2018中考数学总复习 专题提升六 二次函数图象与性质的综合应用
2018中考数学真题复习 二次函数中考真题大题系列加详解(PDF版)
二次函数中考真题系列1．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4 过点B，C 两点，且与x 轴的一个交点为D（﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t 为何值时，∠PBE 和Rt △OCD 中的一个角相等？？（3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM∥BQ，交CQ 于点M，作PN∥CQ，交BQ 于点N，当四边形PMQN 为正方形时，求t 的值为．2．如图①，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC 的面积与△OBC 的面积相等，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．抛物线y=﹣x+3 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，连接BC．（1）如图1，求直线BC 的表达式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB 面积最大时，一动点Q 从点P 从出发，沿适当路径运动到y 轴上的某个点G 再沿适当路径运动到x 轴上的某个点H 处，最后到达线段BC 的中点F 处停止．求当△PCB 面积最大时，点P 的坐标及点Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长；（3）如图2，在（2）的条件下，当△PCB 面积最大时，把抛物线y=﹣x+3 向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线y'，在新抛物线y'上是否存在点E，使△ECB 的面积等于△PCB 的面积．若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，直线l：y=﹣x+1 与x 轴、y 轴分别交于点B、C，经过B、C 两点的抛物线y=x2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD∥x 轴交l 于点D，PE∥y 轴交l 于点E，求PD+PE 的最大值；（3）设F 为直线l 上的点，以A、B、P、F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．。
2018年中考数学专题复习过关集训 函数图象性质题 类型二 二次函数性质综合题真题回顾 新人教版
类型二 二次函数性质综合题1. 如图，已知经过原点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1.下列结论中：①ab ＞0；②a ＋b ＋c ＞0；③当－2＜x ＜0时，y ＜0.正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个第1题图2. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①ac >0；②a －b ＋c <0；③当x <0时，y <0；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个大于－1的实数根．其中，错误的结论是( )A. ②③B. ②④C. ①③D. ①④第2题图3. 如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y ＝x 24(x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B 作EF ∥x轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则S △OFBS △EAD的值为( ) A.26 B. 24 C. 14 D. 16第3题图答案1. D 【解析】逐个结论分析如下：综上所述，正确的结论有3个，故选D. 2. C 【解析】逐个结论分析如下： 综上所述，错误的结论为①③，故选C.3. D 【解析】设点A 的横坐标为a ，则A(a ，a 2)，B (a ，a 24)，C (0，a 2)，D (2a ，a 2)，∴OC＝a 2，AD ＝CD －AC ＝2a －a ＝a ，∵点E ，F ，B 的纵坐标相同，∴E (0，a 24)，F(a 2，a 24)，∴OE＝ a 24，BE ＝a ，EF ＝a 2，∴BF ＝BE －EF ＝a －a 2＝a 2，∴EC ＝OC －OE ＝a 2－a 24＝3a 24，∴S △OFBS △EAD＝12OE·BF 12EC·AD ＝12·a 24·a 212·3a 24·a ＝ 16.。
2018年中考数学 二次函数的图象和性质
火速出击第13讲二次函数的图象和性质【试试火力】1.（2017广西）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+1 2.（2017.江苏宿迁）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣1 3.（2017•乐山）已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．32B．C．32或D．−32或4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（）【把握火苗】火点1二次函数的概念一般地，形如① (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 火点2二次函数的图象和性质火点3二次函数的图象与字母系数的关系火点4确定二次函数的解析式【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.火点5二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系【掌握火候】1.二次函数y=(x-h)2+k 的图象平移时，主要看顶点坐标的变化，一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.2.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定.3.求二次函数图象与x 轴的交点的方法是令y=0解关于x 的方程；求函数图象与y 轴的交点的方法是令x=0得y 的值，最后把所得的数值写成坐标的形式. 【突破火点】燃点1 二次函数的图象和性质例1 (2017湖北咸宁)如图，直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （﹣1，p ），B （4，q ）两点，则关于x 的不等式mx+n ＞ax 2+bx+c 的解集是 x ＜﹣1或x ＞4 ．【考点】HC ：二次函数与不等式（组）．【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：当x ＜﹣1或x ＞4时，直线y=mx+n 在抛物线y=ax 2+bx+c 的上方，∴不等式mx+n ＞ax 2+bx+c 的解集为x ＜﹣1或x ＞4． 故答案为：x ＜﹣1或x ＞4．方法归纳：解答此类题首先将点坐标代入函数解析式，确定二次函数的各项系数.然后根据二次函数解析式、图象、性质的相互关系解题.燃点2 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例2二次函数的图象与字母系数的关系例2 （2017四川南充）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．4ac＜b2 B．abc＜0 C．b+c＞3a D．a＜b【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：（A）由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故A正确；∵抛物线开口向上，∴a＜0，∵抛物线与y轴的负半轴，∴c＜0，∵抛物线对称轴为x=﹣＜0，∴b＜0，∴abc＜0，故B正确；∵当x=1时，y=a+b+c＞0，∵4a＜0∴a+b+c＞4a，∴b+c＞3a，故C正确；∵当x=﹣1时y=a﹣b+c＞0，∴a﹣b+c＞c，∴a﹣b＞0，∴a＞b，故D错误；故选（D）方法归纳：解答二次函数信息问题时，通常先抓住抛物线对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系特征来求解.燃点3 确定二次函数的解析式例3（2017江苏盐城）如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+4．故选D．方法归纳：(1)待定系数法是求函数解析式的常用方法；(2)两函数图象的交点往往是不等关系的界点.【冰火不容】1.（2017江苏徐州）若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜12.（2017广西百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是y=﹣x2+x+3 ．3.（2017日照）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤4.（2017贵州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5. （2017山东泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6.（2017山东临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47. （2017浙江义乌）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y=x2+8x+14 B．y=x2﹣8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2﹣4x+38.（2017湖南株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①02＞﹣1；以上结论中正确＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2结论的序号为①④．9. （2017湖北荆州）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k 为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．10. （2017湖北江汉）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0有实数根．（1）求m的值；（2）先作y=x2﹣（m+1）x+（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．【展示火情】【试试火力】1.（2017广西）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+1 【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】根据平移规律，可得答案．【解答】解：由图象，得y=2x2﹣2，由平移规律，得y=2（x﹣1）2+1，故选：C．2.（2017.江苏宿迁）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣1 【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】由抛物线平移不改变y的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．【解答】解：将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y=（x﹣2）2+1．故选B．3.（2017•乐山）已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．32B．2C．32或2D．−32或2【考点】H7：二次函数的最值．【分析】将二次函数配方成顶点式，分m＜﹣1、m＞2和﹣1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为﹣2，结合二次函数的性质求解可得．【解答】解：y=x2﹣2mx=（x﹣m）2﹣m2，①若m＜﹣1，当x=﹣1时，y=1+2m=﹣2，；解得：m=﹣32②若m＞2，当x=2时，y=4﹣4m=﹣2，＜2（舍）；解得：m=32③若﹣1≤m≤2，当x=m时，y=﹣m2=﹣2，解得：m=2或m=﹣2＜﹣1（舍），或2，∴m的值为﹣32故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】①由抛物线开口向上可得出a＞0，结论①正确；②由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得出c＜0，结论②错误；③由抛物线与x轴有两个交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④由抛物线的对称轴在y轴右侧，可得出﹣＞0，结论④错误．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，结论①正确；②∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c ＜0，结论②错误； ③∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴△=b 2﹣4ac ＞0，结论③正确； ④∵抛物线的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣＞0，结论④错误．故选C ． 【把握火苗】①y=ax 2+bx+c ②上 ③下 ④减小 ⑤增大 ⑥增大 ⑦减小 ⑧上 ⑨下 ⑩小⑪y ⑫左 ⑬右 ⑭原点 ⑮正 ⑯负 ○17唯一 ○18两个不同 ○19没有 ○20a+b+c ○21a-b+c ○22＞ ○23＜ ○24y=ax 2+bx+c ○25y=a(x-h)2+k ○26y=a(x-x 1)(x-x 2) ○27x ○28横 ○29＞ ○30＜ 【冰火不容】1. （2017江苏徐州）若函数y=x 2﹣2x+b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是（ ） A ．b ＜1且b ≠0B ．b ＞1C ．0＜b ＜1D ．b ＜1【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点．【分析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x 轴有2个交点，与y 轴有一个交点．【解答】解：∵函数y=x 2﹣2x+b 的图象与坐标轴有三个交点， ∴，解得b ＜1且b ≠0． 故选：A ．2.（2017广西百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是y=﹣x2+x+3 ．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3，故答案为y=﹣x2+x+3．3.（2017日照）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=﹣4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=5时y ＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，∴﹣=2，c=0，∴b=﹣4a，c=0，∴4a+b+c=0，结论②正确；③∵当x=﹣1和x=5时，y值相同，且均为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故选C．4.（2017贵州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】①利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；②由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线对称轴位置确定b＞0，由抛物线与y 轴交点位置得到c＞0，则可作判断；③利用x=﹣1时a﹣b+c＜0，然后把b=2a代入可判断；④利用抛物线的对称性得到x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，则可进行判断．【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以①错误；②∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a、b同号，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以②正确；③∵x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，所以④正确．所以本题正确的有：②③④，三个，故选C．5. （2017山东泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H3：二次函数的性质．【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x==，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x 的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=﹣1时，y=﹣3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．【解答】解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值，∴抛物线的开口向下，故①正确，其图象的对称轴是直线x=，故②错误，当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，方程ax2+bx+c=0的一个根大于﹣1，小于0，则方程的另一个根大于=3，小于3+1=4，故④错误，故选B．6.（2017山东临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．∴正确的有②③，故选B．【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．7. （2017浙江义乌）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y=x2+8x+14 B．y=x2﹣8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2﹣4x+3【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】先由对称计算出C点的坐标，再根据平移规律求出新抛物线的解析式即可解题．【解答】解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，∴矩形ABCD关于坐标原点对称，∵A点C点是对角线上的两个点，∴A点、C点关于坐标原点对称，∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；∴抛物线由A点平移至C点，向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；∵抛物线经过A点时，函数表达式为y=x2，∴抛物线经过C点时，函数表达式为y=（x+4）2﹣2=x2+8x+14，故选A．8.（2017湖南株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0 1，0）与点C（x2＞﹣1；以上结论中正确＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2结论的序号为①④．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），可得c=﹣2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），可得a﹣b﹣2=0，依此判断①②；由|a|=|b|=2，比较大小即可判断④；可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，可得x2从而求解．【解答】解：由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，∵开口向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴﹣＞0，∴a﹣2＜0，∴a＜2；∴0＜a＜2；∴①正确；∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），∴c=﹣2，故③错误；∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②错误；∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，∴x2=2＞﹣1，故④正确．故答案为：①④．9. （2017湖北荆州）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k 为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；H3：二次函数的性质．【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；（2）由于二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．【解答】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）解：∵二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1•x2=1﹣k＞0，解得k＜1，即k的取值范围是k＜1；（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1•x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1•x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．10. （2017湖北江汉）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0有实数根．（1）求m的值；（2）先作y=x2﹣（m+1）x+（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；AA：根的判别式；H6：二次函数图象与几何变换；H7：二次函数的最值．【分析】（1）由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可；（2）画出翻折．平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；（3）首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）对于一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0，△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，∵方程有实数根，∴﹣（m﹣1）2≥0，∴m=1．（2）由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，图象如图所示：平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．（3）由消去y得到x2+6x+n+2=0，由题意△≥0，∴36﹣4n﹣8≥0，∴n≤7，∵n≤m，m=1，∴1≤n≤7，令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4，∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4，n=7时，y′的值最大，最大值为21，∴n2﹣4n的最大值为21，最小值为﹣4．。
【数学课件】2018年中考数学3.5二次函数的图象与性质复习课件随堂演练
考点一 二次函数的图象与性质 命题角度❶
(5年2考)
二次函数的图象与性质
【分析】Βιβλιοθήκη 结合二次函数的图象，利用二次函数的性质
对每个选项进行判断即可．
命题角度❷
二次函数的图象与字母系数的关系
(2017·保定模拟)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与x轴的交点的横坐标分别为－1，3，则下列结
顶点坐标是(h，k)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是二次函 数与x轴的交点的横坐标，a≠0.
知识点二 二次函数的图象与性质 1．二次函数的图象与性质
2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系
知识点三 抛物线的平移 1．将抛物线解析式化成顶点式y＝a(x－h)2＋k， 顶点坐标为(h，k)．
)
7．若抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－2，0)，B(4，0)两点， 则这条抛物线的解析式为 ____________ ． y＝x2－2x－8
考点三 二次函数与方程、不等式的关系
(5年0考)
(2017·青岛)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点， 则m的取值范围是 ．
【分析】
利用根的判别式Δ ＜0列不等式求解即可．
3．(2017·烟台)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象 如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论： ①ab<0；②b2>4ac；③a＋b＋2c<0；④3a＋c<0.
其中正确的是(
A．①④ C．①②③
)
C B．②④ D．①②③④
√
考点二 确定二次函数的解析式
(5年3考)
一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过 另一点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为( )
2018届中考数学复习课件：第13课时 二次函数的图象和性质(二)(共40张PPT)
故选A.
第13课时 二次函数的图象和性质(二)
考点演练
考点一 二次函数的各项系数与图像之间的关系
例2 (2016·兰州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， 对称轴是直线x＝－1.有下列结论：① abc>0；② 4ac<b2； ③ 2a＋b＝0；④ a－b＋c>2.其中正确结论的个数是( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第13课时 二次函数的图象和性质(二)
考点演练
考点一 二次函数的各项系数与图像之间的关系
思路点拨
先根据抛物线在平面直角坐标系中的位置，确定a、b、c的符号， 再结合对称轴、特殊点、抛物线与x轴交点的情况，可以逐项判 断所给结论是否正确 .
第13课时 二次函数的图象和性质(二)
考点演练
考点一 二次函数的各项系数与图像之间的关系
解：根据抛物线的开口向下可知a<0； 根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a、b同号，则b<0； 根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>0.
① ∵ a<0，b<0，c>0，∴ abc>0正确． ② ∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴ b2－4ac>0.∴ 4ac<b2正确．
③ ∵ 抛物线的对称轴是直线x＝－1，∴ －b ＝－1.∴ 2a－b＝0.∴
∴ 抛物线在x轴的上方或抛物线的顶点在x轴的下方且经过第 一、二、四象限．
当抛物线在x轴的上方时，∵ 二次项系数a＝1，∴ 抛物线开
口方向向上． ∴ b2－1≥0，Δ＝[－2(b－2)]2－4(b2－1)≤0，解得b≥
5
.
4
第13课时 二次函数的图象和性质(二)
考点演练
考点一 二次函数的各项系数与图像之间的关系
2018-2019学年中考数学专题复习 二次函数与不等式(组)的综合应用(含解析)
二次函数与不等式（组）的综合应用一、单选题1.已知二次函数y1=ax2+bx+c （a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是（）A. x＜﹣2B. ﹣2＜x＜8 C. x＞8 D. x＜﹣2 或x＞8 2.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）A. x＞1B. x ＜-1C. 0＜x＜1 D. -1＜x＜03.若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（）A. x＜﹣4或x＞2B. ﹣4≤x≤2 C. x≤﹣4或x≥2 D. ﹣4＜x＜24.已知函数y=-x2+x+2，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A. x＜-1或x＞2B. -1＜x＜2 C. x＜-2或x＞1 D. -2＜x＜15.如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（）A. x>1B.x<1 C.0<x<1 D.-1<x<06.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是2，则关于x的不等式 -+ x2+1>0的解集是 ( )A. x>2B. x<0 或x>2C. 0<x<2D. －2<x<07.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A. y=60（300+20x）B. y=（60﹣x）（300+20x）C. y=300（60﹣20x）D. y=（60﹣x）（300﹣20x）8.函数中，当时，函数值的取值范围是（）A. B.C.D.9.二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）．A. －1＜x＜3B. x＜－1 C. x＞3 D. x＜－1或x＞310.抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，与x轴交于点（1，0），若y＜0，则x的取值范围是（）A. x＞0B. x＞1 C. x＜﹣3或x＞1 D. ﹣3＜x＜111.方程x2﹣+1=﹣4x的正数根的取值范围是（）A. 0＜x＜1B. 1＜x ＜2C. 2＜x＜3 D. 3＜x＜412.二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A. x＜﹣1B. x＞2 C. ﹣1＜x＜2 D. x＜﹣1或x＞2二、填空题13.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y=kx+m的图象相交于A（﹣2，1）、B（3，6）两点，则能使关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+m成立的x的取值范围是________．14.如图，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x在同一直角坐标系中．当y1＞y2时，x的取值范围是________．15.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是________．16.如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为﹣4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是________．17.如图．已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），根据图象能使y1＞y2成立的x取值范围是________．18.根据下列要求，解答相关问题．请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为________；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．19.二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b的图象如图所示，当y2＞y1时，根据图象写出x的取值范围________．三、解答题20.春节期间，物价局规定花生油的最低价格为4.1元/kg，最高价格为4.5元/kg，小王按4.1元/kg购入，若原价出售，则每天平均可卖出200kg，若价格每上涨0.1元，则每天少卖出20kg，若油价定为X元，每天获利W元，求W与X满足怎样的关系式？21.如图，抛物线y1=x2+mx+n与直线y2=x﹣1交于点A（a，﹣2）和B（b，2）．（1）求a，b的值；（2）观察图象，直接写出当y1＜y2时x的取值范围．四、综合题22.阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2= 交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．观察图像可知：①当x=﹣3或1时，y1=y2；②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图像，可以得到不等式ax+b＞的解集．有这样一个问题：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（1）、（2）、（3）补充完整：（1）①将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立；当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞；当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜；②构造函数，画出图像设y3=x2+4x﹣1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像．双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1；（不用列表）（2）确定两个函数图像公共点的横坐标观察所画两个函数的图像，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为________（3）借助图像，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图像可知：不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为________23.如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2与直线y2=2x+2交于A、B两点（1）求线段AB的长度；（2）结合图象，请直接写出﹣2x2+2＞2x+2的解集．答案解析部分一、单选题1.已知二次函数y1=ax2+bx+c （a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是（）A. x＜﹣2B. ﹣2＜x＜8 C. x＞8 D. x＜﹣2 或x＞8 【答案】D【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【解答】解：∵A（﹣2，4）、B（8，2），∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x ＜﹣2或x＞8．故选D．【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．2.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）A. x＞1B. x ＜-1C. 0＜x＜1 D. -1＜x＜0【答案】D【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【解答】∵抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，∴x=1时，=x2+1，再结合图象当0＜x＜1时，＞x2+1，∴-1＜x＜0时，||＞x2+1，∴+x2+1＜0，∴关于x的不等式+x2+1＜0的解集是-1＜x＜0．故选：D．【分析】根据图形双曲线y= k x 与抛物线y=x2+1的交点A的横坐标是1，即可得出关于x 的不等式 k x +x2+1＜0的解集．本题主要考查了二次函数与不等式．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解双曲线与二次函数的解析式．3.若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（）A. x＜﹣4或x＞2B. ﹣4≤x≤2 C. x≤﹣4或x≥2 D. ﹣4＜x＜2【答案】D【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2．故选D．【分析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y＞0成立的x的取值范围即可．4.已知函数y=-x2+x+2，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A. x＜-1或x＞2B. -1＜x＜2 C. x＜-2或x＞1 D. -2＜x＜1【答案】A【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【分析】先求出函数的图象与x轴的交点坐标，再根据函数的图象开口向下，即可得出当y＜0时自变量x的取值范围．【解答】当y=0时，-x2+x+2=0，（x+1)（-x+2)=0，x1=-1，x2=2，由于函数开口向下，可知当y＜0时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞2．故选A【点评】此题考查了二次函数与不等式，用到的知识点是抛物线与x轴的交点及二次函数图象的性质，根据抛物线与x轴的交点坐标及二次函数的图象求出不等式的解集是解题的关键．5.如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（）A. x>1B.x<1 C. 0<x<1 D. -1<x<0【答案】C【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【分析】由得，，∵点A的横坐标为1，∴不等式的解集为：6.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是2，则关于x的不等式 -+ x2+1>0的解集是 ( )A. x>2B. x<0 或x>2C. 0<x<2D. －2<x<0【答案】B【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【解答】∵-+x2+1＞0，∴x2+1＞，∵抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是2，结合图象可得：当x＜0 或x＞2时，x2+1＞，即关于x的不等式-+x2+1＞0的解集是：x＜0 或x＞2．故选B．【分析】由- k x +x2+1＞0，即可得x2+1＞ k x ，又由抛物线y=x2+1与双曲线y= k x 的交点A的横坐标是2，观察图象可得当x＜0 或x＞2时，x2+1＞ k x ，继而求得关于x的不等式- k x +x2+1＞0的解集．此题考查了二次函数与不等式的关系．此题难度适中，注意掌握图象与不等式的关系是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．7.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A. y=60（300+20x）B. y=（60﹣x）（300+20x）C. y=300（60﹣20x）D. y=（60﹣x）（300﹣20x）【答案】B【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y=（60﹣x）（300+20x），故选：B．【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．8.函数中，当时，函数值的取值范围是（）A. B.C.D.【答案】A【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用【解析】【解答】∵函数y=x ²−2x-3中，a=1>0，∴此抛物线开口向上，∵此函数可化为：y=(x−1) ²-4，∴其顶点坐标为：(1，-4)，∴当x=1时此函数取得最小值y=-4；当x=-2时此函数取得最大值y=5，∴函数y的取值范围为：-4⩽y⩽5.故答案为：A.【分析】先根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，且对称轴是x=1，当x=1时此函数取得最小值y=-4，当x=-2时此函数取得最大值y=5，即可求出y的取值范围。
2018年中考数学 第二轮专题总复习 二次函数与几何图形综合题
数式表示出三角形的底和高；(3)用含未知数t的代数式表示出图形的面积；
(4)用二次函数的知识来求最大值或最小值．
12 3 【例 3】(2017· 新疆)如图，抛物线 y＝－2x ＋2x＋2 与 x 轴交于点 A，B， 与 y 轴交于点 C.
(1)试求A，B，C的坐标； (2)将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD. ①求点D的坐标； ②判断四边形ADBC的形状，并说明理由； (3)在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请 直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：如图，过点 Q 作 QG∥y 轴交 BD 于点 G，交 x 轴于点 E， 作 QH⊥BD 于点 H.设 Q(x，－x2＋2x＋3)，则 G(x，－x＋3)， ∴QG＝|－x2＋2x＋3－(－x＋3)|＝|－x2＋3x|. ∵△BOD 是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°. ∴∠HGQ＝∠BGE＝45°.
【思路引导】(1)利用待定系数法即可解决问题．(2)利用方程组首先求出点D 坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，从而求出点P的坐标即可．
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过点B(3，0)， ∴0＝－9＋3m＋3，解得m＝2.
7 y＝－x ＋2x＋3， x ＝0，x2＝ ， 2 1 (2)由 得 3 9 y1＝3， y ＝－ x ＋ 3 ， 2 y2＝－4，
当△BDQ 中 BD 边上的高为 2 2时，即 QH＝HG＝2 2， ∴QG＝ 2×2 2＝4.∴|－x2＋3x|＝4，当－x2＋3x＝4 时， Δ＝9－16＜0，方程无实数根；当－x2＋3x＝－4 时， 解得 x＝－1 或 x＝4，∴点 Q 坐标为(－1，0)或(4，－5)． 综上可知，存在满足条件的点 Q，其坐标为(－1，0)或(4，－5)．
2018年全国中考数学真题分类 二次函数概念、性质和图象解析版(精品文档)
2018年全国中考数学真题分类 二次函数概念、性质和图象（一）一、选择题1.（2018山东滨州，10，3分）如图，若二次函数（a ≠0）图象的对称轴为x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （－1，0）则①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a －b ＋c ＜0；③b ²－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第10题图【答案】B【解析】由图像可知，当x ＝1时，函数值取到最大值，最大值为：a ＋b ＋c ,故①正确；因为抛物线经过点B （－1,0），所以当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0,故②错误；因为该函数图象与x 轴有两个交点A 、B ，所以b ²－4ac ＞0，故③错误；因为点A 与点B 关于直线x ＝1对称，所以A (3，0)，根据图像可知，当y ＞0时，－1＜x ＜3，故④正确；故选B ． 【知识点】数形结合、二次函数的图像和性质2. （2018四川泸州，10题，3分）已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A.1或2- B.2-或2 C.2 D.1【答案】D【解析】原函数可化为y=a(x+1)2+3a 2-a+3，对称轴为x=-1，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，所以a>0，抛物线开口向上，因为21x -≤≤时，y 的最大值为9，结合对称轴及增减性可得，当x=12y ax bx c =++xy -1BOCAx =1时，y=9，带入可得，a 1=1，a 2=-2，又因为a>0，所以a=1 【知识点】二次函数，增减性3. （2018甘肃白银，10，3）如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0)a ≠图像的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x =1，对于下列说法：①0ab <，②20a b +=，③30a c +>，④()(a b m am b m +≥+为常数），⑤当13-<x <时，0y >，其中正确的是（ ）A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【答案】A【思路分析】由抛物线的图像结合对称轴、与x 轴的交点逐一判断即可。
2018中考数学,二次函数性质综合题
第二部分 题型研究题型二 二次函数性质综合题 类型二 二次项系数不确定型针对演练1. (2013杭州)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A 、B (点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x的取值范围．2. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B . (1)求点A ，B 的坐标；(2)若抛物线在－2≤x ≤3的区间上的最小值为－3，求m 的值；(3)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．第2题图3. 已知二次函数y ＝kx 2＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2.(1)若二次函数图象经过直线y ＝x －1与x 轴的交点，求此时抛物线的解析式；(2)点A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数图象上的两个点，若满足x 1＋x 2＝－3，试比较y 1和y 2的大小关系．4. (2012杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．考向2) 函数类型不确定型(杭州：，，针对演练1. (2012杭州)当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．2. (2015杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．第2题图3. (2011杭州)设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对任意负．实数k ，当x ＜m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．4. 已知函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2(k 为常数)．(1)求证：不论k 为何值，该函数的图象与x 轴总有交点；(2)当k 为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x 轴的另一个交点； (3)试问该函数是否存在最小值－3若存在，求出此时的k 值；若不存在，请说明理由． 5. 已知关于x 的函数y ＝kx 2＋(2k －1)x －2(k 为常数)． (1) 试说明：无论k 取什么值，此函数图象一定经过(－2，0)； (2) 在x >0时，若要使y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；(3) 若该函数图象为抛物线，将其向上平移2个单位后，平移前后图象、对称轴和y 轴围成的图形面积为4，求此时k 的值．6. 关于x 的函数y ＝2kx 2＋(1－k )x －1－k (k 是实数)，探索发现了以下四条结论： ①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点； ②当k ＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)；③当k>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；④当k ≠0时，函数图象总经过两个定点． 请你判断四条结论的真假，并说明理由．答案1. 解：∵点C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8，①当n ＝8时，一次函数为y 2＝43x ＋8，当y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A (－6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，∴这时抛物线开口向下，B (10，0)； 如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2；第1题解图①②当n ＝－8时，一次函数为y 2＝43x －8，当y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为(6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，∴这时抛物线开口向上，B (－10，0)，如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≤－2；第1题解图②综合以上两种情况可得：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2或x ≤－2. 2. 解：(1)当x ＝0时，y ＝－2， ∴A (0，－2)，∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m2m＝1， ∴B (1，0)；(2)易知抛物线y ＝mx 2－2mx －2的对称轴为x ＝1，当m ＞0时，抛物线开口向上，∵－2≤x ≤3，∴y 最小值在x ＝1处取得，y 最小值＝－m －2， ∴－m －2＝－3，∴m ＝1， 当m ＜0时，抛物线开口向下，y 最小值在x ＝－2处取得，即8m －2＝－3，∴m ＝－18.故m 的值为1或－18.(3)易得A 点关于对称轴直线x ＝1的对称点A ′(2，－2)， 则直线l 经过A′、B ，设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－2k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝2，∴直线l 的解析式为y ＝－2x ＋2； ∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线在2＜x ＜3这一段与在－1＜x ＜0这一段关于对称轴对称，则抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在－1＜x ＜0这一段位于直线l 的下方， ∴抛物线与直线l 的交点的横坐标为－1， 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋2＝4， ∴抛物线过点(－1，4)， 当x ＝－1时，m ＋2m －2＝4， 解得m ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2－4x －2.3. 解：(1)∵直线y ＝x －1与x 轴的交点为(1，0)，y ＝kx 2＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2经过点(1，0)， ∴0＝k ＋3k ＋2＋2k ＋2，∴6k ＋4＝0，即k ＝－23.∴抛物线的解析式为y ＝－23x 2＋23.(2)∵点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是二次函数图象上两个点， ∴y 1＝kx 21＋(3k ＋2)x 1＋2k ＋2，y 2＝kx 22＋(3k ＋2)x 2＋2k ＋2，两式相减，得y 1－y 2＝[kx 21＋(3k ＋2)x 1＋2k ＋2]－[kx 22＋(3k ＋2)x 2＋2k ＋2] ＝k (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(3k ＋2)(x 1－x 2) ＝－3k (x 1－x 2)＋(3k ＋2)(x 1－x 2) ＝2(x 1－x 2)， 当x 1＞x 2时，y 1＞y 2； 当x 1＝x 2时，y 1＝y 2； 当x 1＜x 2时，y 1＜y 2；4. 解：(1)∵点A (1，k )在反比例函数图象上，∴设反比例函数为y ＝k x，∵k ＝－2，∴y ＝－2x；(2)要使得反比例函数是y 随着x 的增大而增大， ∴k <0.而对于二次函数y ＝kx 2＋kx －k ，其对称轴为x ＝－12，要使二次函数满足上述条件，在k <0的情况下， 则x 必须在对称轴的左边，即x <－12时，才能使得y 随着x 的增大而增大；综上所述，则k <0，且x<－12时，反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大；(3)由(2)可得Q (－12，－54k )；第4题解图∵A 点与B 点关于原点对称， ∴原点O 平分AB .又∵直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半， ∴OQ ＝OA ＝OB .作AD ⊥OC ，QC ⊥OC ，OQ ＝CQ 2＋OC 2＝2516k 2＋14. 而OA ＝AD 2＋OD 2＝1＋k 2，∴14＋2516k 2＝1＋k 2， 则k ＝233或k ＝－233.考向2 函数类型不确定型针对演练1. 解： k 只有取－1时，才有最大值，当k ＝1，函数为y ＝－4x ＋4，是一次函数，一次函数无最值，当k ＝2，函数为y ＝x 2－4x ＋3，为二次函数，而此函数开口向上，则无最大值；当k ＝－1，函数为y ＝－2x 2－4x ＋6，为二次函数，此函数开口向下，有最大值，变形为y ＝－2(x ＋1)2＋8，则当x ＝－1时，y max ＝8.2. 解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，则此函数为二次函数，它的图象与x 轴交于点(1，0)、(－3，0)，与y 轴的交点为(0，3)，顶点为(－1，4)， 利用描点法所画函数的图象如解图：第2题解图(2)①图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；②图象总交x轴于点(1，0)；③k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；(答案不唯一，写出一条即可)(3)k＝2时，函数y2＝(x－1)2，此函数图象的顶点坐标为(1，0)，向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3图象的顶点坐标为(－3，－2)，则y3＝(x＋3)2－2，∴当x＝－3时，函数的最小值等于－2.3. 解：(1)如两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，画出函数图象如解图，第3题解图(2)不论k取何值，函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)，且与x轴至少有1个交点.证明如下：由y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得k(x2＋2x)＋(x－y＋1)＝0.当x2＋2x＝0且x－y＋1＝0，即x＝0，y＝1或x＝－2，y＝－1时，上式对任意实数k都成立，所以函数的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)．又因为当k＝0时，函数y＝x＋1的图象与x轴有一个交点；当k≠0时，∵Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，所以函数图象与x轴有两个交点．所以函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象与x轴至少有1个交点.(3)只要写出m≤－1的数都可以.∵k <0，∴函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象在对称轴x ＝－2k ＋12k的左侧时，y 随x 的增大而增大. 4. (1)证明：若k ＝1时，函数为一次函数，与x 轴有交点， 若k≠1时，函数为二次函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2 Δ＝1－4(k －1)(2－k )＝(2k －3)2≥0，∴不论k 为何值，该函数的图象与x 轴总有交点； (2)解：∵函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2过原点， ∴－k ＋2＝0， ∴k ＝2， ∴y ＝x 2＋x ， 令y ＝x 2＋x ＝0， 解得x ＝0或x ＝－1，∴函数图象与x 轴的另一个交点为(－1，0)；(3)解：①k －1＝0即k ＝1时，函数y ＝x ＋1为一次函数，无最小值．②当k －1＞0即k ＞1时函数有最小值，且最小值在函数顶点处取得．即4（k －1）（2－k ）－14（k －1）＝－3，解得k ＝3±152，均符合题意． 故此时k 的值为3±152. 5. 解：(1)将x ＝－2代入，得y ＝k (－2)2＋(2k －1)·(－2)－2＝0， 故不论k 取何值，此函数图象一定经过点(－2，0). (2)①若k ＝0，此函数为一次函数y ＝－x －2， 当x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴k ＝0符合题意．②若k ≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过(－2，0)、(0，－2)，∴要使当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，开口向下，需满足k ＜0即可． 综上，k 的取值范围是k ≤0.(3)由题意可知2×|2k －1－2k|＝4. 解得k ＝－12或k ＝16.故此时k 的值为－12或16.第5题解图6. 解：①假命题；理由：当k ＝0时，y ＝x －1为一次函数， 与坐标轴只有两个交点； ②真命题；理由：当k ＝－3时，y ＝－6x 2＋4x ＋2＝－6(x －13)2＋83，∴顶点坐标是(13，83)；③真命题；理由：当k >0时，令y ＝0得：Δ＝(1－k )2－4×2k (－1－k )＝(3k ＋1)2，∴x ＝k －1±（3k ＋1）4k，∴x 1＝1，x 2＝－12－12k，∵|x 1－x 2|＝32＋12k >32，∴函数图象截x 轴所得的线段长度大于32； ④真命题；理由：当k ≠0时，y ＝2kx 2＋(1－k)x －1－k ＝(2x 2－x －1)k ＋x －1， 当2x 2－x －1＝0时，y 的值与k 无关，此时x 1＝1，x 2＝－12； 当x 1＝1时，y 1＝0；当x 2＝－12时，y 2＝－32， ∴函数图象总经过两个定点(1，0)，(－12，－32)．。
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二次函数图象与性质的综合应用
(第1题图)
1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，下列结论：
①二次三项式ax 2＋bx ＋c 的最大值为4；
②4a ＋2b ＋c ＜0；
③一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根之和为－1；
④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0.
其中正确的个数有(B )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
(第2题图)
2．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，
且OA ＝OC .则下列结论：
①abc <0；②b 2－4ac 4a >0；③ac －b ＋1＝0；④OA ·OB ＝－c a
. 其中正确结论的个数是(B )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
3．对于抛物线y ＝－12
(x ＋1)2＋3，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为(C )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
(第4题图)
4．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在此函数图象上，
且x 1<x 2<1，则y 1与y 2的大小关系是(B )
A. y 1 ≤y 2
B. y 1 ＜y 2
C. y 1 ≥y 2
D. y 1 ＞y 2
5．已知A (－2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，
y 3的大小关系为(A )
A. y 1>y 2>y 3
B. y 1>y 3>y 2
C. y 3>y 2>y 1
D. y 3>y 1>y 2
6．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152
，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是(A )
A. y 1＞y 2＞y 3
B. y 1＜y 2＜y 3
C. y 2＞y 3＞y 1
D. y 2＜y 3＜y 1
(第7题图)
7．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，图象经过点(3，
0)，下列结论中，正确的一项是(D )
A. abc ＜0
B. 2a ＋b ＜0
C. a －b ＋c ＜0
D. 4ac －b 2＜0
(第8题图)
8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c
－m ＝0没有实数根，有下列结论：①b 2－4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2.其中，正确结论的个
数是(D )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
9．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (－1，0)．
(1)求抛物线的表达式．
(2)求抛物线的顶点坐标．
解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (－1，0)，
∴抛物线的表达式为y ＝－(x －3)(x ＋1)，
即y ＝－x 2＋2x ＋3.
(2)∵抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．
10．已知关于x的一元二次方程：x2－(m－3)x－m＝0.
(1)试判断原方程根的情况．
(2)若抛物线y＝x2－(m－3)x－m与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
(友情提示：AB＝|x1－x2|)
解：(1)Δ＝[－(m－3)]2－4(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8，
∵(m－1)2≥0，
∴Δ＝(m－1)2＋8＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
(2)存在．
由题意知x1，x2是原方程的两根，
∴x1＋x2＝m－3，x1·x2＝－m.
∵AB＝|x1－x2|，
∴AB2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝(m－3)2－4(－m)＝(m－1)2＋8，
∴当m＝1时，AB2有最小值8，
∴AB有最小值，即最小值AB＝8＝2 2.
11．根据下列要求，解答相关问题：
(1)请补全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的过程：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y＝－2x2－4x；并在下面的坐标系中(见图①)画出二次函数y＝－2x2－4x的图象(只画出图象即可)；
②求得界点，标示所需：当y＝0时，求得方程－2x2－4x＝0的解为x1＝0，x2＝－2；并用粗线标示出函数y＝－2x2－4x图象中y≥0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式－2x2－4x≥0的解集为－2≤x≤0．
(2)利用(1)中求不等式解集的步骤，求不等式x2－2x＋1＜4的解集：
①构造函数，画出图象；
②求得界点，标示所需；
③借助图象，写出解集．
(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集．
(第11题图)
解：(1)y＝－2x2－4x＝－2x(x＋2)，则该抛物线与x轴交点的坐标分别是(0，0)，(0，－。