选修4-5 第一节 绝对值不等式

选修4－5⎪⎪⎪不等式选讲突破点一 绝对值不等式的解法[基本知识](1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集(2)|ax ＋b ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解； ②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图象求解．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)不等式|x |＜a 的解集为{x |－a ＜x ＜a }．( )(2)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( ) (3)不等式|2x －3|≤5的解集为{x |－1≤x ≤4}．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 答案：[1，＋∞)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 答案：23．函数y ＝|x －4|＋|x ＋4|的最小值为________． 答案：8[典例] 解下列不等式： (1)|2x ＋1|－2|x －1|＞0； (2)|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.[解] (1)法一：原不等式可化为|2x ＋1|＞2|x －1|， 两边平方得4x 2＋4x ＋1＞4(x 2－2x ＋1)， 解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－(2x ＋1)＋2(x －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，(2x ＋1)－2(x －1)＞0.解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.(2)①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3. ②当－3≤x ≤12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③当x ＞12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)＜x2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－25或x ＞2.[方法技巧]绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法对a ∈R ＋，|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ， |x |＞a ⇔x ＜－a 或x ＞a . (2)平方法两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．[针对训练]1．(2019·广州模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤|2x ＋1|－1的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x ＋3|的值域为A ，且[－2,1]⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|，①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1≤－2x －2，解得x ≤－1；②当－1＜x ＜－12时，原不等式可化为x ＋1≤－2x －2，解得x ≤－1，此时原不等式无解；③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1≤2x ，解得x ≥1.综上可知，原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)因为||x ＋a |－|x ＋3||≤|(x ＋a )－(x ＋3)|＝|a －3|，所以g (x )＝f (x )－|x ＋3|＝|x ＋a |－|x ＋3|∈[－|a －3|，|a －3|]． 所以函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]．因为[－2,1]⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－|a －3|≤－2，|a －3|≥1，解得a ≤1或a ≥5.所以a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)． 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1； 若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜2a ， 所以2a ≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．突破点二 绝对值三角不等式[基本知识]绝对值三角不等式定理一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)|a ＋b |＋|a －b |≥|2a |.( )(2)不等式|a －b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是ab ≤0.( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．设a ，b 为满足ab ＜0的实数，那么下列正确的是________(填序号)． ①|a ＋b |＞|a －b |； ②|a ＋b |＜|a －b |； ③|a －b |＜||a |－|b ||;④|a －b |＜|a |＋|b |.解析：∵ab ＜0，∴|a －b |＝|a |＋|b |＞|a ＋b |. 答案：②2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.答案：[－2,4]3．若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 解析：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤5. 答案：5[全析考法]考法一 证明绝对值不等式[例1] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|， ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1. [方法技巧]绝对值不等式证明的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．考法二 与绝对值不等式有关的参数范围问题[例2] 设函数f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )＜g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )＞ax ＋4对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)由已知，可得|x ＋3|＜|2x －1|， 即|x ＋3|2＜|2x －1|2， 则有3x 2－10x －8＞0， ∴x ＜－23或x ＞4.故所求不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(4，＋∞)．(2)设h (x )＝2f (x )＋g (x )＝2|x ＋3|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －5，x ≤－3，7，－3＜x ＜－12，4x ＋5，x ≥12.当x ≤－3时，－4x －5＞ax ＋4，即ax ＜－4x －9， ∵x ≤－3＜0，∴a ＞－4x －9x ＝－4－9x .∴a ＞⎝⎛⎭⎫－4－9x max ，∴a ＞－1. 当－3＜x ＜12时，7＞ax ＋4，即ax －3＜0.则⎩⎪⎨⎪⎧－3a －3≤0，12a －3≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤6，∴－1≤a ≤6.当x ≥12时，4x ＋5＞ax ＋4，即ax ＜4x ＋1.∵x ≥12＞0，∴a ＜4x ＋1x ＝4＋1x .∵4＋1x ＞4，且无限趋近于4，∴a ≤4.综上，a 的取值范围是(－1,4]． [方法技巧]两招解不等式问题中的含参问题[集训冲关]1.[考法一]已知f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|，M 为不等式f (x )＞0的解集． (1)求M ；(2)求证：当x ，y ∈M 时，|x ＋y ＋xy |＜15.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ＜－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，－x ＋3，x ＞12，当x ＜－2时，由x －3＞0，得x ＞3，舍去； 当－2≤x ≤12时，由3x ＋1＞0，得x ＞－13，即－13＜x ≤12；当x ＞12时，由－x ＋3＞0，得x ＜3，即12＜x ＜3，综上，M ＝⎝⎛⎭⎫－13，3. (2)证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |＜3，|y |＜3，∴|x ＋y ＋xy |≤|x ＋y |＋|xy |≤|x |＋|y |＋|xy |＝|x |＋|y |＋|x |·|y |＜3＋3＋3×3＝15. 2.[考法二]已知函数f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|，a ∈R ，g (x )＝x 2－2x －4＋4(x －1)2. (1)若f (2a 2－1)＞4|a －1|，求实数a 的取值范围；(2)若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (2a 2－1)＞4|a －1|， ∴|2a 2－2a |＋|a 2－1|＞4|a －1|， ∴|a －1|(2|a |＋|a ＋1|－4)＞0， ∴|2a |＋|a ＋1|＞4且a ≠1.①若a ≤－1，则－2a －a －1＞4，∴a ＜－53；②若－1＜a ＜0，则－2a ＋a ＋1＞4，∴a ＜－3，此时无解； ③若a ≥0且a ≠1，则2a ＋a ＋1＞4，∴a ＞1. 综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(1，＋∞)． (2)∵g (x )＝(x －1)2＋4(x －1)2－5≥2(x －1)2·4(x －1)2－5＝－1，显然可取等号，∴g (x )min ＝－1.于是，若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，只需f (x )min ≤1. 又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2， ∴(a －1)2≤1，∴－1≤a －1≤1，∴0≤a ≤2， 即实数a 的取值范围为[0,2]．[课时跟踪检测]1．(2019·广东宝安中学等七校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|－|x －a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )＜1；(2)当x ∈(－1,0)时，f (x )＞1有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤12，3x －2，12＜x ≤1， x ，x ＞1，当x ≤12时，－x ＜1，解得x ＞－1，∴－1＜x ≤12；当12＜x ≤1时，3x －2＜1，解得x ＜1，∴12＜x ＜1； 当x ＞1时，x ＜1，无解．综上所述，不等式f (x )＜1的解集为{x |－1＜x ＜1}．(2)当x ∈(－1,0)时，f (x )＞1有解⇔|x －a |＜－2x 有解⇔2x ＜x －a ＜－2x 有解⇔3x ＜a ＜－x 有解，∵3x ＞－3，－x ＜1，∴－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)．2．(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |. (1)解不等式f (x )＞9；(2)∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥12，2－x ，－1＜x ＜12，－3x ，x ≤－1.f (x )＞9等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，3x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ＞9.综上，原不等式的解集为{x |x ＞3或x ＜－3}． (2)|x －a |＋|x ＋a |≥2|a |.由(1)知f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫12＝32， 所以2|a |≤32，－34＜a ＜34，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34，34.3．(2019·陕西部分学校摸底测试)已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －a |(a ∈R )． (1)若a ＝1，求不等式f (x )≥5的解集； (2)若函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值． 解：(1)若a ＝1，则f (x )＝2|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≥1，x ＋3，－1＜x ＜1，－3x －1，x ≤－1，当x ≥1时，3x ＋1≥5，即x ≥43，∴x ≥43；当－1＜x ＜1时，x ＋3≥5，即x ≥2，此时x 无解； 当x ≤－1时，－3x －1≥5，即x ≤－2，∴x ≤－2. 综上所述，不等式f (x )≥5的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－2或x ≥43. (2)当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|的最小值为0，不符合题意； 当a ＞－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2－a ，x ≥a ，x ＋2＋a ，－1＜x ＜a ，－3x －2＋a ，x ≤－1，∴f (x )min ＝f (－1)＝1＋a ＝3，此时a ＝2； 当a ＜－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2－a ，x ≥－1，－x －2－a ，a ＜x ＜－1，－3x －2＋a ，x ≤a ，∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－a ＝3，此时a ＝－4. 综上所述，a ＝2或a ＝－4.4．(2019·惠州模拟)已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x ＋1|. (1)当m ＝5时，求不等式f (x )＞2的解集；(2)若二次函数y ＝x 2＋2x ＋3的图象与函数f (x )的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝5时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5＋2x ，x ＜－1，3，－1≤x ≤1，5－2x ，x ＞1，由f (x )＞2得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32＜x ＜32. (2)二次函数y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2， 该函数在x ＝－1处取得最小值2，因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2x ，x ＜－1，m －2，－1≤x ≤1，m －2x ，x ＞1在x ＝－1处取得最大值m －2，所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3的图象与函数f (x )的图象恒有公共点， 只需m －2≥2，即m ≥4.所以实数m 的取值范围为[4，＋∞)．5．(2019·长春模拟)设不等式||x ＋1|－|x －1||＜2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c ＞1.解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1＜x ＜1，－2，x ≤－1，由|f (x )|＜2得－1＜x ＜1， 即A ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c ＞1，只需证|1－abc |＞|ab －c |，只需证1＋a 2b 2c 2＞a 2b 2＋c 2， 只需证1－a 2b 2＞c 2(1－a 2b 2)， 只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)＞0，由a ，b ，c ∈A ，得－1＜ab ＜1，c 2＜1， 所以(1－a 2b 2)(1－c 2)＞0恒成立．综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c ＞1.6．(2019·太原模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)． (1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a ＜12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)， ∴f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a，∴f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|m |， ∴|m |≤1，∴－1≤m ≤1，∴实数m 的最大值为1.(2)当a ＜12时， g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋12a ＋1，x ＜a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x ＞12，又函数g (x )有零点，∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a ≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－2a 2＋a ＋1≥0，∴－12≤a ＜0， ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，0. 7．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x ＜－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.当x ＜－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x ＜－1； 当－1≤x ≤2时，显然满足题意；当x ＞2时，由－2x ＋6≥0，解得2＜x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．8．(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ，由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x ＞1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0； 当x ＜－12时，1－x ＋(2x ＋1)≥0，得－2≤x ＜－12. ∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)法一：由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，2x ＋a ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，x ≤－a 2. 当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2. 由－a 2＝－1，得a ＝2. 当a ＝0时，不等式的解集为{}x |x ≤0，不合题意．当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤a 4. 由a 4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.法二：当x ≥a 时，f (x )＝4x －a ，函数f (x )为增函数， 由不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}得，f (－1)＝4×(－1)－a ＝0，得a ＝－4.当x ＜a 时，f (x )＝2x ＋a ，函数f (x )为增函数， 由不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}得，f (－1)＝2×(－1)＋a ＝0，得a ＝2.经检验，a ＝2或a ＝－4都符合题意，故a 的值为2或－4.。