刘徽的“割圆术”
千古绝技割圆术ppt课件
刘徽是怎样割圆的
割之弥细 失之弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体 而无所失矣
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深邃的极限思想
古希腊人在精神上对“无穷” 怀有恐惧
阿基米德的著作总是谨慎地回 避“取极限”
“割圆术” 涵盖大学高等数 学教材中 有关数列极限的 基本知识 诸如 极限的定 义 收敛性的判别 无穷 小量概念等
“中国的牛顿”?
史称古率
从现有的史料来看 首创圆周率精密计算的是 古希腊的阿基米德(约公元前287－前212年)
阿基米德用正96边形逼近圆周 求得 3.14
公元前3世纪 古希腊遭到罗马人的摧残 叙拉
古王国灭亡 古希腊文明衰落 西方圆周率计算
就此沉寂一千多年
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焚书坑儒留下历史空白
在阿基米德被罗马士兵野蛮杀害的公元前212年 秦始皇正耀武扬威地巡视着那空前规模的大帝国 大一统的秦王朝屹立在世界的东方 秦始皇在全国统一了度量衡 刘徽据秦汉量器测算 发现 当时所使用的圆周率约为 3.14 中国上古时代科技相当发达 然而关于圆周率的记 载却是一片空白 这是否与秦始皇的焚书坑儒有关 呢?
S2n + 0 (S2n - Sn ) < S * < S2n +1 (S 2n - Sn )
加速逼近 S* ≈ S2n + ω (S2n - Sn )
0< ω<1
关键在于松弛因子ω 的选择
刘徽适当选取 ω 考察加速公式
S* S192 + ω (S192 - S96 )
其中数据 S96 ,S192 很粗糙 阿基米德早已掌握 21
标准的计算机程序 19
一份珍贵的文化遗产
用算筹实施的一项伟大的计算工程 标准的计算机程序 简单的重复生成复杂
割圆术——刘徽《九章算术注》
割圆术——刘徽《九章算术注》割圆术（cyclotomic method）所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。
这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。
中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。
但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。
正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。
东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。
这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。
刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。
在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。
这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。
如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。
按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.14和 3.1416这两个近似数值。
这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。
刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。
数学家名人故事：刘徽
数学家名人故事：刘徽
刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位。
他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的`解法。
在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献。
他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。
在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。
他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3。
14的结果。
刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。
《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。
他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。
他虽然地位低下，但人格
高尚。
他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
浅谈古代数学家刘徽的贡献及其思想
浅谈古代数学家刘徽的贡献及其思想刘徽的数学贡献1.极限观念与割圆术极限意识在春秋战国时已出现，实际加以应用的是刘徽。
刘徽已领悟到数列极限的要谛，故能有重要创获。
刘徽的杰出贡献首推他在《九章算术注》中创立的割圆术，其所用方法包含初步的极限概念和直线曲线转化的思想。
在一千五百年前能运用这种思想，是难能可贵的。
有了割圆术，也就有了计算圆周率的理论和方法。
圆周率是圆周长和直径的比值，简称π值。
π值是否正确，直接关系到天文历法、度量衡、水利工程和土木建筑等方面的应用，所以精确计算π值，是数学上的一个重要任务。
2.关于体积计算的刘徽定理一般地说，柱体或多面体的体积计算较比容易解决，而圆锥、圆台之类的体积就难以求得。
刘徽经过苦心思索，终于找到了一条途径，他分别做圆锥的外切正方锥和圆台的外切正方台，结果发现：“求圆亭（圆台）之积，亦犹方幂中求圆幂，圆面积与其外切正方形的面积之比为π∶4，由此他推得：圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥）的体积之比，也是π∶4。
很显然，如果知道了正方台（锥）的体积，即可求得圆台（锥）的体积。
刘徽这个成果，看似简单，实际起着继往开来的重要作用，故有的现代数学家称之为“刘徽定理”。
在古代没有微积分的时候，这条定理起着微积分的作用，在现代数学中仍有共价值。
刘宋时祖冲之、祖暅父子继承刘徽定理而得出更为进步的祖氏原理。
在西方，直到1635年意大利数学家卡瓦列利才有了与祖氏父子类似的思想，比祖氏父子已晚了一千一百多年，比刘徽更迟了一千三百多年。
3.十进小数的应用在数学计算或实际应用中总不免出现奇零小数，在刘徽以前，一般是用分数或命名制来表示，如“一升又五分升之三”，即升。
或七分八厘九毫五忽”等，在位数较少时，尚可凑合，当小数位数太多时，便很不方便，因之刘徽建立了十进分数制。
他以忽为最小单位，不足忽的数，统称之为微数，开平方不尽时，根是无限小数，这又是无限现象。
他说：“微数无名者以为分子，其一退以十为分母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂（已经开出去的正方形面积）虽有所弃之数（未能开出的部分），不定言之也”。
数学家的小故事：来自魏晋时期的“割圆术”者刘徽
数学家的小故事：来自魏晋时期的“割圆术”者刘徽
中国作为一个有着悠久历史的文明古国，期间出现了许多睿智的优秀人物。
刘徽就是这众多杰出大家之一。
早在公元200余年，刘徽就创造出来割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。
今天我们的《数学家的小故事》就来讲讲这位数学大家的故事。
数学家刘徽的生平
刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的
数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。
是中国数学史上一个非常伟大的
数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。
他是中国最早明确主张
用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。
他虽然地位低下，但人格高尚。
他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌
的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要
条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除
法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提。
刘徽割圆术与其切割方法
刘徽割圆术与其切割方法作者：张莹莹来源：《学校教育研究》2014年第21期一、刘徽割圆术刘徽是我国古代数学家，他在数学上的重大贡献是对《九章算术》的详细整理，从此之后，这本书才有了实本。
他在《九章算术》中求圆周率是由圆内接六边形起算，用语言概括就是：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”我们把它称为刘徽割圆术。
他的思想后来得到祖冲之父子的推广，从而使得中国古代数学绽放出夺目的光彩。
把刘徽割圆术用现代数学语言来表达，就是：有一个半径是1的圆O，作内接正六边形（如图1），ABCDAEF正六边形的面积是三角形ABO的面积的六倍，由于AB=DA=1,OT=二、不同的分割法上面我们都把X轴上的距离等分，然后来进行计算。
但有时候，应用等分来计算反而很困难。
通过以下的例子，可以更清楚的了解这一点。
我们提出一个和前面类似但更一般的问题，来研究曲线y=xm在X轴上所盖的面积，这里m是不等于-1的实数，如图10。
当m是整数，例如m=3，4，…，我们可以利用杨辉三角求出，但当m不是整数时，要写出这个和的具体表达式是十分困难的。
因此我们运用其他的方法。
在刘徽割圆是时，是用正多边形来作为圆的近似图形，而在求抛物线在X轴上所盖的面积时，就用了很多矩形拼凑起来的折线图形作为近似图形了。
因此，不同的分割方法是不影响问题的结果的。
我们可以不用等分的方法来进行求解。
这样一来，CD这件并不是等分了，而是越靠近C的分得越小，越靠近D的分的越大图11。
但是当分点越来越稀释，每一段得长都趋于零。
照这样分割以后，矩形Mk-1Nk-1PkMk的面积是 aqk-1(q-1)(aqk-1)m=(q-1)(aqk-1)m+1。
把这些矩形拼凑起来得到的图形成为ABCD的近似图形，这个图形的面积是Sn=(q-1)(aq1-1)m+1 +(q-1)(aq2-1)m+1+…+(q-1)(aqn-1)m+1=(q-1)am+1[1+qm+1…+（qm+1）n-1]=(q-1)am+1显然Sn是小于ABDC的面积S的，而且可以看出，这个近似图形也遵循刘徽割圆的原理。
刘徽割圆术和物理解题的极限、微元、积分思想
刘徽割圆术和物理解题的微元法“圆，一中同长也。
”纯语文翻译:圆这种图形,有一个中心,从这个这个中心到圆上各点都一样长.数学意义:圆有一个圆心,圆心到圆上各点的距离(即半径)都相等.关于“圜”的定义。
墨子说：“圜，一中同长也。
”(《墨经上》)这里的“圜”即为圆，墨子指出圆可用圆规画出，也可用圆规进行检验。
圆规在墨子之前早已得到广泛地应用，但给予圆以精确的定义，则是墨子的贡献。
墨子关于圆的定义与欧几里得几何学中圆的定义完全一致。
遇到求圆的周长的问题，周长的计算涉及到一个圆周率π，古人根据经验一直沿用“周三径一”。
实践中发现，周三径一并不是圆周长与直径的关系，而是圆内接六边形的周长与直径的比值。
公元三世纪，我国数学家刘徽对这个问题作了深入的研究，运用他的话说：“周三者，从六觚之环耳。
”他在为《九章算术》作注时谈到：“学者踵古，习其谬失。
不有明据，辩之斯难。
凡物类形象，不圆则方，方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。
”刘徽进行长期的追本觅源，刻苦钻研，终于悟出其中的真谛实义，创造出震惊中外数坛的“割圆术”。
他是从正六边形开始运算，令边数一倍一倍地增加，边数变为12，24，48，96，192，…，逐个算出六边形、十二边形、二十四形、……的边长，然后乘以边数得到周长，逐步地逼近圆的周长，则正多边形的周长与圆的直径的比值就逐渐接近圆周率。
圆，是由什么样的图形演变而来的呢？《周髀算经》中写道：“数之法出于圆方，圆出于方。
”“环矩以为圆，合矩以为方。
”“方数为典，以方为圆。
”于是刘徽看到了圆与方形的关系，用了下下面的方法证明了《九章算术》中计算圆面积的法则：圆内接正n 边形，其面积，周长，一边分别记为Sn,Pn,a n设AB 是圆内接正6边形的一边，AC是内接正12边形的一边，S OBC=1/2DB*DC=1/4a6*r=1/2P6*r,同理，S24=1/2P12*r对一般情形，有S2n=1/2P n*r,为了确定圆面积的上界，他还提出S2 n < S < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,得到:314×64/625< S < 314×169/625,由S =1/2L r ,得L≈2 S2 n/r= 628. 故π=628/200= 3.14.在割圆术中刘徽巧妙地运用了“方形好算，圆形难算”这个特点，把圆看成边数是无穷的正多边形，它是未知的，而边形有限的正多边形则是可求的，已知的。
祖冲之计算圆周率的方法
祖冲之计算圆周率的方法祖冲之算圆周率所使用的方法是刘徽发明的割圆术，这与阿基米德所用的方法有些不同。
阿基米德通过做圆的外切和内接正多边形，来计算圆周率的上下限，因为边数越多的正多边形越接近于圆。
刘徽的割圆术基于圆的内接正多边形，他用正多边形的面积来逼近圆的面积。
分割越多，内接正多边形和圆之间的面积越来越小，两者越来接近。
无限分割之后，内接正多边形和圆将会合二为一。
如上图所示，在一个半径为r的圆中做正3×2^n（n为正整数）边形，假设其边长为a_n，即AB=a_n。
AB的中点为P，连接OP交圆于C。
那么，AC和BC 就是正3×2^(n+1)边形的边长，可以表示为a_(n+1)。
在直角三角形AOP中，根据勾股定理：OA^2=AP^2+OP^2令OP=b_n，由此可得：令PC=c_n，c_n=PC=OC-OP=r-b_n在直角三角形APC中，根据勾股定理：AC^2=AP^2+PC^2由此可得：知道正3×2^n边形的边长之后，再根据刘徽多边形面积公式，可以算出正6×2^n边形的面积。
根据上述正多边形边长的迭代公式，不断的把圆分割下去，圆面积的计算精度会越来越高。
在刘徽的方法中，引入了极限和无穷小分割的思想。
刘徽的方法更为巧妙，也更为简洁。
刘徽算到了正3072边形，结果得到的圆周率为3.1416。
祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算到了正24576边形，并根据刘徽圆周率不等式，确定了圆周率的下限（肭数）为3.1415926，上限（盈数）为3.1415927。
并且，祖冲之还顺便给出了圆周率的一个近似分数355/113，其前六位都是正确的。
在没有计算机和算盘的帮助下，祖冲之用算筹来计算乘方和开方，硬生生地把圆周率的小数位算到了第七位，这需要极其巨大的毅力和艰苦卓绝的付出。
在祖冲之的努力下，此后800年里，没有人能够算出比这精度更高的圆周率。
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论刘徽的割圆术与微积分《高等数学》在讲授数列极限概念之前,介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想,进而引入数列极限的描述定义.以下就是由小编为您提供的刘徽的割圆术与微积分。
1 刘徽的割圆术 我国古代数学经典《九章算术》第一章方田中有我们现在所熟悉圆面积公式半周半径相乘得积步.魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元263年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇长约1800余字的注记割圆术. ……割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣!觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表.若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径.表无余径,则幂不外出矣.以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂. [3] 2 几点注记 在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想.第二个是无穷小分割思想. 2.1 数列极限的夹逼准则 刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时,用了夹逼准则(Squeeze The orem).他从圆内接正6边形开始割圆,设圆面积为S0,半径为r,圆内接正n边形边长为ln,周长为Ln,面积为Sn,将边数加倍后,得到圆内接正2n边形的边长、周长、面积分别记为:l2n、L2n、S2n. 刘徽用勾股术得[4]: tips:感谢大家的阅读，本文由我司收集整编。
仅供参阅！ 学生在学习数学时，都有一个共同的感受，那就是知识点多、公式多、难以记忆，在做题时不知道用哪个知识点和哪个公式，下面是编辑老师为大家准备的数学教学中点线网的思维模式构建。
众所周知，数学学习注重基础性和连续性，教学中如果教师能够有意识的进行培养和训练，把零散的数学知识点，按其内部的联系分类，再把它们连成线、结成网。
使所学的数学知识系统化、网络化，就可以大大的减轻学生学习过程中的记忆负担，激发和培养学生学习数学的兴趣，强化学生思维的敏捷性，从而提高解决问题的能力，以至达到提高教学成绩的目的。
刘徽与割圆术
②在筹式演算理论方面 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基 础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数 学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。 学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。 ③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理 论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图 形的论析，形成了中国特色的相似理论。 ④在面积与体积理论方面 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理， 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理， 并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值 至今仍闪烁着余辉。
成就
刘徽的成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算 是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《
术注》 术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系： ①在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的 运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根 的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割 圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用 圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利 用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最 用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最 好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算 圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。
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刘徽的“割圆术”
导读 好玩的数学 刘徽首创“割圆术”的方法，可以说他 是中国古
代极限思想的杰出代表， 不仅为 200 年后祖冲之的 圆周率计算提供了
思想方法与理论依据，也对中国古代的数 学研究产生了很大的影响。刘
徽（约公元 225 年— 295 年） 魏晋时期的数学家。刘徽是公元 3 世纪
世界上最杰出的数学 家。他在公元 263 年撰写的著作《九章算术注》以
及后来的 《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，也奠定了他在中 国
数学史上的不朽地位。刘徽对世界数学做出的最突出的贡 献是他的“割
圆术”的方法与无限细分逐步逼近的极限思想。 刘徽画像约公元 225 年
— 295 年 刘徽的“割圆术”的方法我们知道，秦之前，人们使用的古率
是 3 ， 在《九章算术》 中用的圆周率是 3，从西汉末年开始， 新率才
陆续出现， 但仍然是很不精确， 并且没有推算方法。 直到三国时期，
刘徽提出了用圆内接正多边形的周长来逼近 圆周长的思想。他是中国数
学史上第一位用科学的方法 来 推算圆周率的数学家。 刘徽割圆术的基
本思想是“割之弥细， 所失弥少， 割之又割以至于不可割， 则与圆合
体而无所失矣”， 就是说分割越细，误差就越小，无限细分就能逐步接
近圆周 率的实际值。他很清楚圆内接正多边形的边数越多，所求得 的
n
值越精确这一点。刘徽用割圆的方法，从圆内接正六边 形开始算起，将
边数一倍一倍地增加， 即12、24、48、96…， 因而逐个算出六边形、十
二边形、二十四边形……的边长， 这些数值逐步地逼近圆周率。他做圆
内接 96 边形时，求出 的圆周率是 3.14，这个结果已经比古率精确多
了。 他算到了 圆内接正 3072 边形，得到圆周率的近似值为 3.1416 。
刘徽 首次用理论的方法算得 圆周率为 157/50 和 3927/1250 。纪 念刘
徽的邮票首创割圆术 体现极限思想刘徽首创“割圆术”的方法，可以说
他是中国古 代极限思想的杰出代表， 不仅为 200 年后祖冲之的圆周率
计 算提供了思想方法与理论依据，也对中国古代的数学研究产 生了很大
的影响。