泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)

实变函数与泛函分析第四章习题01-15 0 第五章习题第一部分01-15 1. M为线性空间X的子集，证明span( M )是包含M的最小线性子空间． [证明] 显然span( M )是X的线性子空间．设N是X的线性子空间，且M N． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) N． 所以span( M )是包含M的最小线性子空间． 2. 设B为线性空间X的子集，证明

conv(B) = {niiixa1| a i 0, niia1= 1, x iB, n为自然数}．

[证明] 设A = {niiixa1| a i 0, niia1= 1, x iB, n为自然数}．首先容易看出A为包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有A F，故A为包含B的最小凸集． 3. 证明[a, b]上的多项式全体P[a, b]是无限维线性空间，而E = {1, t, t2, ..., tn , ...}是它的一个基底． [证明] 首先可以直接证明P[a, b]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P[a, b]中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示． 设c0, c1, c2, ..., cm是m + 1个实数，其中cm  0，m  1．

若mnnntc0= 0，由代数学基本定理知c0 = c1 = c2 = ... = cm = 0， 所以E中任意有限个元素线性无关， 故P[a, b]是无限维线性空间，而E是它的一个基底。 4. 在2中对任意的x = (x1, x2)2，定义|| x ||1 = | x1 | + | x2 |，|| x ||2 = (x12 + x22)1/2，

|| x || = max{ | x1 |, | x2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形． [证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略． 5. 设X为线性赋范空间，L为它的线性子空间。证明cl(L)也是X的线性子空间． [证明] x, ycl(L)，a，存在L中的序列{ xn}, { yn}使得xnx，yny． 从而x + y= lim xn + lim yn = lim (xn + yn)cl(L)，a x = a lim xn = lim (axn ) cl(L)． 所以cl(L)是X的线性子空间． [注] 这里cl(L)表示子集L的闭包． 6. 设X为完备的线性赋范空间，M为它的闭线性子空间，x0 M．证明： L = { ax0 + y | yM, a}也是X的闭线性子空间． [证明] 若a, b，y, z M使得ax0 + y= bx0 + z， 则(a b) x0 = zy  M，得到a = b，y = z；即L中元素的表示是唯一的． 若L中的序列{ anx0 + yn }收敛于X中某点z，则序列{ anx0 + yn }为有界序列． 由于M闭，x0 M，故存在r > 0，使得|| x0y || r，y M．则当an 0时有 | an | = | an | · r · (1/r)  | an | · || x0 + yn/an || · (1/ r) = || an x0 + yn || · (1/r)， 所以数列{ an }有界，故存在{ an }的子列{ an(k)}使得an(k)a． 这时yn(k) = (anx0 + yn) anx0z ax0 M．所以zL，所以L闭． [注] 在此题的证明过程中，并未用到“X为完备的”这一条件． 7. 证明：a. 在2中，|| ◦||1，|| ◦||2与|| ◦||都是等价范数；b. || ◦||1与|| ◦||2是等价范实变函数与泛函分析第四章习题01-15 1 数的充要条件是：X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性． [证明] a. 显然|| x || || x ||2  || x ||1  2|| x ||，所以|| ◦||1，|| ◦||2与|| ◦||都是等价范数．b. 必要性是显然的，下面证明充分性．首先inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1}  0． 若inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = 0，则存在X中序列{ xn}，使得|| xn||1 = 1，|| xn||2  0． 而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而|| xn||1  0． 这矛盾说明inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = a > 0． 对xX，当x  0时，|| (x/|| x ||1) ||1 = 1，所以|| (x/|| x ||1) ||2 a． 故xX有a || x ||1  || x ||2． 类似地可以证明存在b > 0使得b || x ||2  || x ||1，xX．所以两个范数等价． 8. 证明：Banach空间m不是可分的．[证明见教科书p187, 例] 9. 证明：c是可分的Banach空间．[证明见第4章习题16] 10. 设X, Y为线性赋范空间，TB(X, Y)．证明T的零空间N(T) = { xX | Tx = 0 }是X的闭线性子空间． [证明] 显然N(T) = { xX | Tx = 0 }是X的线性子空间．对xN(T)c，Tx 0，由于T是连续的，存在x的邻域U使得uU有Tu 0，从而U N(T)c．故N(T)c是开集，N(T)是X的闭子空间．

11. 设无穷矩阵( a i j )，( i, j = 1, 2, ...)满足1||supjijia，定义算子T : mm如

下：y = Tx，1jjijia，其中x = ( i ), y = ( i ) m．证明：T是有界线性算子，并且1||sup||||jijiaT。 [证明] 因|)|(sup)||sup()||sup||(sup||sup||||111jjjijijjjijijjijiaaaTx，及T是线性的，所以T为有界线性算子，1||sup||||jijiaT。对任意的实数1||supjijiau，存在自然数K使得uajKj1||。取mxiK)(，使得其第j个

坐标)sgn(Kjja，则1||||Kx，且1||||||jKjKaTx。所以uaTjKj1||||||，故有1||sup||||jijiaT，从而1||sup||||jijiaT。 12. 设22:llSn满足对221),,,,(lxn有),,()(21nnnxS。证明nS是有界线性算子，1||||nS。

[证明] 显然nS是线性算子。因为212122||||||||||)(||xxSkknkkn，2lx，所以||||||)(||xxSn，2lx，可见nS是有界线性算子，且1||||nS。令),0,1,0,0,0(nx（仅第)1(n个坐标不为零），则2lxn，1||||nx，

),0,1()(nnxS，1||)(||nnxS。所以1||)(||||)(||sup||||1||||nnnxnxSxSS。

13. 证明],[baC上的泛函badttxxf)()(是有界线性泛函，且abf||||。 实变函数与泛函分析第四章习题01-15 2 [证明] 显然f是线性泛函。对],[baCx有 ||||)(|)(|max)(|)(||)(||)(|],[xabtxabdttxdttxxfbatbaba，

所以f是有界线性泛函，且abf||||。进一步，取],[0baCx使得1)(0tx，则1||||0x。得到abxfxffx|)(||)(|sup||||01||||。

14. 取定],[0bat，在],[baC上定义泛函1f如下：)()(01txxf。证明1f是有界线性泛函，1||||1f。 [证明]显然1f是线性泛函，由|||||)(|max|)(||)(|],[01xtxtxxfbat，知1f有界1||||1f。

取],[0baCx使1)(0tx，则1||||0x，得1|)(||)(||)(|sup||||000111||||1txxfxffx。 15. 证明：ll*1)(。 [证明] 任取lyi)(，显然1)(iiixf是1l上有界线性泛函，且||||||||yf。又取1lxk使其第k个坐标为1其余皆为0，则|||)(|||||kkxff，,2,1k。从而||||||||yf，进而||||||||yf．

另一方面，设f为1l上有界线性泛函，令)(iixf，则||||||||||||||fxfii，,2,1i，从而

lyi)(。对1

)(lxi，我们令),0,0,,,,(21nnu，

则niiiniiiniiinxfxfuf111)()()(． 注意到在1l中xun，以及f为1l上有界线性泛函， 故1)(iiixf，并且满足这样条件的lyi)(是唯一的． 16. 证明：n维线性赋范空间的共轭空间仍是一个n维线性赋范空间。 [证明] 设X是n维线性赋范空间，{ x1, x1, ..., xn}是它的一个基．

令f i : XX表示inkkkiaxaf)(1，i = 1, 2, ...．

则nkikiiiiinkkkixaxxxaaxaf11||||||||1|||||||||||)(|，注意到nkikxaxN1||||)(也是X上的范数，以及有限维线性空间上的范数都是等价的，故存在M > 0使得||||)(xMxN，所以|||||||||)(|xxMxfii，所以f i X*．下面证明{f1,f1, ..., fn}是X*

的一组基。事实上，f X*， nknjjjnkkknknjjjkkkknkkkxafxfxafxfxfaxaf111111))()(()()()()(，

所以nkkkfxff1)(。故X*为有限维空间，且维数不超过n．若01nkkkfc，则0))(()(11inkkknkikkixfcxfcc，所以{f1,f1, ..., fn}线性无关，故X*维数为n。