实验2 一元线性回归分析

y

z

散点图

实验二 一元线性回归分析

一、目的：

通过对一元线性回归分析程序设计及完成算例，掌握一元线性回归分析的基本原理和方法。

二、方法概要 1、原始数据预处理

对n '对原始数据（i i y x ,）(i =0，1，…，n ')数据进行预处理（见实验一）。

2、数学模型建立

（1）作散点图

一元线性回归只能处理两个变量之间的关系，它又被称为直线拟合，假设x 为自变量，y 为因变量，对预处理后n 对数据（i i y x ,）(i =0，1，…，n ；其中n n '≤)如果把各个点数据画在坐标纸上（作散点图），各点近似分布呈一条直线，则可用一元现行回归。

（2）选择数学模型

bx a y

+=? （2-1） （3）参数a, b 的估计

y

?为根据回归方程的得到的因变量y 的计算值；a ，b 为回归方程中的系数；x 为自变量。由于测定结果中不可避免会有实验误差，因此用最小二乘法的原理估计回归直线中的系数a ，b 。

假设实验得到了n 对数据（χ

i ，

y ）(i=0，1，…，n)并得到了回归方程bx a y

+=?，则对于x 的一系列变量x 1 ，x 2 ，…，x n ，根据回归得到方程可得到因变量的一系列计算值

n n bx a y

bx a y

bx a y

+=+=+=???2211

每一个实测值y i (i=0，1，…，n)与它相对应的一个计算值1?y

(i=0，1，…，n)之间都有偏差，也可称残差，计算公式：

)(?i i i i i bx a y y

y v +-=-= （2-2） 所有测试数据的残差平方和为

∑∑∑===+-=-==n

i i i n i i n i i

e bx a y y

y v Q 1

21

2

1

2

)]([]?[ （2-3） 如果回归方程bx a y

+=?是合理的a ，b 为最佳。则所得到的残差平方和应达到最小值。 得

???????-=∑-∑-====x

b y a x n x y x n y x L L b n i i n

i i i xx xy 1

221)( （2-4）

列出回归方程

bx a y += （2-5）

3、回归方程显著性检验

（1）将自变量n 组试验数据依次代入回归方程（式3－8），求出因变量n 个回归值

i i bx a y +=? （n i ,,2,1 =） （2-6） （2）计算总S ，回S 和剩S ：

∑=-=n

i i y n y S 122总 （2-7）

∑=-=n

i i y n y

S 1

22?回 （2-8） 回总剩＝S S S - （2-9）

（3）计算F 统计量

2

1-=n S S F 剩回 （2-10）

（4）计算相关系数r

yy

xx xy L L L r ?=

（2-11）

（5）查表检验

给定显著水平α，查表得)2(),2,(--n r n p F αα。若)2,(p F F α>或)2(->n r r α，则证明回归方程显著；否则，回归方程无实用价值。

4、对因变量进行区间估计

（1）估计剩余标准值

=δσ （2-12）

（2）求出因变量估计值

当自变量取定值x 时，由回归方程可求得 因变量数学期望的估计值y

?。 （3）写出预测区间

95%置信区间:（δδσσ2?,2?+-y y

） 99.7%置信区间：（δδσσ3?,3?+-y y ） 三、算例

（一）从某煤矿采集11个煤样，分别测定煤的发热量（g

DT Q ）和煤灰分（g

A ）含量，获得如

下表数据：

试建立煤的发热量（DT Q ）对煤灰分（A ）的回归方程，并检验该回归方程的显著性。

（二）煤矿脉中13个相邻样本点处某种伴生金属的含量数据如下表：