反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结 知识点1 反比例函数的定义 一般地,形如x k y = (k 为常数,0k ≠)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解: ⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数; ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①x k y = (0k ≠), ②1 kx y -=(0k ≠), ③k y x =?(定值)(0k ≠); ⑸函数x k y = (0k ≠)与y k x =(0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。 (k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,x k y =,就不是反比例函数了,由于反比例函数x k y = (0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = (0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值 0y ≠,所以它的图像与x轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永 远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取; ②列表时选取的数值越多,画的图像越精确; ③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线; ④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:
(完整版)高数知识点总结
高数重点知识总结 1、基本初等函数:反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(x a y =),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小:高阶+低阶=低阶 例如:1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限:()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式:当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ,[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如:()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续,连续未必可导。例如:||x y =连续但不可导。 6、导数的定义:()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导: [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如:x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导:(1)直接求导法;(2)方程两边同时微分,再求出dy/dx 例如:y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导 解:法 9、由参数方程所确定的函数求导:若?? ?==) ()(t h x t g y ,则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==,其二阶导数:()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算:)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如:计算 ?31sin
高中数学第一章集合与函数概念知识点
高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,N表示自然数集,N*或N + R表示实数集. (3)集合与元素间的关系 ?,两者必居其一. ∈,或者a M 对象a与集合M的关系是a M (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等
(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有 21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. (8)交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法 (2)一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念
①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须 a b <. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数. ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2 x k k Z π π≠+ ∈. ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域
最新反函数常用知识点总结
精品文档 反函数 定义 一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,-1 -1 (x)y=f (x) 。y=f y=f(x)(x∈A)的反函数,记作反函数这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。(不求过深理解) 引申 一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数-1为y=f (x)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。 注意:上标╜???指的并不是幂。 (n)(x)是用来指f的f n次微分的。在微积分里,若一函数有反函数,此函数便称为可逆的(invertible)。 性质 -1(x)图象关于直线fy=x对称;(1)函数f(x)与它的反函数 图1 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 (2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射; (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; (4)大部分偶函数不存在反函数(当函数y=f(x),定义域是{0} 且f(x)=C (其中C是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} )。奇函数不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。 (5)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数; (6)反函数是相互的且具有唯一性; (7)定义域、值域相反,对应法则互逆(三反); (8)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)(在有反函数的情况下,即满足(2)); (9)反函数的导数关系:如果x=f(y)在区间I上单调,可导,且f'(y)≠0,那么它的反函数 y=f'(x)在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导,且[f'(x)]'=1\[f'(x)]'。 (10)y=x的反函数是它本身。
高中数学集合与函数的概念知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学集合与函数的概念 知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点: 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1集合的含义与表示 【知识要点】 1、集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 (1)元素的确定性;(2)元素的互异性;(3)元素的无序性 2、“属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合,用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素如:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作a∈A,如果a不属于集合A 记作a?A 3、常用数集及其记法 非负整数集(即自然数集)记作:N;正整数集记作:N*或N+ ;整数集记作:Z;有理数集记作:Q;实数集记作:R 4、集合的表示法 (1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 (2)描述法:用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} (3)图示法(Venn图) 1.1.2 集合间的基本关系 【知识要点】 1、“包含”关系——子集 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说 这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B 2、“相等”关系 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B A B B A 且 ??? 3、真子集 如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A?B(或B?A) 4、空集 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集. 1.1.3 集合的基本运算
反比例函数知识点汇总
平面直角坐标系 1、定义: 1、定义: 平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系。 2、各个象限内点的特征: 2、各个象限内点的特征: 第一象限:(+,+),点P(x,y),则x>0,y>0; 第二象限:(-,+),点P(x,y),则x<0,y>0; 第三象限:(-,- ),点P(x,y),则x<0,y<0; 第四象限:(+,-), 点P(x,y),则x>0,y<0; 3、坐标轴上点的坐标特征: 3、坐标轴上点的坐标特征: x轴上的点,纵坐标为零; y轴上的点,横坐标为零; 原点的坐标为(0,0)。 两坐标轴的点不属于任何象限。 4、点的对称特征: 4、点的对称特征: 已知点P(m, n), 关于x轴的对称点坐标是(m,-n),横坐标相同,纵坐标相反; 关于y轴的对称点坐标是(-m, n),纵坐标相同,横坐标相反; 关于原点的对称点坐标是(-m, -n),横、纵坐标都相反。 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征: 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征: 平行于x轴的直线上的任意两点:纵坐标相等; 平行于y轴的直线上的任意两点:横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征: 6、各象限角平分线上的点的坐标特征: 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点P(x,y)的几何意义: 7、点P(x,y)的几何意义: 点P(x,y)到 x 轴的距离为 |y| , 点P(x,y)到 y 轴的距离为 |x|。 点P(x,y)到坐标原点的距离为 8、两点之间的距离: 8、两点之间的距离:
初二数学一次函数知识点总结
一次函数知识点总结 基本概念 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题:在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr 中,变量是________,常量是_________. 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 和y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定 的值与其对应,那么我们就把x 称为自变量,把y 称为因变量,y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数,只要看X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题:下列函数(1)y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2-1中,是一次函数的有( ) (A )4个 (B )3个 (C )2个 (D 3、定义域: 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2 (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4 (5例题:下列函数中,自变量x 的取值范围是x ≥2的是( ) A .. . D . 函数y = x 的取值范围是___________. 已知函数22 1+-=x y ,当11≤<-x 时,y 的取值范围是 ( ) A.2325≤<-y B.2523<0时,直线y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随x 的增大y 也增大;当k<0时,?直线y=kx 经过 二、四象限,从左向右下降,即随x 增大y 反而减小. (1) 解析式:y=kx (k 是常数,k ≠0)
反比例函数知识点归纳重点(供参考)
反比例函数知识点归纳和典型例题 (一)知识结构 (二) (三)(二)学习目标 (四)1.理解并掌握反比例函数的概念,能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式(k为常数,),能判断一个给定函数是否为反比例函数. (五)2.能描点画出反比例函数的图象,会用代定系数法求反比例函数的解析式,进一步理解函数的三种表示方法,即列表法、解析式法和图象法的各自特点. (六)3.能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数(k为常数,)的函数关系和性质,能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题. (七)4.对于实际问题,能“找出常量和变量,建立并表示函数模型,讨论函数模型,解决实际问题”的过程,体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型. (八)5.进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点,进一步认识数形结合的思想方法. (九)(三)重点难点 (十)1.重点是反比例函数的概念的理解和掌握,反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用. (十一)2.难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握.
(十二)二、基础知识 (十三)(一)反比例函数的概念 (十四)1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件; (十五)2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式; (十六)3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点. (十七)(二)反比例函数的图象 (十八)在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称). (十九)(三)反比例函数及其图象的性质 (二十)1.函数解析式:() (二十一)2.自变量的取值范围: (二十二)3.图象: (二十三)(1)图象的形状:双曲线. (二十四)越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.越小,图象的弯曲度越大. (二十五)(2)图象的位置和性质:
高数重要知识点汇总
高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x )是比g (x )高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x )与g (x )是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x )与g (x )是等价无穷小,记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法 1.两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.★用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=
一次函数知识点总结与常见题型
一次函数知识点总结与常见题型 基本概念 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题:在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C =2πr 中,变量是________,常量是_________. 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 和y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其 对应,那么我们就把x 称为自变量,把y 称为因变量,y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数,只要看X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题:下列函数(1)y =πx (2)y =2x -1 (3)y =1 x (4)y =21-3x (5)y =x 2-1中,是一次函数的有( ) (A )4个 (B )3个 (C )2个 (D )1个 3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 例题:下列函数中,自变量x 的取值范围是x ≥2的是( ) A .y B .y C .y D .y 函数y = x 的取值范围是___________. 已知函数22 1 +-=x y ,当11≤<-x 时,y 的取值范围是 ( ) A .2325≤<-y B .2523<0时,直线y =kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随x 的增大y 也增大;当k <0时,?直线y =kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随x 增大y 反而减小. (1) 解析式:y =kx (k 是常数,k ≠0) (2) 必过点:(0,0)、(1,k ) (3) 走向:k >0时,图像经过一、三象限;k <0时,?图像经过二、四象限 (4) 增减性:k >0,y 随x 的增大而增大;k <0,y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度:|k |越大,越接近y 轴;|k |越小,越接近x 轴 例题:(1).正比例函数(35)y m x =+,当m 时,y 随x 的增大而增大. (2)若23y x b =+-是正比例函数,则b 的值是 ( ) A .0 B . 23 C .23- D .32 - .(3)函数y =(k -1)x ,y 随x 增大而减小,则k 的范围是 ( ) A .0k C .1≤k D .1整理全面《高中数学知识点归纳总结》
整理全面《高中数学知识点归纳总结》
教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向 量,圆锥曲线,立体几何,导数难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用