保角变换

§3.3 保角变换

通过保角变换，把物理平面上的复杂几何域映射成像平面上的单位圆、半无限平面等简单规则域；同时把物理平面上的基本关系也用像平面上的复变量表示。先在像平面的规则域上寻找满足这些基本关系的解，然后把结果返回物理平面就得到实际问题的解。这种保角变换技术在下面介绍的级数展开法，柯西积分法以及解析延拓法中均能采用。

3.3.1 保角变换与曲线坐标 采用保角变换

()ζω=z ，

把弹性体在z 平面上所占的区域变换为ζ平面上的区域。数学家已经进行了大量的研究，各种相应区域的保角变换解析函数)(ζω可从保角变换手册中查到。在ζ平面上令

θρθθρζi e i =+=)sin (cos ， (3-17)

式中ρ和θ是ζ点的极坐标(不是z 点的极坐标)。ζ平面上的一个圆周const.ρ=和一根径向线const.θ=分别对应于z 平面上的一根曲线。这两根曲线也就可以用const.ρ=和

const.θ=来表示，如图3-3所示。于是，ρ和θ是z 平面上一点的曲线坐标。由于变换的

保角性，这两组曲线总是正交的，相应的切线ρ和θ叫曲线坐标轴，它们的相对方向与坐标

轴x 和y 相同。

设z 平面上有一个矢量F ，它的起点在()()i z e θωζωρ==。F x 及F y 为这矢量在x 及y 轴上的投影，ρF 及θF 是它在ρ及θ轴上的投影。设ρ轴与x 轴成角λ，则由几何关系有

cos sin ,

sin cos x y F F F F F F ρθρθλλλλ

=-=+.

于是可得

()i x y F iF F iF e λρθ+=+

即

()i x y F iF F iF e λρθ-+=+ (1)

为了求得λi e -，设想沿ρ轴方向给z 点以位移d z ，因而对应点ζ得径向位移d ζ，且

d d , d d i i z

e z e λθζζ==。

故

()()()

d ()d ()()

d d i i z

e e z λθωζζωζζωζρωζζωζωζ'''=

===

'''?. (2) 上式两边取共轭，得i e λ-，于是(1)式变为

()

()()

x y F iF F iF ρθζωζρωζ'+=

+'

(3)

3.3.2 保角变换后的位移与应力公式

首先把其中z 的函数变换为ζ的函数。为此，引用如下记号

()[]()[]1111()(),()(),z z ?ζ??ωζψζψψωζ?==?

?==??

(3-18)

图3-3

()()111()()/(),()()/(),()()().

z z z Φζ??ζωζψζψψζωζΦζ?ωζ'''==?

?

'''==??''''=??

(3-19)

再将式(3-18)代入式(3-10)得

)()()

()()(13)(1ζψζ?ζωζωζ?ννν-''-+-=++iv u E 。 (3-20)

设位移矢量在ρ轴及θ轴上的投影分别为u ρ及u θ，则仿式(3)有

()

()()

u iu u iv ρθζωζρωζ'+=

+'， (4)

再将式(3-20)代入式(4)得

()3()

()()()()1()1()E u iu ρθζωζνωζ?ζ?ζψζνρωζνωζ??'-'+=--??'++'??

。 (3-21)

这是曲线坐标位移分量的复势表示。

设、、ρθρθσστ为弹性体在曲线坐标ρ和θ中的应力分量，设ρ轴与x 轴正向夹角为λ，如图3-2所示，利用坐标变换关系可得

2,

2(2)y x i y x xy i i e θρλ

θρρθσσσσσστσστ+=+-+=-+

将式(3-8)及(3-9)代入以上两式，并注意到式(2)和式(3-19)，有

[]12114Re (),22()()i z i z z z e θρλθρρθσσ?σστ?ψ'+=??

?'''-+=+??。

(5)

而()()

()()()

22222i 2

22

==e λζωζζωζρωζωζρωζ'''''可得

22

4Re (),

22()()()()。()i θρθρρθ

σσΦζζσστωζΦζωζψζρωζ+=??

???''-+=+???'?

(3-22)

这是曲线坐标应力分量的复势表示。注意这些分量在z 平面一般不是极坐标分量。

下面将简要介绍弹性复势理论的三种主要求解方法，有关契合问题的求解将在第5章弹性界面问题中介绍。更为详尽的论述请读者参阅著作[10]。