专题14分类讨论证明或求函数的单调区间(含参)
核心考点十一 含参函数的单调性(区间)与极值、最值
核心考点十一 含参函数的单调性（区间）与极值、最值思路提示：第一步，求函数的定义域；第二步，求导函数；第三步，以导函数的零点存在性进行讨论；第四步，当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及与区间的位置关系； 第五步，画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号；第六步，根据第五步的草图列出)(),('x f x f 随x 变化的情况表，并且写出函数的单调区间；第七步，综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间。
方向一：含参函数的单调性（区间）解法突破：函数单调区间问题就是导函数符号问题，因而求单调区间实质上是解不等式 例1、设函数x a x x f ln )(-=，求函数)(x f 的单调区间。
变式、设函数)0(2ln )(2≠+=a xa x a x f ，讨论函数)(x f 的单调性。
例2、求函数221ln )(x ax x x f +-=的单调区间。
变式1、已知函数2)1(2)(--=x b x x f ，求其导函数)('x f ，并确定)(x f 的单调区间。
变式2、已知函数)()32()(22R x e a a ax x x f x ∈+-+=，其中32≠a ，求函数)(x f 的单调区间与极值。
变式3、求函数2ln )1()(2ax x x a x f +--=的单调区间。
方向二：求含参函数的最值问题解法突破：超越函数（指数、对数、三角函数）的最值一般都是利用导函数求单调性或极值得到。
例3、已知函数)(ln )(2R a x a x x f ∈-=，（1）若2=a ，求证：)(x f 在),1(+∞上是增函数；（2）求)(x f 在),1[+∞上的最小值。
变式1、已知函数12)(32++=x a x x f ，其中0>a ，（1）若曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线与直线1=y 平行，求a 的值；（2）求函数)(x f 在区间]2,1[上的最小值。
含参函数的单调性讨论汇编
含参函数的单调性讨论汇编分类讨论问题的三大基本点包括：（Ⅰ）方程f'(x)=是否有根；（Ⅱ）如果方程f'(x)=有根，判断根是否在定义域内；（Ⅲ）如果根在定义域内且有两个，需要比较根的大小。
1.对于函数f(x)=axlnx-x+(a≠0)，讨论其单调性。
2.对于函数f(x)=e^(mx+x^2)，证明其在(-∞,0)上单调递减，在(0,∞)上单调递增。
3.对于函数f(x)=ex-ax-2，a∈R，讨论其单调性。
4.对于函数f(x)=ex-2ax，x∈[0,1]，a∈R，讨论其单调性。
5.对于函数f(x)=lnx+a(1-x)，a∈R，讨论其单调性。
6.对于函数f(x)=e^(-e^x+x)，（1）讨论其单调性；（2）设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值。
7.设函数f(x)=x+aln(x+1)，其中a∈R，求函数f(x)的单调区间。
8.对于函数f(x)=ln(x+a)+x，（1）讨论其单调性；（2）如果f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln2.9.已知函数f(x)=1/(x^2+1)，讨论其单调性。
10.对于函数f(x)=lnx-ax+1/(x-a)ln(x/(x-a))，讨论其单调性，其中a≤1.11.对于函数f(x)=alnx-x+ax，a∈R，求其单调区间。
12.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)，其中a∈R，讨论其单调性。
13.设函数f(x)=x+ax+b，g(x)=ecx+d，如果曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2，（1）求a、b、c、d；（2）如果x≥-2，讨论函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性。
14.已知函数$f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^x-x$，讨论$f(x)$的单调性。
首先求导数：$f'(x)=2ae^{2x}+(a-2)e^x-1$，令其等于0，得到$x=\ln\frac{1}{2}-\ln(a-2)$。
导数单调性之含参数的分类讨论(4个题型)讲义-高三数学一轮复习
导数单调性之含参数的分类讨论（4个题型） 题型一 导函数零点个数为0或1的讨论1.已知函数()()ln 21f x x ax a =-+∈R .讨论()f x 的单调性；2.已知函数f (x )=lnx +mx .（1）讨论函数f (x )的单调性；3. 设定义在R 上的函数()()x f x e ax a R =-∈.求函数()f x 的单调区间；4. 已知函数3()f x x ax =+.讨论()f x 的单调性；5.已知函数()()22e x x x f a x =-+.讨论函数()f x 的单调性； 题型二 导函数零点个数为1或2的讨论1.已知函数321()23f x x ax =-+，a ∈R ．求()f x 的单调区间； 2已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a R ∈.讨论()f x 的单调性； 3已知函数2()1ln (1)()f x x x a x a R =----∈.讨论函数()f x 的单调性；4已知函211()()().22x f x x e a x =-++讨论()f x 的单调性； 5．已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+，讨论函数()f x 的单调性；题型三 能因式分解 1.已知函数f （x ）=ln x +ax 2+（2a +1）x ．讨论f （x ）的单调性 2.已知函数.讨论函数的单调性. 3．已知函数（其中）.讨论的单调性；4.已知函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ．（1）讨论f （x ）的单调性；5..已知函数f （x ）＝e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ．（1）讨论f （x ）的单调性； 题型四 不能因式分解（∆判别）1..设()()3211232f x x x ax a =-++∈R ．（1）讨论()f x 的单调区间； 2.已知函数2()ln 31f x x x ax =+++.讨论函数()f x 的单调性； 3.已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ．讨论()f x 的单调性； 4已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中R k ∈.讨论函数()f x 的单调性；5设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈讨论()f x 的单调性； 6已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性； 7已知函数()()1ln f x x ax a R x =++∈．（1）求函数()f x 的单调区间；。
含参函数单调性的讨论教案
（提示：导函数是二次函数，讨论根的情况，再看根是否在定义域内，并比较根的大小）
教学关键:⑴引导学生寻找分类的标准,怎样做到水到渠成,不死记硬背分类方法;
⑵教会学生用数形结合的思想,通过导函数草图判断导函数的正负,进而判断原函数增减.
方法总结
步骤小结：1、先求函数的定义域，
课后讨论
1.已知函数 ，讨论函数 的单调区间
2.已知函数 ，求函数 的单调区间
自我总结
小结：
求单调区间要确定定义域，确定导函数符号的关键是看分子相对应函数，所以讨论点有：第一是类型（一次与二次的根个数显然不同)；第二有没有根（二次的看判别式），第三是有根是否为增根（在不在定义根内；第四有根的确定谁大；第五看区间内导函数的正负号（二次函数要看开口）。确记要数形结合，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题中往往有特别条件，很多讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个）。判别式与开口的讨论点先谁都能够，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根时它只有一种符号，相对应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单调函数较简单。
若 在区间 上恒成立 在区间 上；
若 在区间 上恒成立 在区间 上.
2.已知函数 ，函数 的单调增区是,
单调减区间是.
尝试练习
1.已知函数 ，求函数 的单调区间.
(通过练习发现要利用导函数判断单调性，必须对导函数的正负情况实行讨论，所以将导函数变形为因式积或商的形式.如本题导函数提取公因式后变为恒正函数与一次函数积的形式，故导函数正负与该一次函数பைடு நூலகம்负性相同,而我么知道,一次函数正负由二次项系数决定,所以自然找到分类的标准)
2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），
函数单调性之分类讨论
函数单调性之分类讨论本文介绍了含参函数单调性的分类讨论方法。
首先，根据函数的形式（一次函数、二次函数、分式函数、含ex函数）进行分类讨论。
对于一次函数，根据参数k的正负和零来标记数轴上的根，并确定单调区间；对于二次函数，先进行因式分解，然后根据参数a的正负和零以及判别式Δ的大小来确定单调区间；对于分式函数和含ex函数，需要进行通分或提取e 等操作，然后根据参数分类讨论。
接下来，通过两个例题来演示如何使用分类讨论方法讨论函数单调性。
第一个例题中，给定函数f(x)=lnx-ax，根据导数的正负确定函数在定义域上的单调性；第二个例题中，给定函数f(x)=lnx-ax+(a-1)x^2/2，先求导得到导数，然后根据判别式Δ的大小和根的位置确定函数在定义域上的单调性。
总的来说，分类讨论法是一种通用的方法，适用于各种含参函数单调性的讨论。
在具体操作时，需要根据函数的形式和参数的取值进行分类讨论，然后根据导数的正负、判别式的大小和根的位置等来确定函数在定义域上的单调性。
首先需要进行一些符号的修正和排版调整，然后再进行改写。
1.讨论函数$f(x)=ae^x$的单调性。
解析：定义域为$(-\infty。
+\infty)$，函数的导数为$f'(x)=ae^x$。
当$a0$时，$f(x)$在$(-\infty,1)$单调递减，在$(1,+\infty)$单调递增。
2.讨论函数$f(x)=\ln x+ax^2+(2a+1)x$的单调性。
解析：定义域为$(0,+\infty)$，函数的导数为$f'(x)=\frac{1}{x(x+1)}+(4a+2)x+2a+1$。
当$a\geq 0$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$单调递增；当$a<0$时，令$f'(x)=0$得到$x_1=-\frac{1}{2a}$和$x_2=-1$，因此$f(x)$在$(0,x_1)$和$(x_2,+\infty)$单调递减，在$(x_1,x_2)$单调递增。
“含参函数的单调性”教学分析
变式3．设函数
2
( ) ln( ) f x x a x，讨论( ) f x的单调性。
【设计意图】定义域从确定的（不含参数）到变
化的（含参数），在画草图时，对于定义域（区间）及
零点都未知时，关键在于比较定义域端点及零点的大
好，但若把“分类讨论”当成是一个高级规则来学习，
相对来讲容易掌握，决定以此种方式帮助学生突破。
根据上述分析，得到本节课的学习目标：
①规范掌握函数单调性求解的基本步骤；理解其
中的关键环节。
②借助导函数图像突破含参函数单调性中的参数
讨论，明确参数讨论的基本方向。
③体会数形结合的思想方法。
重点是目标1、2；难点是目标2。
小，也即是分类讨论的标准。
【课堂策略】练习此题后，提醒同学把分类讨论
的基本方向边梳理边作好笔记。同时教师也做好相应
板书。
（3）课后作业，巩固技能
【设计意图】巩固拓展。第1题为一次函数，第
2题为二次函数。
1．已知函数f(x)＝aln x－2ax＋3(a≠0)．求函数
f(x)的单调增区间；
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a
令f′(x)＞0.得x＜0或x＞－2a＋1
a
，f(x)单
调递减；
③当a＜－1
2，
令f′(x)＜0，得x＜－2a＋1
a
或x＞0时，f(x)
单调递减；
令f′(x)＞0，得－2a＋1
a
＜x＜0时，f(x)单调递
，f(x)单调递增；
令
' ( )
0 f x得1 a x，f(x)单调递减；
专题14 导数与函数的单调性(解析版)
2023高考一轮复习讲与练专题14 导数与函数单调性练高考 明方向1．(2021年高考全国甲卷理科)已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】（1）20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,e e ⋃+∞． 【解析】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-=='=⋅, 令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<, ∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减； （2）()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =, 则()21ln xg x x-'=,令()0g x '=，得x e =, 在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0， 所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<,所以a 的取值范围是()()1,,e e ⋃+∞． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解．2.（2022·北京卷T20） 已知函数()e ln(1)xf x x =+． （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程；（2）设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； （3）略【答案】（1）y x = （2）()g x 在[0,)+∞上单调递增. （3）略 【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）略【小问1详解】因为()e ln(1)xf x x =+，所以()00=f ，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x = 【小问2详解】因为1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++-++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'， ∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立， ∴()g x [0,)+∞上单调递增.3．(2021年高考全国乙卷理科)设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则 ( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】B解析：()()2222ln1.01ln1.01ln 10.01ln 120.010.01ln1.02a b ===+=+⨯+>=,所以b a <;下面比较c 与,a b 的大小关系．记()()2ln 11f x x =+,则()00f =,()2121x f x x -='=+， 由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>, ()1x >+,()0f x '>,所以()f x 在[]0,2上单调递增， 所以()()0.0100ff >=,即2ln1.011>,即a c >;令()()ln 121g x x =+,则()00g=,()212212x g x x -==+', 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时,()214120x x +-+<,所以()0g x '<,即函数()g x 在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100gg <=,即ln1.021<,即b <c ;综上，b c a <<,【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的．4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.讨论()f x 的单调性； 【解析】2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.5、【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()e e e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()ee xx f x a -=+是R 上的增函数，则() e e0xxf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.6、【2018年高考天津理数】已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；【解析】（I ）由已知，()ln xh x a x a =-，有()ln ln xh x a a a '=-，令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：7、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x =.当2(0,()22a a a x +∈+∞时，()0f x '<；当(22a a x -+∈时，()0f x '>.所以()f x 在)+∞单调递减，在单调递增. 8．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若101a b c >><<，，则( ) (A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c <(D )log log a b c c <【答案】C【解析】对A ： 由于01c <<，∴函数cy x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；对B ：由于110c -<-<，∴函数1c y x-=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；对C ： 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b 和ln a a ，构造函数()()ln 1f x x x x =>， 则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确 对D ： 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误，故选C ．9．(2015高考数学新课标2理科)设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( )A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A解析：记函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-．讲典例 备高考类型一、利用导数判断函数单调性 基础知识：1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是单调递增． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是单调递减． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 基础题型：1．下列函数为偶函数且在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝|ln x |B ．f (x )＝x 2＋3x 2C ．f (x )＝12x ＋x 2D ．f (x )＝x (e x －e －x )【答案】D【解析】f(x)＝|ln x|的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)＝|ln x|为非奇非偶函数，不符合题意；f(x)＝x 2＋3x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，当x>0时，f ′(x )＝2x －6x 3＝2(x 2＋3)(x 2－3)x 3，当x ∈(0，43)时，f ′(x )<0，f(x)为减函数，不符合题意；f(x)＝12x＋x 2，f (－x )＝－12x ＋x 2，f(－1)＝12，f(1)＝32，f(－1)≠f(1)，故f(x)不是偶函数，不符合题意；f (x )＝x (e x －e －x )，f (－x )＝－x (e －x －e x )＝x (e x －e －x )，故f(x)为偶函数，当x>0时，f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )>0，导数与函数的单调性导数与单调性的关系求函数的单调区间单调性与参数范围函数单调性的判断含参函数中的分类讨论故f(x)在(0，＋∞)上为增函数，符合题意．2．(多选) 如果函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则以下关于函数y ＝f (x )的判断正确的是( )A ．在区间(2,4)内单调递减B ．在区间(2,3)内单调递增C ．x ＝－3是极小值点D ．x ＝4是极大值点 【答案】BD【解析】A 项，函数y ＝f(x)在区间(2,4)内f ′(x )＞0，则函数f(x)在区间(2,4)上单调递增，故A 不正确；B 项，函数y ＝f(x)在区间(2,3)内的导数f ′(x )＞0，则函数f(x)在区间(2,3)上单调递增，故B 正确；C 项，由图象知当x ＝－3时，函数f ′(x )取得极小值，但是函数y ＝f(x)没有取得极小值，故C 错误；D 项，当x ＝4时，f ′(x )＝0，当2＜x ＜4时，f ′(x )＞0，函数y ＝f(x)为增函数，当x>4时，f ′(x )＜0，函数y ＝f(x)为减函数，则x ＝4是函数f(x)的极大值点，故D 正确． 基本方法：充分、必要条件与导数及函数单调性(1)f ′(x )>0(或f ′(x )<0)是f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2)f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)是f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的必要不充分条件．(3)若f ′(x )在区间(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0，则f ′(x )≥0(≤0)是f (x )在区间(a ，b )内单调递增(减)的充要条件．类型二、利用导数求函数的单调区间 基础知识：1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是单调递增． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是单调递减． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数．注意：(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． 基本题型：1．（求单调区间）函数f (x )＝x ln x x －1(x ∈[e ，＋∞))的单调递增区间为__________．【答案】[e ，＋∞)【解析】f ′(x )＝x －1－ln x (x －1)2，令g (x )＝x －1－ln x ，g ′(x )＝1－1x ，∵x ∈[e ，＋∞)， ∴1－1x>0，g ′(x )>0，∴g(x)在x ∈[e ，＋∞)上是增函数，g(x)≥g(e)＝e －2>0，即f ′(x )>0，∴f(x)的单调递增区间为[e ，＋∞)．2．（求单调区间）已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) 【解析】由题可得，f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x (x >0)．令f ′(x )＝2x 2－5x ＋2x ＝(2x －1)(x －2)x>0(x >0)，解得x>2或0<x<12.综上所述，函数f(x)的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)．3.（由f ′(x)的零点引起的分类讨论）已知函数（为常数）.若，讨论函数的单调性. 【解析】由题意，，，则. ①若时，，当或时，，时，， 所以在和单调递增，在单调递减， ②若时，，对，恒成立，在单调递增； ③若时，，当或时，，时，， 所以在和单调递增，在单调递减；综上可知，时，所以在和单调递增，在单调递减， 时，在单调递增；时，在和单调递增，在单调递减。
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类深圳南头中学袁作生d―、根据判别式A = -4ac讨论」例1-已知函数/（x）= ?+ar:+x+l（a e^）?求的单调区间.期解：f（Q = 3/+2ec+l,判别式A = ^-4o£=4（£f2-3）,屮（1＞当"昉或X W时，则在（f 壬戸）和（壬戸严）上,卩/（力是増函数；/在（土竺半三几r（z）＜0, 是軀熱P⑵当-击＜*少时，则对所有x^R f /Xx）＞O J HE是（y,h）上的増国数卅⑶当“士曲时，则对所有英g f（（x）＞O f八0是CQ+功上的増函数・心题型归纳总结：求导后是二&函数的形式，iBB翔g尹昌拭AM'-4*大于o,小于0』等于0讨论,筑习1：（11年广东文〉设＞0,讨论函数f（x）=ki x-i-a（l-a）x2 -2（l~a）x的单调性•“+J二、根据判二次函数根的大小讨论屮例壬已^函数/（x）= （jr+^-3^+3^x〔*迓且卫工扌片求门＞）的单调区间1解：广（血二［++3+2挑一2^+4旬-菱，厂（© = 0得丸二丄衍或上=住一2*2（1）当卫〉亍时，则-2a＜a-2,在（一芯-站）和@一2+功上，广（工）＞0, /（工）是増函数』在（一九卫-2）上，f\x）＜0 ,门＞）是减函数；斗2（2）3^＜y 时，则垃一2 c—2s 在（Y 冲一2）和（一如+ 功上，f\x）＞ 0, 是増函数；在@-2厂2动上，f f（x）＜ 0 ,才仗）杲减函数；+题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间■屮练习W三、根据定义域的隐含条件讨论卩例3：已知函数恵对耳咔―d （a eA）,求O）的单调区间.4 解：炖丄畑叽卩X⑴当必D时，/（x） = l-^>0,在①+x）上』f\x） > 0, 是增函数―X（2）当“>0日寸，令f\沪丄一^ = 0.得"丄，dX £7在（0丄）上，r（x）>0, 是增函数；在（二皿）上》/^）<0, f（x）是减国数，屮a a即増区间为（0.1）?减区间为（丄=炖）.存题型归纳总结：定龙域有限制时，粘义域与不等式解集的交集为分类标准讨论祕练习3 + d四、转化为二次函数讨论2例3：已知M/（x）=]nx-ax+ —-1 求门»的单调区间・，x 2解: f\x)二丄—a+ 口，1~~— (x > 0) 令g(x) = —x+l—a f JC>0^(1)当口 = 0 时』f\x)-*在（1「+功上，f\x） > o, f（x）是増函数；4x x x在（0.1）±, r（x）<o,几力是减函数，"⑵当"寺时，宫（力[几八力―—2 2 2x在（Q+血杲减函如心（耳当0<垃<1时，丄一1",在他1）和（丄一匕他）上，胃仗）>0,广（为<0,"2 a a在（i丄-1）上，巩©<o, rw>o^ a所的递减区间为（Q1）和（--1.-K0）；递増区间为（1丄-D,』zr nM- M-（4）当a<0fl 寸，--l<0,在（0J）±, g（x） > 0 . 卩a在（l：+x）上，g（x）<0?广（功>2m/w的递减区间为递増区间対©1)—题型归纳总结；求导舷s复杂^转化为二次圈数的讨论问题，求单调区间* 练习*+J五、多次求导求单调区间d例5；已知函数/(x) = xhx-Ax>l),求几巧的单调区间.屮解：y F(^ = l + lnx-3x; (x > 1),令二f (力二1+】口工一3/，屮『S二丄_ 6工」6云，因为工>1时宮。
选修二：含参函数单调性的分类讨论解题技巧与专题训练
高中数学选修二：含参函数单调性的分类讨论解题技巧【思维导图】考点一 导函数为一根【例1】．已知函数3()f x x ax =+.讨论()f x 的单调性；【一隅三反】1．已知函数()()22e xx x f a x =-+.讨论函数()f x 的单调性；2．已知函数()()ln 21f x x ax a =-+∈R .讨论()f x 的单调性；3．已知函数，1()ln ()f x a x a R x=+∈.讨论()f x 的单调性；考点二 导函数为两根【例2】．已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意0x >，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.【一隅三反】1．已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+．判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性；2．已知函211()()().22x f x x e a x =-++讨论()f x 的单调性；若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.3．已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+，讨论函数()f x 的单调性；考点三 不能因式分解 【例3】．设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈讨论()f x 的单调性；【一隅三反】1．已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中R k ∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行，求实数k 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；2．已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性；答案解析考点一 导函数为一根【例1】．已知函数3()f x x ax =+.讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】因为()3f x x ax =+，所以()23f x x a ='+.①当0a ≥时，因为()230f x x a '=+≥，所以()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，令()0f x '>，解得x <x >.令()0f x '<，解得x <<，则()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；在⎛ ⎝⎭上单调递减.【一隅三反】1．已知函数()()22e xx x f a x =-+.讨论函数()f x 的单调性；【答案】答案见解析【解析】()f x 的定义域为R ，()()()()2222e 2e 2e xxxx x x a f x a x =-+-+=+-'，当2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上是增函数；当2a <时，()(2(2)e e xx x a x x f x ⎡⎤=--=⎣⎦'，所以()0x f x =⇔='()0x f x >⇔<'或x > ()0f x x ⇔<<'<所以()f x 在(上是减函数，在(,-∞和)+∞上是增函数.2．已知函数()()ln 21f x x ax a =-+∈R .讨论()f x 的单调性； 【答案】具体见解析【解析】函数()ln 21f x x ax =-+，定义域为()0,∞+，()12f x a x'=-， 当0a ≤时，()0f x '>.故()f x 在定义域()0,∞+上单调递增，此时无减区间.当0a >时，令()120f x a x'=-=，得102x a =>； 当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 单调递增； 当1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增，此时无减区间； 当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.3．已知函数，1()ln ()f x a x a R x=+∈.讨论()f x 的单调性； 【答案】当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【解析】因为1()ln =+f x a x x ，所以2211()(0)'-=-=>a ax f x x x x x. 当0a 时，()0f x '<恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，由()0f x '<，得10x a <<；由()0f x '>，得1x a>. 故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. 综上，当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.考点二 导函数为两根【例2】．已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意0x >，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，在()0,+∞上，()f x 是减函数, 当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 是减函数,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 是增函数；【解析】解：函数f （x ）的定义域为（0，+∞）又()()()()()2/221211122ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数 当a ＞0时，由f′（x ）=0得：1x a =或12x =-（舍） 所以：在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，f′（x ）＞0，f （x ）是增函数 【一隅三反】1．已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+．判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性；【答案】答案见解析【解析】由题意得2113()()()ln (1)222F x f x ag x x ax a x a =+=-+-+，(0,)x ∈+∞； ∴21(1)1(1)(1)()1ax a x ax x F x ax x a x x-+-+-++'=-+-==． 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0F x '>，有10x a <<：()F x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；令()0F x '<，有1x a >：()F x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上，当0a ≤时，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．2．已知函211()()().22x f x x e a x =-++讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】答案见解析 【解析】()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭， 令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.故()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即2a e<-时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增.3．已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+，讨论函数()f x 的单调性；【答案】见解析 【解析】因为()321(1)32a x x ax f x +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=. 令()0f x '=，解得x a =或1x =.若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时， 故函数()f x 的单调递增区间为()(),1,,a -∞+∞；当()0f x '<即1x a <<时，故函数()f x 的单调递减区间为()1,a . 若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，故函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数. 若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时， 故函数()f x 的单调递增区间为()(),,1,a -∞+∞；当()0f x '<即1<<a x 时，故函数()f x 的单调递减区间为(),1a .综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1,)a ； 1a =时，函数()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(,1)a .考点三 不能因式分解 【例3】．设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈讨论()f x 的单调性； 【答案】答案见解析【解析】()f x 定义域为()0,∞+，()22211'1a x ax f x x x x -+=+-=， 令()221,4g x x ax a =-+∆=-，①当22a -≤≤时，0∆≤，()'0f x ≥，故()f x 在()0,∞+上单调递增， ②当2a <-时，>0∆，()0g x =的两根都小于零，在()0,∞+上，()'0f x >， 故()f x 在()0,∞+上单调递增，③当2a >时，>0∆，()0g x =的两根为12,22a a x x +==，当10x x <<时，()'0f x >；当12x x x <<时，()'0f x <；当2x x >时，()'0f x >； 故()f x 分别在()()120,,,x x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. 【一隅三反】1．已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中R k ∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行，求实数k 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ）3k =；（Ⅱ）答案见解析； 【解析】（Ⅰ）()1()0f x x k x x'=+->，∵曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行，∴(1)1f '=-，即21k -=-，故3k =； （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.当k 2≤时，1()20f x x k k k x '=+-≥=-≥恒成立，故()f x 在(0,)+∞上单调递增；② 当2k >时，211()x kx f x x k x x-+'=+-=，令()0f x '=，得210x kx -+=.∵240k ∆=->，∴方程()0f x '=有两不等实根12x x ==. ∵120x x k +=>，1210x x =>，∴210x x >>.令()0f x '>，得10x x <<或2x x >；令()0f x '<，得12x x x <<. 综上所述，当k 2≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2k >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.另法（常规方法）：讨论24k ∆=-的符号.当240k ∆=-≤，即22k -≤≤时，210-+≥x kx 恒成立，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上递增；② 当240k ∆=->，即2k <-或2k >时，方程()0f x '=有两不等实根12,x x . （i ）当2k <-时，由12120,10x x k x x +=<=>知120x x <<，则12()()()0x x x x f x x--'=>恒成立，故()f x 在(0,)+∞上递增；（ii ）当2k >时，由12120,10x x k x x +=>=>知210x x >>， 令()0f x '>，得10x x <<或2x x >；令()0f x '<，得12x x x <<. 故()f x 在1(0,)x 、2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减.综上，当k 2≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2k >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. 2．已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2ln f x x a x x=-- 21()2f x x '=+2221a x ax x x -+-=，对于2210x ax -+=，28a ∆=-，当[a ∈-时，()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.当(,a ∈-∞-时，对于0x >，有()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.当)a ∈+∞时，令()0f x '>，得0x <<x >，令()0f x '<，得44a a x <<，所以()f x 在(0,4a ，()4a +∞上是增函数，在上是减函数.综上，当(,a ∈-∞时，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当)a ∈+∞时，()f x 在，)+∞上是增函数，在上是减函数.《含参函数单调性的分类讨论》专题训练【题组一 导函数为一根】1．设函数()1ln f x ax x =--．讨论函数()f x 的单调性；2．已知函数2()2ln 2f x x m x m =--，m R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有极小值，求该极小值的取值范围．3．已知函数(),()ln x f x e g x x a x ==+．讨论()g x 的单调性；4．已知a R ∈，函数()ln f x x a x =-，()212g x x ax =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）记函数()()()h x g x f x =-，求()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.5．设函数f （x ）=ax 2–a –lnx ，g （x ）=1ee xx -，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数.讨论f （x ）的单调性；【题组二 导函数为两根】1．已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++.讨论()f x 的单调性；2．已知函数22()ln f x a x a x x=++，实数0a >. 讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性；3．设函数()()2122xf x x e ax ax =-+-，讨论()f x 的单调性；4.已知函数22()ln f x x ax a x =+-()a ∈R ，求函数()f x 的单调区间【题组三 不能因式分解】1．已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性；2．已知函数()()4ln 02x af x ax a x=-+>，讨论()f x 的单调性；3．已知函数()()2ln 1f x x ax =++，0a >，讨论函数()f x 的单调性；答案解析【题组一 导函数为一根】1．设函数()1ln f x ax x =--．讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）133,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】()()10ax f x x x-'=> 当0a ≤时，()0f x '<，∴()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=，则1x a=， ∴当10x a <<时，()0f x '<；当1x a>时，()0f x '<， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；2．已知函数2()2ln 2f x x m x m =--，m R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有极小值，求该极小值的取值范围．【答案】（Ⅰ）：当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(；（Ⅱ）(2,e -⎤-∞⎦【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()2222x m m f x x x x-=-='， ①当0m ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞内单调递增，②当0m >时，令()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；综上所述：当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(.（Ⅱ）①当0m ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞内单调递增，没有极值；②当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(,所以()()ln 1f x fm m ==-+极小值，记()()()ln 1,0h m m m m =-+>，则()()2ln h m m '=-+，由()0h m '=得2m e -=， 所以()()()22222ln h m h eee e e -----≤=-+=，所以函数()f x 的极小值的取值范围是(2,e -⎤-∞⎦3．已知函数(),()ln xf x eg x x a x ==+．讨论()g x 的单调性； 【答案】分类讨论，详见解析 【解析】()g x 定义域为(0,)+∞， 因为()1a x ag x x x+'=+=， 若0a ，则()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞单调递增，若0a <，则当(0,)x a ∈-时，()0g x '<，当(,)x a ∈-+∞时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增． 4．已知a R ∈，函数()ln f x x a x =-，()212g x x ax =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）记函数()()()h x g x f x =-，求()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】（1）()()ln 0f x x a x x =->，则()1a x a f x x x'-=-=. 当0a ≤时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增； 当0a >时，当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增， 当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减.综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞；（2）()()()21ln 2h x g x f x x ax x a x =-=--+，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()()()()2111x a x a x a x a h x x a x x x-++--'=--+==. ①当1a ≥时，对任意的1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()0h x '>，函数()y h x =单调递增， 所以，函数()y h x =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()min 13ln 2282a h x h a ⎛⎫==---⎪⎝⎭； ②若12a ≤，对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '<，函数()y h x =单调递减，所以，函数()y h x =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()()min 112h x h a ==--； ③若112a <<时，当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，函数()y h x =单调递增，当(),1x a ∈时，()0h x '<，函数()y h x =单调递减， 又因为13ln 2282a h a ⎛⎫=---⎪⎝⎭，()112h a =--， ()13111ln 2ln 2282282a a h h a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=------=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（i ）当1ln 2082a a +-≥时，即当1128ln 24a <≤-时，()112h h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 此时，函数()y h x =在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()()min 112h x h a ==--；（ii ）当1ln 2082a a +-<时，即当118ln 24a <<-时，()112h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 此时，函数()y h x =在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()min 13ln 2282ah x h a ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭.综上所述，()min31ln 2,828ln 2411,28ln 24aa a h x a a ⎧--->⎪⎪-=⎨⎪--≤⎪-⎩.5．设函数f （x ）=ax 2–a –lnx ，g （x ）=1ee xx -，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数.讨论f （x ）的单调性；【答案】当x∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x∈+)∞时，'()f x ＞0，()f x 单调递增；【解析】2121()2(0).ax f x ax x x x --=>'=0a ≤当时，()f x '<0，()f x 在0+（，）∞内单调递减. 0a >当时，由()f x '=0有x =当x∈（时，()f x '<0，()f x 单调递减； 当x∈+)∞时，()f x '＞0，()f x 单调递增. 【题组二 导函数为两根】1．已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++.讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】f （x ）的定义域为（0，+∞），()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=.若a≥0，则当x ∈（0，+∞）时，’)(0f x ＞，故f （x ）在（0，+∞）单调递增. 若a ＜0，则当x ∈’)(0f x ＞时，’)(0f x ＞；当x ∈1()2a∞-+，时，’)(0f x <.故f （x ）在’)(0f x ＞单调递增，在1()2a∞-+，单调递减.2．已知函数22()ln f x a x a x x=++，实数0a >. 讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性； 【答案】见解析；【解析】由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(2)(1)()a ax ax f x a x x x'+-=-++=. ∵0a >，20ax +>，∴由()0f x '=可得1x a=. （i ）当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时， 110a，当(0,10)x ∈时，()0,()f x f x '<单递减； （ii ）当1,10a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，110a <，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1,10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上所述，10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在区间(0,10)上单调递减； 当1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 在区间1,10a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.3．设函数()()2122xf x x e ax ax =-+-，讨论()f x 的单调性； 【答案】见解析【解析】（1）由题意得()()(),1xx R f x x e a ∈=-+'，当0a ≥时，当()(),1,0x f x '∈-∞<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>；()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当0a <时，令()0f x '=得()1,ln x x a ==-，当a e <-时，()(),1,0x f x '∈-∞>；当()()1,ln x a ∈-时，()0f x '<； 当()()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>；所以()f x 在()()(),1,ln ,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln a -单调递减； ②当a e =-时，()0f x '≥，所以()f x 在R 单调递增， ③当0e a -<<时，()()(),ln ,0x a f x ∈-∞->'；当()()ln ,1x a ∈-时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>； ∴()f x 在()()(),ln ,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln ,1a -单调递减；4.已知函数22()ln f x x ax a x =+-()a ∈R ，求函数()f x 的单调区间【答案】见解析【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+．222121()2a x ax f x a a x x x-++'=+-=．若0a =，1()0f x x'=>．所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+； 若0a >，令(21)(1)()0ax ax f x x +-+'==，解得112x a =-，21x a=．当0a >时，()f x '，()f x 的变化情况如下表∴函数()y f x =的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，()f x '，()f x 的变化情况如下表∴函数()y f x =的单调递增区间是10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．综上所述：0a =，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；0a >，单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；0a <，单调递增区间是10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【题组三 不能因式分解】1．已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2ln f x x a x x=-- 21()2f x x '=+2221a x ax x x -+-=，对于2210x ax -+=，28a ∆=-，当[a ∈-时，()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.当(,a ∈-∞-时，对于0x >，有()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.当)a ∈+∞时，令()0f x '>，得04a x <<或4a x >，令()0f x '<x <<，所以()f x 在(0,4a ，()4a +∞上是增函数，在(44a a 上是减函数.综上，当(,a ∈-∞时，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当)a ∈+∞时，()f x 在(0,)4a -，()4a ++∞上是增函数，在上是减函数.2．已知函数()()4ln 02x af x ax a x=-+>，讨论()f x 的单调性； 【答案】见解析 【解析】()()4ln02x af x ax a x-+＝>, ()()222214402a ax x af x a x x x x-+-'⋅--==>. 令()24g x ax x a +＝--.2116a ∆=-.若21160a ∆≤=-，即14a ≥，则()0g x ≤，即()0f x '≤， ∴()f x 在()0+∞，上单调递减； 若21160a ∆＝->，即104a <<. 由()240g x ax x a +＝--＝，解得10x =>，20x >.∴当12(0,)(,)x x x ∈+∞时， ()0g x <，即()0f x <′，()f x 在)0+∞(上单调递减；当12(,)x x x ∈时， ()0g x >，即()0f x >′，()f x在上单调递增；3．已知函数()()2ln 1f x x ax =++，0a >，讨论函数()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++，1x >-， 令()2221g x ax ax =++，()24842a a a a ∆=-=-，若0∆<，即02a <<，则()0g x >，当()1,x ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增， 若0∆=，即2a =，则()0g x ≥，仅当12x =-时，等号成立， 当()1,x ∈-+∞时，()'0f x ≥，()f x 单调递增. 若0∆>，即2a >，则()g x 有两个零点1x =，2x =由()()1010g g -==>，102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得121102x x -<<-<<， 当()11,x x ∈-时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()0g x <，()'0f x <，()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增. 综上所述，当02a <≤时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当2a >时，()f x在⎛ - ⎝⎭和⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增， 在⎝⎭上单调递减.。
求含参数三次函数单调区间的分类讨论思路
求含参数三次函数单调区间的分类讨论思路舒云水求含参数三次函数的单调区间是高考热点﹒这类问题涉及二次函数的性质、二次不等式求解、二次方程求根等多方面知识，需要对字母进行分类讨论，是高考考查分类与讨论思想的热点﹒正确对字母的取值范围进行分类讨论是解决这类问题的关键，本文主要谈对字母取值进行分类讨论的思路﹒求含参数三次函数的单调区间的题目按下列步骤进行：第一步，求出导函数)(x f y '=（设原函数为)(x f y =）；第二步，算出导函数的判别式∆，并考查判断判别式∆的正负；第三步，若判别式∆的值不确定，即∆的取值可正可负，则对∆进行讨论，按∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解；若∆0≥，即方程0)(='x f 有实根，先求出两实根1x ，2x ﹒再按1x >2x ，1x <2x ，1x =2x 三种情况进行分类讨论求解﹒由上知分类讨论的方式有两种，下面分别举例说明﹒1. 按判别式取值的正负进行分类讨论例1 已知函数1)(23+++=x ax x x f ，R a ∈﹒讨论函数)(x f 的单调区间﹒ 分析：先求出2()321f x x ax '=++，算出其判别式∆)3(42-=a ，再判断24(3)a -的正负，易知24(3)a -正负不确定，然后按判别式∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解﹒解：2()321f x x ax '=++，其判别式∆)3(42-=a ﹒ （1） 当∆0>，即3>a 或3-<a 时，由0)(>'x f 得：332-+->a a x 或332---<a a x ； 由0)(<'x f 得：<<---x a a 332332-+-a a ﹒ 函数)(x f 在)33,(2----∞a a ，),33(2+∞-+-a a 上是增函数；在区间)33,33(22-+----a a a a 是减函数﹒ ⑵当∆0<，即33<<-a 时，对所有R x ∈都有0)(>'x f ，故此时)(x f 在R 上是增函数﹒⑶当∆0=，即3±=a 时，则0)3(=-'a f ，且对所有的3a x -≠都有0)(>'x f ，故此时)(x f 在R 上是增函数﹒点拨：按判别式∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解是解本题的关键﹒ 例2 已知函数)ln 2(2)(x a xx x f -+-=，0>a ﹒讨论函数)(x f 的单调性﹒ 分析：本题函数)(x f 虽然不是三次函数，但由于导数)(x f '的正负值的取值范围与二次函数2)(2+-=ax x x g 是一样的，对导数)(x f '值的讨论就可转化为对二次函数)(x g 值的讨论﹒由于82-=∆a 的值不确定，要按判别式∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解﹒解：由题知，)(x f 的定义域是),0(+∞﹒ 222221)(xax x x a x x f +-=-+='﹒ 设2)(2+-=ax x x g ，二次方程0)(=x g 的判别式82-=∆a ﹒ ⑴当∆0>，即22>a 时，方程0)(=x g 有两个不同的实根：2821--=a a x ，2822-+=a a x ，210x x <<﹒ 由0)(>'x f ，即0)(>x g 且0>x 得：2x x >或10x x <<；由0)(<'x f ，即0)(<x g 且0>x 得：21x x x <<﹒函数)(x f 在)28,0(2--a a ，),28(2+∞-+a a 上是增函数，在 )28,28(22-+--a a a a 上是减函数﹒ ⑵当∆0<，即220<<a 时，对一切0>x 都有0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞上是增函数﹒⑶当∆0=，即22=a 时，仅对2=x 有0)(='x f ，对其余的0>x 都有0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞上是增函数﹒点拨：例2与例1可以说是形异质同﹒本题的分类讨论思路基本上与例1一样﹒ 例3 已知函数)(x f 1223+-+=x a ax x ，R a ∈﹒求函数)(x f 的单调区间﹒分析：先求出)(x f '2223a ax x -+=，再算出其判别式216a ∆=﹒由于0162≥=∆a ，求出方程0)(='x f 的两根得：31a x =，a x -=2﹒由于3a ，a -的大小不确定，所以要按a a ->3，a a -<3，a a -=3三种情况分类讨论求解﹒ 解：)(x f '2223a ax x -+=，方程)(x f '0=的判别式0162≥=∆a ﹒求方程0)(='x f 的两根得31a x =，a x -=2﹒ ⑴当a a ->3，即0>a 时， 由0)(>'x f 得：3a x >或a x -<； 由0)(<'x f 得：3a x a <<- ﹒ 函数)(x f 在),(a --∞，),3(+∞a 上是增函数；在)3,(a a -上是减函数﹒ ⑵当a a -<3，即0<a 时， 由0)(>'x f 得：a x ->或3a x <； 由0)(<'x f 得：a x a -<<3﹒ 函数)(x f 在)3,(a -∞，),(+∞-a 上是增函数；在),3(a a -上是减函数﹒ ⑶当a a -=3，即0=a 时， 仅对0=x 有0)(='x f ，对所有的0≠x 都有0)(>'x f ，)(x f 在R 上是增函数﹒ 点拨：按两根3a ，a -的大小关系分类讨论求解是解本题的关键﹒ 例4 已知函数)(x f x e a a ax x )32(22+-+=，其中R a ∈﹒求函数)(x f 的单调区间﹒分析：本题函数)(x f 也不是三次函数﹒导数)(x f '的正负值的取值范围与二次函数)(x h 是一样的，对导数)(x f '值的讨论就可转化为对二次函数)(x h 值的讨论﹒由于)(x h 的判别式0)23(2≥-=∆a ，方程0)(=x h 的两根a 2-，2-a 的大小不确定，本题就得按22->-a a ，22-<-a a ，22-=-a a 三种情况分类讨论求解﹒解：x e a a x a x x f ]42)2([)(22+-++='﹒设)(x h a a x a x 42)2(22+-++=，方程0)(=x h 的判别式0)23(2≥-=∆a ，求方程0)(=x h 的两根得a x 21-=，22-=a x ﹒⑴当21x x >，即32<a 时， 由0)(>'x f ，即0)(>x h 得：a x 2->或2-<a x ；由0)(<'x f ，即0)(<x h 得：a x a 22-<<- ﹒函数)(x f 在)2,(--∞a ，),2(+∞-a 上是增函数；在)2,2(a a --上是减函数﹒ ⑵当21x x <，即32>a 时， 由0)(>'x f ，即0)(>x h 得：2->a x 或a x 2-<；由0)(<'x f ，即0)(<x h 得：22-<<-a x a ﹒函数)(x f 在)2,(a --∞，),2(+∞-a 上是增函数；在)2,2(--a a 上是减函数﹒ ⑶当21x x =，即32=a 时， 仅对34-=x 有0)(='x f ，对所有的34-≠x 都有0)(>'x f ，)(x f 在R 上是增函数﹒ 点拨：本题的分类讨论思路基本上同例3一样﹒例4与例3也是形异质同，我们在解题时要抓住这一点﹒练习：1.已知函数)(ln 1)(R a x a x x x f ∈--=﹒讨论)(x f 的单调性﹒ 2.已知函数1634)(223-+-+=t x t tx x x f ，R x ∈，其中R t ∈﹒当0≠t 时，求)(x f 的单调区间﹒答案：1. )(x f 的定义域为),0(+∞﹒222111)(xax x x a x x f +-=-+='﹒设1)(2+-=ax x x g ，其判别式42-=∆a ﹒⑴当2≤a 时，0≤∆，0)(≥'x f ，故)(x f在),0(+∞上单调递增﹒⑵当2-<a 时，0>∆，0)(=x g 的两根都小于0，在),0(+∞上，0)(>'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增﹒⑶当2>a 时，0>∆，)(x g 0=的两根为2421--=a a x ，2422-+=a a x ，当10x x <<时，0)(>'x f ；当21x x x <<时，0)(<'x f ；当2x x >时，0)(>'x f ，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减﹒2.当0<t 时，在)2,(t -∞，),(+∞-t 上单调递增，在),2(t t -上单调递减；当0<t 时，在),(t --∞，),2(+∞t 上单调递增，在)2,(t t -上单调递减﹒。
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绝密★启用前专题14分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明一、解答题1．设函数21()sin cos 2f x x x x ax =+-． （1）当12a =时，讨论()f x 在(,)ππ-内的单调性； （2）当13a >时，证明：()f x 有且仅有两个零点． 2．已知函数2()2ln 2(1)f x mx x m x =-+-． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≠时，求证：2286ln 3521x x x x x x---<-． 3．已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈. （1）若1a =，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.4．已知函数()21()xm x xf x e++=．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）若0m ≤，证明：()ln ef x x x +≤． 5．已知函数()e x f x ax =，a 为非零常数.（2）讨论方程()()21f x x =+的根的个数. 6．已知函数()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，()()g x f x '=. （1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由； （3）证明：1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭7．已知函数()()21ln ,2f x ax x x b a b R =-⋅+∈，()()g x f x '=. （1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由； 8．已知函数()()()ln 1f x x ax a =+-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性.（2）若()()2112g x x x a f x =--+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，求证:()()12152ln 28x g x g -≥-.9．已知函数()2xf x e ae x =-. （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当0a <时，证明：()2ln f x e x >.10．已知函数2()ln f x x ax x =-+. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0a <，满足2()ln f x x ax x =-+的图象与直线y kx =恒有且仅有一个公共点，求k 的取值范围.11．设函数223223()3,()33,22a a f x x x ax g x ax x a ⎛⎫=-+=-++-∈ ⎪⎝⎭R . （1）求函数()f x 的单调区间； 23a围.12．已知函数()()()21ln 1f x x a x x =-+-+（0a >）. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若关于x 的不等式()1ln x xf x x x-'≥在()1+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 13．已知函数()ln 2a g x x x x=++. （1）讨论()g x 的单调性； （2）当10a e <<时，函数()()222a f x xg x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在其定义域内有两个不同的极值点，记作1x 、2x ，且11x x <，若m 1≥，证明：112mm x x e +⋅>.14．已知实数0a >，函数()22ln f x a x x x=++，()0,10x ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ､()()22,Q x f x (12x x <)处的切线分别为1l ､2l ，且1l ､2l 在y 轴上的截距分别为1b ､2b .若12//l l ，求12b b -的取值范围.15．已知函数32()23(1)6()f x x m x mx x R =+++∈. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若(1)5f =，函数2()()(ln 1)0f x g x a x x =+-≤在(1,)+∞上恒成立，求证：2a e <. 16．设()1,,54m h x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，其中m 是不等于零的常数， （1）写出()4h x 的定义域； （2）求()h x 的单调递增区间； 17．已知1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦，函数2()(1)x f x x e kx =--．（ 2.71828e =为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；18．已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++．（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当0a =时，2()(1)()1g x x f x x =---，证明：函数()g x 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．19．已知函数()222ln f x x x a x =-+（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12x x ，证明；()()123ln 22f x f x +>-- 20．（1）已知函数f （x ）=2ln x +1．若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）已知函数()()=ln f x x mx m m -+∈R .讨论函数()f x 的单调性. 21．已知函数2()3(6)ln ()f x x a x a x a R =+--∈ （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当1a =时，证明：对任意的20,()352x x f x e x x >+>++.22．设函数()2ln af x x x=+，()323g x x x =--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）如果对于任意的12123x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有()()112x f x g x ≥成立，试求a 的取值范围.23．已知函数21()2ln ()2f x x x a x a R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证()()123f x f x +>-. 24．已知函数()xf x e ax =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >-时，()()2f x a x x >+，求a 的取值范围.25．设函数()()212a f x x ax a R +=-∈，()ln g x x =，()()()F x f x g x =-. （1）讨论函数()F x 的单调性；（2）若()4,3a ∀∈--，[]121,2x x ∀∈、，总有()()12ln 2F x F x at -<+成立，求实数t 的取值范围.26．已知函数()2()22xf x x x a e =-++，其中e 是自然对数的底数，a R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值. 27．已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围. 28．已知函数()212f x x =，()ln g x a x =.设()()()h x f x g x =+ （1）试讨论函数()h x 的单调性.（2）若对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；29．已知函数32()21f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a 的所有值；若不存在，说明理由.30．已知()1ln ,f x x a x a R x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭.（1）讨论()f x 的单调性；（2）1x >时，若1k x x e x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>恒成立，求实数k 的取值范围.31．已知函数()()1,,0xf x a e bx a b R ab =⋅--∈≠.（1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++.32．已知函数()()211ln 2f x x a x a x =-++.（2）讨论()f x 的单调性. 33．已知函数2()ln (0,)a xf x x a a R x a=++≠∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1()2a x g x x a a=+-+，当0a >时，证明：()()f x g x ≥. 34．已知函数()ln g x x a x =-. （1）讨论()g x 的单调性； （2）若2a >，且()1()f x g x x=-存在两个极值点12,x x ()12x x <，证明：()()()1212(2)f x f x a x x ->--.35．已知函数()()221ln f x x a x ax a R =-+-∈．（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a =且()0,1x ∈，求证：()211x f x x e x+-<． 36．已知函数()ln 1f x x ax =-+，其中a R ∈. （1）求()f x 的单调区间；（2）当1a =时，斜率为k 的直线l 与函数()f x 的图象交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，其中12x x <，证明：1211x x k <<+； （3）是否存在k Z ∈，使得()221f x ax k x ⎛⎫+->- ⎪⎝⎭对任意1x >恒成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由. 37．已知函数()32ln f x ax bx x =--．（1）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若1a b ==，且()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围． 38．已知函数()()ln af x x a R x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调区间；()()()1212F x F x m x x ->-恒成立，求实数m 的取值范围.39．已知函数()()()3222110f x ax a x a =--+≠.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，若α∀、R β∈，()()sin sin f f m αβ-<，求m 的取值范围. 40．已知函数()()2xf x e ax x R -=-∈，()()ln 11g x x =+-.（1）当12a =-时，求函数()f x 的最小值； （2）若0x ≥时，()()0f x g x -+≥，求实数a 的取值范围.41．已知函数()()()232x f x x e a x =-+-，其中e 为自然对数的底数，a R ∈.讨论()f x 的单调性.42．已知函数()()2ln 0f x x x a a =+>，()0,1x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()ln xf x ae x >对()0,1x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围．43．已知函数()()11ln ax a x xf x =++-． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若0a ≤，讨论函数()f x 的单调性． 44．已知函数()()ln 0af x x x x=+>. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在定义域内有两个零点，求a 的取值范围； （3）若对任意()0,x ∈+∞，不等式()()()2ln 112xm x x e x x x e++-≥-恒成立，求m的取值范围.45．已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． （1）当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1,e 的最小值． （2）讨论函数()f x 的单调性；2x x（1）若0a >，求()f x 的单调递增区间；（2）若存在正实数0x ，使得0()f x e =-，求实数a 的取值范围. 47．已知函数()(0)x x f x ae e x a -=-+>． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：1212()()01f x f x x x -<<-．48．已知函数()()23xf x x x a e =-+.（1）若()f x 的极小值点小于2，求a 的取值范围；（2）设函数()()g x af x =（0a ≠），讨论()g x 在()0,∞+上的单调性. 49．已知函数22()1e x f x ax ax =++-.（1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围. 50．已知函数()ln 1af x x x=--. （1）求()f x 的单调区间； （2）设函数()ln x ag x x+=，求证：当时10a -<<，()g x 在()1,+∞上存在极小值.参考答案1．（1）在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭或,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间； （2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出． 【详解】 （1）当12a =时，21()sin cos 4f x x x x x =+-， 11()sin cos sin (cos )22f x x x x x x x x ∴'=+--=-，令()0f x '=，解得0x =或3x π=，3x π=-，当()0f x '<时，解得03x π-<<或3x ππ<<，当()0f x '>时，解得3x ππ-<<-或03x π<<，()f x ∴在(3π-，0)或(3π，)π上单调递减，在(,)3ππ--或(0,)3π上单调递增；（2）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x -=--+-+-=+-=，()f x ∴为偶函数，(0)10f =>，()f x ∴有且仅有两个零点等价于()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点，()(cos )f x x x a '=-，当1a 时，cos 0x a -，()0f x '恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，2211()sin cos 1022f a a ππππππ=+-=--<，(0)?()0f f π∴<，()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点，当113a <<时，令()(cos )0f x x x a '=-=，即cos x a =， 可知存在唯一(0,)2πθ∈，使得cos a θ=，当(0,)x θ∈或(22,22)x k k ππθππθ∈+-++时，k ∈N ，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当(2,22)x k k πθππθ∈++-时，k ∈N ，()0f x '<，函数()f x 单调递减，由tan θ=113a <<，可得0tan θ<<当k ∈N ，22tan 2(k ππθθπ++->，2221113(22tan )10(22)[(22tan )1][(22tan )1]022626k f k a k k a ππθθππθππθθππθθ++--∴++=-++--+<-++--+=-<，()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点，综上所述，当13a >时，()f x 有且仅有两个零点． 【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决. 2．（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）先求导，分为0m ≥，1m =-，1m <-和10m -<<四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）等价于3226(1ln )23501x x x x x-+--<-，令()()3261ln 235h x x x x x =-+--，利用当2m =时的结论，根据导数判断()h x 与0的关系，即可证明.【详解】解：()f x 的定义域为(0,)+∞，则22(1)1(1)(1)()22(1)22mx m x mx x f x mx m x x x+--+-'=-+-=⋅=⋅， 当0m 时，10mx +>，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当0m <时，令()0f x '=，解得1x =或1x m=-， 当1m =-时，2(1)()2?0x f x x-'=-恒成立，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间，当1m <-时，101m<-<， 当1(0,)x m∈-或(1,)+∞时，()0f x '<，当1(x m ∈-，1)时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -或(1,)+∞，单调递增区间为1(m-，1)，当10m -<<，11m ->，当(0,1)x ∈或1(m -，)+∞时，()0f x '<，当1(1,)x m∈-时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -，)+∞，单调递增区间为1(1,)m．综上所述：当0m 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞， 当1m =-时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间，当1m <-时，函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -，(1,)+∞，单调递增区间为1(m-，1)， 当10m -<<时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -，)+∞，单调递增区间为1(1,)m． （2） 证明：要证2286ln 3521x x x x x x ---<-，即证3226(1ln )23501x x x x x -+--<-， 令32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，则22()66ln 6663(22ln 2)h x x x x x x x '=--+-=--，由（1），当2m =时，2()22ln 2f x x x x =--，可得()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞， 即()h x '的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，()h x h ∴''（1）0=，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，h （1）6(1ln1)2350=-+--=，∴当01x <<时，()0h x <，210x ->，当1x >时，()0h x >，210x -<，∴3226(1)23501x lnx x x x -+--<-， 即22863521x xlnx x x x ---<-．【点睛】含有参数的函数单调性讨论常见的形式： （1）对二次项系数的符号进行讨论； （2）导函数是否有零点进行讨论； （3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等. 3．（1）极小值为0，无极大值；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a =时，求得()1x f x x-=，利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值；（2）求得()()10ax f x x x-'=>，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间.（1）当1a =时，()1ln f x x x =--，所以，1110x fx x x x，列表； 所以，()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的有极小值()10f =，无极大值；（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=. 当0a ≤时，10ax ，从而()0f x '<，故函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，若10x a<<，则10ax ，从而()0f x '<； 若1x a>，则10ax ->，从而()0f x '>. 故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间； 当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面： （1）求导后看函数的最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根； （3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.4．（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析.（1）对函数进行求导得(1)(1)()xx mx m f x e--'+=-，再对m 分三种情况讨论，即0m =，0m >，0m <三种情况；（2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-，而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤，再利用函数的单调性，即可得证；【详解】解析：（1）因为(1)(1)()xx mx m f x e --'+=-，①当0m =时，1()x x f x e-=-'，当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当0m >时，1(1)11(),11x m x x m f x e m'⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=--<， 当11,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,1(1,)x m ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在11,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,1,(1,)m ⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭单调递减； ③当0m <时，111m ->，当11,1x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1(,1)1,x m ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在11,1m ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在1(,1),1,m ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增． （2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-， 而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤，当0m =时，()xxf x e =，由（1）知()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)f x f e==；当0m <时，()211()xx m x xx f x e e e++=<≤， 故()ln ef x x x +≤． 【点睛】利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.5．（1）当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞；（2）当0a >时，原方程有且仅有一个解；当0a <时，原方程有两个解. 【分析】（1）求导，对a 分类讨论，利用()0f x '<可解得结果；（2）转化为函数2(1)()exx g x x +=与y a=的图象的交点的个数，利用导数可求得结果. 【详解】（1）()(1)e x x xf x ae axe a x '=+=+，由()0f x '=得1x =-，①若0a >时，由()0f x '<得1x <-，所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-； ②若0a <时，由()0f x '<得1x >-，所以()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.综上所述，当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-；当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.（2）因为方程2()(1)f x x =+等价于2(1)e x x a x +=，令2(1)()e xx g x x +=，所以方程()()21f x x =+的根的个数等于函数2(1)()exx g x x +=与y a =的图象的交点的个数， 因为()2222(1)12(1)(1)()()()e x x xx xx x x xe x e xe g x xe x +++-++=-'=，由()0g x '=，得1x =-，当(,1)x ∈-∞-，时，()0g x '>，()g x 在(,1)-∞-上单调递增； 当()()1,00,x ∈-+∞时，()0g x '<，所以()g x 在()1,0-，()0,∞+上单调递减，又()10g -=，所以当(,1)x ∈-∞-时，()(),0g x ∈-∞； 当()1,0x ∈-时，()(),0g x ∈-∞； 当()0,x ∈+∞时，()()0,g x ∈+∞.所以，当0a >时，原方程有且仅有一个解； 当0a <时，原方程有两个解. 【点睛】方法点睛：讨论函数零点(或方程根)的个数的常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的个数；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解6．（1）答案见解析；（2）存在，2a e =；（3）证明见解析. 【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；（3）先构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，证明其小于零，即得1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时13ln 13x x >+，再将1n x n =+代入求和即证结论.【详解】解：（1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故()11ax g x a x x-'=-=，0x >.当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数，当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数. （2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3. 当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以 ()()min1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去当1a e >时10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--=⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e = 故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2. （3）构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，则119()3033x h x x x -'=-=>， 故1()ln 313h x x x =-+在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上递减，111111()ln 31ln 20232232h x h ⎛⎫≤=-⨯+=--< ⎪⎝⎭，故1ln 3103x x -+<，即1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时13ln 13x x >+，而11,1,1112n n N x n n *⎡⎫∈==-∈⎪⎢++⎣⎭，故13ln 1311n n n n >++⋅+，即[]ln(13ln 131)1n n n n ->++⋅+，将n *∈N 依次代入并相加得 []()1ln1ln 12313ln 2ln 3...ln(1)ln 1231ln 4323n n n n n n n ⎛⎫++++>-+-++-+-+ ⎭+⎪+⎝=，即1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>- ⎪+⎝⎭【点睛】本题解题关键在于观察证明式1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，以证明13ln 13x x >+，将1n x n =+代入求和即突破难点.用导数解决与正整数n 有关的不等式证明问题，属于难点，突破点就在于观察构造合适的函数，通过导数证明不等式，再将关于n 的式子代入即可. 7．（1）答案见解析；（2）存在，2a e =. 【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果； 【详解】 （1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故 ()11ax g x a x x-'=-=. 当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数， 当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数. （2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3. 当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以 ()()min1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去.当1a e >时，10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e =，故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2. 【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，讨论不等式何时()0f x '>和()0f x '<③对应得到增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可.8．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求得()f x 的定义域和导函数()'f x ，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）求得()g x 的表达式，求得()'g x ，利用根与系数关系得到12,x x 的关系式以及1x 的取值范围，将()()12g x g x -表示为只含1x 的形式，利用构造函数法求得()()12g x g x -的最小值，从而证得不等式成立. 【详解】(1)由题意得，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，()11f x a x '=-+. 当0a ≤时，()101f x a x '=->+， ∴函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增.当0a >时，令()0f x '=，得11x a=-+.若11,1x a ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；若11,x a ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，此时函数()f x 单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在11,1a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递减.(2)()()21ln 12g x x x a x =+-+，0x >，()()11g x x a x '∴=+-+()211x a x x-++=.由()0g x '=得()2110x a x -++=，()240321a a ∆=+⇒-≥> 121x x a ∴+=+，121=x x ，211x x ∴=. 32a ≥，512a +≥，12x x < 111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，解得1102x <≤.()()12x g x g ∴-()()()221121221ln12x x x a x x x =+--+-21121112ln 2x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 设()221112ln 022x h x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则()()22331210x h x x x xx -'=--=-<，∴函数()h x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.∴当112x =时，()min 1152ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 32a ∴≥时，()()12152ln 28x g x g -≥-成立.【点睛】求解含有参数的函数的单调性题，求导后要根据导函数的形式进行分类讨论.9．（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；当0a >时，()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞，（2）证明见解析 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导数，分0a ≤和0a >，分别由导数大于零和小于零，可求得函数的单调区间；（2）要证明22ln x ae x e x e ->，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()2ln xg x e e x =-，然后利用导数求出此函数的最小值即可，或要证明22ln x ae x e x e ->，只要证22ln x e x xe x ae ->，构造函数()()20x g x ae x x e =->，然后用导数求其最小值，构造函数()()2ln 0xh x e x x=>，然后利用导数求其最大值，或要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()()()222222ln ln x x g x e e x e x e x e e e e x =-=-++--，令()()220x h x e e x e x =-+>，()222ln m x e x e e x =--，再利用导数求其最小值即可【详解】（1）解：()f x 的定义域为(),-∞+∞，()2xf x e ae '=-．当0a ≤时，0f x ，则()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间． 当0a >时，由0fx，得2ln x a =+．当(),2ln x a ∈-∞+时，0fx；当()2ln ,x a ∈++∞时，0fx ，所以()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞． （2）证明：法一：要证明22ln x ae x e x e ->． 由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．设()2ln xg x e e x =-，则()2xg x e e x '=-，()220xg x e xe ''=+>，所以()g x '在0,上是增函数．又()210g e e '=-<，()2222022e g ee '=-=>，所以存在()01,2x ∈，使得()02000x g e x e x '=-=，即020x e e x =，00ln 2x x =-． 所以当()00,x x ∈时，0g x ；当()0,x x ∈+∞时，0g x，因此()g x 在()00,x 上是减函数，在()0,x +∞上是增函数， 所以()g x 有极小值，且极小值为()()022222222000000ln 22220x g x e e x e x e x e e e x e x e =-=--=+->-=． 因此()0gx >，即2ln 0x e x -->．综上，当0a <时，()2ln f x e x >．法二：要证明22ln xae x e x e ->，只要证22ln x e x xe x ae ->． 设()()20x g x ae x x e =->，则()()21x x e g x x-'=． 当01x <<时，0g x；当1x >时，0g x ，所以()g x 在0,1上是减函数，在1,上是增函数，所以1x =是()g x 的极小值点，也是最小值点，且()()2min 1g x g e ae ==-．令()()2ln 0xh x e x x =>，则()()221ln x h x xe -'=．当0x e <<时，()0h x '>；当e x >时，()0h x '<， 所以()h x 在()0,e 上是增函数，在(),e +∞上是减函数，所以x e =是()h x 的极大值点，也是最大值点，且()()max h x h e e ==，所以当0a <时，()()2g x e ae e h x ≥->≥，即22ln x e x xe x ae ->． 综上，当0a <时，()2ln f x e x >．法三：要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->． 设()()()222222ln ln xxg x e e x e x ex ee e e x =-=-++--，令()()220xh x e e x ex =-+>，则()2x h x e e '=-，当02x <<时，()0h x '<；当2x >时，()0h x '>， 所以()h x 在()0,2上是减函数，在2,上是增函数，所以2x =是()h x 的极小值点，也是()h x 的最小值点，即()()min 20h x h ==．设()222ln m x e x e e x =--，则()()2221x em x e x xe -'=-=． 当01x <<时，()0m x '<；当2x >时，()0m x '>， 所以()m x 在0,1上是减函数，在1,上是增函数，所以1x =是()m x 的极小值点，也是()m x 的最小值点，即()()min 10m x m ==． 综上，()0h x ≥（当且仅当2x =时取等号），()0m x ≥（当且仅当1x =时取等号）， 所以()()()0g x h x m x =+>，故当0a <时，()2ln f x e x >．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将不等式等价转化，然后构造函数，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题10．（1）当0a ≤时，在(0,)+∞单调递增；当0a >时，在⎛⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减；（2）1k ≤或3221k e -+≥. 【分析】（1）首先求函数的导数2121'()21(0)ax x f x ax x x x -++=-+=>，分0a ≤和0a >两千情况讨论导数的正负，确定函数的单调性；（2）由方程()f x kx =，转化为2ln x ax xk x-+=，构造函数()2ln x ax xh x x-+=，利用二阶导数判断函数的单调性，并分情况讨论()h x '最小值的正负，并结合零点存在性定理，确定函数的性质，根据2ln x ax xk x -+=有唯一解，确定k 的取值范围. 【详解】（1）2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>当0a ≤时，恒有'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增； 当0a >时，令2210ax x -++=，则180a ∆=+>，则10x => ，20x =<（舍去），当x ∈时，'()0f x >，()f x在单调递增；当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x在)+∞单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x在单调递增，()f x在)+∞单调递减.（2）原命题等价于对任意0a <，2ln x ax x kx -+= 有且仅有一解，即2ln x ax xk x-+=；令ln ()1x h x ax x =-+ 则21ln '()x h x a x-=-，332(ln )2''()x h x x -=，令''()0h x =得32x e = 所以)'(h x 在32(0,)e 上递减，在32(,)e +∞上递增，3232min331ln 1'()'()2e h x h e a a e e -==-=--当312a e ≤-时，'()0h x ≥，所以()h x 在R 上单调递增， 又当0x →时，ln ,0xax x→-∞-→，所以()h x →-∞； 当x →+∞时，ln ,xax x→+∞-→+∞，所以()h x →+∞. 所以()h x 在R 上必存在唯一零点，此时k ∈R ；当3102a e -<<时，32min'()'()0h x h e =<，同时又当0x →时，21ln ,x a x -→+∞-→+∞， 所以'()h x →+∞；当x →+∞时，21ln 0,xa x -→-→+∞，所以'()h x →+∞. 所以方程'()0h x =存在两根12,x x ，即2211221ln 1ln 0x ax x ax --=--= 且332212(0,),(,)x e x e ∈∈+∞，所以()h x 在1(0,)x 上单调递增，12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增， 所以()h x 的极大值为1()h x ，极小值为2()h x要使有方程2ln x ax xk x-+=唯一解，必有1()k h x >或2()k h x <，又2222222222ln ln 1ln 2ln 1()111x x x x h x ax x x x x --=-+=-+=+， 又322(,)x e ∈+∞ ，则2ln 1()1x x x ϕ-=+，232ln '()0x x xϕ-=<，所以()ϕx 在32(,)e +∞递减， 且x →+∞时，2ln 1()11x x xϕ-=+→，所以1k ≤； 同理1112ln 1()1x h x x -=+，321(0,)x e ∈，2ln 1()1x x x ϕ-=+在32(0,)e 递增， 3322322()()121x e eeϕϕ-<=+=+，所以3221k e -+≥.综上可得，1k ≤或3221k e -+≥. 【点睛】思路点睛：本题是一道利用导数研究函数性质，零点的综合应用题型，属于难题，一般利用导数研究函数零点或方程的实数根时，需根据题意构造函数()f x ，利用导数研究函数在该区间上的单调性，极值，端点值等性质，以及零点存在性定理等研究函数的零点.11．（1）当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞ ⎝⎭和1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1⎛-+ ⎝⎭；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）先对()f x 求导，对导函数分3a ≥和3a <两种情况讨论即可. （2）因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可. 【详解】解：（1）()22()36313f x x x a x a '=-+=-+-， 当3a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，令()0f x '>，得13x <-或13x >+，所以()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞- ⎝⎭和1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭令()0f x '<，得11x <<，所以()f x 的单调递减区间为1⎛-+ ⎝⎭. 综上，当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞ ⎝⎭和1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1⎛-+ ⎝⎭.（2）由题意得[]322133()(1)3,0,2222x ax a x x a x ϕ=+--+∈.因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，即[]3213(1)30,0,222ax a x x x +--∈， 当0x =时，显然成立. 当(]0,2x ∈时，得()21313022ax a x +--≤， 即()()()()()22323232322221+2x x ax xx x x x ++==++-+-+--. 令(]22,4t x =+∈，则2()1,(2,4]th t t t =--∈， ()2210h t t '=+>恒成立，所以 2()1,(2,4]t h t t t =--∈是增函数，5()0,2h t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3625(2)12x x +--+，即65a ， 所以a 的取值范围为6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可. 12．（1）答案不唯一，见解析；（2）02a <≤. 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断函数的单调性即可； （2原不等式化为：ln 2x a x x ≤-在()1+∞，上恒成立，设()ln 2xh x x x=-，()1,x ∈+∞，求出函数的导数，再令()221ln g x x x =-+，根据函数的单调性求出a 的范围即可． 【详解】（1）()()()1121121x f x x a x a x x -⎛⎫⎛⎫'=-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12121a x x a x x x x---=--=，()0,x ∈+∞， 令()0f x '=，则2ax =或1x =， 当02a <<时，函数()f x 在区间0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在区间,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 当2a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递增， 当2a >时，函数()f x 在区间()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）原不等式化为：ln 2xa x x≤-在()1+∞，上恒成立， 设()ln 2xh x x x=-，()1,x ∈+∞， ()2221ln 21ln 2x x x h x x x --+'=-=，令()221ln g x x x =-+，则()140g x x x '=+>， 所以()g x 在()1+∞，上单调递增，()()110g x g >=>，所以()0h x '>， 则函数()h x 在()1+∞，上单调递增，且()12h =，02a ∴<≤. 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究单调性（含参），考查利用导数研究恒成立问题，解决第（2）问的关键是将原不等式转化为ln 2xa x x≤-在()1+∞，上恒成立，进而利用导数研究函数的单调性，从而得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于常考题.13．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数()g x 的定义域，求得()222x x a g x x+-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()g x 的单调递增区间和递减区间；（2）利用分析法得出所证不等式等价于()()()121212121ln0m x x x x x x x mx +-<>>+，令()120,1x t x =∈，构造函数()()()11ln m t h t t t m+-=-+，其中()0,1t ∈，利用导数证明出()0h t <对任意的()0,1t ∈恒成立，由此可证得原不等式成立.【详解】（1）函数()ln 2ag x x x x=++的定义域为()0,∞+， ()()222122a x x ag x a R x x x+-'=+-=∈， 方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+.①当18a ≤-时，0∆≤，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+为增函数； ②当18a >-时，0∆>，方程220x x a +-=的两根为114x --'=，2x '=，（i ）当108a -<≤时，120x x ''<≤，对任意的0x >，()0g x '>，()g x 在()0,∞+为增函数；（ii ）当0a >时，120x x ''<<，令()0g x '<，可得20x x '<<，令()0g x '>，可得2x x '>. 所以，()g x在⎫+∞⎝⎪⎪⎭为增函数，在⎛ ⎝⎦为减函数. 综上所述：当0a ≤时，()g x 的增区间为()0,∞+，无减区间； 当0a >时，()g x的增区间为⎫+∞⎝⎪⎪⎭，减区间⎛ ⎝⎦； （2）证明：()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈，所以()ln f x x ax '=-， 因为()f x 有两极值点1x 、2x ，所以11ln x ax =，22ln x ax =，欲证112mm x x e +⋅>等价于要证：()112ln ln mm x x e +⋅>，即121ln ln m x m x +<+，所以()1212121ln ln m x m x ax max a x mx +<+=+=+，因为m 1≥，120x x <<，所以原不等式等价于要证明121ma x mx +>+.又11ln x ax =，22ln x ax =，作差得()1122lnx a x x x =-，1212ln x x a x x ∴=-， 所以原不等式等价于要证明()()112211212212ln11ln x m x x x x m x x x mx x x mx +-+>⇔<-++， 令12x t x =，()0,1t ∈，上式等价于要证()()11ln m t t t m+-<+，()0,1t ∈，令()()()11ln m t ht t t m+-=-+，所以()()()()221t t m h t t t m --'=+， 当m 1≥时，20t m -<，则()0h t '>，所以()h t 在()0,1上单调递增，因此()()10h t h <=， ()()11ln m t t t m+-∴<+在()0,1t ∈上恒成立，所以原不等式成立. 【点睛】利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.14．（1）答案见解析；（2）6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）对函数求导，按照110a ≥、1010a<<分类，求得()0f x '<、()0f x '>的解集即可得解；（2）由极值点的性质可得1a =，由导数的几何意义可得1b 、2b 及()12122x x x x =+，转化。