2021版江苏高考数学复习讲义：等差数列及其前n项和含答案
2021高考数学理一轮复习：第5章数列第2讲等差数列及其前n项和讲义2
1．等差数列的有关概念1定义：一般地，如果一个数列从错误!＋n－md2等差数列的前n项和公式S n＝错误!＝na1＋错误!d3．等差数列的相关性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．1有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a1＋a n＝错误!＋n＝＋a n＝a，n，＋n＝2＋a n m，n，，a＋2m，…仍是等差数列，公差为错误!d，m∈N*．4S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!有两个不同的实根3，4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝________答案1D 2－错误!解析1因为a4，a7是函数f＝2－4＋3的两个零点，由韦达定理可知，a4＋a7＝4，S10＝错误!×10＝错误!×10＝20，故选D2若m>0，则公差d＝错误!－错误!＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝错误!＝错误!所以m＝cos错误!＝－错误!角度2 等差数列前n项和的性质的应用2．等差数列{a n}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m项的和．解记数列{a n}的前n项和为S n，由等差数列前n项和的性质知S m，S2m－S m，S3m－S2m 成等差数列，则2S2m－S m＝S m＋S3m－S2m，又S m＝30，S2m＝100，所以S2m－S m＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2S2m－S m－S m＝110，所以S3m＝110＋100＝210角度3 等差数列前n项和的最值问题3．12022·吉林长春一模等差数列{a n}中，已知a6＋a11＝0，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为A．6 B．7 C．8 D．92在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17答案1C 2A解析1解法一：因为a6＋a11＝0，所以a1＋5d＋a1＋10d＝0，解得a1＝－错误!d，所以S n＝na1＋错误!d＝错误!·n＋错误!d＝错误!n2－16n＝错误![n－82－64]．因为d>0，所以当n＝8时，其前n项和取最小值．解法二：由等差数列的性质可得a8＋a9＝a6＋a11＝0由公差d>0得等差数列{a n}是递增数列，所以a8<0，a9>0，故当1≤n≤8时，a n<0；n≥9时，a n>0，所以当n＝8时，其前n项和取最小值．2∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋错误!d＝20a1＋错误!d，解得d＝－2，∴S n＝29n＋错误!×－2＝－n2＋30n＝－n－152＋225∴当n＝15时，S n取得最大值．1．应用等差数列的性质解题的两个注意点1如果{a n}为等差数列，m＋n＝＋a n＝a，n，－n，a m，a m＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m或其他项有关的条件；若求a m项，可由a m＝错误!a m－n＋a m＋n转化为求a m－n，a m＋n或a m＋n＋a m－n的值．2要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如a n＝a m＋n－md，d＝错误!，S2n－1＝2n－1a n，S n＝错误!＝错误!n，m∈N*等．3当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶n－1．见巩固迁移32．求等差数列前n项和S n最值的两种方法1函数法：等差数列前n项和的函数表达式S n＝an2＋bn＝a错误!2－错误!，求“二次函数”最值．如举例说明31解法一．2邻项变号法①当a1＞0，d＜0时，满足错误!的项数m使得S n取得最大值为S m；②当a1＜0，d＞0时，满足错误!的项数m使得S n取得最小值为S m如举例说明31解法二．1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足S n>0的最大自然数n的值为A．6 B．7 C．12 D．13答案 C解析因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足S n>0的最大自然数n的值为12 2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n＝324n>6，则数列{a n}的项数为________．答案18解析由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①a n＋a n－1＋a n－2＋…＋a n－5＝180，②①＋②得a1＋a n＋a2＋a n－1＋…＋a6＋a n－5＝6a1＋a n＝216，∴a1＋a n＝36，又S n＝错误!＝324，∴18n＝324，∴n＝183．2022·太原模拟一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d解设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d由已知条件，得错误!解得错误!又S偶－S奇＝6d，所以d＝错误!＝5。
高考数学复习知识点讲解教案第35讲 等差数列及其前n项和
2
2
二次函数
于的常数项为0的____________，它的图象是抛物线
=
孤立
标为正整数的均匀分布的一群_______的点.
2
2
+ 1 −
2
上横坐
常用结论
1.已知数列{ }的通项公式是 = + （其中，为常数），则数列{ }一定
是等差数列，且公差为.
2 + 9 = 1 + + 1 + 8 = 29,
[解析] 设等差数列{ }的公差为，由已知得ቊ
5 = 51 + 10 = 35,
1 = 1,
解得ቊ
∴ 8 = 81 + 28 = 8 + 28 × 3 = 92.故选B.
= 3,
（2） [2024·九省联考] 记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16= ( C )
−10
7.已知等差数列{ }的通项公式为 = 10 − ,则1 + 2 + ⋯ + 20 =______，
100
1 + 2 + ⋯ + 20 =______.
[解析] 设数列{ }的前项和为 ，
则20 = 1 + 2 + ⋯ + 20 =
20×[9+ 10−20 ]
◆ 知识聚焦 ◆
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{ }的首项为1 ，公差是，前项和为 ，则
等差数列定义式
+1 − =
_________________（为常数）
等差中项
+
高考数学一轮复习配套讲义：第5篇 第2讲 等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和[最新考纲]1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知 识 梳 理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 若等差数列{a n }的第m 项为a m ，则其第n 项a n 可以表示为a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项) 3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2. (2)若{a n }为等差数列，当m ＋n ＝p ＋q ，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2； 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．4．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的区别与联系(2)等差数列前n 项和公式可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎭⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．辨 析 感 悟1．对等差数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)等差数列的公差是相邻两项的差．(×)(3)(教材习题改编)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×)2．等差数列的通项公式与前n 项和(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√)(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．(×) 3．等差数列性质的活用(7)(·广东卷改编)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.(√)(8)(·辽宁卷改编)已知关于d ＞0的等差数列{a n }，则数列{a n }，{na n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ，{a n＋3nd }都是递增数列．(×)[感悟·提升]一点注意 等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)．等差数列与函数的区别 一是当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数，如(3)；二是公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0；三是等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的，如(8)中若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n 是递减数列；设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋m ，则a n ＋3nd ＝4dn ＋m 是递增数列.考点一 等差数列的基本量的求解【例1】 在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35. 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求．规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【训练1】 (1)(·浙江五校联考)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )．A ．85B ．135C ．95D ．23(2)(·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎨⎧ 2a 1＋4d ＝4，2a 1＋6d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3. ∴S 10＝10×(－4)＋10×92×3＝95. (2)法一 ∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， ∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m (m －1)2＝0， ①(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2＝－2， ②由①得a 1＝1－m2，代入②可得m ＝5.法二 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5.经检验为原方程的解．故选C. 答案 (1)C (2)C考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (·梅州调研改编)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．审题路线 (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为关于S n 与S n －1的式子⇒同除S n ·S n －1⇒利用定义证明⇒得出结论．(2)由(1)求1S n⇒再求S n ⇒再代入条件a n ＝－2S n S n －1，求a n ⇒验证n ＝1的情况⇒得出结论．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式． 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法． 【训练2】 已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n . 设b n ＝a n －2n3n .证明：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明 ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1，∴{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0. ∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n ＋2n .【例3】 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )． A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2(2)在等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则前3m 项的和为________． 解析 (1)S 8＝4a 3⇒8(a 1＋a 8)2＝4a 3⇒a 3＋a 6＝a 3，∴a 6＝0，∴d ＝－2，∴a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.答案 (1)A (2)210规律方法 巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．【训练3】 (1)在等差数列{a n }中．若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和S n ＝286，则n ＝________.(2)已知等差数列{a n }中，S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________. 解析 (1)依题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67.由等差数列的性质知a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝88，∴a 1＋a n ＝22.又S n ＝n (a 1＋a n )2，即286＝n ×222，∴n ＝26.(2)∵{a n }为等差数列，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列， ∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)． ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6 ＝2(S 6－S 3)－S 3＝2(36－9)－9＝45. 答案 (1)26 (2)451．等差数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．方法优化4——整体代入法(整体相消法)在数列解题中的应用【典例】 (1)(·辽宁卷)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )．A ．58B ．88C ．143D ．176(2)(·北京卷)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.[一般解法] (1)设数列{a n }的公差为d ，则a 4＋a 8＝16，即a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝16，即a 1＝8－5d ，所以S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(8－5d )＋55d ＝88－55d ＋55d ＝88.(2)由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎨⎧a 1q (1＋q 2)＝20，a 1q 2(1＋q 2)＝40，解得q ＝2，a 1＝2，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.[优美解法] (1)由a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，得 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88.(2)由已知，得a 3＋a 5a 2＋a 4＝q (a 2＋a 4)a 2＋a 4＝q ＝2，又a 1＝2，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.[反思感悟] 整体代入法是一种重要的解题方法和技巧，简化了解题过程，节省了时间，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征． 【自主体验】在等差数列{a n }中，已知S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝________. 解析 设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ， 得⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝m ，S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝n .①②②－①得(m －n )a 1＋(m －n )(m ＋n －1)2·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1. ∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )．答案 －(m ＋n )对应学生用书P287基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·温州二模)记S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝( )． A.12B ．2C ．3D ．4 解析 由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，∴d ＝2.答案 B2．(·潍坊期末考试)在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于( )．A ．21B ．30C ．35D ．40解析 由题意得3a 6＝15，a 6＝5.所以a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 6＝7×5＝35. 答案 C3．(·揭阳二模)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )． A ．37 B ．36 C ．20 D ．19解析 由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，得(m －1)d ＝9a 5＝36d ⇒m ＝37. 答案 A4．(·郑州模拟){a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝( )．A ．40B ．35C ．30D ．28解析 设公差为d ，则由已知得S 7＝7(a 1＋a 7)2，即21＝7(a 1＋5)2，解得a 1＝1，所以a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.答案 A5．(·淄博二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13＝S 13＝13，则a 1＝( )．A ．－14B ．－13C ．－12D ．－11解析 在等差数列中，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13，所以a 1＋a 13＝2，即a 1＝2－a 13＝2－13＝－11. 答案 D 二、填空题6．(·肇庆二模)在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________. 解析 a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，∴a 35＝a 25＋10d ＝66＋33＝99. 答案 997．(·成都模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，前三项之和S 3＝9，则{a n }的通项a n ＝________.解析 由a 1＝1，S 3＝9，得a 1＋a 2＋a 3＝9，即3a 1＋3d ＝9，解得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案 2n －18．(·浙江五校联考)若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________.解析 S 3S 5＝3(a 1＋a 3)5(a 1＋a 5)＝3a 25a 3＝35×52＝32.答案 3∶2 三、解答题9．已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5＞a 1a 9，求a 1的取值范围．解 (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或2.(2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5＞a 1a 9，所以5a 1＋10＞a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10＜0，解得－5＜a 1＜2.故a 1的取值范围是(－5,2)．10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S n n ＋2(n －1)(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并求a n 与S n .(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S n n －(n －1)2＝2 015？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．证明 (1)由a n ＝S n n ＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1)(n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4(n －1)，即a n －a n －1＝4，故数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列．于是，a n ＝4n －3，S n ＝(a 1＋a n )n 2＝2n 2－n (n ∈N *)． (2)由(1)，得S n n ＝2n －1(n ∈N *)，又S 1＋S 22＋S 33＋…＋S n n －(n －1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)－(n －1)2＝n 2－(n －1)2＝2n －1.令2n －1＝2 015，得n ＝1 008，即存在满足条件的自然数n ＝1 008.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·咸阳模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )．A ．12B ．14C ．16D ．18解析 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14. 答案 B2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )．A ．5B ．6C ．7D ．8解析 法一 由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大．法二 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大． 法三 根据a 1＝13，S 3＝S 11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．答案 C二、填空题3．(·九江一模)正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.解析 因为2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，所以数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以d ＝a 22－a 21＝4－1＝3为公差的等差数列，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝3n －2，n ≥1.所以a 7＝3×7－2＝19.答案 19三、解答题4．(·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22，所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解，所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝n (1＋4n －3)2＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. 法一 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)． 令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．法二 由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c， ∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列.。
第7章第2节等差数列及其前n项和2021年新高考数学自主复习
第1节 数列的概念与简单表示法
目 第2节 等差数列及其前n项和
录 目 第3节 比数列及其前n项和 录
第4节 数列的综合应用
专题3 求数列通项公式的方法及数列 求和的方法
第2节 等差数列及其前n项和
真题自测 考向速览 必备知识 整合提升 考点精析 考法突破
第2节 等差数列及其前n项和
∴S10＝
＝100，S5＝
＝25，∴ ＝4.
【答案】4
＝______.
第2节 等差数列及其前n项和
4．[江苏2019·8]已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27， 则S8的值是________．
【解析】方法一：设等差数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋a1＋7d＝0，
(3)用函数观点理解通项公式：an是定义在N*或其有限子集{1，2，3，…，n}上的一次函 数(d≠0)或常数函数(d＝0)．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)， 如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，(n，an)在一次函 数y＝px＋q的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y＝px＋q上的离散的点． 当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x轴的直线(或x轴)上的 离散的点．
【答案】0 －10
第2节 等差数列及其前n项和
必备知识 整合提升
1. 等差数列的定义
一般地，如果一个数列_从__第__2_项__起__，__每__一__项__与__它__的__前__一__项__的__差__都__等__于__同__一__个__常__数___________， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__公__差__，通常用字母__d___表示．
高考数学一轮专项复习讲义(通用版)-等差数列(含解析)
等差数列复习要点 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.体会等差数列与一元一次函数的关系．一等差数列的有关概念1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示．定义的表达式为a n＋1－a n＝d(n∈N*)．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.3．等差中项若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b 2.二等差数列的有关公式1．通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.2．前n项和公式：S n＝na1＋n n－12d或S n＝n a1＋a n2.三等差数列的常用性质1．通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．2．若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.3．若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．4．数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．5．S2n－1＝(2n－1)a n.6．等差数列{a n}的前n项和为S n常/用/结/论1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q关于n的一次函数．为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{a n}中，若a1>0，d<0，则S n存在最大值；若a1<0，d>0，则S n存在最小值．3．等差数列{a n }的单调性：当d >0时，{a n }是递增数列；当d <0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．4．数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．这里公差d ＝2A .等差数列的一种判断方法．1．判断下列结论是否正确．(1)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√)(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√)(4)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．(√)2．(2024·浙江金丽衢十二校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＝5，则S 6＝________.解析：∵{a n }为等差数列，∴S 6＝a 1＋a 62×6＝a 3＋a 42×6＝15.答案：153．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S n T n ＝7n ＋33n ＋8，则a7b 7＝________.解析：由等差数列的求和公式可得a 7b 7＝S13T 13＝7×13＋33×13＋8＝9447＝2.答案：24．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11，则数列{|a n |}的前n 项和T n ＝________.解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则T n S n ，n ≤5，n －2S 5，n ≥6，即T n n －n 2，n ≤5，2－10n ＋50，n ≥6.n －n 2，n ≤5，2－10n ＋50，n ≥6题型等差数列基本量的计算典例1(1)(2023·全国甲卷，文)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 2＋a 6＝10，a 4a 8＝45，则S 5＝()本例可以用a 1，d 来表示这两个条件方程，由方程组求解．A ．25B ．22C ．20D ．15(2)(2023·全国乙卷，文)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝11，S 10＝40.转化为a 1，d 的方程组．①求{a n }的通项公式；②求数列{|a n |}的前n 项和T n .(1)解析：因为a 2＋a 6＝10＝2a 4，所以a 4＝5，又等差中项的性质．a 4a 8＝45，所以a 8＝9.令公差为d ，由a 8－a 4＝4d ＝4，解得d ＝1，所以a 3＝a 4－d ＝4，故S 5＝a 1＋a 52×5＝2a32×5＝20，故选C.(2)解：①设等差数列{a n }的公差为d ，则由题知，解得1＝13，＝－2，方程思想的应用.其实就是把条件转化为基本量的方程．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ，n ∈N *.②因为a n ＝15－2n ，n ∈N *，所以a 1＝15－2＝13，S n ＝na 1＋a n 2＝n13＋15－2n2＝14n －n 2.当n ≤7时，a n >0，所以T n ＝S n ＝14n －n 2；当n >7时，T n ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7)－(a 8＋…＋a n )＝S 7－(S n －S 7)＝2S 7－S n ＝n 2－14n ＋98.这个转化是解题的技巧，借用S n 来表达出T n .综上，T n n －n 2，n ≤7，2－14n ＋98，n >7.等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量转换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用的方法．对点练1(1)(2023·全国乙卷，理)已知等差数列{a n }的公差为2π3，集合S ＝{cos a n |n ∈N *}，若S ＝{a ，b }，则ab ＝()A ．－1B ．－12C ．0D.12(2)(2023·新高考全国Ⅰ卷)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >1.令b n ＝n 2＋na n，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和．①若3a 2＝3a 1＋a 3，S 3＋T 3＝21，求{a n }的通项公式；②若{b n }为等差数列，且S 99－T 99＝99，求d .(1)解析：依题意，在等差数列{a n }中，a n ＝a 1＋(n －1)·2π3＝2π3n 1y＝cos 2π3n 13，而n ∈N *，即cos a n 最多有3个不同取值，又{cos a n |n ∈N *}＝{a ，b }，则在cos a 1，cos a 2，cos a 3中，cos a 1＝cos a 2≠cos a 3或cos a 1≠cos a 2＝cos a 3或cos a 1＝cos a 3≠cos a 2，于是有cos θ＝cos θ＝当cos θ＝时，有θ2k π，k ∈Z ，解得θ＝k π－π3，k ∈Z ，所以ab ＝ππ＋4π3＝－πk π＝－cos 2k πcos π3＝－12；同理，当cos θ＝cos 解得θ＝k π－2π3，k ∈Z ，所以ab ＝ππ＋2π3＝cos 2k πcos 2π3＝－12.故选B.答案：B(2)解：①由3a 2＝3a 1＋a 3，得3(a 1＋d )＝3a 1＋a 1＋2d ，整理得a 1＝d ，所以a n ＝nd ，b n＝n ＋1d.由S 3＋T 3＝21，得d ＋2d ＋3d ＋2d ＋3d ＋4d ＝21，整理得2d 2－7d ＋3＝0，解得d ＝3或d＝12(舍)，故a n ＝3n .②若{b n }是等差数列，则b 1＋b 3＝2b 2，即2a 1＋12a 3＝2×6a 2，所以a 2a 3＋6a 1a 2＝6a 1a 3，所以(a 1＋d )(a 1＋2d )＋6a 1(a 1＋d )＝6a 1(a 1＋2d )，整理得a 21－3a 1d ＋2d 2＝0，解得a 1＝d 或a 1＝2d .a ．若a 1＝d ，则a n ＝nd ，b n ＝n ＋1d，由S 99－T 99＝99，得50d －51d＝1，即50d 2－d －51＝0，解得d ＝－1(舍)或d ＝5150；b ．若a 1＝2d ，则a n ＝(n ＋1)d ，b n ＝nd ，由S 99－T 99＝99，得51d －50d＝1，即51d 2－d －50＝0，解得d ＝1(舍)或d ＝－5051(舍)．综上，d ＝5150.题型等差数列性质的多维研讨维度1等差数列项的性质典例2(1)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 9＝3(a 3＋a 5＋a m )，则m ＝()9＝9a 5，3＋a 7＝2a 5.数列问题不但要求有方程思想，还应有整体认知．A ．9B ．8C ．7D ．6(2)已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝()A ．1 B.34C.12D.38解析：(1)因为S 9＝9a 5，所以9a 5＝3(a 3＋a 5＋a m )，所以a 3＋a 5＋a m ＝3a 5，即a 3＋a m ＝2a 5，所以m ＝7.故选C.(2)由题设可知4×14＋4×32·d ＝2＋2，得d ＝12，所以方程的四个根分别为14，34，54，74，即a 1＋a 4＝2，a 2＋a 3＝2且a 1＝14，易求d ＝12.所以|m －n |＝|14×74－34×54|＝12.故选C.根与系数的关系：a 1a 4＝m ，a 2a 3＝n.等差数列项的性质(1)等差数列中最常用的性质：①d ＝a p －a qp －q，②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .和的对称性．(2)利用等差数列的性质(特别是感觉条件不够时)求解既简单，又迅速．对点练2(1)(多选)(2024·山东淄博调研)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是()A ．a 7B ．a 8C ．S 13D ．S 15(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 2＝7，a m ＋a m －1＝73(m ≥3)，S m ＝2020，则m 的值为()A ．100B ．101C ．200D ．202解析：(1)由题意知a 2＋a 8＋a 11＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＋a 1＋10d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，∴a 7是定值，又∵S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7，∴S 13是定值．(2)由已知得a 1＋a m ＋a 2＋a m －1＝80，由等差数列的性质可知，a 1＋a m ＝a 2＋a m －1，故a 1＋a m ＝40.又因为S m ＝m a 1＋a m 2＝20m ＝2020，所以m ＝101.故选B.答案：(1)AC (2)B维度2等差数列和的性质典例3(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝()A ．7B ．8C ．9D ．10(2)已知等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则应用S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋12n ＋1＝S 奇＋S 偶，奇－S 偶＝a n ＋1.以上知识点可先求a n ＋1＝29，再可求n 的值.S 2n ＋1＝290＋261＝(2n ＋1)·a n ＋1，∴2n ＋1＝19.a n ＋1的值为()A ．30B ．29C ．28D ．27(3)(2024·湖南郴州模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足a 3＝3a 1，a 2＝3a 1－1，10项和为()A.552B ．55C.652D ．65解析：(1)由等差数列的性质，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列，设其公差为d ，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，∴S 20＝S 10＋S 303＝1＋53＝83.为等差数列，则S 1010，S 2020，S 3030，S 4040构成等差数列，这样求S 40.∴d ＝(S 20－S 10)－S 10＝23，∴S 40－S 30＝1＋3×23＝3，∴S 40＝8.故选B.(2)奇数项共有n ＋1项，其和为a 1＋a 2n ＋12·(n ＋1)＝2a n ＋12·(n ＋1)＝290，∴(n ＋1)a n ＋1＝290.S 奇＝(n ＋1)a n ＋1.偶数项共有n 项，其和为a 2＋a 2n2·n ＝2a n ＋12·n ＝na n ＋1＝261，S 偶＝n·a n ＋1，从而知S 奇－S 偶＝a n ＋1.∴a n ＋1＝290－261＝29.故选B.(3)设等差数列{a n }的公差为d ，所以a 1＝1，d ＝1，方程思想求a 1，d.所以S n ＝n ＋nn －12＝nn ＋12，所以S n n ＝n ＋12，S nn为等差数列．所以S n ＋1n ＋1－S n n ＝n ＋1＋12－n ＋12＝12，又S 1＝11为首项，12为公差的等差10项和T 10＝10＋10×10－12×12＝652.故选C.等差数列和的性质在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则：(1)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(3)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)．(4)S 2n －1＝(2n －1)a n .n 为奇数时，S n ＝n·a 中，a 中为前n 项的中间项．(5)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项).对点练3(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S6S 12＝()A.310B.13C.18D.19(2)设等差数列{a n }与等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为()A.37 B.79C.1941D ．－1解析：(1)令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝S 6＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴S 6S 12＝310.故选A.(2)由题意，a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 9＋a 3b 1＋b 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝11a 1＋a 11211b 1＋b 112＝2×11－34×11－3＝1941.答案：(1)A (2)C维度3等差数列的最值问题典例4在等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1<0，S 3＝S 11，则当n ＝________时，S n 最小．解析：方法一：由S 3＝S 11，得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1从而S n 转化为d 和a 1的关系.＝d 2n 21＝－a 113(n －7)2＋4913a 1.又因为a 1<0，所以－a 113>0.故当n ＝7时，S n 最小．方法二：由于f (x )＝ax 2＋bx 是关于x 的二次函体现S n 的二次函数的性质．数，且(n ，S n )在二次函数f (x )的图象上，由S 3＝S 11，可知f (x )＝ax 2＋bx 的图象关于直线x ＝3＋112＝7对称．数形结合，对称轴处的整数值n ＝7时，有最小值．由方法一可知a ＝－a 113>0，故当x ＝7时，f (x )最小，即当n ＝7时，S n 最小．方法三：由方法一可知d ＝－213a 1.要使S n n ≤0，n ＋1≥0，从通项公式的角度，发现符号变化分界点．解得6.5≤n ≤7.5，又n ∈N *，故当n ＝7时，S n 最小．方法四：由S 3＝S 11，可得a 4＋a 5＋…＋a 10＋a 11＝0，即4(a 7＋a 8)＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1<0，从项的符号变化入手，寻找突破点．S 3＝S 11可知d >0，所以a 7<0，a 8>0，所以当n ＝7时，S n 最小．故答案为7.求等差数列前n 项和最值的常用方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)邻项变号法：当a 1>0，d <0n ≥0，n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0n ≤0，n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处S n 最大，负项变正项处S n 最小．若有零项，则使S n 取最值的n 有两个.对点练4(1)在等差数列{a n }中，a 12<0，a 13>0，且a 13>|a 12|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0的n 的最小值为()A ．23B ．24C ．25D ．26(2)(多选)(2024·山东济宁模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和是S n ，已知S 14>0，S 15<0，则下列说法正确的有()A ．a 1>0，d <0B ．a 7＋a 8>0C ．S 6与S 7均为S n 的最大值D ．a 8<0解析：(1)因为a 12<0，a 13>0，则公差d >0，又a 13>|a 12|，所以a 12＋a 13>0，则S 24＝24a 1＋a 242＝12(a 12＋a 13)>0，S 23＝23a 1＋a 232＝23a 12<0，S 25＝25a 1＋a 252＝25a 13>0，所以使得S n >0的n 的最小值为24.(2)因为S 14>0，S 15<0，所以S 14＝14×a 1＋a 142＝7(a 1＋a 14)＝7(a 7＋a 8)>0，即a 7＋a 8>0，因为S 15＝15×a 1＋a 152＝15a 8<0，所以a 8<0，所以a 7>0，所以等差数列{a n }的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a 1>0，d <0，S 7为S n 的最大值．答案：(1)B(2)ABD题型等差数列的证明典例5已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n .递推关系可求a 2，a 3.(1)求a 2，a 3；(2){a n }的通项公式．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4，赋值，由n ＝1代入条件．则a 2＝2a 1＋4，又因为a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，得na n ＋1－n ＋1a n nn ＋1＝2，即a n ＋1n ＋1－a n n＝2.结论的形式暗示变形的方向，两边同除n(n ＋1)，应学习阅读题目中隐含的变形方法．是首项为a 11＝1，公差为d ＝2的等差数列，则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以a n ＝2n 2－n .等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式法：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)利用前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．另：若前n项和满足S n＝n a1＋a n2，也可推得{a n}为等差数列．提醒：(1)(2)常用来证明{a n}为等差数列；(3)(4)可用于在选择、填空题中的简单判断．对点练5已知数列{a n}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{a n}是等差数列，公差为d，且b n是a n和a n＋1的等比中项，设c n＝b2n＋1－b2n，n∈N*，求证：数列{c n}是等差数列；(2)若a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，S n为数列{a n}的前n项和，求数列{a n}的通项公式．(1)证明：由题意得b2n＝a n a n＋1，则c n＝b2n＋1－b2n＝a n＋1a n＋2－a n a n＋1＝2da n＋1，∴c n＋1－c n＝2d(a n＋2－a n＋1)＝2d2(常数)，∴{c n}是等差数列．(2)解：当n＝1时，a31＝a21，∵a1>0，∴a1＝1.a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，①当n≥2时，a31＋a32＋a33＋…＋a3n－1＝S2n－1，②①－②得，a3n＝S2n－S2n－1＝(S n－S n－1)(S n＋S n－1)．∵a n>0，∴a2n＝S n＋S n－1＝2S n－a n，③∵a1＝1也符合上式，∴当n≥2时，a2n－1＝2S n－1－a n－1，④③－④得a2n－a2n－1＝2(S n－S n－1)－a n＋a n－1＝2a n－a n＋a n－1＝a n＋a n－1，∵a n＋a n－1>0，∴a n－a n－1＝1，∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，可得a n＝n.。
高考数学复习考点知识专题讲解课件第33讲 等差数列及其前n项和
1 + 4 = 5,
首项和公差,然后求出通项公式和前n项和即可;
4×3
2
1 = −3,
= 0,
[解析]设等差数列{an}的公差为d,由题意有ቐ
解得ቊ
=
2,
1 + 4 = 5,
41 +
(−1)
课堂考点探究
(2)[2022·福建莆田二检] 已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11=12,则a4-3a6的
从而求出{an}的通项公式,最终得证.
证明:由{ }是等差数列,a2=3a1,得 2 - 1 = 41 - 1 = 1 ,即{ }的公
差为 1 ,所以 = 1 +(n-1) 1 =n
2
2
1 ,所以Sn=n a1.当n≥2时,Sn-1=(n-1) a1,
所以an=Sn-Sn-1=(2n-1)a1=a1+(n-1)·2a1,故{an}是公差为2a1的等差数列.
12a6=36,故a6=3,所以S11=
2
=11a6=33,故选D.
课堂考点探究
角度2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a8-a5=-6,S9-S4=75,则Sn取得最大值
5 − 2
=1,且
5−2
=12,可得a13=12×12=144.故选B.
1 =0,满足题意,则有 13 = 1 +(13-1)d
课堂考点探究
(3)[2020·全国卷Ⅱ] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=-2,a2+a6=2,则
25
S10=
.
[解析]设等差数列{an}的公差为d,则a2+a6=a1+d+a1+5d=2,∴2a1+6d=2,又a1=-2,
数学一轮复习第五章数列第2讲等差数列及其前n项和学案含解析
第2讲等差数列及其前n项和［考纲解读]1。
理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．（重点、难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大,属中档题型.1．等差数列的有关概念（1）定义:一般地，如果一个数列从错误!第2项起，每一项与它前一项的错误!差都等于错误!同一个常数，那么这个数列就叫做等错误!公差，通常用字母d表示．数学语言表示为错误!a n＋1－a n＝d(n∈N＊），d为常数．(2）等差中项：若a，A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A＝错误!错误!.2．等差数列的通项公式与前n项和公式（1)若等差数列{a n}的首项是a1,公差是d，则其通项公式为a n＝错误!a1＋(n－1）d，可推广为a n＝a m＋错误!（n－m)d(n,m∈N＊）．（2)等差数列的前n项和公式S n＝n a1＋a n2＝错误!na1＋错误!d(其中n∈N＊）．3．等差数列的相关性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，错误!a m＋a n＝a p＋a q （m,n，p,q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则错误!2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(2）相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列,公差为错误!md(k,m∈N＊)．（3)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!n2d。
(4）错误!也成等差数列，其首项与{a n｝首项相同，公差为错误!错误! d。
高考数学大一轮复习 第二节 等差数列及其前n项和课件 理 苏教版
1．等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q 为常数)⇔{an}是等差数列． (4)前 n 项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B 为常数)⇔{an}是等差 数列．
(2)设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍 为等差数列且 c1＝7，c3＝21，则 c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.
[答案] (1)20 (2)35
第二十四页，共33页。
[类题通法] 1．等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔amm－－ann ＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率 等于等差数列的公差．
是 A＝a＋2 b ，其中 A 叫做 a，b 的 等差中项 ．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d .
(2)前 n 项和公式：Sn＝
na1＋nn2－1d
＝
a1＋ann 2
.
第二页，共33页。
1．要注意概念中的“从第 2 项起”．如果一个数列不是从 第 2 项起，而是从第 3 项或第 4 项起，每一项与它前一项的差是 同一个常数，那么此数列不是等差数列．
第二十八页，共33页。
2．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a11－a8＝3，S11－S8＝3， 则使 an>0 的最小正整数 n 的值是________． 解析：∵a11－a8＝3d＝3， ∴d＝1，∵S11－S8＝a11＋a10＋a9＝3a1＋27d＝3， ∴a1＝－8，∴an＝－8＋(n－1)>0， 解得 n>9， 因此使 an>0 的最小正整数 n 的值是 10. 答案：10
专题5.2 等差数列及其前n项和-2021届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
2
A.－3 【答案】 D
B.－5 2
C.－2
D.－4
【解析】 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
a1＋d＝1，
因为
a2＝1， 所以
S5＝－15，
5a1＋5×4d＝－15， 2
解得 d＝－4.
6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{an}中，已知 a3＋a8>0，且 S9<0，则 S1，S2，…，S9 中最小的是______. 【答案】 S5 【解析】 在等差数列{an}中， ∵a3＋a8>0，S9<0， ∴a5＋a6＝a3＋a8>0，S9＝9（a1＋a9）＝9a5<0，
S3＝9A＋3B＝6， 由 S3＝6，S4＝12 可得
S4＝16A＋4B＝12，
A＝1，
解得
即 Sn＝n2－n，则 S6＝36－6＝30.
B＝－1，
考点二 等差数列的判定与证明
【例 2】 (经典母题)若数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.
4
1 (1)求证： Sn 成等差数列； (2)求数列{an}的通项公式.
所以 an＋1＝
－1
，又 an＋1－an＝
－1
－
－1
＝－1
1－1 n＋1 n－1
＝
1
.
2n（n＋1）
2n（n＋1） 2n（n－1） 2n
பைடு நூலகம்
n（n－1）（n＋1）
5
所以当 n≥2 时，an＋1－an 的值不是一个与 n 无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列. 【迁移探究 2】 本例中，若将条件变为 a1＝35，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式.
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考点1等差数列基本量的运算
解决等差数列运算问题的思想
方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )
A ．23
B ．32
C ．35
D ．38
C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a 1＋
9×8
2×(－3)＝207，解得a 1＝35，故选C.]
确定等差数列的关键是求出两
个最基本的量，即首项a 1和公差d .
考点2 等差数列的判定与证明
等差数列的4个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．
则an
n
＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以a n＝2n2－n.
2．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．
(1)证明：a n＋2－a n＝λ；
(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．
[解](1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n
＋1(a n
＋2
－a n)＝λa n＋1，
由于a n
＋1
≠0，
所以a n
＋2
－a n＝λ.
(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，
可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3，
解得λ＝4.
故a n
＋2
－a n＝4，
由此可得{a2n
－1
}是首项为1，
公差为4的等差数列，a2n
－1
＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，
因此存在λ＝4，
使得数列{a n}为等差数列．
考点3等差数列的性质及应用
A ．39
B ．20
C ．19
D ．10
B [数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，
则m ＝20.故选B.]
2．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有Sn Tn ＝2n－34n－3，则a2b3＋b13＋a14b5＋b11
的值为( ) A.
2945 B.1329 C.919 D.
1930 C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，
∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919
.故选C.] 考点4 等差数列前n 项和的最值问题
求等差数列前n 项和S n 最值的
2种方法
(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：。