函数概念、三要素

映射

以前遇到过的有关“对应”的例子

1︒ 看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系。

2︒ 对任意实数a ，数轴上都有唯一的一点A 与此相对应。 3︒ 坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y )和它对应。 4︒ 任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应。

一种特殊的对应：映射

（1） （2） （3） （4） 1．先讲清对应法则：然后，根据法则，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有一个（或几个）元素与此相对应。

2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④） 3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。 4．注意映射是有方向性的。

5．符号：f ： A B 集合A 到集合B 的映射。 6．讲解：象与原象定义。

再举例：1︒A ={1,2,3,4} B ={3,4,5,6,7,8,9} 法则：乘2加1 是映射 2︒A =N + B ={0,1} 法则：B 中的元素x 除以2得的余数 是映射 3︒A =Z B =N * 法则：求绝对值 不是映射（A 中没有象）

4︒A ={0,1,2,4} B ={0,1,4,9,64} 法则：f ：a b =(a -1)2 是映

射

三、一一映射

1︒对于集合

A 中的不同元素，在集合

B 中有不同的象

（单射）

2︒集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）即集合B中的每一个元素都有原象。从而得出一一映射的定义。

例一：A={a,b,c,d} B={m,n,p,q} Array它是一一映射

函数

一、定义：

1、函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f：A B这里A, B非

空。

2、A：定义域，原象的集合

B：值域，象的集合（C）其中C⊆B

f：对应法则x∈A y∈B

3︒函数符号：y=f(x) ——y是x的函数，简记f(x)，

X和y可以用别的字母代替。

3、关于函数值f(a) 例：f(x)=x2+3x+1 则f(2)=22+3×2+1=11

注意：1︒在y=f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样。

2︒f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。

3︒f(x)与f(a)是不同的，前者为函数，后者为函数值。

二、函数三要素

1、定义域：函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

复合函数的定义域求法：

（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；

求法：由a

求法：由a

）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。

函数相同的判别方法：

函数是否相同，看定义域和对应法则。

2、对应法则，常用的函数表示法有三种：解析法、列表法、图象法。

（1）解析法：

定义：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的

解析表达式。

它的优点是：关系清楚，容易求函数值、研究性质。

分段函数的定义：

在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。 说明： （1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出； （2）．分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同。

又例： 31--+=x x y 我们可用“零点法”把绝对值符号打开，即：

31--+=x x y =⎪⎩⎪

⎨⎧--4224

x 3311>≤<--≤x x x

这一种函数我们把它称为分段函数。

利用换元法、定义法、待定系数法等方法求函数解析式。 1．若)21(x x x f +=+,求f (x )。 例二、已知f (x )=ax +b ,且af (x )+b =ax +8 求f (x )

已知函数f(x)满足1

()2()f x f x x

-=，求函数f(x)的解析式。

（2）列表法：

定义：列出表格来表示两个变量的函数关系。 它的优点是：不必通过计算就能知道函数对应值。

例：初中接触过的平方表，平方根表，立方表，立方根表，三角函数表，

汽车、火车站的里程价目表等等。

（3）图象法

定义：用函数图象表示两个变量之间的关系。

例：平时作的函数图象：二次函数、一次函数、反比例函数图象。 它的优点是：直观形象地表示出函数变化情况。

注意：函数的图象可以是直线（如：一次函数）、曲线（如：抛物线），也可

以是折线及一些孤立的点集（或点）。 （讲授图像的变化，平移、缩减、翻折、对称）

3、值域

1．直接法（观察法）：

例一、求下列函数的值域：1︒ 1

+=x x

y 2︒ x x f -+=15)( 2．二次函数法：

例二、1︒若x 为实数，求 y =x 2+2x +3的值域

2︒求函数 242x x y --=的值域

3．判别式法（△法）

例三、求函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域

4．换元法

例四、求函数x x y -+=142的值域