高考文科试题分类直线和圆.doc

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高三文科数学试卷电子版

第1页共4页 ◎ 第2页共4页…………外………………内……………○……在※※装※※订※※线………○……第II卷（非选择题）二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．若(x2+a)(x+x)8的展开式中x8的系数为9,则a的值为.14．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题,大意是:酒店把酒坛层层堆积,底层摆成长方形,以后每上一层,长和宽两边的坛子各少一个,堆成一个棱台的形状(如图1),那么总共堆放了多少个酒坛?沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术,设底层长和宽两边分别摆放a,b个坛子,一共堆了n层,则酒坛的总数S=ab+(a-1)(b-1)+(a-2)(b-2)+…+(a-n+1)(b-n+1).现在将长方形垛改为三角形垛,即底层摆成一个等边三角形,向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛(如图2),若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛,顶层摆放1个酒坛,那么酒坛的总数为.15．定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是[a,b]上的“中值函数”.已知函数f(x)=13x3-12x2+m是[0,m]上的“中值函数”,则实数m的取值范围是.16．设函数f(x)=exx+a(x-1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点,则a2+b2的最小值为.三、解答题(共6题，共70分)17．已知数列{a n}的各项均为正数,S n为其前n项和,且4S n=a n2+2a n-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若T n=a1+1S1−a3+1S3+a5+1S5-…+(-1)n+1a2n-1+1S2n-1,比较T n与1的大小.18．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a sin(C+π6)=b+c.(1)求角A的大小;(2)若a=√7,BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-3,角A的平分线交边BC于点T,求AT的长.19．垃圾是人类生产和生活中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,因此需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个镇进行分析,得到样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,20),其中x i和y i分别表示第i个镇的人口(单位:万人)和该镇年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得∑i=120x i=80,∑i=120y i=4 000,∑i=120(x i-x¯)2=80,∑i=120(y i-y¯)2=8 000,∑i=120(x i-x¯)(y i-y¯)=700.(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的线性相关程度;(2)求y关于x的线性回归方程;(3)某机构有两款垃圾处理机器,其中甲款机器每台售价100万元,乙款机器每台售价80万元,下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表:根据以往经验可知,某镇每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元,若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年),以频率估计概率,该镇选择购买哪一款垃圾处理机器更划算?参考公式:相关系数r=∑i=1n(x i-x¯)(y i-y¯)√∑i=1(x i-x¯)2∑i=1(y i-y¯)2,对于一组具有线性相关关系的数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),其回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nx i y i−nx-y-∑i=1nx i2−nx-2，a^=y-−b^x-.20．如图,已知各棱长均为2的直三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1EC;(2)求点B1到平面A1EC的距离.21．已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2√2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点S(-13,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点T,使得无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.22．已知函数f(x)=lnx,g(x)=-12x.(1)令F(x)=ax·f(x)-2x2·g(x),讨论F(x)的单调性;(2)设φ(x)=f(x)x-g(x),若在(√e,+∞)上存在x1,x2(x1≠x2)使不等式|φ(x1)-φ(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立,求k的取值范围.第3页共4页◎第4页共4页参考答案1.D【解析】解法一因为A ={x ||x |≤3}={x |-3≤x ≤3},(题眼)(方法点拨:含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边,小于在中间”,即|x |≤a 的解集是{x |-a ≤x ≤a },|x |≥a 的解集是{x |x ≤-a 或x ≥a })B ={x |x ≤2},所以A ∩B ={x |-3≤x ≤2},故选D.解法二因为3∉B ,所以3∉(A ∩B ),故排除A,B;因为-3∈A 且-3∈B ,所以-3∈(A ∩B ),故排除C.故选D. 【备注】无 2.B【解析】解法一 z =4-3i 2-i=(4-3i)(2+i)(2-i)(2+i)=11-2i 5=115−25i,所以|z |=√(115)2+(-25)2=√5,(题眼)故选B.解法二 |z |=|4-3i2-i |=|4-3i||2-i|=√42+(-3)2√22+(-1)2=√5=√5,故选B.(方法总结:若z 1,z 2∈C ,则|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,|z1z 2|=|z 1||z 2|(|z 2|≠0)) 【备注】无3.A【解析】解法一由sin x =1,得x =2k π+π2(k ∈Z ),则cos (2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又由cosx =0,得x =k π+π2(k ∈Z ),而sin(k π+π2)=1或-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,(判断充分、必要条件应分三步:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件推结论(充分性),从结论推条件(必要性);(3)确定条件和结论是什么关系)故选A.解法二由sin x =1,得x =2k π+π2 (k ∈Z ),则cos(2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又cos 3π2=0,sin 3π2=-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,故选A. 【备注】无 4.A【解析】由题可知,数列{a n }是首项为29、公比为12的等比数列,所以S n =29[1-(12)n ]1-12=210-210-n,T n =29×28×…×210-n=29+8+…+(10-n )=2n(19-n)2,由T n >S n ,得2n(19-n)2>210-210-n,由n(19-n)2≥10,可得n 2-19n +20≤0,结合n ∈N *,可得2≤n ≤17,n ∈N *.当n =1时,S 1=T 1,不满足题意;当n ≥18时,n(19-n)2≤9,T n ≤29,S n =210-210-n>210-1>29,所以T n <S n ,不满足题意.综上,使得T n >S n 成立的n 的最大正整数值为17. 【备注】无 5.B【解析】依题意,1=a 2+b 2-2a ·b =1+1-2a ·b ,故a ·b =12,所以(a -b )·(b -c )=a ·b -b 2-(a -b )·c =(b -a )·c -12=|b -a ||c |·cos<b -a ,c >-12≤1-12=12,当且仅当b -a 与c 同向时取等号.所以(a -b )·(b -c )的最大值为12.故选B.【备注】无 6.D【解析】由已知可得∠xOP =∠P 0OP -∠P 0Ox =π2t -π3,所以由三角函数的定义可得y =3sin∠xOP =3sin(π2t -π3),故选D.【备注】无 7.B【解析】本题主要考查古典概型、排列与组合等知识,考查的学科素养是理性思维、数学应用. “礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有A 66=720(种)排法,其中“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类:①“数”排在第一节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 41A 22A 33=48(种)排法;②“数”排在第二节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 31A 22A 33=36(种)排法.(方法总结:解决排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置))故“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排法共有48+36=84(种),所以“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的概率P =84720=760,故选B. 【备注】无 8.C【解析】解法一由已知可得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.在平面ACC 1A 1内,过点C 1作C 1H ⊥PC ,垂足为H ,如图.由CC 1⊥底面ABC ,可得CC 1⊥BC ,因为AC ⊥BC ,AC ∩CC 1=C ,所以BC ⊥平面ACC 1A 1,所以BC ⊥C 1H ,又C 1H ⊥PC ,PC ∩BC =C ,所以C 1H ⊥平面PBC ,连接BH ,故∠C 1BH 就是直线BC 1与平面PBC 所成的角.在矩形ACC 1A 1中,CP =√CA 2+AP 2=√42+22=2√5,sin∠C 1CH =cos∠PCA =AC CP =2√5=√5=C 1H CC 1=C 1H 3,故C 1H =3×√5=√5.故在△BC 1H中,sin∠C 1BH =C 1HBC 1=√53√2=√105,所以直线BC 1与平面PBC 所成角的正弦值等于√105.故选C.解法二由已知得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.如图,以C 为坐标原点,分别以CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C C_1的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,4,2),B (3,0,0),C 1(0,0,3),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2),B ⃗ C_1=(-3,0,3).设平面BCP 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由{n ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥CP⃗⃗⃗⃗ 可得{n·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x =0,n·CP ⃗⃗⃗⃗ =4y +2z =0,即{x =0,2y +z =0,得x =0,令y =1,得z =-2,所以n =(0,1,-2)为平面BCP 的一个法向量.设直线BC 1与平面PBC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n ,B ⃗ C_1>|=|n·B⃗⃗ C_1||n||B⃗⃗ C_1|=√(-3)2+32×√12+(-2)2=√105.故选C.【备注】求直线与平面所成角的方法:(1)定义法,①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键;②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;③求,利用解三角形的知识求角.(2)向量法,sin θ=|cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n|(其中AB 为平面α的斜线,n 为平面α的法向量,θ为斜线AB 与平面α所成的角).9.B【解析】本题主要考查集合以及自定义问题的解题方法；G =N,⊕为整数的加法时，对任意a,b ∈N ，都有a ⊕b ∈N ，取c =0，对一切a ∈G ，都有a ⊕c =c ⊕a =a ，G 关于运算⊕为“融洽集”. 【备注】无 10.D【解析】对于A,甲街道的测评分数的极差为98-75=23,乙街道的测评分数的极差为99-73=26,所以A 错误;对于B,甲街道的测评分数的平均数为75+79+82+84+86+87+90+91+93+9810=86.5,乙街道的测评分数的平均数为73+81+81+83+87+88+95+96+97+9910=88,所以B 错误;对于C,由题中表可知乙街道测评分数的众数为81,所以C 错误;对于D,甲街道的测评分数的中位数为86+872=86.5,乙街道的测评分数的中位数为87+882=87.5,所以乙的中位数大,所以D 正确. 故选D. 【备注】无 11.A【解析】本题考查函数的图象与性质,数形结合思想的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 解法一易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,显然x ≠-3,当x ≠0且x ≠−3时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得a =|x|x 3+3x 2,设g (x )=|x|x 3+3x 2,则g (x )的图象与直线y =a 有3个不同的交点.当x >0时,g (x )=1x 2+3x ,易知g (x )在(0,+∞)上单调递减,且g (x )∈(0,+∞).当x <0且x ≠-3时,g (x )=-1x 2+3x,g'(x )=2x+3(x 2+3x)2,令g'(x )>0,得-32<x <0,令g'(x )<0,得−3<x <−32或x <−3,所以函数g (x )在(−∞,−3)和(−3,−32)上单调递减,在(−32,0)上单调递增,且当x 从左边趋近于0和从右边趋近于−3时,g (x )→+∞,当x 从左边趋近于-3时,g (x )→−∞,当x →−∞时,g (x )→0,可作出函数g (x )的大致图象,如图所示,由图可知,a >49.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).解法二易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,当x ≠0时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得1|x|=a (x +3),则该方程有3个不同的根.在同一坐标系内作出函数y =1|x|和y =a (x +3)的图象,如图所示.易知a >0,当y =a (x +3)与曲线y =1|x|的左支相切时,由-1x=a (x +3)得ax 2+3ax +1=0,Δ=(3a )2-4a =0,得a =49.由图可知,当a >49时,直线y =a (x +3)与曲线y =1|x|有3个不同的交点,即方程1|x|=a (x +3)有3个不同的根.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).【备注】【方法点拨】利用方程的根或函数零点求参数范围的方法及步骤:(1)常规思路:已知方程的根或函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图象一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.(2)常用方法:①直接法——直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数范围;②分离参数法——先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;③数形结合法——先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.(3)一般步骤:①转化——把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况;②列式——根据零点存在性定理或结合函数图象列式;③结论——求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围 12.B【解析】因为圆x 2+y 2=a 2与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,所以∠A 1MA 2=90°,tan∠MOA 2=ba,所以∠PMA 2=90°.因为△MPA 2是等腰三角形,所以∠MA 2P =45°.因为∠PA 2M 的平分线与y 轴平行,所以∠OA 2M =∠PA 2x ,又∠OA 2M +∠A 2MO +∠MOA 2=180°,∠OA 2M =∠A 2MO ,所以∠MOA 2=∠MA 2P =45°,(题眼)所以b a=tan∠MOA 2=1,所以C 的离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=√2.故选B.【备注】无 13.1【解析】二项式(x +1x )8的展开式中,含x 6的项为C 81x 7(1x )1=8x 6,含x 8的项为C 80x 8(1x )0=x 8,所以(x 2+a )(x +1x)8的展开式中,x 8的系数为8+a =9,解得a =1.【备注】无 14.220【解析】根据题目中已给模型类比和联想,得出第一层、第二层、第三层、…、第十层的酒坛数,然后即可求解.每一层酒坛按照正三角形排列,从上往下数,最上面一层的酒坛数为1,第二层的酒坛数为1+2,第三层的酒坛数为1+2+3,第四层的酒坛数为1+2+3+4,…,由此规律,最下面一层的酒坛数为1+2+3+…+10,所以酒坛的总数为1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+10)=1+3+6+…+55=220. 【备注】无 15.(34,32)【解析】由题意,知f '(x )=x 2-x 在[0,m ]上存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<m ),满足f '(x 1)=f '(x 2)=f(m)-f(0)m=13m 2-12m ,所以方程x 2-x =13m 2-12m 在(0,m )上有两个不相等的解.令g (x )=x 2-x-13m 2+12m (0<x <m ),则{Δ=1+43m 2-2m >0,g(0)=-13m 2+12m >0,g(m)=23m 2-12m >0,解得34<m <32.【备注】无16.e 48 【解析】设x 0为函数f (x )在区间[1,3]上的零点,则e x 0x 0+a (x 0-1)+b =0,所以点(a ,b )在直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0上,(题眼)而a 2+b 2表示坐标原点到点(a ,b )的距离的平方,其值不小于坐标原点到直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0的距离的平方,(名师点拨:直线外一点到直线上的点的距离大于等于该点到直线的距离)即a 2+b 2≥e 2x 0x 02(x 0-1)2+12=e 2x 0x 04-2x 03+2x 02.令g (x )=e 2xx 4-2x 3+2x 2,x ∈[1,3],则g'(x )=2e 2x (x 4-2x 3+2x 2)-e 2x (4x 3-6x 2+4x)(x 4-2x 3+x 2)2=2x(x-1)2(x-2)e 2x (x 4-2x 3+x 2)2,则当1≤x <2时,g'(x )<0,当2<x ≤3时,g'(x )>0,所以函数g (x )在区间[1,2)上单调递减,在区间(2,3]上单调递增,所以g (x )min =g (2)=e 48,所以a 2+b 2≥e 48,所以a 2+b 2的最小值为e 48. 【备注】无17.解:(1)令n =1,则4a 1=a 12+2a 1-3,即a 12-2a 1-3=0,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.因为4S n =a n 2+2a n -3 ①,所以4S n +1=a n+12+2a n +1-3 ②,②-①,得4a n +1=a n+12+2a n +1-a n 2-2a n ,整理得(a n +1+a n )(a n +1-a n -2)=0, 因为a n >0,所以a n +1-a n =2,所以数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列,所以a n =3+(n -1)×2=2n +1.(2)由(1)可得,S n =(n +2)n ,a 2n -1=4n -1,S 2n -1=(2n +1)(2n -1), 所以a 2n-1+1S 2n-1=4n (2n+1)(2n-1)=12n-1+12n+1.当n 为偶数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…-(12n-1+12n+1) =1-12n+1<1; 当n 为奇数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-1+12n+1)=1+12n+1>1.综上,当n 为偶数时,T n <1;当n 为奇数时,T n >1. 【解析】无【备注】无 18.无【解析】(1)由已知及正弦定理,得2sin A sin(C +π6)=sin B +sin C ,所以sin A cos C +√3sin A sin C =sinB +sin C.(有两角和或差的正弦(余弦)形式,并且其中有一个角是特殊角时,常常将其展开) 因为A +B +C =π,所以sin B =sin(A +C ),所以sin A cos C +√3sin A sin C =sin(A +C )+sin C ,则sin A cos C +√3sin A sin C =sin A cos C +cos A sin C +sin C ,即√3sin A sin C =sin C cos A +sin C.因为sin C ≠0,所以√3sin A =cos A +1,即sin(A -π6)=12. 因为0<A <π,所以A =π3.(2)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3可知cb cos 2π3=-3,因此bc =6. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos∠BAC =(b +c )2-2bc -bc =7,可得b +c =√7+3×6=5. 由S △ABC =S △ABT +S △ACT 得,12bc sin π3=12c ·AT ·sin π6+12b ·AT ·sin π6,(与角平分线相关的问题,常常利用三角形的面积来解决)因此AT =bcsinπ3(b+c)sinπ6=6×√325×12=6√35. 【备注】无19.解:(1)由题意知,相关系数r =∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)√∑i=1(x i -x ¯)2∑i=1(y i -y ¯)2=√80×8 000=78=0.875, 因为y 与x 的相关系数接近于1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系.(2)由题意可得,b ^=∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)∑i=120(x i-x ¯)2=70080=8.75,a ^=y -−b ^x -=4 00020-8.75×8020=200-8.75×4=165,所以y ^=8.75x +165.(将变量x ,y 的平均值代入线性回归方程,求得a ^)(3)以频率估计概率,购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X (单位:万元)的分布列为E (X )=-50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2=30(万元).购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y (单位:万元)的分布列为E (Y )=-30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1=25(万元).因为E (X )>E (Y ),所以该镇选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.(根据已知数据,分别计算随机变量X 和Y 的分布列、期望,期望越大,说明节约费用的平均值越大,也就越划算)【解析】本题主要考查变量相关性分析、线性回归方程的求解、概率的计算以及随机变量期望的意义和求法,考查的学科素养是理性思维、数学应用.第(1)问,由已知数据,代入相关系数公式,求得相关系数r 即可判断x 和y 的相关程度;第(2)问,根据最小二乘估计公式,求得b ^,a ＾的值,从而确定y 关于x 的线性回归方程;第(3)问,根据统计数据计算随机变量X 和Y 的分布列,并分别求期望,由期望的意义可知,数值越大表示节约的垃圾处理费用的平均值越大,从而确定购买哪一款垃圾处理机器. 【备注】无20.(1)如图,连接AC 1交A 1C 于点O ,连接OE ,则BC 1∥OE.(题眼)BC 1∥OEOE ⊂平面A 1EC BC 1⊄平面A 1EC }⇒BC 1∥平面A 1EC.(运用直线与平面平行的判定定理时,关键是找到平面内与已知直线平行的直线)(2)如图,连接A 1B ,则V A 1-ACE =12V A 1-ABC =12×13V ABC-A 1B 1C 1=12×13×√34×22×2=√33.(题眼) 根据直三棱柱的性质,易得A 1A ⊥平面ABC ,因为CE ⊂平面ABC ,所以AA 1⊥CE .因为E 为AB 的中点,△ABC 为正三角形,所以CE ⊥AB. 又AA 1∩AB =A ,AA 1,AB ⊂平面ABB 1A 1,所以CE ⊥平面ABB 1A 1, 因为A 1E ⊂平面ABB 1A 1,所以A 1E ⊥CE .在Rt△A 1CE 中,A 1E ⊥CE ,A 1C =2√2,A 1E =√5,EC =√3,所以S △A 1CE =12×√5×√3=√152. 设点A 到平面A 1EC 的距离为h ,则点B 1到平面A 1EC 的距离为2h .因为V A 1-ACE =V A-A 1CE =13×S △A 1CE ×h ,(点到平面的距离可转化为几何体的体积问题,借助等体积法来解决.等体积法:轮换三棱锥的顶点,体积不变;利用此特性,把三棱锥的顶点转换到易于求出底面积和高的位置是常用方法) 所以h =2√55,即点A 到平面A 1EC 的距离为2√55, 因此点B 1到平面A 1EC的距离为4√55.【解析】无【备注】高考文科数学对立体几何解答题的考查主要设置两小问:第(1)问通常考查空间直线、平面间的位置关系的证明;第(2)问通常考查几何体体积的计算,或利用等体积法求点到平面的距离.21.解:(1)由椭圆的定义可得2a =2√2,则a =√2, ∵椭圆C 的离心率e =ca =√22,∴c =1,则b =√a 2-c 2=1,∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),(由于存在直线l 与x 轴重合的情形,故需进行分类讨论) 由{x =my-13y 22+x 2=1消去x 并整理,得(18m 2+9)y 2-12my -16=0,Δ=144m 2+64(18m 2+9)=144(9m 2+4)>0恒成立,则y 1+y 2=12m 18m 2+9=4m 6m 2+3,y 1y 2=-1618m 2+9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ,则TA ⊥TB ,TA⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13,y 1),TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2-t -13,y 2), 则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13)(my 2-t -13)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-m (t +13)(y 1+y 2)+(t +13)2=-16(m 2+1)-m(t+13)×12m18m 2+9+(t +13)2=(t +13)2-(12t+20)m 2+1618m 2+9=0,∵点T 为定点,∴t 为定值,∴12t+2018=169,(分析式子结构,要使此式子的取值与m 无关,必须要将含有m 的相关代数式约去,通常采用分子与分母的对应项成比例即可解决) 解得t =1,此时TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43)2-169=0,符合题意. 当直线l 与x 轴重合时,AB 为椭圆C 的短轴,易知以AB 为直径的圆过点(1,0).综上所述,存在定点T (1,0),使得无论直线l 如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T .【解析】本题主要考查椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维、数学探索.(1)首先由椭圆的定义求得a 的值,然后根据离心率的公式求得c 的值,从而求得b 的值,进而得到椭圆C 的标准方程;(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),与椭圆方程联立,得到y 1+y 2,y 1y 2,由题意得出TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,然后根据平面向量数量积的坐标运算及T 为定点求得t 的值,当直线l 与x 轴重合时,验证即可,最后可得出结论. 【备注】无22.(1)∵F (x )=ax ·f (x )-2x 2·g (x ),∴F (x )=x +ax ·ln x , ∴F'(x )=1+a +a ln x .①当a =0时,F (x )=x ,函数F (x )在(0,+∞)上单调递增;②当a >0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递增,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )<0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )>0,所以当a >0时,F (x )在(0,e -1-1a )上单调递减,在(e-1-1a,+∞)上单调递增;③当a <0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递减,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )>0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )<0,∴F (x )在(0,e -1-1a )上单调递增,在(e -1-1a ,+∞)上单调递减. (2)由题意知,φ(x )=lnx x+12x,∴φ'(x )=1-lnx x 2−12x 2=1-2lnx 2x 2,令φ'(x )=0,得x =√e ,∴x >√e时,φ'(x )<0,∴φ(x )在(√e ,+∞)上单调递减.不妨设x 2>x 1>√e ,则φ(x 1)>φ(x 2),则不等式|φ(x 1)-φ(x 2)|≥k |ln x 1-ln x 2|等价于φ(x 1)-φ(x 2)≥k (ln x 2-ln x 1),即φ(x 1)+k ln x 1≥φ(x 2)+k ln x 2.令m (x )=φ(x )+k ln x ,则m (x )在(√e ,+∞)上存在单调递减区间, 即m'(x )=φ'(x )+kx=-2lnx+2kx+12x 2<0在(√e ,+∞)上有解,即-2ln x +2kx +1<0在(√e ,+∞)上有解,即在(√e ,+∞)上,k <(2lnx-12x)max .令n (x )=2lnx-12x(x >√e ),则n'(x )=3-2lnx 2x 2(x >√e ),由 n'(x )=0得x =e 32, ∴函数n (x )=2lnx-12x在(√e ,e 32)上单调递增,在(e 32,+∞)上单调递减.∴n (x )max =n (e 32)=2ln e 32-12e 32=e -32,∴k <e -32.故k 的取值范围为(-∞,e -32).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查分类讨论思想、化归与转化思想的灵活应用,考查考生的运算求解能力以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力.(1)通过对函数求导,对参数进行分类讨论,来讨论函数的单调性;(2)依据函数的单调性将不等式转化为函数存在单调递减区间,最后转化为函数的最值问题来解决.【备注】【素养落地】本题将函数、不等式等知识融合起来,借助导数研究函数的性质,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.【技巧点拨】解决本题第(2)问的关键是化归与转化思想的应用,先利用函数的单调性将不等式转化为φ(x1)+k ln x1≥φ(x2)+k ln x2,然后根据式子的结构特征构造函数m(x)=φ(x)+k ln x,将m(x)在(√e,+∞))max.上存在单调递减区间转化为m'(x)<0在(√e,+∞)上有解,进而转化为k<(2lnx-12x。

2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：9.3 圆的方程 Word版含答案.docx

§9.3圆的方程圆的定义与方程知识拓展1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×)(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)(6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)题组二教材改编2．[P132A组T3]以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是() A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1B．(x－3)2＋(y－1)2＝1C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案 A3．[P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝(2＋1)2＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.题组三易错自纠4．点(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．不能确定答案 A解析将点(m2,5)代入圆方程，得m4＋25>24.故点在圆外，故选A.5．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是()A．R B．(－∞，1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)答案 B解析由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B.6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案 A解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，∴|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)．∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.题型一圆的方程典例(1)(2018届黑龙江伊春市第二中学月考)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案 C解析AB的中垂线方程为y＝x，所以由y＝x，x＋y－2＝0的交点得圆心(1,1)，半径为2，因此圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，故选C.(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________________________．答案 x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0解析设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，得D 2－4F ＝36，④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练 (2017·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .① 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．② 又圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.题型二与圆有关的最值问题典例已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．解设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上． (1)求yx 的最大值和最小值；(2)求x ＋y 的最大值与最小值．解 (1)方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4.yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆相切时，斜率最大或最小，如图①所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径2，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145，所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，如图②所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.题型三与圆有关的轨迹问题典例 (2017·潍坊调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．跟踪训练 (2017·河北衡水中学调研)已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．规范解答解一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4答案 A解析 AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝25答案 B解析圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ，代入(－2,2)点，只有B 项经过此点．也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B.3．(2017·豫北名校联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.4．(2017·福建厦门联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.5．(2018·长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2答案 A解析将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.6．已知圆O ：x 2＋y 2＝4及一点P (－1,0)，则Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C 的方程为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝1 解析设M (x ，y )，则Q (2x ＋1,2y )，∵Q 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x ＋1)2＋4y 2＝4，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝1， ∴轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝1. 7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．8．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 9．(2017·广州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________．答案 (0，－1)解析圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1)．10．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是__________．答案 x ＋y －1＝0解析过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ，则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.12．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)若P (a ，a ＋1)在圆C 上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；(2)求|MQ |的最大值和最小值；(3)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)将P (a ，a ＋1)代入圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，得a ＝4，所以P (4,5)，|PQ |＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210，k PQ ＝5－34－(－2)＝13. (2)圆C ：(x －2)2＋(y －7)2＝(22)2，圆心C (2,7)，R ＝22，|QC |－R ≤|MQ |≤|QC |＋R ，∵|QC |＝42，∴22≤|MQ |≤62，∴|MQ |的最小值为22，最大值为6 2.(3)由题意知m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0，即(m －2)2＋(n －7)2＝(22)2，分析可得k ＝n －3m ＋2表示该圆上的任意一点与Q (－2,3)相连所得直线的斜率，设该直线斜率为k ，则其方程为y －3＝k (x ＋2)，又由d ＝|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1≤22，得2－3≤k ≤2＋ 3.所以k ＝n －3m ＋2的最小值为2－3，最大值为2＋ 3.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案 74解析设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．(2017·运城二模)已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为________________________．答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15．(2018届四川雅安中学月考)已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－|x |－|y |＝0，O 为坐标原点，则x 2＋y 2的最大值为________．答案2 解析 x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－x －y ＝0化为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×22＝2，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋x ＋y ＝0化为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×22＝2，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－x ＋y ＝0化为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×22＝2，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋x －y ＝0化为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×22＝ 2. 综上可知x 2＋y 2的最大值为 2.16．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为______________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝5解析由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部， ∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。

2010年高考试题分类练习(立体几何)文科1(学生版)

2010年高考试题分类练习(文科：立体几何）（一）曾劲松整理一．选择题1.(2010湖北文数)用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .A . ①②B . ②③C . ①④D .③④2．（2010山东文数）在空间，下列命题正确的是（）.A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行3．（2010安徽文数）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（）.A ．280B ．292C ．360D ．3724.(2010·陕西文数)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A .2B .1C .23 D .13二．填空题5．（2010天津文数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．6．（2010上海文数）已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为 6 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是．7．（2010湖南文数）图中的三个直角三角形是一个体积为203cm 的几何体的三视图，则h =cm ．(第7题) (第8题)8．（2010辽宁文数）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.三．解答题9.(2010重庆文数)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD，PA AB ==，点E 是棱P B 的中点. （Ⅰ）证明：A E ⊥平面PBC ；（Ⅱ）略.（单位：cm ）10．（2010湖南文数）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D 中，AB =AD =1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点．（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．11．(2010湖北文数）如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA ．OC ⊥OB ，∠AOB =120°，且OA =OB =OC =1．（Ⅰ）设P 为AC 的中点，Q 在AB 上且AB =3AQ ，证明：PQ ⊥OA ；（Ⅱ）略．12.（2010北京文数）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF//AC，AB CE=EF=1，（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF.。

2021年高考真题——文科数学(新课标II卷)Word版含答案(自画图)

绝密★启用前2021年一般高等学校招生全国统一考试文科数学留意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则A B =A ．(1,3)-B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(2,3)2．若a 为实数，且231aii i+=++，则a = A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．43．依据下面给出的2004年至2021年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A ．逐年比较，2008年削减二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈削减趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．-1B ．0C ．1D ．35．设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。

若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 = A ．5 B ．7 C ．9D ．116．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．18B ．17 C ．16D ．157．已知三点(1,0)A，B，C ，则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为A ．53 BCD ．43 8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

2020年高考数学(文科)一轮复习小题必刷卷十一直线与圆

小题必刷卷十一直线与圆考查范围:第44讲~第47讲题组一刷真题角度1 圆的标准方程与一般方程1.[2018·天津卷] 在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .2.[2016·浙江卷] 已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .3.[2016·天津卷] 已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M (0,√5)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C 的方程为 .4.[2014·全国卷Ⅰ改编] 已知点P (2,2),圆 C :x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点,则M 的轨迹方程为 . 角度2 直线与圆、圆与圆的位置关系5.[2018·全国卷Ⅲ] 直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( )A .[2,6]B .[4,8]C .[√2,3√2]D .[2√2,3√2]6.[2016·全国卷Ⅱ] 圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A .-43 B .-34C.√3D.27.[2014·全国卷Ⅱ]设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A. [-1,1]B. [-12,1 2 ]C. [-√2,√2]D. [-√22,√2 2]8.[2016·山东卷]已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M 与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离9.[2015·安徽卷]直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或1210.[2015·四川卷]设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)11.[2014·浙江卷]已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是()A.-2B.-4C.-6D.-812.[2014·安徽卷]过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A .(0,π6]B .(0,π3] C .[0,π6] D .[0,π3]13.[2016·全国卷Ⅰ] 设直线y=x+2a 与圆C :x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 .14.[2016·全国卷Ⅲ] 已知直线l :x-√3y+6=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,则|CD|= .15.[2014·湖南卷] 若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x-8y+m=0外切,则m= ( ) A .21 B .19 C .9 D .-1116.[2015·湖南卷] 若直线3x-4y+5=0与圆x 2+y 2=r 2(r>0)相交于A ,B 两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r= .17.[2015·山东卷] 过点P (1,√3)作圆x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = .题组二刷模拟18.[2018·广东佛山模拟] 已知圆O 1的方程为x 2+y 2=1,圆O 2的方程为(x+a )2+y 2=4,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么实数a 的所有取值构成的集合是 ( )A .{1,-1,3,-3}B .{5,-5,3,-3}C .{1,-1}D .{3,-3}19.[2018·贵州贵阳一中月考] 已知圆O 的方程为x 2+y 2=1,直线l 恒过点(1,√3),则“直线l 的斜率为√33”是“直线l 与圆O 相切”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件20.[2018·南充三诊]直线y=ax+1与曲线x2+y2+bx-y=1交于两点,且这两个点关于直线x+y=0对称,则a+b=()A.5B.4C.3D.221.[2018·北京东城区期末]直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“|AB|=√2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22.[2019·四川广安华蓥调研]若过点(2,0)有两条直线与圆x2+y2-2x+2y+m+1=0相切,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-1,0)D.(-1,1)23.[2018·吉林梅河口五中二模]已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆M关于x轴对称,Q为圆M 上的动点,当Q到直线y=x+2的距离最小时,点Q的横坐标为()A.2-√22B.2±√22C.3-√22D.3±√2224.[2018·山东淄博模拟]直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2√3,则k的取值范围是()A.[-34,0]B.[-√33,√33]C.[-√3,√3]D.[-23,0]25.[2018·北京朝阳区期末]阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为√2,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是()A.2√2B.√2C.2√23D.√2326.[2018·北京丰台区3月模拟]圆心为(1,0),且与直线y=x+1相切的圆的方程是.27.[2018·天津一中月考]已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的标准方程为.28.[2018·湖南长郡中学一模]若过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.29.[2018·河南安阳一模]在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-3),若圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围是.。

专题19直线与圆的方程(学生版)-2021年高考数学二轮复习专题核心考点突破

专题19直线与圆的方程【考点命题趋势分析】直线与圆的方程是解析几何的基础知识，它不仅涉及几何知识，也涉及广泛的代数知识，综合性较强、能力要求较高.纵观近几年高考，我们发现直线与圆的方程这部分内容在全国卷中的考查有以下几个特点:一是每年必考，但未必在全国卷I、全国卷Ⅱ、全国卷Ⅲ中都考.如2017年全国卷I、卷Ⅱ的文科、理科都未涉及“直线与圆的方程”的内容，但全国卷Ⅲ考查了这部分内容，而且是解答题，属于压轴题之一，足见它的分量.二是在每一份试卷中至多有一道有关直线与圆的方程的题目(2016年全国卷理科是个例外，有一小一大两道题).三是选择题、填空题和解答题三种题型都有可能出现，客观题突出了“小而巧”的特点，主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题外，还考查运算求解、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的思想方法.四是就文科、理科而言，直线与圆的方程这节内容在文科试卷中出现的频率大于理科，但难度略小于理科.综合以上分析，我们在复习备考中要给予高度重视.高考题大多是比较经典的，因此，在复习备考过程中，它无疑是我们选题的一个风向标，认真研究高考题、品味高考题，可以让我们窥视其中的一些奥妙，使我们的复习备考更具针对性和有效性.典型例题与解题方法1方程问题求直线方程与圆的方程是解析几何中的基础知识与基本技能.求直线的方程，一般采用待定系数法，将直线方程设成点斜式或斜截式.而求圆的方程，一般来说有两种方法:(1)几何法.通过研究圆的几何性质求出圆的基本量:圆心坐标和半径.(2)代数法.先设出圆的方程，然后用待定系数法求解.例1已知抛物线C:y2=2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(I)证明:坐标原点O在圆M上；(Ⅱ)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程.2弦长问题但凡涉及直线与圆的位置关系时，都会遇到弦长问题，但高考中单纯的以求弦长为目标的问题较少.小题中大多是已知弦长求参数的值(范围)这一类的逆向思维问题，大题中往往是将弦长作为条件的综合问题，因此，弦长问题举足轻重.解决直线被圆截得的弦长问题的核心:在由弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径所构成的直角三角形中运用勾股定理进行计算.例2已知直线l:mx+y+3m－√3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2√3，则|CD|=.3最值与范围问题最值问题是范围问题的特例，因此，研究的方法、手段基本相同.在处理直线与圆的方程的最值与范围问题时，主要有以下两种途径:一是利用圆的几何性质直接判断，如过圆内一个定点的弦长的最值与范围问题，就可以结合图形利用弦长与弦心距之间的关系进行判断；二是构建目标函数的解析式，然后利用函数或基本不等式研究最值与范围.另外，在特定的情境中，利用“三角形两边之差小于第三边”来研究最值与范围问题可以取到意想不到的效果.例3已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:(x－1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(I)求C的方程；(Ⅱ)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.例4设圆x2+y2+2x－15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.4定值与定点问题直线与圆的定值与定点问题虽不是高考的热点，但一旦出现则必然是试卷的压轴题，如2017年高考数学全国卷Ⅲ文科第20题，就考查了直线与圆的定值问题，试题综合性较强，难度较大例5在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题:(I)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由；(Ⅱ)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.例6在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C.问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.5复习建议本章的复习首先要注重基础，对基础知识、基本题型要掌握好.求直线的方程基本用待定系数法，复习时应注意直线的方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系，应特别注意直线斜率的存在与不存在两种情况；圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线问题、弦长问题都是高考考查的热点，求圆的方程、圆心坐标和圆的半径的常用方法是待定系数法及配方法，要熟练掌握，还应特别注意充分运用直线与圆的几何性质以简化运算.特别需要指出的是，绝大多数和直线与圆的方程有关的高考题，都会涉及弦长问题，因此，在高考复习备考中，强化弦长问题的训练显得尤为重要.最新模拟题强化训练1．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x 上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为()A ．2B ．52C ．3D ．722．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=3．已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是( )A ．()0,223,⎡++∞⎣B ．[2,2]C ．(),0-∞D ．[0∞+，) 4．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线240x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.( )A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,04⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =( )A ．12-B ．1C ．2D ．126．在圆22420x y x y +-+=内，过点(1,0)M 的最短弦的弦长为A B ．C D ．7．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =( )A ．2B ．C ．6D ．8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．22230x y x +--=B ．2240x y x ++=C ．22230x y x ++-=D ．2240x y x +-=9．已知点P 是直线l ：3x 4y 70+-=上的动点，过点P 引圆C ：222(x 1)y r (r 0)++=>的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点，当MPN ∠的最大值为π3时，则r 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为 ( ) A ．230x y +-=B ．230x y +-=C ．210x y --=D ．210x y -+=11．已知P 为椭圆22143x y +=上一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则PA PB ⋅的取值范围为( )A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．356,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．)3,⎡+∞⎣ 12．已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( )A ．12BC ．3 D13．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是( )A ．2或3B ．2C 或2D ．3或2 14．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 ( )A ．B ．5C ．2D ．1015．已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为( )A ．B ．C ．4D ．16．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于( )A ．B ．CD ．17．圆224210++--=x y x y 上存在两点关于直线()2200,0ax by a b -+=>>对称，则14a b+的最小值为A ．8B ．9C ．16D ．18 18．在区间[﹣2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝( ) A ．14 B ．12 C ．1D ．2 19．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．53-或53 B ．35或32 C ．23-或23 D ．43-或34- 20．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．4a ≤B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥21．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________：22．已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________．23．设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ：B 两点，若AB =C 的面积为________ 24．在平面直角坐标系xOy 中，A(-12,0)，B(0,6)，点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若PA ·PB ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是_________25．已知A ，B 为圆22:5O x y +=上的两个动点，4AB =，M 为线段AB 的中点，点P 为直线:60l x y +-=上一动点，则PM PB ⋅的最小值为____．26．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为__________．27．已知直线l 经过点P(：4：：3)，且被圆(x：1)2：(y：2)2：25截得的弦长为8，则直线l 的方程是________： 28．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则实数p 的值为__________． 29．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于,A B 两点，P 为x 轴上一动点，则ABP ∆周长的最小值为______：30．已知点()1,2P -及圆()()22344x y -+-=，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则PQ QT +的值为______________．。

高考文科数学命题热点名师解密专题：圆的解题方法(含答案)

专题26 圆的解题方法一．【学习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.二．方法规律总结1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.2.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.5.求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：(1)几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出.(2)代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出.(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得).6.求直线被圆截得的弦长(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2·r2－d2.(2)代数方法：运用韦达定理.弦长|AB|＝[（x A＋x B）2－4x A·x B]（1＋k2）.7.注意利用圆的几何性质解题.如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题.三．【典例分析及训练】例1．圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，，设的坐标为,则,,,因为，所以，即，又，联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.故答案为B.练习1．已知圆上的动点和定点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，取点，连接，，，，，，，因为,当且仅当三点共线时等号成立,的最小值为的长，，，故选D.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.练习2．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.练习3．直线l是圆C1：（x+1）2+y2=1与圆C2：（x+4）2+y2=4的公切线，并且l分别与x轴正半轴，y轴正半轴相交于A，B两点，则△AOB的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，设OA=a，OB=b，由三角形相似可得：，得a=2．再由三角形相似可得：，解得b=．∴△AOB的面积为．故选A．（二）圆的一般方程例2．若由方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是()A．b≥2或b≤－2B．b≥2或b≤－2 C．－2≤b≤2D．－2≤b≤2【答案】B练习1．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.练习2．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为A．a=1或a=–2B．a=2或a=–1 C．a=–1D．a=2【答案】C【解析】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则，解得a=–1．故答案为：C（三）点与圆的位置关系例3．例3．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是A．B．C．D．【答案】B练习1.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.练习2．设点M（3，4）在圆外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，要使圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上存在点N，使得∠OMN＝，则∠OMN的最大值大于或等于时一定存在点N，使得∠OMN＝，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时OM＝5，ON＝，又点M（3，4）在圆x2+y2＝r2（r＞0）外，∴实数r的取值范围是．故选：C．（四）圆的几何性质例4．如图，在平面直角坐标系内，已知点，，圆C的方程为，点P为圆上的动点．求过点A的圆C的切线方程．求的最大值及此时对应的点P的坐标．【答案】（1）或；（2）最大值为，.【解析】当k存在时，设过点A切线的方程为，圆心坐标为，半径，，解得，所求的切线方程为，当k不存在时方程也满足；综上所述，所求的直线方程为：或；设点，则由两点之间的距离公式知，要取得最大值只要使最大即可，又P为圆上的点，，，此时直线OC：，由，解得舍去或，点P的坐标为练习1．已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线相切，与y轴交于M，N两点，且Ⅰ求圆C的标准方程；Ⅱ过点的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；Ⅲ已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B 两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I）；（II）或；（III）存在，或，满足题意.【解析】Ⅰ由题意知圆心，且，由知中，，，则，于是可设圆C的方程为又点C到直线的距离为，所以或舍，故圆C的方程为，Ⅱ设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，故，解得，又当时满足题意，因此所求的直线方程为或，Ⅲ方法一：假设在x轴上存在两定点，，设是圆C上任意一点，则即则，令，解得或，因此存在，，或，满足题意，方法二：设是圆C上任意一点，由得，化简可得，对照圆C的标准方程即，可得，解得解得或，因此存在，或，满足题意．练习2．设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，函数y，即（x﹣1）2+y2＝4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下半部分，又由点Q（2a，a﹣3），则Q在直线x﹣2y﹣6＝0上，当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，此时有2，解可得a＝1，圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+n）2+（y+2）2＝9相外切，则有3+2＝5，变形可得：（m+n）2＝25，则mn，故选：C．练习3．已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵||＝||＝1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．∴的最大值．故选：C．练习4．设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是() A．B．C．D．【答案】C【解析】圆的圆心为M(0,6)，半径为，设，则，即，∴当时，，故的最大值为.故选C.（五）轨迹问题例5.已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）令，则当，即时面积最大为2又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令故直线的方程为：（3）设点，由于点则，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以练习1．已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，求以弦GH为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.学-科网（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.（O为坐标原点）【答案】（1）；（2）圆的面积最小值（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）由题意知，原心到直线的距离∴当即当时，弦长最短，此时圆的面积最小，圆的半径，面积又，所以直线斜率，又过点故直线的方程为：（3）设点，由于点法一：所以，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以法二：∴从而练习2．四棱锥P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．球的一部分D．抛物线的一部分【答案】A练习3．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P，且l1⊥l2，∴P在线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02＝1，∴1，故A错误，B正确；3x02+2y02＞2x02+2y02＝2（x02+y02）＝2＞1，故C正确；由圆x2+y2＝1在P（x0，y0）的切线方程为：x0x+y0y＝1，如图，∵坐标原点O（0，0）与点（）在直线x0x+y0y＝1的同侧，且x0×0+y0×0＝0＜1，∴，故D正确．∴不正确的选项是A．故选：A．练习4．已知圆C：(为锐角) ,直线l：y=kx,则A．对任意实数k与,直线l和圆C相切B．对任意实数k与,直线l和圆C有公共点C．对任意实数k与,直线l和圆C相交D．对任意实数k与,直线l和圆C相离【答案】B【解析】由题意，圆心坐标为：，所以圆心的轨迹方程为：，所以圆心与原点的距离为1，所以圆必过原点.由于直线过原点，所以直线与圆必有交点.故选B.（六）直线与圆的位置关系例6.已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称.（1）求圆和抛物线的标准方程；（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：.【答案】（1）的标准方程为.的标准方程为（2）见证明【解析】（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为.已知在直线上，故可设因为，关于对称，所以，解得所以的标准方程为.因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为.（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为，且方程为则到直线的距离为，所以，由消去并整理得：.设，，则，，.所以因为，，，所以所以，即.练习1．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）直线的斜率，的中点坐标为直线的方程为（2）设圆心，则由点在上，得．①又直径，，．②由①②解得或，圆心或圆的方程为或练习2．已知直线，曲线，若直线与曲线相交于、两点，则的取值范围是____；的最小值是___.【答案】【解析】直线l：kx﹣y k＝0过定点（1，），曲线C为半圆：（x﹣2）2+y2＝4（y≥0）如图：由图可知：k OP，k PE，∴；要使弦长AB最小，只需CP⊥AB，此时|AB|＝22，故答案为：[，]；．练习3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2＝1和点，点B（1，1），M 为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为_____．【答案】【解析】如图所示，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．∵OM＝1，OA＝，OK＝2，∴，∵∠MOK＝∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴，∴MK＝2MA，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|，在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|＝.故答案为：．练习4．已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为_____，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为_____．【答案】0或2．（七）圆与圆的位置关系例1．在平面直角坐标系中，已知点和直线：，设圆的半径为1，圆心在直线上.（Ⅰ）若圆心也在直线上，过点作圆的切线.（1）求圆的方程；（2）求切线的方程；（Ⅱ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）(1)或（2）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）(1)由得圆心为，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：.（2）由圆方程可知过的切线斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即，∴，解之得：或，∴所求圆的切线方程为：或.即或.（Ⅱ）∵圆的圆心在直线：上，设圆心为，则圆的方程为：，又∵，∴设为，则整理得：，设为圆,∴点应该既在圆上又在圆上∴圆和圆有公共点，∴,即：，解之得：即的取值范围为：.练习1．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，记外接圆为圆.(1)求圆的方程；(2)在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在，且个数为2【解析】(1)设外接圆的方程为,将代入上述方程得：解得则圆的方程为(2)设点的坐标为，因为，所以化简得：.即考查直线与圆的位置关系点到直线的距离为所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个。

高考文科数学常考题型训练直线与圆锥曲线

常考题型大通关：第20题直线与圆锥曲线1、已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22122:1x y C a b +=的焦点在椭圆22222:1y x C a b +=上，其中0a b >>，且点66(,)是椭圆12,C C 位于第一象限的交点． (1) 求椭圆12,C C 的标准方程；(2) 过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆2C 相切，与椭圆1C 交于点,A B ,已知35PA PB =u u u r u u u r，求直线l 的斜率．2、已知抛物线22y x =，过点()1,1P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．3、已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的左右焦点分别为1F ,2F , 离心率为12, 椭圆C 上的点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭到点1F , 2F 的距离之和等于4．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 是否存在过点的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足2PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．4、设O 为坐标原点,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F,离心率为25.直线():0l y kx m m =+>与C 交于,A B 两点, AF 的中点为M,5OM MF +=1.求椭圆C 的方程2.设点()0,1,4P PA PB ⋅=-u u u r u u u r,求证:直线l 过定点,并求出定点的坐标5、已知抛物线22y x =，过点()1,1P 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（Ⅱ）若点M 为直线AB 上的点，且0OM AB ⋅=uuu r uu u r，求点M 的轨迹方程．6、已知点()0,2A -，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>3，F 是椭圆的焦点，直线AF23O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程.7、已知椭圆()2222:=10x y C a b a b +>>3，且经过点3⎛- ⎝⎭（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点)3,0作直线l 与椭圆C 交于不同的A B 、两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得直线QA 与直线QB 恰好关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．8、已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点12,A A 是椭圆C 的左右顶点，点P 是椭圆C 上一动点，12PF F ∆的周长为6，且直线12,PA PA 的斜率之积为34-．（1）求椭圆C 的方程；（2）若A,B 为椭圆C 上位于x 轴同侧的两点，且1221AF F BF F π∠+∠=，求四边形12AF F B 面积的取值范围．9、已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线():0l y kx a a =+>与抛物线C 交于,A B 两点．（Ⅰ）若直线l 过焦点F ，且与()2211x y +-=交于,D E （其中,A D 在y 轴同侧），求证：AD BE ⋅是定值；（Ⅱ）设抛物线C 在A 和B 点的切线交于点P ，试问：y 轴上是否存在点Q ，使得APBQ 为菱形？若存在，请说明理由并求此时直线l 的斜率和点Q 的坐标．10、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点,A B ,线段AB 中点为M,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.答案以及解析1答案及解析：答案：(1) 椭圆22122:1x y C a b +=的焦点坐标为(,0)c ±，代入椭圆2C 的方程有221c b =，点P 的坐标代入椭圆12,C C 的方程有12222:133C a b+=，所以2222222122133c b a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2222,1a bc ===所以椭圆12,C C 的标准方程分别为22221,122x y y x +=+=(2) 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为11()y kx m A x y =+，，， 22()(0)B x y P m ，，，由2212y x y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得22()12kx m x ++=，即222(1)1022k m x kmx +++-=22224(1)(1)022k m k m ∆-+⋅-=，即2220k m +-=由2212x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得22()12x kx m ++=，即2221()2102k x kmx m +++-=，因为直线l 与椭圆1C 相交，有22222211144()(1)4()0222k m k m k m ∆=-+-=-+> (*)，1.222()2x k =+因为35PA PB =u u u r u u u r ，即11223(,)(,)5x y m x y m -=-，则1253x x =，所以22()2k =+22()2k +22()2k =+22()2k +km =或km =-即22221116()22k m k m =-+又因为2220k m +-=，解得2224k m ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2246k m ⎧=⎪⎨=⎪⎩符合(*)式，所以直线l的斜率为2±解析：2答案及解析：答案：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112y x =①，2222y x =②． ①－②，得 121212()()2()y y y y x x -+=- ．又因为(1,1)P 是线段AB 的中点，所以122y y += 所以，21121212=1y y k x x y y -==-+．又直线AB 过(1,1)P ，所以直线AB 的方程为y x =；（2）依题设(,)M M M x y ，直线AB 的方程为11(1)y k x -=-，即111y k x k =+-，亦即12y k x k =+，代入抛物线方程并化简得 2221122(22)0k x k k x k +-+=．所以，12121222112222k k k k x x k k --+=-= 于是，12211M k k x k -=，12121221111M M k k y k x k k k k k -=⋅+=⋅+=．同理，12221N k k x k -=，21N y k =．易知120k k ≠，所以直线MN 的斜率21211M N M N y y k kk x x k k -==--．故直线MN 的方程为21122121111()1k k k k y x k k k k --=--，即212111k k y x k k =+-．此时直线过定点(0,1)．故直线MN 恒过定点(0,1)．解析：3答案及解析：答案：（1）法一：由题意得：222122241c a a a b c a b c ⎧==⎪⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎪⎩22143x y +=法二：由题意得242a a =⇒=；又由离心率公(2,1)P 式222114b e a =-=得：23b =故椭圆的标准方程为22143x y +=（法一）若存在满足条件的直线l ，则直线l 的斜率存在，设其方程为(2)1y k x =-+ 代入椭圆C 的方程得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，所以222[8(21)]4(34)(16168)32(63)0.k k k k k k ∆=---+--=+>所以21->k ，且21212228(21)16168,3434k k k k x x x x kk ---+==++，因为2PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r ，即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=，所以2212(2)(2)(1)||x x k PM --+=54=．即212125[2()4](1)4x x x x k -+++=．所以22222216168448(21)5[24](1)3434344k k k k k k k k k --+--⋅++==+++，解得12k =±．又因为21->k ，所以12k =．所以存在直线l 满足条件，其方程为12y x =．（法二）设直线l 的参数方程为2cos (1sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数）代入椭圆方程得：223+sin )(12cos 8sin )40t t ααα+++=（由韦达定理得： 12243sin t t α⋅=+由题意221251sin 45PA PB t t PM α⋅=⋅==⇒=u u u r u u u r u u u u r ，于是得1tan =2α 或 1tan =-2α（舍）所以存在直线l 满足条件，其方程为12y x =解析：4答案及解析：答案：1.设椭圆的右焦点为1F ,则OM 为1AFF △的中位线, 所以111,22OM AF MF AF ==, 所以152AF AF OM MF a ++===因为e c a =,所以c =所以b =所以椭圆C 的方程为:221255x y += 2.设()()1122,,,A x y B x y 联立221255y kx m x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩,消去y 整理得: ()22215105250k x mkx m +++-=所以0>△,212122210525,1515km m x x x x k k -+=-=++, 所以()121222215my y k x x m k +=++=+ ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222222222525105251515k m k k m m k m k m k k --++-+==++ 因为()0,1,4P PA PB ⋅=-u u u r u u u r所以()()()1122121212,1,114x y x y x x y y y y -⋅-=+-++=-所以222222525252+50151515m k m m k k k--+-+=+++整理得: 23100m m --= 解得: 2m =或53m =- (舍去)所以直线l 过定点()0,2. 解析：5答案及解析：答案：（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112y x =①，2222y x =②． ①－②，得 121212()()2()y y y y x x -+=- ．又因为(1,1)P 是线段AB 的中点，所以122y y +=，所以，1212212=1l y y k x x y y -==-+．又直线AB 过(1,1)P ，所以直线l 的方程为y x =；（Ⅱ）设(,)M x y ，由0OM AB ⋅=u u u u r u u u r ，知0OM PM ⋅=u u u u r u u u u r，因为(,)OM x y =u u u u r ，(1,1)PM x y =--u u u u r，所以，(1)(1)0x x y y -+-=，即点M 的轨迹方程为220x y x y +--=（不含点(0,1)）. 解析：6答案及解析：答案：(Ⅰ) 设(),0F c ，由条件知2233c =，得3c = 又3c a =，所以2a =，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=.（Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线:2l y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当216(43)0k =->△，即234k >时，21,28243k k x ±-=从而2221241431k k PQ k x x +⋅-=+-=又点O 到直线PQ 的距离21d k =+，所以OPQ △的面积214432OPQk S d PQ ∆-= ，t ，则0t >，2440.144OPQ t t S t t t∆>==≤++，当且仅当2,t k ==等号成立，且满足0>△，所以当OPQ △的面积最大时，l 的方程为：2y - 或2y =-. 解析：7答案及解析：答案：(1)c a =，221314a b+=，又222a b c -=，解得24a =，21b =，．所以，椭圆的方程为2214x y +=．（Ⅱ）存在x 轴上在定点Q ，使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，设直线l 的方程为0x my +-=，与椭圆联立可得()22410m y +--=．设()11,A x y ，()22,B x y ，假设在x 轴上存在定点(),0Q t ．12y y +，12214y y m -=+． ∵PN 与QN 关于x 轴对称，∴0AQ QB k k +=，即()()1212211200y yy x t y x t x t x t+=⇒-+-=--， ))12210y my t y my t ⇒-+-=，)()121220ty y my y⇒+-=，()240m t ⇒=⇒．∴在x 轴上存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭．使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．特别地，当直线l 是x 轴时，点Q ⎫⎪⎪⎝⎭．也使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．综上，在x 轴上存在定Q ⎫⎪⎪⎝⎭．使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．解析：8答案及解析：答案：（1）∵12AF F ∆的周长为6，∴226a c +＝，即3a c +＝，① 直线12,PA PA 的斜率之积为34-．可求得2234b a=②联立①②及222a b c +＝，解得21a b c ＝，＝． ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）∵1221AF F BF F π∠+∠＝，∴12//AF BF ，延长1AF 交椭圆C 于点A '，设1122A x y A x y '（，），（，），由（1）知121010F F （﹣，），（，），直线AA '的方程为1x ty ＝﹣，联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2234690t y ty +（）﹣﹣＝． ∴12122269,3434t y y y y t t +==-++．由对称性可知，12F A F B '=,设1AF 与2BF 的距离为d ，，则四边形12AF F B 的面积()2121122F AA S AF BF d AA d S '∆'=+==∴12121212S F F y y y y =⋅-=-2943434t t ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭令1m m ≥．∴212121313m S m m m=++＝． ∵S m （）在[1+∞，）上单调递减，∴0]3S ∈（，．故四边形AF 1F 2B 面积的取值范围为03]（，．解析：9答案及解析：答案：抛物线24C x y =：的焦点()0,1F ，设()()1122,,,A x y B x y ，联立24x y =与y kx a =+有2440x kx a --=，则()2160k a =+>△，且12124,4x x k x x a +=⋅=-（Ⅰ）若直线l 过焦点F ，则1a =，则12124,4x x k x x +=⋅=-．由条件可知圆()2211x y +-=圆心为()0,1F ，半径为1，由抛物线的定义有121,1AF y BF y =+=+，则11AD AF y =-=，21BE BF y =-=，()()121211AD BE y y kx kx ⋅==++ ()222121214411k x x k x x k k =+++=-++=，（或()()222212111241441616x x x x AD BE y y -⋅==⋅===）即AD BE ⋅为定值，定值为1．（Ⅱ）当直线l 的斜率为0，且()0,3Q a 时APBQ 为菱形．理由如下：设()()()11220,,,,0,A x y B x y Q y ，由24x y =有214y x =，则12y x '= 若APBQ 为菱形，则//,//AQ BP BQ AP ，则1020211211,22AQ BQ y y y y K x K x x x --====，即1012201211,22y y x x y y x x -=-=，则12y y =，∴0k =，∴()(),A a B a -则抛物线C在()A a -处的切线为y a x -=+，即y a =-① 同理抛物线C在()B a处的切线为y a =-② 联立①②()0,P a -又AB 的中点为()0,R a ，所以()0,3Q a . 解析：10答案及解析：答案：(Ⅰ)由题意得22222421c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩,解得228,4a b ==，∴椭圆C 的方程为22218x y b+=；证明：(Ⅱ)设直线()()()()1122:0,0,,,,,,M M l y kx b k b A x y B x y M x y =+≠≠，把y kx b =+代入22184x y +=,得()222214280k x kbx b +++-=. 故12222,22121M M M x x kb bx y kx b k k ⋅-===+=++，于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-,即12OM k k ⋅=-， ∴直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值。

2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析

2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=．【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交．考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。

1983年全国统一高考数学试卷(文科)

1983年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）1．（2分）在直角坐标系内，函数y=|x|的图象（）A．关于坐标轴、原B．关于原点对称点都不对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称2．（2分）抛物线x2+y=0的焦点位于（）A．y轴的负半轴上 B．y轴的正半轴上 C．x轴的负半轴上 D．x轴的正半轴上3．（2分）两条异面直线，指的是（）A．在空间内不相交的两条直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D．不在同一平面内的两条直线4．（2分）对任何的值等于（）A．B．C．D．5．（2分）0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（）B．0.32＜log20.3＜20.3A．0.32＜20.3＜log20.3D．l og20.3＜20.3＜0.32C．l og20.3＜0.32＜20.3二、解答题（共9小题，满分110分）6．（10分）在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形．7．（6分）求函数的定义域．8．（6分）一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法．9．（12分）已知复数．10．（12分）在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积．11．（14分）如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20米，在A点处测得P点的仰角∠OAP=30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，求旗杆的高度h（结果可以保留根号）．12．（16分）如图，已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面α内，∠ABC=60°，∠ACB=30°，BC=24cm，A点在平面α内的射影为N，AN=9cm，求以A为顶点的三棱锥A﹣NBC的体积（结果可以保留根号）．13．（17分）一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列．14．（17分）如图，已知两条直线L1：2x﹣3y+2=0，L2：3x﹣2y+3=0．有一动圆（圆心和半径都在变动）与L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称．1983年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）1．（2分）在直角坐标系内，函数y=|x|的图象（）B．关于原点对称A．关于坐标轴、原点都不对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣x）=|﹣x|=|x|=f（x）可得f（x）=|x|为偶函数，所以函数y=|x|的图象关于y轴对称．解答：解：∵f（﹣x）=|﹣x|=|x|=f（x），则f（x）=|x|为偶函数，∴y=|x|的图象关于y轴对称．故选D．点评：本题主要考查偶函数的图象问题，即图象关于y轴对称．2．（2分）抛物线x2+y=0的焦点位于（）A．y轴的负半轴上 B．y轴的正半轴上 C．x轴的负半轴上 D．x轴的正半轴上考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：先化为抛物线的标准方程，根据抛物线的基本性质可得到答案．解答：解：由x2+y=0可得x2=﹣y，故焦点位于y轴的负半轴上故选A．点评：本题主要考查抛物线的标准方程．只要将问题转化为标准方程就可迎刃而解．3．（2分）两条异面直线，指的是（）A．在空间内不相交的两条直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D．不在同一平面内的两条直线考点：异面直线的判定．专题：综合题．分析：直接由异面直线的定义，判断选项的正误即可．解答：解：A两条直线可能平行，所以不正确．B分别位于两个不同平面内的两条直线，可能还在另一个平面，不正确．C某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可能在同一个平面，不正确．D是异面直线的定义，正确．点评：本题考查异面直线的定义，是基础题．4．（2分）对任何的值等于（）A．B．C．D．考点：半角的三角函数．专题：计算题；压轴题．分析：先根据余弦的半角公式求得cos的值，再根据α的取值范围判断正负．解答：解：∵cosα=2cos2﹣1∴cos=±∵180°＜α＜360°∴∴cos＜0∴cos=﹣故选C点评：本题主要考查了余弦函数的半角公式．属基础题．5．（2分）0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（）B．0.32＜log20.3＜20.3A．0.32＜20.3＜log20.3D．l og20.3＜20.3＜0.32C．l og20.3＜0.32＜20.3考点：不等式比较大小．专题：压轴题．分析：确定0.32，log20.3，20.3这些数值与0、1的大小即可．解答：解：∵0＜0.32＜1，log20.3＜0，20.3＞1∴0.32＜20.3＜log20.3故选C．点评：本题主要考查指数、对数综合比较大小的问题，这里注意与特殊值1、0这些特殊值的比较．二、解答题（共9小题，满分110分）6．（10分）在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形．考点：曲线与方程．专题：数形结合．分析：将方程变形，分析方程所代表曲线的类型．解答：解：x2+y2=2x，即：（x﹣1）2++y2=1，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，x2﹣y2=0，即：（x+y）•（x﹣y）=0，即：x+y=0或x﹣y=0，表示2条直线．点评：将方程化简变形，确定曲线形状．7．（6分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解答：解：根据题意，得解得﹣5≤x＜6．∴函数的定义域是[﹣5，6）．点评：本题主要考查自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8．（6分）一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；分类讨论．分析：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括三种情况，一是有一女两男，二是有两女一男，三是有三个女生，分别用组合数表示出三种情况的结果数，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括三种情况，一是有一女两男，二是有两女一男，三是有三个女生，当有一女两男时共有C41•C62当有两女一男时共有C42•C61当有三女时共有C43根据分类计数原理得到结果是C41•C62+C42•C61+C43=100（种）点评：本题是一个分类加法，在题目中要分为三类，表示时比较麻烦，本题可以这样解：C103﹣C63=120﹣20=100（种）9．（12分）已知复数．考点：复数的基本概念；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：直接把复数z代入要证明等式左边，按复数乘方运算，化简即可．解答：证明：=cos3α+isin3α+cos（﹣3α）+isin（﹣3α）=2cos3α点评：本题考查复数的基本概念，三角函数恒等式的证明，考查计算能力，是基础题．10．（12分）在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积．考点：在实际问题中建立三角函数模型；函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：如图用圆的半径R与图中所示的角（可设出）表示出来，把此矩形的面积表示出来，再用三角函数的相关的公式化简，最后用三角函数的有界性判断最大值在什么情况下取到，求出矩形的最大面积以及矩形的长与宽的大小．解答：解：设矩形在半圆板直径上的一边长为2x，α角如图所示，则x=Rcosα，另一边的长为R sinα，矩形面积S为S=2R2sinαcosα．=R2sin2α当2α=即α=时，也即长为，宽为时，矩形面积最大最大面积是R2点评：本题考查用三角函数解决实际问题的最值，这是三角函数的一个重要的运用，请仔细体会本题中函数关系的建立过程．11．（14分）如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20米，在A点处测得P点的仰角∠OAP=30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，求旗杆的高度h（结果可以保留根号）．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：分别在直角三角形AOP和直角三角形BDP中，求得OA，OB，进而在△AOB中，由余弦定理求得旗杆的高度．解答：解：在直角△AOP中，得OA=OPcot30°．在直角△BOP中，得OB=OPcot45°=h在△AOB中，由余弦定理得，，答：旗杆的高度h为点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力．12．（16分）如图，已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面α内，∠ABC=60°，∠ACB=30°，BC=24cm，A点在平面α内的射影为N，AN=9cm，求以A为顶点的三棱锥A﹣NBC的体积（结果可以保留根号）．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：过N作NE⊥BC，E为垂足，连接AE，求出AE，NE，求出底面△NBC面积，然后求出体积即可．解答：解：过N作NE⊥BC，E为垂足，连接AE，由三垂线定理可知AE⊥BC在直角三角形ABC中，．在直角三角形ANE中，．三棱锥A﹣NBC的体积答：三棱锥A﹣NBC的体积为：108cm2点评：本题考查线线关系证明垂直关系，从而说明锥体的高，求出底面面积是解好本题的一个环节，考查计算能力，是基础题．13．（17分）一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：设所求等比数列为a，aq，aq2，由已知条件得，由此能够求出原来的等比数列．解答：解：设所求等比数列为a，aq，aq2，由已知条件得化简得：解方程组得或由a=2，q=3，得所求等比数列是2，6，18；由，得所求等比数列是经检验均正确．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．14．（17分）如图，已知两条直线L1：2x﹣3y+2=0，L2：3x﹣2y+3=0．有一动圆（圆心和半径都在变动）与L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称．考点：轨迹方程；双曲线的定义．专题：计算题；压轴题．分析：设圆心M的坐标为（x，y），欲求其轨迹方程，即寻找其坐标间的关系，根据弦、弦心距、半径三者之间的关系及点到直线的距离公式即可得到．解答：解：设圆心M的坐标为（x，y），圆的半径为r，点M到L1，L2的距离分别为d1，d2根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有，．得d22﹣d12=52．根据点到直线的距离公式，得代入上式，得方程化简得x2+2x+1﹣y2=65．即．所以轨迹是双曲线．点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．。

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06 直线与圆一、选择题 1．（安徽10）若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（ D ）

A．[3,3] B．(3,3) C．33[,]33 D．33(,)33

2．（安徽11）若A为不等式组002xyyx表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线xya 扫过A中的那部分区域的面积为 ( C ) A．34 B．1 C．74 D．5

3．（北京6）若实数xy，满足1000xyxyx，，，≥≥≤则2zxy的最小值是（ A ） A．0 B．12 C．1 D．2 4．(福建10)若实数x、y满足10,0,2,xyxx则yx的取值范围是（ D ） A.（0，2） B.（0，2） C.(2,+∞) D.[2，+∞) 5．（广东6）经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（ C ）

A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 6．（宁夏10）点()Pxy，在直线430xy上，且xy，满足147xy≤≤，则点P到坐标原点距离的取值范围是（ B ） A．05， B．010， C．510， D．515，

7．（湖南3）已条变量yx,满足,0,2,1yxyx则yx的最小值是( C ) A．4 B.3 C.2 D.1 8．（辽宁3）圆221xy与直线2ykx没有．．公共点的充要条件是（ B ） A．(22)k， B． (33)k， C．(2)(2)k∞，，∞ D．(3)(3)k∞，，∞

9．（辽宁9）已知变量xy，满足约束条件1031010yxyxyx≤，≤，≥，则2zxy的最大值为（ B ） A．4 B．2 C．1 D．4 10．（全国Ⅰ10）若直线1xyab与圆221xy有公共点，则（ D ）

A．221ab≤ B．221ab≥ C．22111ab≤ D．2211ab≥1 11．（全国Ⅱ3）原点到直线052yx的距离为（ D ） A．1 B．3 C．2 D．5

12．（全国Ⅱ6）设变量xy，满足约束条件：222yxxyx，，．≥≤≥，则yxz3的最小值为（ D ） A．2 B．4 C．6 D．8

13．(山东11) 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430xy和x轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）

A．227(3)13xy B．22(2)(1)1xy

C．22(1)(3)1xy D．223(1)12xy 14．（上海15）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点()Pxy，、

点()Pxy，满足xx≤且yy≥，则称P优于P．如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ D ）Ａ．AB B．BC

C．CD D．DA

15．（四川6）直线3yx绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )

A B C D

O x

y  （Ａ）1133yx （Ｂ）113yx （Ｃ）33yx （Ｄ）113yx

16．(天津2) 设变量xy，满足约束条件0121.xyxyxy≥，≤，≥则目标函数5zxy的最大值为（ D ） A．2 B．3 C．4 D．5

17．（浙江10）若0,0ba，且当1,0,0yxyx时，恒有1byax，则以a,b为坐标点(,)Pab 所形成的平面区域的面积等于 ( C )

（A）12 （B）4 （C）1 （D）2 18．(重庆3)曲线C:cos1.sin1xy(为参数)的普通方程为 ( C ) (A)(x-1)2+(y+1)2=1 (B) (x+1)2+(y+1)2=1 (C) (x-1)2+(y-1)2=1 (D) (x-1)2+(y-1)2=1 19．(重庆4)若点P分有向线段AB所成的比为-13，则点B分有向线段PA所成的比是( A ) (A)-32 (B)-12 (C) 12 (D)3

湖北5).在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组,1xyx的点(,)xy的集合用阴影表示为下列图中的 ( C ) 21．(陕西5) 直线30xym与圆22220xyx相切，则实数m等于（ A ） A．3或3 B．3或33 C．33或3 D．33或33 二、填空题 1．（福建14）若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围

是 ______________. (,0)(10,)

2．（广东12）若变量x，y满足240,250,0,0,xyxyxy则z=3x+2y的最大值是________．70 3．（湖南14）将圆122yx沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率为_____________.

22(1)1xy

； 33

4．（江苏9）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为)0,(),0,(),,0(cCbBaA，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设pcba,,,均为非零实数，直线CPBP,分别交ABAC,

于点FE,，一同学已正确算的OE的方程：01111yapxcb，请你求OF的方

程： ( )011yapx （11cb）

5．（全国Ⅰ13）若xy，满足约束条件03003xyxyx，，，≥≥≤≤则2zxy的最大值为．9

6．(山东16) 设xy，满足约束条件20510000xyxyxy，，，，≥≤≥≥ 则2zxy的最大值为．11 7．（上海11）在平面直角坐标系中，点ABC，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()Pxy，是ABC△围成的区域（含边界）上的点，那么当wxy取到最大值时，点P的坐标是 ______ ．5,52 8．（四川14）已知直线:40lxy与圆22:112Cxy，则C上各点到l的距离的最小值为_______2______。 9．(天津15) 已知圆C的圆心与点(21)P，关于直线1yx对称．直线34110xy与圆C相交于AB，两点，且6AB，则圆C的方程为． 10．（重庆15）已知圆C： 22230xyxay（a为实数）上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，则a= .-2 11．

12．(湖北15).圆34cos,()24sinxCy为参数的圆心坐标为（3，－2），

和圆C关于直线0xy对称的圆C′的普通方程是 . （x＋2）2＋（y－3）2＝16

三、解答题 1．（宁夏本小题满分12分）

已知mR，直线l：2(1)4mxmym和圆C：2284160xyxy．（Ⅰ）求直线l斜率的取值范围；（Ⅱ）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？

解：（Ⅰ）直线l的方程可化为22411mmyxmm，直线l的斜率21mkm， ················································································ 2分因为21(1)2mm≤，

所以2112mkm≤，当且仅当1m时等号成立．所以，斜率k的取值范围是1122，． ······························································· 5分（Ⅱ）不能． ································································································· 6分

22(1)18xy 由（Ⅰ）知l的方程为 (4)ykx，其中12k≤．

圆C的圆心为(42)C，，半径2r．圆心C到直线l的距离

221dk． ······························································································ 9分

由12k≤，得415d≥，即2rd．从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于23．所以l不能将圆C分割成弧长的比值为12的两段弧． 12分 2．（江苏18）（16分）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数2()2()fxxxbxR的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：（1）求实数b的取值范围（2）求圆C的方程（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。【解析】：本小题考查二次函数图像和性质、圆的方程的求法。（1）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0 （2）设所求圆的一般方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0 令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b 令x=0，得y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1 所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0 （3）圆C必过定点（0，1），（-2，1）证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0 所以圆C必过定点（0，1）；同理可证圆C必过定点（-2，1）。