将军饮马问题
将军饮马问题16大模型
将军饮马问题16大模型将军饮马问题是一个经典的数学问题，被广泛应用于算法设计和逻辑推理。
在这个问题中，有一个有限数量的将军和马，将军们需要同时饮马，而且马的数量要足够多，以保证每个将军都能骑到马上。
然而，问题的难点在于，如果将军们不约定时间，他们同时骑上马的可能性很小。
为解决这个问题，已经提出了许多解决方案，下面我将介绍16种解决这个问题的模型。
1. 广播模型将军们可以通过广播的方式进行通信，每个将军都可以听到其他将军的广播信号。
在某个固定时间，将军们开始广播他们已准备好骑马的消息，并等待其他将军的回应。
只有当每个将军都收到了其他将军的回应信号，他们才会同时骑上马。
2. 协商模型将军们可以通过协商的方式进行通信，每个将军都可以与其他将军直接交流。
在某个固定时间，将军们开始与其他将军交流他们已准备好骑马的消息，并等待其他将军的回应。
只有当每个将军都收到了其他将军的回应信息，他们才会同时骑上马。
3. 仲裁者模型将军们委任一个仲裁者作为中介来传递消息。
每个将军将自己已准备好骑马的消息告诉仲裁者，仲裁者负责将该消息传递给所有其他将军。
只有当每个将军都收到其他将军的消息，他们才会同时骑上马。
4. 时钟模型在固定的时间间隔内，每个将军都可以检查时钟的状态。
他们会设定一个目标时间，当时钟的时间达到目标时间时，将军们会同时骑上马。
这样，他们可以通过同步的方式来保证同时骑马。
5. 群体模型将军们通过形成一个群体来解决这个问题。
在一个固定时间，将军们同时进入群体，并在一起饮马。
这种方式需要所有将军都同意进入群体，并时刻保持一致，才能保证同时骑马。
将军们依次传递一个令牌表示自己已准备好骑马。
当每个将军都收到了令牌并且已经骑上马时，他们才会将令牌传递给下一个将军。
这种方式需要将军们按照一定的规则来传递令牌，以保证同时骑马。
7. 树模型将军们通过构建一棵树来解决这个问题。
树的根节点是一个仲裁者，每个将军是树的叶子节点。
当仲裁者收到所有将军的准备好骑马的消息时，他会通知所有将军同步骑马。
将军饮马问题一定两动例题
将军饮马问题一定两动例题问题描述将军饮马问题是古代著名的智力问题之一，旨在考察解题者的逻辑思维能力。
问题的设定如下：有一将军，要带领两名士兵从A地到达B地。
场地中间有一口险恶的深渊，不可通过。
将军所带的马只能负重有限，不能同时带士兵过河。
将军和士兵们离开A地时，必须都在马上；到达B地时，将军和士兵们也都必须在马上。
将军能够知道自己和士兵们的相对位置，但无法判断两名士兵之间的相对位置。
现在问题的关键是，将军如何将两名士兵安全地带到B地，并确保自己与两名士兵都没有受伤？解答思路要解决这个问题，我们需要仔细分析题意，并且思考各种可能的情况。
以下是针对将军饮马问题的一种解答思路：1.将军先带一个士兵过河，然后返回A地把另一个士兵带过河，最后再将这个士兵送到B地。
2.将军先带一个士兵到达B地，然后返回A地把另一个士兵带过河，最后再将这个士兵带到B地。
3.将军先带一个士兵到达B地，然后将这个士兵送回A地，然后再带另一个士兵到达B地。
对于以上思路，我们可以分别进行分析和证明。
解答过程首先，将军先带一个士兵过河，然后返回A地把另一个士兵带过河，最后再将这个士兵送到B地。
我们可以用以下步骤来进行实施：1.将军和一个士兵一起出发，到达河边，将士兵送到对岸，然后将马送回A地。
2.将军再次出发，将第二个士兵带到河边，将士兵送到对岸，然后将马送回A地。
3.将军最后一次出发，将马带到B地，然后返回将第二个士兵带到B地。
通过上述步骤，我们可以保证将军和两名士兵都顺利到达B地，且没有受伤。
其次，将军先带一个士兵到达B地，然后返回A地把另一个士兵带过河，最后再将这个士兵带到B地。
我们可以用以下步骤来进行实施：1.将军和一个士兵一起出发，到达B地，然后将士兵送回A地。
2.将军再次出发，将第二个士兵带到河边，将士兵送到对岸，然后将马送回A地。
3.将军最后一次出发，将马带到B地，然后返回将第二个士兵带到B地。
同样地，通过以上步骤，我们可以保证将军和两名士兵都顺利到达B地，且没有受伤。
2020中考数学复习 最值问题 将军饮马问题 51张
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【假装不存在的正方形】
如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在
边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA
上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）
A．（ 2，2）
B．（
最值问题之“将军饮马”
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李 颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常 有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
01、什么是“将军饮马” ？
【问题描述】 如图，将军在图中点 A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军
营，问：将军怎么走能使得路程最短？
此处M点为折点，作点P关于OA对称 的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别 交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段 最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中 端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
01、什么是“将军饮马” ？
? 【问题简化】 ? 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
? 【问题分析】 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关
于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最 短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分 别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为________．
专题4：坐标系中的将军饮马问题(作1次;2次对称)
19.19专题4：坐标系中的将军饮马问题（作1次；2次对称）一．【知识要点】1.坐标系中的将军饮马问题（作1次；2次对称）二．【经典例题】1.如图，直线3x + 4y－12 = 0与x轴、y轴分别交于点B、A两点，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD．若点P为x轴上的一个动点，求当PC + PD的长最小时点P的坐标．2.在如图所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1,0),B(2,0)是x轴上的两点，当PA+PB为最小值时，求点P的坐标和PA+PB的最小值。
3．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的解析式为，直线交轴于点，交轴于点．（1）若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合，直角顶点B在第一象限内，请直接写出点B的坐标；（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标.xOy AC122y x=-+AC xC y AOABDCxyP三．【题库】 【A 】1.已知A （5，5），B （2，4），M 是x 轴上一动点，求使得M A ＋MB 最小时的点M 的坐标．【B 】1．如图，平面直角坐标系中两点A （2，3），B （1，0），点P 是y 轴上一动点． （1）画图的出点P 的位置，使△APB 的周长最短；（不用证明） （2）当△ABP 的周长最短时，求点P 的坐标．【C 】1.如图，直线432+=x y 与x 轴，y 轴分别交于A 点和B 点，点C 和点D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC+PD 最小时，点P 的坐标为（ ） A.（-3，0） B.（-6，0） C.（23-，0） D.（25-，0）2.如图，菱形OABC 在平面直角坐标系中，顶点A(5，0)，对角线OB=P 是对角线OB 上的一动点，D(0，1)，则当PC+PD 最短时，点P 的坐标为（ ）()163105.0,0.1,.,.,25577A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【D 】1．平面直角坐标系xOy 中，已知点A （8，0）及第一象限的动点P （x ，y ），且x + y = 10．设△OPA 的面积为S ，周长为l ．给出下列结论：① 0≤x ≤10 ② S =－4x + 40（0＜x ＜10） ③ 2≤PA ＜412 ④ l 的最小值为2628+；其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2.已知坐标平面内D （3，-2），E （5，2） (1)求经过D 、E 的直线1l 的解析式。
将军饮马问题
将军饮马1.问题的历史背景：“将军饮马问题”传说早在古罗马时代，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：如图，将军从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它，展现了他的个人智慧。
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广为流传。
2.究其本质，巩固模型。
如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线n表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道。
现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短。
图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是A F和C B F和E C D和C D D和E评析：虽然图形略有改变，但是究其本质，它仍然是我们已建立的基本模型。
根据模型易得：输水分管道的连接点是点B 关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C，故选A。
此例关键是抓住模型的本质特征，进一步巩固已经建立的模型，从而达到学以致用的效果。
3.一“模”多变，触类旁通。
通过以上模型的建立，我们把题目做一些变式。
模型变式------ 两定点到直线上一动点的线段距离和最短问题变式①：“模型”在三角形中如图，等边△ABC 的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。
评析：此例是求两个定点到直线上一个动点距离和最短问题。
只要抓住模型的本质特征，作出图形，找到点M的位置并不困难。
例如：解法（一）图形，然后利用等边三角形的特殊性质，结合勾股定理的知识，再求出这条线段CE’的长度。
初中数学最值问题01专题-将军饮马模型与最值问题(含答案)
初中数学最值问题专题1 将军饮马模型与最值问题【模型导入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB 当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）B 将军军营河P【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
将军饮马问题的原理
将军饮马问题的原理
将军饮马问题是一个经典的数学问题，它的原理是利用线性方程组来解决实际问题。
这个问题的背景是：有一位将军要带兵过河，他手下有若干个骑兵和步兵，每个骑兵需要2匹马来驮运，每个步兵需要1匹马来驮运。
现在将军手中有一定数量的马，问能否满足所有人的渡河需求？
为了解决这个问题，我们可以设骑兵的数量为x，步兵的数量为y，马的数量为z。
根据题意，我们可以得到以下两个方程：2x + y = z （每匹马可以驮运一个骑兵或两个步兵）
x + y = z/2 （将军手中的马只能驮运部分人）
将第二个方程式变形得到 x = z/2 - y，将其代入第一个方程式中，消去x，得到：
2(z/2 - y) + y = z
化简后得到：
3y = z
因此，无论将军手中的马有多少只，只要骑兵和步兵的数量之比为2:1，就可以满足所有人的渡河需求。
这就是将军饮马问题的原理。
通过建立线性方程组并求解，我们可以找到问题的最优解。
将军饮马的六种模型
将军饮马的六种模型将军饮马问题是一个经典的最优化问题，常见的有六种模型。
一、六大模型1.给定直线l和直线l的异侧两点A、B，在直线l上求一点P，使PA+PB最小。
2.给定直线l和直线l的同侧两点A、B，在直线l上求一点P，使PA+PB最小。
3.给定∠MON内一点P，在OM、ON上分别作点A、B，使△PAB的周长最小。
4.给定∠MON内的两点P、Q，在OM、ON上分别作点A、B，使四边形PAQB的周长最小。
5.给定∠MON外的一点A，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
6.给定∠MON内的一点A，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
二、常见题目Part1、三角形1.在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC的最小值。
解：连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小。
过点B作BH⊥AC于点H，则EH=AH–AE=3–2=1.在直角△BHE中，BE=√(BH^2+HE^2)=√(3^2+1^2)=√10.因此，EM+EC=BE+BC-2AE=√10+6-2×2=√10+2.2.在锐角△ABC中，AB=√2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM+MN的最小值。
在XXX△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E=√2.因此，XXX√2.3.在△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN值最小，则这个最小值是多少？解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N=MB'+MN=MB+MN。
将军饮马问题
将军饮马问题第一讲：将军饮马问题研究要点与方法点拨：1.将军饮马问题的概念和应用2.将军饮马问题与一次函数、坐标系、几何图形和勾股定理的综合题课前预：1.轴对称的性质与作法2.一次函数的性质3.勾股定理的性质4.三角形、矩形、正方形的性质5.三角形的三边关系、平移的性质模块精讲：1.将军饮马问题的概念和基本思路古希腊亚里山大里亚城的学者XXX曾面对一个百思不得其解的问题：一位将军从A点返回B点，需要在小河MN边让马喝水，如何选择路径使得走过的路程最短？XXX通过对称和三角形的三边关系解决了这个问题，后人称之为“将军饮马”问题。
2.将军饮马与坐标系例1：一匹马从S点出发，先去河OP边喝水，再去草地OQ吃草，然后回到S点。
如何选择线路使得经过的总路程最短？通过对称和连线段求得最小值。
例2：已知A(2,3)、B(3,2)，M是x轴上的一个动点，N 是y轴上的一个动点，求AN+NM+BM的最小值，并求出此时M、N的坐标。
通过作对称和连线段求得最小值和对应的M、N坐标。
例3：已知A(-3,4)、B(-2,-5)、M(0,m)、N(0,m+1)，求BM+MN+AN的最小值，并求此时对应的m的值。
通过作对称和连线段求得最小值和对应的m值。
注意：要先找线路再找点，利用轴对称的原理，转化为三角形的三边关系。
给定点A(4,1)和B(-3,-2)，要在x轴上找到一个点C，使得|AC-BC|最大。
我们可以构造三角形ABC，然后利用三角形边长关系来求解。
首先，我们可以将C点假设在x轴上，即C 的坐标为(C,0)。
然后，根据勾股定理，可以求出AC和BC的长度，即√[(C-4)²+1]和√[(C+3)²+4]。
最后，用这两个长度的差值来求得|AC-BC|，并找到使其最大的C值即可。
在解决将军饮马问题时，我们需要明确动点、定点和对称点的概念。
动点通常是题目中需要求解的点，而定点是已知的固定点。
对称点是通过作图得到的需要连线的点。
将军饮马问题(初三数学最全最短路径问题)
几何模型08——将军饮马问题一、一动两定（和最小） 两种类型：例1.如图，直线m 是△ABC 中BC 边的垂直平分线，点P 是直线m 上的一动点．若 AB ＝6，AC ＝4，BC ＝7，则△APC 周长的最小值是________变式1.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ，BE 是△ABC 的两条中线，AD=3，BE=4， P 是AD 上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP 最小值的是________变式2.如图，△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC 与PE 的和最小时，∠CPE 的度数是________l A B P 图2异侧l 同侧图1A'PB A变式3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6．AB＝12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为________例2.如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为________变式1.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______变式2.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点当PC+PD最小时，∠PCD＝_______．变式3.如图，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D（2，0）在OA上，P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为_______例3.如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝40°，点B为弧AN的中点，点P 是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_____变式1.如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_____变式2.如图，已知⊙O中直径AB＝8，半径OC⊥AB，点D是半圆的三等分点，点P是半径OC上的动点，当PB+PD的值最小时，PO的长为_____变式3.如图，MN是⊙O的直径，MN＝8，∠AMN＝20°，点B为弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为．例4.如图，点C的坐标为（3，y），使△ABC的周长最短，求y的值．变式1.一次函数y＝﹣2x+4的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时直线PC与直线AB的交点坐标．变式2.抛物线y＝﹣x2﹣2x+3．与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．变式3.如图如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．点D的坐标为（0，2），若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．变式4.∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3，0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB ＝30°，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为 ．二、一动两定（差最大）PA PB -最大例1.如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点．DN MN -的最大值．变式1.如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则|PA ﹣PB|的最大值为 ．D C N MB A异侧l A'BA PB Al 同侧三、一定两动基本图形：例1.如图，在锐角△ABC 中，AB ＝，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ．变式1.如图，在锐角三角形ABC 中，BC ＝4，∠ABC ＝60°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 ．变式2.如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB ＝30°，OP ＝8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为 ．变式3.如图，∠AOB ＝60°，点P 是∠AOB 内的定点且，点M ，N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是 ．CB A''A'A变式4.如图，△ABC中，AB＝4，∠BAC＝30°，若在AC、AB上各取一点M、N 使BM+MN的值最小，则这个最小值为．例2.如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是．变式1.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，P，E分别是线段AC，AB 上的动点，PE+PB的最小值为．变式2.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°．在BC，CD 上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为．例3.如图，已知正比例函数y ＝kx （k ＞0）的图象与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y ＝kx （k ＞0）的图象上的两个动点，则AM+MP+PN 的最小值为 ．变式1.在直角坐标系中有四个点A （﹣6，3），B （﹣2，5），C （0，m ），D （n ，0），当四边形ABCD 周长最短时，则m+n ＝ ．四、两定两动模型基本图形：例1.如图，∠MON ＝20°，A 、B 分别为射线OM 、ON 上两定点，且OA ＝2，OB ＝4，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ+PQ+PB 的最小值NM B'A'B A l 2l 1l 2l 1Q QP P EE B A B A变式1.如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE ＝1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ 的周长的最小值是 ．变式2.如图，若ABCD 是矩形，AB ＝10cm ，BC ＝20cm ，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值．五、两定一线基本图形类型一 类型二例1.在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示．点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，且OA ＝6，OC ＝4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，EF ＝2．当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标是 ．N MA'BMNlB''B'NMBACD OyxB A变式1.如图，已知菱形ABCD 的边长为10，E 为AB 中点，对角线BD 上有两个动点P ，Q 总保持PQ ＝2，若BD ＝16，则四边形AEPQ 的周长最小值为 ．变式2.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在、 x 轴、y 轴的正半轴上A （3，0），B （0，4），D 为边OB 的中点。
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将军饮马问题
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P 点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如（1）图，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现
再如（2）图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为
2
．
（2）实践运用
如（3）图，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
（3）拓展迁移
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时
点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
考点：二次函数综合题；垂径定理；圆周角定理；轴对称-最短路线问题．
分析：（1）根据轴对称中最短路线问题，可以得出AC的长即为BP+AP的最小值，利用三角函数关系求出即可；
（2）根据轴对称中最短路线问题，得出BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，即A′B是BP+AP 的最小值，求出即可；
（3）运用待定系数法求二次函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点坐标，当AM+CM取最小值时，△ACM周长最小值，求出AM+CM最小值，即可得出．
解答：解：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∴tan∠ACB=
AB
AC
，
∴AC=
2
3
，
故答案为：2
3
；
（2）如图，作点A关于MN的对称点A′，则A′在⊙O上，
连接BA′交MN于P′点，此时BP′+AP′最小．
由对称性可知AP′=A′P′，
∴BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，
连接OA、OB、OA′，
可知弧AN=弧A′N，
则∠NOA′=∠NOA=2∠M=60°，
而点B为弧AN中点，
∴∠BON=30°
∴∠BOA′=90°
而MN=1，
∴在Rt△OA′B中，A′B=
2
2
即BP+AP的最小值
2
2
．
（3）①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、
C（0，-3）两点，分别代入二次函数解析式得：
∴
-
b
2a
=1
a-b+c=0
c=-3
，
解得：a=1，b=-2，c=-3，
∴二次函数解析式为：y=x2-2x-3，
②得到直线BC：y=x-3，
∴M（1，-2），AC的长为：
10
，
∴△ACM周长最小值即是：AM+CM最小时的值，
∵AM+CM=BC=3
2
，
∴△ACM周长最小值为：
．
点评：此题主要考查了轴对称中最短路线问题以及圆周角定理和二次函数解析式的求法等知识，题目综合性较强，利用轴对称求最小值问题，是近几年中考中热点问题，应该引起同学们的注意．。