人教版八年级下数学机构讲义： 一次函数与几何综合(教学案)

提高专题：一次函数与几何综合
题型一：一次函数与面积问题
1、坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，
通常有以下三种思路： ①公式法（规则图形）；
②割补法（分割求和、补形作差）； ③转化法（例：同底等高）．
2、坐标系中面积问题的处理方法举例
①割补求面积（铅垂法）：底相同，高运算
2△APB S ah =
1
2
△APB S ah =
②转化求面积：
如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，
l 2上．
例1、如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则△AOB 的面积为___________．
l 1
l 2专题精讲
例2、如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线CD：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P．若S
△APD
=4.5，则k=__________．
【对应练习】
1、如图，直线
1
1
2
y x
=-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，C(1，2)，x轴上是否存在点P，使S△ABP=S△ABC？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二：一次函数与几何存在性问题一、等腰三角形存在性问题方法总结
二、直角三角形存在性问题方法总结
三、四边形动点问题
例1、（等腰三角形存在性问题）如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且
4
3 OC
OB
.
（1）求点B的坐标和k的值．
（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
例2、（直角三角形存在性问题）如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，
3
4
OB
OA
，点
C是直线y=kx+3上与A，B不重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，是否存在点C 使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
例3、（平行四边形存在性问题）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【对应练习】
1、如图，
直线y =+x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O ，B 组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为_____________．
2、如图，在平面直角坐标系xOy ，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A ，两直线与x 轴分别交于点B 和点C ，D 是直线AC 上的一个动点，直线AB 上是否存在点E ，使得以E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
注：OA 为对角线时，OE ∥AD ，结果与①同。

题型三：一次函数与对称
例1、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点（-2,0）求解析式。

例2、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于y 轴对称，求k 、b 的值。

例3、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于x 轴对称，求k 、b 的值。

例4、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于原点对称，求k 、b 的值。

【对应练习】
1、如图，已知直线l ：y x =x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则直线CA 的表达式为__________________．
题型四：定点问题
求一次函数过定点是一类新题型，这类问题通常给出一个解析式中含有字母的一次函数，然后让确定一次函数必然经过的一个确定的点的坐标。

函数过定点，意味着当x 取特定值时，y 的取值与参数k 无关，则只需要参数k 前面的系数为“0”即可。

例题：无论m 取任何实数，一次函数(1)y m x m =-+必过一定点，此定点坐标为（ ）
A.（—1,1）
B.（1,1）
C.（0,1）
D.（1，—1）
解法一：推理式
已知条件中，m 取任何实数，一次函数必过一定点，也就是说此定点与m 的取值无关.故设法把解析式中的m 消去即可.观察此解析式，当1x =-时，
(1)(1)11m m m m -⨯-+=-++=，所以选A
解法二：特殊值法
由于定点不受m 的影响，所以可以对m 取两个简单的数值，如2m =，1m =-，分别代入原解析式，得到方程组
2
21
y x y x =+⎧⎨
=--⎩ 解此方程组，得到1,1x y =-=，所以选A.
题型五：一次函数与几何综合——数形结合
数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
例、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。

(1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；
(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。

(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。

问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

图③
图①
图②
【对应练习】
1、如右图，点B ，C 分别在直线y =2x 和y =kx 上，点A ，D 是x 轴上的两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k 的值为______．
2、如下图，已知直线l
：3
y x =-x 轴交于点A ，与y 轴交
于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则直线CA 的
表达式为__________________．
1、已知一次函数y =k x +b 的自变量的取值范围是―3≤x ≤6，相应的函数值的范围是―5≤y ≤―2，求
这个函数的解析式.
2、如图，直线
y=3
x+3与两坐标轴分别交于A 、B 两点． （1）求∠ABO 的度数；
（2
）过A 的直线l 交x 轴半轴于C ，AB=AC ，求直线l 的函数解析式．
课后作业
3、如图，直线P A：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B．（1）求四边形PQOB的面积．
（2）直线P A上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4、如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动．
（1）当OA=时，求点C的坐标．
（2）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
答案提示：（2）当OC取最大值时△OAB为等腰直角三角形。

5、如图，
直线y x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，∠ABC=60°．（1）求直线BC的解析式．
（2）若动点P从点A出发沿AC方向向点C运动（点P不与点A，C重合），同时动点Q从点C出发沿折线CB—BA向点A运动（点Q不与点A，C重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（3）当t=4时，y轴上是否存在一点M，使得以A，Q，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。