高考立体几何复习最新题型归纳

2018高考复习立体几何最新题型总结（文数）

题型一：空间几何体的结构、三视图、旋转体、斜二测法

了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。

例1.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

例 2.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．

正视图 左视图

例3.已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为（ ）A ．6πB ．54πC ．12πD ．48π

例4：如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的 表面积为( )

A ．π12

B ．π16

C ．π32

D ．π8

例5：四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，

E

F

D I

A H G

B

C

E

F

D A B

C

侧视

图1

图2

B

E

A ．

B

E

B ．

B

E

C ．

B

E

D ．

俯视图

其三视图如图，则四棱锥P ABCD -的表面积为( )

A. 23a

B.2

2a C.22

23a a +

D. 222a

例6：三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是___________

例7：如图，斜三棱柱ABC —111C B A 中，底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为 b ，侧棱AA ’与底面相邻两边AB 、AC 都成450

角，求此三棱柱的侧面积和体积．

例8：如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知几何体的体积是_________

真题：

【2017年北京卷第6题】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 【2017年山东卷第13题】由一个长方体和两个1

4

圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为 .

【2017年浙江卷第3题】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是

A.

π+12 B. π+32 C. π3+12 D. π3+32

【2017年新课标II 第6题】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

π π π π

1、（2016年山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如图所示.则该几何体的体积为

（A ） （B ） （C ）

（D ）

【答案】D

3、（2016年天津高考）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图

如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）

【答案】B

4、（2016年全国I 卷高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3

，则它的表面积是

（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A

6、（2016年全国II 卷高考）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C

7、（2016年全国III 卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A ） （B ） （C ）90 （D ）81 【答案】B

1、（2016年北京高考）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.

【答案】

2、（2016年四川高考）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 。

【答案】

3、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2

,体积是______cm 3

.

斜二测法：原斜S S 4

2=

例9：一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为ο

45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ） A ．2221+ B ． 22+ C ．21+ D ．2

2

1+

例10：对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）

A ．2倍

B ．

24倍 C ．2

2

倍 D ．12倍

例11：如图，已知四边形ABCD 的直观图是直角梯形A 1B 1C 1D 1，且A 1B 1＝B 1C 1＝2A 1D 1＝2， 则四边形ABCD 的面积为( )

A ．3

B ．3 2

C ．6 2

D ．6

例12：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ） 旋转体：

例13：下列几何体是旋转体的是（ ）

A B C D 例14：如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，，

，22CD =，2AD =，求四边形ABCD

绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积. 真题：

【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成

的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）

223

π（B ）

423

π（）

22π

（）

42π

题型二：定义考察类题型

例15：已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是( ) A ．若βα//，α?l ,则β//l B ．若βα//，α⊥l ,则β⊥l

C ．若α//l ，α?m ,则m l //

D ．若βα⊥，l =?βα,α?m ,l m ⊥,则β⊥m 例16：给定下列四个命题：

①若一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的平面与这个面相较，则这线平行于交线 ②若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任一直线 ③若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行 ④若两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两直线垂直 其中，为真命题的是( )

A ．○1和○2

B ．○2和○3

C ．○3和○4

D ．○2和○4

例17：已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A ．若α⊥β，m ?α,则m ⊥β

B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖

C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖

D ．ββααβα⊥?=?⊥?⊥l c c l l ,,,

例18：已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，有下列命题： ①若,//m n αα?，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若,m m n α⊥⊥，则αn ； ④若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； 其中真命题的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

例19：如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD 底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A 、AC ⊥SB B 、AB ∥平面SCD C 、SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D 、AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角

例20：已知,αβ为不同的平面，A 、B 、M 、N 为不同的点，a 为直线，下列推理错误的是（ ）

A.,,,,A a A B a B a βββ∈∈∈∈??

B.,,,,M M N N MN αβαβαβ∈∈∈∈?=I

C.,,A A A αβαβ∈∈?=I

D.,,A B M A B M αβ∈∈、、、、且A 、B 、M 不共线αβ?、重合

真题：

【2016年浙江高考】已知互相垂直的平面 交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ） ∥l

∥n

⊥l ⊥n

【答案】C

【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α?，m β?（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m

【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）

A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交

B ．l 与1l ，2l 都相交

C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交

D ．l 与1l ，2l 都不相交

【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

C ．p 是q 的充分必要条件

D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

题型三：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 证明平行的方法：

线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）。

线面平行：（1）根据定理证明（面线线线////?）；（2）通过面面平行的性质定理（面线面面////?） 面面平行：（1）平面α中分别有两条相交线与平面β的两条相交线平行 （2）平面α的法向量与平面β的法向量平行

例21：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，

侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2

2

PA PD AD ==，若E 、F 分别 为PC 、BD 的中点.

（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PDC ⊥ 平面PAD .

例22：如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点，求证：MN P 平面A 1BD.

例23：如图，直棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，1AA =AC=CB=2

2

AB 。 （

Ⅰ

）

证

明

：1BC CD

A 14

π

ABCD ADEF M N BD AE

13

BM BD

=13

AN AE =

//MN CDE

例27：已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在PA 、BD 、PD 上, 且PM ：MA=BN ：ND=PQ ：QD. 求证：平面MNQ ∥平面PBC.

题型四：线与面、面与面的垂直的证明方法

N

M

P

D C

Q B

A

B

C

A

A 1

B 1

C 1

D

E

三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条直线垂直。 三垂线逆定理：如果：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面内的射影垂直。

例28：直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC AB ⊥，E 是A 1C 的中点，ED A C ⊥1且交AC 于D ，A A AB BC 12

2

== ．

（I ）证明：B C 11//平面A BC 1；（II ）证明：A C 1⊥平面EDB ．

例29：如图所示，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形； PA ⊥平面ABCD ,

PA AD AC ==，点F 为PC 的中点． （Ⅰ）求证：//PA 平面BFD ； （Ⅱ）求证面BFD PAC ⊥．

例30：如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别 是1CC CD CB 、、 的中点。 （1）求证：平面//11D AB 平面EFG ； （2）求证：⊥EF 平面C AA 1

A A 1

1

D

E

A 1

C

B

A

C 1

B 1

例31：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC o

,点D 是棱11B C 的中点.

（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面

11BB C C ； （Ⅱ）求证：1//AB 平面1A DC ；

例32：如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD ； (2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

例33：在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面⊥,PD ∥MA ,E G F 、、分别为

MB 、PC PB 、的中点，且2MA PD A D ==．

（Ⅰ）求证：平面PDC EFG 平面⊥;

（Ⅱ）求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --．

例34：如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：D CA BC 11//平面

A

B

C

C 1

B 1

A 1

D

（2）求证：平面D CA 1⊥平面B B AA 11

例35：如图所示，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上． （Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；

（Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （Ⅲ）求三棱锥1A BCD -的体积．

真题：

【2016年上海高考】如图，在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）

(A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1

【2017年新课标I 卷第6题】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）

【2017年新课标III 卷第10题】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则

A ．11A E DC ⊥

B ．1A E BD ⊥

C ．11A E BC ⊥

D ．1A

E AC ⊥

【2015高考山东，文18】 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点. （I ）求证：//BD 平面FGH ；

（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .

题型五：空间中的夹角

知识点：夹角的分类：线线夹角、线面夹角、面面夹角 三者在计算或证明时的转换关系： 面面

线面

线线

计算三种夹角的方法：勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤： ①找角，②证明所找的角，

③计算所找角的大小（切记不可找出来之后不证明就开始计算）

异面直线的夹角问题：

例36：在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，

a BC AB BC AD BAD ===∠,//,90ο2,,AD a PA ABCD PD =⊥底面与底面成30° （1）若,AE PD E ⊥为垂足，求证：BE PD ⊥；

（2）在（1）的条件下，求异面直线AE 与CD 所成角的正切值；

例37：如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点

（1）求证

：

MN

4MN BC ==43

PA =MD ABCD

⊥平面NB ABCD

⊥平面1111

ABCD A B C D -M N

CD 1CC 1A M

DN ABCD a ,E F ,AD BC

,AF CE ,AF CE

A

B

C

D

E

F

111

1ABC BC AB 1

CC 4443

4

''''D C B A ABCD -F E ,','BC AB M 'BB EMF ABCD EF 'AD 111ABC A B C -AB AC ⊥1AA 1B C DE ⊥1BCC （1）证明：AB=AC

（2）设二面角A-BD-C 为0

60，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小

真题：

【2016年全国I 卷高考】如平面过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,，，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）（B ）（C ）（D ）

【2015高考浙江，文18】如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11ABC 90AB AC 2,AA 4,A ∠====o

，在底 面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.

（1）证明：11D A BC A ⊥平面； （2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.

【2014高考，文18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =。

（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；

（Ⅱ）设二面角A PB C --为90o ，求PD 与平面PBC 所成角的大小。

【2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，

,E F 分别是1,BC CC 的中点。（I ）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；

（II ）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45o

，求三棱锥F AEC -的体积。

题型六：距离问题：点线距离（定义法、等体积法、向量法、空间坐标法）；线面距离；面面距离。

例47：已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的地面边长为1，则棱场为2，点E 为1CC 的中点，求点1D 到平面BDE 的距离。

例

1中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED D.1

例49：在中,AB=15，120?，若ABC ?所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是（ ）

例50：如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

, OA ABCD ⊥底面,

2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点

（Ⅰ）证明：直线MN OCD

平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

例51：αβ和为平面，,,,l A B α?β=∈α∈βAB=5,A,B 在棱l 上的射影分别为A ′，B ′，AA ′＝3，BB ′＝2.若二面角l α--β的大小为

23

π

，求，点B 到平面α的距离为_____________ 例52：P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，17，13，则P 到A 点的距离是（ ）

C.3

例53：如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

, OA ABCD ⊥底面,

2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点

（Ⅰ）证明：直线MN OCD

平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离

例54：如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1

中

,AB 2,CA CB CD BD AB AD ======

AO ⊥ABEDFC ABED ACFD O AD 1

OA =2OD =BC EF ∥F OBED -

例59：如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1

2AA 1，D 是棱AA 1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

真题：

【2017年新课标I 卷第18题】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB 90BAP CDP ∠=∠=o 90APD ∠=o 83

【2017年新课标II 第18题】如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，

C

B A D

C 1

A 1

AB=BC=1

2

AD, ∠BAD=∠ABC=90°。

（1）证明：直线BC∥平面PAD;

（2）若△PAD面积为，求四棱锥P-ABCD的体积。

【2017年新课标III卷第19题】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

【2016年全国I卷高考】如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.

（I）证明：G是AB的中点；

（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

【2016年全国II卷高考】如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，，

交于点，将沿折到的位置.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若,求五棱锥体积.

【2016年全国III 卷高考】如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（I ）证明平面； （II ）求四面体的体积.

【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，

（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；

（II ）若120ABC ∠=o ，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -

.

【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ?AB 为等边三角形，

C C A ⊥B

且C C A =B =O ，M 分别为AB ，V A 的中点．

（I ）求证：V //B 平面C MO ；（II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ；（III ）求三棱锥V C -AB 的体积．

【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC=

2

π

，点D 、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF(Ⅰ)证明：AB ⊥平面PFE. (Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.

题型八：翻折与展开问题及探索问题

例60：如图所示，等腰ABC △

的底边AB =高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．

（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值 （3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．

P

E

D F

B

C

A

例61：在直角梯形中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形沿折起，使平面平面，连结部分线段后围成一个空间几何体， （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．

例62：正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连接AE 、EF 、AF.以AE 、EF 、FA 为折痕，折叠这个正方形，使点B 、C 、D 重合于一点P ，得到一个四面体，如图(2)所示． (1)求证：AP ⊥EF ；

(2)求证：平面APE ⊥平面APF.

例63：如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中

点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,

其中2

BC =. (1) 证明:DE BCF CF ⊥ABF 2

3

AD =

F DE

G -F DEG V - 例68：如图甲，在直角梯形PBCD 中，//PB CD ，CD BC ⊥，2BC PB CD ==，A 是PB 的中点. 现 沿

AD 把平面PAD 折起，使得PA AB ⊥（如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点.

（1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求证：平面PAE ⊥平面PDE ；

（3）试探究在PA 上是否存在一点G ，使得//FG 平面

PDE ,

并说明理由. 真题：

图甲

图乙

【2015高考陕西，文18】如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2

AD BC BAD AB BC π

∠=

=1

2

AD a =

=，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ?沿BE 折起到图2中1A BE ?的位置，得到四棱锥1A BCDE -. (I)证明：CD ⊥平面1

AOC ； (II)当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -

的体积为，求a 的值.

【2014高考，文19】如图所示：边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且DE=2，

ED ⊥1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=o

（Ⅰ）求三棱锥P -ABC

（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求

PM

MC

的值.

【2015高考福建，文20】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 面，且1PO =OB =．

（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O （Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．

题型九：球类问题专项练习

一：外接球的有关问题 棱锥的内切、外接球问题

例69：正四面体的外接球和内切球的半径是多少

例70：设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥， 如果AMD ?的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

例71：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为______ 例72：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）

A. B. C. D.

例73：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱

柱的体积为

8

9

，底面周长为3，则这个球的体积为__________

例74：正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为_______________.

例75：表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A ．

B ．

C ．

D ． 二：球类的截面问题

例76：球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、

30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．

例77：过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为?60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．

例78：已知球的面上四点A 、B 、C 、D ，，，，则球的体积等于_______________. 例79：已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，，，若，则球的体积是_______________. 例80：球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6

1

，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．

例81：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

例82：直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于

例83：正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为

例84：用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为cm r 241=，cm r 152=．两截面间的距离为cm d 27=，求球的表面积．

三：球面距离

例85： 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．

A ．有且只有一个

B ．一个或无穷多个

C ．无数个

D ．以上均不正确 例86：已知A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为R 2

π

，求过A 、B 的平面中，与球心

的最大距离是多少

例87：在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为2

49cm π和2

400cm π．求球的表面积．

例88：如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1

OO =A 、B 是圆1O 上两点，若A ，B 两点间的球面距离为23

π

，则1AO B ∠=

例89：在半径为3的球面上有,,A B C 三点，90,ABC BA BC ?

∠==，球心O 到平面ABC 的距离是2

，则B C 、两点的球面距离是（ ）

A.

3

π

B.π

C.43π

D.2π

四：其它问题

例90：在矩形ABCD 中，3,4==BC AB ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体

ABCD 的外接球的体积为（ ）

A.

π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3

125

例91：一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少

例92：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 ．

例93：（2012新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

例94：（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为2正方形.若PA=62,则△OAB 的面积为______________.

例95：在底面边长为2的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子相切）， 求小球的半径。

例96：自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求2

2

2

MC MB MA ++的值．