，∴M（﹣2，2），N（﹣3，2），∴PM＝1，PN＝2．②∵当a＝﹣1或a＝﹣3时，PN＝2PM，∴根据图象PN≥2PM，a的取值范围为a≤﹣3或﹣1≤a＜0．9．如图，已知点D在反比例函数y＝的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y＝kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD＝OC，OC：OA＝2：5．（1）求反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的表达式；（2）连结AD，求∠DAC的正弦值．解：（1）∵BD＝OC，OC：OA＝2：5，点A（5，0），点B（0，3），∴OA＝5，OC＝BD＝2，OB＝3，又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．∵点D（﹣2，3）在反比例函数的图象上，∴a＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数的表达式为．将A（5，0）、C（0，﹣2）代入y＝kx+b，得，解得：，∴一次函数的表达式为．（2）∵OA＝BC＝5，OC＝BD＝2，∠DBC＝∠AOC＝90°，∴△BDC≌△OCA（SAS），∴∠DCB＝∠OAC，DC＝CA，∴∠DCA＝90°，∴△DCA是等腰直角三角形，∴∠DAC＝45°，∴．10．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求的值．解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12；（2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH⊥OB，∴AH∥BC，∴点A到BC的距离＝BH＝2，＝×3×2＝3；∴S△ABC②∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝．11．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+1的图象相交于点A（2，3）和点B．（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．（3）结合图象，请直接写出使反比例函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围．解：（1）把A（2，3）代入得，∴k＝6．∴反比例函数的解析式为．联立解得或，∴点B的坐标为（﹣3，﹣2）．（2）设直线AB与y轴交于点C．可知C点的坐标为（0，1），∴OC＝1．∴．（3）当﹣3＜x＜0或x＞2时，反比例函数值小于一次函数值．12．如图1，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，根据中心对称性可以得知OA＝OB．（1）如图2，直线y＝2x+1与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试证明：AC＝BD；（2）如图3，直线y＝ax+b与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试问：AC＝BD还成立吗？（3）如果直线y＝x+3与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，若DB+DC ≤5，求出k的取值范围．解：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．∵AE∥y轴，∴S△AOE ＝S△AEF＝，∵BF∥x轴，∴S△BEF ＝S△OBF＝，∴S△AEF ＝S△BEF，∴AB∥EF，∴四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF，BD＝EF，∴AC＝BD．（2）如图1中，如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．∵AE∥y轴，∴S△AOE ＝S△AEF＝，∵BF∥x轴，∴S△BEF ＝S△OBF＝，∴S△AEF ＝S△BEF，∴AB∥EF，∴四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF，BD＝EF，∴AC＝BD．（3）如图2中，∵直线y＝x+3与坐标轴交于C，D，∴C（0，3），D（3，0），∴OC＝OD＝3，CD＝3，∵CD+BD≤5，∴BD≤2，当BD＝2时，∵∠CDO＝45°，∴B（1，2），此时k＝2，观察图象可知，当k≤2时，CD+BD≤5，13．综合与探究如图1，平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+4分别与x轴、y轴交于点A，B．双曲线y ＝（x＞0）与直线l交于点E（n，6）．（1）求k的值；（2）在图1中以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在第一象限、顶点D在y轴负半轴上．线段CD交x轴于点G．直接写出点A，D，G的坐标；（3）如图2，在（2）题的条件下，已知点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，过点P作x轴的平行线分别交线段AB，CD于点M，N．请从下列A，B两组题中任选一组题作答．我选择①组题．A．①当四边形AGNM的面积为5时，求点P的坐标；②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．B．①当四边形AGNM成为菱形时，求点P的坐标；②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由已知可得A（﹣2，0），B（0，4），E（1，6），∴k＝6；（2）∵AB⊥BC，∴BC的解析式为y＝﹣x+4，联立，∴C（2，3），∵CD＝AB＝2，∴D（0，﹣1），∴CD的解析式为y＝2x﹣1，∴G（，0）；（3）A①设P（m，），∵MN∥x轴，∴M（﹣2，），N（+，），∴MN＝，∵四边形AGNM的面积为5，∴×＝5，∴m＝3，∴P（3，2）；②Q（3，1）、Q（﹣3，1）、Q（﹣3，2）时B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等．B①∵四边形AGNM成为菱形，MN＝AM，∴＝∴m＝，∴P（，）；②Q（﹣，）、Q（，3﹣）、Q（﹣，3﹣）时B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等．14．如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，已知点A（3，4），B（0，﹣2），点C是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2），求△ABC的面积；（3）在点C运动的过程中，是否存在点C，使BC＝AC？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），∴k＝xy＝3×4＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）作AE⊥y轴于点E，交CD于点F，则BE∥CD，∴＝＝，∵点A的坐标为（3，4），∴EF＝1，FA＝2，∴点F的横坐标为1，∴点C的坐标为（1，12），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得，，∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣2，则点D的坐标为：（1，0），即CD＝12，∴△ABC的面积＝×12×1+×12×2＝18；（3）不存在，理由如下：设点C的坐标为（m，），∵BC＝AC，∴m2+（+2）2＝（3﹣m）2+（﹣4）2，整理得，6m2﹣21m+144＝0，△＝212﹣4×6×144＜0，则此方程无解，∴点C不存在．15．如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点A坐标为（1，0），点D坐标为（1，3），点G坐标为（1，1），动点E从点G出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点D方向运动，与此同时，x轴上动点B从点A出发，以相同的速度向右运动，两动点运动时间为t（0＜t＜2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点E作双曲线交线段BC于点F，作CD 中点M，连接BE、EF、EM、FM．（1）当t＝1时，求点F的坐标．（2）若BE平分∠AEF，则t的值为多少？（3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？解：（1）当t＝1时， EG＝1×1＝1＝AB∴点E（1，2）设双曲线解析式：y＝∴k＝1×2＝2∴双曲线解析式：y＝∵OB＝OA+AB＝2，∴当x＝2时，y＝1，∴点F（2，1）（2）∵EG＝AB＝t，∴点E（1，1+t），点B（1+t，0）设双曲线解析式：y＝∴m＝1+t∴双曲线解析式：y＝当x＝1+t时，y＝1∴点F（1+t，1）∵BE平分∠AEF∴∠AEB＝∠BEF，∵AD∥BC∴∠AEB＝∠EBF＝∠BEF∴EF＝BF＝1∴＝t＝1∴t＝（3）延长EM，BC交于点N，∵EG＝AB＝t，∴点E（1，1+t），点B（1+t，0）∴DE＝AD﹣AE＝3﹣（1+t）＝2﹣t，设双曲线解析式：y＝∴n＝1+t∴双曲线解析式：y＝当x＝1+t时，y＝1∴点F（1+t，1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠NCD，∠DEM＝∠MNC，且DM＝CM，∴△DEM≌△CNM（AAS）∴EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t，∵CF＝BC﹣BF＝2∴NF＝CF+CN＝2﹣t+2＝4﹣t，∵∠EMF为直角，∴∠EMF＝∠NMF＝90°，且EM＝MN，MF＝MF，∴△EMF≌△NMF（SAS），∴EF＝NF，∴t＝4﹣t∴t＝4﹣4。
决战中考数学压轴题综合提升训练：《反比例函数》(解析版)
决战2020中考数学压轴题综合提升训练：《反比例函数》1．如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1＝的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y1＝，∵点B（﹣3，a）在反比例函数y1＝的图象上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴B（﹣3，﹣1），∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y2＝x+2；（2）如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，∴①当OA＝OP时，∵A（1，3），∴OA＝，∵OP＝，∵点P在x轴上，∴P（﹣，0）或（，0），②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，∵A（1，3），∴P（2，0），即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（﹣，0）或（2，0）或（，0）．2．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y ＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围．解：（1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6，（2）①当直线l过点（2，0）时，直线解析式为y＝x﹣1，解方程＝x﹣1得x 1＝1﹣（舍去），x2＝1+，则C（1+，），而B（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（3，1）一个；②如图2，直线l在AB的下方时，直线l：y＝kx﹣1过（6，1）时，1＝6k﹣1，解得k ＝，当直线在OA的上方时，直线经过（1，4）时，4＝k﹣1，解得k＝5，观察图象可知：当k≤或k≥5时，区域W内的整点不少于4个．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（4﹣t，3），∴PE＝3，EQ＝|4﹣t﹣t|＝|4﹣t|，∴PQ2＝PE2+EQ2＝32+|4﹣t|2＝t2﹣20t+25，∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：；故答案为：．（2）当时，整理，得5t2﹣16t+12＝0，解得：t1＝2，．（3）经过点D的双曲线的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝3，BC＝4，∴．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴，∴OD＝3．∵CB∥OA，∴∠DOF＝∠OBC．在Rt△OBC中，，，∴，，∴点D的坐标为，∴经过点D的双曲线的k值为．4．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，m+8），B （n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且当x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？解：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y＝得﹣3（m+8）＝m，解得m＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y＝﹣，将点B（n，﹣6）代入y＝﹣得﹣6n＝﹣6，解得n＝1，∴点B的坐标为（1，﹣6），将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；（2）设AB与x轴相交于点C，如图，当﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，则点C的坐标为（﹣2，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×2×2+×2×6，＝2+6，＝8；（3）∵当x1＜x2时，y1＞y2，∴点P和点Q不在同一象限，∴P在第二象限，Q在第四象限．5．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，＝．（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；（2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1），∴OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠CAE＝45°∵AE＝3OA，∴AE＝3，∵EC⊥x轴，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＝∠ACE＝45°，∴EC＝AE＝3，∴C（4，3），∵反比例函数y＝经过点C（4，3），∴k＝12，由，解得或，∴D（﹣3，﹣4）．（2）如图，设M（a，a﹣1）．当点N在反比例函数的图象上时，N（a，），∵四边形ECMN是平行四边形，∴MN＝EC＝3，∴|a﹣1﹣|＝3，解得a＝6或﹣2或﹣1±（舍弃），∴M（6，5）或（﹣2，﹣3），观察图象可知：当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3≤a≤﹣2．6．如图，一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于点A，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点D在直线y＝kx+2上，且AO＝OB，反比例函数y＝（x＞0）经过点C．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求出P点的坐标；（3）在（2）的条件下，以点C、D、P为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M 的坐标．解：（1）设一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，如图1所示．当x＝0时，y＝kx+2＝2，∴OA＝2．∵四边形ABCD为正方形，OA＝OB，∴∠BAE＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴OE＝2，点E的坐标为（﹣2，0）．将E（﹣2，0）代入y＝kx+2，得：﹣2k+2＝0，解得：k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+2．∵∠OBD＝∠ABD+∠OBA＝90°，∴BD∥OA．∵OE＝OB＝2，∴BD＝2OA＝4，∴点D的坐标为（2，4）．∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C，∴n＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为y＝．（2）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，如图2所示．∵点D的坐标为（2，4），∴点D′的坐标为（2，﹣4）．设直线CD′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将C（4，2），D′（2，﹣4）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线CD′的解析式为y＝3x﹣10．当y＝0时，3x﹣10＝0，解得：x＝，∴当△PCD的周长最小时，P点的坐标为（，0）．（3）设点M的坐标为（x，y），分三种情况考虑，如图3所示．①当DP为对角线时，，解得：，∴点M1的坐标为（，2）；②当CD为对角线时，，解得：，∴点M2的坐标为（，6）；③当CP为对角线时，，解得：，∴点M3的坐标为（，﹣2）．综上所述：以点C、D、P为顶点作平行四边形，第四个顶点M的坐标为（，2），（，6）或（，﹣2）．7．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，n），B（m，2）（1）求反比例函数关系式及m的值；（2）若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16，求点M的坐标；（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式在＜﹣2x﹣4的解集解：（1）∵一次函数y＝﹣2x﹣4的图象过点A（1，n），B（m，2）∴n＝﹣2﹣4，2＝﹣2m﹣4∴n＝﹣6，m＝﹣3，∴A（1，﹣6）把A（1，﹣6）代入y＝得，k＝﹣6，∴反比例函数关系式为y＝﹣；（2）设直线AB与x轴交于N点，则N（﹣2，0），设M（m，0），m＞0，∵S△MAB＝S△BMN+S△AMN，△MAB的面积为16，∴|m+2|×（2+6）＝16，解得m＝2或﹣6（不合题意舍去），∴M（2，0）；（3）由图象可知：不等式在＜﹣2x﹣4的解集是x＜﹣3或0＜x＜1．8．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，5）与点C关于原点O对称，分别过点A、C 作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点B、D，连结AD、BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．（1）求直线AD对应的函数关系式；（2）求k的值；（3）直接写出阴影部分图形的面积之和．解：（1）设直线AD对应的函数关系式为y＝ax+b．∵直线AD过点A（3，5），E（﹣2，0），∴解得∴直线AD的解析式为y＝x+2．（2）∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），∵CD∥y轴，∴设点D的坐标为（﹣3，a），∴a＝﹣3+2＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝﹣3×（﹣1）＝3；（3）如图：∵点A和点C关于原点对称，∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，∴S阴影＝4×3＝12．9．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；（2）已知点C（0，8），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．解：（1）把点A（4，3）代入函数得：a＝3×4＝12，∴y＝，OA＝5，∵OA＝OB，∴OB＝5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：∴y＝2x﹣5；（2）作MD⊥y轴．∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）．∵MB＝MC，∴CD＝BD，∴x2+（8﹣2x+5）2＝x2+（﹣5﹣2x+5）2∴8﹣（2x﹣5）＝2x﹣5+5解得：x＝∴2x﹣5＝，∴点M的坐标为（，）．10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝3，OC＝5，动点P在x轴的上方，且满足S△＝S矩形OABC．PAO（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．解：（1）由题意，可知：点B的坐标为（3，5）．∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，∴k＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y＝．∵S△PAO＝S矩形OABC，∴×3×y P＝×3×5，∴y P＝3．当y＝3时，＝3，解得：x＝5，∴当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为（5，3）．（2）由（1）可知：点P在直线y＝3上，作点O关于直线y＝3的对称点O′，连接AO′交直线y＝3于点P，此时PO+PA取得最小值，如图1所示．∵点O的坐标为（0，0），∴点O′的坐标为（0，6）．∵点A的坐标为（3，0），∴AO′＝＝3，∴PO+PA的最小值为3．（3）∵AB∥y轴，AB＝5，点P的纵坐标为3，∴AB不能为对角线，只能为边．设点P的坐标为（m，3），分两种情况考虑，如图2所示：①当点Q在点P的上方时，AP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣0）2＝25，解得：m1＝﹣1，m2＝7，∴点P1的坐标为（﹣1，3），点P2的坐标为（7，3）．又∵PQ＝5，且PQ∥AB∥y轴，∴点Q1的坐标为（﹣1，8），点Q2的坐标为（7，8）；②当点Q在点P的下方时，BP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣5）2＝25，解得：m3＝3﹣，m4＝3+，同理，可得出：点Q3的坐标为（3﹣，﹣2），点Q4的坐标为（3+，﹣2）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为（﹣1，8），（7，8），（3﹣，﹣2）或（3+，﹣2）．11．如图，已知C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2，连接OC、OD．（1）若x1+y1＝x2+y2，求证：OC＝OD；（2）tan∠BOC＝，OC＝，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，若∠BOC＝∠AOD，求直线CD的解析式．（1）证明：∵C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，∴y1＝，y2＝．∵x1+y1＝x2+y2，即x1+＝x2+，∴x1﹣x2＝．又∵x1＜x2，∴＝1，∴＝x2＝y1，＝x1＝y2．∴OC＝＝，OD＝＝，∴OC＝OD．（2）解：∵tan∠BOC＝，∴＝．又∵OC＝，∴+＝10，∴x1＝1，y1＝3或x1＝﹣1，y1＝﹣3．∵点C在第一象限，∴点C的坐标为（1，3）．（3）解：∵∠BOC＝∠AOD，∴tan∠AOD＝，∴＝．∵点C（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝1×3＝3，∴x2•y2＝3，∴x2＝3，y2＝1或x2＝﹣3，y2＝﹣1．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（3，1）．设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（1，3），D（3，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y＝的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，F．（1）若D的坐标为（4，2）①则OA的长是8 ，AB的长是 4 ；②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．（2）若点D的坐标为（m，n），且m＞0，n＞0，求的值．解：（1）①∵点D的坐标为（4，2），∴点B的坐标为（8，4），∴OA＝8，AB＝4．故答案为：8；4．②EF∥AC，理由如下：∵反比例函数y＝的图象经过点D（4，2），∴k＝4×2＝8．∵点B的坐标为（8，4），BC∥x轴，AB∥y轴，∴点F的坐标为（2，4），点E的坐标为（8，1），∴BF＝6，BE＝3，∴＝，＝，∴＝．∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠BCA＝∠BFE，∴EF∥AC．③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，如图所示．∵点E的坐标为（8，1），∴点E′的坐标为（8，﹣1），∴DE′＝＝5．设直线DE′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将D（4，2），E′（8，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线DE′的解析式为y＝﹣x+5．当y＝0时，﹣x+5＝0，解得：x＝，∴当点P的坐标为（，0）时，PD+PE的值最小，最小值为5．（2）∵点D的坐标为（m，n），∴点B的坐标为（2m，2n）．∵反比例函数y＝的图象经过点D（m，n），∴k＝mn，∴点F的坐标为（m，2n），点E的坐标为（2m，n），∴BF＝m，BE＝n，∴＝，＝，∴＝．又∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴＝＝．13．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A （﹣3，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解．解：（1）∵点A（﹣3，1）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，∴m＝（﹣3）×1＝﹣3，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，∵点B（1，n）也在反比例函数y＝﹣的图象上，∴n＝﹣＝﹣3，即B（1，﹣3），把点A（﹣3，1），点B（1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b中，得，解得，∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2；（2）如图所示，当＞kx+b时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞1，所以不等式﹣kx﹣b＞0的解是：﹣3＜x＜0或x＞1．14．如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y＝的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），AB⊥x轴，垂足为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P在线段OB上，若AP＝BP+2，求线段OP的长；（3）点D为射线OA上一点，在（2）的条件下，若S△ODP＝S△ABO，求点D的坐标．解：（1）∵函数y＝的图象过点A（8，a），∴a＝×8＝4，∴点A的坐标为（8，4），∵反比例函数y＝（k≠0）图象过点A（8，4），∴4＝，得k＝32，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设BP＝b，则AP＝b+2，∵点A（8，4），AB⊥x轴于点B，∴AB＝4，∠ABP＝90°，∴b2+42＝（b+2）2，解得，b＝3，∴OP＝8﹣3＝5，即线段OP的长是5；（3）设点D的坐标为（d，d），∵点A（8，4），点B（8，0），点P（5，0），S△ODP＝S△ABO，∴，解得，d＝，∴d＝，∴点D的坐标为（，）．15．阅读理解：如图（1），在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到Rt△ABC，由勾股定理可得，线段AB＝＝．得出结论：（1）若A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离；应用结论：（2）若点P在y轴上运动，试求当PA＝PB时，点P的坐标．（3）如图（2）若双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，将线段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线L2：y＝﹣（x＞0）上的点D处，试求A、D两点间的距离．解：（1）∵A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），∴根据两点间的距离公式得，AB＝；（2）设点P（0，a），∵A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），∵PA＝，PB＝，∵PA＝PB，∴＝，∴a＝5，∴P（0，5）；（3）∵双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，∴OA＝，k＝1×2＝2，∴双曲线L1：y＝（x＞0），双曲线L2：y＝﹣（x＞0），设点D坐标为（m，﹣）（m＞0），∴OD＝，由旋转知，OA＝OD，∴＝，∴m＝±1或m＝±2，∵m＞0，∴m＝1或m＝2，∴D（1，﹣2）或（2，﹣1）．∵A（1，2），∴AD＝4或．。
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中考数学反比例函数-经典压轴题附答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，∴2×3n=（5n+2）×1=m，∴n=2，m=12，∴A（2，6），B（12，1），∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，∴，解得，∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，解得a=7±2 ．（3）（0，6）或（0，8）【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），由题意，PE=|m﹣7|．∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．∴|m﹣7|=1．∴m1=6，m2=8．∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．故答案为（0，6）或（0，8）．【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.2．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．4．如图，过原点O的直线与双曲线交于上A（m，n）、B，过点A的直线交x轴正半轴于点D，交y轴负半轴于点E，交双曲线于点P.（1）当m＝2时，求n的值；（2）当OD：OE＝1：2，且m＝3时，求点P的坐标；（3）若AD＝DE，连接BE，BP，求△PBE的面积.【答案】（1）解：∵点A（m，n）在双曲线y＝上，∴mn＝6，∵m＝2，∴n＝3；（2）解：由（1）知，mn＝6，∵m＝3，∴n＝2，∴A（3，2），∵OD：OE＝1：2，设OD＝a，则OE＝2a，∵点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，∴D（a，0），E（0，﹣2a），∴直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，∵点A（3，2）在直线y＝2x﹣2a上，∴6﹣2a＝2，∴a＝2，∴直线DE的解析式为y＝2x﹣4①，∵双曲线的解析式为y＝②，联立①②解得，（点A的横纵坐标，所以舍去）或，∴P（﹣2，﹣3）；（3）解：∵AD＝DE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，A（m，n），∴E（0，﹣n），D（ m，0），∴直线DE的解析式为y＝ x﹣n，∵mn＝6，∴m＝，∴y＝ x﹣n③，∵双曲线的解析式为y＝④，联立③④解得，∴（点A的横纵坐标，所以舍去）或，∴P（﹣2m，﹣2n），∵A（m，n），∴直线AB的解析式为y＝x⑤.联立④⑤解得，（点A的横纵坐标，所以舍去）或∴B（﹣m，﹣n），∵E（0，﹣n），∴BE∥x轴，∴S△PBE＝ BE×|y E﹣y P|＝ ×m×|﹣n﹣（﹣2n）|＝ mn＝3.【解析】【分析】（1）把A（2，n）代入解析式即可求出n；（2）先求出A点坐标，设OD＝a，则OE＝2a，得D（a，0），E（0，﹣2a），直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，把点A（3，2）代入求出a，再联立两函数即可求出交点P；（3）由AD＝DE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，故A（m，n），E（0，﹣n），D（ m，0），求得直线DE 的解析式为y＝ x﹣n，又mn＝6，得y＝ x﹣n，与y＝联立得，即为P点坐标，由直线AB的解析式为y＝ x与双曲线联立解得B （﹣m，﹣n），再根据S△PBE＝ BE×|y E﹣y P|＝ ×m×|﹣n﹣（﹣2n）|求出等于3.5．如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，∴反比例函数解析式为y= ；把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，即m=2，∴A（3，2），设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，解得，∴直线AB 的解析式为y=x﹣1（2）解：由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C．如图所示，延长AO交双曲线于点C1，∵点A与点C1关于原点对称，∴AO=C1O，∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y= x，可设直线C1C2的解析式为y= x+b'，把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2= ×（﹣3）+b'，解得b'= ，∴直线C1C2的解析式为y= x+ ，解方程组，可得C2（）；如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，设直线AC3的解析式为y= x+ ，把A（3，2）代入，可得2= ×3+ ，解得 =﹣，∴直线AC3的解析式为y= x﹣，解方程组，可得C3（）；综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（（））．【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式（2）结合图像判断直线AB在双曲线的交点坐标为A,B，X取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点C的坐标。
6．如图1，已知（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B 作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连结AQ，取AQ的中点为C．（1）如图2，连结BP，求△PAB的面积；（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为，求此时P点的坐标；（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．【答案】（1）解：连接OP，（2）解：如图1，∵四边形BQNC是菱形，∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC。