第3讲乘法公式专题培优辅导
(word完整版)七年级(上)培优讲义：第3讲代数式(一)
第3讲：代数式（一）一、建构新知1. 阅读教材中的本节内容后填写：写出下面各式的简略形式5×b = c ×a = x ×6= 1×a = x ×x = c ÷4=规范：（1） 或 相乘时，乘号可省略不写，或者用“ ”.（2）数和字母相乘，在省略乘号时，要把 写在 前面. （3）带分数与字母相乘时，带分数要写成 的形式. （4）除法运算要写成 形式，除号改为 . 2. 下列各式书写规范的是（ ）Ａ．c ab ÷ Ｂ．)32(2⨯-a Ｃ．ab 411 Ｄ．73+-xy3. 一隧道长l 米，一列火车长180米，如果该列火车穿过隧道所花的时间为t 分钟，则列车的速度怎么表示？ .（课本引例） 再描述式子中的字母和数字所代表的意义？4. 代数式由 组成， 单独一个 或 也称代数式.代数式中可以含有的运算是 .5. 用代数式表示“a 与比b 小10的数的积”是 （ ）Ａ．10ab - Ｂ．10ab- Ｃ．(10)a b - Ｄ．(10)a b + 6.阅读教材中的本节内容后填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况：⑴如何求得代数式的值： ⑵随着n 的值逐渐变大，两个代数式的值变化为 . ⑶估计一下，代数式 的值先超过100.二、经典例题例1. (1)当x 分别等于－1、0、1、2、3、4、5时，求代数式342+-x x 的值，请用表格的形式解答；(2)通过观察，你能找出342+-x x 的值随x 的变化规律吗？(3)你能通过上述方法归纳出322++-x x 的值随x 的变化规律吗？例2怎样的两个数，它们的和等于它们的积呢？你大概马上会想到2+2=2×2，其实这样的两个数还有很多，例如：3+23=3×23（1）你还能写出一些这样的两个数吗？（2）你能从中发现什么规律吗？把它用字母n 表示出来．例3.甲、乙两人从同一地点出发，甲每小时走5km ,乙每小时走3km ，用代数式表示： （1）反向行走t 时，两人相距多少千米？（2）同向行走t 时，两人相距多少千米？（3）反向行走，甲比乙早出发m 时，乙 走n 时，两人相距多少千米？（4）同向行走，甲比乙晚出发m 时，乙 走n 时（n >m ），两人相距多少千米？例4. 当x =1时，代数式ax 3+bx －6的值为8，试求当x = －1时，代数式ax 3+bx －6的值.例5. 已知a +19=b +9=c +8,求代数式(b －a )2+(c －b )2+(c －a )2的值.例6.有理数a ,b ,c 均不为0，设cc bb aa x ++=，求代数式 2013992++x x 的值三、基础演练1. 甲数比乙数的3倍大2，若甲数为x ，则乙数为（ ） A . 3x －2 B . 3x +2 C .32+x D . 32-x 2. 一个正方形的边长为a ，把这个正方形的边长增加2后得到的正方形的面积是（ ） A . a 2+4 B . a +2 C . （a +2）2 D . a 2+2 3. 下列说法正确的是（ ） A . －a 一定是负数 B . a 的倒数是a 1 C . 2a一定是分数 D . a 2一定是非负数 4. 某校为适应电化教学的需要新建阶梯教室，教室的第一排有a 个座位，后面每一排都比前一排多一个座位，若第n 排有m 个座位，则a ，n 和m 之间的关系为 . 5. 观察下面一列数的规律并填空：0、3、8、15、24、…，则它的第2005个数是 ，第n 个数是 （用含正整数n 的式子表示）． 6. “a 的相反数与a 的2倍的差”，用代数式表示为（ ）A . a －2aB . －a －2aC . a +2aD . －a +2a 7. 代数式a +b 2的意义是（ ）A . a 与b 的和的平方B . a 、b 两数的平方和C . a 与b 的平方的和D . a 与b 的平方8. 下列各式：⑴132ab ⑵ x ﹒2 ⑶ 30%a ⑷ m －2℃ ⑸ 232y x -⑹ a －b ÷c ,其中不符合代数式书写要求的有（ ）A . 5个B . 4个C . 3个D . 2个9. 今年苹果的价格比去年便宜了20%，已知今年苹果的价格是每千克a 元，则去年的价格是每千克（ ）元A .（1+20%）aB . (1－20%)aC .%201+a D .%201-a10. 一项工程，甲队单独完成需a 天，乙队单独完成需b 天，那么两队合作要天完成.11．已知2x －3y =1，则10－2x +3y ＝___________． 12. 若y x -=+53，a ，b 互为倒数，则代数式21（x +y ）+5ab = . 13. 甲、乙两品牌服装的单价分别为a 元和b 元，现实行打折销售，甲种服装按8折（即原价的80%）销售，乙种服装按7折销售，若购买两种品牌服装各一件，共需多少元？14. 小明由于粗心，计算25+a 的值时，误将“+”看成“－”，结果得65，试求25+a 的值.15. 已知x －5y =0 (y ≠0)，求代数式y x y x 3263-+的值.四、直击中考1.（2013山东）若m－n = －1，则（m－n）2－2m+2n的值是（）A．3 B．2 C．1 D．－12.（2013重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）A.51B.70C.76D.813. （2013江苏）已知x－1x＝3，则4－12x2＋32x的值为（）A．1 B．32C．52D．724. （2013福建）已知实数a、b满足：a＋b＝2，a－b＝5，则(a＋b)3·(a－b)3的值是___________．5. (2013山东)观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25，15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…… ……请猜测，第n个算式(n为正整数)应表示为____________________________．6. （2013江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有的个数为（用含n的代数式表示）．7. （2013湖南）定义a bc d为二阶行列式，规定它是运算法则为a bc d=ad－bc，那么当x =1时， 二阶行列式1101x x +-的值为 ．8. （2013福建）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入 x 的值是7，可发现第 1 次输出的结果是 12，第2次输出 的结果是6，第3次输出的结果是 ，依次继续下去…，第2013次输出的结果是 .9. （2013浙江义乌）如图1，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.（1）设图1中阴影部分面积为S 1，图2中阴影部分面积为S 2，请直接用含a ，b 的代数式表示S 1、S 2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式.图1 图2五、挑战竞赛1.如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代22()a a b c a b c +-+可以化简为（ ）A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a2.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？ （4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.六、每周一练1.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，试求a b cb c c a a b+++++的值．2. 2=-，试求221x x -的值.。
初二数学知识点专题讲解与练习2---乘法公式(培优版)
A．正数
B．负数
C．非负数
D．可正可负
．若 则 的值是（ ） 9 x − y = 2, x2 + y2 = 4, x1992 + y1992
．A 4
．B 19922
．C 21992
．D 41992
3/9
（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个 8 列的长方形队列．如果原队列中增加 120 人，就能
例 4 71 提示：由 a＋b＝1， a2 ＋ b2 ＝2 得 ab＝－ 1 ，利用 an+1 ＋ bn+1 ＝（ an ＋ bn ）（a＋
8
2
b)－ab( an−1 ＋ bn−1 )可分别求得 a3 ＋ b3 ＝ 5 ，a4 ＋ b4 ＝ 7 ，a5 ＋ b5 ＝ 19 ，a6 ＋ b6 ＝ 26 ，a7 ＋
对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．
1/9
【例 3】计算下列各题： （ ） ； 1 6(7 +1)(72 +1)(74 +1)(78 +1) +1
（天津市竞赛试题）
（ ） ； 2 1.234 52 + 0.765 52 + 2.469× 0.765 5
（“希望杯”邀请赛试题）
3．13 4．156 5．D
6.C 提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41 有 6 个正因数，分别是 1，7，41，49，287 和 2009，因此对应的方程组为： x + y = −1,−7,−41,−49,−287,−2009,1,7,41,49,287,2009; x − y = −2009,−287,−49,−41,−7,−1,2009,287,49,41,7,1. 故（x，y）共有 12 组不同的表示． 7．B 8．C 9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为 1954 不能被 4 整除．
七年级(上)数学培优班--第3讲 因式分解基础(提因、公式)--教师版
第三讲因式分解基础提取公因式一．基本概念：⑴因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘法因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式. （若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内分解完全）☆因式分解的注意事项：①结果一定是整式乘积的形式；②相同的因式的乘积要写成幂的形式；③每个因式按降幂排列，最高次项（降幂排列后的第一项）的系数均为正数（如果为负数，将负号放到括号外）④因式分解后的结果中一定不能含有大括号和中括号；⑤一定要完全分解.⑵公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.⑶提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.（最容易被忽略的方法） 提出的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.可以看出，提公因式法实际上就是逆用乘法分配律，即()()ma mb mc m a b c ++=++【例题1】 ★☆☆☆☆因式分解：（1）32222212164a x a bx y a x ++ （2）3223334812x y x y x y -+-【分析】 （1）原式()224341a x a by =++（2）原式()()2222423432x y x y xy x y xy x y =--+=-+-注：① 提公因式时要注意一次提净，并注意符号，保持降幂排列的习惯② 注意强调书写习惯，学完因式分解后会有很多学生分解完后忘了加后面一半的括号，写成类似下列错误格式23(21x x --，请留意！【铺垫1】 ★☆☆☆☆在提取公因数法分解因式中，如果遇到整式某些项的系数为分数，往往将分数也同时进行提取，如()211121244x x x x +=+，请分解因式：21132xy x -= . 【分析】 原式()1236x y x =-【例题2】 ★★☆☆☆因式分解： （1）232341232a b ab a b -+（2）13218483n n n a b a b a b -+-++，（n 为大于1的正整数） 【分析】 （1）提取公因式原则：化分为整 原式()22112836ab ab b a =-+ （2）原式()12242363n a b b ab a -=---【铺垫2】 ★☆☆☆☆提取公因式法，不仅仅可以提取单项式，有时候也可以是提取一个多项式，就是将题中的某式看成一个整体进行提取，请分解因式：()()23x y x y +++= .【分析】 原式()()()()2211x y x y x y x y =+++=+++【例题3】 ★★★☆☆因式分解：（1）()()()3222618121m x m x m x -----（2）()()()()43344334m n m n n m n m +----【分析】 （1）提取公因式原则：切勿漏“1”原式()()()()2221314121344m x x m m x x m =----=---⎡⎤⎣⎦（2）提取公因式原则：视“多”为一原式()()()()344334634m n m n n m n m n =-++-=-⎡⎤⎣⎦公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.①因式分解的平方差公式： 22a b -=②因式分解的完全平方公式：222a ab b ++=222a ab b -+=③因式分解的立方和公式： 33a b +=因式分解的立方差公式： 33a b -=④因式分解的完全立方公式：322333a a b ab b +++=322333a a b ab b -+-=⑤因式分解的三元完全平方公式：222222a b c ab bc ca +++++= ⑥因式分解的欧拉公式：3333a b c abc ++-=【例题4】 ★★☆☆☆因式分解：（1）22121169x y - （2）()()22x y x z +-- （3）248243x - （4）2222332n n x x +-，（n 为正整数） 【分析】 （1）原式()()11131113x y x y =+-（2）原式()()()()()()2x y x z x y x z x y z y z =++-+--=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（3）原式()()()23168134949x x x =-=+-（4）原式()()()2221149232366n n x x x x x =-=+-【例题5】 ★★★☆☆因式分解：（1）()()()()2442x y x y x y x y -+--+ （2）4416x y -（3）()()2222223223x y x y +-+ 【分析】 （1）原式()()()()()()2222224x y x y x y x y xy x y x y ⎡⎤=-++--=-+⎣⎦（2）原式()()()()()22222244422x y x y x y x y x y =+-=++-（3）原式()()()()()222222555x y x y x y x y x y =+-=++-【例题6】 ★★★☆☆因式分解：（1）224129y xy x ++ （2）214x x -+ （3）1144n n n x x x +--+ ，（n 为大于1的正整数） （4）422463ax ax a -+- 【分析】 （1）原式()232x y =+（2）原式()22112124x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ （3）原式()()2121442n n x x x x x --=-+=-（4）原式()()24222269333a x x a x =--+=--【例题7】 ★★★☆☆因式分解：（1）42241881a a b b -+（2）()()()222244x y x y x y ++-+- 【分析】 （1）原式()()()22222933a b a b a b =-=+- （2）原式()()()()()()()22224423x y x y x y x y x y x y x y =+++-+-=++-=-⎡⎤⎣⎦【例题8】 ★★☆☆☆因式分解：（1）364x + （2）33228612x y x y xy --+（3）222946124a b c ab bc ac +++-- （4）33386x y z xyz ++-【分析】 （1）原式()()24416x x x =+-+ （2）原式()32x y =-（3）原式()232a b c =+-（4）原式()()2222422x y z x y z xy yz zx =++++---【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()()2222224c b d a ab cd -+--- 【分析】 原式()()222222222222c b d a ab cd c b d a ab cd =-+-+--+--+()()()()()()()()2222c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b ⎡⎤⎡⎤=---+-+⎣⎦⎣⎦=-+---+++++--【练习1】 因式分解：（1）22462x y xy xy -+-（2）23223232661324422a bc ab c a b c abc +--【分析】 （1）原式()2231xy x y =--+（2）原式()()2222223621222361abc ac b a bc abc a bc ac b =+--=---+【练习2】 因式分解：（1）223241535ax a x ax -+ （3）()()542x m n xy n m ---【分析】 （1）原式()()2211620320631515ax x ax ax ax x =-+=--- （3）原式()()()()44x m n x m n y x m n xm xn y =---=---⎡⎤⎣⎦【练习3】 因式分解：（1）2294x y - （2）()28116x y +-（3）2212516x y - （4）20.01x - 【分析】 （1）原式()()3232x y x y =-+（2）原式()()994994x y x y =+++-（3）原式()()1202016x y x y =+- （4）原式()()()()2211111001001101101100100100x x x x =-=--=-+-【练习4】 因式分解： （1）33188x y xy - （2）2424182n n a a b +-，（n 为正整数） （3）()()3933x y y x -+- （4）44x y -【分析】 （1）原式()()()2229423232xy x y xy x y x y =-=+- （2）原式()()()()()()244222222221111644422222n n n a a b a a b a b a a b a b a b =-=+-=++- （3）原式()()()()()239313391391x y x y x y x y x y ⎡⎤=---=--+--⎣⎦（4）原式()()()22x y x y x y =++-【练习5】 因式分解：（1）21881x x -+ （2）2961y y ++（3）()()21025x y x y +-++ （4）22139ab a ab -- 【分析】 （1）原式()29x =- （2）原式()231y =+（3）原式()25x y =+- （4）原式()()22119613199a b b a b =--+=--【练习6】 因式分解：（1）381x + （2）33()()x y x y +--（3）224244a b a ab b +-+-+ （4）3292727x x x +++【分析】 （1）原式()()221421x x x =+-+（2）原式()()()32233223232233336223x x y xy y x x y xy y x y y y x y =+++--+-=+=+（3）原式()22a b =+-（4）原式()33x =+【拓展1】 分解因式：88x y -【分析】 原式()()()()()()()()()44444422224422x y x y x y x y x y x y x y x y x y =+-=++-=+++-【拓展2】 分解因式：99x y -【分析】 原式()()()()()336336226336x y x x y y x y x xy y x x y y =-++=-++++【拓展3】 分解因式：66x y -【分析】 原式()()()()()()33332222x y x y x y x y x xy y x xy y =-+=-+++-+【拓展4】 分解因式：（1）642331x x x -+-（2）()()2222222242342x y z x y z +---- 【分析】 （1）原式()()()3332111x x x =-=+- （2）原式()()22224428x z x y =--+()()()()()()222284822x z y x x z x z y x y x =--=+-+-。
培优专题：整式的乘法公式
整式的乘法（二）乘法公式一、公式补充。
计算：（x 1）（X2x 1）= __________________练习：(x 1)( x2x 1) = _______________________2(2x 3)(4x 6x 9)= __________________4 2(a b)( a ab b ) = _____________________3 9 3计算：3 3宓13・9 46.1 13.932.2、例：已知a b 3, ab 2,求a2b2, (a b)2, a3b3的值练习：1.已知a b 5, ab 6，求a2b2, (a b)2, a3b3的值2. 已知a b 13，ab 6，求a b ，a b 的值3.已知a b 2 7, a b 2 4, 求a2 b2, ab 的值4•已知x y 1 , x2y23，求x3y3的值5.已知X 13，求X42的值X X、例1:已知x26x y210y 34，求x, y的值练习：1.已知X2y24X12y 40 0，求X 2y的值。
2.已知X22xy y26X 6y 9 0,求x y的值3.已知a2b2 1 ab a b，求3a 4b 的值。
4.已知a,b,c满足a22b 7 , b22c 1 , c26a 17,求a b c的值。
例2. 计算：a 1 a21 a41 a 1练习：1. 计算：6 (7 1) (721) (741) (781) 12. 计算：(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)平方差公式专项练习题A卷：基础题一、选择题1平方差公式（a+b）（a—b）=a2- b2中字母a, b表示（）A .只能是数B .只能是单项式C.只能是多项式 D .以上都可以2.下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是（)A .(a+b) (b+a)B.(—a+b) (a—b)C.1a+b) (b —1a)D.(a2—b) (b2+a) 3 33 •下列计算中，错误的有( )◎ ( 3a+4) (3a—4) =9a2—4;笑(2a2—b) (2a2+b) =4a2—b2;@( 3—x) (x+3) =x2—9:④(一x+y) - ( x+y) =—( x—y) ( x+y) = —x2—y2.A . 1个B . 2个C. 3个D . 4个4. 若x2—y2=30，且x —y= —5，贝U x+y 的值是( )A . 5B . 6 C.—6 D.—5二、填空题5. (—2x+y) (—2x—y) = ____ .6. __________________ (—3x2+2y2) ( ) =9x4—4y4.7. ___________________________ (a+b —1) (a—b+1) = ( ) 2—( ) 2.&两个正方形的边长之和为5，边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是______ .三、计算题、、2 19. 利用平方差公式计算：20 X21 - .3 310. 计算:(a+2) (a2+4) (a4+16) (a—2).B卷：提高题一、七彩题1. (多题—思路题)计算：(1) (2+1) (22+1 ) (24+1 )…(22n+1) +1 (n 是正整数)；4016(2) (3+1) ( 32+1 ) ( 34+1 )•••( 32008+1 )2. (一题多变题)利用平方差公式计算：2009 >2007 —20082.二、知识交叉题3. (科内交叉题)解方程：x (x+2) + (2x+1 ) (2x—1) =5 (x2+3).三、实际应用题4•广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？四、经典中考题5. (2007 ，泰安，3分)下列运算正确的是()A . a3+a3=3a6B . (—a) 3•(—a) 5= —a81 1 1C. (—2a2b) 4a= —24a6b3 D .(——a—4b) (一a—4b) =16b2—- a23 3 96 (2008，海南，3 分)计算：(a+1) (a—1) = _________ .C 卷：课标新型题1. (规律探究题)已知x 工1 计算(1+X) (1 —X)=1 —X2, (1 —X)(1+X+X2) =1 —X3,(1－x)(?1+x+x2+x3) =1－x4．(1 )观察以上各式并猜想：(1 —X) (1+x+x2+…+X n) = _______ . (n为正整数)( 2)根据你的猜想计算：◎ ( 1 —2) ( 1+2+22+23+24+25) = ____ .②2+22+23+…+2n= _______ (n为正整数).3( X—1 ) (x99+x98+x97+…+X2+X+1 ) = _________ .( 3)通过以上规律请你进行下面的探索：®( a —b) (a+b) = ________ .®( a —b) (a2+ab+b2) = _______ .3( a —b) (a3+a2b+ab2+b3) = _______ .2. (结论开放题)请写出一个平方差公式，使其中含有字母m, n和数字4.224、已知m+n-6m+10n+34=0,求m+n的值B. 1511. 下列四个算式：①4x 2y 4+ 丄 xy =xy 3;② 16a 6b 4c + 8a 3b 2=2a 2b 2c ；③9x 8y 24④(12用+8吊一4n )十(—2n )= — 6n i +4n +2,其中正确的有 A.0个B.1个C.2个12. 设(x n — 1y n+2) • (x 5ny —2)= x 5y 3,则 m 的值为 A.1B. — 1 13. 计算］(a 2— b 2)( a 2+b 2): 2等于 A. a 4— 2a 2b 2+b 4B. a 6+2a 4b 4+b 6C.a 6—2a 4b 4+b 6D.a 8— 2a 4b 4+b 82 214. 已知(a +b ) =11, ab =2,则(a — b )的值是 A.11B.315. 若x 2— 7xy +M 是一个完全平方式，那么 M 是-7 249 2 B.——y2x , y 互为不等于0的相反数，n 为正整数，你认为正确的是 A.5C.3C.—-5D. — 53 5十 3x y =3xD.3个 D. — 3C.5D.19A . y216.若 C.49y 24D.49y 2nA.x 、 y n一定是互为相反数1 . n1B.( 八(一)x yn一定是互为相反数2nC.x 、y 2n—定是互为相反数D. x 2n —1、— y2n — 1一 定相等整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法（B 卷）综合运用题姓名:一、请准确填空1、 若 a 2+b 2— 2a +2b +2=0,则 a 2004+b 2005= _______ .2、 一个长方形的长为(2 a +3b ),宽为(2 a — 3b ),则长方形的面积为 ___________ .3、 5— (a — b )2的最大值是 ______，当5— (a — b )2取最大值时，a 与b 的关系是4、 ________________________________________________________要使式子0.36 x 2+-y 2成为一个完全平方式，则应加上 ______________________________________ .45、 ________________________ (4 a — 6a )十 2a = . 6.29 x 31 x (30 2+1)= _______ .7. 已知 x 2— 5x +1=0,贝U x 2+」y = _______ .x8. 已知(2005 — a )(2003 — a )=1000,请你猜想(2005 — a ) +(2003 — a ) = _______ 二、相信你的选择9. 若 x 2— x — m=(x — nj( x +1)且 X M 0,则 m 等于A. — 1B.0 110.（ x +q ）与（x +丄）的积不含x 的一次项，猜测 q 应是5D.2C.1三、考查你的基本功17. 计算2 2(1)( a—2b+3c) —(a+2b —3c);(2) :ab(3 —b) —2a(b—丄b2): ( —3a2)3);2』00、亠■ 100、，/ 八2005 / 八一5—2 X 0.5 X ( —1)十(—1)2(4) :(x+2y)( x—2y)+4(x —y) —6x]+ 6x.18. (6分)解方程x(9x—5) —(3x—1)(3 x+1)=5.四、生活中的数学19. （6分）如果运载人造星球的火箭的速度超过11.2 km/s（俗称第二宇宙速度），则人造星球将会挣脱地球的束缚，成为绕太阳运行的恒星.一架喷气式飞机的速度为 1.8 X106m/h,请你推算一下第二宇宙速度是飞机速度的多少倍？五、探究拓展与应用20. 计算.2 4(2+1)(2 +1)(2 +1)2 4 2 2 4=(2 —1)(2+1)(2 +1)(2 +1)=(2 —1)(2 +1)(2 +1)4 4 8=(2 —1)(2 +1)=(2 —1).364 根据上式的计算方法，请计算(3+1)(3 2+1)(3 4+1)…(3 32+1)———2的值.完全平方公式习题精选、选择题1.下列各式中，能够成立的等式是（).(2x-y)2 =4??(O-疔=/ +ab皿A.B .二丿彳C. D .2.下列式子：①| 一一②.Tyf =宀3切矽③-■ - - - ：1④'二口°十2十4a中正确的是（)A.①B .①②C .①②③D .④3.-()A.J - n - : ■- B . _「- ：匸2 2-C.：-；D .「- 二4 若■-■■■■■•—」，则M为（）.A. 2心B . ±2xy C . 4xy D . + 4 刖5. —个正方形的边长为L汇九，若边长增加，则新正方形的面积人增加了（）A.」二二B . l-d C. 「’一 D •以上都不对6 •如果二二是一个完全平方公式，那么a的值是（）.A . 2B . - 2C .士丄D .二-：j7•若一个多项式的平方的结果为^ ，则（）A . ©B .廿C .阳D .壬8•下列多项式不是完全平方式的是（）.1 2—+丹1 十初A . ■B .C . 「V 二亠L. -D . 41 .L :x + —= 29.已知丄，则下列等式成立的是（）/ + -y = 2』亠-L = 2 A ① ②」 ③A .①B •①②C •①②③D •①②③④ 二、填空题(4^ + 17. 三、解答题1.运用完全平方公式计算:(3)- - 2.运用乘法公式计算: (° .二-? ■;（4）—亠 <:-_-八「3.(2“产(2"1)2 =5.(^+2))3-(a-b) (-4兀-骄(2)+ 4 = 2 齐一丄=0工④ 齐(4)3 •计算:(1)3+听询（八巧；(2)(打+4)(久-4)一(^ —4)2(3)(2m-3s)a(2JH+ 3«)a(3<J -b + b -<)参考答案:、1 • D 2 • D 3 • A 4 • C 5 . C 6. C 7 . D 8 . A 9 . D、「盘*+彳盘鸟丰4力，2 .曲-E 通3 . --- 4 . --「丄 5 •丄6. …_ I '「_ ；； ;7. ‘宀-；8.-1 2 11 i—m 一 一啪吃+ —幵三、1.(1)- 〕(4) 39204 (提示：’-i ll --:)2( 1)1/ 'J ! +1•■' - -' :- - :■_■(3)片 _： _ •]_「；( 4) 一-7 U ； L..3 . ( 1； ( 2) 九一2：；( 3)「'•：；1u .<■'(4)U J 二- ■ ；( 5) J 丿二:；(6) 1- < - /(7) 「__ 一+”十(8) 400平方差公式11、计算下列各式:(2)(3)(1) x 2 x 2(2) 1 3a 1 3a(3)x 5y x 5y2、猜一猜：a b a b二、巩固练习：1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 ___________________（1）a b a c （2）x y yx（3）ab 3x 3x ab（4）m i n mn（ 5）2a b 2b a （6）2x y 2x y2、判断：1）2a b 2b 2 .2 1 1x 11 2 ,a 4ab （）2）—x 1 - —x 1 (）3）2 2 23x y 3x y 小 29x y 2（）4) 2x y 2x y 4x2y2(）5）a 2 a 3 2 a 6 () 6 )x 3 y 3 xy 9 （）3、计算下列各式：（1）4a 7b 4a 7b(2)2m n 2m n1 1 1 1(3) a b a b3 2 3 24、填空:x 4 2x 2 1 2x 2 12、 平方差公式2 （逆用）某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积。
[数学]-专项3.4 乘法公式(知识解读)(原版)
![[数学]-专项3.4 乘法公式(知识解读)(原版)](https://img.taocdn.com/s3/m/d130a890a48da0116c175f0e7cd184254b351b38.png)
专题3.4 乘法公式（知识解读）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题【知识点梳理】知识点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 222()()a b a b a b +-=-b a ,知识点3：完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点4：拓展、补充公式2222222a b c ab ac bc =+++++（a+b+c ） 222112a a a±=+±（a ）；；；.【典例分析】【考点1：平方差公式】 【典例1】用平方差公式计算：（1）（1+x ）（1﹣x ）； （2）（a +3b ）（a ﹣3b ）；（3）（3+2a ）（3﹣2a ）； （4）（x ﹣2y ）（﹣x ﹣2y ）．【变式1-1】计算：（a ﹣b ）（a +b ）．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++【变式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．【变式1-3】（2022秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（）A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）【典例2】用简便方法计算下列各题：（1）992；（2）1022﹣101×103．【变式2-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（）A．1B．﹣1C．0D．2×20212﹣1【变式2-2】简便计算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．【考点2：平方差公式的几何背景】【典例3】（2022秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【变式3-1】（2022秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【变式3-2】乘法公式的探究及应用．（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式；（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．【变式3-3】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是．（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：．【考点3：完全平方公式】【典例4】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：（1）（3a+b）2 （2）（x﹣2y）2（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．【变式4-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．【变式4-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．【变式4-3】（2019秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．【典例5】（2022秋•丰宁县校级期末）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（）A．±18B．±9C．9D．18【变式5-1】（2022秋•新会区校级期末）已知x2﹣ax+16可以写成一个完全平方式，则a可为（）A．4B．±4C．8D．±8【变式5-2】（2022秋•沙坪坝区期末）若x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值是（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．±2【考点4：完全平方公式的几何背景】【典例6】（2022秋•西岗区校级期末）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形的边长是；（用含a、b的式子表示）（2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab 之间的等量关系；（3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值．【变式6-1】（2022秋•南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形．（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是；（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别张．【变式6-2】（2022秋•黄石港区期末）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（）A．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2C．（x+y）2＝x2+2xy+y2D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2【变式6-3】（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．【考点5：完全平方公式拓展运用】【典例7】（2022春•巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．（1）求x2+y2的值；（2）求（x﹣y）2的值．【变式7-1】（2022春•平桂区期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．【变式7-2】（2021秋•尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（x﹣y）2．【变式7-3】（2021秋•汝阳县期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：（1）xy；（2）x﹣y．。
乘法公式及应用
教师姓名学生姓名学管师学科数学年级上课时间月日：00--- ：00 课题整式的乘法公式及其应用教学目标乘法公式及其应用教学重难点乘法公式在计算证明中的熟练应用教学过程一、【基础知识精讲】1.整式的乘法（1）单项式乘以单项式：把它的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的因式，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式与多项式相乘：就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即是：()m a b c ma mb mc++=++（3）多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即是：()()m n a b ma mb na nb++=+++2.整式的乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b+-=-公式的逆用：22()()a b a b a b-=+-添括号：()a b c a b c-+=+-+；()a b c a b c-+=--（2）完全平方公式：222()2()a b a ab b+=++完全平方和公式；222()2()a b a ab b-=-+完全平方差公式公式的逆用：2222()()a ab b a b++=+完全平方和公式2222()()a ab b a b-+=-完全平方差公式3.乘法公式的变形运用：①22()()4a b a b ab+=-+②22()()4a b a b ab-=+-③2222()()2a b a ba b++-+=④22()()4a b a bab+--=⑤2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+⑥222222()()()()22a b a b a b a bab+-+--+==-⑦2222111()2()2a a aa a a+=+-=-+⑧2222()222a b c a b c ab bc ac++=+++++⑨2222221[()()()]2a b c ab bc ac a b b c a c+++++=+++++⑩2222221[()()()]2a b c ab bc ac a b b c a c ++---=-+-+-⎪⎩⎪⎨⎧-=-；为奇数，为偶数)()()(n a n a a nn n ⎪⎩⎪⎨⎧---=-).()()()()(为奇数，为偶数n b a n b a a b nn n二、【例题精讲】专题一、整式的乘法例题1： 计算下列各题.（1）22321(2)(3)2x xy y -⋅-⋅ （2）(2)(341)a a b -⋅-+ （3）(2)(53)x y a b -⋅-【仿练1】若3964·(324)324n m k a a a a a a a -+=-+,则m 、n 、k 分别为（ ）A. 6、3、1B. 3、6、1C. 2、1、3D. 2、3、1【仿练2】若x+y=4 ,x-y=2 ,求 1131()27n n n x x x y -+-的值.【仿练3】下列计算结果错误的是（ ）A.(2xy)2y=4x 2y 3B.2ab(134n a +-12b )=2232n a b ab +-C.(x+4)(x-5)=x 2+9x-20D.(y-1)(y-2)=y 2-3y+2例题2：计算.)20101413121)(20111201014131211()201014131211)(2011120101413121(++++++++++-++++++++++专题二、两个多项式的乘积不含某一项例题3：若)3)(3(22m x x nx x +-++的乘积中不含有2x 和3x 的项，求m 和n 的值.【仿练1】已知))((2c x x a x +-+的积中没有含2x 和x 的项，求c a +的值.【仿练2】若)51)((++x q x 不含有x 的一次项，则q = .【仿练3】已知)3)(8(22q x x px x +-++的展开式中不含有2x 和3x 的项，求q p 、的值.专题三、平方差公式的应用 例题4：用平方差公式计算. （1）20112-2010×2012； （2）（a+3）(a-3)(a 2+9)； （3）（x+y-z ）(x-y+z)【仿练1】下面的计算中，错误的有 （ ）① （2a-2）(2a+3)=4a 2-6 ② (3b+4)(3b-4)=3b 2-16③ (2x 2+y)(2x 2-y)=4x 2-y 2 ④ (-x+y)(x+y)=-(x-y)(x+y)=-x 2-y 2 ⑤ (5-x)(x+5)=x 2-25 ⑥ (2ab+c)(2ab-c)=4ab-c 2 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个【仿练2】不能用平方差公式计算的是（ ） A.(2a 2+2b)(a 2-b) B.(1-212x )(2+2x ) C.(a+b-c)(a-b+c) D.(x-y-z)(y+z-x)【仿练3】（2010·培优）利用平方差公式计算：168422)12()12()12(3-+⨯+⨯+⨯.专题四、完全平方公式的应用例题5： （云南中考题）已知正方形的边长为a-12b ,则这个长方形的面积为（ ） A. a 2+ab-214b B. a 2214b - C. a 2-ab+214b D.a 2-ab+212b【仿练1】下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ） A.（m - 2n ）2= m 2+4n 2 B.（m －2n ）2=m 2－4n 2 C ．（m - 2n ）2=m 2－2mn+4n 2 D.（－m －2n ）2=m 2+4mn+4n 2【仿练2】下列多项式属于完全平方式的是( )A.x 2－4x+8B.x 2y 2-xy+41C.x 2－xy+y 2D.4x 2+4x －1例题6： (2008广东)已知 22(3)9x m x --+是关于字母x 的一个完全平方，则m 的值为多少？【仿练】若4a 2+ma+25是关于字母a 的一个完全平方式，则m= .例题7：（配方法）已知0106222=++-+b a b a ，求20061a b-的值为多少？【仿练】多项式224620x y x y +-++有最小值吗？如果有，请说明y x 、分别为何值所时有最小值，最小值又是多少？【其他应用类型】1、（待定系数法）若 2(3)(4)x x ax bx c +-=++ ，则a =___、b =___、c =____.2、（哈尔滨中考）已知 x+y=3, xy=-2, 则 ① x 2+y 2=_______；② (x-y)2=_______.3、（整体代入）已知13a a +=，则 ① 221a a +=________ ② 441a a+=________.4、（09成都中考改）2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23420102011----- =________.名书·名校·中考在线1、计算下列各题.（1）1.23452+0.76552+2.469×0.7655； （2）2221999199819991997199919992+-；（3）222222221234979899100-+-++-+- .2、（宁波中考题）已知 2246130a b a b ++-+=，求2011)(b a +的值.3、（巴中·中考题）若S=2222222123499100101-+-++-+ ，则S= .4、（2010·培优）已知 2220a b c ab bc ca ++---=，求证 a=b=c.家庭作业1、若x 2－y 2＝12，且x ＋y ＝－3，则x －y 的值是 .2、如果2(3)()6m m k m pm --=+-，则k ＝_________，p ＝_________．3、多项式(mx ＋8)(2－3x)展开后不含x 项，则m ＝_________．4、若2251x ax ++是关于字母x 的完全平方式，则a ＝________.5、已知n 是有理数，则二次三项式n 2-4n+7的最小值为___________.6、若n 满足(n-2010)2+(2011-n)2=1，则(n-2010)(2011-n)的值为_______________.7、计算.① -4a 2b ·(21abc )2＝_________； ②2(23)(49)(23)x x x +--=_________； ③ 59.8×60.2＝_________； ④2299＝__________； ⑤ (x -1)(x ＋1)＝_______； ⑥(m -21)(m ＋2)＝ ； ⑦ (2a+3)2= ； ⑧ (-x-2)2= .8、计算：（1）2(3)(3)(9)x x x +-- （2）203123)21()21(2)21(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯+------9、先化简，再求值：)2(2)()2)(2(22xy x y x y x y x --+--+，其中3-=x ，21=y .10、已知4432=--c b a ，求4)161(84-⨯÷cb a 的值.11、若2243))((y xy x by x ay x -+=++，其中b a 、为常数，求)(b a ab +的值.课后小结上课情况：课后需再巩固的内容： 配合需求：家 长 _________________________________学管师 _________________________________组长签字。
乘法公式(提高)知识讲解【名校学案+详细解答】
乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±m ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1＝642－1＋1＝642． 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．举一反三：【变式1】计算：(1)2(3)(9)(3)x x x -++(2)(a ＋b )( a －b )( 22a b +)( 44a b +)【答案】解：(1)原式＝[(x ＋3)(x －3)](29x +)＝(29x -)(29x +)＝481x -．(2)原式＝[(a ＋b )( a －b )]( 22a b +)( 44a b +)＝[(22a b -)( 22a b +)]( 44a b +)＝(44a b -)( 44a b +)＝88a b -．【变式2】（2019•内江）（1）填空：（a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ．（2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．【答案】解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4；故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4；（2）由（1）的规律可得：原式=a n ﹣b n ，故答案为：a n ﹣b n ；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．2、（2019春•牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？【答案与解析】解：设原绿地的边长为x 米，则新绿地的边长为x+3米，根据题意得，（x+3）2﹣x 2=63，由平方差公式得，（x+3+x ）（x+3﹣x ）=63，解得，x=9；∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2，熟练应用平方差公式可简化计算．举一反三：【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩ 【答案】解： (3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩①②由①得22921x x x --+>，210x >，5x >．由②得2225(2)44x x x -<-，2225444x x x -<-， 425x -<-， 6.25x >．∴ 不等式组的解集为 6.25x >．类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+- 22464129a ab a b b =+-+-+22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-．【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+；(3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---．【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c --=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+ ＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦ ＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+- ＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=．即222()()()0a b b c a c -+-+-=．∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________.【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。
初二上学期数学辅导资料：乘法公式
初二上学期数学辅导资料：乘法公式知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的把握，接下来查字典数学网给大伙儿整理八年级上学期数学辅导资料，供大伙儿参考阅读。
一、内容提要：例1 乘法公式也叫做简乘公式，确实是把一些专门的多项式相乘的结果加以总结，直截了当应用。
公式中的每一个字母，一样能够表示数字、单项式、多项式，有的还能够推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开)，还能够由右到左逆用(因式分解)，还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
例2 差不多公式确实是最常用、最基礎的公式，同时能够由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2立方和(差)公式：(a±b)(a2?ab+b2)=a3±b33.公式的推广：1. 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd +2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
2. 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4)(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3+5ab4±b5)注意观看右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律3. 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6注意观看左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数-----(a+b)(a2n1-a2n2b+a2n3b2-?+ab2n2-b2n1)=a2n-b2n---(a+b)(a2n-a2n1b+a2n2b2-?-ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：-----(a-b)(an1+an2b+an3b2+?+abn2+bn1)=an-bn4. 公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2 得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+ b)由公式的推广③可知：当n为正整数时an-bn能被a-b整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b及a-b整除。
整式的乘法培优
整式的乘法培优 一、知识梳理 1、 ⑴幂的运算性质： ①同底数幂的乘法： ②幂的乘方： ③积的乘方： ⑵性质的逆用： 2、 单项式乘单项式的法则： 3、 单项式乘多项式的法则： 4、 多项式乘多项式的法则： 二、例题精讲： 1、 同底数幂的乘法
乘方的符号法则：na （n为奇数） na （n为偶数）； nyx （n为奇数） nyx （n为偶数）。
例1、计算：2352221 2322bbb 32
3xyyx
公式的逆用： 例2、⑴已知 ,4,3nmxx求nmx的值
⑵化简：2014201522
2、 幂的乘方 例1、 计算下列各式
⑴2332xx 312222mmaa
43323baba 公式的逆用： 例2、⑴若52,32ba，则2ba23 ；
⑵若14132793mm，则m= 。
3、 积的乘方 例1、计算⑴3432zyx ⑵52422223nmnm
⑶32523233xxxx 公式的逆用 例1、 计算20142015212
例2、 已知：3,212nnba，求nab4的值。 4、 单项式乘单项式 例1、 计算下列各题
⑴2322)(xyyx ⑵)()41()21(22232yxyxyx
⑶23223128yxxyyxxy 5、 单项式乘多项式 例1：计算下列各题
228(34)(3)mmmmm
7(21)3(41)2(3)1xxxxxx
例2、若,0232aa求5+226aa的值。 6、 多项式乘多项式 例、计算：
⑴(x+y)(x2-xy+y2) ⑵baabbaba22222
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三讲 整式的乘法及乘法公式专题培优辅导一、知识要点： 乘法公式⑴22()()a b a b a b +-=- ⑵222()2a b a ab b ±=±+ ⑶2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ ⑷2233()()a b a ab b a b -++=-⑸2233()()a b a ab b a b +-+=+ ⑹2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑺33223()33a b a a b ab b +=+++ ⑻33223()33a b a a b ab b -=-+-乘法公式常用的变形有：(1） 222()2a b a ab b ±=±+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++; (3） ab b a b a 4)()(22=--+；（4） 4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 二．经典例题讲解 例1【例1计算：1。
______________)3)(32(=-+y x y x ； 2．_______________)52(2=+y x ； 3．______________)23)(32(=--y x y x 4。
______________)32)(64(=-+y x y x ;5. ________________)221(2=-y x 6．____________)9)(3)(3(2=++-x x x ；7．___________1)12)(12(=+-+x x ； 84))(________2(2-=+x x ； 9．_____________)3)(3()2)(1(=+---+x x x x ；10．____________)2()12(22=+--x x ；11．224)__________)(__2(y x y x -=-+; 12、()()()()111124-+++a a a a =xx*k 。
Com]基础训练1．计算(a —b)（a —b ）其结果为（ ）A ．a 2-b 2B ．a 2+b 2C ．a 2—2ab+b 2D ．a 2-2ab —b 2 2．（x+a ）（x-3）的积的一次项系数为零,则a 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3．如果（x+3）（x+a)=x 2—2x-15,则a 等于（ ）A ．2B ．—8C ．—12D ．—5[来源：Z#xx# ］ 4．解方程：（2x+3）（x —4)-（x+2）(x-3）=x 2+6．5．先化简，再求值:5x(x 2+2x+1）—x （x-4）（5x-3）,其中x=1．【例2】 1。
如果多项式92+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是 。
2。
如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是 。
练一练（1）若x ＋y ＝3，xy ＝1,则x 2＋y 2＝____，x 2－xy ＋y 2＝____． (2)已知a －b ＝1，ab ＝6，则a 2＋b 2＝___（3)已知（m －n ）2＝8，（m ＋n )2＝2，则m 2＋n 2＝____．(4）已知ab ＝－1，a ＋b ＝2，则代数式错误!＋错误!的值为____。
（5)已知x ＋错误!＝3,则代数式x 2＋错误!的值为___.错误!错误!为___ （6） 如果a (a －1）＋（b －a 2）＝－7，则 错误!－ab ＝___【例3】已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值练一练1.试说明不论x ，y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数.2。
已知三角形ABC 的三边长分别为a,b ，c 且a ，b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？【例4】已知(x+2）（x 2+ax+b)的积不含x 的二次项和一次项，求a 、b 的值．三．经典训练 一、精心选一选1、(－2x+y ）（－2x －y ）=______． 2．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4．3．（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____)2．4.若a 2+b 2－2a+2b+2=0，则a 2004+b 2005=________。
5、一个长方形的长为(2a+3b ）,宽为(2a －3b ）,则长方形的面积为________。
6.要使式子0。
36x 2+41y 2成为一个完全平方式,则应加上________. 二、相信你的选择7. 下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．（a+b ）（b+a ）B ．（－a+b ）（a －b)C ．（13a+b)（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ）8.(x+q)与（x+51）的积不含x 的一次项，猜测q 应是（ ）A 。
5B 。
51 C.－51D 。
－59. 下列计算中,错误的有（ ）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②(2a 2－b ）（2a 2+b)=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3)=x 2－9；④(－x+y ）·（x+y ）=－(x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10。
若x ，y 互为不等于0的相反数，n 为正整数，你认为正确的是（ )A 。
x n 、y n一定是互为相反数 B 。
（x1）n、（y1）n一定是互为相反数 C 。
x 2n、y 2n一定是互为相反数 D.x2n －1、－y2n －1一定相等11。
已知(a+b)2=11,ab=2，则（a －b ）2的值是（ ） A.11B.3C 。
5D 。
1912.若x 2－7xy+M 是一个完全平方式,那么M 是（ ) A 。
27y 2B.249y 2C 。
449y 2D 。
49y 2三、考查你的基本功 1。
计算（1) ()()53532222x y x y +- (2） ()()()()111124-+++a a a a （3） (-a 2+4b )2（4） (2+1）(22+1）(24+1）（28+1）． (5） (a －2b)2－(a+2b ）2；（6)［ab(3－b)－2a(b －21b 2）](－3a 2b 3)；（7）－2100×0.5100×（－1)2005÷（－1）－5; （8) 19992-2000×1998（9）[(x+2y ）（x －2y ）+4（x －y ）2－6x ］÷6x 。
2.解方程x (9x －5）－(3x －1)（3x +1）=5。
五、探究拓展与应用计算.(2+1)（22+1）(24+1)=（2－1）（2+1）(22+1）（24+1)=(22－1)（22+1）（24+1) =（24－1）(24+1)=(28－1）。
根据上式的计算方法，请计算（3+1)(32+1）(34+1）…(332+1）－2364的值.乘法公式经典题训练（易错题）选择题:1．下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是-———---—---—--——--——-———-——---—-——-———-———-—-( ) (A ） ))((3333b a b a -+ （B) ))((2222a b b a -+ （C) )12)12(22-+y x y x (D ） )2)(2(22y x y x +- 2．如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 （ ） A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy二．填空题3．下列计算不正确的是—-——-—————-—---————--————---———-———-—-------—-—----——-——---——-—-----——-————-—（ )(A ） 222)(y x xy = （B ） 2221)1(x x x x +=-（C ） 22))((b a a b b a -=+- （D) 2222)(y xy x y x ++=--4。
下列可以用平方差公式计算的是( ）A 、(x －y) (x + y ）B 、(x －y ） （y －x)C 、(x －y ）(－y + x)D 、(x －y)(－x + y ） 5。
下列各式中,运算结果是22169b a -的是( ）A 、)43)(43(b a b a --+-B 、)34)(34(a b a b --+-C 、)34)(34(a b a b -+D 、)83)(23(b a b a -+6。
若2422549))(________57(y x y x -=--，括号内应填代数式( ) A 、y x 572+ B 、y x 572-- C 、y x 572+- D 、y x 572-7.22)213()213(-+a a 等于( ）A 、4192-aB 、161814-aC 、161298124+-a aD 、161298124++a a8.2)2(n m +-的运算结果是 （ ）A 、2244n mn m ++B 、2244n mn m +--C 、2244n mn m +-D 、2242n mn m +- 9。
运算结果为42421x x +-的是 （ )A 、22)1(x +-B 、22)1(x +C 、22)1(x --D 、2)1(x - 10.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式,则N 等于 ( ） A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±32二．填空题1、5－（a －b)2的最大值是________，当5－（a －b)2取最大值时，a 与b 的关系是________. 2.已知x 2－5x+1=0，则x 2+21x=________. 三：解答题1．化简求值:22)2()2()2)(12(+---+-x x x x ，其中211-=x2．(1)已知2)()1(2-=---y x x x ， 求xy y x -+222的值3.已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
4。
已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值.4。
已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.。