第1.1节 线性规划问题的基本概念

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案例分析：热狗和热狗面包问题

Heatdog产品的材料、工时及利润清单。
每一份产品材料及工时的需求量 材料及工时 肉制品 面粉 热狗 0.25 0 热狗面包 0 0.1 每星期最多用量 ≤800(磅) ≤200(磅)
工时
每份利润
3
$0.2
2
$0.1
≤12000(分钟)
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案例分析：热狗和热狗面包问题
产品 喷雾去污剂 液体洗涤剂 单位成本
电视 0% 3%
印刷媒体 2% 2%
需要最小的增加量 4% 18%
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$1,500,000 $2,000,000
案例描述

下表显示了在各种媒体上做一单位广告，相应的产 品市场份额的估计增加额。表中最底行显示了在每 一种媒体上做广告的单位成本。
产品 喷雾去污剂 液体洗涤剂 单位成本
产品 喷雾去污剂 液体洗涤剂 单位成本
电视 0% 3%
印刷媒体 2% 2%
需要最小的增加量 4% 18%
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$1,500,000 $2,000,000
案例描述
管理部门已经设定了广告活动的最低目标： (1)
喷雾去污剂必须再增加4%的市场份额； (2) 新型液体洗涤剂必须在洗涤剂市场中再增 加18%的份额。
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〔案例2〕：热狗和热狗面包问题

设 x1、x2分别表示Heatdog每个星期所生产的热狗和 热狗面包份数， x1和x2 均为整数。如果用 z 表示利 润，整个问题可用数学模型表示为：
目标函数：max z 0.2 x1 0.1 x2 约束条件：0.25 x1 0 x2 800 0 x1 0.1 x2 200 3 x1 2 x2 12000 xi 0(i 1, 2)，且均为整数

设 x1、x2分别表示Heatdog每个星期所生产的热狗和 热狗面包份数， x1和x2 均为整数。如果用 z 表示利 润，整个问题可用数学模型表示为：
目标函数：max z 0.2 x1 0.1 x2 约束条件：0.25 x1 0 x2 800 0 x1 0.1 x2 200 3 x1 2 x2 12000 xi 0(i 1, 2)，且均为整数
0 x1 0.1 x2 200 3 x1 2 x2 12000 xi 0(i 1, 2)，且均为整数
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案例1和案例2同属一类优化问题，它们具有以 下的共同特征：



(1) 用一组决策变量(x1， x2，…, xn )表示问题 的方案，决策变量的取值代表一个具体方案。 (2)决策变量满足一定的约束条件，用一组线性 等式或线性不等式表示。 (3)每个问题都有一个目标，可用决策变量的线 性函数(称为目标函数)来表示。
产品 喷雾去污剂 液体洗涤剂 单位成本 电视 0% 3% 印刷媒体 2% 2% 需要最小的增加量 4% 18%
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$1,500,000 $2,000,000
案例的数学建模

开米公司广告组合问题可用数学模型完整地表示为：
目标函数 min z 1,500, 000 x1 2, 000, 000 x 2 约束条件 0% x1 2% x2 4% 3% x1 2% x2 18% xi 0(i 1, 2)，且均为整数
(1.2) (1.3)
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4 线性规划问题解的概念
可行解（feasible solution）——满足线性规划模型 中所有约束条件的一组决策变量值，称为一个可行 解。 最优解（optimal solution）——使目标函数达到最 优值的可行解，即为问题的最优解。
约束条件
(1.2) (1.3)
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3 线性规划问题数学模型的一般形式

模型中，方程(1.1)称为目标函数；(1.2)、(1.3)称为约 束条件；(1.3)也称为变量的非负约束条件。
目标函数
max(min) z c1 x1 c2 x2
cn xn
(1.1)
约束条件
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( , ) b1 a x a x a x ( , ) b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x ( , ) b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0

Heatdog想知道每个星期制作多少热狗和热狗面包才 能获得最大利润。 每一份产品材料及工时的需求量 材料及工时 肉制品 面粉 热狗 0.25 0 热狗面包 0 0.1 每星期最多用量 ≤800(磅) ≤200(磅)
工时
每份利润
3
$0.2
2
$0.1
≤12000(分钟)
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案例分析：热狗和热狗面包问题
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第1.1节 线性规划问题的基本概念

1 什么是线性规划？ 2 两个经典的线性规划问题 3 线性规划问题数学模型的一般形式 4 线性规划问题解的概念
4
1 什么是线性规划？
从本质上看，线性规划（linear programming）是 应用数学模型对所研究问题的一种数学模型描述。 线性规划是指用线性数学模型描述的活动计划。 线性规划的主题是在一定的制约条件下，找出活动 的最佳组合，以便产生最大的经济和社会效益。换 句话说，线性规划主要帮助管理者解决这样的问题： 如何分配组织有限的资源，以最好地达到组织的目 标。
产品
电视
印刷媒体
需要最小的增加量
喷雾去污剂
液体洗涤剂 单位成本
0%
3%
2%
2%
4%
18%
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$1,500,000 $2,000,000
例2：热狗和热狗面包问题
Heatdog是一家食品加工厂，专业制作热狗和热狗面 包。 他们每星期最多使用200磅自己的面粉制作热狗面包。 每个热狗面包需要0.1磅面粉。 最近他们与Pigforland公司签订协议，Pigforland每 星期一向公司供应800磅肉制品。每个热狗需要0.25 磅的肉制品，其他所有的制作热狗和热狗面包的配 料供应充足。 Heatdog有5名全职雇员(每星期工作40小时)。制作每 一个热狗需要3分钟，一个热狗面包需要2分钟时间。 一个热狗产生0.2美元的利润，一个面包产生0.1美元 的利润。
第1讲
1
线性规划：基本概念

在生产管理和经营活动中经常出现一类问题，即如 何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以 便得到更好的经济效果。 — —线性规划
2
第1讲
第1.1节 第1.2节 第1.3节 第1.4节

线性规划：基本概念
线性规划问题的基本概念 两变量线性规划问题的图解法 线性规划问题的EXCEL求解法 从更广泛的视角看线性规划问题
目标函数 min z 1,500, 000 x1 2, 000, 000 x 2 目标函数：max z 0.2 x1 0.1 x2 约束条件：0.25 x1 0 x2 800 约束条件 0% x1 2% x2 4% 3% x1 2% x2 18% xi 0(i 1, 2)，且均为整数
印刷媒体 2% 2%
需要最小的增加量 4% 18%
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$1,500,000 $2,000,000
案例的数学建模

设 x1， x2 分别表示开米公司在电视媒体和印刷媒体 上各自投放的广告单位数， x1 和 x2 均为整数。那 么，需满足：
0% x1 2% x2 4% 3% x1 2% x2 18%
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3 线性规划问题数学模型的一般形式
满足这些特征的线性规划问题可统一表述为如下
数学模型形式，称为线性规划的数学模型：
目标函数 max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn (1.1) a11 x1 a12 x2 a1n xn ( , ) b1 a x a x a x ( , ) b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x ( , ) b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0

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2 两个经典的线性规划问题
例 1 开米公司广告组合问题 例 2 热狗和热狗面包问题

6பைடு நூலகம்
案例描述：开米公司广告组合问题

开米(Kamei)是一家生产新型家用清洁产品的公司。 由于家用清洁产品市场的高度竞争性，公司为了增 加市场份额已连续奋斗多年。现管理层决定集中在 一种喷雾去污剂和一种新型液体洗涤剂这两种产品 上，实行一次大规模的广告宣传活动。这一广告活 动将采用电视、印刷媒体同时进行。
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3 线性规划问题数学模型的一般形式
〔案例1〕：开米公司广告组合问题 〔案例2〕：热狗和热狗面包问题
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〔案例1〕：开米公司广告组合问题

设 x1， x2 分别表示开米公司在电视媒体和印刷媒体 上各自投放的广告单位数， x1 和 x2 均为整数。如 果用 z 表示广告宣传费用，那么，
目标函数 min z 1,500, 000 x1 2, 000, 000 x 2 约束条件 0% x1 2% x2 4% 3% x1 2% x2 18% xi 0(i 1, 2)，且均为整数
产品 喷雾去污剂 液体洗涤剂 单位成本 电视 0% 3% 印刷媒体 2% 2% 需要最小的增加量 4% 18%
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$1,500,000 $2,000,000
案例的数学建模

公司目标是使总的广告宣传费用最低。用 z 表示广 告宣传费用，则：
z 1,500, 000 x1 2, 000, 000 x2
需要最小的增加量 4% 18%
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$1,500,000 $2,000,000
案例分析：开米公司广告组合问题
案例的数学建模
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案例的数学建模

管理部门为此专门成立了科学管理小组，将问题抽象 为一个线性规划（linear programming）模型。
产品 喷雾去污剂 液体洗涤剂 单位成本
电视 0% 3%
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案例1和案例2同属一类优化问题，它们 具有以下的共同特征：
(1)
用一组决策变量(x1， x2，…, xn )表示问题 的方案，决策变量的取值代表一个具体方案。
目标函数 min z 1,500, 000 x1 2, 000, 000 x 2 目标函数：max z 0.2 x1 0.1 x2 约束条件：0.25 x1 0 x2 800 约束条件 0% x1 2% x2 4% 3% x1 2% x2 18% xi 0(i 1, 2)，且均为整数
电视 0% 3%
印刷媒体 2% 2%
需要最小的增加量 4% 18%
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$1,500,000 $2,000,000
案例描述

管理部门的任务是决定在每种媒体上投放多少单位 广告，才能在达到预定市场份额目标的前提下，使 总的广告宣传费用最低。
产品 喷雾去污剂 液体洗涤剂 单位成本
电视 0% 3%
印刷媒体 2% 2%
0 x1 0.1 x2 200 3 x1 2 x2 12000 xi 0(i 1, 2)，且均为整数
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案例1和案例2同属一类优化问题，它们具有以 下的共同特征：
(2)决策变量满足一定的约束条件，用一组线性
等式或线性不等式表示。
目标函数 min z 1,500, 000 x1 2, 000, 000 x 2 目标函数：max z 0.2 x1 0.1 x2 约束条件：0.25 x1 0 x2 800 约束条件 0% x1 2% x2 4% 3% x1 2% x2 18% xi 0(i 1, 2)，且均为整数
0 x1 0.1 x2 200 3 x1 2 x2 12000 xi 0(i 1, 2)，且均为整数
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案例1和案例2同属一类优化问题，它们具有以 下的共同特征：

(3)每个问题都有一个目标，可用决策变量的线性 函数(称为目标函数)来表示。在成本型问题中，目 标函数追求最小值；在收益型问题中，目标函数追 求最大值。