高中数学必修四之知识讲解_函数y=Asin(ωx+φ)的图象_基础

sin()y A x ω?=+的图象与性质

编稿：丁会敏审稿：王静伟

【学习目标】

1.了解,,A ω?对函数图象变化的影响，并会由sin y x =的图象得到sin()y A x ω?=+的图象； 2．明确函数sin()y A x ω?=+（A 、ω、?为常数，0,0A ω>>）中常数A 、ω、?的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念．

【要点梳理】

要点一：用五点法作函数sin()y A x ω?=+的图象

用“五点法”作sin()y A x ω?=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ω?=+，由z 取3

0,,,,222

πππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.

要点诠释：用“五点法”作sin()y A x ω?=+图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为

. 要点二：函数sin()y A x ω?=+中有关概念

()sin()0,0y A x A ω?ω=+>>表示一个振动量时，A 叫做振幅，2T π

叫做周期，12f T ωπ

=叫做频率，x ω?+叫做相位，x=0时的相位?称为初相.

要点三：由sin y x =得图象通过变换得到sin()y A x ω?=+的图象 1.振幅变换：

sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短

2.周期变换：

函数()sin 01y x x R ωωω=∈>≠，且的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1

倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期.

3.相位变换：

函数()sin y x x R ?=+∈，(其中0?≠)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当?＞0时)或向右(当?＜0时)平行移动?个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).

要点诠释：一般地，函数()sin()0,0y A x A x R ω?ω=+>>∈，的图象可以看作是用下面的方法得到的：

(1)先把y=sinx 的图象上所有的点向左(?>0)或右(?<0)平行移动?个单位；

(2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的

倍(纵坐标不变)； (3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

类型一：三角函数sin()y A x ω?=+的图象例1.画出函数y=sin(x+3

)，x ∈R 的简图. 【解析】

法一：(五点法)：列表

法二：(图象变换) 函数y=sin(x+

3π)，x ∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动3

个单位长度而得到.

例2.画出函数y=3sin(2x+

3π

)，x ∈R 的简图. 【解析】(五点法)由2T π

=，得T π=，列表：

描点画图：

这种曲线也可由图象变换得到：

【总结升华】由y=sinx 的图象变换出sin()y x ω?=+的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换).

先将y=sinx 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0)平移?个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的

倍()0ω>，便得sin()y x ω?=+的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换. 先将y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的ω

倍()0ω>，再沿x 轴向左(?＞0)或向右(?＜0)平移

|个单位，便得sin()y x ω?=+的图象.

举一反三：

【变式1】已知函数2sin 23x y π??=+

?．（1）作出函数的简图；

（2）指出其振幅、周期、初相、值域．【解析】（1）2sin 23x y π??

=+ ??

? 列表：

把210,33ππ??

????

之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图．（2）振幅为2，周期为4π，初相是

，最大值为2，最小值为―2，故值域是[―2，2]．【变式2】如何由函数y=sin x 的图象得到函数3sin 23y x π??

=- ??

的图象？【解析】解法一：

3sin sin sin(2)

33y x

y x y x π

ππ?

?=????????→

=-???????????→=- ??

2向右平移个单位长度

将各点的横坐标缩短为原来的倍3???????????→将各点的纵坐标伸长为原来的倍

3sin 23y x π??=- ??

?．

解法二：

62sin sin 2y x y x

=??????????→=????????→

向右平移个单位长度

将各点的横坐标缩短为原来的

3sin 23sin 23sin 2663y x y x x πππ?????????

?=-???????????→=-=- ? ? ????????

???????将各点的纵坐标伸长为原来的倍．

【总结升华】本题用了由函数y=sin x （x ∈R ）的图象变换到函数sin()y A x ω?=+（x ∈R ）的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系．

类型二：三角函数sin()y A x ω?=+的解析式

【高清课堂：正弦型函数sin()y A x ω?=+的图象与性质 370634 例3】例3．已知函数()sin()f x A x k ω?=++（0A >，0ω>，||2

?<），在同一周期内的最高点是(2,2)，

最低点为(8,4)-，求f (x )的解析式．

【解析】

由题max min 2,4y y ==-

3,1A k ∴==-

又2x =是函数的最大值点，8x =是函数的最小值点

22(82)12π

∴

=?-=，6

ω∴=

又函数最高点为（2，2），即

??+=

?∴=

3sin()166

y x ππ

∴=+-

【总结升华】求函数sin()y A x ω?=+的解析式，?值是关键，最常用的方法是找平衡点法，即与原点相邻且处于递增部分上的与x 轴的交点（x 0，0），与正弦曲线上（0，0）点对应，即12

x k π

ω?π+=+，

选取k 值，确定符合条件的k 值．

举一反三：

【变式1】已知函数sin()y A x ω?=+（A ＞0，ω＞0，||2

）的图象的一个最高点为(2,，由

这个最高点到相邻最低点，图象与x 轴交于点（6，0），试求函数的解析式．

【解析】由已知条件知A =6244

=-=，

∴T=16，22168T πππω=

==，∴8y x π???=+ ???

．

∵图象过点（6，0），∴068π???

=?+ ???

， ∴

k π

?π+=（k ∈Z ）

，又||2

，∴令k=1可得4

，

∴8

4y x π

π??=+

???．

【变式2】（2016 临沂一模）已知函数满足

下列条件：

①周期T=π； ② 图象向左平移

个单位长度后关于y 轴对称；

③ f （0）=1．

求函数f （x ）的解析式；

【思路点拨】根据f （x ）的周期求出ω的值，根据f （x ）的图象平移以及g （x ）的图象关于y 轴对称，求出φ的值，再由f （0）=1求出A 的值，即得f （x ）的解析式；【解析】：（Ⅰ）∵f （x ）的周期为T=

=π，∴ω=2；

又函数f （x ）的图象向左平移个单位长度，

变为g （x ）=Asin[2（x+

）+φ]，

由题意，g （x ）的图象关于y 轴对称， ∴2×+φ=

+kπ，k ∈Z ；

又|φ|＜

，∴φ=

，

∴函数f （x ）=Asin （2x+）；

又f （0）=1，∴Asin

=1，解得A=2，

∴函数f （x ）=2sin （2x+

）；

类型三：函数sin()y A x ω?=+的性质的综合运用

【例4】（2016 盐城一模）设函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，﹣＜φ＜

，x ∈R ）的部分图

象如图所示．

（1）求函数y=f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣

，

]时，求f （x ）的取值范围．

【思路点拨】（1）由图象知，A ，周期T ，利用周期公式可求ω，由点（，2）在函数图象上，结合范围

﹣

＜φ＜

，可求φ，从而解得函数解析式．（2）由x ∈[﹣

，

]，可求x+

∈[﹣

，

]，利用正弦函数的图象和性质即可求得f （x ）的取值范

围．【解析】（1）由图象知，A=2，

又==

，ω＞0，

所以T=2π=

，得ω=1．

所以f （x ）=2sin （x+φ），

将点（，2）代入，得

+φ=2k

（k ∈Z ），即φ=

+2kπ（k ∈Z ），又﹣

＜φ＜

，

所以，φ=．

所以f （x ）=2sin （x+）（2）当x ∈[﹣，]时，x+∈[﹣

，

]

所以sin （x+

）∈[﹣

，1]，

即f （x ）∈[﹣，2]

【思路点拨】根据函数图像确定解析式，求解这类问题的一般方法是：要首先根据图像确定振幅A ，再确定函数周期T ，根据周期即可确定ω的值，最后在根据特殊点处的函数值确定φ.

举一反三：

【变式1】已知函数sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的图象过点(,0)12

P π

，图象上与点P 最近的一

个最高点是(

,5)3

Q π

．

（1）求函数的解析式；（2）求函数()f x 的递增区间．

【解析】（1）依题意得：5A =，周期4(

)312

T π

ππ=-

22π

ωπ=

=,故5sin(2)y x ?=+，又图象过点(,0)12

P π

，

5sin()06π?∴+=，解得：06π?+=，即6π

?=- 5sin(2)6

y x π

∴=-．

（2）由222,2

k x k k z π

ππ-+≤-

≤

+∈

得：,6

k x k k z π

ππ-

+≤≤

+∈

故函数()f x 的递增区间为：,,63k k k z ππππ??

++∈????

．

【变式2】设函数()sin()f x A x ω?=+（A ≠0，ω＞0，||2

?<）的图象关于直线23

x π

对称，它的周期是π，则（）

A ．()f x 的图象过点10,2?? ???

B ．()f x 在52,123ππ??

???

上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5,012π??

???

D ．()f x 的最大值是A 【答案】 C

【解析】 ∵周期T=π，∴

2||

πω=，又ω＞0，∴ω=2．又∵()f x 的图象关于直线23x π=对称，∴23232

ππ??+=． ∴6

，∴()sin 26f x A x π??

．∴图象过0,

2A ?? ???

．又当512x π=

时，26x ππ+=，则5()012

f π

=， ∴5,012π??

???

是()f x 的一个对称中心．【总结升华】与研究其他函数的性质一样，研究函数()sin()f x A x ω?=+（A ≠0，ω＞0，||2

?<）

的性质时，往往先画出其图象，并注意各性质之间的关系．

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。（答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

高中数学函数基础练习

函数基础令狐采学一．选择题（每题5分，共50分，每题只有一个符合题意的选项） 1．如果A=}1|{->x x ，那么（） A ．A ?0 B ． A ∈}0{ C ．A ∈Φ D ．A ?}0{ 2.下列图象中不能作为函数图象的是（） 3.下列从集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（） 4.下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是（） A ．2()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．326(),()f x x g x x == D ．0()1,()f x g x x == 5.如图，U 是全集，M.P.S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） A.（M S P ??) B.（M S P ??) C.（M ?P ）?（CUS ） D.（M ?P ）?（CUS ） 6.函数5 ||4--=x x y 的定义域为（） A ．}5|{±≠x x B ．}4|{≥x x C ．}54|{<<≤x x x 或 7．已知???>+-≤+=) 1(32)1(1)(2x x x x x f ，则=)]2([f f （）

A ．5 B ．－1 C ．－7 D ．2 8．若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=，且Φ≠B A ，则实数a 的集合（） A ．}2|{a a D ．}21|{≤≤a a 9．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x [0,)∈+∞时f(x)是增函数，则f(－ 2), f(π), f(－3)的大小关系是( ) A. f(π)>f(－3)>f(－2) B. f(π)>f(－2)>f(－ 3) C ．f(π)+-=a ax x x f ，若)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，则实数a 的值为（） A ．5 B ．－２ C ．－５ D ．2 二．填空题（每题5分，共20分） 11．已知集合{}12|),(-==x y y x A ，}3|),{(+==x y y x B 则A B ＝ 12．已知函数)(x f 满足关系式52)2(+=+x x f ，则=)3(f _________ 13．设奇函数f(x)的定义域为]5,5[-.若当]5,0[∈x 时, f(x)的图象如右图，则不等式f(x)<0的解集是 14．已知定义在)1,1(-上的奇函数 )(x f ，在定义域上为减函数，且,0)21()1(>-+-a f a f 则实数a 的取值范围是三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，