关于总体均值的统计推断

第五章 关于总体均值的统计推断习题5.11. 什么是参数，统计量，估计量？ 答：所谓总体参数，通常是指描述总体分布的一些特征，例如总体的均值（数学期望）、方差或标准差等等．一般，如果由总体抽得一个容量为的样本，则一个不包含任何未知参数的样本函数就称为一个统计量．一般地说，如果θ是一个未知的总体参数，当要对θ进行估计时，总是去寻找一个合适的统计量12()n X X X θθ∧∧= ，，，，在取得样本观察值后，就计算出统计量θ∧的值作为对未知参数的一个估计值．这样对未知参数给出一个具体数值的估计方法称为参数的点估计．用于估计未知参数θ的统计量θ∧称为θ的一个估计量，或者简称为θ的一个估计．2. 如何理解统计量是随机变量？答：在没有得到具体样本观察值时，虽然可以给出一个统计量的表达式，但是我们无法确定它的具体取 值，因而它是一个随机变量，它的取值将随着所得到的样本观察值的不同而改变；然而，一旦获得了具体的样本观察值，那么我们就可以按照所给表达式确定地计算出一个统计量的值．3. 对某城市内两个地点的距离作了4次测量，结果如下（单位：m ）：2781，2836，2763，2858已知测量方法和仪器都无系统误差，求此距离的估计值．解：用样本均值作为总体均值μ的估计．计算得__1(2781283627632858)2809.54X μ∧==+++=所以总体均值μ被估计为2809.5μ∧=（m ）．习题 5.21．在总体中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值___X 落在50.8到53.8之间的概率．解：这是一个正态总体的样本，其容量36n =．由（5.2）__(0,1)N 所以有 ______(50.853.8)P X P <<=<<( 1.14 1.71)(1.71)( 1.14)(1.71)[1(1.14)]0.9564(10.8729)0.7293P Z =-<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=--=．2．某车间生产滚珠，假定滚珠直径X 服从正态分布，方差是0.05．从某天的产品里随机抽取6个，量得直径为（单位：mm ）：14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1．试求出该天平均直径的95%的置信区间．解：因为总体服从正态分布，且方差已知，所以用公式______1122X Z X Z αα--⎡⎤-+⎢⎣． 因为置信水平为10.95α-=，所以10.9752α-=．由已知有09751.96Z =.．由题可求得___14.95X =．将___0975014.95, 1.96,6X Z n σ====.代入公式得置信度为95%的置信区间是[]14.231,15.129．3．用一仪器间接测量温度，重复测量了５次，结果如下（单位：）：1250,1265,1245,1260,1275．假定测得温度值服从正态分布，并且所用仪器没有系统误差，试求温度真值的置信度为95%的区间估计．解：因为总体服从正态分布，且方差未知，所以用公式______1122(1),(1)X t n X t n αα--⎡⎤--+-⎢⎣．因为置信水平为10.95α-=，所以10.9752α-=．由题中数据可求得___1259,142.5X S ==．将___09751259,(4) 2.7764,142.5,5X t S n ====.代入公式得置信度为95%的置信区间是[]1244.179,1273.822．4．从某县小学五年级数学测试中随机抽取152份作文试卷，计算得到平均分___71.4X =，标准差11.3S =．试求该县此次测验总平均分的置信度为99%的区间估计．解：因为样本容量152n =比较大，所以用正态分布来求近似的区间估计．由于总体方差未知，所以我们用公式______1122X Z X Z αα--⎡⎤-+⎢⎣．因为置信水平为10.99α-=，所以10.9952α-=．由已知有09952575Z =..． 将___0995714, 2.575,11.3,152X Z S n ====..代入公式得置信度为99%的置信区间是[]69.0399,73.7601．习题 5.31．某饲养场声称其所培养的蛋鸡所产蛋的平均重量达到每个70克．如果要用假设检验方法对此断言作出判断，以公式化形式给出原假设0H 是什么？答：以μ表示该饲养场培养的蛋鸡所产蛋的平均重量，那么前述的原假设可以表示为0H ：250μ=．2．用统计方法检验假设0H ：某品种苹果的平均重量每个为200克．如果统计检验得到的决断是在显著水平0.10α=时拒绝原假设0H ，试问这意味着什么？答：假设检验作出的统计判断是拒绝原假设0H ，即认为原假设0H 不成立，但可能原假设0H 恰恰成立．发生这种错误的概率是我们指定的显著水平α．也就是说我们作出拒绝原假设0H 的判断时有10%的风险．习题 5.41．某地区7岁男童的平均体重为2161kg .，标准差为2.21kg ，从该地区一个小学中随机抽取70位7岁男童称体重，计算得到他们的平均体重为229kg .．一般认为体重服从正态分布，试在0.05α=的显著水平上，检验该校7岁男童的平均体重与全地区平均值相等的假设．解：根据题意，如果以μ表示该校7岁男童的平均体重，则现在要检验的假设是 0H ：2161μ=.， 1H ：2161μ≠.．由于总体方差已知，所以我们用统计量___Z =．因为置信水平为10.95α-=，所以10.9752α-=．所以假设检验的拒绝域为{ 1.96}C Z Z =≥． 将___0022.9,21.61, 2.21,70X n μσ====代入统计量中得___4.884Z ===.因为计算出来的值落在拒绝域C 中，所以我们在的显著水平上拒绝原假设0H ，即认为该校7岁男童的平均体重与全地区平均值不相等．2．某一年高考中，某市物理考试的平均成绩为75．从该市郊区考生中，随机抽取了25名考生，得到他们的物理考试成绩如下：68,65,76,75,89,81,85,61,73,48,64,94,67,70,76,87,75,50,62,66,73,83,64,69,79．如果这次物理考试成绩服从正态分布，试问该市郊区考生的物理平均成绩是否与全市平均相同（显著水平0.10α=）？解： 根据题意，如果以μ表示该市郊区考生的物理平均成绩，则现在要检验假设0H ：75μ=， 1H ：75μ≠.由于总体方差未知，所以我们用统计量___T =．因为置信水平为10.90α-=，所以10.952α-=．所以假设检验的拒绝域为{ 1.7109}C T T =≥．将___072,75,25X S n μ====代入统计量中得___0.7476X T -===．因为计算出来的值不在拒绝域C 中，所以我们接受原假设0H ，即认为该市郊区考生的物理平均成绩与全市平均成绩相同．3．某工厂制成一种新的钓鱼绳，声称其平均折断力（N ）为15．为检验15这个指标是否属实，随机抽取该厂产品24件，测得平均折断力是14.75，样本标准差是 0.5．试分别在0.010.05α=，的不同显著水平上，检验15这个平均折断力的指标．解： 根据题意，如果以μ表示该工厂制成一种新的钓鱼绳的平均折断力，则现在要检验的假设是0H ：14.75μ=， 1H ：14.75μ≠.由于总体方差未知，所以我们用统计量___T =．因为显著水平为0.01α=，所以10.9952α-=．由已知有0995(23) 2.8073t =.，所以假设检验的拒绝域为{28073}C T T =≥.．将___14.75,0.5,24X S n ===代入___T =统计量中得___2.4495T ===．因为计算出来的值不在拒绝域C 中，所以我们接受原假设0H ，即认为平均折断力为15．习题 5.51．进行一项家庭经济情况的社会调查．从甲城市随机抽取了500户的家庭样本，每户每月的平均消费开支为640元．从乙城市随机抽取了400户的家庭样本，每户每月的平均消费开支为590元．根据历史资料，这两城市的家庭消费开支是服从正态分布的，标准差为125元．试在0.05α=的水平上检验，这两城市一个家庭的月平均消费开支是否有差异？解: （1）提出假设0120H μμ-=：, 1120H μμ-≠： .（2）由显著水平0.05α=，由标准正态分布表查得0.975121.96ZZ α-==，即拒绝域{}1.96C Z Z =≥.（3）根据题目所给，____22212500125m X Y σσ===，n=400，=640，=590，，代入____()Z X Y =-得____()() 2.817Z X Y =-=-=118.64117.68 . 由于 1.96Z ≥，因此拒绝原假设0H ，即认为这两城市一个家庭的月平均消费开支有差异．2．为比较两个煤矿所产煤的品质，随机抽取了若干个样本，测量得每吨煤所释放的热量数据列于表5.2．如果假设两矿煤释放的热量都服从正态分布，且方差相等．试在0.05α=的水平上检验，该两矿生产的每吨煤所释放的平均热量是否相等？解:（1）提出假设0120H μμ-=：, 1120H μμ-≠：（2）由显著水平0.05α=，自由度25528m n +-=+-=，从t 分布表查得0.97512(8)(39) 2.3060tt α-==，得拒绝域{}2.3060C T T =≥． （3）根据题目可得，____221256220013750m X Y S S ===，n=5，=8160，=7730，，，代入____()T X Y =-____()(81607730)430 3.4889T X Y =-=-==（4）由于 2.3060T ≥，因此拒绝原假设0H ，即认为这两矿生产的每吨煤所释放的平均热量不相等．3．调查不同的小麦中的营养成份．从A 品种小麦中抽取了10个样品，测出其蛋白含量平均为__X =14.3%，样本标准差1S =1.621；从B 品种小麦中抽取了8个样品，测出其蛋白含量平均为__X =11.7%，样本标准差2S =0.935．试以95%的置信度，给出这两个品种小麦蛋白质含量平均值之差的区间估计（假定这两个品种小麦中蛋白质的含量都服从正态分布，且方差相等）．解: 以1μ记A 品种小麦蛋白质含量平均值，2μ记B 品种小麦蛋白质含量平均值．现在要求作出12μμ-的置信区间．由于两总体的方差都不知道，所以考虑估计式____12()(X Y t m n α--±+-．当然这要满足前提条件：两个总体方差相等，即2212σσ=，这里暂时先承认2212σσ=．所要求区间估计的置信度10.9510.9752αα-=-=，．自由度2108216m n +-=+-=，从t 分布表中查得0.975(16) 2.1199t =．将108m n ==，，____1214.3%11.7% 1.6210.935X Y S S ====，，，代入估计式，得____12()((14.3%11.7%) 2.11990.026 1.3716X Y t m n α--±+-=±=±-即所求置信区间是[]1.34561.3976-，．习题 5.61. 某商店经理想了解星期六和星期日的营业额收入是否有差异，随机选取了16个星期，记录净收入如表5.5．如果星期六与星期日营业净收入之差服从正态分布．试在的显著水平上检验两天的营业净收入之间无差异这一假设．解: （1）提出假设00H μ=：, 10H μ≠：（2）由显著水平0.05α=，自由度115n -=，从t 分布表查得0.97512(15)(15) 2.1314tt α-==，得拒绝域{}2.1314C T T =≥．（3）根据表 5.4所给数据，计算得到Z —=0.1556，S=0.1224，n=9，，代入（5.18）式得 __3.8137T ===（4）由于T 的值落在拒绝域{}2.3060C T T =≥内，所以我们拒绝（5.17）式中原假设0H ，接受备择假设1H ，即认为星期六与星期日营业净收入有显著差异．2. 为了准备参加英语竞赛，某校选取了15名学生进行英语词汇训练，这些学生在训练前与训练后都作了测试，成绩列于表5.6中．如果两次测试分数之差服从正态分布，在0.05α=的显著水平上，能否作出“训练有效果”的断言？解: （1）提出假设00H μ=：, 10H μ≠：（2）由显著水平0.05α=，自由度114n -=，从t 分布表查得0.97512(14)(14) 2.1448tt α-==，得拒绝域{}2.1448C T T =≥．（3）根据表5.4所给数据，计算得到Z —=1.7333，S=10.7810，n=15，，代入（5.18）式得 __2.0445T ===1.7333（4）因为计算出来的值不在拒绝域C 中，所以我们接受原假设0H ，即认为训练前与训练后没有显著差异，因而不能作出“训练有效果”的断言．复习题五1. 随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其平均长度为（厘米）．设钉长总体服从正态分布，并且（厘米），试求总体均值的90%的置信区间．解：因为总体服从正态分布，且方差已知，所以用公式______1122X Z X Zαα--⎡⎤-+⎢⎣．因为置信水平为10.90α-=，所以10.952α-=．由已知有0951.645Z≈.．将___09502.125, 1.645,0.01,16X Z nσ=≈==.代入公式得置信度为90%的置信区间是[]1.7138,2.5363．2.测得一圆孔的直径．测量6次得直径平均值为1.495（cm），样本方差为0.00051（cm2）．试求孔径的置信区间（置信度分别为0.95，0.99）．解：因为总体服从正态分布，且方差未知，所以用公式______1122(1),(1)X t n X t nαα--⎡⎤--+-⎢⎣．当置信水平为10.95α-=，所以10.9752α-=．由题中数据可求得．将___209751.495,0.00051,(5)2.5706,6X S t n====.代入公式得置信度为95%的置信区间是0510.000511.49506952.570⎡-+⎢⎣，即[]1.471,1.519．当置信水平为10.99α-=，所以10.9952α-=．可得0995(5) 4.0321t=.，代入公式得置信度为99%的置信区间是1.495 4.0321 4.0321⎡-+⎢⎣，即[]1.458,1.532．3.某林场造丰产林若干亩．五年后抽测50棵得树高的平均值为9.2米，标准差为0.5米，问丰产林的树高与10米的差异是否显著（显著水平0.05α=）？解：（1）因为样本容量50n=比较大，所以我们用统计量___Z=．现在要检验假设H：10μ=，1H：10μ≠.（2）因为置信水平为10.95α-=，所以10.9752α-=．查表可得0975 1.96Z =.．所以假设检验的拒绝域为{ 1.96}C Z Z =≥．（3）将___09.2,10,0.5,50X S n μ====代入统计量中得___11.312X T -===-．（4）因为计算出来的值在拒绝域C 中，所以我们拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，即认为丰产林的树高与10米的差异显著．4. 从市场上供应的某种润滑油中随机抽取10瓶，称得其重量数据为10.2，9.7，10.1，10.3，10.1，9.8，9.9，10.4，10.3，9.8．假定重量服从正态分布，试在0.01α=的显著水平上，检验“瓶装润滑油平均重量为10”这个假设．10.99α-=，所以10.9952α-=．可得0995(5) 4.0321t =.，解：（1）我们用统计量___T =．现在要检验假设0H ：10μ=， 1H ：10μ≠. （2）因为置信水平为10.99α-=，所以10.9952α-=．查表可得0995(9) 3.2498t =.．所以假设检验的拒绝域为{ 3.2498}C T T =≥．（3）计算可得___2010.06,10,0.0604,10X S n μ====代入统计量中得___0.772T ===．（4）因为计算出来的值不在拒绝域C 中，所以我们接受原假设0H ，即认为瓶装润滑油平均重量为10.5. 试讨论在正态总体条件下，总体均值μ的1α-置信度区间估计与以显著水平α检验假设（5.8）之间的相互关系．答：总体均值μ的1α-置信度区间估计与以显著水平α检验假设（5.8）之间的有某种等价关系.6. 研究冰的熔化潜热使用电学法（A ）和混合法（B ）．用这两种不同方法对-0.72℃的样品进行测量，得到从至时水的总热量变化数据如下：A 方法：79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.02，80.04，79.97，80.05，80.03，80.02，80.00B 方法：80.02，79.947，79.98，79.97，79.97，80.03，79.95，79.97 如果上述实验数据被认为是服从正态分布的，并且方差相等．（A ）试在0.05α=的显著水平上，检验两种方法所得数据的均值相等的假设；（B ）试以95%的置信度，求出这两种不同方法均值之差的置信区间．解: 以1μ记电学法（A ）得到的实验数据平均值，2μ记混合法（B ）得到的实验数据平均值．（A ）（1）提出假设0120H μμ-=：, 1120H μμ-≠：（2）由显著水平0.05α=，自由度2138219m n +-=+-=，从t 分布表查得0.97512(19)(19) 2.0930tt α-==，得拒绝域{}2.0930C T T =≥． （3）根据题目可得，____2212130.00057430.0009839m X Y S S ===，n=8，=80.0208，=79.9788，，，代入____()T X Y =-____()()/0.042/0.0121 3.4708T X Y =-=-==80.020879.9788（4）由于 2.0930T ≥，因此拒绝原假设0H ，即认为两种方法所得数据的均值不相等.（B ）现在要求作出12μμ-的置信区间．由于两总体的方差都不知道，所以考虑估计式____12()(X Y t m n α--±+-．当然这要满足前提条件：两个总体方差相等，即2212σσ=，这里暂时先承认2212σσ=．所要求区间估计的置信度10.9510.9752αα-=-=，．自由度2138219m n +-=+-=，从t 分布表中查得0.97512(19)(19) 2.0930tt α-==．将____2212130.00057430.0009839m X Y S S ===，n=8，=80.0208，=79.9788，，，代入估计式，得____12()(() 2.09300.0420.0253X Y t m n α--±+-=±=±80.0208-79.9788即所求置信区间是[]0.01670.0673，．7．某人由于搬家，上班的路程也有了变化．现在他上班有A 、B 两条路径可以选择．为了探明哪条路径更为快捷，他作了一番试验．在头一周，他星期一、三、五选择路径A 上班，星期二、四选择路径B 上班．第二周则在星期一、三、五选择路径B 上班，星期二、四选择路径A 上班．表5.16是他在这两周中上班路程上所花时间的记录．试在0.10α=的显著水平上，以成对数据的检验方法判断沿A 、B 两条路径上班所花费时间是否相同？解: 以1μ记沿A 路径上班所花费时间平均值，2μ记沿B 路径上班所花费时间平均值．（1）提出假设00H μ=：, 10H μ≠：（2）由显著水平0.10α=，自由度14n -=，从t 分布表查得0.9512(4)(4)2.1318t t α-==，得拒绝域{}2.1318C T T =≥． （3）根据表 5. 16所给数据，计算得到Z —2=1.18，S =2.007，n=5，，代入（5.18）式得 __1.8625T ===．（4）因为计算出来的值不在拒绝域C 中，所以我们接受原假设0H ，即认为沿A 、B 两条路径上班所花费时间相同.。