二倍角的正弦、余弦、正切公式【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品系列PPT
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数学人教A版必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
4
22
又因为sin 2 5 , 13
注意 2 的范围
所以cos 2 1 sin2 2 1 ( 5 )2 12 . 13 13
tan 4 sin 4 ( 120) 169 120 . cos 4 169 119 119
练习：课本135页 5(1)(3)
例2 (1) sin15cos15
44 . 117
2
练习：课本223页 3
解：∵sin 2 sin ,sin 2 sin 0,
即：2sin cos sin 0,
∵ ( , ),sin 0,2 cos 1 0,
2
cos 1 , 2 ,
2
3
tan tan 2 3
3
练习：课本223页 4
解：∵tan 2
tan 22.5 （3）1 tan2 22.5 ；
（2）cos2 π sin2 π ；
8
8
（4）2cos2 22.5°－1．
(1).原式=
1 2
sin30°=
1 4
(3).原式=
1 2
tan45°=
1 2
(2).原式=cos
π 4
=
2
2
(4).原式= cos45°=
2
2
3. 2 sin2 2 cos 4的值是( )
变形公式
升幂公式：1＋cos 2 1 cos 2
2 cos2 2sin 2
降幂公式：scions22＝＝11－＋cco2o2ss22
例1. 已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
分析：先求 cos2的值，再利用公式求值.
解：由 , 得 2 .
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课时)-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
探究新知 探究1：二倍角的正弦、余弦和正切公式的立德推树导人 和谐发展
sin( )s inc o s c o ss in
sin22sincos
c o s ( ) c o sc o s s ins in
cos2cos2sin2
tan( ) tantan
1tantan
2 tan
cos2 1 sin 2
(1 sin2 ) sin2
cos 2 1 2sin2
1 2 sin 2
cos2 cos2 sin2
sin2 1 cos2
cos2 (1 cos2 )
cos 2 2cos2 1
2 cos2 1
探究新知
倍角公式
立德树人 和谐发展
4
2
2
又 sin2α = 5 ，所以 cos 2α 1 sin2 2α 12 ．
13
13
于是sin4α = 2sin2α cos 2α = 2 5 (12) 120 ； 13 13 169
cos4α = 1 2sin2 2α = 1 2 ( 5 )2 119； 13 169
tan 4α sin4α 120 . cos4α 119
tan2 1 tan2 源自探究新知二倍角公式
二倍角的正弦公式
sin 2 2sin cos
二倍角的余弦公式
cos 2 cos2 sin2
二倍角的正切公式
tan
2
2 tan 1 tan 2
立德树人 和谐发展
探究新知
2.二倍角的余弦公式的变形
立德树人 和谐发展
cos2 cos2 sin2
解：（3）解法2：在ABC中，由cosA 4，0 A π得 5
两角和与差的正弦、余弦与正切公式(二)-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
两角和与差的正弦、余弦与正切公式( 二)-【 新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
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1＋tan50°tan60°＝tan60ta°n－10ta°n50°.
∴原式＝tan40ta°n－10ta°n30°＋tan50ta°n－10ta°n40°＋tan60ta°n－10ta°n50° tan10°＝tan40°－tan30°＋tan50°－tan40°＋tan60°－tan50°＝－tan30°
A．－17
B．－7
C．17
D．7
－y)的(2值)已为知_－_s_i2n_x_51－_4_s_i.ny＝－23，cosx－cosy＝23，且 x，y 为锐角，则 tan(x
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∴tan(x－y)＝csoinsxx－－yy＝－25914＝－2
14 5.
9
• [归纳提升] 在阅读条件时要注意观察，善于发现并总结条件与公式结 构之间的联系，上式通过平方后可产生三角基本公式与和差公式．
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∵x，y 为锐角，sinx－siny<0，∴x<y，
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1＋tan50°tan60°＝tan60ta°n－10ta°n50°.
∴原式＝tan40ta°n－10ta°n30°＋tan50ta°n－10ta°n40°＋tan60ta°n－10ta°n50° tan10°＝tan40°－tan30°＋tan50°－tan40°＋tan60°－tan50°＝－tan30°
A．－17
B．－7
C．17
D．7
－y)的(2值)已为知_－_s_i2n_x_51－_4_s_i.ny＝－23，cosx－cosy＝23，且 x，y 为锐角，则 tan(x
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∴tan(x－y)＝csoinsxx－－yy＝－25914＝－2
14 5.
9
• [归纳提升] 在阅读条件时要注意观察，善于发现并总结条件与公式结 构之间的联系，上式通过平方后可产生三角基本公式与和差公式．
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∵x，y 为锐角，sinx－siny<0，∴x<y，
高中数学第五章三角函数二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修第一册
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角．( √ ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( √ ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( × ) (4)对于任意角α，总有tan 2α＝12−ttaann2αα.( × )
＝ sin θ + cos θ 2 + sin θ − cos θ 2 ＝|sin θ＋cos θ|＋|sin θ－cos θ| ＝－(cos θ＋sin θ)＋cos θ－sin θ ＝－2sin θ.
(2)证明：3＋cos 4α－4cos 2α＝8sin4α.
证明：左边＝3＋2cos22α－1－4cos2α ＝2(cos22α－2cos2α＋1) ＝2(cos 2α－1)2 ＝2(1－2sin2α－1)2 ＝8sin4α ＝右边 所以等式成立．
3
(3)cos41π2－sin41π2＝___2____．
解＝c析os：21π原2－式si＝n2(1πc2os21π2－sin21π2)(cos21π2＋sin21π2) ＝cosπ6＝ 23.
题型 2 给值求值
例2 (1)已知sin(θ－π4)＝232，则sin 2θ的值为(
)
A．79
B．－79
题型 1 给角求值 例1 求下列各式的值： (3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
解析：原式＝2 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80°
2 sin 20°
＝2 sin 40° cos 40° cos 80°
4 sin 20°
＝2 sin 80° cos 80°
A．2sin θ
人教A版高中数学必修第一册精品课件 第5章 三角函数 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
2α=
= .
-
答案:(1)- (2)
二、二倍角公式的变形
1.若将1±sin 2α中的“1”用sin2α+cos2α代换,则1±sin 2α可化为
什么形式?
提示:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.根据二倍角的余弦公式,sin α,cos α与cos 2α的关系分别如何?
提示:1+cos 2α=2cos2α,1-cos
-
+
2
2
2
2α=2sin α,sin α=
,cos α=
.
3.求下列各式的值.
2
(1)2cos =
(2)
+
=
;
.
分析:首先切化弦,然后利用二倍角公式统一角,最后化简得结
果.
解:方法一:
原式=
-
-
·
-
方法二:
原式=
+
-
=
-
·
-
-
-
-
tan 2α=
-
以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数
与2α的三角函数之间的关系.
4.(1)若 cos α= ,则 cos 2α=
(2)若 tan α= ,则 tan 2α=
= .
-
答案:(1)- (2)
二、二倍角公式的变形
1.若将1±sin 2α中的“1”用sin2α+cos2α代换,则1±sin 2α可化为
什么形式?
提示:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.根据二倍角的余弦公式,sin α,cos α与cos 2α的关系分别如何?
提示:1+cos 2α=2cos2α,1-cos
-
+
2
2
2
2α=2sin α,sin α=
,cos α=
.
3.求下列各式的值.
2
(1)2cos =
(2)
+
=
;
.
分析:首先切化弦,然后利用二倍角公式统一角,最后化简得结
果.
解:方法一:
原式=
-
-
·
-
方法二:
原式=
+
-
=
-
·
-
-
-
-
tan 2α=
-
以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数
与2α的三角函数之间的关系.
4.(1)若 cos α= ,则 cos 2α=
(2)若 tan α= ,则 tan 2α=
新人教版高中数学必修第一册二倍角的正弦、余弦、正切公式ppt课件及课时作业
∴cos α－sin α<0，
∴cos α－sin α＝－ cos α－sin α2
＝－ cos α＋sin α2－4cos α·sin α
＝－ －312－4×－94＝－ 317，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
＝－13×－
317＝
17 9.
注意点：
(1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等 不可省去. (2)倍角公式不仅可运用于 2α 是 α 的二倍的情况，还可运用于 4α 作为 2α 的二倍，α 作为α2的二倍，3α 作为32α的二倍，α＋β 作为α＋2 β的二倍 等情况，这里蕴含着换元的思想. (3)正切二倍角的范围：α≠k2π＋π4且 α≠π2＋kπ(k∈Z).
因为 f(B)＝2，所以 2sin2B＋π3＝2， 即 sin2B＋3π＝1.
所以 2B＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z. 又因为 0<B<π，所以 B＝1π2.
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围.
由题意知f(B)－m>2恒成立， 即 2sin2B＋3π>2＋m 恒成立. 因为0<B<π， 所以π3<2B＋π3<73π， 所以 2sin2B＋3π∈[－2,2]， 所以2＋m<－2，所以m<－4， 故实数m的取值范围是(－∞，－4).
则2cmos242－7°m－21＝2sin
18° 4－4sin218° 2cos227°－1
金分割比 m＝ 52－1的近似值，黄金分割比还可以表示成 2sin 18°，则
m 4－m2 2cos227°－1
等于
A.4
B. 5＋1
∴cos α－sin α＝－ cos α－sin α2
＝－ cos α＋sin α2－4cos α·sin α
＝－ －312－4×－94＝－ 317，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
＝－13×－
317＝
17 9.
注意点：
(1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等 不可省去. (2)倍角公式不仅可运用于 2α 是 α 的二倍的情况，还可运用于 4α 作为 2α 的二倍，α 作为α2的二倍，3α 作为32α的二倍，α＋β 作为α＋2 β的二倍 等情况，这里蕴含着换元的思想. (3)正切二倍角的范围：α≠k2π＋π4且 α≠π2＋kπ(k∈Z).
因为 f(B)＝2，所以 2sin2B＋π3＝2， 即 sin2B＋3π＝1.
所以 2B＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z. 又因为 0<B<π，所以 B＝1π2.
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围.
由题意知f(B)－m>2恒成立， 即 2sin2B＋3π>2＋m 恒成立. 因为0<B<π， 所以π3<2B＋π3<73π， 所以 2sin2B＋3π∈[－2,2]， 所以2＋m<－2，所以m<－4， 故实数m的取值范围是(－∞，－4).
则2cmos242－7°m－21＝2sin
18° 4－4sin218° 2cos227°－1
金分割比 m＝ 52－1的近似值，黄金分割比还可以表示成 2sin 18°，则
m 4－m2 2cos227°－1
等于
A.4
B. 5＋1
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3 2.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
5．设 sinα＝2cosα，则 tan2α 的值为__－__43____. [解析] tanα＝csoinsαα＝2， 所以 tan2α＝1－2tatannα2α＝－34.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
题型探究 题型一 利用二倍角公式给角求值问题
例 1 求下列各式的值： (1)sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°；(3)1－2tatann125105°0°； (4)sin110°－cos130°；(5)cos20°cos40°cos80°. [分析] 观察角的特点 → 寻求角的联系 → 选择公式 → 化简求值
2sin100°
题型二 利用二倍角公式给值求值问题
例2
(1)若
cos(π4－α)＝45，则
7 sin2α＝__2_5___.
(2)已知 α 是第二象限角，tan(π＋2α)＝－43，则 tanα＝__－__12____.
[解析] (1)方法一：由 cos(π4－α)＝54，得 22(sinα＋cosα)＝45.两边同时 平方，得12(sinα＋cosα)2＝1265.故 1＋sin2α＝3225.所以 sin2α＝275.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
提示：(1)不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α 是 4α 的 二倍角，3α 是32α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α2是α4的二倍角，…这里蕴 含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关 系的．
•知识点2 二倍角公式的转换 • (1)因式分解变换．
• cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
• (2)配方变换：
• 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.
• (3)升幂缩角变换．
• 1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
• 提示：因为sin2α＋cos2α＝1， • 所以cos2α＝cos2α－sin2α • ＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1； • cos2α＝cos2α－sin2α • ＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
ππ π [解析] (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°) ＝－tan60°＝－ 3.
(4)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10° ＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°＝4ssiinn2200°°＝4. (5)原式＝2sin20°·cos22s0in°·2c0o°s40°·cos80° ＝2sin40°4·csoins4200°°·cos80°＝2sin88s0in°·2s0in°80° ＝s8isni1n6200°°＝81.
题型三 利用二倍角公式给值求角 例 3 已知 tan(α－β)＝21，tanβ＝－71，且 α，β∈(0，π)，求 2α－β
的值． [分析] 本题根据 tanβ＝－17<0 且 β∈(0，π)，确定π2<β<π，可求得 tanα
＝13且 α∈(0，π)，确定 0<α<π4，这是求角的范围的关键．
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
方法二：由二倍角公式，得 cos2(π4－α)＝1＋cos2π2－2α＝1＋s2in2α＝ 1265，所以 sin2α＝275.
方法三：因为 cos(π4－α)＝54，所以 sin2α＝cos(π2－2α)＝cos2(π4－α)＝ 2cos2(π4－α)－1＝2×1265－1＝275.
(2)由题设得 tan(π＋2α)＝tan2α＝－43.由二倍角公式，得 tan2α＝ 1－2tatannα2α＝－43，整理得 2tan2α－3tanα－2＝0，解得 tanα＝2 或 tanα＝－21. 因为 α 是第二象限的角，所以 tanα＝－12.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
(4)降幂扩角变换． cos2α＝21(1＋cos2α)，sin2α＝12(1－cos2α)， sinαcosα＝12sin2α.
(2)对于公式 S2α，C2α 中的角 α 是任意角，但是 T2α 中的角 α 要保证 tanα 有意义且分母 1－tan2α≠0.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
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5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
• 思考2：如何证明“缩角升幂公式”？
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
关键能力·攻重难
• [归纳提升] 对于给角求值问题，一般有两类：
• (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本 关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
• (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正 弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件， 使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
【对点练习】❶ 求下列各三角函数式的值： (1)cos72°cos36°； (2)sin150°＋cos530°. [解析] (1)原式＝cos36°·cos72°
1 ＝2sin36°2·csoins3366°°·cos72°＝22ssiinn13464°°＝41. (2)原式＝coss5in05°0＋°·co3ss5in05°0°＝2sin150°＋30°＝4sisnin18000°°＝4.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
基础自测
1．下列说法正确的个数是( A ) ①对任意的角总有 sin2θ＝2sinθ. ②不存在角 α，使得 cos2θ＝2cosθ.
③公式 tan2α＝1－2tatannα2α成立的条件是 α≠kπ＋π2，k∈Z.
• [归纳提升] 解决给值求值问题的方法比较多，(1)可以利用倍角公式 将二倍角(单角)化为单角(二倍角)，再通过三角基本公式得到所求值；
(2)利用倍角公式的推论直接进行结构式的联系：如cos2α与sin2α及 cos2α之间的关系，cosα±sinα与sin2α的关系等．
【对点练习】❷ 若 sinα＋3sin(π2＋α)＝0，则 cos2α 的值为( C )
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
4．(cos1π2－sin1π2)(cos1π2＋sin1π2)的值为( D )
A．－
3 2
B．－12
C．12
D．
3 2
[解析]
原式＝cos21π2－sin21π2＝cosπ6＝
2．已知 sinα＝35，cosα＝54，则 sin2α 等于( D )
A．57
B．152
C．1225 [解析]
D．2245 sin2α＝2sinαcosα＝2245.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
④对于任意角 α，都有 sinα2＝2sinα4cosα4.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②③错误，④正确，故选 A．
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