数学必修3-4综合测试题

必修三、必修四综合测试题

山东省实验中学 马炳新

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本记作①；某校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；那么，完成上述2项调查应采用的抽样方法是（ ）

A.①用随机抽样法，②用系统抽样法

B.①用分层抽样法，②用随机抽样法

C.①用系统抽样法，②用分层抽样法

D.①用分层抽样法，②用系统抽样法

2.已知),1,5(),2,3(---N M 若,21

=

则P 点的坐标为（ ） A.)1,8(- B.)1,8(- C.)23,1(-- D.)2

3

,1(

3.若f(x)=cos2x ，且f(x+b)是奇函数，则b 可能是（ ） A.

12π B.6π C.4π D.3

π

4.x 是三角形的一个内角，且sinx+cosx=1

5

-，则tanx 的值是（ ） A.43- B.43 C.34- D.3

4

5.已知,3,2,==⊥b a b a ρρ

ρρ且b a ρρ23+与b a ρρ-λ垂直，则实数λ的值为（ ）

A.;23-

B.;23

C.;2

3

± D.;1 6.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲乙下成和棋的概率为（ ） A ．60% B ．30% C ．10% D ．50%

7.已知点)2,1(),1,0(),1,2(),0,1(--D C B A ，则AB 与的夹角大小为（ ） A. ο

180 B.ο

120 C.ο

90 D.ο

60 8.右面的程序输出的结果是（ ）

A.3

B.5

C.9

D.13 9.有下列四种变换方式:

①向左平移

4

π

,再将横坐标变为原来的21;

②横坐标变为原来的21,再向左平移8π

;

③横坐标变为原来的21,再向左平移4

π

;

8

7 9

2 1

3 1

2 3

4 5

7 ④向左平移

8

π

,再将横坐标变为原来的21;

其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为)4

2sin(π

+

=x y 的图像的是（ ）

A.①和②

B.①和③

C.②和③

D.②和④ 10.如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ ） A.49

B.

29

C.

2

3 D.1

3

11.右面程序框图的功能是（ ）

A.求满足200421>+??++n 的最小整数

B.求满足2004121>-+??++n 的最小整数

C.求满足200421<+??++n 的最大整数

D.求满足2004121<-+??++n 的最大整数 ★12.若对任意实数a ，函数???

??-+=63

1

2sin 5ππx k y (k ∈Ｎ)在区间［a ，

a ＋3］上的值

4

5

出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( ) A.2 B.4 C.3或4 D.2或3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上

13.为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有 ．

①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；④样本容量为100；⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥每个运动员被抽到的概率相等． 14.取一个边长为2a 的正方形及其内切圆,若随机地向正方形内丢一粒豆子,则豆子落入圆内的概率为

★15.函数x y 2

2sin log =的单调减区间是____________________

16.已知正方形ABCD 的边长为1，设,,,c AC b BC a AB ρρ===则c b a ρ

ρρ+-的模为 .

三、解答题：本大题共6小题，每小题有两小题，满分70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）2000年我国人口为13亿，如果人口每年的自然增长率为7‰，那么多少年后我国人口将达到16亿？设计一个算法的程序.

变式：某次数学考试中,其中一个小组的成绩是：55, 89, 69, 73, 81, 56, 90, 74, 82.试画一个程序框图逐个输入学生的成绩,并从这些成绩中输出小于75的成绩.

18.（10分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛, ⑴求所选3人都是男生的概率; ⑵求所选3人恰有1名女生的概率;

⑶求所选3人中至少有1名女生的概率。

变式：甲盒中有一个红色球，两个白色球，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2个，每次从中任意地取出1个球，计算下列事件的概率。

⑴取出的2个球都是白球； ⑵取出的2个球中至少有1个白球

经长期观察，)(t f y =的曲线可近似地看成函数b t A y +=ωsin 的图象

⑴试根据以上数据，求出函数b t A t f y +==ωsin )(的振幅、最小正周期和表达式；

⑵一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，

M

船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为5.6米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？

变式：已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 为偶函数，且函数y ＝

f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为

.2

π ⑴求f （

8

π

）的值； ⑵将函数y ＝f (x )的图象向右平移

6

π

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.

20.（12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+ ⑴求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 ⑵求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域

变式：已知函数2()2sin cos 444

x x x f x =-． ⑴求函数()f x 的最小正周期及最值；

⑵令π()3g x f x ??

=+ ??

?

，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．

21.（12分）四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB ⑴若//，试求x 与y 满足的关系式；

⑵满足⑴的同时又有⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。 变式：已知()()1,1,1,1=-=，当k 为何值时：

⑴k 2-+与垂直？⑵k 2-+与平行？平行时同向还是反向？

★22.（14分）已知向量()()

)90sin(),90cos(,)sin(2),cos(2θθθθ--=--=ο

ορρb a

⑴求证：b a ρ

ρ⊥；

⑵若存在不等于0的实数k 和t ，使b t a k y b t a x ρρρρρρ+-=-+=,)3(2

满足y x ρρ⊥。试求此时

t

t k 2+的最小值。

变式：已知()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==与之间有关系b a b k -=

+3k

＞0, ⑴用k 表示b a ? ；⑵求b a ?的最小值，并求此时b a 与夹角的大小。

备选题： 1．（选择题）根据人口普查，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是（ ） A.

2

1 B.

3

1 C.

4

1 D.

5

1 2.（填空题）若向量b a ρ

ρ、的夹角为ο150，4,

3==b a ρρ，则=+b a ρ

ρ2 .

3.（解答题）如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ω?ωA t A I 在一个周期内的图象.

⑴试根据图象写出)sin(?ω+=t A I 的解析式； ⑵为了使)sin(?ω+=t A I 中t 在任意一段

100

1 秒的时间内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数 ω的最小值为多少？

答案

一、选择题

1.B

2.C

3.C ，提示：余弦型函数为奇函数，可应用()00=f 求解参数的值.

4.A

5.B

6.D

7.A

8.B

9.A 10.A ，提示：指针在两个圆盘中的位置可对应成坐标平面上的整点()y x ,，其

中{

}7,5,4,3,2,1∈x ，{}9,8,7,3,2,1∈y ，这样的点共有36个，横纵坐标都为奇数的点有16个，故所求概率为

9

4

3616= 11.B ，提示：循环结束的条件是2004>m ，此时对应的n 的值已经变成了1+n ，故输出的n 的值比满足条件的第一个n 的值多1，故选B

12.D ，提示：45在每个周期出现两次，欲使任意长度为3的闭区间上4

5

出现不少于4次且不多于8次，需函数的周期T 满足：T T 432≤≤，即2343≤≤T ，解之得：2

7

23≤≤k ，故满足条件的

k 的值为2或3.

二、填空题

13.①②③④⑤ 14.

4

π

15.Z k k k ∈??

?

???

-,,2ππ

π，提示：2

2cos 1log sin log 2

2

2x

x y -==，解不等式

()ππk x k 2212<≤-即得函数的单调递减区间. 16. 2

三、解答题

17.解： 变式：解：

18.解：基本事件的总数为20

⑴所选3人都是男生的事件数为4，所求概率为512041==

P ⑵所选3人恰有1女生的事件数为12，所求概率为53

20122==P

⑶所选3人恰有2女生的事件数为4，概率为5

1

2043==P

所选3人中至少有1名女生的概率为314

555

+=

变式：解：不妨将红球编号为1，白球编号为2，3，则实验结果有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，2）、（2，3）、（3，3）共6种结果，并且每种结果出现的可能性都相同， ⑴2个球都为白球的结果共有3个，故所求概率为

2

1

⑵至少有一白球的结果共有5个，故所求概率为6

5 19.解：⑴依题意有：最小正周期为： 12=T 振幅：3=A

10=b 6

2ππω==

T 10)6

sin(

3)(+?==t t f y π

⑵该船安全进出港，需满足：55.6+≥y

即：5.1110)6

sin(

3≥+?t π

2

1

)6sin(≥?t π

Z k k t k ∈+

≤?≤

+

∴6

526

6

2π

ππ

π

π

Z k k t k ∈+≤≤+512112

又 240≤≤t 51≤≤∴t 或1713≤≤t

依题意：该船至多能在港内停留：16117=-（小时）

变式：解：⑴f (x )＝)cos()sin(3?ω?ω+-+x x

＝??

????+-+)cos(21

)sin(232?ω?ωx x

＝2sin(?ω+x -

6

π) 因为 f (x )为偶函数，

所以 对x ∈R,f (-x )=f (x )恒成立，

因此 sin （-?ω+x -6π）＝sin(?ω+x -6π). 即-sin x ωcos(?-6π)+cos x ωsin(?-6π)=sin x ωcos(?-6π)+cos x ωsin(?-6

π

),

整理得 sin x ωcos(?-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R,所以 cos （?-6

π

）＝0.

又因为 0＜?＜π，故 ?-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2

π

)=2cos x ω.

由题意得 .2,2

22　＝ 所以 ωπ

ωπ?=

故 f (x )=2cos2x . 因为 .24

cos

2)8

(==π

πf

⑵将f (x )的图象向右平移个6

π

个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原

来的4倍，纵坐标不变，得到)6

4(π

π-f 的图象.

所以).32(cos 2)64(2cos 2)64

(

)(πππππ

π

-=??

?

???-=-

=f f x g 当 2k π≤

3

2

π

π

-

≤2 k π+ π (k ∈Z),

即 4k π＋≤

3

2π≤x ≤4k π+38π

(k ∈Z)时，g (x )单调递减.

因此g (x )的单调递减区间为 ???

??

?

++384,324πππ

πk k (k ∈Z) 20.解：（1）()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+Q

1cos 2sin 2(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =

++-+

221cos 2sin 2sin cos 22x x x x =

++-

1cos 22cos 22x x x =

+- sin(2)6

x π

=-

2T 2

π

π=

=周期∴ 由2(),()6

2

23

k x k k Z x k Z π

π

ππ

π-

=+

∈=

+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3

x k k Z π

π=+

∈

⑵5[,],2[,]122636

x x ππ

πππ

∈-

∴-∈-Q 因为()sin(2)6

f x x π

=-

在区间[,]123ππ-

上单调递增，在区间[,]32

ππ

上单调递减，

所以 当3

x π=

时，()f x 取最大值 1

又

1()()12

22f f π

π-

=<=Q ，当12

x π

=-时，()f x

取最小值-所以 函数 ()f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域为[2-

变式：解：⑴2()sin

2sin )24x x f x =+-

Q sin 22x x =+π2sin 23x ??

=+ ???

． ()f x ∴的最小正周期2π

4π12

T =

=． 当πsin 123x ??+=-

???时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ??

+= ???

时，()f x 取得最大值2． ⑵由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ??=+

???．又π()3g x f x ?

?=+ ??

?．

∴1ππ()2sin 233g x x ????=++ ???????π2sin 22x ??

=+ ???2cos 2x =．

Q ()2cos 2cos ()22x x g x g x ??

-=-== ???．

∴函数()g x 是偶函数．

21.解：),(y x = )2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x ⑴//Θ 则有0)4()2(=--?-+-?x y y x 化简得：02=+y x

⑵)1,6(++=+=y x )3,2(--=+=y x

又BD AC ⊥ 则 0)3()1()2()6(=-?++-?+y y x x 化简有：015242

2

=--++y x y x

联立??

?=--++=+0

15240

22

2y x y x y x 解得??

?=-=36y x 或?

??-==12

y x //Θ BD AC ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形

当??

?=-=3

6

y x )0,8()4,0(-==

此时162

1

==S ABCD 当??

?-==1

2

y x )4,0()0,8(-==

此时162

1

==

S ABCD 变式：解：∵ ()()1,1,1,1=-=b a

∴ ()()1,32,1,1--=-++-=+k k k ⑴∵ )2()(k -⊥+

∴ －3（-k+1）-(k+1)=0 => k=2

⑵∵ )2//()(k -+ ∴)2()(k -=+λ ∴ 21

21-==???

?-==λλ

λk k ∵21-=k

∵0<λ ∴b a b a k 2-+与平行时是反向的.

★22.解：由诱导公式得： ()())cos ,sin ,sin 2,cos 2θθθθ=-=b a ρρ

12

==b a ρ

ρ

⑴0cos )sin 2(sin cos 2=?-+?=?θθθθb a ρ

ρ

则 b a ρ

ρ⊥

⑵b t a k y b t a x ρρρρρρ+-=-+=,)3(2

y x ρρΘ⊥ 0=?∴y x ρ

ρ

即：0][])3([2

=+-?-+b t a k b t a ρρρρ

0)3()])(3([22

22=-+?--++-b t t b a k t t a k ρρρρ 4

)3(0

)3(422

t

t k t t k -==-+-∴

47

)2(41]7)2[(41434)(2222-+=-+=-+=+=∴t t t t t t k t f 即当2-=t 时，t t k 2+的最小值为4

7

-.

变式：解：⑴∵k -=

+ ∴k -=+

即()

k b k a k b a k ?-+=?++232222222

∴()()

k

b k

a k 81332

2

2

2

-+-=

?

∵()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==，所以1,12

2

==b

a

∴k

k 41

2+=?

⑵ ∵k k 212

≥+,∴

2

1

42412=≥+k k k k ∴?的最小值为

2

1

又∵1cos ==?=?b a γ ∴ 2

1cos =γ ∴ο

60=γ 备选题： 1．C 2. 2

3. 解：⑴由已知，300=A ，周期5013001601=+=T ，则ππ

ω1002==T

；

将??? ??-

0,3001代入函数解析式得：03sin =??

?

??+-?π，则3π?=

所以)3

100sin(300π

π+

=t I .

⑵欲使函数)sin(?ω+=t A I 在任意一段

100

1

秒的时间内同时取最大值|A|和最小值－|A|，需1001≤

T ，即100

12≤ωπ，所以628200>≥πω，正整数ω的最小值为629．