矩阵论--内积空间

第三讲 内积空间

[回顾] n

R 作为线性空间，运算：加法，数乘，数量积：刻画向量长度，夹角… 抽象出来….

a b •推广至线性空间？

()n V F 一， 欧氏空间和酉空间

1．内积定义：二元运算满足

(,):()()n n V F V F F ×→i i 对称性，线性性，正定性，则称是的一个内积。 (,)i i ()n V F 内积空间：[]

();(,)n V F αβF=R, []为欧氏空间,此时为实内积。

();(,)n V R αβF=C, []为酉空间，此时为复内积。

();(,)n V C αβ2．常见的欧氏空间

[R )= T ] ,

n T α[R ；(，βαβ)=]

, [R B)=tr A)]

m [R ×n T ；(A ，B)=tr (B

A)] [ [X] g(x) )==1

0()()f x g x dx ∫

[P ][X](f(x)n ；，g(x))Remark: 对于相同的线性空间，可以定义不同的内积，成为不同的内积空间。例[R n ；(α，β)= α T A β] ,A 正定。

3，常见的酉空间

记号：复矩阵A 的共轭转置矩阵记为()H T A A =，

)= H ] ,

[C n H α；(，βαβ)=]

, [C B)=tr

m [C ×n H ；(A ，B)=tr (B A)]

二， 内积空间数量关系

1． 向量长度α。单位向量定义。

=

|| || || ||

α||k ||=⏐⏐αk ||||；

Cauchy

（Cauchy 不等式）：∀ α ，β ∈ [V n (F )；(α，β)], | (α，β) | ≤ || α|| || β|| 。

|| || || || || ||

α（三角不等式）||＋β≤αβ||||||||||＋． 欧氏空间中，定义非零向量之间夹角

2之间夹欧氏空间中，定义非零向量角0,0αβ≠≠，夹角θ定义为：c o s θ=(,)arccos αβαβ⋅

α 和 β正交 ⇔（α，β）=0

正交向量组：

标准正交向量组：

[回顾]3R 中相互正交向量的个数3；且线性无关（构成基）

一般的n R 中？更加一般的中？

()n V F 定理：不含零向量的正交向量组是线性无关的。

[证明]

Remark: 中不含零向量的正交向量组至多含有n 个向量。

()n V F 3． 内积的计算

设{α1，α2，…,α n } 是内积空间V n (F )的基，∀α，β ∈V n (F )，则有 α=x 1α1＋x 2α2＋…＋x n αn = (α1α2…α n )X ；

β=y 1α1＋y 2α2＋…＋y n α n = (α1 α2…α n )Y

(α，β)=(,)i j i j

x y αα∑ =Y H A X

度量矩阵A

定义内积⇔在一个基{α1，α2，…，α n }中定义内积

⇔定义一个度量矩阵A

度量矩阵性质：Hermite阵（由内积对称性），正定（内积正定性）。A=I??

三．标准正交基

1，定义

2，标准正交基的求法：S c h m i d t正交化，标准化

计算过程的矩阵运算表示：

P18,例23

Remark: 正交补子空间。