函数的周期性-奇偶性-对称性经典小题练(含答案)
专题05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题(原卷版)
专题05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题【高考真题】1．(2022·全国乙文)若()1ln 1f x a b x=++-是奇函数，则=a _____，b =______． 2．(2022·新高考Ⅱ)已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑()A ．3-B ．2-C ．0D ．13．(2022·全国乙理)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )＋g (2－x )＝5，g (x )－f (x －4)＝7．若y ＝g (x )的图像关于直线x ＝2对称，g (2)＝4．则221()k f k ==∑( )A ．－21B ．－22C ．－23D ．－244．(2022·新高考Ⅰ)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x + 均为偶函数，则( )A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -= D ．(1)(2)g g -= 【常用结论】1．函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． 结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇()⨯÷奇＝偶，偶()⨯÷偶＝偶，奇()⨯÷偶＝奇．结论7：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论8：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论9：函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数； 结论10：函数f (x )＝log a x －bx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a (1＋m 2x 2±mx )(a >0且a ≠1)是奇函数．结论11：函数y ＝f (x )是可导的奇函数，则导函数y ＝f ′(x )是偶函数；函数y ＝f (x )是可导的偶函数，则导函数y ＝f ′(x )是奇函数；结论12：导函数y ＝f ′(x )是连续的奇函数，则所有的原函数y ＝f (x )都是偶函数；导函数y ＝f ′(x )是连续的偶函数，则原函数y ＝f (x )中只有一个是奇函数；2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y ＝f (x )满足f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (－x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0（y 轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称．推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 轴对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a －x )＝f (x )⇔f (2a ＋x )＝f (－x )若函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔f (2a ＋x )＝－f (－x )(4)原函数与导函数的对称性的关系定理1：可导函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称的充要条件是导函数y ＝f ′(x )的图象关于点(a ，0)中心对称．定理2：可导函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，f (a ))中心对称的充要条件是导函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝a 对称．3．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ； 结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ； 结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论10：若函数f (x )可导，并且是周期为T 的周期函数，则f ′(x )也是的周期为T 的周期函数；若函数f (x )可导，其导函数f ′(x )是周期为T 的周期函数，且f (0)＝f (T )，则f (x )也是的周期为T 的周期函数结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．【同类问题】题型一 函数的奇偶性与周期性1．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．12．(2021·全国甲)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b ．若f (0)＋f (3)＝6，则f ⎝⎛⎭⎫92等于( )A ．－94B ．－32C ．74D ．523．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，f (x ＋2)是偶函数，且当x ∈(0，2]时，f (x )＝x ，则f (－2 022)＋f (2023)＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．04．(多选)(2022·威海模拟)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是偶函数，则( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x ＋3)是偶函数D ．f (x )＝f (x ＋4)5．(多选)已知f (x )为奇函数，且f (x ＋1)为偶函数，若f (1)＝0，则( )A ．f (3)＝0B ．f (3)＝f (5)C ．f (x ＋3)＝f (x －1)D ．f (x ＋2)＋f (x ＋1)＝16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 022)＝________．7．(多选)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－2，0]上单调递减，下面关于f (x )的判断正确的是( )A ．f (0)是函数的最小值B ．f (x )的图象关于点(1，0)对称C ．f (x )在[2，4]上单调递增D ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称8．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式____________．9．函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)的值为________．题型二 函数的奇偶性与对称性10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是( )A ．y ＝(x －1)f (x －1)B ．y ＝(x ＋1)f (x ＋1)C ．y ＝xf (x )＋1D ．y ＝xf (x )－111．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )的周期为2，在[－1，0]上单调递增，那么f (x )在[1，3]上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在区间[1，2]上单调递减，令a ＝ln 2，b ＝⎝⎛⎭⎫14－12，c ＝log 122，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是( ) A ．f (b )<f (c )<f (a )B ．f (a )<f (c )<f (b )C ．f (c )<f (b )<f (a )D ．f (c )<f (a )<f (b ) 13．定义在R 上的奇函数f (x )，其图象关于点(－2，0)对称，且f (x )在[0，2)上单调递增，则( )A ．f (11)<f (12)<f (21)B ．f (21)<f (12)<f (11)C ．f (11)<f (21)<f (12)D ．f (21)<f (11)<f (12)14．写出一个满足f (x )＝f (2－x )的偶函数f (x )＝________．题型三 函数的周期性与对称性15．(多选)已知f (x )的定义域为R ，其函数图象关于直线x ＝－3对称且f (x ＋3)＝f (x －3)，当x ∈[0，3]时，f (x )＝2x ＋2x －11，则下列结论正确的是( )A ．f (x )为偶函数B ．f (x )在[－6，－3]上单调递减C ．f (x )的图象关于直线x ＝3对称D ．f (2 023)＝－716．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2 025)＝________．17．已知偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )是以2为周期的周期函数B ．函数f (x )是以4为周期的周期函数C ．函数f (x ＋2)为偶函数D ．函数f (x －3)为偶函数18．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (1＋x )＝f (1－x )，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 023)等于( )A ．1B ．－2C ．－1D ．219．已知函数f (x )满足：f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且f (x ＋2)＝1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋112， 则f ⎝⎛⎭⎫2192的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．620．设函数f (x )为定义在R 上的函数，对∀x ∈R 都有：f (x )＝f (－x )，f (x )＝f (2－x )；且函数f (x )对∀x 1，x 2∈[0，1]，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫2 0232，b ＝f (log 43)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫－14，则a ，b ，c 的大小关系为________．21．(多选)已知奇函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2＋x )＝f (2－x )，以下关于函数f (x )的说法正确的为( )A ．f (x )满足f (8－x )＝f (x )B ．8为f (x )的一个周期C ．f (x )＝sin πx 4是满足条件的一个函数 D ．f (x )有无数个零点 22．(多选)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则下列结论错误的是( )A ．f (2 021)＝0B ．2是f (x )的一个周期C ．当x ∈(1，3)时，f (x )＝(1－x )3D ．f (x )＞0的解集为(4k ，4k ＋2)(k ∈Z ) 题型四 抽象函数23．设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________．24．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，则f (4)＝________．25．(多选)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，则函数f (x )满足( )A ．f (0)＝0B ．y ＝f (x )是奇函数C ．f (x )在[1，2]上有最大值f (2)D ．f (x －1)＞0的解集为{x |x ＜1}26．已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，如果x 满足f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －3≤2， 则x 的取值范围为________．。
高三数学周期性和对称性试题答案及解析
高三数学周期性和对称性试题答案及解析1.设是定义在R上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为．【答案】【解析】∵是定义在R上且周期为2的函数，即，∴，即①．又∵，，∴②．联立①②，解得，．∴．2.已知函数，记，，，，则()A．lg109B．2C．1D．10【答案】D【解析】∵，∴，∴，，，，故选D.【考点】1分段函数；2函数的周期性。
3.函数的定义域为实数集，对于任意的都有.若在区间上函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】因为对任意的都有，所以函数的周期为2. 由在区间上函数恰有四个不同的零点，即函数在上有四个不同的零点.即函数与函数在有四个不同的交点.所以.解得.故选D.【考点】1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.4.定义在上的函数满足，则 .【答案】.【解析】当时，，则当时，，故函数在上是周期为的周期函数，所以.【考点】1.分段函数；2.函数的周期性5.定义在上的函数满足则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，故选D.【考点】1.函数的周期性；2.分段函数；3.对数的运算6.设是周期为2的奇函数，当时，=，=______.【答案】．【解析】由题意.【考点】函数的性质及解析式.7.定义在上的函数满足，当时,,当时,.则=（）A．338B．337C．1678D．2013【答案】B【解析】因为，定义在上的函数满足，所以，，是周期为6的周期函数.又当时,,当时,.所以，，故=，选B.【考点】函数的周期性，函数的概念.8.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是( )A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】由知，函数是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出和的图像，有图可知零点个数为4个.【考点】1、周期函数；2、函数的图像；3、函数的零点.9.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间[-1,3]内，函数有4个零点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】 C【解析】因为，可得，所以是周期为2的函数，又因为是偶函数，且时，，所以当时，.综上时，. 由于函数有4个零点，故与直线有四个交点.如下图：恒过点，要使它们有四个交点，则直线必过，把代入，得，数形结合可得实数的取值范围是.【考点】1.函数的周期性；2.函数的零点.10.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=．【答案】【解析】由知，为函数的对称轴，所以，因为α∈(0,π)，所以，得或.【考点】函数对称性、正弦函数性质.11.给出下列五个命题：①函数在区间上存在零点；②若，则函数在处取得极值；③“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；④函数的图像与函数的图像关于轴对称；⑤满足条件AC=，AB =1的三角形△ABC有两个．其中正确命题的是 .【答案】①③④【解析】①,,则在处取得极值.故正确;②如函数，，而在R上无极值.故错误；③当时，即为奇函数；由在定义域上是奇函数有，则 . 故正确.④设函数的图像上一点，则关于轴的对称点为，此点在图像上,故正确；⑤，而，故 .则这样的三角形只有1个，故错误.【考点】1.函数的零点；2.函数的极值；3.奇函数的判定；4.解三角形解的个数；5.命题的真假.12.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.【答案】16；【解析】依题意，为偶函数，展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.【考点】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.13.若对任意的，函数满足，且，则（）A．0B．1C．-2013D．2013【答案】D【解析】由，且，令，可知令，可知依次类推，可得【考点】本小题主要考查抽象函数及其应用.点评：解决抽象函数问题的主要方法是“赋值法”，而且此类问题一般和函数的周期性结合考查.14.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为．【答案】-10.【解析】是定义在R上且周期为2的函数，,,又，...（1）又f(-1)=f(1), (2)由(1)(2)解得a=2,b=-4..15.设偶函数对任意，都有，且当时，,则= A．10B．C．D．【解析】解：因为f（x+3）="-1" /f(x) ，故有f（x+6）="-1" /f(x+3) ="-1/(" -1 /f(x)) =f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）="-1" /f(2.5) ="-1" /f(-2.5) ="-1/" 4×(-2.5) ="1" /10 ．故选B16.若是定义在上的函数，对任意的实数，都有和且，则的值是A．2009B．2010C．2011D．2012【答案】D【解析】因为，所以又，所以则；故有；所以故选D17.函数与的图象关于（▲ ）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y=x对称【答案】C【解析】本题考查函数图像的对称性.函数的图像关于y轴对称；函数的图像关于x轴对称；函数的图像关于原点轴对称；设是函数图像上任意一点，即则点关于原点的对称点为于是，即的坐标满足函数的解析式，所以点是函数的图像上的点；因此函数与的图象关于原点对称.故选C18.已知是以2为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（其中走为不等于l的实数）有四个不同的实根，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】略19.将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与（－6，8）重合，则与点（－4，2）重合的点是（）A．（4，－2）B．（4，－3）C．（3，）D．（3，－1）【答案】A【解析】略20.设是定义在上的以为周期的奇函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】根据周期为3，得到f（-2）=f（1），根据函数为奇函数，得到f（-2）=-f（2），从而求出a的取值范围．解：f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f（-2）=f（-2+3）=f（1）＞1而f（-2）=-f（2）=＞1解得-1＜a＜故选C．21.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－ w_w_w.k*s 5*u.c o*m于是－＝1 Þ m＝－2答案：A22.若函数的图像关于直线对称，则为A．B．C．D．任意实数【答案】B【解析】考查反函数，因为图像本身关于直线对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。
函数的奇偶性、周期性与对称性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)
考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称； 函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =； 偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++ ④函数2()log (1)a f x x x =+或函数2()log (1)a f x x x =+． 注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-； （2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.4.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-． （2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即(0)f 有意义，那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=，则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质 （1）两个奇函数的和仍为奇函数； （2）两个偶函数的和仍为偶函数； （3）两个奇函数的积是偶函数； （4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
高三数学周期性和对称性试题
高三数学周期性和对称性试题1.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2015)＝()A．B．C．13D．【答案】B【解析】由f(x)f(x＋2)＝13，得f(x＋2)f(x＋4)＝13，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，故f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝＝，故选B.2.函数图像的对称中心是．【答案】【解析】因为，而函数为奇函数，对称中心是，因此函数图像的对称中心是【考点】奇函数性质，图像变换3.设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真【答案】C【解析】由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题由此结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题考查四个选项，C选项正确，故选C4.已知函数，记，，，，则()A．lg109B．2C．1D．10【答案】D【解析】∵，∴，∴，，，，故选D.【考点】1分段函数；2函数的周期性。
5.设定义在上的函数满足，若，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴是一个周期为4的周期函数，∴．∵，∴＝＝．【考点】抽象函数．6. x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【答案】D【解析】因为f(x+1)=(x+1)-[x+1]=(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x).所以f(x)是周期函数,故选D.7.设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．B．是的极小值点C．是的极小值点D．是的极小值点【答案】D【解析】因为是函数的极大值点，并不是函数的最大值点所以A选项不正确.B选项中函数的图像表示与函数的图像是关于y轴对称.所以是函数的的极大值点.所以B选项不正确.C选项中函数图像与函数的图像关于x轴对称.所以是函数的的极小值点.所以C选项不正确.因为图像是关于中心对称.所以D选项正确.故填D.【考点】1.函数图像的对成性.2.学会看函数的表达式来了解函数的性质.8.设，两个函数，的图像关于直线对称.（1）求实数满足的关系式；（2）当取何值时，函数有且只有一个零点；（3）当时，在上解不等式．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）两个函数的图象关于某条直线对称，一般都是设是一个函数图象上的任一点，求出这个点关于直线对称的点，而点就在第二个函数的图象上，这样就把两个函数建立了联系；（2）函数有且只有一个零点，一般是求，通过讨论函数的单调性，最值，从而讨论零点的个数，当然本题中由于与的图象关于直线对称，因此的唯一零点也就是它们的的唯一交点必在直线上，这个交点是函数图象与直线的切点，这样我们可从切线方面来解决问题；（3）考虑，当然要解不等式，还需求，讨论的单调性，极值，从而确定不等式的解集．试题解析：（1）设是函数图像上任一点，则它关于直线对称的点在函数的图像上，，.（2）当时，函数有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线对称，两个函数图像的交点就是函数，的图像与直线的切点.设切点为，，，，,当时，函数有且只有一个零点；（3）当时，设，则，当时，，，当时，，．在上是减函数.又＝0，不等式解集是．【考点】（1）两个函数图象的对称问题；（2）函数的零点与切线问题；（3）解函数不等式．9.已知R上的连续函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。
函数的对称性与周期性(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第2讲函数的对称性与周期性【考点分析】1.函数的对称性、周期性是高考命题热点，近两年新高考都考了一道选择题，分值5分，知识点比较灵活，需要全面掌握常见对称性，周期性的结论考点一：函数常见对称性结论①若函数()x f 对于任意的x 均满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．②若函数()x f 对于任意的x 均满足()()2f a x f a x b ++-=则()y f x =关于点()a b ，对称．考点二：函数常见周期性结论若函数对于任意的x 都满足()()x f T x f =+，则T 为()x f 的一个周期，且()()x f nT x f =±几个常见周期性结论①若函数()y f x =满足()()f x m f x +=-，则2T m =．②若函数()y f x =满足)((1)f x m f x =±＋，则2T m =．③若函数()y f x =满足1()()1()f x f x m f x -+=+，则2T m =．④若函数()y f x =满足()()b x f a x f +=+，则a b T -=．⑤若函数()y f x =的图象关于直线x a =，x b =都对称，则()f x 为周期函数且2||b a -是它的一个周期．⑥函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点0()A a y ，、0()B b y ，都对称，则函数()y f x =是以2||b a -为周⑦函数()y f x =()x R ∈的图象关于0()A a y ，和直线x b =都对称，则函数()y f x =是以4||b a -为周期的周期函数．⑧若函数()y f x =满足1()()1()f x f x m f x ++=-，则函数()f x 是以4m 为周期的周期函数．【题型目录】题型一：利用周期性求函数值题型二：利用周期性求函数解析式题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用【典型例题】题型一：利用周期性求函数值【例1】设()f x 是定义在R 上周期为2的函数，当(11]x ∈-，时，2210()01x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，，其中m R ∈．若13(()162f f =，则m 的值是．答案：1解析： ()x f 是定义在R 上周期为2的函数，当(11]x ∈-，时，2210()01x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，，∴m m f f +-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛432122121232，41161161==⎪⎭⎫⎝⎛f ，∴14341=⇒+-=m m 【例2】设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________答案：5.0-解析： (2)()f x f x +=-，∴()x f 是周期为4的函数，所以()()()5.05.05.05.7-=-=-=f f f 【例3】定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()()112,214f x f x f f x -+==+，则()2016f 等于A.14B.12C.13D.35答案：D解析： ()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f x f =+-++--=+++-=+11111121214，所以()x f 是周期为4的函数，()()()()53212142016=+-==f f f f 【例4】（重庆南开高一上期中）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=,且()11f =,则()()20202019f f -的值为()A.1-B.0C.1D.2答案：C解析： ()()4f x f x +=所以4=T ，所以()()002020==f f ，()()()1112019-=-=-=f f f ，所以()()()20202010119f f =--=-【例5】（2022·云南昭通·高一期末）已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，且周期为2，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，则132f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=（）A ．1B ．1C 1D ．1【题型专练】1.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()22f x x x =+，则()15f =（）A ．3B ．3-C ．255D ．255-【答案】B【分析】根据题意可知()f x 是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.【详解】由()()2f x f x +=-可得，()()42=()f x f x f x +=-+，故()f x 是以4为周期的周期函数，故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-，故选：B2.（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(6)()f x f x +=-，若当[]3,0x ∈-时，()6x f x -=，则(2021)f =（）A ．0B ．1C ．6D ．216【答案】C【分析】由(6)()f x f x +=-可得函数周期为6，进而(2021)(33761)(1)f f f =⨯-=-，最后求出答案.【详解】根据题意，偶函数()f x 满足(6)()f x f x +=-，即(6)()f x f x +=，()f x 是周期为6的周期函数，则(2021)(33761)(1)f f f =⨯-=-，当[3,0]x ∈-时，()6x f x -=，则1(1)66f -==，故(2021)6f =故选：C3.（重庆南开高一上期末）函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()00f ≠.若对任意实数x ，y 都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝+⎪⎭，则()2020f =（）A.B.-1C.0D.1答案：D解析：由题意知，令0==y x ，可得()()02022f f =，因()00f ≠，所以()10=f 102f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以()()0212121=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++x x f x x f x f x f ，所以()()x f x f -=+1，所以2=T ，所以()()102020==f f 4．（2022·云南红河·高一期末）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，R x ∀∈，都有(4)()f x f x +=，若当[0,1]x ∈时，2()log ()f x x a =+，则(7)f -=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】()f x 是定义在R 上的奇函数得a ，有(4)=()f x f x +得到()f x 是周期函数，利用函数周期性可得答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)=0f ∴，得=1a ，∴当[]0,1x ∈时，2()log (1)=+f x x ，R x ∀∈，都有(4)=()f x f x +，()f x ∴是周期为4的周期函数，()()()7=7811f f f ∴--+==.故选：C.5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()22f x f x -=+，又当(]0,1x ∈时，()3xf x =，则131log 72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．题型二：利用周期性求函数解析式【例1】已知定义在实数集R 上的函数()x f 满足：（1）()()x f x f =-；（2）()()x f x f -=+22；（3）当[]2,0∈x 时解析式为12-=x y ，当[]0,4-∈x 时，求函数的解析式。
函数的奇偶性和周期性(含解析)
函数奇偶性和周期性一、必备知识：1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数:一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数． (2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件． 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ； (2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ . 7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a ，0)，B (b ，0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b ，0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |. 自查自纠：1．(1)f (－x )＝f (x ) (2)f (－x )＝－f (x ) 2．Y 轴 原点3．原点对称 原点对称 必要不充分4．(1)非零常数 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小 5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6．奇 偶 偶 偶 奇二、题型训练题组一 1．函数()2lg 1()22x f x x -=--是_____________函数。
函数的奇偶性与周期性试卷(十四)(含答案)(真题).doc
函数的奇偶性与周期性试卷14.定义在R 上的偶函数/(%)满足：对任意的X 1?X 2G ［0,+OO )3 H X 2) 必少如＜0.则x 2 一兀1A. /⑶ 5—2)5)h(x) = ,则“ f(x) , g(x)均为偶函数”是“加兀)为偶函数”的 A.充要条件 B.充分而不必要的条件 G 必要而不充分的条件 D ・既不充分也不必要的条件4 .奇函数f(0在区间［3, 7］上递增，且最小值为5,那么在区间［ — 7, —3］上是()A. 增函数且最小值为一5B. 增函数H.最大值为一5C. 减函数J1最小值为一5D. 减函数且最大值为一55 .下列函数中，在其定义域内既是奇函数乂是减函数的是( )A. y = e xB. y = sin xC. y = -x 3D. y = log, x6 .已知/(兀)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数都有f (a • b) = qf (b) + b 、f (a),贝ij()A.于(兀)是奇函数，但不是偶函数B. /(x)是偶函数，但不是奇函数C. /(兀)既是奇函数，又是偶函数D. /(兀)既非奇函数，又非偶函数姓名 _____一、选择题(51分)班级 学号 分数.已知函数/(%) =-x 2 +x(x > 0) 兀2+兀(兀5 0)，则的奇偶性依次为 A.偶函数，奇函数 C.偶函数，偶函数B. D. 奇函数，偶函数 奇函数，奇函数 C. /(-2) </(!)</(3) D. /(3) < /(I) < /(-2)/(x), g(%)是定义在R 上的函数,7.如果奇函数/⑴在区间［3,7］上是增函数且最大值为5,那么于⑴在区间［-7,-3］上是( )A.增函数且最小值是-5B.增函数且最犬值是-58 .已知函数/(x) = (m - l)x 2 + (m - 2)x + (m 2 - Im +12)为偶函数,那么m 的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 49 .已知函数f(Q 是定义域为/?的偶函数，且/(兀+ 1)= 丄，若/(町在［-1,0］上是减函数，那么/")在［2,3］上是15. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，它在［0,+oo)上为增函数11/(-) > 0,则不等式/(呃x)>03 -的解集为 A. (0?—) C.(㊁,l)u(2,+oo)16. 已知函数y = f(x)是定义在［a,b ］ ±的增函数，其中tz,/?eR,j=L0 </?<-«.设函数10. A.增苗数 B.减函数 C.先增后减的函数D.先减后增的函数已知定义域为 的函数代Y )在(&+OO )上为减函数，.R 尸£(对8)函数为偶函数，则B. r(6)>A9)C. A7)>r(9) 11. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)二log 2(l-x),x<0 f(x -1) - / (x - 2), x > 0，则A2010)的值为 12.A. -1 1 函数g 讦A.是偶函数,在区间(-8,0)上单调递增C.是奇函数，在区间(0,+8)上单调递增 B. 0C. B.D. D. 2是偶函数，在区间(-8,0)上单调递减是奇函数,在区间(0,+ 8)上单调递减 函数/(兀八/(x + 2)均为偶函数, 且当兀丘［0 , 2］时,f(x)是减函数,14. « = /(log s = c = /(—5),则 °、b 、C 的大小是A. a> b> cC. b> a> cD. c> a> b设/(兀)是R 上的奇函数，当x e [-1,0)时,/(x) = x, ja/(x +2)= -/(%),那么</a )< Xi12丿<f ~ < /(l)</(!)</ 4了3、(D) f - <f - < /(l)B. (2, +8) D. (0,—) u (2,+oo)F(X)=[/(X)]2-[/(-X)]2,KF(X)不恒等于0,则对于F(x)有如下说法:①定义域为［-伏刃②是奇函数③最小值为0 ④在定义域内单调递增其屮正确说法的个数有17.下列函数中，既是偶函数乂在(0,+oo)上单调递增的是( )3 1 】A. y = xB. y = cosxC. y = —D・y = In xx二、填空题(27分)18.设fd)是定义在R上的偶函数，且Hl+劝二A1 - x)，当一1W/W0时，f(x) =—* 兀,贝厅(86) = ______ .19.己知函数/(x) = 5znx4-c^(x + r)为偶函数,且r满足不等式r2-3r-40<0,则/的值为____________ •20.已知f (劝是泄义在实数集斤上的函数，且满足/(兀+ 2) = -——，/(1)=--,则于'/(x) 8 (2007)= __________2(7-321.设函数于(对是定义在R上以3为周期的奇函数，若/(1)>1,兀2)= —,则a的Q + 1 取值范围是______ .22.已知定义在R上的偶函数/⑴满足f(x + 2) = -^—对丁nw/?恒成立，且/(x)>0 ,/W则/(1)= ___________ 、/(H9)= ____________ •23.已知偶函数y = f(x),当x>0时，/(x) = (x-l)2,若当"［-2,-丄］时，不等式nW/⑴W2m恒成立，则m・n的最小值是 _______ .24.在直角坐标系内，已知点A (2, 3),则点A关于y轴対称的点的坐标是_________ ，点A关于x轴对称的点的坐标是______ ，点A关于直线y =兀对称的点的坐标是_______ ,点A关于直线y = -x对称的点的坐标是_________ ，点A关于原点对称的点的坐标是______ ，点A关于点(a,b)对称的点的坐标是________ ，点A关于克线兀=3对称的点的处标是______ .25.如果函数y = /(%),对于任意的xeR，恒有/(2 + x)=/(2-x),则函数.f(x)图像的对称轴是________ ,将其图像向_______ 平移____ 个单位，即得偶函数的图像. 26.若［幻表示不超过x的最大整数,如［e］二2, ［—2. 27］二一3,则函数f 3二x—［幻对于下列命题：①函数产f (力的泄义域为R,值域为［0, 1］②函数产f (0为偶函数③函数尸f(Q在斤上是增函数④函数尸f(Q是周期函数⑤方程f(Q 专有无数解•其小正确命题的序号为____________________________ ・三、解答题(22分)27.对于圧Z,用厶表示区间(2&T, 2&+1］。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
高三数学周期性和对称性试题
高三数学周期性和对称性试题1.函数图像的对称中心是．【答案】【解析】因为函数为奇函数，对称中心是，因此函数图像的对称中心是.【考点】奇函数性质，图像变换2.定义在R上的函数满足，则的值为( )A．B．0C．1D．2【答案】C【解析】由已知得，，，，，，，，所以函数的值以6为周期重复性出现．所以，故选C．3.定义在R上的函数满足．当时，，当时，．则（）A．335B．338C．1678D．2012【答案】B【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，所以在一个周期内有，所以4. x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【答案】D【解析】因为f(x+1)=(x+1)-[x+1]=(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x).所以f(x)是周期函数,故选D.5.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f(2014)＋f(2 015)＝()A．3B．2C．1D．0【答案】A【解析】因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 014)＋f(2 015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图像可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 014)＋f(2 015)＝1＋2＝3.6.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点成中心对称，对任意实数x都有f(x)＝－，且f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(0)＋f(1)＋…＋f(2013)＝________.【答案】－2【解析】由函数关于点对称可知，f(x)＋f＝0，所以f(1)＋f＝0，又f(x)＝－，所以＝＝－1，所以f(1)＝1，因为f(x)＝－，所以，所以f(1)＝1，因为f(x)＝－，所以f(x－3)＝－＝f(x)，即f(x)是以3为周期的函数，故f(3)＝f(0)＝－2，f(2)＝f(－1)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋(2013)＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)]×671＝f(0)＝－2.7.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出四个二元函数:①；②；③；④.能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】A【解析】①对于函数：满足非负性：，当且仅当时取等号；满足对称性：；∵，对任意的实数均成立，因此满足三角形不等式：．可知能够成为关于的、的广义“距离”的函数．②，但是不仅时取等号，也成立，因此不满足新定义：关于的、的广义“距离”的函数；③，若成立，则不一定成立，即不满足对称性；④同理不满足对称性．综上可知：只有①满足新定义，能够成为关于的、的广义“距离”的函数．故选A．【考点】新定义，函数的概念与表示.8.设定义如下面数表，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为___________________。
高中函数的对称性(含练习题及解析)
【答案】5【分析】先根据①①可知函数的对称中心和对称轴，再分别画出()f x 和()g x 的部分图像，由图像观察交点的个数．【详解】根据题意，①(2)()0f x f x -+=，得函数()f x 的图像关于点()1,0对称，①(2)()0f x f x ---=，得函数()f x 的图像关于1x =-对称，则函数()f x 与()g x 在区间[3,3]-上的图像如图所示，由图可知()f x 与()g x 的图像在[]3,3-上有5个交点．由图知()f x 与()h x 的图象在区间()2,6-有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1422x x +=，2322x x +=，所以12348x x x x +++=，所以()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为8， 3．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【分析】若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ≥+，进而可得答案.【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[)1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =， 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()221x x t -≥+，即()22110t x t ++-≤，()()()22211011321110t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩，故实数t 的最大值为13-. 4．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(1)(1)f x f x +=-，当01x ≤≤时，()1xf x e =-，则23x ≤≤时，()f x 的解析式为（ ）6．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 【答案】7 【解析】设，则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，所以，,故答案为7.7．已知函数21()ln |2|45f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是___________.【答案】111(,)(,1)322⋃ 【分析】由函数解析式知函数()f x 的图象关于直线2x =对称，利用定义证得2x >时，函数()f x 是减函数，2x <时，函数为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可.【详解】∵f(x)=1x 2−4x+5−ln |x −2|=1(x−2)2+1−ln |x −2|，21(2)ln ||1f t t t ∴-=-+，。
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精品资料欢迎下载函数的周期性练习题一．选择题（共15 小题）1．定义在R 上的函数f（ x）满足f（﹣ x） =﹣ f（x），f（ x﹣ 2） =f（x+2）且 x∈（﹣ 1，0）时， f（x ）=2x+，则f（log220）=（）A． 1B．C．﹣ 1 D．﹣2．设偶函数 f （x）对任意x∈R，都有f（ x+3）=﹣，且当x∈[﹣ 3，﹣ 2] 时， f （x）=4x，则 f （107.5）=（）A．10 B．C．﹣10D．﹣3．设偶函数 f （x）对任意x∈R 都有f（ x） =﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（ x） =4x，则f（ 119.5） =（）A．10 B．﹣10C．D．﹣4．若 f（x）是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f （1）=1，f（ 2） =3，则 f （ 8）﹣ f（ 4）的值为（）A．﹣1B．1C．﹣ 2 D ． 25．已知 f（ x）是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，当 x∈（0，2] 时， f（x）x=2 +log2x，则 f（2015）=（）A．﹣2B．C．2 D．56．设 f （x）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣ 2，1] 上的图象，则 f（2014）+f（2015）=（）A．3 B．2 C．1 D．07．已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，并满足：，当 2≤x≤3，f（x）=x，则 f（5.5）=（） A． 5.5 B．﹣ 5.5C．﹣ 2.5D．2.58．奇函数 f（x）满足 f（x+2） =﹣f（x ），当 x∈（0，1）时， f（ x）=3x+ ，则 f（ log3）（）A ．﹣．﹣．D．254 =2B C9．定义在 R 上的函数 f（x ）满足 f（﹣ x ）+f（x）=0，且周期是 4，若 f（1）=5，则 f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0D．310．f （x）对于任意实数 x 满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f（f（ 5））=（） A ．﹣ 5 B．C．D．511．已知定义在 R 上的函数 f （x ）满足 f（ x+5）=f（x﹣5），且 0≤x≤5 时，f（x ）=4﹣ x，则 f （1003）=（） A ．﹣ 1 B． 0 C．1 D．22﹣ x，则函数 y=f （x）的图象在区间 [0，6] 上与 x 轴的交点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．913．已知函数 f （x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数 x≥0，都有 f（ x+2）=f（x ），且当 x∈[0 ，2）时，f（ x）=log2（x+1），则 f（2014）+f（﹣ 2015）+f（ 2016）的值为（）A．﹣1B．﹣ 2 C．2D． 1 14．已知 f （x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当x∈[0 ，3）时， f （x ）=|2x2﹣4x+1|，则方程 f （x）=在[﹣ 3， 4] 解的个数（）A．4B．8C．9 D．1015．已知最小正周期为 2 的函数 f（x）在区间 [ ﹣1，1]上的解析式是 f （x）=x2，则函数 f（x）在实数集 R 上的图象与函数 y=g（ x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A． 3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共10 小题）16．已知定义在 R 上的函数 f （x），满足 f（1）= ，且对任意的 x 都有f（x+3）=，则 f（2014）=．17．若 y=f （x）是定义在 R 上周期为 2 的周期函数，且 f （x）是偶函数，当 x∈[0， 1] 时， f（x）=2x﹣1，则函数 g（ x） =f（x ）﹣ log5|x|的零点个数为．则18．定义在 R 上的函数f（ 2013）的值为19．定义在 R 上的函数f（x）满足 f（x）=，．f （ x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f（x）=﹣f （ x+ ），f （ 1）=1，f （0）=﹣2，则 f （ 1）+f （2）+f （3）+⋯+f （2010）的值为 =．20．定义在R 上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时， f（ x） =x2﹣ 1，则 f （2011）=．21．定义在 R 上的函数 f （x）满足 f（ x+6）=f（x）．当﹣ 3≤x＜﹣ 1 时， f（x）=﹣（ x+2）2，当﹣ 1≤x＜ 3 时， f （x）=x．则f（1）+f（ 2） +f（3）+⋯+f（2012） =．22．若函数 f（ x）是周期为 5 的奇函数，且满足f（ 1）=1，f （2）=2，则 f （ 8）﹣ f（ 14）=．23．设 f（ x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f（2）＞1，f（2014）=，则实数 a 的取值范围是．24．设 f （x）是周期为 2 的奇函数，当0≤x≤1 时， f（ x） =2x（1﹣x），则=．25．若 f （x+2）=，则f（+2）?f（﹣ 14）=．一．选择题（共15 小题）1．【解答】解：∵定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（﹣ x） =﹣ f（x），∴函数 f（x）为奇函数又∵ f（ x﹣ 2） =f（x+2）∴函数 f（x）为周期为 4 是周期函数又∵ log232＞ log220＞ log2 16∴4＜ log2 20＜5∴f（log220）=f（ log220﹣4）=f（ log2）=﹣f（﹣ log2）=﹣f （log2）又∵ x∈（﹣ 1，0）时， f（x）=2x+ ，∴ f（log2） =1故 f（log220）=﹣1故选 C2．【解答】解：因为 f（x+3）=﹣，故有（f x+6 ）=﹣=﹣=f（ x）．函数 f （x）是以 6 为周期的函数．f（107.5）=f（ 6×17+5.5）=f（ 5.5）=﹣=﹣=﹣= ．故选 B3．【解答】解：∵函数 f（x）对任意 x∈R 都有 f （x）=﹣，∴ f（x+3） =﹣，则 f（ x+6）=f（ x），即函数 f（x）的周期为 6，∴ f（119.5） =f（20×6﹣0.5）=f（﹣ 0.5） =﹣=﹣，又∵偶函数 f （x），当 x∈[﹣3，﹣ 2] 时，有 f（ x） =4x，∴ f（119.5） =﹣=﹣=﹣=．故选：C．4．【解答】解： f（ x）是 R 上周期为 5 的奇函数， f （﹣ x）=﹣f （x），∵f（1）=﹣f（﹣ 1），可得 f（﹣ 1）=﹣f（ 1） =﹣ 1，因为 f （2）=﹣f（ 2），可得 f （﹣ 2）=﹣f （2）=﹣3，∴ f（8）=f（ 8﹣ 5） =f（3）=f（ 3﹣ 5） =f（﹣ 2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f （﹣ 1）=﹣1，∴ f（8）﹣ f（4）=﹣ 3﹣（﹣ 1）=﹣2，故选 C；5．【解答】解：∵ f（ x）的周期为 4，2015=4×504﹣1，∴f（2015）=f（﹣ 1），又 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，1所以 f （2015）=﹣f（ 1） =﹣ 2 ﹣log21=﹣2，故选： A．∵f（x ）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，∴ f（2014）+f（ 2015） =f（1）+f（﹣ 1）=1+2=3，故选： A7．【解答】解：∵，∴==f（x）∴f（x+4） =f（x），即函数 f（ x）的一个周期为 4∴f（5.5）=f（ 1.5+4）=f（ 1.5）∵ f（x ）是定义在 R 上的偶函数∴f（5.5）=f（ 1.5） =f（﹣ 1.5）=f （﹣ 1.5+4） =f（2.5）∵当 2≤x≤3，f（ x） =x∴f（2.5）=2.5∴ f（5.5）=2.5故选D8．【解答】解：∵ f[ （x+2）+2]=﹣f （x+2）=f （x），∴f（x ）是以 4 为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选： A ．精品资料欢迎下载所以f （2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣ 1） =﹣ f（1）=﹣ 59．【解答】解：在 R 上的函数 f（x ）满足 f （﹣ x） +f（x ）=0则： f（﹣ x） =﹣ f（x ）所以函数是奇函数由于函数周期是4，故选： B10．【解答】解：∵ f （x+2） =∴ f（x+2+2 ）==f（ x）∴f（x ）是以 4 为周期的函数∴f（5）=f（ 1+4）=f（ 1） =﹣ 5f（f（ 5））=f （﹣ 5） =f（﹣ 5+4）=f（﹣ 1）又∵ f（﹣ 1）===﹣∴ f（f （5）） =﹣故选 B11．【解答】解：∵ f （x+5）=f （x﹣5），∴ f（x+10）=f （x），则函数 f（x）是周期为10 的周期函数，则 f（ 1003） =f（1000+3）=f （3）=4﹣ 3=1，故选： C．12．【解答】解：当 0≤x＜2 时， f（x）=x2﹣ x=0 解得 x=0 或 x=1，因为 f （x）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，故 f（ x） =0 在区间 [0， 6）上解的个数为 6，又因为 f（6）=f（ 0） =0，故 f （x） =0 在区间 [0， 6] 上解的个数为7，即函数 y=f（ x）的图象在区间 [0，6] 上与 x 轴的交点的个数为7，故选： B．13．【解答】解：∵ f （x+2） =f（x），∴ f（ 2014） =f（2016）=f（ 0）=log21=0，∵f（x ）为 R 上的奇函数，∴ f （﹣ 2015）=﹣f （2015）=﹣f （1）=﹣1．∴ f（2014）+f（﹣ 2015）+f（ 2016）=0﹣1+0=﹣1．故选 A ．14．【解答】解：由题意知， f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0， 3）时， f （x）=|2x2﹣4x+1|，在同一坐标系中画出函数 f（ x）与 y= 的图象如下图：由图象可知：函数y=f （x）与 y= 在区间 [﹣ 3， 4] 上有 10 个交点（互不相同），所以方程f（x ）= 在 [﹣ 3，4] 解的个数是 10 个，故选： D．15．【解答】解：∵函数 f （x）的最小正周期为2，∴f（x+2） =f（x），∵f（x ）=x2，y=g（x） =|log5x|∴作图如下：∴函数 f（x）在实数集 R 上的图象与函数 y=g（x ）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选： C二．填空题（共10 小题）16．【解答】解：∵对任意的 x 都有 f（ x+3）=，∴f（x+6） ==f（ x），∴函数 f（x）为周期函数，且周期T=6，∴f（2014）=f（ 335×6+4） =f（4）=f（ 1+3）==﹣5故答案为：﹣517【解答】解：当 x∈[0，1] 时， f（x）=2x﹣ 1，函数 y=f（ x）的周期为 2，x∈[﹣ 1，0] 时，f（ x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于 y 轴对称的偶函数 y=log5 |x|．函数 y=g（ x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5 时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在 x＞0 上有 4 个交点，由对称性知它们在 x＜0 上也有 4 个交点，且它们关于直线 y 轴对称，可得函数 g（x） =f（x）﹣ log5|x|的零点个数为 8；故答案为 8；18．【解答】解：由分段函数可知，当x＞0 时， f（ x） =f（x﹣1）﹣ f （x﹣2），∴f（x+1） =f（x）﹣ f （x﹣1）=f（ x﹣ 1）﹣ f（ x﹣ 2）﹣ f（ x﹣ 1），∴f（x+1） =﹣ f（ x﹣2），即 f（ x+3）=﹣f （x），∴f（x+6） =f（x），即当 x＞ 0 时，函数的周期是 6．∴f（2013）=f（ 335×6+3） =f（3）=﹣f （0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log 28=﹣3，故答案为：﹣ 3．19．【解答】解：由 f （ x）=﹣ f （ x+ ）得 f （x+3）=f[（x+ ）+ ]=﹣ f （x+ ）=f 由（x）.所以可得 f （ x）是最小正周期T=3 的周期函数；f （x ）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x ，﹣y）．即若y=f（ x），则必﹣ y=f（﹣﹣x），或y=﹣f（﹣﹣x）．而已知f（x）=﹣f（x+），故f（﹣﹣x）=f（x+），今以 x 代 x+ ，得 f （﹣ x） =f （x），故知 f （x）又是 R 上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣ 1）=1；f （ 2）=f （2﹣3）=f （﹣ 1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续 3 项之和为 0．而 2010=3×670，于是 f （2010）=0；故答案为 0．20．【解答】解：由题意知，定义在 R 上的函数 f（x）有，则令 x=x+2 代入得，∴ f（x+4） ===f（x ），∴函数 f（x）是周期函数且T=4，∴f（2011）=f（ 4×502+3） =f（3），2∵当 x∈（0，4）时， f（x ）=x ﹣1，∴ f（3）=8．即 f（ 2011）=8．故答案为：21．【解答】解：∵当﹣ 3≤x＜﹣ 1 时， f （x）=﹣（ x+2）2，∴f（﹣ 3） =﹣ 1， f（﹣ 2） =0，∵当﹣1≤x＜ 3 时， f （x）=x，∴f（﹣ 1） =﹣ 1， f（ 0）=0，f （1） =1，f （2）=2，又∵ f（ x+6）=f（ x）．故 f（ 3） =﹣ 1， f（4）=0，f（ 5） =﹣ 1， f（ 6）=0，又∵ 2012=335×6+2，故 f（ 1） +f（2）+f（ 3） +⋯+f（ 2 012） =335×[f （ 1）+f （2）+f（3）+f （4）+f （ 5） +f（6）]+f （1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为： 33822．【解答】解：由题意可得， f（ 8） =f（8﹣10） =f（﹣ 2） =﹣ f（2）=﹣2，f（14）=f（14﹣ 15） =f （﹣ 1）=﹣f （1）=﹣1，故有 f （8）﹣ f （14） =﹣ 2﹣（﹣ 1）=﹣1，故答案为﹣ 1．23．【解答】解：解：由 f （x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，则 f（ x+3）=f（ x），f （﹣ x ）=﹣f （x），∴f（2014）=f（ 3×672﹣2）=f （﹣ 2）=﹣f （2），又 f（ 2）＞ 1，∴f（2014）＜﹣ 1，即＜﹣ 1，即为＜0，即有（ 3a﹣ 2）（a+1）＜ 0，解得，﹣ 1＜a＜，故答案为：．24．【解答】解：∵ f（ x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（ 1﹣ x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2× （1﹣） =﹣，故答案为：﹣．25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，同理可得 f（﹣ 14） =f（﹣ 16+2）=log216=4，∴ f（+2）?f（﹣ 14）=﹣×4=，故答案为：三．解答题（共 5 小题）26．【解答】（1）证明：∵ f （x+2）=﹣ f（x），∴f（x+4） =﹣ f（ x+2）=f（x），∴f（x ）是周期为 4 的周期函数；（2）解：当 x∈[﹣2，0] 时，﹣ x∈[0，2]，由已知得 f（﹣ x）=2（﹣ x）﹣（﹣ x）2=﹣ 2x﹣x2，又 f（ x）是奇函数，∴f（﹣ x） =﹣ f（x）=﹣2x﹣x2，∴f（x ）=x2+2x，又当 x∈[2，4] 时， x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x ﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），又 f（ x）是周期为 4 的周期函数，∴f（x ）=f （x﹣ 4） =（ x﹣ 4）2+2（x﹣4） =x2﹣6x+8，从而求得 x∈[2， 4] 时， f（x）=x2﹣6x+8；（3）解： f（0）=0， f（2）=0，f（ 1） =1，f （3）=﹣1，又 f（ x）是周期为 4 的周期函数，∴ f（0）+f（ 1） +f （2）+f（ 3） =f（4）+f（ 5） +f（6）+f（7）=⋯=f（2 000） +f（2 001）+f （2 002）+f（ 2 003）=0．∴f（0）+f（ 1） +f （2）+⋯+f（2 004） =0+f（2004）=0．27．【解答】解：（1）当 x∈[﹣ 1， 0] 时，﹣ x∈[0， 1] ，又 f（x）是偶函数则，x∈[﹣ 1， 0] ．（2），∵1﹣ log3 2∈[0， 1] ，∴，即．28．【解答】解：（1）令 x∈[﹣ 1， 0），则﹣ x∈（ 0， 1] ，∴f（﹣ x） =2﹣x﹣1．又∵ f（ x）是奇函数，∴ f（﹣ x） =﹣ f（x），﹣x∴﹣ f（ x） =f（﹣ x）=2﹣1，∴．（ 2）∵ f（ x+4）=f（x），∴ f （x）是以 4 为周期的周期函数，∴，∴，∴．29．【解答】解：∵函数 f （x）的周期为 3，∴f（﹣ 2014） =f（﹣ 671×3﹣1）=f（﹣ 1），∵函数 f（x）是奇函数，∴f（﹣ 1） =﹣ f（1） =﹣（ 12﹣1+2） =﹣ 2，∴f（﹣ 2014） =﹣ 2．30．【解答】解；（1）因为奇函数 f（x）的定义域为 R，周期为 2，所以 f （﹣ 1）=f（﹣ 1+2）=f （1），且 f （﹣ 1）=﹣f （1），于是 f（﹣ 1） =0．⋯（2 分）当 x∈（﹣ 1，0）时，﹣ x∈（ 0， 1），f （x）=﹣f（﹣ x）=﹣（ 2﹣x+2x）=﹣2x﹣ 2 ﹣x．⋯（5 分）所以（f x）在[ ﹣1，0）上的解析式为⋯（7 分）（2） f（x ）在（﹣ 2，﹣ 1）上是单调增函数．⋯（9 分）先讨论 f（x）在（ 0，1）上的单调性．设 0＜x1＜x2＜ 1，则因为 0＜x1＜ x2＜1，所以，于是，从而 f （x1）﹣ f（x2）＜ 0，所以 f（ x ）在（ 0，1）上是单调增函数．⋯（12 分）因为 f （x）的周期为 2，所以 f （x）在（﹣ 2，﹣ 1）上亦为单调增函数．⋯（14分）。