最新第七章线性变换练习题参考答案整理

第七章线性变换练习题参考答案

一、填空题1．设1

2

3,

,是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换

在这组基下的矩

阵是3

3

11

22

3

3

(),,ij A

a x

x

x

V 则在基

3

2

1

,

,下的矩阵B ＝

1

,T AT 而可逆矩阵

T ＝0010

101

满足1

,B T

AT 在基

1

2

3

,

,

下的坐标为

123

x A x x . 2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n

P 的线性变换:()

,n A P ,则

1

(0)＝|0,

n

A

P

，1

dim

(0)＝n r ，

dim

()n

P ＝r .

3．复矩阵()ij n n A

a 的全体特征值的和等于

1

n

ii i a ，而全体特征值的积等于

||A .

4．设是n 维线性空间V 的线性变换，且

在任一基下的矩阵都相同，则

为__数乘__变换 .

5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线

性空间，它与n n P 同构.

6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为1

2

,

,,

n

，()f x 为任一多项式，则()

f A 的全体特征值为12

(),(

),,(

)n

f f f .

7．设2

2

31A

，则向量1

1是A 的属于特征值 4

的特征向量．

8．若1

001011

A

与10

1010

1

k B

k

相似，则k = -1/2 ．

9．设三阶方阵A 的特征多项式为32

2

)

(2

3

f ，则||A 3 ．

10．n 阶方阵A 满足A A 2

，则A 的特征值为 0和1 ．11．线性空间3R 上的线性变换为A )

,,(321x x x 132

32

1(2,33,2)x x x x x x ，

变换A 在基

)1,0,0(),

0,1,0(),

0,0,1(3

2

1

下的矩阵为

1

020332

1

.二、判断题1．设是线性空间V 的一个线性变换，

1

2

,

,,

s

V 线性无关，则向量

组

1

2

(

),(),,(

)s

也线性无关. （错）

2．设为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由

的秩＋

的零度＝n ，

有1

()

(0).

V

V （错）未必有1

()

(0).

V

V 3．在线性空间2

R 中定义变换：(,)

(1

,)x y x y ，则

是2

R 的一个线性

变换.

（错）零向量的像是（1,0）4．若为n 维线性空间V 的一个线性变换，则是可逆的当且仅当

1

(0)＝

｛0｝.

（正确）

是可逆的当且仅当

是双射.

5．设

为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W 是V 的

一个子空间，则W 必为V 的子空间. （错）如平面上的向量全体在x 轴上的投影变换，W 为终点在与x 轴平行而不重合的直线上的向量全体，()W 为x 轴上的

向量全体，是V 的一个子空间，但W 不是V 的子空间.

6．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||A ．（正确）

7．已知1

PBP A

，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特

征向量与P 有关．（正确

）1P AP

B ，P 的列向量为A 的特征向量.

8．

为V 上线性变换，

n

,

,,

2

1

为V 的基，则)(

,),(

),(

2

1

n

线

性无关．（错）当可逆时无关，当不可逆时相关.

9．为V 上的非零向量，为V 上的线性变换，则})

(|{)(1

是

V 的子空间．（错）不含零向量.

三、计算与证明

1．判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使1T A T 成对角形.