边界条件的处理

可以采用虚拟点法。
虚拟点法：
在右边界外虚设一点M1+1，这 样节点M1就被视为内节点， 其 导数即可采用中心差分：
TM11 TM11 2x
qB
为消去TM1+1,由一维、稳态、含内热源的控 制方程可得在M1点的离散形式：
TM 11
2TM1
(x)2
TM 11
S
0
从以上两式消去TM1+1得，
TM 1
★两种处理方法的比较
大量数值实践表明，附加源项法比补充节点方 程的方法更为简洁、有效，主要体现在以下三个 方面： 1.有利于用统一模式来处理三种边界条件； 2.可以缩小计算区域； 3.采用补充节点方程方法时，如把求解代数方程 的区域也限在内节点，然后通过边界节点方程不 断更新边界节点上的值并以此作为下一次迭代计 算的边界条件，则附加源项法的计算时间可以比 这种边界值更新法大约节省一个数量级。
V [1 /
h
ATf
(
x)w
/
B
}V ]
其中：A是所研究控制容积在边界上的传热面积 V 为控制容积的体积
[aP
A
1/ h ( x)w
/ B
]TP
aETE
aNTN
aSTS
{SC
V [1/
h
ATf
(
x)w
/
}V
B ]
上式表明，对第三类边界条件，如果在边界控制容积中加 入一下附加源项：
S C ,ad
3.温度边界条件：
（1）规定了边界上的温度：tw=f1(τ)
（2）规定了边界上的热流密度：
qw
（
t n
)w
f2 ( )
（3）规定了边界上物体与周围流体间的表面
传热系数h及周围流体的温度
（
t n
)w
h(tw
t
f
)
对于第一类边界条件，直接给出了边界 的温度，在这种情况下内节点的代数方程 组已经封闭，当计算区域的边界为第二、 三类边界条件时，边界温度为未知量，为 使内部节点的温度代数方程组封闭，必须 对边界条件作出处理。有两类方法可以采 用，即补充边界节点代数方程的方法和附 加源项法。
(a)
(b)
对于第二类边界条件，qB 为已知，故可把它与b组成一个新项：
q B y
b
(SC
qBy )xy xy
(SC
S C ,ad
)xy
（4-36）
aP aP aW aE 0 aN aS SP xy
对于第二类边界条件，如果把qBΔy/ΔxΔy作为与边界相 邻的控制容积的附加常数源项，记为SC,ad ，同时令aw=0， 则所得的离散方程既符合能量守恒关系，又能把未知的边 界温度排除在外。
hx )
1）第二类边界条件：
TM 1
TM 11
qB
x
2）第三类边界条件：
TM 1
TM 11
h x
T
f
/

1
h x
值得指出：虽然在形式上与区域离散方法A 中具有一阶截差的公式一样，但它却是区域离 散方法B中具有二阶截差的公式 。
★附加源项法
1.原理：在附加源项法中，把由第二类，第三类 边界条件所规定的进入或导出的热量作为与相邻 的控制容积的当量源项。
TM 11
x qB
(4-28)
注意：在（4-28）式中以规定近入计算区域的热量为正值， 式（4-28）的截差为一阶，而在内节点上如采用中心差分，
则截差为二阶。在作物理问题的数值计算时，一般希望内
节点与边界节点离散方程截差等级保持一致，如果不一致
会影响计算结果的准确度。为得出具有二阶截差的公式，
边界节点离散方程的建立中得到广泛的应用。
2.区域离散法B的情形
边界节点可以看成是第一种区域离散法中当边 界节点所代表的控制容积厚度△x趋近于零时的 极限。
对图中的右端点，由（4-29）、 （4-31）可得
TM 1
TM 11
xxS
qBx
TM 1
TM 11
(x)(x)s
(
hx
)T
f
] /(1
对于第三类边界条件，qB 可以表示为 qB h Tf Tw
由Fourier定律得，
qB
B
TW TP
x w
于是得：
qB
Tf TW 1h
TW
xw
TP
B
1
h
Tf TP
xw
B
（c）
将(c)代入（b）中整理得，
[aP
1/
A
h ( x)w
/ B
]TP
aETE
aNTN
aSTS
{SC
★补充边界节点代数方程的方法
现以Taylor展开法和控制容积平衡法为例说明: 1.区域离散法A的情形
1）第二类边界条件
对于无限大平板的第二类边界条件，采用taylor展开法时，
边界条件：
dT dx
) x
qB
（4-27)
式中的导数用差分表达式来代替即可，即
dT TM1 TM11
dx
δx
TM 1
TM 11
xxS
qBx
（4-29）
其中△x=δx/2,是节点M1所代表的控制容积的厚度
2）对于第三类边界条件
把 qB h Tf TM1 代入式（4-28）、（4-29），并对TM1解出，
得相应于一阶与二阶截差的节点离散方程：
一阶
TM 1
[TM 11
hx ( )Tf
] /(1
hx )
A V
Tf
1/ h (x)w
/ B
S P,ad
A V
1
1/ h (x)w
/ B
同时aw=0就可以实现使未知的边界温度不进入离散方程的目的
附加源项法的实施步骤： ①计算与边界相邻的内部节点控制容积的附加 源项SC,ad及SP,ad ，并将它们分别加入该控 制容积原有的SC,SP中去； ②令该边界上节点的导热系数λB=0,以使aw=0 ③按常规方法建立起内节点的离散方程，并在 内节点的范围内求解代数方程组； ④获得收敛解后按Fourier导热定律或Newton 冷却公式解出未知的边界温度。
2012-4-20
主要内容：
补充边界节点代数方程的方法 附加源项法 两种处理方法的方法
1.边界条件概念：
边界条件是在求解区域的边界上所求解的变 量或其一阶导数随地点及时间的变化规律。
2.速度边界条件：
在固体边界上对速度取无滑移边界条件，即 在固体边界上流体的速度等于固体表面的速度， 当固体表面静止时，有：u=ν=ω=0。
2.原理及实施步骤： 如图所示，与边界相邻的控制 容积中的节点为P，对此控制 容积可以写出：
aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
其中：aW
B y
xw
B 为边界节点的导热系数
为了在TP的代数方程中不出现未知的边界温度，就需要 利用已知的边界条件把TW消去，因此需对上式进行变换.
（4-30）
二阶
(x)(x)s hx
hx
TM1 TM11
(
)Tf ] /(1
)
（4-31）
3）控制容积平衡法：
对边界节点的控制容积作能量平衡， 得：
qb
TM11 TM1
x
Sx
0
解得
TM 1
TM 11
xxS
qBx
说明：采用控制容积平衡法 所得的离散方程具有
二阶精度，而且其物理意义明确，因而这一方法在