函数极限与连续习题(含答案)
函数极限连续(120道练习题)
一、填空题1.212x y x x -=+-有个间断点 2.()y f x =在0x 点连续，则0lim ()x x f x →= 3．设2(2)1,f x x +=+则)(x f 4．n =5．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =6．2352limsin 53n n n n→∞++= 7．极限12sin lim 2+∞→x xx x = .8. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x fx x =______9. =→xxx 5sin lim 0___________； 10. =-∞→nn n)21(lim _________________； 11. 若函数23122+--=x x x y ，有几个间断点_________12. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x 其定义域是 ,值域是13符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合14. 无穷小量是 15、21lim(1)xx x→∞-=16、当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A= 17、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =18、111lim[]1223(1)n n n →∞+++⋅⋅+=19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
20．已知函数()x f y =的定义域是[]1,0，则()2x f 的定义域是 。
21．若()xx f -=11，则()[]=x f f 22．函数1+=x ey 的反函数为 。
第二章极限习题及答案：函数的连续性
函数的连续性分段函数的极限和连续性例 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)21( 1)1( 21)10( )(x x x x x f（1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间．分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．解：（1）1lim )(lim 11==--→→x x f x x11lim )(lim 11==++→→x x x f∴1)(lim 1=→x f x函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 21)1(1x f f x →≠=函数）x f (在点1=x 处不连续．（3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）．说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在．函数的图象及连续性例 已知函数24)(2+-=x x x f ，（1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；（2）求）x f (的不连续点0x ；（3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数．分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0x f x x →，再让)(lim )(00x f x f x x →=即可．解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22,当2≠x 时，.224)(2-=+-=x x x x f其图象如下图．（2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 22-=-=-→-→x x f x x因此，将）x f (的表达式改写为⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数．说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523=+-x x 是否存在实数根．分析：要判定方程0)(=x f 是否有实根，即判定对应的连续函数)(x f y =的图象是否与x 轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可． 解：设152)(3+-=x x x f ，则）x f (是R 上的连续函数．又038)3(,1)0(<-=-=f f ，因此在[]0,3-内必存在一点0x ，使0)(0=x f ，所以0x 是方程01523=+-x x 的一个实根．所以方程01523=+-x x 有实数根．说明：作出函数)(x f y =的图象，看图象是否与x 轴有交点是判别方程0)(=x f 是否有实数根的常用方法，由于函数152)(3+-=x x x f 是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用．函数在区间上的连续性例 函数24)(2--=x x x f 在区间（0，2）内是否连续，在区间[]2,0上呢？分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续．解：224)(2+=--=x x x x f （R ∈x 且2≠x ）任取200<<x ，则)(2)2(lim )(lim 0000x f x x x f x x x x =+=+=→→∴ )(x f 在（0，2）内连续．但)(x f 在2=x 处无定义，∴ )(x f 在2=x 处不连续． 从而)(x f 在[]2,0上不连线说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．函数在某一点处的连续性例 讨论函数)0()11lim()(+∞<≤⋅+-=∞→x x xx x f nnn 在1=x 与21=x 点处的连续性分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x 以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得)(x f 的表达式，使解答搁浅．讨论)(x f 在1=x 与21=x 点处的连续性，若作出)(x f 的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证．由于)(x f 的表达式并非显式，所以须先求出)(x f 的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含n x ，故须分类讨论．解：（1）求)(x f 的表达式：①当1<x 时，x x x xxx f nn nn =⋅+-=⋅+-=∞→∞→0101lim 1lim 1)(②当1>x 时，x x x xx x f n nx -=⋅+-=⋅+-=∞→10101)1(1)1(lim )(③当1=x 时，01111lim)(=⋅+-=∞→x x f nn x∴⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-=<≤=x x x x x f 1,1,010,0)(（2）讨论)(x f 在1=x 点处的连续性：1)(lim )(lim ,1lim )(lim 1111-=-===++→→-→-→x x f x x f x x x x∴)(lim 1x f x +→不存在，)(x f 在1=x 点处不连续（3）讨论)(x f 在21=x 点处的连续性：21lim )(lim ,21lim )(lim 21212121====-+--→→→→x x f x x f x x x x21lim )(lim ,21lim )(lim 21212121====-+--→→→→x x f x x f x x x x∴)21(21)(lim 21f x f x ==→，)(x f 在21=x 点处连续．根据函数的连续性确定参数的值例 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0,0,)1()(3x a x x x f x 在0=x 处连续，试确定a 的值解：x x x x x f 3)1(lim )(lim +=→→,)0(,)1(lim 3310a f e x x x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→ 欲)(x f 在0=x 处连续，必须使)0()(lim 0f x f x =→，故3e a =说明：利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解．。
考研数学二(极限、连续与求极限的方法)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．“f(x)在点a连续”是｜f(x)｜在点a处连续的( )条件．A．必要非充分B．充分非必要C．充要D．既非充分又非必要正确答案：B解析：f(x)在x=a连续=>｜f(x)｜在x=a连续(｜｜f(x)｜－｜f(a)｜｜≤｜f(x)－f(a)｜)．｜f(x)｜在x=a连续f(x)在x=a连续．如f(x)=｜f(x)｜=1，｜f(x)｜在x=a连续，但f(x)在x=a间断．因此，选B．知识模块：极限、连续与求极限的方法2．设f(x)，g(x)在x=x0均不连续，则在x=x0处A．f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不连续．B．f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定．C．f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续．D．f(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定．正确答案：D解析：如：在x=0均不连续，但f(x)+g(x)=1，f(x).g(x)=0在x=0均连续．又如：在x=0均不连续，而在x=0均不连续．因此选D．知识模块：极限、连续与求极限的方法3．把当x→0+时的无穷小量α=tanx－x，β=∫0x(1－)dt，γ=－1排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A．α，β，γ．B．γ，β，α．C．β，α，γ．D．γ，α，β．正确答案：C解析：即当x→0+时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除A与D．即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除B，即应选C．知识模块：极限、连续与求极限的方法填空题4．设有定义在(－∞，+∞)上的函数：则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是________；(Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是________．正确答案：B；D解析：(Ⅰ)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=其中g(x)在(－∞，0]连续，h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])=>f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)=>f(x)=h(x)(x∈[0，+∞)) =>f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．B 中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续=>g(x)在x=0连续．因此，B中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选B．(Ⅱ)关于A：由=>x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由=>x=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证B中g(x)在x=0连续．因此选D．或直接考察D．由=>x=0是m(x)的第二类间断点．知识模块：极限、连续与求极限的方法5．设=________．正确答案：12解析：由题设及现利用等价无穷小因子替换知识模块：极限、连续与求极限的方法6．1+x2－当x→0时是x的________阶无穷小(填数字)．正确答案：4解析：由于因此当x→0时1+x2－是x的4阶无穷小．知识模块：极限、连续与求极限的方法7．若=3，则=________．正确答案：5解析：知识模块：极限、连续与求极限的方法8．=________．正确答案：0解析：当x＞0时，＜1，于是有而=0，故由夹逼定理可知=0．知识模块：极限、连续与求极限的方法解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(完整)高等数学极限和连续习题
极限与连续习题当x 0时，1 COSX 是X 2的 __________________ 穷小量. X 0是函数f(x)竺的 间断点.冈lim(1 -)2x __________________。
2 x X (e 1) x sin xsin x已知分段函数f(x) 〒,x 0连续，则a= ______________________x a,x 0 1由重要极限可知，lim 1+2x 〈. ‘ x 0 ---------------------------------------sin x 0 已知分段函数f(x) 去,x 0连续，则a= ______________________ .x a, x 0 由重要极限可知，lim (1丄)x . x 2x --------------------------- sin x 1知分段函数f(x) x 1 ,x 1连续，则b= ____________________________ . x b,x 1丄 由重要极限可知，Hm )(1 2x)； ________________ .当X f 1时，x‘ 3x 2与x ln x 相比， ____________________ 咼阶无 穷小量.2n 51. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.12. 13. 函数f(x)ar 如宀的间断点是x = lim彳1lim 1 =n2n ----------------------------------函数f(x)产長的无穷间断点是x = ------------------------------ tan2 x _ lim ------------ . x 0 3x 3n 5 1 lim 1 = n 2n ---------------------------------- 函数f(X)绘j 的可去间断点是X = ------------------------------2n 5 r 彳3 lim 1 — = n 2n -------------------------- ■ 2 函数f(x) 2x 1的可去间断点是x= __________________. x 3x 4 当x 0时，sinx 与x 3相比， __________________ 高阶无穷小量n 2 计算极限n im 1 1 = ----------------------------------------------lim f(x)x 1 (x 1)(x 1)x计算极限lim 1 1 = ________________ . X xx c设f(x) e, X 0， 要使f(x)在x 0处连续，则x a, x 0.14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. lim cosx x 设函数f x 2x 1, x a, x 0，在x 0处连续，则a 若当x 1f (x)是x 1的等价无穷小，则当X f0时，x sinx与x相比，_______________ 是高阶无穷小量.x2为使函数f(x) X 2, x 0在定义域内连续，则x a, x 0当X^O时，1 cosx与sinx相比，___________________ 咼阶无穷小量.当X—0时，4x2与sin3x相比，_________________ 高阶无穷小量.当x—1 时，x 12与sin x 1 木目比，_______________________________________________________是高阶无穷小量.x若lim 1 k e3，则k =x X函数f(x) 2x 1的无穷间断点是x= __________________x 3x 4极限x im0-x-、 2 T设 f x xsin —,求lim f x =x x设函数f(x) cosx,X 0在x 0处连续，则a= _____________________________a V x, x 0x 0是函数f(x) 护的______________ (填无穷、可去或跳跃)间l x断点.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.计算极限x im 14x 51x 1函数f(x) 2x 1的可去间断点是x=x22x 3 ---------------------- lim 1 -x二、计算题x35. 求极限 lim (12cosx)sinx x 0 x ln(1 6x)6. 求极限lim 丄尹x 0 x(e 1)1. 求极限2. 求极限3. 求极限4.求极限 cos3x cos2 x ln(1 x 2) x 2 (e 1) xln(1 6x) (e x 1) sin x xln(1 6x)x 2x 4 lim 2 x 2 x 4 x m 0 lim x 0 lim x 0。
函数极限习题及答案
函数极限习题及答案函数极限习题及答案函数极限是微积分中一个重要的概念，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。
通过研究函数在某一点的极限，我们可以了解函数在该点附近的变化规律，进而推导出一些重要的结论。
本文将通过几个习题来讨论函数极限的相关概念和计算方法，并给出详细的解答。
1. 求函数f(x) = 2x + 3在x = 1处的极限。
解答：要求函数在某一点的极限，可以直接将该点的值代入函数进行计算。
将x = 1代入函数f(x) = 2x + 3中，得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。
因此，函数f(x)在x = 1处的极限为5。
2. 求函数g(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x = 1处的极限。
解答：当直接代入x = 1时，函数g(x)的分母为0，无法计算。
此时，我们可以通过化简来求解。
将函数g(x)的分子进行因式分解，得到g(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)。
分子的(x - 1)与分母的(x - 1)相约，得到g(x) = x + 1。
再将x = 1代入该函数，得到g(1) = 1 + 1 = 2。
因此，函数g(x)在x = 1处的极限为2。
3. 求函数h(x) = sin(x)/x在x = 0处的极限。
解答：当直接代入x = 0时，函数h(x)的分母为0，无法计算。
此时，我们可以利用极限的性质来求解。
首先，我们可以观察到当x接近0时，sin(x)也接近0。
因此，我们可以猜测函数h(x)在x = 0处的极限为1。
为了证明这个猜测，我们可以利用泰勒级数展开来近似计算。
根据泰勒级数展开，sin(x)可以表示为x -x^3/3! + x^5/5! - ...。
将这个级数代入函数h(x)，得到h(x) = (x - x^3/3! +x^5/5! - ...)/x。
分子中的x与分母的x相约，得到h(x) = 1 - x^2/3! + x^4/5! -...。
当x接近0时，x^2、x^4等项的值都会趋近于0，因此，我们可以得到h(x)在x = 0处的极限为1。
2015函数、极限与连续习题加答案
2015函数、极限与连续习题加答案制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续2 第一章 函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题1．2x y =与xy =相同；2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数；（ ）3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ）4. )0(2>=x x y 是偶函数；（ ）5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续3 （ ）7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ）8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。
（ ） 二、填空题1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 对称；2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2+x f 的定义域是 ； 3.122+=xxy 的反函数是 ；4.1)(+=x x f ，211)(x x +=ϕ，则]1)([+x f ϕ＝ ， ]1)([+x f ϕ＝ ； 5.)2(sin log2+=x y 是由简单函数 和复合而成； 6.1)(2+=xx f ，x x 2sin )(=ϕ，则)0(f ＝ ，___________)1(=af ，___________)]([=x f ϕ。
制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续4 三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）A 、x 3sin B 、13+x C 、xx +3D 、xx -32.设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－23.)sin()(2x xx f -=是（ ）A 、有界函数B 、周期函数C 、奇函数D 、偶函数 四、计算下列各题1.求定义域523arcsin3xx y -+-=2.求下列函数的定义域制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续5 (1)342+-=x x y(2)1142++-=x x y(3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg =3.设2)(x x f =，xe x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g xf f x fg x g f ；4.判断下列函数的奇偶性制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续6 (1)3)(-=x x f (2)xx f )54()(=(3) xx x f -+=11lg)( (4)x x x f sin )(=5.写出下列函数的复合过程 (1))58(sin 3+=x y (2))5tan(32+=x y(3)212x y -= (4))3lg(x y -=制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续76.设⎩⎨⎧≥<=.1,0,1,)(x x x x ϕ求)51(ϕ，)21(-ϕ，)2(-ϕ，并作出函数)(x y ϕ=的图形。
第一章 函数连续与极限复习题2022
第一章 函数连续与极限一 选择1．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以nn 2-为极限 D ．不存在极限 2．若数列{}n x 有极限a ，则在a 的ε领域之外，数列中的点( ) A ．必不存在 B ．至多只有限多个C ．必定有无穷多个D ．可以有有限个，也可以有无限多个。
3．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ．()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值 4．如果()x f x x +→0lim 与()x f x x -→0lim 存在，则( )A ．()x f x x 0lim →存在且()()00lim x f x f x x =→B ．()x f x x 0lim →存在，但不一定有()()00lim x f x f x x =→C ．()x f x x 0lim →不一定存在D ．()x f x x 0lim →一定不存在5、设()⎩⎨⎧=≠=1,01,1x x x f ，则()=→x f x 0lim （ ）A ．不存在；B ．∞C ．0D ．1 6、设()x x f =，则()=→x f x 1lim （ ）A ．1；B ．1-C ．0D ．不存在7、设()11--=x x x f ，则()=→x f x 1lim （ ）A ．0；B ．1-C ．1D ．不存在 8．无穷小量是 ( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零 9．若()0lim 0=→x f x ，则 ( )A ．当()x g 为任意函数时，有()()0lim 0=→x g x f x x 成立B ．仅当()0lim 0=→x g x x 时，才有()()0lim 0=→x g x f x x 成立C ．当()x g 为有界时，能使()()0lim 0=→x g x f x x 成立D ．仅当()x g 为常数时，才能使()()0lim 0=→x g x f x x 成立10．按给定的x 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是 ( )A ．x--21 (0→x ) B ．111-⎪⎭⎫⎝⎛+xx (∞→x )C ．142+-x x x (+∞→x ) D ．xxsin (0→x ) 11．无穷多个无穷小量之和，则 ( ) A ．必是无穷小量 B ．必是无穷大量C ．必是有界量D ．是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量 12. 指出下列函数中当+→0x 时，( )为无穷大 A ．12--x B ．xe 1 C ．x e - D ．xxsec 1sin +13. “当0x x →时，A x f -)(是一个无穷小量”是“函数)(x f 在点0x x =处以A 为极限的”( )。
微积分测试题一(极限、连续)答案
微积分测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题3分，共21分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。
A 1sin x xB 1x e C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的（C ）。
A 连续点B 第一类非可去间断点C 可去间断点D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。
A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=，则常数a 等于（A ）。
A -1B 0C 1D 25、极限201lim cos 1x x e x →--等于（D ）。
A ∞B 2C 0D -2 6、设函数11()1x x f x e-=-则（D ）。
A x=0,x=1都是()f x 的第一类间断点.B x=0,x=1都是()f x 的第二类间断点C x=0是()f x 的第一类间断点，x=1是()f x )的第二类间断点.D x=0是()f x 的第二类间断点，x=1是()f x 的第一类间断点. . D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且 0lim ()x f x →=∞，所以x=0为第二类间断点；1lim ()0x f x +→=，1lim ()1x f x -→=-，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). 【评注】 应特别注意：1lim 1x x x +→=+∞-，1lim 1x xx -→=-∞- 从而+∞=-→+11lim x xx e，.0lim 11=-→-x x x e7已知lim()9xx x a x a→∞+=-，则a =( C ).A.1；B.∞；C.ln 3；D.2ln3.二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x→∞-2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f4、 111lim[]1223(1)n n n →∞+++••+5、 若lim ()x f x π→存在，且sin ()2lim ()x xf xf x x ππ→=+-，则lim ()x f x π→三、解答题1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n→∞--- 解：原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++•••=•= 2、（6分）计算极限 30tan sin lim x x xx →-解：原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===3、（7分）计算极限 123lim()21x x x x +→∞++ 解：原式= 11122112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++=+•+=++ 4、（7分）计算极限1x e →-解：原式=201sin 12lim 2x x xx →=5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值解：因为1lim(1)0x x →-+=，所以 321lim(4)0x x ax x →---+=，因此 4a = 并将其代入原式321144(1)(1)(4)lim lim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++6、（8分）设3()32,()(1)nx x x x c x αβ=-+=-，试确定常数,c n ，使得()()x x αβ解：32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x cα→=-+=-+-+=∴==- 此时，()()x x αβ7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin0()0x x f x xa xx ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。
函数极限与连续总习题
第一章总习题1.思考题（1）你是怎样理解函数的定义的？ （2）函数()f X 在x 0处没有定义，limx x →()f x可以存在吗？（3）()x f lim 与()x f lim 有什么关系？ （4）无界变量是否一定是无穷大？（5）初等函数连续性的结论对计算极限有什么帮助？ 2.设()x x f =+1，求()x f 表达式.3.判断下列各对函数是否相同，并说明理由. （1）y=x 与y=33log x;( 2 )y=arcsin(sinx)与y=x; ( 3 )y=()f x与x=()f y;( 4 )y=ln(1-x 2)与y=ln(1-x)+ln(1+x); 4.已知()x f ={.1,121,12<+≥+x x x x 作出判断()x f 的图形，并求()()()[].23,1,0x f f f f f 及⎪⎭⎫⎝⎛-。
5.已知()x f 是以2为周期的周期函数，在(]2,0上的表达式()x f =x 2,试写出()x f 在(]4,0上的表达式。
6.设()nn x x x f arctan )1(lim -=∞→.求()x f 表达式并指出其间断点。
7.求下列极限. (1)xxx 4cos 12sin 1lim4-+→π; (2)()()()151********lim +-+∞→x x x x ; (3)1131lim --→x x x ;(4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛---→8122132limx x x ; (5) xxx x x cb a 103lim⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→ (a>0,b>0,c>0); (6)()()xx x 31ln 21ln lim +++∞→ [提示：1+a x =a x ()xa -+1 ] 8.已知4lim e k x k x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→，求k 的值。
9.证明当0→x 时，下列各对无穷小是等价的。
（1）x 与arcsinx ; ( 2 ) x 与arctanx ; ( 3 ) 1-cosx 与22x ;( 4 ) ();1,0ln 1≠>-a a a x a x 与 ( 5 ) nxx n 与11-+ .10.利用等价无穷小计算1sin 11cos 32lim-+-→x x x 。
考研数学二(极限、连续与求极限的方法)模拟试卷7(题后含答案及解析)
考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷7(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．A．0．B．-∞．C．+∞．D．不存在但也不是∞．正确答案：D解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选D．知识模块：极限、连续与求极限的方法2．设f(x)=x-sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的A．高阶无穷小．B．低阶无穷小．C．同阶非等价无穷小．D．等阶无穷小．正确答案：C解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选C．知识模块：极限、连续与求极限的方法解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3．(Ⅰ)若xn＜yn(n＞N)，且存在极限xn=A，yn=B，则A＜B；(Ⅱ)设f(x)在(a，b)有定义，又c∈(a，b)使得极限=A，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界．正确答案：(Ⅰ)不正确．在题设下只能保证A≤B，不能保证A＜B．例如，xn=，yn=，则xn＜yn，而yn=0．(Ⅱ)不正确．这时只能保证：点c的一个空心邻域U0(c，δ)={x｜0＜｜x-c｜＜δ}使f(x)在U0(c，δ)中有界，一般不能保证f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)=，(a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，则在(0，1)无界．(Ⅲ)正确．因为，由存在极限的函数的局部有界性使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法4．设f(x)=又a≠0，问a为何值时存在．正确答案：f(0+0)==π．f(0-0)==1.a.1=a(a≠0)，由f(0+0)=f(0-0)，得a=π．因此，当且仅当a=π时，存=π．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法5．证明：(Ⅰ)不存在；(Ⅱ)设f(x)=不存在．正确答案：(Ⅰ)取xn=，yn=，则均有xn→0，yn→0(n→∞)，但不存在．(Ⅱ)已知f(x)=，其中g(x)=∫0xcost2dt，由于而不存在．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法6．求正确答案：这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以(ex)2得其中(用洛必达法则)．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法7．求极限正确答案：属1∞型．w==2.e20=2e．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法8．求下列极限：正确答案：(Ⅰ)注意x→0时，x2(1-cosx)～x4，ex4-1～x4w==4．(Ⅱ)因为x3(x →0)，ln(1+2x3)～2x3(x→0)，所以涉及知识点：极限、连续与求极限的方法9．求正确答案：属型．先作恒等变形然后用等价无穷小因子替换：x→0时sin3x3～x3，x2-sin2x．于是最后用洛必达法则得涉及知识点：极限、连续与求极限的方法10．求正确答案：属∞-∞型．先通分化成型未定式，则有直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到这表明～x(x→)．因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用ln(1+x)～x(x→0)就有涉及知识点：极限、连续与求极限的方法11．求正确答案：这是1∞型的．对于幂指数型未定式，总可先用公式uv=evlnu，然后再用洛必达法则，并注意arctanx～x(x→0)．由于，而因此涉及知识点：极限、连续与求极限的方法12．求下列极限f(x)：正确答案：(Ⅰ)注意：因此(Ⅱ)由于因此涉及知识点：极限、连续与求极限的方法13．求数列极限正确答案：由(n→∞)．用等价无穷小因子替换得引入函数f(x)=(x＞0)，则涉及知识点：极限、连续与求极限的方法14．设xn=xn.正确答案：作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小．注意，已知因此xn=1．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法15．求数列极限：(Ⅰ)(M＞0为常数)；(Ⅱ)设数列{xn}有界，求正确答案：(Ⅰ)存在自然数k，k≥M，使，当n＞k时，有即当n＞k时，有是常数，且，由夹逼定理知(Ⅱ)由于{xn}有界，故M＞0，对一切n有｜xn｜≤M．于是，由题(Ⅰ)的结论及夹逼定理知涉及知识点：极限、连续与求极限的方法16．设f(x)在[0，1]上连续，求∫01xnf(x)dx．正确答案：因为∫01xndx=，且连续函数｜f(x)｜在[0，1]存在最大值记为M，于是｜∫01xnf(x)dx｜≤∫01xn｜f(x)｜dx≤M∫01xndx=又∫01xnf(x)dx=0．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法17．设a1＞0，an+1=(n=1，2，…)，求an.正确答案：显然，0＜an＜3(n=2，3，…)，于是{an}有界．令f(x)=，则an+1=f(an)，f’(x)=(x＞0)．于是f(x)在x＞0单调上升，从而{an}是单调有界的，故极限an存在．令an=A，对递归方程取极限得涉及知识点：极限、连续与求极限的方法18．设x1=2，xn+1=2+，n=1，2，…，求xn.正确答案：令f(x)=2+，则xn+1=f(xn)．显然f(x)在x＞0单调下降，因而由上面的结论可知{xn}不具单调性．易知，2≤xn≤xn=a，则由递归方程得a=2+，即a2-2a-1=0，解得现考察因此涉及知识点：极限、连续与求极限的方法19．求正确答案：x→0时，t=(1+x)x-1→0，则(1+x)x-1=t～ln(1+t)=ln(1+x)x=xln(1+x)，于是用等价无穷小因子替换得涉及知识点：极限、连续与求极限的方法20．设(x)=(Ⅰ)若f(x)处处连续，求a，b的值；(Ⅱ)若a，b不是(Ⅰ)中求出的值时f(x)有何间断点，并指出它的类型．正确答案：(Ⅰ)首先求出f(x)．注意到故要分段求出f(x)的表达式．当｜x｜＞1时，当｜x｜＜1时，=ax2+bx．于是得其次，由初等函数的连续性知f(x)分别在(-∞，-1)，(-1，1)，(1，+∞)上连续．最后，只需考察f(x)在分界点x=±1处的连续性．这就要按定义考察连续性，分别计算：从而f(x)在x=1连续f(1+0)=f(1-0)=f(1)a+b=1=(a+b+1)a+b=1；f(x)在x=-1连续f(-1+0)=f(-1-0)=f(-1)a-b=-1=(a-b-1)a-b=-1．因此f(x)在x=±1均连续a=0，b=1．当且仅当a=0，b=1时f(x)处处连续．(Ⅱ)当(a，b)≠(0，1)时，若a+b=1(则a-b≠-1)，则x=1是连续点，只有x=-1是间断点，且是第一类间断点；若a-b=-1(则a+b≠1)，则x=-1是连续点，只有间断点x=1，且是第一类间断点；若a-b≠-1且a+b ≠1，则x=1，x=-1均是第一类间断点．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法21．求极限.正确答案：恒等变形：分子、分母同乘然后再同除x2，得涉及知识点：极限、连续与求极限的方法22．求极限正确答案：这是求型极限，用洛必达法则得涉及知识点：极限、连续与求极限的方法23．求极限正确答案：属∞.0型．可化为型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法24．求极限正确答案：属∞-∞型．先作变量替换并转化成型未定式，然后用洛必达法则．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法25．求下列极限：正确答案：(Ⅰ)属00型.一般方法．因此=e0=1．其中(Ⅱ)属∞0型．因此e=e-1．(Ⅲ)属∞0型．利用恒等变形及基本极限可得=1．20=1．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法26．求正确答案：属型．先用等价无穷小关系arctan4x～x(x→0)化简分母后再用洛必达法则得涉及知识点：极限、连续与求极限的方法。
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基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。
函数的极限与连续训练题
1、 已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限
（2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续
（3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续
（4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。
其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
2、若a x f x x =→)(lim 0
，则下列说法正确的是（ C ） A 、)(x f 在0x x =处有意义 B 、a x f =)(0
C 、)(x f 在0x x =处可以无意义
D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x
3、下列命题错误的是（ D ）
A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续
B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 0
0x f x f x x x x →→= C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00
x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x - 5、下列式子中，正确的是（ B ）
A 、1lim 0=→x x
x B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→x
b ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和
7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3
)(32lim 3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8 D 、不存在
8、=--→33lim a x a
x a x （ D ）
A 、0
B 、1
C 、32a
D 、323a
9、当定义=-)1(f 2 时，x
x x f +-=11)(2
在1-=x 处是连续的。
10、=--→3
716lim 2
2x x x 12/11 。
11、=---+∞-→11lim 22x x x
x x 1- 。
12、=----→1
11
1lim 3
2x x x 2/3 。
13、=--+∞+→)1(lim 22x x x x 1/2 。
14、=--+∞-→)1(lim 22x x x x 2
1- 。
15、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=2
1,11,2
110,)(x x x x x f
(1)求1→x 时，)(x f 的左极限和右极限；
(2)求)(x f 在1=x 的函数值，它在这点连续吗？
(3)求出的连续区间。
答：（1）左右极限都为1 （2）不连续（3）（0，1）（1，2）。