静电场的高考典型案例

静电场的高考典型案例

2010年福建省高考《考试说明》中，静电场部分有14个知识点,其中Ⅰ级要求10个，Ⅱ级要求4个。静电场是高考常考的知识点。静电场部分涉及的概念、规律都比较抽象，再加上学生的理解力和空间想象力欠缺，因此，静电场问题一直是一个难点问题。 分析近年的高考静电场问题，静电场的考题题型大致可归纳为三大类：

⑴电场线、等势面类；

⑵电场力功、电势能、电势、电势差类；

⑶带电粒子的运动类。

〖典型案例分析〗

典型案例一、电场线、等势面类

是指利用典型电场的电场线和等势面的分布情况，以及电场线的特点来求解的问题。解这类问题，我们必须牢记各种典型的电场线和等势面的分布情况，以便与题中情景对照分析，还要灵活运用电场线的特点及等势面的特点，如在等势面上任意两点间移动电荷电场力不做功；沿电场线方向电势越来越低；等势面与电场线一定垂直；电场线的疏密可表示场强大小等。

〖例1〗(1995年全国高考)在静电场中：

A.电场强度处处为零的区域内，电势也一定处处为零

B.电场强度处处相同的区域内，电势也一定处处相同

C.电场强度的方向总是跟等势面垂直的

D.沿着电场强度的方向，电势总是不断降低的

〖命题意图〗

考查电场线、场强和电势关系。

〖解析思路〗

本题A 、B 两选项都用了“一定”的字样，因此只要举出一个反例，就可以否定A 、B 选项的说法，譬如带正电的导体，其内部场强为零，电势不为零；匀强电场的场强处处相同，但顺电场线方向电势逐渐降低，故A 、B 选项均不正确。C 、D 选项正是应记住的电场线特点，故C 、D 正确。

〖探讨评价〗

⑴对电场线类问题，首先我们要牢记各种典型电场电场线和等势面的分布情况，记住电场线的特点，更重要的是要对题意分析全面，并灵活应用各典型电场线的特点。 ⑵电场强度的计算有四种方法：

a 利用定义式q F E =求(用于任何电场)；

b 利用决定式2

r Q k E =求(用于求真空场源点电荷的电场强度)：

c 利用

d U E =求(适用于匀强电场)； d 利用叠加式E=E 1+ E 2+……(矢量合成)。

〖说明〗

电场线与电荷的运动轨迹不一定重合。电荷的运动轨迹由带电粒子受到的合外力情况和初速度情况来决定。只有满足①电场线是直线；②粒子的初速度为零或初速度方向与电场线在同一条直线上时，其运动轨迹才与电场线重合。

〖例2〗(2000年北京、安徽春季高考)如图所示，P 、Q 是两个电量相等的正的点电荷，它们连线的中点是O 、A 、B 是中垂线上的两点，OA

A.E A 一定大于E B ，U A 一定大于U B

B.E A 不一定大于E B ，U A 一定大于U B

C.E A 一定大于E B ，U A 不一定大于U B

D.E A 不一定大于E B ，U A 不一定大于U B

〖命题意图〗

考查点电荷的电场强度、电势的分布规律和场的叠加原理，考查考生分析、综合问题的能力。

〖解析思路〗

在两个点电荷P 、Q 产生的电场中，某一点的场强等于P 、Q 分别在该点产生的场强的矢量和，及点电荷场强计算公式2r

Q k E =知连线中点O(P 、Q 两电荷在O 点的场强等大、反向)和中垂线上距O 无穷远处的场强均为零，而A 、B 处场强是两正点电荷分别在该点产生的电场强度的矢量和，由平行四边形定则知合场强从O 沿中垂线指向∞，A 、B 处场强不为零，所以从O 点起沿中垂线到无穷远处场强先增大后减小，因A 、B 具体位置不确定，所以其场强大小关系不确定。因电场线方向由O 沿中垂线指向∞，故U A >U B 。综上分析，知B 选项正确。

典型案例二、电功、电势能、电势差、电势类

是指电场中电势的计算和电势高低的比较问题。解这类问题，一般要用到：

⑴沿电场线方向电势要降低；

⑵电势的定义式：q U ε

=；

⑶电势差的定义：q

W U AB AB = ⑷匀强电场的两点电势差：U=Ed 等。

〖例3〗(1999年全国高考)图中A 、B 、C 、D 是匀强电场中一正方形的四个顶点。已知A 、

B 、

C 三点的电势分别为U A =15V ， U B =3V ，U C =-3V 。由此可得

D 点电势U D = V 。

〖命题意图〗

考查匀强电场的特性、电势，在能力上考核分析、推理、应用物理知识解题的能力。

〖解析思路〗

〖解法1〗

U AC =U A -U C = 18V ，连接AC 并把AC 三等份，(如图)则中间两点的电势分

别为9V 和3 V ，这样B 点必与F 点在同一等势面，连接BF ，过D 点的等势

面恰好过E 点。所以D 点的电势为9 V 。

〖注〗利用等分法在电场中找等势点，是解决此种问题的最基本的也

是比较行之有效的方法。

〖解法2〗

从场强与电势差关系求解。由题中数据可知电场线是从左上方指向右下方，设电场线与水平面成α角，如图所示，根据匀强电场中的场强与电势差的关系知：

U BC =Ecos α·d =6V ，U AD =Ecos α·d =15 -U D 。

显然15 V-U D =6V ，U D =9 V 。

〖解法3〗 从场强的矢量性求解。由场强的竖直分量d U d U E DC AB y ==得： U AB =U DC ，即12V=U D -（-3V ） U D =9V 。 〖例4〗图中A 、B 、C 三点都在匀强电场中。已知AC ⊥BC ，∠ABC=600，BC=20cm 。把

一个q =10-5C 的正电荷从A 移到B ，电场力做功为零；从B 移到C ，电场力做功为-1.73×10-3J ，则该匀强电场的场强大小和方向是：

A.865 V/m ，垂直AC 向左

B.865 V/m ，垂直AC 向右

C.1000V/m ，垂直AB 斜向上

D.1000V/m ，垂直AB 斜向下

〖命题意图〗

考查电场力做功与电势差的关系、考查匀强电场的等势面形状及与电场线之间的关系，考查电场强度计算；在能力上考查分析、应用、判断及理解能力。

〖解析思路〗

把电荷从A 移到B ，电场力不做功，说明A 、B 两点必位于同一个等势面上，题中指明匀强电场，等势面应为平面。且场强方向应垂直等势面，可见，A 、B 不正确，可先排除。 根据电荷从B 移到C 的做功情况，得B 、C 两点电势差V q

W U 173==，因正电荷克服电场力做功知B 点电势比C 点低173V ，因此，场强方向必垂直AB 斜向下，其大小m /V sin BC U d U E 1000600

===--，因此选项D 正确。 〖探讨评价〗

⑴不管运动路径如何，如果电荷在两点间移动时电场力做功为零，则这两

点必等势，即在同一个等势面上，匀强电场的等势线是直线，电场线是垂直于等势线且从高电势指向低电势是解决该类问题的基本依据。

⑵应用U=Ed 求两点间的电势差，一定要正确理解“d ”是两点间沿场强方向的距离。

带电粒子在电场中的运动问题

电场中的带电粒子问题是高考命题频率最多的问题，题型有选择、填空和计算，其难度在中等以上。考题涉及的电场有匀强电场也有非匀强电场或交变电场，涉及的知识不全为电场知识，还有力学的有关知识。

带电粒子在电场中的运动问题大致可分为三类：其一为平衡问题；其二为直线运动问题；其三为偏转问题。解答方法首先是对带电粒子的受力分析，然后再分析运动过程或运动性质，最后确定运用的知识或采用的解题观点。(平衡问题运用的是物体的平衡条件；直线运动问题用到的是运动学公式、牛顿第二定律、动量关系及能量关系；偏转问题用到的是运动的合成与分解，以及运动学中的平抛运动的规律。)下文就分析带电粒子在电场中的这三类问题。

典型案例三、带电粒子的平衡问题

〖例1〗(1995年上海高考)如图所示，两板间距为d 的平行板电容器与电源连接，电键x 闭合。电容器两板间有一质量为m ，带电量为q 的微粒静止不动。下列各叙述中正确的是：

A.微粒带的是正电

B.电源电动势大小为q mgd

C.断开电键k ，微粒将向下做加速运动

D.保持电键k 闭合，把电容器两板距离增大，微粒将向下做加速运动

〖命题意图〗

考查平行板电容器极板电压和间距与电场强度的关系。考查物体的受力分析及物体的平衡条件，考查用牛顿第二定律分析物体运动性质的能力。

〖解析思路〗

带电粒子在电容器中平衡，则有：q

q d U q qE mg ε===，因此，电源的电动势q

mgd =ε。断开k 时，因电容器极板上已有电量，并且此时两板间电势差仍为U =ε，故微粒仍平衡。因重力向下，故微粒受的电场力向上，在场强方向向下时，微粒带的负电。若把k 闭合，两极板距离变大，此时极板间电势差U =ε不变，则d

d U E ε==

变小，mg>qE ，微粒将要向下做加速运动。根据以上分析，本题答案应为B 、D 。

〖探讨评价〗

⑴带电粒子在电容器中匀速运动或静止，都属带电粒子的平衡问题。在这类问题中，常常要判断微粒的电性或计算场强的大小，用到的知识是mg F ,qE F ==，电场力方向与电荷正负的关系等。如果要分析粒子的运动情况，就要分析电场力与mg 的大小关系，最后借助牛顿第二定律判断。

⑵平行板电容器间的电场为匀强电场，该处的d U E =在电容器始终与电源相连时，U 不变；在与电源断开后再改变电容器的其它量时，Q 不变，此时改变d ，E 不变。对平行板电容器，要掌握电容表达式kd

S C πε4=。 典型案例四、带电粒子的直线运动问题

〖例2〗(1994年全国高考)如图所示。A 、B 是一对平行的金

属板，在两板间加一周期为T 的交变电压U ，A 板的电势U A =0，B

板的电势U B 随时间变化规律为：

在0到

2T 的时间内，U B =U 0(正的常数)； 在2

T 到T 的时间内，U B =-U 0； 在T 到2

3T 的时间内，U B =U 0； 在2

3T 到2T 的时间内，U B =-U 0…… 现有一电子从A 板上的小孔进入两板间的电场区内。设电子的初速度和重力的影响均可忽略。

A.若电子是在t=0时刻进入的，它将一直向B 板运动

B.若电子是在8T t =

时刻进入的，它可能时而向B 板运动，时而向A 板运动，最后打在B 板上

C.若电子是在83T t =

时刻进入的，它可能时而向B 板运动，时而向A 板运动，最后打在B 板上

D.若电子是在2

T t =时刻进入的，它可能时而向B 板运动，时而向A 板运动 〖命题意图〗

综合考查运动学、动力学和静力学的有关知识；在能力上，考查理 解、推理、分析综合以及数学工具的运用等能力，其中分析综合能力是考核的重点。

〖解析思路〗

根据题意画出两极板间的电压变化规律如图。电子受电场力d

eU F 0=，加速度

md eU a 0 ，因此画出a —t 图象如图。取由A 向B 垂直于两板的方向为正方向，按题给A 、B 、C 三个选项给出的初始条件分别作出电子运动的v —t 图象。

图象对t 轴覆盖的面积为“正”即图象在t 轴上方时，

表明电子向B 板运动；图象对t 轴覆盖的面积为“负”即图

象在t 轴的下方时，表明电子向上板运动。而任意时刻正、

负面积的代数和，则表示电子对且板的位移。

由图象容易知道A 、B 正确。

〖探讨评价〗

求解本题的难点在于电子运动性质的判断。突破难点的方法是利用初始条件和牛顿第二定律分析，并根据分析画出v B —t 、v —t 、a —t 图象，再借助图象最终求解问题。 求解带电粒子在只方向改变的交变电场中的问题，思路有两种：

思路一：用牛顿运动定律、匀变速运动规律和有关电学的知识联立求解；

思路二：用动能定理和有关电学知识求解。

〖例3〗(1993年全国高考)图中AB 是一对中间开有小孔的平行金属

板，两小孔的联线与金属板面垂直，两极板间距离为l ，两极板间加上

低频交流电压。A 板电势为0，B 板电势为U=U 0cos ωt ，现有一电子在

t=0时穿过A 板上的小孔射入电场，设初速度和重力的影响可忽略不计，

则电子在两极板间可能：

A.以AB 间某一点为平衡位置来回振动

B.时而向B 板，时而向A 板运动，但最后穿出B 板

C.一直向B 板运动，最后穿出B 板，如果ω小于某个值ω0，l 小于某个值l 0

D.一直向B 板运动，最后穿出B 板，而不论ω、l 为任何值

〖解析思路〗

由于两板间电势差为U 0cos ωt ，是随时间，大小、方向均做周期性变化的“交变电场”，带电粒子做加速度变化的变速直线运动。带电粒子在第一个T /4内做加速度变小的加速运动，第二个T /4内做加速度增大的减速运动，直至速度为0，在这前两个T /4内电子一直向O 板运动。第三、第四个T /4内电子则向A 板做上述运动直至回到出发点速度又为0，第二个周期又重复第一个周期的运动，因而假设l 足够大，则A 正确，无论在这种前提下还是l 较小B 均错误，因为若在AB 间来回运动，则不能穿出B 板；能穿出B 板则不可能来回运动。又假设交变电压的周期足够大，满足T/2> t AB (t AB 是电子从A 到B 先加速后减速时间)则C 正确，D 错误。

〖探讨评价〗

这是一道大小和方向都随时间按正弦或余弦函数变化的“交变电场”题目。处在这种

交变电场中的带电粒子，往往只要求对带电粒子的运动作定性分析，不要求作定量计算，因此，只要熟练掌握了力和运动的关系，并能深刻理解交变电场的变化规律，能把两者有机地结合起来在脑子中形成一幅清晰的物理画面，这类问题就能迎刃而解。

〖例4〗(2000年山西综合卷)如图所示，倾角为300的直角三角形底边长为2l ，底边

处在水平位置，斜边为光滑绝缘导轨。现在底边中点O 处固

定一正电荷Q ，让一个质量为m 的带负电的点电荷q 从斜面

顶端A 沿斜面滑下(始终不脱离斜面)。已测得它滑到仍在斜

边上的垂足D 处的速度为v ，问该质点滑到斜边底端C 点时

的速度和加速度各为多少？

〖命题意图〗

考查机械能守恒、电场力做功特点、点电荷的等势面及牛顿第二定律，考查分析、理解和应用能力，挖掘隐含信息能力。

〖解析思路〗 因OD OC BO BC BD ====2，则B 、C 、D 三点在以O 为圆心的同一圆周上，是O 点处点电荷Q 产生的电场中的等势点，所以，q 由D 到C 的过程中电场力做功为零，由机械能守恒定律

222

121mv mv mgh C -=…………① 其中2

3603060000L sin sin BC sin BD h === 得gL v v C 32+=…………②

质点在C 点受三个力的作用：电场力2L kQq f =

，方向由C 指向O 点； 重力mg ，方向竖直向下；支撑力N ，方向垂直于斜面向上。

根据牛顿定律，有： ma cos f sin mg =-θθ…………③

ma L kQq sin mg =-2

030 得2

2321mL kQq g a C -=…………④ 〖探讨评价〗

⑴本例也是带电粒子的直线运动，但它在运动过程中受到的电场力大小和方向皆发生变化，该题用力的观点根本无法求解，但用能量观点则不同，因D 、C 为等势点，电场力不做功，从而可用机械能守恒。

⑵本题求解关键是挖掘出D 、C 为等势点，电荷从D 到C 电场力不做功。

典型案例五、偏转问题

〖例5〗(1992年全国高考)如图，电子在电势差U 1的加

速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U 2的两块平行

极板的电场中，入射方向跟极板平行。整个装置处于真空中，

重力可忽略。在满足电子能射出平行板磨的条件下，下述四种

情况中，一定能使电子的偏转角φ变大的是：

A.U 1变大，U 2变小

B.U 1变小，U 2变大

C.U 1变小，U 2变小

D.U 1变大，U 2变大

〖命题意图〗

考查动能定理、运动的合成与分解、偏转角；在能力上，考查考生把电学知识和力学知识结合在一起进行综合分析问题和解决问题的能力。

〖解析思路〗 电子在加速电场中由动能定理得20121mv eU = 电子在偏转电场中有：t md eU v ,v v ,t v L y x x 20=

== 由以上各式得：1

22dU LU v v tg x y

==φ，可知要使甲增大必然U 2变大，U 1变小，故选B 。 〖探讨评价〗

⑴本题正是《考试说明》要求掌握的那种带电粒子垂直电场线进入电场的那类问题。解这类问题要用类似平抛运动的分析方法，即分析时一般都分解为两个方向的分运动来处理。

在垂直电场线方向上，粒子做匀速运动，0v v x =，偏转时间0

v L t =； 在平行电场线方向上粒子做初速为零的匀加速运动，at v y =，22

1at y =。 当不计重力时，md qU a =，偏转距离2

0???? ??=v L md qU y ，偏转角201v md qLU v v tg U x y ==φ ⑵带电粒子垂直电场线进入匀强电场中时，当它从电场中穿出时的速度方向的反向延长线，与进入电场时方向所在的直线的交点恰好为电场宽度的一半(或极板长的一半)。