人教版初中数学《第29章图论初步》竞赛专题复习(含答案)

第29章 图论初步 29.1.1* 某大型晚会有2009个人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明：必有一个人至少认识其中的二个人． 解析 2009这个数目较大，我们先考虑：某小型晚会有5人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明：必有一个人至少认识其中的二个人． 用5个点1v、2v、3v、4v、5v表示5个人，如果两个人彼此认识（本章中的“认识”都是指相互认识），就在表示这两个人的顶点之间连一条边．对顶点功来说，由于1v所表示的人至少认识其他4个人的一个，不妨设1v与2v认识，即1v和2v相邻，同样，设3v与4v相邻，如图所示．对于顶点5v来说，无论它与1v、2v、3v、4v哪个相邻，都会出现一个顶点引出两条边的情况．于是问题得以解决． v1

v2

v3v

4

v5

用同样的方法可以证明，对2009个人来说，命题成立．其实，把2009换成任意一个大于l的奇数，命题也成立． 29.1.2* 在一间房子里有n（n>3）个人，至少有一个人没有和房子里每个人握手，房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是多少？ 解析 用n个顶点表示n个人，若某两个人握过手，就在他们相应的顶点之间连一条边，这样就得到了一个图G．因为不是任何两个人都握过手，所以G的边数最多是完全图nK（即n个点每两点之间恰连一条边）的边数减1，去掉的那条边的两个端点v和v所表示的两个人未握过手．所以房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是2n． 29.1.3*** 九名数学家在一次国际数学会议上相遇，发现他们中的任意三个人中，至少有两个人可以用同一种语言对话．如果每个数学家至多可说三种语言，证明至少有三个数学家可以用同一种语言对话． 解析 用9个点1v，2v，…，9v表示这九名数学家，如果某两个数学家能用某种语言对话，就在他们相应的顶点之间连一条边并涂以相应的颜色．我们要证明的是：存在三个顶点iv、jv、kv，使得边（iv， jv）和（iv，kv）是同色的．这样的，iv、jv、kv这三名数学家就能用同一种语言对话． 下面就顶点1v，分两种情形： （1）1v与2v，…，9v均相邻，由于每个数学家至多能说三种语言，所以每一个顶点引出的边的颜色至多是三种．根据抽屉原理知，从1v发出的8条边中至少有2条是同色的，不妨设为（1v，2v）、（1v，3v）．于是1v、2v、3v所表示的三名数学家能用同一种语言对话．见图（a）．

(a)(b)v1

v2

v3

v4

v5

v6v

9

v3

v2

v1

(c)v1v2v3v4v5v6v7v8

1

23

45679101112

8 （2）1v与2v，3v，…，9v中的至少一点不相邻，不妨设功与功不相邻．由于任意三个数学家中，至少有两个人可以用同一种语言对话，所以，3v，4v，…，9v中的每一个不是和研相邻就是和功相邻，根据抽屉原理可知，其中至少有4个点与1v或2v相邻．不妨设3v、4v、5v、6v与1v相邻，如图（b），再对1v引出的这4条边用抽屉原理可得，至少有2条边是同色的，设为（1v，3v）、（1v，4v）．于是1v、

3v、4v所表示的三名数学家能用同一种语言对话． 评注 若本题中的九改成八，则命题不成立．反例如图（c）所示．图中每条边旁的数字表示不同的语种． 29.1.4** 证明任何一群人中，至少有两个人，它们的朋友数目相同． 解析 设任意给定的一群人有n个．用顶点表示这n个人．当且仅当顶点u、v表示的两个人是朋友时令u、v相邻，得到n个顶点的简单图G． 对G中任意x，由于它可以和其他1n个顶点相邻，所以顶点x的度d（x）满足01dxn≤≤，即图G的顶点度只能是n个非负数0，1，…，1n中的一个．如果图G的顶点的度都不相同，则图G

具有0度顶点u和1n度顶点v．1n度顶点和G中其他顶点都相邻，特别地和顶点u相邻．但0度顶点u和G中任何顶点都不相邻，矛盾．这就证明了G中必定有两个顶点，它们的度相同．也就是说，这群人必有两个人，他们的朋友一样多． 29.1.5*** 有一个参观团，其中任意四个成员中总有一名成员原先见过其他三名成员．证明：在任意四名成员中，总有一名成员原先见过所有成员． 解析 用图论语言表示即：图G的任意四点中至少有一个顶点和其他三个顶点相邻．证明图G任意四个顶点中至少一个顶点和G中其他所有顶点都相邻． 用反证法．如果命题不成立，则G中有四个点x、y、z、w，它们和图G中的其他所有顶点不都相邻．于是存在四个顶点x、y、z、w（不一定不同）它们依次与x、y、z、w都不相邻．如图．所以x不是y、z、w中的一个，且y与x是两个不同的顶点． 如果y与x不同，则x、y、x、y中没有一个顶点和其他三个顶点都相邻，和已知矛盾．所以y和x重合．同理可证，z和x重合．于是x和y、z、w都不相邻，和已知矛盾．

这就证明了图G中任意四个顶点中至少有一个顶点和G的其他所有顶点都相邻．

x'

y'z'w'

x

yw

z 29.1.6** 是否存在这样的多面体，它有奇数个面，每个面有奇数条棱？ 解析 不存在这样的多面体．事实上，如果这样的多面体存在，那么用顶点表示这个多面体的面，并且仅当iv、jv所代表的两个面有公共棱时，在图G相应的两顶点之间连一条边，依题意dv是奇数，于是奇数个奇数和也是奇数．而这一个图中的顶点的和为偶数矛盾． 评注 关于图G的顶点和边数之间的关系，有如下定理：图G中边数的两倍等于顶点度数之和．即若G中n个顶点为1v，2v，…，nv，边数为e，则 122ndvdvdve．

29.1.7* n名选手进行对抗赛，每名选手至多赛一场，每场两名选手参加，已赛完1n场．证明：至少有一名选手赛过三次． 解析 把选手看成顶点．当且仅当iv、jv所代表的两名选手比赛过时，令iv、jv相邻，得到含n个顶 点的简单图．由于总共赛过1n场，所以，图G的边数是1n．于是 1221ndvdvdvn．

如果图G中所有顶点的度都不超过2，则由上式得到 12212nndvdvdvn≤，

这不可能．因此图G中至少有一个顶点x，它的度至少是3．于是，顶点x所表示的选手至少赛过三次． 29.1.8** 一航空线路共连结50个城市，现要求从一个城市到另一城市至多需换乘两次飞机，问航空线路最少要多少条（任两城市之间的航空线路数为0或1）？ 解析 不妨将50个城市看成50个点，它们之间连的线构成一连通图．图论告诉我们，如果每一点的度（即出发的线条数）至少为2，则由于边数为点度之和的一半，其数值不小于50；若有一个点的度为1（显然连通图不存在度为0的孤立点），则可通过删去该点证明。边数必须至少为49，否则图就不连通（只需对剩下的图不断进行上述处理过程）．于是找到一个城市为中转站，其他城市与之相连，构成一“星形”即可．故线路最少要49条．

…A1

A2

A3

A4

A5

A49

A50

29.1.9 已知九个人1A，2A，…，9A中，1A和两个人握过手，2A、3A各和四个人握过手，4A、5A、6A、7A各和五个人握过手，8A、9A各和六个人握过手．证明：这九个人中一定可以找出三个人，他们相互握过手． 解析 用9个点1v，2v，…，9v表示1A，2A，…，9A这九个人，若两个人握过手，就在他们相应的顶点之间连一条边，这样便得到了一个图G．因为96dv，所以存在一个不同于1v，2v，3v的点iv与

jv相邻．显然idv≥5．考虑与功相邻的另外5个点，若其中任意一点都不与iv相邻，则

9153idv≤，

这不可能．故必有一点jv与iv相邻，从而9v、iv、jv两两相邻．即它们表示的三个人互相握过手． 29.1.10* 参加某次学术讨论会的共有263个人，已知每个人至少和三位与会者讨论过问题．证明：至少有一个人和四位或四位以上的学者讨论过问题． 解析 用点1v，2v，…，263v表示263个人，两个人讨论过问题，就在相应的点之间连一条边，得图G．在图G中，任一顶点的次数≥3．若没有一个顶点的次数≥4，则G中的所有顶点的次数都是3．于是122633263789dvdvdv，是一个奇数，而这应是一个偶数，所以至少有一个顶点的次

数≥4．于是命题得证． 29.1.11*** 某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次．求证：必有六场比赛，其12个参赛者各不相同． 解析 用20个点表示这20名俱乐部成员，14条边表示14场比赛，得图G．根据题意， 1idv≥，1i，2，…，20．

于是 122021428dvdvdv．

今在每个顶点iv处抹去1idv条边（一条边可以同时在其两端点处被抹去），抹去的边数不超过 

122011128208dvdvdv．

故余下的图G中至少还有6条边，且G中每个顶点的次数都≤1，所以这6场比赛的参赛者各不相同． 29.1.12*** 34个城市参加双人舞比赛（每个城市一男一女），赛前，某些选手互相握手．同一城市的两人不握手．后来，来自A城的男选手问其他参赛选手他们与人握手的次数，得到的答案都不相同．问A城女选手和多少人握过手？ 解析 用顶点表示参赛选手．对于u、v，当且仅当u、v所表示的两名队员握过手时，令它们相邻，得到一个68个顶点的简单图G．由于同一个的两名队员之间不握手，所以对任意u，66du≤．A城男选手用x表示．图G中除x外尚有67个点，它们的度各不相同，因此必有一个点度为00dv，即v和G中其他顶点不相邻．所以若顶点w表示的选手和顶点v所表示的选手来自一个城市，则66dw．

从图G中去掉v和w，得到含66个顶点的图1G．则x是1G中的顶点，并且除x外，其他顶点的度也都不相同．因此和前述证明相同，1G含有度分别为0和64的顶点p和q，它们在原来图G中的度分别为1和65．如此继续，可证0≤j≤33，图G中含有顶点jx、jy，它们的度分别为j和66j，而且所代表的选手来自同一城市，其中33xx，所以3333dx．因此A城女选手握手次数为33． 评注 本题证明中，将G的顶点编号，按度的非降次序（1d≤2d≤…≤nd）排列，得到（1d，2d，…，