椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质 课件
椭圆的简单几何性质
1.椭圆的对称性
y
F
1
O
F
2
x
椭圆关于x轴对称
二、新课探究：
A1 F
1
1.椭圆的对称性
y
O
F
2
x
A2
椭圆关于原点对称
二、新课探究：
1.椭圆的对称性
Y P（x，y）
以焦点在X轴上的为例：
P1（-x，y）
O
X
P 2 x, y
P3（-x，-y）
二、新课探究：
2、椭圆的顶点
B2 (0,b)
一、复习回顾：
3.椭圆中a,b,c的关系:
若点M运动到y轴上时：
y
M
| MF1 | ＝ | MFOF1 | ＝ | OF2 | c
x
F1
O
| MO | ＝ a c b
2 2
a2=b2+c2
二、新课探究：
y
1.椭圆的对称性
F
1
O
F
2
x
椭圆关于y轴对称
二、新课探究：
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质
一、复习回顾：
1、椭圆的定义：
椭圆的简单几何性质(第1课时)(课件)高二数学同步备课(人教A版2019选修一)
)
3
的离心率为 2 ，则m=(
)
D．23
【做一做3】在Rt ∆中， = = 1，如果一个椭圆通过A､B两点，它的一个焦点为点C，
另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率e=（
A． 3 − 2
B． 2 − 1
C． 3 − 1
）
D． 6 − 3
（三）典型例题
1.利用椭圆的方程研究几何性质
+
y2
=1(a>b>0)，
2
2
2 = 5 × 2
=5
由题意得
解得
, 故所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1；
25
=5
=1
2
若焦点在y轴上，设其标准方程为 2
+
y2
=1(a>b>0)，
2
2
y2
2 = 5 × 2
= 25
由题意得
解得
, 故所求椭圆的标准方程为25 + 625＝1.
1．通过观察图象，你发现椭圆C1、椭圆C2上的点的坐标的范围是怎样的？
[提示] 椭圆C1上的点：－5≤x≤5，－4≤y≤4.椭圆C2上的点：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
2
2.椭圆2
+
y2
=1(a>b>0)上任意一点P(x，y)满足方程，则另一点P1(－x，y)也满足方程．这说明椭圆
2
的图形有什么性质，类似地还有什么性质？
②形象记忆：0<e<1，e越趋向于1越扁，形如一；
e越趋向于0越圆，形如O.
（二）椭圆的简单几何性质
2
【做一做1】已知椭圆C:2
1
A.3
B.
2.1.2椭圆的简单几何性质
（0，±c）
a>b
半轴长
离心率 a,b,c的关系
长半轴长为a,短半轴长为b. c e a a2=b2+c2
例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点 和顶点的坐标。 例5 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其 对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口 BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门 位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋 转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2 ， |F1B|=2.8cm， |F1F2|=4.5cm.试建立适当的坐标系，求截口 y BAC所在椭圆的方程。
(1)椭圆的定义:
点M满足的几何条件： MF1 MF2 常数 （常数大于 , F1F2 ） (2)椭圆的标准方程:
y y
M
图 形
F 2
M x
F 1
o
F2 x
o
F 1
方 程
焦 点
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
B2
y b -a x a -b 的四个顶点。线段 A1A 2，B1B2叫做椭圆的长轴和短 这说明椭圆位于直线 x= ± a2b 和 y=±b所围成的矩形内. 轴。它们的长分别为 2a 和 。。
1 2 1 2
2.对称性： P1（-x，y） P（x，y） 椭圆是轴对称图形，也是中心对 称图形。坐标轴是它的对称轴， O x 坐标原点是它的对称中心。椭圆 P2（-x，-y） 的对称中心叫椭圆的中心。
B
例6
A F1
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。
2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。
2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。
3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。
三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。
2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。
四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。
2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。
3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。
五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。
2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。
3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。
六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。
2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。
七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。
《椭圆的简单几何性质》知识点总结
椭圆的简单几何性质知识点总结椭圆是一种重要的几何图形，具有一些特殊的性质。
在本篇文档中，我们将总结椭圆的一些简单几何性质。
1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2，及其到两个焦点的总距离的一半定为常量2a（长轴），椭圆上每一点到两个焦点的距离之和等于常量2a。
椭圆的另一个参数e（离心率）定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a，其中c是焦点之间的距离。
2. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点F1和F2对称分布在长轴上，并且与椭圆的中心O相等。
准线是通过焦点F1和F2垂直于长轴的直线，交于椭圆的中心O。
准线的长度定为2b（短轴）。
椭圆的离心率e= c/a = √(a^2 - b^2)/a。
3. 椭圆的主轴和副轴椭圆的主轴是长轴，长度为2a。
副轴是短轴，长度为2b。
长轴和短轴是椭圆上的两个对称轴。
4. 椭圆的焦准距椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。
我们把这个距离之和称为焦准距。
对于同一条主轴上的两个点P1和P2，它们到焦点的距离之和相等。
5. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的重要参数。
离心率e定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a。
当离心率小于1时，椭圆是真椭圆；当离心率等于1时，椭圆是半圆；当离心率大于1时，椭圆是伪椭圆。
离心率越接近于0，椭圆形状越扁。
6. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过不同的形式来表示，其中最常用的是标准形式和一般形式。
标准形式的椭圆方程为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
一般形式的椭圆方程为：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E为常数。
7. 椭圆的焦距定理椭圆的焦距定理说明了椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的主轴长度。
即PF1+PF2=2a。
8. 椭圆的切线椭圆上任意一点P的切线是通过点P且与椭圆仅相交于点P的直线。
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质引言椭圆是几何学中常见的曲线，具有许多有趣和重要的性质。
在本文档中，我们将讨论椭圆的一些基本几何性质，包括定义、形状、焦点和直径等方面。
通过了解这些性质，我们将更好地理解椭圆的特点及其在现实世界中的应用。
定义椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义为到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于到一定长度（称为主轴长度）的定点（称为短轴长度）的距离。
换句话说，椭圆是一个点对的加权平均轨迹，并且总距离恒定。
形状椭圆的形状由其焦点之间的距离和主轴的长度确定。
较大的焦点之间的距离，或较短的主轴长度，将导致一个更扁平的椭圆，而较小的焦点之间的距离，或较长的主轴长度，将导致一个更靠近圆形的椭圆。
焦点和直径椭圆的定义中提到了焦点，它们在椭圆的构造中起着重要的作用。
对于任何给定的椭圆，焦点的数量是固定的，通常为两个。
这些焦点位于椭圆的主轴上，并且距离椭圆中心的距离等于椭圆的短轴长度。
椭圆的直径是经过椭圆中心的任意两点之间的线段。
一个有趣的性质是，椭圆的任何直径都会通过椭圆的两个焦点之一。
这个性质与其他几何形状，如圆或矩形不同，因此是椭圆独特的特点之一。
离心率离心率是一个用来度量椭圆形状的参数。
它定义为椭圆的焦距之间的比值与主轴的长度的比值。
离心率越接近零，椭圆的形状越接近于圆形；离心率越接近于一，椭圆的形状越扁平。
离心率是椭圆形状的一个重要特征，它对于许多应用领域具有重要意义，比如天文学中行星轨道的研究，或物理学中的电子轨道模型等。
弦在椭圆中，一条弦是连接椭圆上任意两点的线段。
一个有趣的性质是，通过椭圆上两个给定点的弦的长度之和是恒定的。
这个性质可以通过椭圆的定义和三角形的性质进行证明。
弦的垂直性质椭圆还具有一个有趣的性质，即通过椭圆上两个给定点的弦和通过这两个点的切线之间的夹角是直角。
这个性质称为弦的垂直性质，它对于椭圆的建模和分析非常有用。
总结椭圆作为几何学中的重要曲线，在许多领域都具有广泛的应用。
通过了解椭圆的基本几何性质，我们可以更好地理解和应用椭圆，从而在实际问题中得到更准确和有意义的结果。
高二数学教案：《椭圆的简单几何性质》(人教A版选修)
§2.1.2椭圆的简单几何性质1
【学情分析】：
学生对于椭圆及其标准方程都有了一定的认识，本节课通过学生对椭圆图形的直观观察，探索发现应该关注椭圆的哪些性质，以及其性质在代数方面上的反映。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。
②掌握标准方程中a,b,c的几何意义
③通过对椭圆的研究，加强学生对学习“圆锥曲线”的方法（用代数来研究几何）的理解。
2、过程与方法：
通过学生对椭圆的图形的研究，加深对“数形结合法”的理解
3、情感态度与价值观：
通过“数形结合法”的学习，培养学生辨证看待问题。
【教学重点】：
知识与技能①②③
【教学难点】：
知识与技能③
【课前准备】：
课件学案。
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质观察椭圆()012222＞＞b a by a x =+的图形，归纳总结椭圆的几何性质并作简单证明；1、范围：椭圆在直线a x ±=和直线b y ±=围成的矩形区域内；2、对称性：椭圆的对称中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点所在的直线和焦点连线的中垂线；3、顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点就是椭圆的顶点，椭圆()012222＞＞b a by a x =+的顶点有四个：()01， a A -，()02， a A ，()b B -， 01，()b B ，02，其中2121B B A A 、分别叫做椭圆的长轴和短轴，其长度分别为b a 22、 ；b a 、分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；4、离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率；∵ 0＞＞c a ，∴ 10＜＜e ，① 当e 趋近于1时，c 趋近于a ，b 趋近于0，因此椭圆越扁平； ② 当e 趋近于0时，c 趋近于0，b 趋近于a ，因此椭圆越接近于圆； 课堂练习：1、椭圆192522=+y x 与()90125922＜＜k k y k x =-+-( B ) (A) 有相等的长、短轴； (B) 有相等的焦距； (C) 有相同的焦点； (D) 有相同的准线；2、中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程为( )(A)1728122=+y x ； (B) 198122=+y x ； (C)1458122=+y x ； (D) 1368122=+y x ；3、若椭圆的一个焦点与长轴的两个短点的距离之比为32∶，则椭圆的离心率为 ；4、若椭圆15522=++my x 的离心率为21，则m 的值为 ．第二课时：椭圆的第二定义已知点()y x M ，到定点()0， c F 的距离与它到定直线ca x l 2=：的距离之比是常数()0＞＞c a ac，求点M 的轨迹方程；解：由题意得：()ac x ca y c x =-+-222， 去分母，两边同时平方得：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-222422222x x c a c a a c y c x 即：()()22222222c a a y a x c a -=+-，设222b c a =-，上式可化为：()012222＞＞b a by a x =+，这就是长轴为a 2，短轴为b 2，焦点在x 轴上的椭圆；当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数()10＜＜e ace =时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的一个焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率；对于椭圆()012222＞＞b a bx a y =+，相应于焦点()c F ，0的准线是c a y 2=，相应于焦点()c F -， 0的准线是ca y 2-=，当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆的两条准线平行于y 轴；例1、 求椭圆1422=+y x 的长轴、短轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率和准线方程 解：由14122=+y x 得：1=a ，21=b ， ∴ 椭圆的长轴长为2，短轴长为1，焦点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±230， ， 顶点为()10±， 和⎪⎭⎫⎝⎛±021， ，离心率23=e ， 准线方程为332±=y ；例2、已知椭圆的焦点为()101-， F ，()102， F ，直线4=y 是它的一条准线，P 是椭圆上一点，且112=-PF PF ，求21PF F △的面积；解：∵ 1=c ，42==ca y ，∴ 42=a ，3222=-=c ab ， 故椭圆的标准方程为：13422=+x y ， 设()11y x P ，，由112=-PF PF 得：()()111=+--ey a ey a ，又21=e ，2=a ，解得：11-=y ，代入椭圆方程得：231±=x ， ∴ 23232212112121=⨯⨯=⋅=x F F S PF F △；注：焦点在x 轴上的椭圆上一点()00y x P ，的焦半径为：0ex a ±；焦点在y 轴上的椭圆上一点()00y x P ，的焦半径为：0ey a ±；例3、已知椭圆13422=+y x 内有一点()111-， P ，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+的值最小，求点M 的坐标；解：设点M 在右准线上的射影为点N ，由椭圆方程知：2=a ，3=b ，1=c ，21=e ，由椭圆的第二定义知：21==e MN MF ， ∴ MF MN 2=，MN MP MF MP +=+2， 当N M P 、、三点共线时，MN MP +有最小值，过点P 作准线的垂线1-=y ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+1y 13422y x解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==1y 36211x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1y 36222x (舍去)，∴ 点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1362， ． 三、课堂练习： 补充练习：1、设P 为椭圆13600122=+y x 上一点，P 点到左准线的距离为10，则P 点到右准线的距离为( )(A) 6； (B) 8； (C) 10； (D) 15；2、椭圆13600122=+y x 上一点P 到左准线的距离为10，则点P 到右焦点的距离为( )(A) 15； (B) 12； (C) 10； (D) 8；3、已知椭圆19422=++y m x 的一条准线方程是29=y ，则m 的值为( ) (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 7；4、如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线l 交OA 于点B ，Q P 、在椭圆上，l PD ⊥于点D ，AO QF ⊥于点F ，设椭圆的离心率为e ，则①PD PF e =；②BF QF e =；③ BO AO e =；④ BA AF e =；⑤ AO FO e =；其中正确结论的个数是( )(A) 2个； (B) 3个； (C) 4个； (D) 5个；5、若椭圆两焦点和中心将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两端点连线的夹角为( )(A) 45°； (B) 60°； (C) 90°； (D) 120°；6、中心在原点，离心率为36，且一条准线方程为3=y 的椭圆方程是 ；7、求两对称轴都与坐标轴重合，离心率54=e ，焦点与相应准线的距离等于49的椭圆方程．作业布置：教材第49页：习题2.2A 组第9题．第三课时：椭圆的几何性质的运用例1、求证：椭圆()012222＞＞b a by a x =+上任意一点()00y x P ，与焦点所连两条线段的长分别为0ex a ±；证明：设椭圆的左右焦点分别为()()0021， ，， c F c F -，则()()0202022220222022012_x a c a a cx x ac a x a b c x y c x PF +=++=-⋅+=++=， ∵ a x a ≤≤-0，则00＞c a x aca -≥+∴ 001ex a x aca PF +=+=，又∵ a PF PF 221=+，∴ ()0022ex a ex a a PF -=+-=注：(1) 21PF PF 、 都叫做椭圆的焦半径，它们的取值范围都是[]c a c a +-，；(2) 同理可证：椭圆()012222＞＞b a bx a y =+的焦半径分别为0ey a ±；(3) 也可以运用椭圆的第二定义证明此结论，已达到简化运算的目的；例2、已知点P 在圆()1422=-+y x C ：上移动，点Q 在椭圆1422=+y x 上移动，求PQ 的最大值；解：设椭圆上一点()y x Q ，，又点()40， C ，则、()()()222224414QC x y yy =+-=-+- 224763820333y y y ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，∵ 11≤≤-y ，∴ 当1-=y 时，QC 有最大值5， 故PQ 的最大值为6；例4、已知椭圆()012222＞＞b a by a x =+与x 轴的正半轴交于点A ，O 是坐标原点，若椭圆上存在一点M 使MO MA ⊥，求椭圆离心率e 的取值范围； 解：设()y x M ，，由MO MA ⊥得：22222⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x ，即022=+-y ax x ，方程组⎩⎨⎧=+=+-222222220ba y a xb y ax x 的解为点M 的坐标， 消去y ，整理得：()0223222=+--b a x a x b a ， 即：()[]()0222=---a x ab x b a∴ a x =1，222cab x =，∵ 当a x =时，M 为椭圆的右顶点，∴ a c ab ＜＜220，即22c b ＜，∴ 22＞e ，又1＜e ，故122＜＜e ．三、课堂练习： 补充练习：1、如图，在AFB △中，=∠AFB 150°，32-=AFB S △，则以F 为焦点，B A 、为顶点的椭圆的标准方程为12822=+y x ；2、椭圆14922=+y x 的焦点为21F F 、，点P 为椭圆上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-553553， ； 3、如果椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值为23，那么椭圆长半轴长的取值范围是(]21， ； 4、若椭圆两焦点为()()040421， 、， F F -，点P 在椭圆上，且21F PF △的最大面积为12，则椭圆的方程为192522=+y x ； FB A Oy x5、已知F 是椭圆()0222222＞＞b a b a y a x b =+的一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，记22b a c -=，则PQF △面积的最大值为( D )(A) ab 21； (B) ab ； (C) ac ； (D) bc ；6、已知()00y x M ，是椭圆1162522=+y x 上的任意一点，已过点M 的一条焦半径为直径作圆1O ，以椭圆的长轴为直径作圆2O ，则圆1O 与圆2O 的位置关系是( A )(A) 内切； (B) 内含； (C) 相交； (D) 相离． 四、课堂小结：在本节教学内容中，利用已知条件求离心率的值或取值范围难度较大，学生分析、转化条件，建立a 与c 的关系以及运算能力要求都比较高，可适当增加此类基础题型的训练． 五、作业布置：优化设计第103～104页：随堂练习和强化训练全做． 补充作业：1、设P 是椭圆()012222＞＞b a by a x =+上的任意一点，求点P 到椭圆两焦点21F F 、距离之积的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点P 的坐标；答案：当()b P -， 0或()b P ，0时，21PF PF ⋅取最大值为2a ； 当()0， a P -或()0， a P 时，21PF PF ⋅取最小值为2b ； 2、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230， P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求出椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标；答案：1422=+y x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-±213， P ．第四课时：直线与椭圆的位置关系例1、中心在原点，一个焦点为()2501， F 的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐标为21，求椭圆的方程；解：设椭圆的方程为()012222＞＞b a bx a y =+，由()2501， F 得：()15022⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-b a ，把直线方程23-=x y 代入椭圆方程，整理得：()()0412*******=-+-+a b x b x b a；设弦的两个端点为()()2211y x B y x A ，、，，则：22221912ba b x x +=+，∵ AB 的中点的横坐标21221=+x x ， ∴ 2196222=+ba b ，即()2322⋅⋅⋅⋅⋅⋅=b a ， 由(1)、(2)解得：752=a ，252=b ，故所求的椭圆方程为1257522=+x y ；例2、过椭圆141622=+y x 内一点()12， M 引一条弦，使弦被点M 平分，求弦所在直线的方程；解法一：设所求直线的方程为()21-=-x k y ，代入椭圆方程并整理得：()()()01612428142222=--+--+k x k k x k，设直线与椭圆的交点为()()2211y x B y x A ，、，，则：()14282221+-=+k kk x x ，∵ M 为AB 的中点，则2221=+x x ， ∴ ()2142422=+-k kk ，解得：21-=k ， 故所求直线的方程为042=-+y x ；解法二：设所求直线与椭圆的一个交点为()y x A ，，由于中点为()12， M ，则另一个交点为()y x B --24， ， ∵ B A 、两点都在椭圆上，∴ ()()()()⎩⎨⎧⋅⋅⋅=-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+21624411642222y x y x ()()21-得：042=-+y x ，故所求直线的方程为042=-+y x ；例3、设椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 相交于B A 、两点，C 是AB 的中点，如果22=AB ，OC 直线的斜率为22，试确定椭圆的方程； 解：直线OC 的方程为x y 22=， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=122y x x y ，解得()1222--， C ， ∵ 22=AB ，C 为AB 的中点，∴ 点B A 、都在圆()[]()[]2122222=--+--y x 上，由()[]()[]⎪⎩⎪⎨⎧=+=--+--12122222y x y x 解得：⎩⎨⎧=-=22111y x ，⎩⎨⎧-=-=222322y x ， ∴ ()221， -A ，()2223--， B ，代入椭圆方程122=+ny mx ，得：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-1222312212222n m n m ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3231n m ， ∴ 所求的椭圆方程为132322=+y x ．三、课堂练习与家庭作业： 补充练习：1、如果椭圆193622=+y x 的弦被点()24， P 平分，那么这条弦所在的直线方程为( D )(A) 02=-y x ； (B) 042=-+y x ； (C) 01232=-+y x ； (D) 082=-+y x ；2、若直线1+=kx y 与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围为( C ) (A) ()10， ； (B) ()50， ； (C) [)()∞+， ， 551 ； (D) ()∞+， 1； 3、过点()02， -M 的直线l 与椭圆1222=+y x 交于21P P 、两点，线段21P P 的中点为P ，设直线l 的斜率为()011≠k k ，直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值等于( D )(A) 2； (B) 2-； (C) 21； (D) 21-；4、过椭圆4222=+y x 的左焦点作倾斜角为3π的弦AB ，则弦AB 的长为716；5、求与椭圆14922=+y x 相交于B A 、两点，并且线段AB 的中点为()11， M 的直线方程；答案：01394=-+y x ；6、已知椭圆1204522=+y x 的焦点分别是21F F 、，过中心O 作直线与椭圆相交于B A 、两点，若要使2ABF △的面积是20，求该直线的方程； 答案：034=±y x7、已知直线m x y l +=2：，椭圆1422=+y x C ： ，(1) 当m 为何值时，直线l 与椭圆C 有两个不同的交点？没有交点？(2) 当m 为何值时，直线l 被椭圆C 所截得的弦长为1720？答案：(1) ()1717， -∈m ；()()∞+-∞-∈， ， 1717 m ； (2) 32±=m ． 四、课堂小结：在解决椭圆与直线的位置关系问题时，注意与解决圆与直线的位置关系问题的方法进行类比掌握．。
椭圆的简单几何性质 课件
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[解析] 把已知方程化成标准方程1x62 ＋y92＝1， 于是 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6，离心率 e ＝ac＝ 47， 两个焦点坐标分别是(－ 7，0)，( 7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
椭圆的主要几何量 求椭圆 9x2＋16y2＝144 的长轴长、短轴长、离 心率、焦点和顶点坐标． [分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方程； ②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然 后再写出性质．
___|x_|_≤_a_，__|y_|≤_b_____
____|x_|_≤_b_，__|y_|≤__a___
关于__x_轴__、__y_轴__和__原__点__对称
_(_±__a_,0_)_，__(_0_，__
轴
长轴长__2_a____，短轴长___2_b___
第二章 圆锥曲线与方程
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[方法规律总结] 1.由椭圆方程讨论其几何性质的步骤： (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上． (2)由标准形式求a、b、c，写出其几何性质． 2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置； (2)椭圆的范围决定椭圆的大小； (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度； (4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对 称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这 些点．
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高二数学同步辅导教材（第13讲）
一、 本章主要内容 8.2 椭圆的简单几何性质 课本第97页至第103页 二、 本讲主要内容 1、椭圆的第二定义（圆锥曲线的统一定义）； 2、椭圆的简单几何性质； 3、椭圆的参数方程。 三、 学习指导 1、根据曲线的条件求出其对应的方程，根据曲线的方程特征研究它的几何性质，是解析几何的基本问题。前者是手段，后者是目的。 本节的椭圆方程是在以椭圆两个焦点的中点为原点，以对称轴所在直线为坐标轴这个坐标系下推导出来的。 2、两个定义的统一性。教材P.100例4是椭圆的第二定义（它同时又是圆锥曲线的统一定义），它与第一定义是统一的。联系如下： 教材第93页自上而下第七行为：
222y)cx(acxa 接下来作如下整理： 22y)cx(xaca
∴ 222y)cx()xca(ac ∴ acxcay)cx(222 22y)cx(表示动点M与右焦点F2的距离
xca2表示直线cax2到点M的距离 图见课本第100页例4图，用文字语言表述，即为第二定义 当涉及到椭圆上的点到焦点距离时，通常用第一或第二定义去转化，降低运算量。 利用第二定义可得焦半径（焦点与椭圆上点连线长度）：设椭圆上点P坐标为（x0,y0） 当焦点在x轴上时，左焦半径r=a+ex0 右焦半径r=a-ex0 当焦点在y轴上时，上焦半径r=a+ey0 下焦半径r=a-ey0 注：当点P为长轴端点时，焦半径分别取得最大和最小值 4、椭圆的性质 （1）几何性质： ①位置关系：中心是两焦点、顶点的中点，两准线关于中心对称；焦点在长轴上；长轴与准线垂直；对称性（具有轴对称和中心对称） ②数量关系：主要是距离的不变性。两焦点、长轴两个顶点、短轴两个顶点之间距离始终为2c，2a， 2b；两准线之间距离为ca22；焦点到对应准线距离（焦准距cbp2等等） ③离心率：ace，0④基本图形：中心、短轴顶点、焦点构成直角三角形，三边关系满足a2=b2+c2 （2）解析性质 与坐标系的选取有关。如下图：
方程：1byax2222（a>b>0） 1aybx2222（a>b>0） 焦点：（±c，0） （0，±c） 顶点：（±a，0），（0，±b） （0，±a），（±b，0）
准线：x=±ca2 y=±ca2 4、直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相交、相切，与直线和圆的位置关系类似。判断方法是判别式（△法）。
当直线与椭圆相交时，设直线与椭圆1byax2222（a>b>0）相交于A、B两点，AB中点为M（x0，y0），对于与中点有关的问题通常有两种途径： （1）列方程用韦达定理；（2）点差法，有结论：0202AByaxbk。 不管是哪一种途径，都体现了设而不求的思想。 5、椭圆1byax2222（a>b>0）的参数方程为sinbycosax（θ为参数）；
椭圆1aybx2222（a>b>0）的参数方程为sinaycosbx（θ为参数）。 四、 典型例题 例1、定点A（-1，1），B（1，0），点P在椭圆13y4x22上运动，求|PA|+2|PB|的最小值。 解题思路分析： 如果试图用距离公式建立函数关系，从而求最小值，显然是行不通的。注意到B（1，0）是焦点，因此用定义转化2|PB|
设右准线：cax2=4 过P作PH⊥，H为垂足 则 e|PH||PB|，21|PH||PB| ∴ |PH|=2|PB| ∴ (|PA|+2|PB|)min=(|PA|+|PH|)min ∵ A、分别为定点与定直线 ∴ 过A作AH0⊥，交椭圆于P0，H0为垂足，则点P0为所求的点 (|PA|+|PH|)min=|AH0|=5
注：实际上，|PA|+2|PB|=|PA|+e1|PB|。对于与焦半径及离心率有关的问题，一般用椭圆的第二定义转化。 例2、过椭圆14y16x22的左焦点F作倾斜角为α的弦MN，若弦长不大于短轴长，求cosα的取值范围。 解题思路分析： 本题cosα范围所对应的不等关系很明显：|MN|≤2b=4，关系是如何求|MN|，焦半径的原理就是椭圆的第二定义。
设直线MN：)32x(ky，代入14y16x22得(1+4k2)x2+163k2x+16(3k2-1)=0 ∵ 焦点F在椭圆内部 ∴ 该方程判别式△≥0恒成立 设M（x1，y1），N（x2，y2）
则 x1+x2=22k41k316 ……①
又|MN|=|MF|+|NF|=a+ex1+a+ex2=2a+e(x1+x2)=8+23(x1+x2) ∴ 8+23(x1+x2)≤4 ∴ x1+x2≤38 ……② 由①②得：22k41k316≤38 化简得：k2≥21，即2tan≥21 ∴ 2tan11≤32 ∴ 2cos≤32 ∴ ]36,36[cos 注：当直线与椭圆相交时，对于交点，一般都用设而不求的思想处理。途径一就是本例的模型；列方程组，用韦达定理。另一种常用途径见下例。 例3、焦点在x轴上的椭圆c的一顶点为B（0，-1），右焦点到直线m：x-y+22=0的距离为3， （1）求c的方程； （2）是否存在斜率k≠0的直线与c交于两点M、N，使|BM|=|BN|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，注明理由。 解题思路分析：
（1）设椭圆方程为1byax2222（a>b>0） 则b=1，右焦点F（c，0） ∵ 32|22c| ∴ c=25（舍），或c=2 ∴ c2=2，a2=b2+c2=3
∴ 椭圆c的方程为1y3x22 思路一：设M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点P（x0，y0）
则 1y3x1y3x22222121 两式相减得：31(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0 显然x1≠x2，等式两边同除以x1-x2得：)yy(2xxxxyy21212121 即KMN=00y3x ∴ k=00y3x 又 kBP=k1x1y00
由k1x1yky3x0000得：21yk23x00 ∵ 点P在椭圆内 ∴ 1y3x2020
∴ 1)21(3)k23(22 化简得：k2<1 ∴ -1∵ k≠0 ∴ k∈(-1，0)∪(0,1) 注：本题用了二元二次不等式的几何意义，即点P（x0，y0）在椭圆1byax2222的内部1byax220220； 点P（x0，y0）在椭圆1byax2222的外部1byax220220，结论与点和圆的位置关系判断相同。原理与二元一次不等式的几何意义相同。 思路二：本题也可用韦达定理求解
设直线：y=kx+b代入1y3x22，整理得：(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0 由△=36k2b2-4(3k2+1)(3b2-3)=12(3k2-b2+1>0得： 3k2-b2+1>0 ……① 此不等式即为所求k的取值范围 k与b的关系，或者说用b表示k的等式通过|BM|=|BN|来体现。如何转化|BM|=|BN|则为本解法的难点。用平面几何性质。取线段MN中点Q，则BQ⊥MN，1kkMNBQ。 设M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点Q（x0，y0） 则 2210k31kb32xxx
200k31bbkxy ∴ kb31bk3x1yk200BQ ∵ BQ⊥MN ∴ 1kkMNBA
∴ 1kkb31bk32
∴ 21k3b2 ……② ②代入①得：04)1k3(1k3222 ∵ 3k2+1>0 ∴ 3k2+1<4 ∴ k2<1 ∵ k≠0 ∴ -1注：1、本题思路一的方法称为点差法。一般步骤是设出直线与二次曲线的交点坐标，将此点坐标代入二次曲线方程，再将两个等式作差，找到弦中点与斜率的关系。 2、 思路二的难点是转化|BM|=|BN|。这里用了平面几何的性质。同学们在解题过程中应充分数形结合，简化计算。 不管是哪一种思路，都体现了设而不求的思想。
例4、椭圆14y9x22，动点P（x，y）与定点A（a，0）（0解题思路分析： 本题应从如何求|PA|的最小值着手，即寻找|PA|取得最小值的过程，而不是直接利用结论：|PA|min=1。 用两点间距离公式建立函数关系 设点P（3cosθ，2sinθ） 则 |PA|2=(3cosθ-a)2+(2sinθ)2 =5cos2θ-6acosθ+a2+4 令t=cosθ，|PA|2=f(t)，则t∈[-1，1]
f(t)=5(t-53a)2-54a2+4 ∵ 0∴ 0<53a<59
（1）当0<53a≤1，0∴ 54a2+4=1 ∴ 415a2 ∴ a=215（舍） （2）当1a53，3>a>35时，f(t)在[-1，1]上递减 (f(t))min=f(1)=a2-6a+9 ∴ a2-6a+9=1 ∴ a=2，或a=4（舍） 综上所述，当a=2时，椭圆上点P（3，0）到定点A距离的最小值为1。
例5、点P位于第一象限且在椭圆1byax2222（a>b>0)上，O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），求四边形OAPB面积的最大值，并求此时P点坐标。 解题思路分析： 因无法直接用公式求四边形OAPB的面积，故考虑对四边形OAPB分割 途径一：连OP，则SOAPB=S△OPB+S△OPA
设P(acosθ，bsinθ)，θ∈（0，2），则
S△OPB=21bacosθ，S△OPA=21absinθ SOAPB=21ab(sinθ+cosθ))4sin(ab22 当θ=4，P（b22,a22）时，(SOAPB)max=ab22 途径二：连AB，则SOAPB=S△OAB+S△APB=21ab+S△ABP,下求S△APB的最值。