向量加减法公式
平面向量的加减法
平面向量的加减法在学习数学的过程中，平面向量是一个非常重要的概念。
平面向量的加减法是我们在解决各种问题时必须掌握和运用的技巧。
本文将详细介绍平面向量的加减法原理、方法和应用。
一、平面向量的定义和表示方法平面向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
记作AB→，其中A是向量的起点，B是向量的终点，箭头表示向量的方向。
平面向量也可以用坐标表示。
对于平面上的点A(x1，y1)和B(x2，y2)，它们之间的向量AB→的坐标表示为：AB→ = (x2 - x1, y2 - y1)二、平面向量的加法原理平面向量的加法满足以下原理：向量的加法可以看作是平移操作，将一个向量平移至另一个向量的终点，起点不变，终点变为两个向量终点相连的点。
具体来说，设有向量AB→和向量CD→，它们的和向量为EF→，则有：EF→ = AB→ + CD→三、平面向量的加法方法通过平面向量的加法原理，我们可以得到两个有向线段的和向量。
具体操作如下：1. 将两个向量的起点放在同一点上。
2. 将其中一个有向线段平移至另一个有向线段的终点。
3. 连接起点和平移后的有向线段的终点，得到和向量。
四、平面向量的减法原理平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。
即，向量的减法可以看作是将一个向量平移至另一个向量的终点，起点不变，终点变为两个向量的起点相连的点。
具体来说，设有向量AB→和向量CD→，它们的差向量为EF→，则有：EF→ = AB→ - CD→五、平面向量的减法方法通过平面向量的减法原理，我们可以得到两个有向线段的差向量。
具体操作如下：1. 将两个向量的起点放在同一点上。
2. 将其中一个有向线段平移至另一个有向线段的终点。
3. 连接平移后的有向线段的起点和另一个有向线段的终点，得到差向量。
六、平面向量的应用平面向量的加减法在几何、物理等各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 平面向量的位移：可以用于描述物体在平面上的位移和路径。
向量减法运算及其几何意义 课件
如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且
=a, =b, =c,试用 a,b,c 表示向量, , .
分析:寻找图形中已知向量与所表示向量的关系,再灵活运用三
角形法则或平行四边形法则表示即可.
解:∵四边形 ACDE 为平行四边形,
∴ = =c, = − =b-a.
在平面内任取一点 O,作=a, =b,则向量
a-b=.如图所示
作法
如果把两个向量 a,b 的起点放在一起,则 a-b
几何意义
可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的
Hale Waihona Puke 终点的向量探究一向量的减法运算
【例 1】 化简下列各式:
(1) − + − ;
(2)( + )+( + )-( − ).
解:(1) − + − = + − = −
=0.
(2)( + )+( + )-( − )=( + )+( + )( − )= + − = − = .
探究二用已知向量表示未知向量
∴ = + =b-a+c,
= − =c-a, = − =c-b.
探究三向量加减法的综合运用
【例 3】 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面外的一点,且向量
, , , 满足 + = + ,则四边形 ABCD 的形状
= + − =r3+r1-r2.
典例如图,已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C
的向量分别为 r1,r2,r3,求 .
向量的减法
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课前自主预习
01
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
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新知梳理 1．向量减法的定义 向量 a 减向量 b 等于向量 a 加上向量 b 的 相反向量 ，即 a－b＝a＋(－b)． 2．向量减法的几何意义 以 O 为起点，作向量O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，如图所示，即 a－b 可表示从向 量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量．
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高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
【典例 1】 (1)已知|A→B|＝6，|C→D|＝9，求|A→B－C→D|的取值范围． (2)已知|a|＝6，|b|＝14，|c|＝3，求|a＋b＋c|的最大值和最小值．
[解] (1)∵||A→B|－|C→D||≤|A→B－C→D|≤|A→B|＋|C→D|，且|C→D|＝9，|A→B|＝6， ∴3≤|A→B－C→D|≤15. 当C→D与A→B同向时，|A→B－C→D|＝3； 当C→D与A→B反向时，|A→B－C→D|＝15. ∴|A→B－C→D|的取值范围为[3,15]．
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[巩固训练] 1．如图所示，已知向量 a，b，c，d，求作向量 a－b，c－d.
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[解] 如图所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d.
则 a－b＝B→A，c－d＝D→C.
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3．若菱形 ABCD 的边长为 2，则|A→B－C→B＋C→D|＝_____2_____. [解析] ∵|A→B－C→B＋C→D|＝|A→B＋B→C＋C→D| ＝|A→C＋C→D|＝|A→D|＝2.
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结必修4 平⾯向量知识点⼩结⼀、向量的基本概念1.向量的概念：既有⼤⼩⼜有⽅向的量，注意向量和数量的区别.向量常⽤有向线段来表⽰.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提⽰：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的⽅向是任意的；3.单位向量：长度为⼀个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r共线的单位向量是||AB AB ±u u u ru u u r ）；4.相等向量：长度相等且⽅向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平⾏向量（也叫共线向量）：⽅向相同或相反的⾮零向量a r、b r 叫做平⾏向量，记作：a r∥b r ，规定：零向量和任何向量平⾏.注：①相等向量⼀定是共线向量，但共线向量不⼀定相等；②两个向量平⾏与与两条直线平⾏是不同的两个概念：两个向量平⾏包含两个向量共线，但两条直线平⾏不包含两条直线重合；③平⾏向量⽆传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线 AB AC ?u u u r u u u r、共线.6.相反向量：长度相等⽅向相反的向量叫做相反向量.a r的相反向量记作a -r.举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =rr .（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若AB DC =u u u r u u u u r，则ABCD 是平⾏四边形.（4）若ABCD 是平⾏四边形，则AB DC =u u u r u u u u rr ，b c =r r ，则a c =r r .（6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r.其中正确的是 . 结果：（4）（5）⼆、向量的表⽰⽅法1.⼏何表⽰：⽤带箭头的有向线段表⽰，如AB u u u r，注意起点在前，终点在后；2.符号表⽰：⽤⼀个⼩写的英⽂字母来表⽰，如a r ，b r，c r等； 3.坐标表⽰：在平⾯内建⽴直⾓坐标系，以与x 轴、y 轴⽅向相同的两个单位向量,i j r r 为基底，则平⾯内的任⼀向量a r可表⽰为(,)a xi yj x y =+=r r r ，称(,)x y 为向量a r 的坐标，(,)a x y =r 叫做向量a r的坐标表⽰.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平⾯向量的基本定理定理设12,e e r r 同⼀平⾯内的⼀组基底向量，a r是该平⾯内任⼀向量，则存在唯⼀实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+r r r.（1）定理核⼼：1122a λe λe =+r r r；（2）从左向右看，是对向量a r 的分解，且表达式唯⼀；反之，是对向量a r 的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e r r 时，就说1122a λe λe =+r r r为对向量a r 的正交分解．举例3 （1）若(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r ，则c =r . 结果：1322a b -rr . （2）下列向量组中，能作为平⾯内所有向量基底的是 B(1,2)e =-r B.1(1,2)e =-r ，2(5,7)e =r C.1(3,5)e =r ，2(6,10)e =r D.1(2,3)e =-r，213,24e ??=-r （3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r ,则BC u u u r可⽤向量,a b r r 表⽰为 . 结果：2433a b +rr . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =u u u r u u u r ，CD rAB sAC =+u u u r u u u r u u u r，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积实数λ与向量a r 的积是⼀个向量，记作a λr，它的长度和⽅向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=?r r；（2）⽅向：当0λ>时，a λr 的⽅向与a r 的⽅向相同，当0λ<时，a λr的⽅向与a r的⽅向相反，当0λ=时，0a λ=r r ，注意：0a λ≠r .五、平⾯向量的数量积1.两个向量的夹⾓：对于⾮零向量a r，b r ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a r，b r 的夹⾓.当0θ=时，a r ，b r 同向；当θπ=时，a r ，b r 反向；当2πθ=时，a r，b r垂直.2.平⾯向量的数量积：如果两个⾮零向量a r ，b r，它们的夹⾓为θ，我们把数量||||cos a b θr r 叫做a r与b r 的数量积（或内积或点积），记作：a b ?r r ，即||||cos ab a b θ?=?r r r r. 规定：零向量与任⼀向量的数量积是0.注：数量积是⼀个实数，不再是⼀个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =u u u r ，||4AC =u u u r ，||5BC =u u u r ，则AB BC ?=u u u r u u u r _________. 结果：9-.（2）已知11,2a ??=r ，10,2b ??=- r ，c a kb =+r r r ，d a b =-r r r ，c r 与d r 的夹⾓为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a =r ，||5b =r ，3a b ?=-rr ，则||a b +=r r ____. （4）已知,a b r r 是两个⾮零向量，且||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +rr 的夹⾓为____. 结果：30o.3.向量b r 在向量a r上的投影：||cos b θr ，它是⼀个实数，但不⼀定⼤于0.举例 5 已知||3a =r ，||5b =r ，且12a b ?=rr ，则向量a r 在向量b r 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ?r r 的⼏何意义：数量积a b ?r r 等于a r 的模||a r 与b r 在a r上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个⾮零向量a r，b r ，其夹⾓为θ，则：（1）0a b a b ⊥??=r r r r；（2）当a r、b r 同向时，||||ab a b ?=?r r r r ，特别地，22||||a a a a a =?=?=r r r r r ||||a b a b ?=?r r r r 是a r、b r 同向的充要分条件；当a r 、b r 反向时，||||a b a b ?=-?r r r r ，||||a b a b ?=-?r r r r 是a r、b r 反向的充要分条件；当θ为锐⾓时，0a b ?>r r ，且a r、b r 不同向，0a b ?>r r 是θ为锐⾓的必要不充分条件；当θ为钝⾓时，0a b ?、b r 不反向；0a b ?（3）⾮零向量a r，b r 夹⾓θ的计算公式：cos ||||a b a b θ?=r r r r ；④||||a b a b ?≤r r r r .举例6 （1）已知(,2)aλλ=r ，(3,2)b λ=r ，如果a r与b r 的夹⾓为锐⾓，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；取值范围是_________. 结果：,43ππ??；（3）已知(cos ,sin )a x x =r ，(cos ,sin )b y y =r ，且满⾜|||ka b a kb +-r r r r（其中0k >）.①⽤k 表⽰a b ?r r ；②求a b ?rr 的最⼩值，并求此时a r 与b r 的夹⾓θ的⼤⼩.结果：①21(0)4k a b k k +?=>r r ；②最⼩值为12，60θ=o. 六、向量的运算1.⼏何运算（1）向量加法运算法则：①平⾏四边形法则；②三⾓形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则向量AC u u u r 叫做a r 与b r 的和，即a b AB BC AC +=+=u u ur u u u r u u u r r r ；作图：略.注：平⾏四边形法则只适⽤于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三⾓形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则a b AB AC CA -=-=u u ur u u u r u u u r r r ，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u u r；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r . 结果：①AD u u u r ；②CB u u u r ；③0r；（2）若正⽅形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，AC c =u u u r r ，则||a b c ++=r r r . 结果：（3）若O 是ABC △所在平⾯内⼀点，且满⾜2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC △的形状为. 结果：直⾓三⾓形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平⾯内有⼀点P ，满⾜0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r ，设||||AP PD λ=u u u ru u u r ，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外⼼，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r ，则ABC △的内⾓C 为 . 结果：120o.2.坐标运算：设11(,)a x y =r，22(,)b x y =r ，则（1）向量的加减法运算：1212(,)ab x x y y +=++r r ，1212(,)a b x x y y -=--rr . 举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r，则当λ=____时，点P 在第⼀、三象限的⾓平分线上. 结果：12；（2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =u u u r ，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-；（3）已知作⽤在点(1,1)A 的三个⼒1(3,4)F =u u r ，2(2,5)F =-u u r ，3(3,1)F =u u r，则合⼒123F F F F =++u u r u u r u u r u u r的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==r.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r，即⼀个向量的坐标等于表⽰这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =u u u r u u u r，3AD AB =u u u r u u u r ，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3 -. （4）平⾯向量数量积：1212ab x x y y ?=+rr. 举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =r ，(sin ,sin )b x x =r ，(1,0)c =-r.（1）若3x π=，求向量a r 、c r的夹⾓；（2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=?r r 的最⼤值为12，求λ的值.结果：（1）150o；（2）12或1.（5）向量的模：2222||||aa x y a ==+?=r r r举例11 已知,a b rr 均为单位向量，它们的夹⾓为60o，那么|3|a b +=r r ＝ .结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y，则||AB =举例12 如图，在平⾯斜坐标系xOy 中，xOy ∠=P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+u u u r r r ，其中12,e e r ry 轴同⽅向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆⼼，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的⽅程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λµλµ=r r，a b b a ?=?r r r r ；2.结合律：()a b c a b c ++=++r r r r r r ，()a b c a b c --=-+r r r r r r ，()()()a b a b a b λλλ=?=?r r r r r r ；3.分配律：()a a a λµλµ+=+r r r，()a b a b λλλ+=+r r r r ，()a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r .举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ?-=?-?r r r r r r r ；② ()()a b c a b c ??=??r r r r r r；③222()||2||||||a b a a b b -=-+r rr r r r ；④若0a b ?=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；⑤若a b c b ?=?r rr r 则a c =r r ；⑥22||a a =r r ；⑦2a b b a a=r rr r r ；⑧222()a b a b ?=?rr r r ；⑨222()2a b a a b b -=-?+r r rr r r .其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地⽅也有区别：对于⼀个向量等式，可以移项，两边平⽅、两边同乘以⼀个实数，两边同时取模，两边同乘以⼀个向量，但不能两边同除以⼀个向量，即两边不能约去⼀个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满⾜结合律，即()()a b c a b c ??≠??r r r r r r，为什么？⼋、向量平⾏(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ=?-=r r r rr r r r .举例14 (1)若向量(,1)a x =r ，(4,)b x =r ，当x =_____时，a r 与b r 共线且⽅向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =r ，(4,)b x =r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+rr r ，且//u v r r ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k =u u u r ，(4,5)PB =u u u r ，(10,)PC k =u u u r，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥??=?+=-?+=r r r rr r r r .特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥- ? ? ? ?????u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 举例15 (1)已知(1,2)OA =-u u u r ，(3,)OB m =u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r，则m = .结果：32m =；（2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直⾓三⾓形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =r 向量n m ⊥r r ，且||||n m =r r ，则m=r 的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.⼗、线段的定⽐分点1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意⼀点，若存在⼀个实数λ，使12PP PP λ=u u u r u u u r，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P u u u u r 所成的⽐λ，P 点叫做有向线段12P P u u u u r 的以定⽐为λ的定⽐分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P u u u u r，即点P 在线段12PP 上0λ?>；（2）P 外分线段12P P u u u u r时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ?<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ?-<<.注：若点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的⽐为λ，则点P 分有向线段21P P u u u u r所成的⽐为1λ.举例16 若点P 分AB u u u r 所成的⽐为34，则A 分BP u u u r所成的⽐为 . 结果：73-. 3.线段的定⽐分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P u u u u r所成的⽐为λ，则定⽐分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+?=??+≠-?+?=?+?. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +?=+?=?? 说明：（1）在使⽤定⽐分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定⽐λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-u u u u r u u u ur ，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--；（2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =u u u u r u u u u r，则a =r. 结果：２或4-. ⼗⼀、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =r 平移⾄(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+??'=+?；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =r平移得曲线(,)0f x h y k --=.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a r 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a r 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin 2y x =的图象按向量a r 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =r ________. 结果：(,1)4π-. ⼗⼆、向量中⼀些常⽤的结论1.⼀个封闭图形⾸尾连接⽽成的向量和为零向量，要注意运⽤；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r rr r r.（1）右边等号成⽴条件： a b rr 、同向或 a b rr 、中有0r||||||a b a b ?+=+rrr r ；（2）左边等号成⽴条件： a b r r 、反向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ?-=+r r r r；（3）当 a b r r 、不共线||||||||||a b a b a b ?-<+<+r r r r r r.3.三⾓形重⼼公式在ABC △中，若A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重⼼的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重⼼的坐标为 .结果：24,33??-. 5.三⾓形“三⼼”的向量表⽰（1）1()3PG PA PB PC G =++?u u u ru u u r u u u r u u u r为△ABC 的重⼼，特别地0PA PB PC G++=?u u u r u u u r u u u rr为△ABC 的重⼼.（2）PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r为△ABC 的垂⼼.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r为△ABC 的内⼼；向量(0)||||AB AC AB AC λλ??+≠ ? ???u u u r u u u ru u u u r u u u u r 所在直线过△ABC 的内⼼. 6.点P 分有向线段12P P u u u u r所成的⽐λ向量形式设点P 分有向线段12P P u u u u r所成的⽐为λ，若M为平⾯内的任⼀点，则121MP MPMP λλ+=+u u u u r u u u u r u u u r ，特别地P 为有向线段12P P u u u u r 的中点12MP MPMP +?=u u u u r u u u u ru u u r .7. 向量,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r中三终点,,A B C 共线?存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r且1αβ+=．举例20 平⾯直⾓坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满⾜12OC OA OB λλ=+u u u r u u u r u u u r,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。
平面向量加减法课件
在物理学中的应用
01
平面向量加减法在物理学中的性质和定理
02
向量的加法满足平行四边形定则
向量的减法满足三角形定则
03
在物理学中的应用
向量的数乘满足标量积定理
1
2
平面向量加减法在物理学中的实际应用
确定力的合成与分解
3
在物理学中的应用
计算物体的运动轨迹和速度
解决物理问题，如力学、电磁学等
05
平面向量加减法的练习 与巩固
平行法则适用于任何两个相同的向量 。通过将一个向量分解成两个相同的 子向量，可以找到原始向量的和。这 个法则也可以用于任何数量的相同向 量。
04
平面向量加减法的应用
解向量方程
求解向量方程的解 根据给定的向量方程，确定未知量
通过加减法运算，解出未知量的值
解向量方程
检验解的正确性，确 保解符合原始向量方 程
向量减法的几何意义
两个向量相减，得到的新的向量的方向和大小与原来的两个向量有关系。
02
平面向量加减法的运算 性质
向量的加法交换律
总结词
向量加法满足交换律
详细描述
设$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是平面向量，则有$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$，即向量加法满足交换律。ຫໍສະໝຸດ 练习题一：判断题总结词
掌握平面向量加减法的基本概念
判断下列说法是否正确
向量a+向量b的和向量等于向量a与 向量b之和。（×）
判断下列说法是否正确
向量a与向量b的和向量等于向量a+ 向量b。（×）
判断下列说法是否正确
如何求解向量的加减法和数量积
如何求解向量的加减法和数量积向量在数学和物理学中有着广泛的应用，了解如何求解向量的加减法和数量积是掌握向量运算的基础。
本文将介绍向量的概念，并详细说明如何进行向量的加减法和数量积运算。
一、向量的概念及表示方法向量是具有大小和方向的量，常用箭头标记表示。
向量可以表示位移、速度、力以及其它物理量。
在二维平面中，向量可以表示为一个有序数对 (a,b)，其中 a 是横坐标分量，b 是纵坐标分量。
在三维空间中，一个向量可以表示为一个有序数组 (a,b,c)，即 (a,b,c)。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
对于两个二维向量 A(a1, a2) 和 B(b1, b2)，它们的加法计算方式如下：(A + B)(a1 + b1, a2 + b2)三、向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去得到一个新的向量。
对于两个二维向量 A(a1, a2) 和 B(b1, b2)，它们的减法计算方式如下：(A - B)(a1 -b1, a2 - b2)四、向量的数量积向量的数量积也称点积或内积，是一种运算方式，其运算结果为一个标量（即一个实数）。
对于两个二维向量 A(a1, a2) 和 B(b1, b2)，它们的数量积计算方式如下：A ·B = a1b1 + a2b2五、向量的运算性质1. 向量的加法满足交换律和结合律，即 A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的减法需要使用负向量来表示，即 A - B = A + (-B)。
3. 向量的数量积满足交换律，即 A · B = B · A。
4. 向量的数量积满足分配律，即 A · (B+C) = A · B + A · C。
六、向量的加减法和数量积的应用向量的加减法和数量积在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
平面向量的加减法
uuur
这说明，在平行四边形ABCD中，uAuCur
uuur 所表示的向量就是AB 与
AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0；
(2) a＋b = b＋a；
(3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
即
uuur uuur uuur OA OB BA．
（7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
运算法则
已知a、b， a-b可以表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.
巩固知识 典型例题
向量加r 法r满足r交换r 律和r 结r 合律r ：r r r a b b a (a+b)+c a (b c)
以上两个运算律可以推广到任意多个向量.
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该u船uur 的实际航行u速uur度．
创设情境 兴趣导入
王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到
达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行
A
走200 m到达学校（C处）（如
图）．王涛同学这两次位移的 总效果是从家（A处）到达了学
500m
C 200m
校（C处）．
位移uAuCur
叫做位移
uAuBur 与位移
空间向量cos夹角公式计算方法
空间向量cos夹角公式计算方法在三维空间中，向量是一个非常重要的概念，它不仅可以用来表示空间中的方向和长度，还可以用来描述物理量的大小和方向。
在实际应用中，我们经常需要计算两个向量之间的夹角，而cos夹角公式是一种非常常用的计算方法。
一、空间向量的概念空间向量是指在三维空间中，由起点和终点确定的有向线段。
通常用一个有序数对表示：PQ = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)其中P为起点，Q为终点，PQ表示从P指向Q的有向线段。
向量的长度常常表示为|PQ|或者||PQ||，表示起点到终点的距离。
二、向量的加减法向量的加减法是指将两个向量相加或相减的运算。
向量加法的结果是一个新的向量，其坐标分别是两个向量对应坐标之和。
例如：PQ + QR = PR其中PQ和QR是两个向量，PR是它们的和向量。
向量减法的结果也是一个新的向量，其坐标分别是两个向量对应坐标之差。
例如：PQ - QR = PR其中PQ和QR是两个向量，PR是它们的差向量。
三、向量的数量积向量的数量积是指两个向量的点积或者内积，表示它们之间的相似程度。
向量的点积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ其中A和B是两个向量，|A|和|B|分别表示它们的长度，θ表示它们之间的夹角。
四、空间向量cos夹角公式的推导对于两个向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的夹角θ可以用空间向量cos夹角公式计算：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中A·B表示向量A和向量B的数量积，|A|和|B|分别表示它们的长度。
下面我们来推导一下这个公式。
首先，由向量的数量积公式可得：A·B = |A||B|cosθ将A·B除以|A||B|得：cosθ = (A·B) / (|A||B|)将A和B的坐标代入上式中，得到：cosθ = (x1x2 + y1y2 + z1z2) / (sqrt(x1^2 + y1^2 +z1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2))这就是空间向量cos夹角公式的推导过程。
向量的减法运算(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
经典例题
题型二 利用已知向量表示其他向量
总结 三个技巧 1.搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三 个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． 2.注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交 换律来分析解决问题． 3.注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
又|A→D＋C→D|＝|D→A＋D→C|＝|D→B|，|C→D－C→B|＝|B→D|＝|D→B|，∴D 正确；
A 肯定不正确，故选 BCD．
当堂达标
4.已知 A，B，C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若P→A ＋P→B ＝P→C ＋A→B ，则下列结论正确的是( ) A．点 P 在△ABC 内部 B．点 P 在△ABC 外部
经典例题
题型一 向量加减法法则的应用
例1 化简(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． 解：方法一(统一成加法) (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D＝ A→B＋B→D＋D→C＋C→A＝A→D＋D→A＝0. 方法二(利用减法)
(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝(A→B－A→C)－C→D＋B→D
课堂小结
知识点： 1.相反向量 2.向量减法 3．|a－b|与|a|，|b|之间的关系 题型： 1. 向量加减法法则的应用 2.利用已知向量表示其他向量 3.向量减法的应用
课后作业
对应课后练习
C．点 P 在直线 AB 上 √D．点 P 在直线 AC 上
解析：因为P→A ＋P→B ＝P→C ＋A→B ，所以P→B －P→C ＝A→B －P→A ， 所以C→B ＝A→B ＋A→P ，C→B －A→B ＝A→P ，即C→A ＝A→P . 故点 P 在边 AC 所在的直线上．
向量的加减法运算法则
向量的加减法运算法则在数学中，向量是一种有大小和方向的量，它可以用来描述物体的位移、速度、加速度等。
向量的加减法是对两个或多个向量进行运算，得到一个新的向量的过程。
在本文中，我们将介绍向量的加减法运算法则，以及一些相关的概念和性质。
首先，让我们来看一下向量的定义。
向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以在空间中的任意位置开始，但是它的大小和方向是唯一确定的。
在数学中，向量通常用坐标来表示，例如一个二维向量可以表示为(x, y)，一个三维向量可以表示为 (x, y, z)。
现在让我们来介绍向量的加法。
对于两个向量 a 和 b，它们的加法定义为，a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)，其中 a1、a2、a3 分别表示向量 a 的三个分量，b1、b2、b3 分别表示向量 b 的三个分量。
换句话说，向量的加法就是将对应分量相加，得到一个新的向量。
向量的减法和加法类似，对于两个向量 a 和 b，它们的减法定义为，a b = (a1 b1, a2 b2, a3 b3)。
也就是说，向量的减法就是将对应分量相减，得到一个新的向量。
现在让我们来看一些向量加减法的性质。
首先，向量的加法满足交换律和结合律。
换句话说，对于任意两个向量 a 和 b，有 a + b = b + a 和 (a + b) + c = a + (b + c)。
这意味着向量的加法顺序和组合方式不影响最终的结果。
其次，对于任意向量 a，都存在一个零向量 0，使得 a + 0 = a。
这表明任何向量加上零向量都等于它自身。
另外，对于任意向量 a，都存在一个相反向量 -a，使得 a + (-a) = 0。
这表明任何向量加上它的相反向量都等于零向量。
最后，向量的减法可以通过加法和相反向量来表示，即 a b =a + (-b)。
这意味着向量的减法可以归结为向量的加法和相反向量的运算。
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向量加减法公式
向量加法和减法是向量运算中的基本操作。
它们允许我们将两个或多个向量组合在一起，并且可以用于表示力、速度、位移等物理量。
向量加法的公式如下：
对于两个二维向量
A = (a1, a2)
B = (b1, b2)
它们的和为：
A +
B = (a1 + b1, a2 + b2)
对于两个三维向量
A = (a1, a2, a3)
B = (b1, b2, b3)
它们的和为：
A +
B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
向量减法的公式如下：
对于两个二维向量
A = (a1, a2)
B = (b1, b2)
它们的差为：
A -
B = (a1 - b1, a2 - b2)
对于两个三维向量
A = (a1, a2, a3)
B = (b1, b2, b3)
它们的差为：
A -
B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)
向量加法和减法的几何解释可以通过向量的头尾相连来理解。
对于两个向量A和B，将B的起点放在A的终点，然后从A的起点到B的终点就是A+B的向量和。
同样，将B的起点放在A的终点，然后从B的终点到A的起点就是A-B的向量差。
这些公式可以推广到更高维度的向量。
无论向量是二维、三维还是更高维度，向量加法和减法的原理都是类似的。
通过对应维度上的元素相加或相减，我们可以获得新的向量。
向量加法和减法的应用非常广泛。
在物理学中，我们经常使用向量来表示力、速度、位移等物理量，通过向量的加减法可以计算出它们的合成力、合成速度、合成位移等。
在工程学和计算机图形学中，向量加法和减法也经常被用于表示位置、方向、位移等。