中考数学专项复习：第八讲 反比例函数

第八讲反比例函数

命题点分类集训

命题点1 反比例函数的图象与性质

【命题规律】考查内容：①函数图象所在象限与 k 之间的关系；②函数增减性与 k 之间的关系；③函数图象上的点满足函数条件来确定解析式或求k值；④函数图象上点的坐标值比较大小；⑤写出函数图象上的特殊点；⑥判断函数的图象．

【命题预测】反比例函数图象与性质作为反比例函数的基础知识点，是命题的一大趋势，掌握函数图象与k之间的关系是解决问题之关键．

1.点(2，－4)在反比例函数y＝k

x

的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )

A. (2，4)

B. (－1，－8)

C. (－2，－4)

D. (4，－2)

1. D

2.姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的叙述，姜老师给出的这个函数表达式可能是( )

A. y＝3x

B. y＝3

x

C. y＝－

1

x

D. y＝x2

2. B

3.函数y＝

2

x＋1

的图象可能是( )

3. C

4.我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y＝－3

x

的图象上

有一些整点，请写出其中一个整点的坐标________．

4. (1，－3)(答案不唯一，合理即可) 【解析】对于y ＝－3

x ，依题意，说明只要x 是3的

约数即可，如(1，－3)，(－1，3)．

5.已知反比例函数y ＝k x

(k ≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是________．

5. k>0 【解析】∵反比例函数y ＝k

x (k ≠0)，图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值

增大而减小，∴k 的取值范围是：k ＞0.

6.已知点(m －1，y 1)，(m －3，y 2)是反比例函数y ＝m x

(m <0)图象上的两点，则y 1________y 2(填“>”或“＝”或“<”)．

6. ＞ 【解析】∵m ＜0，∴反比例函数y ＝m

x 的图象位于第二、四象限，且在每一象限

内y 随x 的增大而增大，又∵m －1＞m －3，∴y 1＞y 2. 命题点2 反比例函数k 的几何意义

【命题规律】1.考查内容：①根据几何体面积确定k 值或k 的相关式子；②利用反比例函数解析式计算三角形、四边形面积.2.题型主要为选择题或填空题．

【命题预测】反比例函数几何意义是反比例函数与几何有机结合的表现，常受到命题人的青睐，学生应熟练掌握|k|与图形面积之间的关系，提高解题熟练度和准确性．

7.如图，过反比例函数y ＝k x

(k ＞0)的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB ＝2，则k 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

第7题图 第8题图 第9题图

7. C 【解析】 ∵点A 在反比例函数y ＝k x

的图象上，且AB ⊥x 轴于点B ，设点A 坐标为(x ，

y )，∴k ＝xy ，∵点A 在第一象限，∴x 、y 都是正数，∴S △AOB ＝12

OB ·AB ＝12

xy ，∵S △AOB ＝2，∴k ＝xy ＝4. 8. (2015陕西)如图，在平面直角坐标系中，过点M (－3，2)分别作x 轴、y 轴的垂线，与反

比例函数y＝4

x

的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为________．

8. 10【解析】如解图，设AM与x轴交于点C，MB与y轴交于点D，∵点A、B分别在

反比例函数y＝4

x

上，根据反比例函数k的几何意义，可得S

△ACO

＝S

△OBD

＝

1

2

×4＝2，∵M(－3，

2)，∴S

矩形MCOD ＝3×2＝6，∴S

四边形MAOB

＝S

△ACO

＋S

△OBD

＋S

矩形MCOD

＝2＋2＋6＝10.

9. (2016南昌)如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝k

1

x

(x＞0)及y2＝

k

2

x

(x＞0)的

图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝__________．

9. 4 【解析】∵反比例函数y

1＝

k

1

x

(x＞0)及y

2

＝

k

2

x

(x＞0)的图象均在第一象限内，

∴k

1＞0，k

2

＞0，∵AP⊥x轴，∴S

△OAP

＝

1

2

k

1

，S

△OBP

＝

1

2

k

2

，∴S

△OAB

＝S

△OAP

－S

△OBP

＝

1

2

(k

1

－k

2

)

＝2，解得k

1－k

2

＝4.

命题点3 反比例函数与一次函数综合题

【命题规律】1.考查内容：①一次函数与反比例函数图象的分析；②一次函数与反比例函数解析式的确定(或字母系数的确定)；③已知一次函数与反比例函数交点坐标关系，确定反比例函数中字母系数的取值；④一次函数与反比例函数组成不等式的解集(或自变量取值范围，主要是数形结合思想的应用)；⑤与几何图形综合的相关问题. 2.解决此类问题的关键是掌握函数图象交点的应用，能够通过题设条件转化为方程组求交点坐标．【命题预测】反比例函数与一次函数的综合题，很好地考查了函数间知识的连接性，且涉及到了数形结合思想，故此类试题倍受命题人青睐，值得关注．

10.如图，在同一直角坐标系中，函数y＝k

x

与y＝kx＋k2的大致图象是( )

10. C 【解析】当k >0时，反比例函数y ＝k x

图象的两个分支分别位于第一、三象限，直线

y ＝kx ＋k 2

经过第一、二、三象限，没有符合题意的选项；当k <0时，反比例函数y ＝k

x

图象

的两个分支分别位于第二、四象限，直线y ＝kx ＋k 2经过第一、二、四象限，只有C 符合题意.

11.如图，直线y ＝－2x ＋4与双曲线y ＝k x

交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，若AB ＝2BC ，则

k ＝________．

第11题图 第12题图 第13题图

11. 32 【解析】设A(x 1，k x 1)，B(x 2，k x 2)，∵直线y ＝－2x ＋4与y ＝k

x 交于A ，B 两点，

∴－2x ＋4＝k x ，即－2x 2

＋4x －k ＝0，∴x 1＋ x 2＝2，x 1x 2＝k 2，如解图，过点A 作AQ ⊥x 轴于

点Q ，BP ⊥AQ 于点P ，则PB ∥QC ，∴AP PQ ＝AB BC ＝2，即k x 1－k

x 2k x 2＝2，∴x 2＝3x 1，∴x 1＝ 12，x 2 ＝ 3

2

，

∴k ＝ 2x 1x 2＝3

2

.

12.如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1、y 2的图象在第一象限内分别交于点A 、B ，且A 为OB 的中点．若函数y 1＝1

x

，则y 2与x 的函数表达式是________．

12. y 2＝4x 【解析】设y 2与x 的函数关系式为y 2＝k

x ，A 点坐标为(a ，b)，则ab ＝1.又A 点

为OB 的中点，因此，点B 的坐标为(2a ，2b)，则k ＝2a ·2b ＝4ab ＝4，所以y 2与x 的函数关系式为y 2＝4

x

.

13.如图，直线y 1＝kx (k ≠0)与双曲线y 2＝2

x

(x >0)交于点A (1，a )，则y 1>y 2的解集为________．

13. x ＞1 【解析】当x ＞1时，直线的图象在双曲线图象的上方，即y 1＞y 2.因此，y 1＞y 2的解集为x ＞1.

14.如图，一次函数y ＝kx ＋b (k <0)与反比例函数y ＝m x

的图象相交于A 、B 两点，一次函数的

图象与y轴相交于点C，已知点A(4，1)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)连接OB(O是坐标原点)，若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．

14. 解：(1)把A(4，1)代入y＝m

x

得1＝

m

4

.

∴m＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝4 x .

(2)过点B作BE⊥y轴于点E，如解图，设点B坐标为(n，4

n

)，则OE＝

4

n

，BE＝n.

∴S

△BEO ＝

1

2

OE·BE＝2，

∵S

△BOC

＝3，

∴S

△BCE

＝1，

∴OE∶EC＝2∶1，

∴CE＝2

n

，OC＝

6

n

.

设直线AB的解析式为y＝kx＋6

n

，把(n，

4

n

)和(4，1)分别代入得：

??

?

??4n＝nk＋6n

1＝4k＋

6

n

，

解得???n ＝2k ＝－12

，

∴6

n

＝3， ∴一次函数的解析式为y ＝－1

2x ＋3.

15.在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象与反比例函数y ＝k

x (k ≠0)的图象

交于第二、第四象限内的A ，B 两点，与y 轴交于C 点，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ，OH ＝3，tan ∠AOH ＝4

3，点B 的坐标为(m ，－2)．

(1)求△AHO 的周长；

(2)求该反比例函数和一次函数的解析式．

15. (1)【思路分析】在Rt △AOH 中用三角函数求出AH ，再用勾股定理求出AO ，进而得周长．

解：在Rt △AOH 中，tan ∠AOH ＝4

3，OH ＝3，

∴AH ＝OH ·tan ∠AOH ＝4， ∴AO ＝OH 2＋AH 2＝5，

∴C △AOH ＝AO ＋OH ＋AH ＝5＋3＋4＝12.

(2)【思路分析】由(1)得出A 点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式，由反比例函数解析式求出B 点坐标，最后把A 、B 点坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式．

解：由(1)得，A(－4，3)，

把A(－4，3)代入反比例函数y ＝k

x 中，得k ＝－12，

∴反比例函数解析式为y ＝－

12x

，

把B(m ，－2)代入反比例函数y ＝－12

x 中，得m ＝6，

∴B(6，－2)，

把A(－4，3)，B(6，－2)代入一次函数y ＝ax ＋b 中，得 ???6a ＋b ＝－2－4a ＋b ＝3

， ∴???a ＝－1

2b ＝1

， ∴一次函数的解析式为y ＝－1

2x ＋1.

中考冲刺集训一、选择题

1.反比例函数y＝－1

x

的图象上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若x1<0

是( )

A. y1

B. y1<0

C. y1>y2>0

D. y1>0>y2

2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是( )

A. v＝320t

B. v＝320

t

C. v＝20t

D. v＝

20

t

3.若一次函数y＝mx＋6的图象与反比例函数y＝n

x

在第一象限的图象有公共点，则有( )

A. mn≥－9

B. －9≤mn＜0

C. mn≥－4

D. －4≤mn≤0

4.如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB

＝4

5

，反比例函数y＝

48

x

在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF

的面积等于( )

A. 60

B. 80

C. 30

D. 40

二、填空题

5.如图，点A在函数y＝4

x

(x>0)的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的

周长为________．

第5题图第6题图第7题图

6.已知反比例函数y＝k

x

(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是________(写一个即可)．

7.如图所示，反比例函数y＝k

x

(k≠0，x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若

矩形OABC的面积为8，则k的值为________．

8.双曲线y＝m－1

x

在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．

9.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数

y＝k

x

的图象上，则k的值为________．

第9题图第10题图

10.如图，点A为函数y＝9

x

(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝

1

x

(x＞0)的图象于点B，

点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为________．

三、解答题(共3题，第11题6分，第12～13题每题7分，共20分)

11.如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(2，5)在反比例函数y＝k

x

的图象上，

一次函数y＝x＋b的图象经过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B.

(1)求k和b的值；

(2)设反比例函数值为y1，一次函数值为y2，求y1>y2时x的取值范围．

12.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝m

x

(x>0)的图象交于A(2，－1)，B(

1

2

，

n)两点，直线y＝2与y轴交于点C.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)求△ABC的面积．

13.环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示．其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．

(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

1. D【解析】根据反比例函数的性质或者利用特殊值法即可作出选择．方法一：∵反

比例函数y＝－1

x

中k＝－1＜0，∴当x＜0时，y＞0；当x＞0时，y＜0.又∵x1＜0＜x2，∴

y

1

＞0＞y2.故选D.方法二：令x1＝－1，则y1＝1，令x2＝1，则y2＝－1，∴y1＞0＞y2.

2. B【解析】∵由题意可得路程s＝80×4＝320，∴v＝320 t

.

第3题解图

3. A 【解析】如解图，根据题意，两个函数的图象在第一象限有公共点，则关于x 的方程n x

＝mx ＋6有实数根，方程化简为：mx 2＋6x －n ＝0，显然m ≠0，Δ＝36＋4mn ≥0，所以

mn ≥－9，由于一次函数与反比例函数y ＝n

x 在第一象限的图象有公共点，所以n ＞0，显然当

一次函数y 随x 的增大而增大时，两个函数图象在第一象限有交点，即mn ≥－9符合题意．

第4题解图

4. D 【解析】如解图所示，过点A 作AG ⊥OB ，垂足为G ，设A 点纵坐标为4m ，∵sin ∠AOB ＝45，∴OA ＝5m ，根据勾股定理可得OG ＝3m ，又∵点A 在反比例函数y ＝48

x 上，∴3m ×

4m ＝48，∴m 1＝2，m 2＝－2(不合题意，舍去)，∴AG ＝8，OG ＝6，OA ＝OB ＝10，∵四边形OBCA 是菱形，∴BC ∥OA ，∴S △AOF ＝12S 菱形OBCA ＝12×AG ×OB ＝1

2

×8×10＝40.故选D .

5. 26＋4 【解析】设点A的坐标为(x，y)，根据反比例函数的性质得，xy＝4，在Rt△ABO中，由勾股定理得，OB2＋AB2＝OA2，∴x2＋y2＝16，∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝16＋8＝24，又∵x＋y>0，∴x＋y＝26，∴△ABC的周长＝26＋4.

6. －2(答案不唯一) 【解析】根据反比例函数的图象在二、四象限，则k＜0，如k＝－2(答案不唯一)．

第7题解图

7. 2 【解析】由题意可知，D点在反比例函数图象上，如解图所示，过点D作DE⊥x

轴于点E，作DF⊥y轴于点F，则k＝x

D ·y

D

＝DF·DE＝S

矩形OEDF

，又D为对角线AC中点，所以

S

矩形OEDF ＝

1

4

S

矩形OABC

＝2，∴k＝2.

8. m＜1【解析】∵在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，∴双曲线在二、四

象限内，∴在函数y＝m－1

x

中，m－1＜0，即m＜1.

第9题解图

9. －6 【解析】如解图，连接AC交y轴于点D，因为四边形ABCO是菱形，且面积为

12，则△OCD 的面积为3，利用反比例函数k 的几何意义可得k ＝－6.

10. 6 【解析】 设A 点的坐标为(a ，9a )，直线OA 的解析式为y ＝kx ，于是有9

a ＝ka ，

∴k ＝9a 2

，直线为y ＝9a 2

x ，联立得方程组?????y ＝9a 2

x y ＝1

x

，解得B 点的坐标为(a 3，3

a )，∵AO ＝AC ，A(a ，

9a )，∴C(2a ，0)，∴S △ABC ＝S △AOC －S △BOC ＝12×2a ×9a －12×2a ×3

a

＝9－3＝6. 11. 解：(1)把点A(2，5)代入反比例函数的解析式y ＝k

x ，

∴k ＝xy ＝10，

把(2，5)代入一次函数的解析式y ＝x ＋b ， ∴5＝2＋b ， ∴b ＝3.

(2)由(1)知k ＝10，b ＝3， ∴反比例函数的解析式是y ＝

10x

， 一次函数的解析式是y ＝x ＋3. 解方程x ＋3＝10

x

，

∴x 2＋3x －10＝0，

解得x 1＝2(舍去)，x 2＝－5， ∴点B 坐标是(－5，－2)，

∵反比例函数的值大于一次函数值，即反比例函数的图象在一次函数图象上方时，x 的取值范围，

∴根据图象可得不等式的解集是x ＜－5或0＜x ＜2.

12. 解：(1)∵点A(2，－1)在反比例函数y ＝m

x 的图象上，

∴－1＝m

2

，即m ＝－2.

∴反比例函数的解析式为y ＝－2

x

.

∵点B(12，n)在反比例函数y ＝－2

x

的图象上，

∴n ＝－212

＝－4，即点B 的坐标为(1

2，－4)．

将点A(2，－1)和点B(1

2

，－4)分别代入y ＝kx ＋b ，得

第12题解图

???2k ＋b ＝－112

k ＋b ＝－4，解得?

??k ＝2

b ＝－5， ∴一次函数的解析式为y ＝2x －5. (2)如解图，设直线AB 交y 轴于点D.

令y ＝2x －5中x ＝0，得y ＝－5，即点D 的坐标是(0，－5)， ∴OD ＝5.

∵直线y ＝2与y 轴交于点C ， ∴C 点的坐标是(0，2)， ∴CD ＝OC ＋OD ＝7.

∴S △ABC ＝S △ACD －S △BCD ＝12×7×2－12×7×12＝7－74＝21

4

.

13. 解：(1)当0≤x ≤3时，设线段AB 的解析式为y ＝kx ＋b ， 代入点A(0，10)，B(3，4)，得：???b ＝10

3k ＋b ＝4，

解得???k ＝－2b ＝10

，

∴线段AB 的解析式为y ＝－2x ＋10.

当x>3时，设反比例函数的解析式为y ＝m

x ，代入点B(3，4)，得m ＝12，

∴反比例函数的解析式为y ＝

12x

， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝???－2x ＋10（0≤x ≤3）

12x （x>3）

.

(2)能．理由如下：

当x ＝15时，代入y ＝12

x

，得y ＝0.8<1.0，

所以企业能在15天内使所排污水的硫化物的浓度不超过1.0 mg /L . 【一题多解】可令y ＝

12

x

＝1，则x ＝12＜15. 所以企业能在15天内使所排污水的硫化物的浓度不超过1.0 mg /L .