专题15分布列、期望与方差-高考数学复习资料.docx

一、选择题

1.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】若随机变量§满足￡(1-§) = 4, 2^(1-0=4,则下列说法止确的是

A. Ef=-4,Df = 4

B. Ef=-3,Df = 3

C. Eg =- 4,Df =- 4

D.Eg =- 3,DC = 4

【答案】D

【解析】

随机变量F満足-厂=4,巩1 —门=4,

则:1_砖=4丄_1円疋=4,

据此可得：必=-3,巧=4.

本题选择。选项.

2.【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】已知甲盒子中有尬个红球，“个蓝球，乙盒子中有加-1个红球，八+ 1个蓝球(m>3,n>3),同时从甲乙两个盒子屮取出迫=1,2)个球进行交换，(a)交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为戸(心").⑴)交换后，乙盒子中含有红球的个数记为乞(心1忆)则()

A. P] > P2'E(§1)V E(§2)

B. P I V 卩2疋(§1)> E(§2)

C. Pl > 卩2上(§1)> E(§2)

D. Pl V 卩2力(§1)V E(§2)

【答案】A

【解析】根据题意有，如果交换一个球，

有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，

红球的个数就会出现mm - l,m + 1三种情况；

如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，

对应的红球的个数就是尬- l,m,m + l,m + 2五种情况，所以分析可以求得內 > 卩2力(§1)< W,故选

A.

3.【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】随机变量f的分布列如下:

其屮Q, X c成等差数列，贝的最大值为()

2 5 2 3

A. 3 乩? C. ? D. 4

【答案】A

【解析】因为b, c成等差数列，???2b = e + G???ti + b + t? = 1.A b = =扌一亿

□ □

E^ = ~a+c = ~2a + i

则Df的最犬值为扌?

本题选择卫选项.

4.【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】若随机变量f满足巩1-§) = 4, D(l-()=4,则下列说法正确的是

A. Ef=-4,D￡ = 4

B. Ef=-3,Df = 3

C.図=-4,D￡ =- 4

D. Ef =- 3,Df = 4

【答案】D

【解析】

随机变量§满足-0 = 4, D(l-0 =4f

则：1-Ff = 4,(-l)2Df = 4,

据此可得：昭=-3必=4.

本题选择〃选项.

1

0 V a V —

5.【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】己知4,随机变量g的分布列如下: g-101

P 31

4

—a

4

a

当a增大时，()

A. E代)增大，D(2)增大

B. E(g)减小，DU)增大

C. E(g)增大，D(§)减小

D. E(§)减小，D(§)减小

【答案】A

【解析】

由随机变量§的分布列，得应(V =。一????当。増犬时，E建丿増犬;

D(§) = (―1 — a + ￡) X* +(0 —a + X Q — a) 4- (1 — a4-X a = —a2

???0

6.【2018年全国卷III理】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为卩，各成员的支付方式相互独立，

设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX = 2.4, P(X = 4)

A. 0.7

B. 0.6

C. 0.4

D. 0.3

【答案】B

【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式D(X)=np(l-p)进行计算即可。

v DOO = np(l 一p),.?.p = 0.4或p = o.? p(X = 4) = CMQ一< P(X = 6) = ￡熬沪(1 — p)笃

???(i -P y <扩'可知p > o.s,故答案选B.

7.【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑

球，1个红球，现从袋屮每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用X表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量X的数字期望EP0是( )

11 12 13 14

A. 5

B. 5 c. 5 D. 5

【答案】A 【解析】

袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中毎次取出1球，取后不放回, 直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，则X 的可能取值为2, 3,

F （z = 3）=|xi4-|xi = ip （jr=2） = l-p （^ = 3）=^ "3）=拦2+扭3=議???随机变量 X 的 数字期望E （X ）是乎，故选A

8. 【浙江省台州中学2018届高三模拟】己知某8个数的期望为5,方差为3,现又加入一个新数据5,此时这 9个数的期望记为HQ,方差记为DQO,则（） A. E(X) = 5,D(X) > 3 C. E(X) V 5,D(X) > 3

【答案】B 【解析】

E (X)

根据题意可知，

z 3x8 +(5 - 5

乎

DW = ----------- —

9. 【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】己知人〃两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、 白球若干个.

力盒中有m 个红球与10-m 个白球，B 盒中有10-m 个红球与m 个白球（OVmVlO ）,若从A,B 盒 中各取一个球，§表示所取的2个球中红球的个数，则当Df 取到最大值吋，尬的值为（）

A. 3

B. 5 c. 7 D. 9

【答案】B 【解析】

B. E(X) = 5,D(X) V 3 D. E(X) V 5,D(X) V 3

5x8 + 5 = ------------=5

9 8

= -<3

,故选B.

由题意可得=2表示红球的个数，则2可能取的值为：o, 1, 2, 根据题意可得：P （ 2=0）牟輕,

所以2的分布列为:

g

0 1

2 p (10 - m)m (10-m)2 + m 2

(10 - m) m 1

100

100

100

(10 - m)2 + m 2 (10 - m)m 所以 E^=1 X 100 +2X 100 二i, （10 - m ）m （10 - m ）m - （m- 5）2 + 25

所以 Dg 二 I 。。

+

I 。。 = 5° ,并且 1 WmW9,

1 所以当m=5时，DC 収最大值2

故答案为：B

10. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知随机变量乞满足P@i = °）= h, 1

P （fi = 1） = 1-"，J[0＜P,＜2, i = l, 2.

若 E （fi ）VE （§2），贝g

A. P 、＜P2,冃 D （fi ）VD （＜2） R. Pi ＞P2,冃 D （fi ）＞D （§2） C. P1＜P2,且D （§1）＞ D （§2） D.卩1＞卩2,且D （§1）V D （§2）

【答案】B 【解析】

匸随机变量FiJ ■两足PQi = 0) =

= 1) = 1 - 卩丄，0 < -j i = 1J 2J F(^t )W EC

??? P (Fi = °)=Pi fJ (^i = 1) = 1 -p 1?

P ( ^=1)=

〔1.打一fn}〔[<] -m}+fn ?fn (lD-fn)z 4-fn z

1DD

P ( ^=2)

—1QQ

卩(& = 0) = = 1) = 1 ~p2?

?? E(fi)— 1 —= 1 — p2 ?

'?百(fi) V E(E)j???1 — Pi U t.—卩工>

解得Pi >Pz, ??- 0

D(&) = (0 - 14 Pi)z ft 4-(l-l+p a)2(l-pj = Pi - PiS

D(g』= (0-14-p2)a p2 + (1-1+ p2)3(1 -p2) =p2 -p2s,

??? o < p2 < Pl < ?- 5(^1)- ^(^2)= Pl 一:pj-pj + pj =(P1 - Pa)[l - 1(P1 +p2)l >0 ???D(&)〉D(E),故选B?

若0 V P| V二 < 卩2 V亍’则（）

A. E&)

B. EG)〈E(§),D&))Dg)

C. E&)>EG),D(G>D(%)

D. E G)>E(即,D G)>D@)

【答案】D

【解析】

f 2

宙题意得E(苕)=耳+2(g —耳

1 2

\90

2 3

???E@)A E?)

?5 ⑷= |[0-^)]2+ Pi[l-E ⑷]2+(彳-刃)[2-E(Qf

1 2

\90< p. <-

2 2 3

??D(即

故选D?

12.【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性】甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒屮装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出迫=12可个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为60）局0）, 则以下结论错误的是（）

A 耳（1）＞为⑴ B.耳⑵二乞⑵ c.耳⑴+乞⑴二4 D.耳⑶＜^2（1）

【答案】D 【解析】

用X表示交换后甲盒子屮的红球数，丫表示交换后乙盒子屮的红球数,

当i = l时,

2 1 8 =-p -严+ g

P (X = 2) 则=P (Y = 2) P (X = 4) =P {Y = 0)

c；?

c；= 1

4：4"16,

故A 正确,C 正确,

当 1=2 时，P (X = l) =P (Y = 3)=鵲=扌，P (X = 2) =P (Y = 2)=警賞x2 =中，

???瓦(2) =1X ￡ + 2X -4-3X -= 2, E- (2) = 3 x- + 2 x-+1 x-= 2. 1 4. 2 4. 4 3 4.

故B 正确. 当t = 3时〉

P (X = Q 〉=P =卑 ^X2 =-,

P (X = 2) =P (Y = 2) =2 ??￡； (3丿=0x-4-lx-+2x —=-.

1 lfi 8

lfi 2

故D 错误. 故选:D ?

§

1

2

P

1-P

1 P

2 2 2

则当P 在（0, 1）内增大时，

A. 〃（ § ）减小

B. 〃（ § ）增大

C. 〃（ § ）先减小后增大

D. 〃（ § ）先增大后减小

【答案】D

【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确走单调性一

心=2X ^4-0X ^4-1X | = | .

⑴=2x 专+ 3X 訐4X 佥需

详解「??E(° = Ox宁+lx^+2x汁"？

???D(° =宁(0 -卩-护+ "1 -卩-护+ ? (2 - p -护=-扩+卩+ ????推((U),???D(C先増后减因此选D.

二、填空题

14.【浙江省绍兴市2018?高三3月模拟】若离散型随机变量X的分布列为

则常数 _______________ ，X的数学期望E（X）= _________ .

1 2

【答案】3

1 2 12 1 2

2Q + Q = 1 「? a= — E（J0 = 1 x —0 X —=———

【解析】由题得 3 3 3 3故填（1）3（2） 3.

15.【浙江省金丽衢十二校2018届高三第二次联考】从放有标号为1、2、4、8、16、32的6个球的口袋

里随机取出3个球（例如2、4、32）,然后将3个球中标号最大和最小的球放回口袋（例子中放回2和32,

留下4）,则留在手中的球的标号的数学期望是___________ .

【答案】7.2

【解析】因为留在手中的球的标号可以为2, 4, 8, 16,所以

因此砖"x*4x計8X命+ 16杓= 7.2

16.【浙江省宁波市2018届高三5月模拟】已知随机变量X的分布列如下表:

若EX = 2,贝ija 二_______ ；DX = _____

5

【答案】0. 2

【解析】分析：先根据分布列的性质求出b 的值，再根据期望计算出8的值，最后计算方差. 详解：由题得汁#

O^ = ?X 1 + 2x i 4-3x 2 3

4-4x- = 2.

3

4*

€

4

解得a=0.

所以加=(0_2严?半 + (2_2)：

4 + (3_2)€+(4_2)记耳

故答案为:0,

17. ___________________________________________________________________________________ 【浙江省余姚屮学2018届高三选考科目模拟考试(一)】若随机变量f 的分布列如表所示：则図= __________________________ D(2J1)=

.

【解析】

1 2 3 1

a 4 a = 1

a =——

a =-

由题意可知：

4

，解得 2 (舍去)或 2

【解析】1,甲抢到一题但答错了.

片0,甲没抢到题，或甲抢到2题，回答时一对一错.

1 c 1 1 1 —4" 0 x — 4* 1 x —=—

2 2 4 4

由方差计算性质得

/3 1 \ 11

D(2§-1) = 4D(° = 4(E(F)-出⑹ 2) = 4xU-—1= —

18. 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0 分，抢到题并回答

正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得一1分).若X 是甲队在该轮比赛获胜时 的得分(分数高者胜),则才的所有可能取值是 —?

【答案】一1, 0, 1, 2, 3

【答案】

1 11

4 T

片1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对, 片2时，甲抢到2题均答对.

片吕时，甲抢到吕题均答对.

C

p(E = k) = _____ (k = 0,1,2 3)

19.设随机变量§的概率分布列为k + 1 '，'，贝|JP(^ = 2) =

4

【答案】25

c c c12

c + — + — + —— 1 =^c =―—【解析】因为所有事件发生的概率之和为1,即 5 6 3 425,

12 _ 4

25 x (2 + 1) 一亦.

其中a、b^ c成等差数列，则P(|§|=1)= _________________

2

【答案】亍

【解析】由题意可得：｛ a + c = 2b ,解得：a + c = -f

G + b + c = 1 3

2

则：P(同=1)=P(§=1)+P(g=_l)=亍

21.【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)红卷】己知两个离散型随机变量乙亿满足

0 = 2f+l,f的分布列如下：

心

当§时，a = ____________ , Dq = ___________

5 20

【答案】2 9

【解析】由题意，因加2+討1屁= 0xa + lxb + 2x討％

所以n，贝|阿=卩一护疋+(1 一护兮+& 一护x*=m

又因为" = 2f + l,所以旳=2辺24疋=乎?

三、解答题

22.【2018年理北京卷】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设所有电影是否获得好评相互独立.

(I )从电彫公司收集的电彫屮随机选取1部，求这部电彫是获得好评的笫四类电彫的概率；

(II )从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

(III)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“3 = 1”表示第&类电影得到人们喜欢，“6 = 0”表示第&类电影没有得到人们喜欢(A=l, 2, 3, 4, 5, 6).写出方差Mi,昭，%, % %的大小关系.

【答案】(1)概率为0. 025(2)概率估计为0. 35(3) %＞略＞%二兀＞%＞%6

【解析】(I)由题意知，样本中电影的总部数是140+5CH30(H200+&Og51Q=200(b

第四类电影中获得好评的电影部数是200x0.25=50?故所求概率为蟲=0 025.

(II )设事件4为“从第四类电影中随机选出的电栄获得好评”,事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”?故所求概率为+丽)=P (府)十P (初)=P(4) (17(20) +(1-D) P(l?)?由题意知：P (小估计为0J25, P (S)估计为02 故所求概率估计为0_25X0.8^.75X Q2=0.35?