圆锥曲线之----抛物线专题(附答案)

圆锥曲线之---抛物线专题1. 设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过点M(√3,0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|=2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS△ACF=( )A. 45B. 23C. 47D. 12【答案】A【解析】解：如图过B 作准线l ：x =−12的垂线，垂足分别为A 1，B 1， ∵S △BCF S △ACF=|BC||AC|，又∵△B 1BC∽△A 1AC 、 ∴|BC||AC|=|BB 1|AA 1，由拋物线定义|BB 1||AA 1|=|BF||AF|=2|AF|．由|BF|=|BB 1|=2知x B =32，y B =−√3， ∴AB ：y −0=√3√3−32(x −√3).把x =y 22代入上式，求得y A =2，x A =2，∴|AF|=|AA 1|=52． 故S △BCFS △ACF=|BF||AF|=252=45．故选：A ． 根据S △BCFS△ACF=|BC||AC|，进而根据两三角形相似，推断出|BC||AC|=|BB 1|AA 1，根据抛物线的定义求得|BB 1|AA 1=|BF||AF|，根据|BF|的值求得B 的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x =y 22代入，即可求得A 的坐标，进而求得|BF||AF|的值，则三角形的面积之比可得．本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．2. 已知过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为12√3，则准线l 的方程为( ) A. x =−√2 B. x =−2√2 C. x =−2 D. x =−1 【答案】A【解析】解：设|BF|=m ，|AF|=3m ，则|AB|=4m ，p =32m ，∠BAA 1=60°， ∵四边形AA 1CF 的面积为12√3，∴(32m+3m)×3msin60°2=12√3，∴m =43√2，∴p 2=√2，∴准线l 的方程为x =−√2， 故选：A ．设|BF|=m ，|AF|=3m ，则|AB|=4m ，p =32m ，∠BAA 1=60°，利用四边形AA 1CF 的面积为12√3，建立方程，求出m ，即可求出准线l 的方程． 本题考查抛物线的方程与性质，考查四边形面积的计算，正确运用抛物线的定义是关键．3. 已知点P 在抛物线y =x 2上，点Q 在圆(x −4)2+(y +12)2=1上，则|PQ|的最小值为( )A. 3√52−1B. 3√32−1 C. 2√3−1 D. √10−1【答案】A【解析】【分析】设P(t,t 2)，求出|PC|2=t 4+2t 2−8t +16+14，构造函数，利用函数的导数求解函数的最小值，由此能求出|PQ|的最小值．本题考查的知识要点：两点间的距离公式的应用，函数的导数的应用，考查圆的方程和抛物线方程的应用，及相关的运算问题． 【解答】解：∵点P 在抛物线y =x 2上，∴设P(t,t 2)，∵圆(x −4)2+(y +12)2=1的圆心C(4,−12)，半径r =1， ∴|PC|2=(4−t)2+(−12−t 2)2=t 4+2t 2−8t +16+14，令y =|PC|2=t 4+2t 2−8t +16+14，y′=4t 3+4t −8=0，可得t 3+t −2=0，解得t =1，当t <1时，y′<0，当t >1，y′>0，可知函数在t =1时取得最小值，|PC|min 2=454|PQ|的最小值=|PC |min −r =3√52−1．故选：A ．4. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点是F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于P 、Q 两点，且点Q 在第一象限，若3PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线PQ 的斜率是( )A. √33B. 1C. √2D. √3【答案】D【解析】解：过点P ，Q 分别作抛物线的准线l ：x =−1的垂线，垂足分别是P 1、Q 1， 由抛物线的定义可知，|Q 1Q|=|QF|，|P 1P|=|FP|，设|PF|=k(k >0)，3PF⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FQ|=3k ，又过点P 作PR ⊥Q 1Q 于点R ， 则在直角△PRQ 中，|RQ|=2k ，|PQ|=4k ，所以∠PQR =π3，所以直线QP 的倾斜角为π3，所以直线PQ 的斜率是√3， 故选：D ．过点P ，Q 分别作抛物线的准线l ：x =−1的垂线，垂足分别是P 1、Q 1，由抛物线的定义可知，|Q 1Q|=|QF|，|P 1P|=|FP|，设|PF|=k(k >0)，则|FQ|=3k ，在直角△PRQ 中求解直线PQ 的倾斜角然后求解斜率．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．5. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为N ，过点F 作直线与此抛物线交于A 、B 两点，若NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则p 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．假设k 存在，设AB 方程为：y =k(x −p2)，代入椭圆方程，可得根与系数的关系，由∠NBA =90°，可得|AF|−|BF|=(x 2+p2)−(x 1+p2)=2p ，再利用焦点弦长公式即可求得p 的值． 【解答】解：抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F(p 2,0)， 设两交点为A(x 2,y 2)，B(x 1,y 1)，当直线AB 的斜率不存在时，NF ⊥AB ，不符合题意; 当直线AB 的斜率存在时，设AB 方程为：y =k(x −p2)， {y =k(x −p2)y 2=2px，整理得k 2x 2−(k 2+2)px +k 2p 24=0， ∵NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则∠NBA =90°，∴NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0． ∴(x 1−p2)(x 1+p 2)+y 12=0，∴x 12+y 12=p 24，∴x 12+2px 1−p 24=0(x 1>0)， ∴x 1=√5−22p ，x 2=2+√52p ，∴|AF|−|BF|=(x 2+p2)−(x 1+p2)=2p ， 即2p =4，则p =2， 故选A ．6.抛物线y2=8x的焦点为F，设A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=2√33|AB|，则∠AFB的最大值为()A. π3B. 3π4C. 5π6D. 2π3【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．【解答】解：因为x1+x2+4=2√33|AB|，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以|AF|+|BF|=2√33|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB=|AF|2+|BF|2−|AB|2 2|AF|⋅|BF|=(|AF|+|BF|)2−2|AF|⋅|BF|−|AB|22|AF|⋅|BF|=43|AB|2−|AB|22|AF|⋅|BF|−1=13|AB|22|AF|⋅|BF|−1．又|AF|+|BF|=2√33|AB|≥2√|AF|⋅|BF|⇒|AF|⋅|BF|≤13|AB|2．所以cos∠AFB≥13|AB|22×13|AB|2−1=−12，∴∠AFB的最大值为2π3，故选D．7.过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的直线l与C相交于A，B两点，与C的准线交于点D，若|AB|=|BD|，则直线l的斜率k=()A. ±13B. ±3 C. ±2√23D. ±2√2【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题．如图，设A，B两点在抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，过B作AA′的垂线BH，在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，利用在直角三角形ABH中，tan∠BAH=丨BH丨丨AH丨，从而得出直线AB的斜率．【解答】解：如图，设A，B两点在抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，过B 作AA′的垂线BH ，在三角形ABH 中，∠BAH 等于直线AB 的倾斜角，其正切值即为k 值， 设|BF|=n ，B 为AD 中点， 根据抛物线的定义可知：|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|，2|BB′|=|AA′|， 可得2|BF|=|AA′|，即|AF|=2|BF|， ∴|AF|=2n ，|AA′|=2n ，|BF|=n ， ∴|AH|=n ，在直角三角形ABH 中，tan∠BAH =丨BH 丨丨AH 丨=√9n 2−n 2n=2√2，则直线l 的斜率k =2√2；同理求得：直线l 的斜率k =−2√2； 故选D ．8. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 作一倾斜角为π3的直线交抛物线于A ，B 两点(A 点在x 轴上方)，则|AF||BF|=( )A. √3B. √2C. 3D. 2【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则抛物线y 2=4x 中p =2．|AB|=x 1+x 2+p =2p sim 2θ=8p3∴x 1+x 2=103，又x 1x 2=p 24=1，可得x 1=3，x 2=13， 则|AF||BF|=3+113+1=3，故选：C ．设出A 、B 坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质，求出A 、B 的坐标，然后求比值|AF||BF|即可．本题主要考察了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．9.已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆(x−3)2+(y−1)2=1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线的性质，以及圆锥曲线中的最值．【解答】解：根据题意得，N(1,0)为抛物线的焦点，如图所示：过点P做PA垂直准线于点A，根据抛物线的定义，可知PA=PN，所以PN+PQ=PA+PQ，当P运动到点P1处时，即圆心C，P1，B在同一条直线上，且垂直准线时，有最小值，最小值为(PN+PQ)min=CB−r=3+1−1=3;故选A．10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A,B两点，以,3)，且ΔAOB的面积为3，则p=线段AB为直径的圆与抛物线C的准线切于M(−p2A. √3B. 2√3C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】本题考查了抛物线的标准方程以及点差法的使用，属于基础题．【解答】解：令A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由已知以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线切于M(−p2,3)，可得y 1+y 2=6，将A 、B 两点坐标带入，作差k 可得k AB =p3， 令AB 的方程为y =p3(x −p2)，与抛物线联立可得： y 2−6y −p 2=0，∴y 1y 2=−p 2， ∵△AOB 的面积6． 故12×p2×√36+4p 2=12， 解得p =√3． 故选A ．11. 如图，已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x −1)2+y 2=14于点A ，B 、C 、D 四点，则|AB|+|CD|的值是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】解：∵y 2=4x ，焦点F(1,0)，准线l 0：x =−1 由定义得：|AF|=x A +1，又∵|AF|=|AB|+12，∴|AB|=x A +12； 同理：|CD|=x D +12，直线l ：y =x −1，代入抛物线方程，得：x 2−6x +1=0， ∴x A x D =1，x A +x D =6， ∴|AB|+|CD|=6+1=7．综上所述4|AB|+|CD|的最小值为7． 故选：B ．求出||AB|=x A +12，|CD|=x D +12，l ：y =x −1，代入抛物线方程，利用韦达定理，化简|AB|+|CD|即可得到结果．本题考查圆与抛物线的综合，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点A(1,0)，直线FA 与抛物线C 交于点(P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 到y 轴距离为( ) A. 2√2−1B. 2√2−2C. 3√2−1D. 3√2−2【答案】B【解析】解：抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F(0,P2)，其准线方程为y =−p2， ∵A(1,0)，∴直线AF 的方程为y =−p2(x −1)， 由{y =−p2(x −1)y =−p 2，解得x =2，y =−p2，则Q(2,−p 2)， ∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(2−x P ,−p2−y p )=√2(x P ,y p −1)，∴2−x P =√2x P ， ∴x P =2√2−2．故点P 到y 轴距离为2√2−2． 故选：B ．先求出直线AF 的方程，再求出点Q 的坐标，根据若PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求出答案． 本题考查了抛物线的性质，直线方程，向量的运算，属于基础题13. 过抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若4|AF|=|BF|，O 为坐标原点，则|AF||OF|=( )A. 54B. 34C. 4D. 5【答案】A【解析】解：过A 作AE ⊥准线，过B 作BG ⊥准线，过A 作AD ⊥BG 交BG 于点D ，交y 轴于点C设|AF|=x ，则|BF|=4x ，F(0,p2)，准线：y =−p2，根据抛物线性质得：|AE|=|AF|=x ，|BG|=|BF|=4x ，|AB|=x +4x =5x ，|BD|=4x −x =3x ，|FC|=p −x ， 由图可知：AFAB=FCBD ，即x5x =p−x 3x，解得x =58p ，则|AF||OF|=58p 12p =54．故选：A ．根据条件画出示意图，设|AF|=x ，则|BF|=4x ，利用AFAB =FCBD ，求出x =58p ，进而求出比值．本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14. 已知直线l ：4x −3y +6=0和抛物线C ：y 2=4x ，P 为C 上的一点，且P 到直线l 的距离与P 到C 的焦点距离相等，那么这样的点P 有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 【答案】C【解析】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点坐标(1,0)，(1,0)到直线4x −3y +6=0的距离为：√42+32=2，与抛物线的焦点坐标到准线的距离相等，所以由题意可知：如图：直线PF 与抛物线一定有两个交点． 故选：C ．求出抛物线的焦点坐标，求出焦点到直线4x −3y +6=0的距离，利用数形结合判断求解即可．本题求抛物线上的动点到两条定直线的距离之和的最小值．着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的简单几何性质等知识，属于中档题15. 已知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，点B 关于x轴的对称点为B 1，直线AB 1与x 轴相交于C 点，若直线AC 的斜率为√32，则△ABC 的面积为( )A. 8√33B. 4√33C. 4√3D. 5√33【答案】A【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，熟知抛物线的准线方程与交点坐标是解题的关键，设直线AB 的方程为x =ky +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据题意则B 2(x 2,−y 2)，再结合直线AC 的斜率为√32，求出y 1−y 2=8√33，代入面积公式计算即可． 【解答】解：设抛物线的准线与x 轴的交点为C ，过点A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，∵AM //FC 1 //BN ， ∴MC 1NC 1=AF BF =AM BN．又∵∠AMC 1=∠BNC 1=90∘， ∴△AMC 1∽△BNC 1， ∴∠AC 1F =∠BC 1F ．∵点B 关于x 轴的对称点为B 1， ∴点C 1与C 重合．设直线AB 的方程为x =ky +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则B 2(x 2,−y 2)． 联立方程{y 2=4xx =ky +1．得y 2−4ky −4=0．∴y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4． 又∵直线AC 的斜率为√32，∴y 1+y 2x 1−x 2=y 1+y 2k (y 1−y 2)=√32， 即y 1−y 2=8√33， ∴△ABC 的面积为12×|CF |×|y 1−y 2|=12×2×8√33=8√33． 故选A ．16. 已知抛物线y 2=x ，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 的面积之和的最小值是( )A. 2B. 3C. 17√28D. √10【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的性质以及基本不等式.可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题． 【解答】解：设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M(m,0)， 由{x =ty +my 2=x ⇒y 2−ty −m =0，根据韦达定理有y 1⋅y 2=−m ， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=2， 结合y 12=x 1及y 22=x 2，得(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−2=0， ∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1⋅y 2=−2，故m =2． 不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F(14,0)，∴S △ABO +S △AFO =12×2×(y 1−y 2)+12×14×y 1=12×2×(y 1−y 2)+12×14y 1，=98y 1+2y 1≥2√98y 1⋅2y 1=3．当且仅当98y 1=2y 1，即y 1=43时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3， 故选B ．17. 抛物线C ：y 2=2px 的准线交x 轴于点M ，过点M 的直线交抛物线于N ，Q 两点，F 为抛物线的焦点，若∠NFQ =90°，则直线NQ 的斜率k(k >0)为( )A. 2B. √2C. 12D. √22【答案】D【解析】解：如图，M(−p2,0)，NQ ：y =k(x +p2)，联立{y 2=2pxy =k(x +p 2)，得k 2x 2−p(2−k 2)x +14p 2k 2=0．△=p 2(2−k 2)2−p 2k 4．设N(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=p(2−k 2)k 2，x 1x 2=p 24．又F(p2,0)，∴FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−p 2,y 1)⋅(x 2−p2,y 2) =x 1x 2−p 2(x 1+x 2)+p 24+y 1y 2=x 1x 2−p 2(x 1+x 2)+p 24+k 2(x 1+p 2)(x 2+p2)=(k 2+1)x 1x 2−p2(1−k 2)(x 1+x 2)+(1+k 2)p 24=2k 2−1k 2p 2．∵∠NFQ =90°，∴FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2k 2−1k 2p 2=0，∵p ≠0，k >0，解得k =√22，当k =√22时，△=p 2(2−k 2)2−p 2k 4=2p 2>0，满足题意．∴直线NQ 的斜率k(k >0)为√22．故选：D ．求出NQ ：y =k(x +p2)，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及∠NFQ =90°列式求得k 值．本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．18. 己知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，延长AF交抛物线C 于点D ，若AB 的中点纵坐标为|AB|−1，则当∠AFB 最大时，|AD|=( ) A. 4 B. 8 C. 16D. 163【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 3)， 由抛物线定义得：y 1+y 2+2=|AF|+|BF|， ∵y 1+y 22=|AB|−1，∴|AF|+|BF|=2|AB|，∴cos∠AFB =|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=3(|AF|2+|BF|2)−2|AF|⋅|BF|8|AF|⋅|BF|≥6|AF|⋅|BF|−2|AF|⋅|BF|8|AF|⋅|BF|=12，当且仅当|AF|=|BF|时取等号．∴当∠AFB 最大时，△AFB 为等边三角形，联立{y =√3x +1x 2=4y，消去y 得，x 2−4√3x −4=0． ∴y 1+y 3=√3(x 1+x 3)+2=14． ∴|AD|=16． 故选：C ．设出A ，B ，D 的坐标，利用抛物线定义可得|AF|+|BF|=2|AB|，再由余弦定理写出cos∠AFB ，利用基本不等式求最值，可得当∠AFB 最大时，△AEB 为等边三角形，得到AF 所在直线方程，再与抛物线方程联立，结合根与系数的关系及抛物线定义求得|AD|． 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．19. 过抛物线C ：y 2=x 的焦点F 分別作两条互相垂直的直线l 1，l 2，使l 1交C 于A ，B两点，l 2交C 于M ，N 两点，则|AB|⋅|MN|的最小值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A【解析】【分析】本题考查了抛物线的简单性质，考查过焦点的弦、诱导公式、二倍角公式以及三角函数的最值，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍，属于中档题．设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为π2+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|MN|，整理求得答案． 【解答】解：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为π2+θ， 根据焦点弦长公式可得|AB|=2p sin 2θ=1sin 2θ， |MN|=2psin 2(π2−θ)=2p cos 2θ=1cos 2θ， ∴|AB|×|MN|=1sin 2θ×1cos 2θ=1sin 2θcos 2θ=4sin 22θ，∵0<sin 22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB||MN|的最小值为4． 故选A ．20. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|QF|=( ) A. 35B. 52C. 20D. 3【答案】C【解析】解：抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F(2,0)，设P(−2,t)，Q(x,y). ∵FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(−4)⋅(−4,t)=(x −2,y)， 解得{x =18y =−4t由抛物线的定义知|QF|=x +p2=18+2=20故选：C抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F(2,0)，设P(−2,t)，Q(x,y).利用FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(−4)(−4,t)=4(x −2,y)，解得(x,y)，代入y 2=8x 可得t 2=128，再利用两点之间的距离公式即可得出．本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21. 已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C的一个交点，用PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 3或4B. 85或83C. 4或83D. 83【答案】D【解析】【分析】本题主要考查抛物线的性质及几何意义，难度较易，属于中档题．由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P ，Q 的坐标，得到向量PF ，FQ 的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得． 【解答】抛物线x 2=4y 的焦点为F(0,1)，准线为l:y =−1，设P(a,−1)，Q(m,m 24)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −a,m24+1),FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m 24−1)， ∵PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴a =−3m,3m 2=20，解得m 2=203，由抛物线的定义可得|FQ⃗⃗⃗⃗⃗ |=m 24+1=83， 故选D ．22. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，不过F 的直线与C 的交点为A ，B ，与C 的准线的交点为D.若|BF|=2，△BDF 与△ADF 的面积之比为45，则|AF|=A. √52B. 52C. √32D. √3【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的关系，考查学生平面几何知识，属于中档题． 利用抛物线定义得AN =AF,BM =BF =2，由三角形面积之比得到12×BD×ℎ12×AB×ℎ=BDAB=45，利用相似三角形得到BF AF =45，计算答案． 【解答】解：由题意可得准线方程为x =−p 2，F (p2,0)；过点A 作直线AN 垂直与准线与N ，过点B 作直线BM 垂直与准线与M ， 所以由抛物线的定义得AN =AF,BM =BF =2， 因为△BDF 与△ADF 的面积之比为45，所以12×BD×ℎ12×AB×ℎ=BD AB =45，所以BD =4AB ，因为△DBM ∽△DAN ，所以BMAN =DBAD =45，即BFAF =45， 所以AF =52; 故选B ．。