第二章赋范线性空间黎永锦
第2章 赋范线性空间
虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,
从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设
足以解释许多现象.
Eurler L .(欧拉)
(1707-1783,瑞士数学家)
Schmidt E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||:){(1
2∞<∑∞
=i i i z z 时引入记号||||z 来
表示2
11
)
(
∑∞
=i i
i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918 年关
于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、H a h n
H .（1879—1934）、H e l
l y E .（1884—1943）和 Wiener N .（1894
—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响.
2.1赋范空间的基本概念
线性空间是Peano Giuseppe 在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为
Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,
第三组给出了空间的完备性.
定义K R C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||?是X 到R 的映射,且满足下列条件： (1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ; (3) ||||||||||||y x y x +≤+,对任意X y x ∈, .
则称||||?为X 上的范数,而||||x 称为x 的范数,这时称||)||,(?X 为赋范线性空间.
明显地,若||)||,(?X 为赋范线性空间,则对任意X y x ∈,,定义||||),(y x y x d -=时,),(d X 为度量空间,但对一般的度量空间),(d X ,当X 为线性空间时,若定义)0,(||||x d x =,则||||x 不一定就是X 上的范数.
例s ,则明显地,s 为线性空间,对任意的s y x ∈,, 定义 则 但
取)0,,0,1(0 =x ,2
10=λ,则 而 因此
所以,)0,(0x d 不是s 上的范数.
问题X d , 它满足什么条件时,)0,(||||x d x =才能成为范数？
定理X ,d 是X 上的度量,在X 上规定)0,(||||x d x =,则X 成为赋范线性空间的条件是：
(1))0,(),(y x d y x d -=,对任意X y x ∈, ；
(2) )0,(||)0,(x d x d λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ.
下面举出赋范线性空间的一些例子.
例}||,|){(1
1∞<∈=∑∞
=i i
i i x
K x x l ,∑∞
==1
||||||i i x x 是1l 的范数, 即||)||,(1?l 是赋范线性
空间.
例∞<≤p 1,}||,|){(1
∞<∈=∑∞
=i p i
i i p x
K x x l 在范数
下是赋范线性空间.
例}||sup ,|){(∞<∈=∞i i i x K x x l ||sup ||||i x x = 例}0lim ,|){(0=∈=∞
→i i i i x K x x c ||sup ||||i x x =
例2.1.7}],[)(|)({],[上的连续函数为b a t x t x b a C =,在范数|)(|sup ||||t x x =下是赋范线性空间.
由于赋范线性空间在度量||||),(y x y x d -=下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.
定义X X x X x n ∈?0,}{, 若n x 依度量||||),(y x y x d -=收敛于0x , 即
0||||lim 0=-∞
→x x n n ,则称n x 依范数||||?收敛于0x ,记为
在赋范线性空间中,仍然用}|||||{),(00r x x X x r x U <-∈=记以0x 为球心,r 为半径的开球,用}|||||{),(00r x x X x r x B ≤-∈=记以0x 为球心,r 为半径的闭球.为了方便,用