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函数图形 基本初等函数 幂函数（

1)

幂函数（

2)

幂函数（

3)

指数函数（1）

指数函数（2）

指数函数（3）

对数函数（1）

对数函数（2）

三角函数（1）

三角函数（2）

三角函数（3）

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《二次函数的应用》中考题集锦

10题已知抛物线22

2(0)

y x mx m m

=+-≠．

（1）求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；

（2）过点(0)

P n

，作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边），是否存在实数m n

，，使得2

AP PB

=？若存在，则求出m n

，满足的条件；若不存在，请说明理由．

答案：解：（1）证法1：

2

222

9

2

24

m

y x mx m x m

⎛⎫

=+-=+-

⎪

⎝⎭

，

当0

m≠时，抛物线顶点的纵坐标为2

9

4

m

-<，

∴顶点总在x轴的下方．

而该抛物线的开口向上，

∴该抛物线与x轴有两个不同的交点．

（或者，当0

m≠时，抛物线与y轴的交点2

(02)

m

-

，在x轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x轴有两个不同的交点．）

证法2 ：

222

41(2)9

m m m

∆=-⨯⨯-=，

当0

m≠时，2

90

m>，

∴该抛物线与x轴有两个不同的交点．

（2）存在实数m n

，，使得2

AP PB

=．

设点B的坐标为()

t n

，，由2

AP PB

=知，

①当点B在点P的右边时，0

t>，点A的坐标为(2)

t n

-，，

且2

t t

-

，是关于x的方程22

2

x mx m n

+-=的两个实数根．

222

4(2)940

m m n m n

∴∆=---=+>，即

29

4

n m >-．

且(2)t t m +-=-（I ），2

(2)t t m n -

=--（II ）

由（I ）得，t m =，即0m >．

将t m =代入（II ）得，0n =．

∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．

②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为

(2)t n ，，

且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．

2224(2)940

m m n m n ∴∆=---=+>，即

29

4

n m >-．

且2t t m +=-（I ），2

22t t m n =--（II ）

由（I ）得，3

m

t =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足29

4

n m >-．

∴当0m >且220

9

n m =-时，有2AP PB =

第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的

距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，

若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米 Ｃ．123米 Ｄ．6米

答案：Ｂ

第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年

来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可

以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．

（1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与

上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市

时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？

（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）

答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：

2

160(0120)380(120150)2

20(150180)5

t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪

=<⎨⎪⎪+⎩，，

． ≤ ≤≤ （2）由题目已知

条件可设

2(110)20z a t =-+．

图象过点85(60)3

，，

2851

(60110)203300

a a ∴

=-+∴=

．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >．

（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．

故 A B x

y P

O 20

40 60 80 100 120 140 160 y (天) 60 z (元) 50 40 20 10

853 （180，92）

140 160

100 120