03微分方程讲义-2010
2010年专升本微分方程重要知识点考点详解!
x 2x
C1e x 4C 2e 2 x y
将y, y, y代入方程y 3 y 2 y 0左边,
C1e x 4C 2e 2 x 3(C1e x 2C 2e 2 x ) 2(C1e x C 2e 2 x ) (C1 3C1 2C1 )e (4C 2 6C 2 2C 2 )e
当Q( x ) 0, 方程(1)称为一阶非齐次线性微分方程.
dx dy 2 2 例如 x sin t t , y x , dt dx
dy P ( x ) y Q( x ) 其解 y e P ( x )dx [ Q( x )e P ( x )dx dx C ] dx
5 1) 2 e 2 ln( x 1) dx 1 1) 2 dx
C]
2 ( x 1) [ ( x 3
2
3 1) 2
C]
dy 例2 求方程( y 6 x ) 2 y 0满足条件 y(1) 1的特解. dx dy 2y dx 3 y dx 6 x y 2 x 解 2 dx 6 x y dy y 2 dy 2y y 3 Q( y ) p( y ) 2 y
y 2 y 3 y e x ,
( t 2 x )dt xdx 0等, 都是微分方程
微分方程的实质: 联系自变量,未知函数以及未知 函数的导数(或微分)之间的关系式. 注意：
微分方程中必需含有未知函数的导数（或微分）
微分方程分类： 常微分方程; 偏微分方程.
微分方程中的未知函数只含一个自变量,这样的 微分方程称为 常微分方程。
解之;C 2 1, C1 1
x 2x
高等数学-第七章 微分方程ppt课件
练习: 求方程 dy ex y 的通解. dx
解法 1 分离变量 e ydy exdx
积分
ey ex C
即
(exC)ey1 0 ( C < 0 )
解法 2 令u x y, 则u 1 y
故有
u 1 eu
积分
1
d
u eu
x
C
(1 eu ) eu 1 eu
du
u ln (1 eu ) x C
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由 ① 得 y 2x dx x2 C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
引例2. 列车在平直路上以 20 m s 的速度行驶, 制动时
获得加速度 a 0.4 m s2 , 求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
d2 dt
s
2
0.4 d
s
s t0 0 , d t
t
0 20
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
C1 20, C2 0
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
ln y x3 ln C
y Cex3
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
x ydx ( x2 1) dy 0
例2. 解初值问题 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得 ln y ln 1 ln C x2 1
常微分方程
, cn ) 的一个邻域，使得
, c1 ′ , c1 , c2 ′ , c2 , , cn ′ cn ( n 1) cn
≠0
( n 1) ( n 1) , , c1 c2
,
则称 y = ( x, c1 ,
, cn ) 含有n个相互独立的常数。
y 例： = c1 cos x + c2 sin x 是 y′′ + y = 0 的通解。 因为 y′ = c1 sin x + c2 cos x 而
是
在 (∞, +∞)上的解。
2
y = tan(t )
例：xdx +
x = 1+ x
'
在 (
π π
, ) 上的解。 2 2
ydy = 0 有隐式解 x 2 + y 2 = C （ C 为任意常数）。
n 阶方程的通解： 把含有 n 个相互独立的任意常数
c 称为 c1，c 2， ， n 的解 y＝ x1，c1， ，c n） n 阶方程的通解。 （
耦合摆的动态演示
摆长减小的单摆
我们只研究这样一个方程:
θ( t ) 2 2 t 10 θ ( t ) + 2 θ( t ) =0 t 10 t 10 t
用Maple7编写的单摆模型的动态示意图
1.1.2 微分方程的基本概念
凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。例如：
用maple 7解双摆的运动微分方程
2 2 θ1 ( t ) = 10 θ2 ( t ) 20 θ1 ( t ) t
2
2 2 θ2 ( t ) = 20 θ1 ( t ) 20 θ2 ( t ) t
微分方程PPT(罗兆富等编)第0章 第0章 微分方程模型
微分方程
课程, 预祝每一同学都有新收获!
罗兆富
1
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本课程使用教材: 罗兆富, 王林等, 微分方程, 科学出版社, 2018年01月.
2
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本课程主要参考资料
[1]叶彦谦. 常微分方程讲义(第2版). 人民教育出版社, 1979年. [2]王光发编.常微分方程. 湖南教育出版社,1983年.
0 0
矛盾！
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20
结束
马尔萨斯模型的改进: 逻辑斯蒂克模型 (阻滞增长模型)
马尔萨斯模型为什么只符合人口的过去结果而不能 用于预测未来人口？这主要是因为地球上的各种资源只 能供一定数量的人生活. 随着人口的增加, 自然资源、环 境条件等因素对人口增长的限制作用将越来越显著. 如 果当人口较少时, 人口的自然增长率可以看作常数, 则当 人口增加到一定数量以后, 这个增长率就要随人口的增 加而减小. 显然, 应该对马尔萨斯模型关于净增长率为常 数的假设进行修改, 逻辑斯蒂克模型(Logistic Model)是 修改的模型中著名的一个.
5
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物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济 和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的微 分方程, 如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒 定律、能量守恒定律、弦振动规律、 电磁波(声波)的传 播、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基 因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格 的变化、期权定价等, 对这些规律的描述、认识和分析 就归结为对相应的微分方程描述的数学模型的研究.
s 待求函数关系:
所涉及物理原则:
常微分方程考研讲义第三章 一阶微分方程解的存在定理
第三章一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2.了解解的延拓定理及延拓条件。
3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩ 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
微分方程PPT(罗兆富等编)第十章-变分迭代法简介全篇
)
g
(
)d
(10.1.02)
合并 un (t),un (t),un(t), 零, 得到关于,,,
的同类项, 然后让它们的系数等于
在条件 =t下的等式,由此解出().
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再将()代入(10.1.02)并取消变分就得到递推公式
un1(t) un (t)
t 0
(
)
Lun
(1 ( ) x )un (x, y) ()un (, y)d
1 ( ) x 0
(
) x
0
( ) 1.
5
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例1. 求解一阶偏微分方程
ux yu 0,u(x,0) 1,u(0, y) 1.
解: 方程的修正泛函为
un1(x, y) un (x, y)
2!
3!
.......................................
un
(
x,
t
)
cosh
x
t
cosh
x
1t 2!
2
cosh
x
(1)n 1 tn cosh x 3!
所以方程的精确解为
u2
(ux(,xt),
t)
conlsimhxun(txc, ot )shxet
c1ots2hcxo.sh 2!
0
2
2 x2
x2t
t
(
t)
0 x2
d
x2t
x2
t3
0
3!
u2 (x,t) u1(x,t)
t
(
0
t
)(
微分方程部分讲稿
P4
s(t)单调减相轨线的方向 im
s1/,iim t,i0
P2
P1
P3
s 满s足 0i0s1lnss 0 0 0 s S0 1/ s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 1/~ 传染病不蔓延 阈值
Q f0Lg( y) g( y) y
d dQ tf0Lg(y)d dy t f0g(y)d dL t
f0 L 2 1 y [f0 (1 )y 1 ]
x(20)0027.54 实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2019年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数
r=0.2490, xm=434.0
x(2019)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
问题
2. 传染病模型
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段
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)e (1)t
y K /L ,Q fK L 1 ,K Qy1
0 0 0 0 000 0
0
0
f0
K0 K
0
y(t) f0
[1(1 K K 0 0)e(1 )t] 1 1
3) 经济增长的条件 产值Q(t)增长 dQ/dt > 0
1et
t
t m
1
ln
1 i0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
偏微分方程讲义
偏微分方程讲义
付永强
2003年7月
前言
本书的内容涉及到二阶线性椭圆、抛物及双曲型偏微分方程的基本问题与理论，其中椭圆型方程部分占了较大的篇幅，它包括Schauder理论与p L理论，特别突出了对解进行各种先验估计的技巧，绝大部分的结果都给出了证明. 对抛物型方程和双曲型方程这两种发展方程，介绍了算子半群方法.
这本讲义适用于为哈尔滨工业大学数学系各专业的硕士研究生开设的《偏微分方程》课程，这门课总学时54学时. 学习这本讲义要求读者具有大学本科中《数学物理方程》、《实变函数》与《泛函分析》课程的基础. 这本讲义在自哈尔滨工业大学数学系2003级硕士研究生起的各届硕士研究生的《偏微分方程》课程的教学中一直在使用，期间多次做了小的修订，但讲义中错误和缺点一定还很多，欢迎大家给予批评指正.
付永强
2003年7月
目录
第零章偏微分方程简介 (1)
第一章线性椭圆方程的schauder理论 (4)
第二章sobolev空间 (27)
第三章线性椭圆型偏微分方程的p L理论 (32)
第四章散度型线性椭圆方程的2L理论 (48)
第五章发展方程的算子半群方法 (55)。
考研数学三讲义微分方程
3
24
dy P( x) y Q( x) y 的方程称为 形如 dx
伯努利方程， 如例7.2.7所示方程即为伯努利方程，其中α为 任意常数. 当α=0时，该方程是一阶线性微分方 程，当α=1时，它是一阶齐次线性微分方程.一 α 般地，原方程两边同除以y ，得：
dy 1 y P ( x) y Q( x) dx 1 u , 就可将其化为新未知函数u 然后令 y
两端积分，得
2
u ln | u | C ln | x |, ln | ux | u C
以
y x
代替上式中的u，便得原方程的通解为
dx ln | y | C x
16
dy x y 例7.2.4 求方程 的通解. dx x y
解 :方程右边分子分母同除x
y 令 u ，得 x
y x C (C为任意常数)，
2
1
几何上表示一簇曲线，将y｜x=1=2代入上式，可 2 求出C=1, 则 y x 1 即为过点(1，2)，且切线斜 率为2x的曲线方程 . 可将求解的问题和条件归结为以下方程：
dy 2 x, dx y | x 1 2.
2
y 1 dy x y dx 1 x
1 u dx du 2 x 1 u
17
两边积分得
1 arctan u ln(1 u 2 ) ln | x | C 2
通解为
y 2 2 arctan ln x y C. x
18
例7.2.5
解方程 y 2xy dx u( x) Q( x)e dx C
其中C
11
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx ( Q( x)e dx C )