导数的几何意义学案

1.1.3导数的几何意义(学案)
教学目标
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一． 复习：
1、 定义：函数y =f (x )在x=x 0处的瞬时变化率是
我们称它为函数y =f (x )在 处的导数,记作: 。

2、由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x 0处的导数的基本方法是:
3什么是导函数？
00000()()()lim
lim .
x x f x x f x y
f x x x ∆→∆→+∆-∆'==∆∆即：0000()()li .
m
lim x x f x x f x y
x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆00(1)()();y f x x f x ∆=+∆-求函数的增量00()()(2);
f x x f x y
x x
+∆-∆=∆∆求平均变化率00
(3)()lim
.x y
f x x
∆→∆'=∆取极限，得导数
4、函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系？ 二、创设情境
1、平均变化率、割线的斜率
2、瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 三．新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当
(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n
PP 的变化趋势是什么？
图3.1-2
我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的
问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？
容易知道，割线n PP 的斜率是 ,当点n P 沿着曲线无
限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即 .
说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ
的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.即：
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x 处的导数.
（二）导数的几何意义： 故曲线y=f(x)在点P(x 0 ,f(x 0))处的切线方程是： 。

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: （1） (2) (3)
问题：此处切线定义与以前学过的切线的定义有什么不同?
问题：直线
L与曲线有唯一的公共点，但不相切。

1
点处的切线
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
三．典例分析
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
练习：（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
（2）求函数f(x)=x
x=-附近的平均变化率，并求
-2在1
x+
出在该点处的导数．
例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
2
=-++，根据图像，请描
h x x x
() 4.9 6.510
述、比较曲线()
h t在0t、1t、2t附近的
变化情况．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()
=
c f t (单位：/
mg mL)随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8
t=时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．
四．课堂练习
1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；
2．求曲线
y (4,2)处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率；
2．导数的几何意义
3.求切线方程的步骤：
六．布置作业
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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