Chapter5.3常系数线性微分方程组
常系数线性微分方程的一般解法
如何将常系数线性微分方程与其他领域的知识进行交叉融 合，如人工智能、大数据等，是一个值得探索的方向。
复杂系统建模
随着对复杂系统的研究深入，如何建立更精确的数学模型 ，并求解这些模型，是未来研究的重要挑战。
应用拓展
随着科技的发展，常系数线性微分方程的应用领域也在不 断拓展，如何将其应用于新领域并解决实际问题，是一个 具有挑战性的任务。
二阶常系数线性微分方程
01
方程形式
y'' + p*y' + q*y = r
特征根法
根据特征方程的根的性质，将方程 化为标准形式，然后求解
03
02
解法
通过特征根法或公式法求解
公式法
根据特征方程的根，利用公式求解 通解
04
高阶常系数线性微分方程
方程形式
y(n) + a1*y(n-1) + a2*y(n-2) + ... + an*y = 0
是已知函数的线性组合。
齐次方程的解在求解非齐次方程时也经常用到，因为非齐次项
03
可以通过与齐次方程的解进行运算来消去。
非齐次方程的求解
01
非齐次方程是常系数线性微分 方程的一种常见形式，其解法 相对复杂。
02
非齐次方程的解可以通过常数 变易法或待定系数法求解，其 解的形式通常是已知函数的线 性组合加上一个特解。
常系数线性微分方程的一 般解法
• 引言 • 常系数线性微分方程的解法 • 举例说明 • 总结与展望
01
引言
微分方程的定义与重要性
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的数学工具，广泛应用于物 理、工程、经济等领域。
一阶线性微分方程组常系数线性微分方程组的解法1
第四讲常系数线性微分方程组的解法(4课时)一、冃的与要求：理解常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念，掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学于段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组.但是对于一般的方程组(3.8), 如何求岀基本解组，至今尚无一般方法.然而对于常系数线性齐次方程组dx(3.20)下面分两种情况讨论.(-)矩阵A的特征根均是单根的情形.设特征根为人，入,…，人,这时入0T~[AT0 A, 方程组(3.20)变为(3.23)易见方程组(3.23)有〃个解Z](兀)=0 严，Z2(x) =■■0010•■乙(兀)= 0■■A..x eH ■■1把这〃个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的舁个解5hi(Z = h Z…加这里7；是矩阵丁第例向豊它恰好是矩阵A关于特征根人的特征向量，并且由线性方程组(A-4E)£=0所确定.容易看岀，y,(X),§(X),…比(x)构成(3.20)的一个基本解组,因为它们的朗斯基行列式W (x)在x = 0时为W(0) = det T工0・于是我们得到定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的〃个特征根入，希，…，人,彼此互异，且7；込,…卫分别是它们所对应的特征向量，则Z (劝=尹7],场(劝=/込，…比(X)= e A"x T n是方程组(3.20)的一个基本解组.例1试求方程组的通解.解它的系数矩阵是4 = 特征方程是det(A-2E)=3-1 1 _-15-13-13-2-11-15-2-1=0 3-13-2dxdt= 3x- y + zdzdt=x- y + 3z23-lU 2+362-36 = 0所以矩阵A 的特征根为人=2,人=3,入=6.先求A =2对应的特征向量，仅C 满足方程a■ 1-1 1 _Cl（A-人 E ） b —— -1 3 -1 b =0c1 -1 1 c即a-b + c = 0 < -a + 3b-c = 0 a-b + c = Q可得a = —c,b = °.取一组非零解，例如令° = 一1 ,就有 d = l,b =0,c = —1.同样，可求出另两个特征根所对应的 特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是故方程组的通解是_1 -■f■ 1 ■W)=C {e 2t 0 + C 2e 3f1 + Ge" -2 z(f)-111（二）常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dY 二AYdx(3.20)归结为求矩阵4的特征根和对应的特征向量问题.现在 考虑复根情形.因为4是实的矩阵，所以复特征根是共辘出 现的，设\2=a±i 0是一对共辘根，由定理3.11,对应 解是Y x (x) = e^x T x , Y 2 (%) = e^xT 2其中£兀是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们 希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现.定理3・12如果实系数线性齐次方程组罕=A(X)Y ax 有复值解Y(%)=U(X)+ iV(x)其中L/(x)与卩(兀)都是实向量函数，则其实部和虚部坷(兀)t/(x) =w2(x)■■■，VW =认)■叫(X) 也)证明因为Y(兀)=U(x) + iV(兀)是方程组(3.8)的解，所以dx v ] dx dx=A(x)[U (x) + iV (x)] = A(x)U (x) + iA(x)V (x)由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：dx，dx即g),«)都是方程组(3.8)的解•证毕.定理3・13如果Z (x), Y2 (x),…,人(x)是区间(恥)上的« 个线性无关的向量函数，也厶是两个不等于零的常数，则向量函数组卅(劝+如],^KW-^(x)],5(劝,・・・,匕(劝(3.24)在区间(a, b)上仍是线性无关的.证明(反证法)如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在〃个不全为零的常数g…,c“,使得对区间(小上的所有兀皆有Cp][X(x) + §(x)] + C2b2[Y{(X)-Y2(X)]+C3Y3O) + …+ C n Y n(x)三0所以(C、b\ + C2b2)Y.(x) + (CQ\ — C2b2)Y2(x) + (x) + …+C n Y n O)三0因为乙(兀)卫(劝,…,乞(兀)线性无关,从而CQ] + C2b2 = 0, C\b[ — C2b2 =0, C3 = 0,…,C” = 0从上式可知，C {b { =C 2Z?2 =0,因为％/?2鼻0,故 6=0=°.即所有常数g …c 都等于零，矛盾.证毕.由代数知识知，实矩阵4的复特征根一定共辘成对地岀 现•即，如果a = a +ib 是特征根，则其共^A = a-ib 也是 特征根.由定理3.11,方程组(3.20)对应于^ = a + ib 的复 值解形式是"1 +"12 Y](x)二严初7二严也■ ■ ■『21 +”22 ■t n□ +心2这里E 是对应于^ = a + ib 的特征向量.由于矩阵A 是实 的，所以上述向量的共辘向量是方程组(3.20)对应于特征根=e ax (cos bx + i sinbx)+ "12 ■ h\ +"22G cos bx-t n sinbxt n cosbx + t n sinbxcos bx -sinbx・ClX4 cosbx + q sinbx■ ■+ ie■■t nl cosbx-t n2 sinbxt n2 cosbx + f 川 sinbx+ lt n2A = a-ib 的解，记作丫2(兀)=严沥工，•现将上述 两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为t n cosbx + 帚 sinbx 切 cosbx + Q sinbx■t n2 cosbx + g sinbx由定理3.12和定理3.13,它们分别是方程组(3.20)的解，并 且由此得到的n 个解仍组成基本解组.|[Y 1(X ) + Y 2(X )] = ^cos bx-t n sinbxZ 21 cos bx-12? sinbx■ ■ ■t ni cosbx-t n2 sinbx1[Y 1(X )-Y 2W] = ^2z例2求解方程组dxdt -x-y-z dt 二兀+ydz = 3x + zdt解它的系数矩阵为-1 1-Z 0-1 0 1-A(2-1)(22-22+5) = 0特征方程是-1 -11-2det(A -AE)=特征根为人=1，育 3 = 1 ± 2Z先求人=i对应的特征向量为~0_T.= 1-1再求人=1 + 2,所对应的特征向量丁2.它应满足方程组~-2i-1-T a(A-(1+2Z)E)T2=1-2i0b=030-2i c-2ia-b-c二0< a — 2bi — 03a-2ci = 0用力乘上述第一个方程两端，得4a-2bi-2ci = 0< a - 2bi = 0 3a —2c 心 0显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程 组中仅有两个方程是独立的，即a — 2bi = 0 3a — 2ci = 0求它的一个非零解.不妨令" = 2.贝ljb = l,c = 3・于是人= 1 + 2/对 应的解是故原方程组的通解为_0_-2 sin It2 cos 2?=C0 1 +cos2r + C 3e ，sin 2t z(x) -13 cos It3 sin 2t(三)矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11,我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这 些特征根所对应的特征向量.然而，当~2i~~2i ~-2 sin 2t2cos2r 1 =e r (cos 2t + i sin 2f)1 =e r cos 2tsin 2t333 cos 2t3sin2fe (l+2/)/矩阵A的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若人是A 的出重特征根，则由齐次线性方程组(A - 4E)!；二0所决定的线性无关特征向量的个数人，一般将小于或等于特征根人的重数匕若幷半，那么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同•若齐＜«,由线性代数的知识，此时也可以求岀匕个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T的列向量，可将矩阵A化成若当标准型J.TAT=山■_ J加-其中未标岀符号的部分均为零无素，而是化阶约当块，/+©+…+灯=仏"…，九是(3.20)的特征根, 它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成JZ~cbc(3.25)根据(3.25)的形式，它可以分解成为〃7个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子, 说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构.对于一般情形，其推导是相似的.设方程组Dx(3.26)中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换Y=TZ 其中T =(G (L_/ = 1,2,...,5)且 delTHO,将方程组(3.26)化为(3.27)dx我们假定1 0 0 o -0 A 1 0 0J = 00 A 0 00 0 010 0 0 0这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组(3.28)(3.29)在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得(C AZ[ = — x2 + C^x + C, e A[X12! ~ JZ2 = (C3x + C2)e z,A同样对(3.29)可解得z4=(C5x + C4)^x这里GG ，…,G 是任意常数•由于在方程(3.28)中不出现“5, 在(3.29)中不岀现辟2好 我们依次取C )= 1, C 2 = C 3 = C 4 = C 5 = 0C] = o, = h = C4 = q = o Cj = C 2 = 0, C 3 = 1,C 4 = C 5 = 0 q = C] = C y = 0, C 4 = 1,C 5 = 0 q = q = C3 = C4 = o. C5 = 1可以得到方程组(3.27)的五个解如下从而(3.31)是方程组(3.27)的一个解矩阵•又detZ(0) = 1^0zi =e 0 0 ,z° = - Xj.v ■ xe 1/X Z3 = 2!xe^x /X■ 0 ■ 0，厶= 0€ 9_ 00 00XZ(x) = 00 02!兀戶0 00 0 0严所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27) 的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y"Z 中可得原方程组(3.26)的五个解，（寸，+r 12x + r 13>z,A （才兀2 +3 +Q ）□ （毎兀2 +/32兀 +/33）0 （才F +3 +心）穴 （毎F+l + S*而且这五个解构成方程组的一个基本解组•这是因为，若把上 面五个解写成矩阵形式Y(x) = [X (x), Y 2 (x), Y 3 (x), Y 4 (x), Y 5 (x)]则显然有detY(0)= T HO.I”（⑺+心）/"(切兀+切対(『34兀+(35)/"(切兀+切)/'（『54*+ ‘55）八 _(加+氐沖 (护+山才 (“沁+切)/" (⑺+心才Y 4至此我们已清楚地看到，若J中有一个三阶若当块，仏是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解,PiMY(x)= p3i(x) d,2,3(3.32)其中每个必CM = 1,2,3,£ = 1,2,3,4,5)是x的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式(R o + Rd+R2X2)/'都是五维常向量•而对于J中的二阶若当块，易是其中R(J.R P R2(3.26)的二重根，它所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式(R3+R4X)^X其中R“出也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20),若厶是A的一个出重特征根，则人所对应的若当块可能不是一块而是几块, 但是它们每一块的阶数都小于或等于化，而且这些阶数的和恰好等于化.这样，由以上分析我们得到定理3. 14设人虫,…，血是矩阵A的加个不同的特征根，它们的重数分别为也,…人・那么，对于每一个八方程组(3.20)有人个形如X (x) = I> (x)e^x, Y2(X) = E (x)e^x，…，兀(劝=P k (卅的线性无关解，这里向量EG)(i = l,2,・・・,心)的每一个分量为无的次数不高于心-1的多项式.取遍所有的人(,=1,2,・・・,加)就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3・1设邪介矩阵互不相同的特征根为加=1,2,…,〃7), 其重数分别是，蛀2,…W+/+…+灯=砒，记〃维常数列向量所组成的线性空间为V,则(1) V的子集合V7. ={R|(A-学卢R = O,ReV}是矩阵A的nz维不变子空间，并且(2) v有直和分解V = V1®V2®---®V m；现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组. 定理3・15如果勺是(3.20)的勺重特征根，则方程组(3.20)有个匕形如Y(兀)=(R o +R］兀------ 巴_¥厂")/“(3.33)的线性无关解，其中向量R（）,R H由矩阵方程(A-/lyE)R0 = R](A-2y E)R1=2R2(A-学)％_2 = (k. - 1)R『(A — 2y.E)^ R()= 0(3.34)所确定.取遍所有的A.（J = 1,2,则得到（3.20）的一个基本解组.证明由定理3.14知，若厶是（3.20）的匕重特征根，则对应解有（3.30）的形式•将（3.33）代入方程组（3.20）有[R1+2R2x + ... + (^-l)R^_I//_2]€V+/l.(R0 + R1x+...+R Jti_I/?_，)/ =A(R(> + R|X + • • • + R—]/" 消去/尸，比较等式两端兀的同次幕的系数（向量），有(A — 2;-E)R0 = Rj(A-A7E)R, =2R2(A -2;.E)R^_2 =代- 1)R®_] ・(A-A.E)R V1=O注意到方程组(3.35)与(3.34)是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同.(3.35)与(3.34) 同解的证明请见教材.这样，在方程组(3.31)中，首先由最下而的方程解出出，再依次利用矩阵乘法求岀R P R2•由引理3.1得知，线性空间V可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的40 = 1,2,...,肋，就可以由(3.34)最下面的方程求出n个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的〃个解.记这Q个解构成的解矩阵为丫⑴，显然，Y(O)是由(3.34) 最下面的方程求岀的n个线性无关常向量构成，由引理3.1 的2)矩阵Y(O)中的各列构成了斤维线性空间v的一组基，因此det Y(0) 0 ,于是Y(x)是方程组(3.20)的一个基本解组.例3求解方程组卞=儿+儿＜于=X +儿诗二必+旳解系数矩阵为「o 1 rA二1 0 11 1 0特征方程为(2-2)(2 + 1)2=0特征根为人=2,人=〈=-1.其中人=2对应的解是TY,(x)= 1 訂1下面求—-1所对应的两个线性无关解.由定理3.15,其解形如Y(x) = (R o + Rd)*'并且RoR满足f(A + E)R0 = R][(A+E)2R O=O由于_i 1 r「3 3 3'(A + E)二 1 1 1,(A+E)2 = 3 3 31 1 1 3 3 3那么由(A+EFR J =0可解出两个线性无关向量将上述两个向量分别代入(A + E)R0=R1中，均得到R] 为零向量•于是A=A=-1对应的两个线性无关解是最后得到通解-1丫2(兀)=1 厂,-1丫心)=0厂1例4求解方程组石T + 2宀解系数矩阵是「3 1 -1 A= -1 211 1 1特征方程为(2-2)3=0 ,有三重特征根人2.3 =2 由定理3.15,可设其解形如Y(x) = (R° ++R 2X 2)e 2xR o R, R 2满足方程组(A-2E)R 0=R, (A-2E)2R ( =R 2(A-2E)3R O =O■f■~r1 + C 2e'x1+ C 3e~x0 1iY(x) = C&s由于"1 1 -1__-I o r「0 0 o-(A — 2E) =-1 0 1,(A-2E)2 =0 0 0,(A-2E)3 =0 0 01 1 -1-1 0 10 0 0故R°可分别取再将它们依次代入上面的方程，相应地求得弘为R2为丄~2丄~2于是，可得原方程组三个线性无关解最后方程的通解口J写成l + x ——jr2X丄9-x + — X2cy2M=e2x—x1c2_y3W_ 1 2x- — x^L 2X 1 - X + — x22 _本讲要点:1 2 0]_ 21.常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。
线性常微分方程组
线性常微分方程组Review 常系数齐次线性ODE的特征解法x(n)n+ a1 x( n 1)λ + a1λ特征根重数n 1+ L + an 1 x′ + an x = 0+ L + an 1λ + an = 0.线性无关解λtλ (实) λ (实)1kλt αtee ,te , , t Lαt αt αtλtk 1 λteα ± iβ1ke cos β t , e sin β t e cos β t , te cos β t ,L , t e cos β t , eα t sin β t , teα t sin β t ,L , t k 1eα t sin β tk 1 α tα ± iβ常系数非齐次线性ODE的待定系数法x ( n ) + a1 x ( n 1) + L + an 1 x′ + an x = f (t ) f (t ) special solution x(t )q (t )t k eλt , q real polynomial, p (t )e , λ ∈ deg(q ) ≤ deg( p ), p real polynomial, k = multiplicity of λ as an eigenvalueλt p (t )e , λ ∈ , p realλtq (t )t e , q complex, deg(q) ≤ deg( p), k = multiplicity of λt [ P (t ) cos β t + Q (t ) sin β t ]e , k = multiplicity of λ = α + iβ , P, Q real, deg( P ) ≤ deg( p ), deg(Q ) = deg( p ),kk λtp (t )e cos β t αt or p (t )e sin β t p (t ), α , β realαtαt§6.线性常微分方程组 1.解的叠加原理及存在唯一性定理a11 (t ) a12 (t ) L a1n (t ) a21 (t ) a22 (t ) L a2 n (t ) 可简矩阵函数A(t ) = M M M M a (t ) a (t ) L a (t ) mn m2 m1 记为A(t ) = aij (t ))m×n .分别定义其导数和积分为dA(t ) ′ , A′(t ) ( aij (t ) ) m×n dtt(t a ( s )ds . ∫t0 A(s)ds = ∫t0 ij m×n利用上面的记号,一阶非齐次线性常微分方程组′ x1 (t ) = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x2 + L + a1n (t ) xn + f1 (t ) ′ x2 (t ) = a21 (t ) x1 + a22 (t ) x2 + L + a2n (t ) xn + f 2 (t ) M xn (t ) = a (t ) x + a (t ) x + L + ann (t ) xn + f n (t ) n1 1 n2 2 ′可以记作其中x(t ) = ( x1 (t ), x2 (t ),L , xn (t ))T , A(t ) = ( aij (t ) )n×n , x′(t ) = A(t ) x(t ) + f (t ),T(1)f (t ) = ( f1 (t ), f 2 (t ),L , f n (t )) .若f (t ) = 0, 则得到齐次线性方程组x′(t ) = A(t ) x(t ).(2)Thm. (I)若(t ),ψ (t )为齐次线性方程组(2)的解,则α (t ) + βψ (t )也为(2)的解,其中α , β 为任意常数.(II)若(t )为非齐次线性方程组(1)的特解,则(1)的任意一个解x(t )可以表示为x(t ) = (t ) +ψ (t ), 其中ψ (t )为(2)的一个解. Thm. 设矩阵函数A(t )和向量值函数f (t )在区间I 上连续, t0 ∈ I .则ξ = (ξ1 , ξ 2 ,L , ξ n ) ∈ , 初值问题Tnx′(t ) = A(t ) x + f (t ), x(t0 )= ξ 在区间I 上存在唯一解.2.线性方程组解的结构由解的叠加原理, 齐次线性方程组(2)的解集合是一个线性空间.我们需要知道这个解空间的维数,并求出一组基.为此,需要引入向量值函数线性无关的概念.Def. 称向量值函数1 (t ) = ( 11 (t ), 21 (t ),L , n1 (t ))T , 2 (t ) = ( 12 (t ), 22 (t ),L , n 2 (t ))T , M n (t ) = ( 1n (t ), 2 n (t ),L , nn (t ))T ,在区间I上线性相关, 若存在不全为零的常数c1, c2 ,L, cn , 使得t ∈ I , c (t ) + c (t ) + L + c (t ) ≡ 0.1 1 2 2 n n否则, 称1, 2 ,L , n在I 上线性无关.Def.设区间I 上有向量值函数k (t ) = ( 1k (t ), 2 k (t ),L , nk (t ))T , ( k = 1, 2,L , n.)称以这些向量值函数为列的行列式11 (t ) 12 (t ) L 1n (t ) 21 (t ) 22 (t ) L 2 n (t ) det M M M M (t ) (t ) L (t ) nn n2 n1 为向量值函数1 , 2 ,L , n的Wronsky行列式,记作W (t ) = W [ 1 , 2 ,L , n ](t ).Thm. 若向量值函数1 (t ), 2 (t ),L , n (t )在区间I 上线性相关, 则Wronsky行列式W [ 1, 2 ,L , n ](t ) ≡ 0, t ∈ I .Proof: 1 , 2 ,L , n在I 上线性相关,则存在不全为零的常数c1 , c2 ,L , cn , s.t. t ∈ I , c1 1 (t ) + c2 2 (t ) + L + cn n (t ) ≡ 0. 于是, t ∈ I , c1 , c2 ,L , cn是下面线性方程组的非零解. c1 11 (t ) + c2 12 (t ) + L + cn 1n (t ) = 0 c1 21 (t ) + c2 22 (t ) + L + cn 2 n (t ) = 0 M c (t ) + c (t ) + L + cn nn (t ) = 0 2 n2 1 n1 故方程组的系数矩阵W [ 1 , 2 ,L , n ](t ) ≡ 0, t ∈ I .Thm. 设齐次线性方程组(2)有n个解k (t ) = ( 1k (t ), 2 k (t ),L , nk (t ))T , (k = 1, 2,L , n.)则以下条件等价: I) 1 , 2 ,L , n在区间I 上线性相关. II) W [ 1 , 2 ,L , n ](t ) ≡ 0, t ∈ I . III)存在t0 ∈ I , 使得W [ 1 , 2 ,L , n ](t0 ) = 0. Proof: (I) (II)即上一定理, (III)显然. 只要证(II) (III) (I).设存在t0 ∈ I , 使得W [ 1 , 2 ,L , n ](t0 ) = 0. 则方程组c1 11 (t0 ) + c2 12 (t0 ) + L + cn 1n (t0 ) = 0 c1 21 (t0 ) + c2 22 (t0 ) + L + cn 2 n (t0 ) = 0 M c (t ) + c (t ) + L + cn nn (t ) = 0 2 n2 0 0 1 n1 0有非零解. 即存在不全为0的c1, c2 ,L , cn , 使得c1 1 (t0 ) + c2 2 (t0 ) + L + cn n (t0 ) = 0. 令x(t ) = c1 1 (t ) + c2 2 (t ) + L + cn n (t ), 由解的叠加原理, x(t )为齐次方程组(2)的解, 且满足初值条件x(t0 ) = 0. 由解的存在唯一性定理,x(t ) ≡ 0,即c1 1 (t ) + c2 2 (t ) + L + cn n (t ) ≡ 0(t ∈ I ).Remark: 设1 , 2 ,L , n ∈ C ( I )为n次齐次线性常n微分方程组的n个解, t0 ∈ I .则(1) W [ 1 , 2 ,L , n ](t0 ) = 0 W [ 1 , 2 ,L , n ](t ) = 0, t ∈ I . 1 , 2 ,L , n在I 上线性相关. (2) W [ 1 , 2 ,L , n ](t0 ) ≠ 0 W [ 1 , 2 ,L , n ](t ) ≠ 0, t ∈ I . 1 , 2 ,L , n在I 上线性无关.至此, 不难得出(2)的解空间的结构.Thm. A(t )为区间I 上连续的n × n矩阵函数,则1阶齐次线性常微分方程组x′(t ) = A(t ) x(t ), 的解集合是一个n维线性空间. Proof: 我们要找出(2)的n个线性无关的解, 并证明(2)的任意一个解都可以由这n个解线性表出. dx 设k (t )是初值问题= A(t ) x, x(t0 ) = ek的唯一解.其dt n 中ek 为中列向量,第k 个分量为1,其它分量都为0.则W [ 1, 2 ,L, n ](t0 ) = 1. 由上一定理, 1, 2 ,L, n在区间I 上线性无关. t∈I (2)其次, 设x(t ) = ( x1 (t ), x2 (t ),L , xn (t ))是齐次方程组(2)的一个解.令y (t ) = x1 (t0 ) 1 (t ) + x2 (t0 ) 2 (t ) + L + xn (t0 ) n (t ), 则y (t )是方程组(2)的解,且满足初值条件y (t0 ) = ( x1 (t0 ), x2 (t0 ),L , xn (t0 )). 由解的存在唯一性定理, x(t ) = y (t ) = x1 (t0 ) 1 (t ) + x2 (t0 ) 2 (t ) + L + xn (t0 ) n (t ), 即x(t )可以由1, 2 ,L , n线性表出.Def.齐次线性常微分方程组(2)的n个线性无关解k (t ) = ( 1k (t ), 2k (t ),L, nk (t ))T , (k = 1, 2,L, n.)称为(2)的一个基本解组. 称矩阵11 (t ) 12 (t ) L 1n (t ) 21 (t ) 22 (t ) L 2n (t ) Φ(t ) = M M M M (t ) (t ) L (t ) nn n2 n1 为齐次方程组(2)的一个基本解矩阵.Remark:已知(2)的一个基本解矩阵Φ(t ), 则(2)的通解可以表示为x(t ) = Φ(t )c.其中c ∈ n为常向量.et tet et + tet tet 例:Φ(t ) = 和Ψ (t ) = 都是方程组t t t e 0 e e dx 1 1 = x的基本解矩阵. 事实上, dt 0 1 d et et 1 1 et d tet tet + et 1 1 tet = = , t = t = t , dt 0 0 0 1 0 dt e e 0 1 e 即Φ(t )的列向量都是方程组的解而Ψ (t )的列向量都是. Φ(t )的列向量的线性组合,因而也都是的解.又det Φ(0) = 1 ≠ 0, det Ψ (0) = 1 ≠0, 故Φ(t )和Ψ (t )的列向量都构成基本解组, 而Φ(t )和Ψ (t ) 都是基本解矩阵.Remark: 齐次方程组x′(t ) = A(t ) x(t )(2)的基本解组和基本解矩阵都不唯一. 这是因为基本解组实际上是(2)的解空间的一组基, 而线性空间有不同的基.事实上, 设Φ(t )是(2)的一个基本解矩阵, T 为任意(2) 一个n × n可逆矩阵, 则Φ(t )T 也是(2)的一个基本解矩阵. 反之,任给(2)的两个基本解矩阵Φ(t ), Ψ (t ), 必存在可逆矩阵(T由Φ, Ψ唯一确定)s.t , Ψ (t ) = Φ(t )T . T ,3.常数变易法设Φ(t )为(2)的基本解矩阵,则(2)的通解为x(t ) = Φ(t )c, 其中c为中任意常向量.常数变易法是这样一种方法: 假设(1)的通解为x(t ) = Φ(t )u (t ), 其中u (t )为n维向量值函数,待定.再将该通解表达式代入方程组x′(t ) = A(t ) x(t ) + f (t ), 进而确定u (t ), 从而得到(1)的通解. (1)n利用常数变易法可得Φ′(t )u (t ) + Φ(t )u′(t ) = A(t )Φ(t )u (t ) + f (t ). 注意到Φ(t )是(2)的基本解矩阵,即Φ′(t ) = A(t )Φ(t ), 有Φ(t )u′(t ) = f (t ), 即u′(t ) = Φ 1 (t ) f (t ), u (t ) = c + ∫ Φ 1 ( s) f ( s)ds,t0 t(3)其中Φ 1 (t )是Φ(t )的逆矩阵.于是,其中c ∈ n为任意常向量.于是有下面的定理:Thm.设Φ(t )是齐次方程组(2)的一个基本解矩阵,则非齐次方程组(1)的通解为x(t ) = Φ(t )c +Φ(t ) ∫ Φ 1 ( s) f ( s)ds,t0 t 其中c ∈ n为任意常向量. 且(1)的满足初值条件x(t0 ) = ξ ∈ n的解为x(t ) = Φ(t )Φ (t0 )ξ + Φ(t ) ∫ Φ 1 ( s) f ( s)ds. t0 1 t1 1 e t dx 例: 求解初值问题= x + , x(0) = ( 1,1)T . dt 0 1 0 et tet dx 1 1 解: 前面的例子已验证Φ(t ) = 是= x t 0 e dt 0 1 的一个基本解矩阵.由常数变易法得初值问题的解x(t ) = Φ(t )Φ (0)ξ + Φ(t ) ∫ Φ 1 ( s) f ( s)ds0 1 tet = 01 et te + t e 1 0tet + tet et = + t e 0t s 1 s e s te e ds t ∫0 e 0 1 0 tet t e 2 s t t t t ds = ( te (e +e ) 2, e ) . t ∫0 e 0 t4. 以方程组的观点看n阶线性ODE 记y1 = x, y2 = x′,L , yn = x( n 1) , 则n阶线性方程x + a1 (t ) x + L + an 1 (t ) x′ + an (t ) x = 0 x( n) + a1 (t ) x( n 1) + L + an 1 (t ) x′ + an (t ) x = f (t ) 可以化为y′ = A(t ) y y′ = A(t ) y + g (t ).(n) ( n 1)(4) (5)(6) (7)1 0 L 0 0 0 1 L 0 0 M M O M , 其中A(t ) = M 0 0 L 1 0 a (t )a (t ) a (t ) L a (t ) n 1 n 2 1 n T T y = ( y1, y2 ,L , yn ) , g (t ) = (0, 0,L 0, f (t )) .。
常系数线性微分方程的解法
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an (t )x u(t )
和
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an (t )x v(t )
的解.
如果n阶线性微分方程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 ... an1(t ) dt an (t )x f (t )
关于复值解有如下结论 :
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an (t )x 0
(4.2)
定理4.2.1 如果方程(4.2)中所有系数ai (t)都是实值
函数,而x z(t) (t) i (t)是方程的复值解,则z(t) 的实部 (t),虚部 (t)和其共轭复数z (t )也都是方程
则
e1t，e2t , ..., eit ,
e1t cos 1t，e1t sin 1t，...，eit cos it，eit sin it
为L[x] 0的一个实值基本解组。
II: 特征根有重根的情形
结果2：如果L[ x] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有m个互异的实根1，2，...,m , (1，2，...,m中可能有
实变量的复值函数的极限, 连续性, 可导性与实 变量的实值函数相应概念一致.
设K i是任一复数,定义
eKt et (cos t i sin t )
则有
cos t 1 (ei t ei t ), sin t 1 (ei t ei t )
2
2i
广西民族学院理学院2014-2015第一学期课程教学大纲之常微分方程教学大纲
常微分方程教学大纲(Ordinary Differential Equations)【课程编号】BJ25118 【课程类别】专业选修课【学分数】4 【适用专业】数学与应用数学、【学时数】80 【编写日期】2010.5.28【适用专业】数学与应用数学、信息科学（本科）【先修课程】数学分析，高等代数一、教学目的、任务通过本课程的学习,学生对微分方程在实际问题（包括数学本身以及物理、力学、经济、生物等各个领域）中的应用有较好的认识，熟练掌握简单常微分方程的初等解法、常系数线性方程的解法和线性微分方程组的知识（对于低阶方程组、简单的高阶方程组要会解），掌握微分方程（组）的基本理论，对微分方程（组）的定性理论有一定的了解。
二、课程教学的基本要求对微分方程在实际问题（包括数学本身以及物理、力学、经济、生物等各个领域）中的应用有较好的认识，熟练掌握简单常微分方程的初等解法和一些可以利用降阶解决的高阶常微分方程的求解。
熟练掌握常系数线性方程的解法。
掌握线性微分方程组的知识，对于低阶方程组、简单的高阶方程组要具体会求解。
掌握微分方程（组）的基本理论。
注意把握逐次逼近法。
对微分方程（组）的定性理论有一定的了解。
三、教学内容和学时分配（一）第一章绪论6学时（课堂讲授4学时+习题课2学时）主要内容：§1 . 1 常微分方程模型(2学时)§1 . 2 基本概念习题课，(2学时)教学要求：对微分方程在实际问题（包括数学本身以及物理、力学、经济、生物等各个领域）中的应用有较好的认识。
其它教学环节：习题课2个课时，课后练习题的讲解。
（二）第二章一阶微分方程的初等解法16学时（课堂讲授12学时+习题课4学时）主要内容：§2 . 1 变量分离方程与变量变换(2学时)§2 . 2 线性微分方程与常数变易法（2学时）§2 . 3 . 1 恰当微分方程（2学时）§2 . 3 . 2 积分因子（2学时）§ 2 . 4 一阶隐式微分方程与参数表示（4学时）教学要求：熟练掌握简单常微分方程的初等解法和一些可以利用降阶解决的高阶常微分方程的求解。
工科数学分析常系数线性微分方程组
ddxt12(dd2t2yddyt) 1 2(d d22 ytd d)y t1 2(d d y ty)3y
1dy 2 dt
5 2
ydd2t2y5y
0
r2 5 0 , r 1 ,25 i
y ( t) C 1 co 5 t C s 2 si5 tn x (t) 1 2 [5 C 1 si5 n t5 C 1 co 5 t]s
x0 I
二.常系数微分方程组的解法
常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一 个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常 系数线性微分方程组．
dy1 dx
a11y1
a12y2
a1n yn
f1( x)
dy2
dx
a21y1 a22y2
a2n yn
f2 ( x)
ddyxn an1 y1 an2 y2 annyn fn(x)
解： 为了 y (t)可 ,消 (2 )两 对 去 t边 求 2 次 对 导，得
d d33 xtd d22 yt3d d22 xt0
(3)
(3 ) ( 1 ) 式 得 ： d d 3 tx 3 4 d d 2 tx 2 5 d d x t 0 (4 )
r 3 4 r 2 5 r 0 ,r 1 0 ,r 2 ,3 2 i . (4 ) 的通 x (t) C 解 1 e 2 t(C 为 2 cto C ： 3 s sti)n
D x(D 21)y0
(1) 用代数方法 (2) 消元自作
根据解线性方程组的克莱姆法则, 有
D2 1
D
D2 1 et y
D D2 1
D0
即
(D 4D 21 )y et
常系数线性微分方程的一般解法
初始条件法
根据微分方程和初始条件 ，确定通解中的任意常数 ，从而得到满足初始条件 的特解。
积分因式法
通过对方程进行适当的变 换，使其成为易于积分的 形式，然后求解通解。
05 微分方程的特解
特解的定义与性质
总结词
特解是满足微分方程的特定函数，具有 与原方程不同的形式。
VS
详细描述
特解是微分方程的一个解，它具有与原方 程不同的形式，但满足原方程的约束条件 。特解通常用于求解微分方程时，通过将 特解代入原方程来求解未知数。
二阶常系数线性微分方程
总结词
二阶常系数线性微分方程是形如 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t)) 的方程，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。
详细描述
二阶常系数线性微分方程的一般形式为 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t))，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。解这个方程可以得到 (y(t)) 的通解。
间的变化性微分方程在机械振动分析中有着广泛的应用，例如分 析弹簧振荡器、单摆等的振动规律。
电路分析
在电路分析中，微分方程被用来描述电流、电压随时间的变化规 律，以及电路元件的响应特性。
控制工程
在控制工程中，微分方程被用来描述系统的动态特性，以及系统 对输入信号的响应。
在经济中的应用
供需模型
微分方程可以用来描述商品价格 随时间的变化规律，以及供需关 系对价格的影响。
投资回报分析
在投资领域，微分方程可以用来 描述投资回报随时间的变化规律， 以及风险因素对投资回报的影响。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程- Introduction微积分学是数学的重要分支之一，常系数线性微分方程是微积分学的一个重要内容。
在工程、物理、化学、经济等学科中，常系数线性微分方程都有着重要的应用价值。
因此，本文将从数学基础、概念定义、解析方法、应用等方面，探讨常系数线性微分方程的相关知识。
- 数学基础为了理解常系数线性微分方程的概念和解析方法，我们需要先了解一些数学基础知识。
微互分学中的微分方程是一类关于未知函数及其导数的方程，它是一个重要的数学工具，用来描述一些自然、社会现象等。
一般来说，微分方程可分为常系数和变系数两类。
常系数是指微分方程中参数系数是常数，变系数是指微分方程中参数系数是函数。
在常系数线性微分方程中，方程的系数都是常数。
- 概念定义在微分方程中，有一个重要的类别称为“线性”。
所谓线性，指的是未知函数及其导数只出现一次，并且系数可以是常数、函数或常数和函数的乘积。
若未知函数y(x)的n阶导数出现在方程中，且系数都是常数，则称其为“n阶常系数线性微分方程”，简称“n阶常微分方程”。
n阶常微分方程的一般形式为：$$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)$$其中，$a_1,a_2,...,a_n$均为常数，$f(x)$是已知函数。
- 解析方法n阶常微分方程的解法一般包括“常数变易”法、“齐次线性微分方程”法、“非齐次线性微分方程”法等。
其中，“齐次线性微分方程”法与“非齐次线性微分方程”法最为常用。
1. 齐次线性微分方程法齐次线性微分方程指的是非齐次线性微分方程中的$f(x)=0$。
在这种情况下，我们通常采用以下步骤来解方程：（1）找出$n$次齐次方程的通解$y_h(x)$；（2）设非齐次方程的特解为$y_p(x)$；（3）得出非齐次方程的通解$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$。
2. 非齐次线性微分方程法非齐次线性微分方程指的是$f(x)≠0$。
常微分方程考研讲义第五章 线性微分方程组共32页
第五章线性微分方程组[教学目标]1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。
方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3） 这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。
常微分方程第五章微分方程组总结
一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：记：非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。
(3)Wronsky 行列式由定义在],[b a 上n 个向量函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯所作成的行列式11121212221212()()()()()()[(),(),()],()()()n n k n n nn x t x t x t x t x t x t W x t x t x t x t x t x t ⋯≡称为该向量函数组的Wronskiy 行列式，也写作W(t).(4)定理3 若向量函数组12(),(),,()n x t x t x t ⋯在区间b t a ≤≤上线性相关，则在],[b a 上它们的Wronskiy 行列式0)(≡t W 。
(5)定理 4 如果齐次线性微分方程组的解12(),(),,()n x t x t x t ⋯在区间b t a ≤≤上线性无关，则12[(),()()]n W x t x t x t ⋯在这个区间的任何点上都不等于零，即0)(0≠t W (b t a ≤≤).由方程(4.2)的n 个解构成的Wronskian 行列式或者恒为零或者在方程的系数连续区间上处处不等于零。