奈奎斯特判据

N z p
实现该指导思想应解决三个问题： •如何建立一个能包围整个s右半平面的围线，且该围线 符合柯西幅角定理 •如何进行围线映射 •如何确定F(s)相应的映射围线对原点的包围圈数N，并 G 将F(s)和系统的开环频率特性 j H j 相关联
第五章 控制系统的频域分析与综合 5-6
2008
自动控制原理AI
Nyquist判据的推导
• 对问题（1）:构造围线Q,称之为“D型围线”
•对问题（2）:围线Q三部分分别映射，得出映射围线F(s)
•对问题（3）:由映射围线F(s)可得到其对原点的包围圈数 N 进而得到Nyquist曲线对(-1,j0)点的包围圈 数
第五章 控制系统的频域分析与综合 5-7
j j 1
i 1 n
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-3
2008
自动控制原理AI
•Nyquist判据的推导
– 柯西幅角定理
s2 F s s
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-4
2008
自动控制原理AI
•Nyquist判据的推导
设F(s)在围线A及A内除有限数目的极点外是解析的，F(s) 在A上既无极点也无零点，则当围线A的走向为顺时针时， 有：
第五章 控制系统的频域分析与综合


5-26
自动控制原理AI 2008 在Bode图上确定相位裕 量的步骤：
1. 确定增益剪切频率c； 2.过c点作轴的垂线与 对数相频特性曲线相交，
查出交点处的纵坐标值 (c)；

3. 代入计算公式
M = 180º+(c)
(c)

设计时，经验值：>30°， 一般选40 º ° 第五章 控制系统的频域分析与综合 ~60
在设计系统时，对系统的要求： 系统是稳定的。 系统必须具备适当的相对稳定性。 频域中衡量相对稳定性的指标：稳定裕度
稳定裕度表现:
Gk(jw)=G(j)H(j)曲线离(1,j0)点远近, 原因： G(j)H(j)曲线穿越(1,j0)点，系统临界稳定。 G(j)H(j)曲线离(1,j0)点越远，系统稳定程度越高。 G(j)H(j)曲线离(1,j0)点越近，系统稳定程度越低。
2008
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•Nyquist判据的推导
–Nyquist判据
• 若系统开环传递函数在s右半平面有p个极点，且 Nyquist曲线对（-1，j0)点包围的圈数为N(N>0 为顺时针，N<0为逆时针），则系统闭环极点在s 右半平面的数目为
zNp
•若z=0,系统稳定 •若z不为零，则系统不稳定
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-12
2008
自动控制原理AI
Nyquist稳定判据举例（续4）
• 例5.7
G K s 60.33s 1 s s 1
1.50.33s 1 GK s s s 1
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-13
2008
具体度量的指标：增益裕量、相位裕量
第五章 控制系统的频域分析与综合 5-19
G(j)H(j) =
2008
k(1+jT1)... (1+jTm) 自动控制原理AI (j) (1+jTa)... (1+jTn) [GH]
n m, 所有T>0 Im
1/a
–1 •
Im a
[GH]
=g =+ 0
第五章 控制系统的频域分析与综合 5-14
2008
自动控制原理AI
Nyquist稳定判据举例（续6）
• 例5.7
GK s

K s 2 2s 2 s 2

第五章 控制系统的频域分析与综合
5-15
2008
自动控制原理AI
• 基于Bode图的奈奎斯特稳定判据
– 穿越数与包围次数
第五章 控制系统的频域分析与综合 5-1
2008
自动控制原理AI
NG s N H s DG s DH s NG s N H s Gs H s ,1 Gs H s DG s DH s DG s DH s
而
Gs NG s DH s GB s 1 Gs H s DG s DH s NG s N H s
5-10
2008
自动控制原理AI
Nyquist稳定判据举例（续2）
• 例5.5：
s2 G K s 2 s
广义D型围线
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-11
2008
自动控制原理AI
Nyquist稳定判据举例（续3） • 例5.6
K G K s ss 3s 5
5-9
2008
自动控制原理AI
Nyquist稳定判据应用举例（续1）
• 系统的Bode图及Nyquist曲线
50 500 3 GK s s 10s 3s 1 s 1 s 1s 1 10 3
第五章 控制系统的频域分析与综合
–若系统开环传递函数在s右半平面有p个极点，其 Bode图的正、负穿越数分别为n 和n , 则系统闭环极点在s右半平面的数目为
z 2 n n p
• 若z=0系统稳定 • 若z不等于零，则系统不稳定。


第五章 控制系统的频域分析与综合
5-18
2008
自动控制原理AI 第4节 稳定裕度

g
GM=20lgh=–20lg|G(jg)H(jg)|
稳定系统增益裕量h=1/a > 1 GM > 0db 第五章 控制系统的频域分析与综合
5-24
自动控制原理AI 基于波特图的系统相对稳定性 2008
Im
[GH]
–1 •
=+
M 0
Re

=c =0+
c为增益剪切频率，
在极坐标图上:
n+:为自下而上的穿越数(正穿越数)，而始自负实轴的（ -1，-∞）区间向上穿越为半次正穿越。
n-:为自上而下的穿越数(负穿越数)，而始自负实轴的（ -1，-∞）区间向下穿越为半次负穿越。
第五章 控制系统的频域分析与综合 5-16
2008
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•基于Bode图的奈奎斯特稳定判据
(c)

M=180°+(c)
稳定系统相位裕量 M控制系统的频域分析与综合 > 0° 第五章
c
5-25
自动控制原理AI 2008 在Bode图上确定增益裕量 的步骤：
1. 确定相位穿越频率g； 2. 过g点作轴的垂线， 并求该垂线与对数幅 频特性曲线的交点， 此交点对应的纵坐标分 贝值的反号即为该系统 的增益裕量。 设计时，经验值：>6db， 一般选10~20db
5< <50, 积分环节、比例环节、1/0.2S+1惯性环节决定
>50, 积分环节、比例环节、2个一阶惯性环节决定 5-28 第五章 控制系统的频域分析与综合
10 自动控制原理AI G(S)H(S)= S(0.2S+1)(0.02S+1)
2008
-20db/dec

-40db/dec

-60db/dec
=g =+ 0
Re
=0+
增益裕量：
在系统的相位穿越频率g上，开环频率特性 G(jg)H(jg)的倒数，表示为： h =1/a= 1 |G(jg)H(jg)|
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-21
k(1+T1S)... (1+TmS) 自动控制原理AI n m, 所有时间常数>0 G(S)H(S)= S (1+TaS)... (1+TnS)
2008
Im
G(jc)H(jc)
–1 •
[GH]
增益剪切频率c ： |G(jc)H(jc)| =1
Re
=+
M 0
=c =0+
使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相移量M G(jc)H(jc) – M = –180°，相移量M 顺时针为正。
M = 第五章 控制系统的频域分析与综合 180°+ (c)
5-22
2008
自动控制原理AI
第4节：稳定裕量
• 基于Nyquist曲线系统相对稳定性
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-23
自动控制原理AI 基于波特图的系统相对稳定性 2008
Im
[GH]
a
–1 • =g =+ 0 Re
20lg|G(jg)H(jg)|

=0+ h =1/a= 1 |G(jg)H(jg)|
自动控制原理AI
Nyquist稳定判据举例（续5）
• Nyquist稳定判据的另一种描述形式
保证系统稳定的增益K的范围是: 开环频率特性的相角为-1800时, 幅值小于1.
通过正虚轴的映射与(-1,j0)点 的相对位置确定系统的稳定性.
保证系统稳定的增益K的范围是: 开环频率特性的相角为-1800时, 幅值大于1.
5-27
自动控制原理AI 例: 2008 设系统的开环传递函数
10 G(S)H(S)= S(0.2S+1)(0.02S+1)
试从波德图上求系统的稳定裕量。 解：该系统开环传递函数由：
放大环节、积分环节、2个惯性环节组成。n=3, m=0
转折频率有： 1=1/0.2=5, 2=1/0.02=50 在低频段(<5)，对数幅频特性曲线的值由积分环节和 放大环节决定。 =1时L()=20db+0db=20db
2008
自动控制原理AI
第3节：奈奎斯特判据
• 奈奎斯特(Nyquist)判据的推导 –几个基本概念
R(s)
G(s) H(s) 令：
C(s)
NG s N H s Gs , H s DG s DH s
NG s N H s DG s DH s NG s N H s ,1 Gs H s 则有： Gs H s DG s DH s DG s DH s
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-29
2008
自动控制原理AI


(1)增益裕量 g16(rad/s), L(g)=–15db，则：h=15db
(2)相位裕量
c7(rad/s),(c)=–155°,则: M = 180°+(c) =25°
第五章 控制系统的频域分析与综合 5-30
Re
–1 =g
=+
0 Re
=0+ GH(jg) = a <1
g相位穿越频率， GH(jg)＝–180°
=0+
P=0, N0 Z 0 P=0, N=0 Z=0 系统不稳定 系统稳定 5-20 第五章 控制系统的频域分析与综合
2008
1/a –1 •
自动控制原理AI Im [GH] a
N z p
其中：N为映射围线B包围原点的圈数，顺时针为正，逆时 针为负。z为F(s)在围线A内的零点数目，p为F(s)在围线A 内的极点数目。
第五章 控制系统的频域分析与综合 5-5
2008
自动控制原理AI
•Nyquist判据的推导 –奈奎斯特判据
• 指导思想：如果有一个s平面的封闭围线能包围 整个右半平面，则该封闭围线在F(s)平面上的映 射围线包围原点的圈数N应为
对比，有
1 G s H s 的极点=G(s)H(s)的极点
1 G s H s 的零点 闭环极点
第五章 控制系统的频域分析与综合 5-2
2008
自动控制原理AI
– Nyquist判据的推导
点的映射 围线的映射
F s
s z
i
m
s p
第五章 控制系统的频域分析与综合
5-8
2008
自动控制原理AI
• Nyquist稳定判据应用举例
–例5wenku.baidu.com4
G K s
500 s 10s 3s 1 50 3 s s 1 1s 1 10 3
第五章 控制系统的频域分析与综合
在Bode图上:(与极坐标图上相反) n+:为自上而下的穿越数(正穿越数)，而始自-1800相位线向 下的穿越为半次正穿越。 n-:为自下而上的穿越数(负穿越数)，而始自-1800相位线向 上的穿越为半次负穿越。
第五章 控制系统的频域分析与综合 5-17
2008
自动控制原理AI
• 基于Bode图的奈奎斯特稳定判据