对流方程及算法介绍
对流扩散方程的数值方法
对流扩散方程的数值方法流扩散方程是描述物质在流动中同时进行的扩散过程的方程。
在很多科学和工程领域，如物理、化学、生物学等，流扩散方程都具有重要的应用。
为了解决流扩散方程，在数值计算中可以采用不同的数值方法。
本文将介绍几种常用的数值方法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
有限差分法是一种常用且简单的数值方法，可用于解决流扩散方程。
它将空间和时间离散化，并采用中心差分近似来计算偏导数。
通过将方程离散化为代数方程组，可以使用迭代方法（如雅可比方法、高斯-赛德尔方法等）求解。
有限差分法的主要优点是简单易行，且可以方便地处理复杂的边界条件。
然而，它在处理不规则边界和复杂的时间变化时可能会出现精度问题。
有限元法是一种更加灵活和通用的数值方法，可用于解决流扩散方程。
它将连续的空间和时间域划分为离散的小单元，并利用有限元近似来计算解。
有限元法的优点是适用于各种不规则边界和复杂的几何结构，且能够提供更高的精度。
它通常使用高阶基函数来提高数值解的精确度，但计算复杂度较高，并且需要额外的后处理步骤来获得所需的物理量。
谱方法是一种基于傅里叶级数和函数的展开来计算数值解的方法，也适用于解决流扩散方程。
它使用特殊类的基函数（如傅里叶基函数或Chebyshev基函数）来表示解，并利用傅里叶级数的收敛性和高精度的性质来求解偏微分方程。
谱方法的优点是能够提供非常高的精度，并且适用于各种边界条件和几何结构。
但是，谱方法通常对于非线性问题的数值求解比较困难，且需要合适的扩展性来处理大规模问题。
对于流扩散方程的数值方法，除了上述几种常见的方法外，还有其他一些方法如交替方向隐式方法（ADI方法）和双曲正切方法（双曲正切线性增量法）等。
这些方法在特定情况下可能更适用于一些问题，但在一般情况下，有限差分法、有限元法和谱方法是流扩散方程数值计算的主要选择。
在选择数值方法时，需要综合考虑问题的特点和要求。
有限差分法适用于简单的几何结构和边界条件，有限元法适用于复杂的几何结构和边界条件，谱方法适用于需要高精度和快速收敛的问题。
对流扩散方程
对流扩散方程ν22u u ua t x x抖 +=抖¶ 网格比λt a x D =D ， ν2t r xD =D 而它们的比值λνν2t a a x x r t x D D D ==D D 是一个无量纲量，称为网格雷诺数，也就是以网格尺寸 x D 为特征长度的雷诺数，通常记作 Re x D 。
（1） 显式中心差分格式ν11111222n nn nn n nj jj j j j j u u u u u u u atxx++-+----++=D D D即()()λ1111122n n nn n n nj jj j j j j u u u u r u u u ++-+-=--+-+ 精度：()O 2 , n j R t x =D D稳定性分析：设 jikx n nj k C eε= ，则()1j ik x xn n j k C e ε-D -= ，()ε1j ik x xn n j k C e+D += ，11jikx n n j k C eε++=代入差分格式()()()()λ122jj jj j j j ik x xik x xikx ikx n n n n kkk kik x x ik x x ikx n n n k k k Ce C eC e C er C e C e C e +D -D ++D -D 骣÷ç=--÷ç桫骣÷ç+-+÷ç桫令 k x α=D ，可求出增长因子()()()ααααλλαααααλ121221sin 2cos 114sin 2sin cos 222n k nk i i i i C G C e e r e e i r r i +--==--+-+=-+-骣骣鼢珑鼢=-+珑鼢珑鼢桫桫所以αααλααααλαααλ22222242222222214sin 2sin cos 22218sin16sin4sincos22221424sin cos sin 222G r r r r r 骣骣鼢珑鼢=-+珑鼢珑鼢桫桫=-++骣÷ç÷=---ç÷ç÷桫因此ααλ222221 124sin cos 022G G r r ［［--我们来考虑函数()αααλ222224sin cos 22f r r =--的极值。
第5章-对流-扩散方程的离散格式
uL
0
Pe表示对流与扩散作用 的相对大小。
0
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传热与流体流动的数值计算
二、对流项的中心差分
d d d u 采用控制容积积分法 对方程 dx dx dx e u e w u w P 2 2 x w x e
aE De Fe ,0 , aW Dw Fw ,0
对流项一阶迎风：
aW i 1 aE i 1 P ,0 1 P ,0 P D D
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传热与流体流动的数值计算
A P P
B P A P P A P P ,0 P B P A P P ,0
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传热与流体流动的数值计算
四、aE、aW的通用表达式
* Je B Pe P A Pe E
J d J P D d x x
*
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传热与流体流动的数值计算
一、通量密度及其离散表达式（续）
J*的离散表达式：
J * Bi Ai 1
Behind Ahead 界面后的项 界面前的项 以坐标轴正方向为依据的“前”、“后”。
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传热与流体流动的数值计算
负系数会导致物理上不真实的解。
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传热与流体流动的数值计算
三、对流项的迎风格式
Taylor展开法
d i i 1 , ui 0 dx i x
i 1 i , ui 0 x
控制容积积分法 e界面 ue 0 , P ; ue 0 , E w界面 uw 0 , W ; uw 0 , P
对流扩散方程的求解
对流扩散方程的求解
个人收集整理-ZQ
对流扩散问题地有效数值解法一直是计算数学中重要地研究内容，求解对流扩散方程地数值方法主要是有限差分法()、有限元法()、有限体积法()、有限解析法()、边界元法()、谱方法() 等多种方法.但是对于对流占优问题，用通常地差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡.为了克服数值震荡，年代，.和等提出特征修正技术求解对流扩散占优地对流扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；和提出过一种沿流线方向附加人工黏性地间断有限元法，称为流线扩散方法().有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中地主要方法.
对流扩散方程地特点
对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项.由于其方程本身地特点，给建立准确有效地数值求解方法带来一定地困难.对流和扩散给流体中由流体携带地某种物理量地变化过程，可以通过一个无量纲地特征参数(数)来描述，数地定义为：ν.这里是来流速度，是特征长度，是物质地扩散系数.如果数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；如果数较大，即溶质分子地扩散相对于流体速度而言是缓慢地，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程地特点.对于对流占优问题地求解，采用常规地有限元方法，为了避免求解结果产生数值振荡，获得稳定解，则应使每个单元地局部数，ν≤，这里为单元地最大尺寸，为单元中地最大速度分量值.因此，用本文方法求解对流占优对流扩散问题，要得到稳定解，则要通过加密有限元网格来实现.资料个人收集整理，勿做商业用途
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第四章 对流换热
2021/7/14
左海滨
4
1 对流换热概述—（2） 基本知识
a. 强制对流
2021/7/14
b. 自然对流
内部流动
热面朝上
外部绕流
热面朝下
左海滨
5
1 对流换热概述—（2） 基本知识
➢确定α的方法： (1)分析法；(2)比拟法；(3)实验法；
(4)数值法。
[W/m2.℃]
由傅里叶定律和牛顿冷却公式，得：
x
t
2.℃]
[W/m
w
tw tf y
这就是对流换热过程微分方程式。
2021/7/14
左海滨
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1 对流换热概述—（3） 基本方程
➢牛顿冷却公式：
➢对流换热微分方程：
➢常物性、无内热源的能量微分方程：
2021/7/14
求α
能量微分方程；
N-S方程；
连续性方程。
➢定解条件：
初始条件；
边界条件。
求解对流换热微分方程
（必须知道温度分布）
求解对流换热能量微分方程
（必须知道速度分布）
求解N-S方程和连续性方程
2021/7/14
左海滨
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2 理论分析方法—（1） 对流换热的数学描写
➢对流换热微分方程组（常物性、无内热源、二维、不可压
（5）比拟理论
（6）例题
5 自然对流
（1）概述
4 强制对流
（2）大空间自然对流换热
（1）管内强制对流换热
（2）外部流动的强制对流
（3）例题
2021/7/14
（3）有限空间自然对流换热
第五章 对流-扩散方程的离散格式
见下页表格：
5.3.5 5种三点格式系数计算式的汇总 不同格式离散方程的形式相同，但 系数不同。具体见下表5－1：
5.4 对流-扩散方程5种3点格式系 数特性的分析
5.4.1 通量密度及其离散表达式
J J ( / x )
*
由于 所以
d d J u [ P ] dx x d ( x / x)
i i 1 d ， ui 0 dx i x i 1 i x
ui 0
对多维问题，用此方法构造的对流 项的离散格式，只有在求解区域内 流速不发生逆向时，所形成的离散 方程才具有守恒性。
2、控制容积积分法定义
规定界面上的未知量恒取上游节点的值 e界面上： ue 0 , p ； ue 0 , E
把式（2）用于计算界面总通量密度Je, Jw: 对Je： ， , L x
0 P L E e
P E J e Fe [ P ] exp( Pe ) 1
对Jw：
0 W ， L P , L xw
W P J w Fw [W ] exp( Pw ) 1
对于坐标系I，C位于界面之后，而D位 于界面之前，于是： J * B( P )C A( P ) D 对于坐标系II，D位于界面之后，而C 位于界面之前，于是：
J B( P ) D A( P )C
*
由于
J J
*
*'
C [ B( P ) A( P )] D [ A( P ) B( P )]
exp( Pe ) 1
Fe ；
Fw exp( Pw ) aW exp( Pw ) 1
第二章对流换热方程推导
u u u x v u y w u z x x x y y x z z xB x
第二章对流换热方程推导
2.2 y、z方向动量方程
v u x v v y v w v z x x y y y y z zy B y w u w x v w y w w z x x z y y z z z zB z
控制容积内的流体在 i 方向 － 单位时间内流入控制
动量随时间的变化率
容积的 i 方向动量
＋ 单位时间内流出控制 ＝ 作用于控制容积内流
容积的 i 方向动量
体在 i 方向力的总和
控制容积内的流体在 i 方向 ＋ 单位时间内净流出控
动量随时间的变化率
制容积的 i 方向动量
＝ 作用于控制容积内流 体在 i 方向力的总和
x, y, z方向的净流入能量
Q •Conv e c t ixoneu yev zew dxdydz
第二章对流换热方程推导
（2）能量的变化
•
E
•
E
edxdydz
内能
e
动能
磁场能
u2v2w2 eU
2
第二章对流换热方程推导
（3）净功量
•
W
• 表面应力做功 • 体积力做功
•
WSurface
• 重力 • 离心力 • 磁场力 • 电场力
体积力仅为重力时
Bx gx By g y Bz gz
第二章对流换热方程推导
（7）x方向的动量守恒方程
依据牛顿第二定律
u x u 2 y u v u z w x x x y y x z z x B x
＝
0
第二章对流换热方程推导
1.1 x方向净流出质量
第7章对流换热分析
ρ的“当地”变化率,
表示该控制体不发生 “对流”变化率,表示控制体发生运动
运动时ρ的变化率。
使其位置变化,引起的密度变化率。
4
二、动量方程
据动量守恒定律，作用于流体控制体积上的全部外力和应等于
该体积中流体动量变化率。
x方向的动量方程
全部外力在x方向上的分量之和
Du
D
u
u
u x
v
u y
w
u z
Fx
c p
DT
D
=-divq +Φ+
q'''
+ T Dp D
c p (h / T ) p
无内热源、常物性的流体, 若能忽略粘性耗散（Φ=0）以及
可压缩性的影响(β=0)时,能量方程可简化成
cp (DT / D ) 2T
8
四、熵方程
流体的粘性耗散使一部分功转换成热量，这些不可逆性将导致
系统的熵产
熵的扩散输运项 温度梯度导致热传导而造成的熵产
▲研究方法
★分析解法至今只能解决一些简单的对流换热问题； ★数值解法是一种很有前途的方法,但目前只能作预测估算； ★实验解法是研究对流换热问题最早的一种方法,目前仍是研究
对流换热的一种主要和可靠的方法,由此得到的实验关联式 仍是传热计算,尤其是工程上传热计算普遍使用的计算式。
3
§7-1 对流换热的基本方程组
对流输运项
摩擦等造成的熵产
Ds
D
div q T
(T )2
T2
T
q''' T
工质内热源引起 的熵增或熵减
q/T是扩散通量, 流体吸热，熵增加, 流体放热则熵减少
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1 引言
2 对流方程及算法介绍
2.1对流方程的概述
对流：是指由于流体的宏观运动，从而使流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程。
对流仅发生在流体中，对流的同时必伴随有导热现象。
人们研究对流扩散方程，主要的研究对象是流体在流动过程中，流体所携带的某种物质的物理量的变化规律，例如传热过程中温度的变化规律或者溶解于流体中溶质的物质浓度等物理量的变化规律。
这些变化通常包括对流、扩散以及由于某种物理或者化学的因素而引起的物理量的自身衰减或增长。
最简单的一维对流扩散方程形如(2-1)式: （2-1）
其中C 是常数，它属于双曲型方程，可以被用来描述流体的运动等物理现象。
2.2水对流现象的简易演示
2.2.1 基本步骤
用两只相同的小烧杯，各装上冷水，再如图1所示插入长短两根吸管，虹吸管由普通化学实验用玻璃管在酒精灯上加热弯成，一根查到被子底部，一根只插入水的表面，再在右杯中滴入几滴墨水并搅拌均匀，现在开始用酒精灯加热左边的烧杯，一段时间后就可以明显的看到染了颜色的水从右杯源源不断的流入左杯，左杯的水源源不断的流入右杯，最后两杯水都变成了墨水的颜色，与此同时用手摸右边的杯子，右边的水也热了起来，这就是冷热水发生了对流的缘故。
2.2.2 实验注意事项
短虹吸管只插入水的表面，不能过深。
玻璃管宜选壁较厚一些的，这样绝热性好一些，效果也好一些。
0=∂∂+∂∂x
u
C t u
2.2.3 实验原理分析
对左边的水杯用酒精灯加热，水受热密度变小开始上升，右边水杯的
冷水从下边的吸管流向左边的水杯进行补充，左边水杯的热水从上边的吸管流向右边的水杯，这样一会儿两杯水都变成墨水的颜色了[1]。
在冷水里面掺热水也是一样的道理，在不搅拌的情况下，最后水温基本都是一个温度，这就是水的对流，除了水的对流还有刮风是空气的对流，气压高的一方向气压低的一方补充空气，这就形成了对流，就会产生风；还有冬天在家里开空调，形成空气对流，最后整个房间的温度都升了起来。
2.3对流方程及其现有算法
1.针对常系数对流扩散方程，我们利用指数变换，
构造四阶紧致差分格式。
2.针对一维变系数对流扩散方程，将其转化为扩散方程，并构造四阶紧致差分格式。
3.对于常系数二维对流扩散方程，构造出四阶紧致差分方程，以及特殊的变系数
对流扩散方程的四阶紧致差分格式。
4.针对一维常系数对流扩散方程
和一维变系数对流扩散方程，分别构造了几种基于线性和双线性插值
的特征差分格式。
5.针对二维对流扩散方程
，构造了几种基于线性和双线性插值的特征差分格式。
2.3影响物理量ϕ的三个过程
用),,,(t z y x ϕϕ=来表示流体中单位体积的流体所携带的某种物理量，它可以是流体的质量或温度。
流体的温度可以用ϕ来表示，流体的密度ρ也可以用ϕ
),(22t x f x u
x u a t u +∂∂=∂∂+∂∂ε2
2),(x u
x u t x a t
u ∂∂=∂∂+∂∂εf y u
x u a y u q x u p t u =∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂)(2222)
,()()()(2222y x f y u
y q x u x p y u x u =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂22x u
x u v t u ∂∂=∂∂+∂∂ε)
,()()()(22t x f x x a x u x b x u x c u
=∂∂-∂∂+∂∂)
,())(,(),(),(),(222221y x f y u
x u y x a y u y x b x u y x b t u y x c =∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂
来表示。
于是物理量ϕ也可以写成乘积的形式:ρϕ。
为了研究物理ϕ的变化规律，任取一个有限区域D ，它的边界为S ，值得研究的是D 内ϕ的分布情况和变化过程。
对流、扩散和源项三个方面的物理变化过程构成了区域D 内ϕ的变化，现在对这三种变化过程分别进行讨论。
a.对流过程
对流的过程中，有限区域D 内ϕ的变化包括两个方面，一方面是由于流体的流动位置发生变化而引起的变化，另一种是ϕ随时间的变化而产生的变化。
在有限区域D 中，ϕ的积分量的变化可写成下面的随体导数.
(2-2)
式中是流体的速度在S 面上的法方向分量。
利用Green-Gauss 公式[2] 可以得到
(2-3)
b.扩散过程
湍流扩散和分子扩散是扩散过程最基本的构成。
在扩散作用下，物理量
ϕ由数值高的向数值低的方向转移。
根据Fick 定律可得，扩散速度q 即单位时间内通过单位面积的某种物理量ϕ，和物理量ϕ的关系为:
关系式中K 为扩散系数，它可以是其他物理量的函数，也可以是一个常数。
鉴于扩散过程的作用，有限区域D 中的ϕ增量为:
（2-4）
c.源汇
流场中物理量尹会因为源和汇的存在而发生变化。
流场中的
物理量ϕ可
能由于流体的流动位置的原因，使得ϕ的自身发生增长或衰减，并且用源或汇进行描述，记作Q ，Q 为分布函数，当Q>0时表示源，Q<0时表示汇，分别说明ϕ增
长或减少。
ϕ增长或减少的快慢通过Q 绝对值的大小得到反映，表示源汇的强度，在有限的区域D 内，由于源汇的作用，物理量ϕ的增加量为⎰⎰D
QdD 。
根据守恒性原理，物理量的变化满足下面的关系式
n u u n ⋅=ϕ∇-=K q dS u dD t dD dt d D
n D D ⎰⎰⎰⎰⎰+∂∂=ϕϕ
ϕdD u div dS u D
S
n ⎰⎰⎰=)(ϕϕdD u div t dD dt d D D ⎰⎰⎰⎰+∂∂=)]([ϕϕϕdD
K div dS nK nqdS S
S
D
⎰⎰⎰⎰∇=∇=-)(ϕϕ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∇=+∂∂D
D D
QdD dD K div dD u div t )()]([
ϕϕϕ
Q K div u div t
+∇=+∂∂)()(ϕϕϕ
由于D 是任意的，上面的守恒方程可以改写为
或
以上两个就是对流扩散方程。
求解时，对流扩散方程的初始条件是初始时刻t=o 时，给出ϕ的分布
)()0,(0j j x x ϕϕ=
参考文献：
[1]物理教学探讨 第24卷总第269期 2006年第6期 Vol.24 No.269 [2]《重庆文理学院学报(自然科学版)》 2007年05期 Green 公式及其证明
Q K div u div t
u
+∇=+∂∂)()(ϕϕ。