2022年浙江省温州市瑞安市数学九年级中考复习中考压轴题23题专题专练
2022届中考数学压轴题押题及答案解析
2022年中考数学压轴题1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC．（1）如图1，若∠ABC＝60°，则点B的坐标为B（1，2√3）；（2）如图2，若∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．①求这条抛物线的解析式；②点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；③如图3，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵A（﹣1，O）、C（3，0），∴AC＝4∵直线BD为抛物线的对称轴，∴AB＝CB，BD⊥AC，AD＝CD＝2∴D（1，0），∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形∴∠ABC＝60°，＝60°∴tan∠ABC=BDAD，即BD＝AD•tan∠ABC＝2tan60°＝2√3，∴B（1，2√3）；故答案为：B（1，2√3）；（2）①∵A（﹣1，0），C（3，0）∴AC＝4∵直线BD为对称轴∴AD＝CD=12AC＝2，AB＝BC∴D（1，0）∵∠ABC＝90°∴△ABC为等腰直角三角形∴B（1，2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，图象过A（﹣1，0），则0＝a（﹣1﹣1）2+2，解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣1）2+2，即y=−12x2+x+32；②如图2，过点P作PF⊥y轴于点F，则P（m，−12m2+m+32）∵AB＝BC，∠ABC＝90°∴∠BAC＝45°在Rt△AOE中，∠AOE＝90°，∴∠AEO＝∠EAO＝45°∴AO＝EO＝1∴E（0，1）∴S＝S四边形FPCO﹣S△PEF﹣S△CEO=12（m+3）（−12m2+m+32）−12m（−12m2+m+32−1）−12×1×3 =−34m2+2m+34=−34(m−43)2+2512∵−34＜0，∴当m=43时，S最大值=2512，∴S关于m的函数关系式为S=−34m2+2m+34，S的最大值为2512；③抛物线上存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝4∴△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝2√2∵E（0，1）∴BE ＝AE =12BC ，即tan ∠BCE =BE BC =12∵tan ∠OBD =OD BD =12∴tan ∠BCE ＝tan ∠OBD ，即∠BCE ＝∠OBD 易求得直线CE 解析式为y =−13x +1， 联立方程组{y =−13x +1y =−12x 2+x +32， 解得{x 1=3y 1=0，{x 2=−13y 2=109；∴Q 1（−13，109）在直线AB 上截取BG =12BC ，∴tan ∠BCG =BG BC =12=tan ∠OBD ∴∠BCG ＝∠OBD ，过点G 作GL ⊥y 轴于L ，则△OAE ∽△LGE ∴GL OA=EL OE=EG AE=21∴GL ＝2OA ＝2，EL ＝2OE ＝2，OL ＝OE +EL ＝1+2＝3 ∴G （2，3）∴直线CG 解析式为y ＝﹣3x +9，解方程组{y =−3x +9y =−12x 2+x +32得{x 1=3y 1=0，{x 2=5y 2=−6 ∴Q 2（5，﹣6），综上所述，点Q 的坐标为：Q 1（−13，109），Q 2（5，﹣6）．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c交x轴正半轴于点A、点B，交y轴于点C，直线y＝﹣x+6经过点B、点C；（1）求抛物线的解析式；（2）点D在x轴下方的抛物线上，连接DB、DC，点D的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，点E在x轴上方的抛物线上，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，连接DE，将射线ED沿直线EF折叠，得到对应射线EG，直线DF交射线EG于点H，当S＝12，EF=√5FH时，求点E的坐标．解：（1）在y＝﹣x+6中，令x＝0，得y＝6，∴C（0，6），令y＝0，得x＝6，∴B（6，0）将B（6，0），C（0，6）代入y=12x2+bx+c中，得{12×62+6b+c=0c=6，解得{b=−4c=6∴抛物线的解析式为：y=12x2−4x+6；（2）如图1，过点D作DL⊥BC于L，作DK∥y轴交BC于K，则∠DLK＝∠BOC＝90°，∵DK∥y轴∴∠DKL＝∠BCO∴∠DKL∽∠BCO∴DLDK =OBBC∴DL •BC ＝DK •OB∵D （t ，12t 2−4t +6），K （t ，﹣t +6）∴DK ＝﹣t +6﹣（12t 2−4t +6）=−12t 2+3t∴S =12DL •BC =12DK •OB =12×（−12t 2+3t ）×6=−32t 2+9t ，在y =12x 2−4x +6中，令y ＝0，得12x 2−4x +6=0，解得：x 1＝2，x 2＝6，∵点D 在x 轴下方的抛物线上，∴2＜t ＜6， ∴S =−32t 2+9t （2＜t ＜6）；（3）当S ＝12时，−32t 2+9t =12，解得：t 1＝2，t 2＝4，∵2＜t ＜6，∴t ＝4，∴D （4，﹣2）如图2，点E 在x 轴上方对称轴左侧时，过D 作DG ∥x 轴交射线EG 于G ，交EF 于R ，设E （m ，12m 2−4m +6），m ＜2，则F （m ，0），G （2m ﹣4，﹣2）∴直线DE 解析式为y =12（m ﹣4）x +6﹣2m ，直线GE 解析式为y =12（4﹣m ）x +m 2﹣6m +6 直线DH 解析式为y =2m−4x −2mm−4 ∵12（4﹣m ）×2m−4=−1∴GE ⊥DH∴∠EHG ＝∠ERD ＝90° ∵∠REG ＝∠RED ∴△EFH ∽△EDR ∴DR ER=FH EH，∵EF =√5FH ，∴EH ＝2FH∴ER ＝2DR ，即12m 2−4m +6+2＝2（4﹣m ），解得：m 1＝0，m 2＝4（舍去） ∴E 1（0，6）；如图3，点E 在x 轴上方对称轴右侧时，过D 作DG ∥x 轴交射线EG 于G ，交EF 于R ，设E （m ，12m 2−4m +6），m ＞6，与上述方法相同可得：ER ＝2DR ，即12m 2−4m +6+2＝2（m ﹣4），解得：m 1＝4（舍去），m2＝8，∴E2（8，6）；综上所述，点E的坐标为：E1（0，6），E2（8，6）．3．已知，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+2x﹣1与直线y＝﹣x﹣1相交于A，B两点，点C为顶点，连接AC．（1）如图1，连接BC，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC 于点F，过点P作PQ∥x轴交抛物线于点Q（点Q在点P左侧），当PE•PF取得最大值时，在y轴上取一点R，连接QR，求PQ+2QR+√2RO的最小值；（2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，记平移后的抛物线为y′，顶点为K，当AC＝CK时，点N为平移后的抛物线y′上一点，其横坐标为8．点M为线段AB上一点，连接CM，且CM＝BM，将△ACM绕点B顺时针旋转α度（0＜α＜180），旋转后的三角形为△A′C′M′，记直线A′C′与直线AB相交于点S，直线C′M′与直线AB相交于点T，连接NS，NT．是否存在点S和点T，使△C′ST为等腰三角形，若存在，请直接写出△NST的面积；若不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线y =−12x 2+2x ﹣1=−12（x ﹣2）2+1得：C （2，1），解方程组{y =−12x 2+2x −1y =−x −1，得：{x 1=0y 1=−1，{x 2=6y 2=−7；∴A （0，﹣1），B （6，﹣7），过C 作CS ⊥y 轴于S ，过B 作BK ⊥y 轴于K ，则∠ASC ＝∠AKB ＝90° ∵CS ＝2，AS ＝1﹣（﹣1）＝2，BK ＝6，AK ＝﹣1﹣（﹣7）＝6 ∴AS ＝CS ，AK ＝BK∴△ACS 和△ABK 均为等腰直角三角形， ∴∠CAS ＝∠BAK ＝45°，AC ＝2√2，AB ＝6√2 ∴∠BAC ＝90°，BC =√AC 2+AB 2=4√5设P （m ，﹣m ﹣1），0≤m ≤6，则PE ＝﹣（﹣m ﹣1）＝m +1，PB =√2（6﹣m ）， ∵PF ⊥BC∴∠BFP ＝∠BAC ＝90° △BPF ∽△BCA ∴PF BP=AC BC=√24√5，∴PF =√55（6﹣m ） ∴PE •PF ＝（m +1）×√55（6﹣m ）=−√55（m −52）2+49√520，∵−√55＜0，∴当m =52时，PE •PF 取得最大值，此时，P （52，−72），∵PQ ∥x 轴∴Q （﹣1，−72），在x 正半轴上截取OG ＝OR ，连接RG ，过O 作OT ⊥RG 于T ，则RT =√22RO ，∵PQ +2QR +√2RO ＝PQ +2（QR +√22RO ）求PQ +2QR +√2RO 的最小值，即求QR +√22RO 的最小值，当Q ，R ，T 三点共线时，QR +√22RO 的值最小；∵∠ORG ＝45° ∴∠PQR ＝∠QRK ＝45° ∴QR =√2，RO =52， ∴PQ +2QR +√2RO 的最小值=52−（﹣1）+2（√2+√22×52）=7+9√22； （2）∵AC ＝CK ，∴K （4，3）∴平移后的抛物线为y ′=−12（x ﹣4）2+3， ∴N （8，﹣5）过点N 作NZ ⊥AB 于Z ，作NN ′∥x 轴交AB 于N ′，则∠NN ′Z ＝45°，N ′（4，﹣5） ∴NN ′＝8﹣4＝4，NZ =√22×4=2√2∵点M 为线段AB 上一点，且CM ＝BM ，设M （t ，﹣t ﹣1） ∴（t ﹣2）2+（﹣t ﹣1﹣1）2＝（t ﹣6）2+（﹣t ﹣1+7）2，解得：t =83∴M （83，−113）∴CM ＝BM =10√23，AM ＝AB ﹣BM =8√23∴AC ：AM ：CN ＝3：4：5，△C ′ST 为等腰三角形，可以分三种情形：①C ′T ＝ST ，如图2，作TL ⊥SC ′于L ，则∠TSC ′＝∠C ′＝∠ACM ，SL ＝LC ′=12SC ′， ∴sin ∠TSC ′＝sin ∠ACM =45，∵BA ′＝BA ＝6√2， ∴BS =BA′sin∠TSC′=6√245=15√22，∴S （−32，12），∵A′BA′S=tan ∠TSC ′＝tan ∠ACM =43，∴A ′S =34A ′B =9√22，SC ′＝A ′S +A ′C ′=13√22，SL =13√24， ∴ST =53SL =65√212∴S △NST =12ST •NZ =12×65√212×2√2=656， ②C ′S ＝C ′T ，如图3，作C ′H ⊥AB 于H ，作TL ⊥SC ′于L ，作NZ ⊥AB 于Z ， 由①知AC ：AM ：CN ＝3：4：5，即：A ′C ′：A ′M ′：C ′M ′＝3：4：5， ∵TL ∥A ′M ′，∴C ′L ：LT ：C ′T ＝3：4：5，设C ′L ＝3k ，LT ＝4k ，C ′T ＝5k ∴C ′S ＝C ′T ＝5k ，LS ＝2k ，ST =√LS 2+LT 2=2√5k ，A ′S ＝5k ﹣2√2， ∵LT ∥A ′B∴A ′S ：A ′B ＝SL ：LT ＝1：2，即：2A ′S ＝A ′B ，2（5k ﹣2√2）＝6√2，解得：k =√2 ∴ST ＝2√5×√2=2√10 ∴S △NST =12ST •NZ =12×2√10×2√2=4√5； ③C ′S ＝ST ，如图4，作SB ⊥C ′T 于B ′，作TL ⊥SC ′于L ，作NZ ⊥AB 于Z ， 则C ′B ′＝B ′T ，∠STC ′＝∠C ′＝∠ACM ∴SB′SC′=LT C′T =sin ∠ACM =45，设SB ′＝4t ，SC ′＝5t ，则C ′B ＝B ′T ＝3t ，ST ＝5t∴C ′L =35C ′T =185t ，SL ＝SC ′﹣C ′L =75t ，LT =245t ， ∵LT ∥BA ′ ∴SA′A′B=SL LT=724，24SA ′＝7A ′B∴24（5t ﹣2√2）＝7×6√2，解得：t =3√24 ∴ST =15√24 ∴S △NST =12ST •NZ =12×15√24×2√2=152， 综上所述，△C ′ST 为等腰三角形时，△NST 的面积为：656或4√5或152．4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 边上的一点，以AD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，交AC 于点F ，过点C 作CG ⊥AB 交AB 于点G ，交AE 于点H ，过点E 的弦EP 交AB 于点Q （EP 不是直径），点Q 为弦EP 的中点，连结BP ，BP 恰好为⊙O 的切线．（1）求证：BC 是⊙O 的切线．（2）求证：EF̂=ED ̂． （3）若sin ∠ABC ═35，AC ＝15，求四边形CHQE 的面积．（1）证明：连接OE ，OP ，∵AD 为直径，点Q 为弦EP 的中点，∴PE ⊥AB ，点Q 为弦EP 的中点，∴AB 垂直平分EP ，∴PB ＝BE ，∵OE ＝OP ，OB ＝OB ，∴△BEO ≌△BPO （SSS ），∴∠BEO＝∠BPO，∵BP为⊙O的切线，∴∠BPO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠OEA，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，̂=ED̂．∴EF（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，∴EP⊥AB，∵CG⊥AB，∴CG∥EP，∵∠ACB＝∠BEO＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠EAQ＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AQE（AAS），∴CE＝QE，∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，∴∠CEH＝∠AHG，∵∠AHG＝∠CHE，∴∠CHE＝∠CEH，∴CH ＝CE ，∴CH ＝EQ ，∴四边形CHQE 是平行四边形，∵CH ＝CE ，∴四边形CHQE 是菱形，∵sin ∠ABC ═sin ∠ACG ═AG AC =35， ∵AC ＝15，∴AG ＝9，∴CG =√AC 2−AG 2=12，∵△ACE ≌△AQE ，∴AQ ＝AC ＝15，∴QG ＝6，∵HQ 2＝HG 2+QG 2，∴HQ 2＝（12﹣HQ ）2+62，解得：HQ =152，∴CH ＝HQ =152，∴四边形CHQE 的面积＝CH •GQ =152×6＝45．5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，BO 的延长线交边AC 于点D ．（1）求证：∠BAC ＝2∠ABD ；（2）当△BCD 是等腰三角形时，求∠BCD 的大小；（3）当AD ＝2，CD ＝3时，求边BC 的长．（1）证明：连接OA．∵AB＝AC，̂=AĈ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠ABD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC +∠C +∠BDC ＝180°，∴8∠ABD ＝180°，∴∠C ＝3∠ABD ＝67.5°．②若CD ＝CB ，则∠CBD ＝∠CDB ＝3∠ABD ， ∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC +∠C +∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在． 综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23， ∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ， ∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =5√24， ∴BC ＝2BH =5√22．。
2022年浙江温州中考数学试题及答案详解
2022年浙江温州中考数学试题及答案详解（试题部分）一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分。
每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)1.计算9+(―3)的结果是()A.6B.―6C.3D.―32.某物体如图所示，它的主视图是()A B C D3.某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示.若信息技术小组有60人，则劳动实践小组有()A.75人B.90人C.108人D.150人4.化简(―a)3·(―b)的结果是()A.―3abB.3abC.―a3bD.a3b5. 9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为()A.19B.29C.49D.596.若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是()A.36B.―36C.9D.―97. 小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s 米，所经过的时间为t 分钟，下列选项中的图象，能近似刻画s 与t 之间关系的是 ( )ABCD8. 如图，AB ，AC 是☉O 的两条弦，OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，连接OB ，OC.若∠DOE =130°，则∠BOC 的度数为( )A.95°B.100°C.105°D.130°9. 已知点A (a ，2)，B (b ，2)，C (c ，7)都在抛物线y =(x ―1)2―2上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是 ( )A.若c <0，则a <c <bB.若c <0，则a <b <cC.若c >0，则a <c <bD.若c >0，则a <b <c10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以其三边为边向外作正方形，连接CF ，作GM ⊥CF 于点M ，BJ ⊥GM 于点J ，AK ⊥BJ 于点K ，交CF 于点L 。
浙江省温州市瑞安市重点达标名校2024届中考数学考试模拟冲刺卷含解析
浙江省温州市瑞安市重点达标名校2024届中考数学考试模拟冲刺卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于（ ）A ．3.5B ．4C ．7D ．142．下列计算正确的是（ ）A ．﹣a 4b÷a 2b=﹣a 2bB ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 2C ．a 2•a 3=a 6D ．﹣3a 2+2a 2=﹣a 23．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为40km ．他们前进的路程为s (km)，甲出发后的时间为t (h )，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法不正确的是( )A ．甲的速度是10km/hB ．乙的速度是20km/hC ．乙出发13h 后与甲相遇 D ．甲比乙晚到B 地2h 4．八边形的内角和为（ ） A ．180° B ．360° C ．1 080° D ．1 440°5．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如果60APB ∠=， 8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．43C ．8D ．36．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件.如果全组共有x 名同学，则根据题意列出的方程是（ ）A ．x(x+1)=132B ．x(x-1)=132C ．x(x+1)=132×12D ．x(x-1)=132×2 7．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是A ．8a 2b=2a ·4abB ．-ab 3-2ab 2-ab=-ab (b 2+2b )C ．4x 2+8x-4=4x 12-x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．4my-2=2(2my-1)8．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB 的坡比为1：3，则AB 的长为A ．12米B ．43米C ．53米D ．63米9．如图，BD ∥AC ，BE 平分∠ABD ，交AC 于点E ，若∠A=40°，则∠1的度数为（ ）A ．80°B ．70°C ．60°D ．40°10．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分式方程32xx 2--+22x-=1的解为________. 12．若一次函数y=-2x+b （b 为常数）的图象经过第二、三、四象限，则b 的值可以是_________.（写出一个即可）13．2-的相反数是______，2-的倒数是______．14．如图，在平面直角坐标系中，函数y=x 和y=﹣12x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点A 1（1，﹣12）作x 轴的垂线交11于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 1于点A 4，过点A 4作y 轴的垂线交l 2于点A5，…依次进行下去，则点A2018的横坐标为_____．15．某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为_________元.16．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP 于点C．求证：∠CBP=∠ADB．若OA=2，AB=1，求线段BP的长.18．（8分）定义：对于给定的二次函数y=a（x﹣h）2+k（a≠0），其伴生一次函数为y=a（x﹣h）+k，例如：二次函数y=2（x+1）2﹣3的伴生一次函数为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．（1）已知二次函数y=（x﹣1）2﹣4，则其伴生一次函数的表达式为_____；（2）试说明二次函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点在其伴生一次函数的图象上；（3）如图，二次函数y=m（x﹣1）2﹣4m（m≠0）的伴生一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A，且两函数图象的交点的横坐标分别为1和2，在∠AOB内部的二次函数y=m（x﹣1）2﹣4m的图象上有一动点P，过点P作x轴的平行线与其伴生一次函数的图象交于点Q，设点P的横坐标为n，直接写出线段PQ的长为32时n的值．19．（8分）某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处． 已知AB ⊥BD 、CD ⊥BD ，且测得AB=1.2m ，BP=1.8m.PD=12m ，求该城墙的高度（平面镜的原度忽略不计）： 请你设计一个测量这段古城墙高度的方案．要求：①面出示意图（不要求写画法）；②写出方案，给出简要的计算过程：③给出的方案不能用到图②的方法．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1(0)y ax b a =+≠的图象与y 轴相交于点A ，与反比例函数2(0)k y k x=≠的图象相交于点(3,2)B ，(1,)C n -．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出12y y >时，x 的取值范围；（3）在y 轴上是否存在点P ，使PAB △为等腰三角形，如果存在，请求点P 的坐标，若不存在，请说明理由．21．（8分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ，交BC 于点D ，过点E 做直线l ∥BC ．（1）判断直线l 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC 的平分线BF 交AD 于点F ，求证：BE=EF ；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF 的长．22．（10分）已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图1，连接BC ．（1）填空：OBC ∠= ︒；（2）如图1，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3）如图2，点M ，N 同时从点O 出发，在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N 的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？23．（12分）鲜丰水果店计划用12元/盒的进价购进一款水果礼盒以备销售.()1据调查，当该种水果礼盒的售价为14元/盒时，月销量为980盒，每盒售价每增长1元，月销量就相应减少30盒，若使水果礼盒的月销量不低于800盒，每盒售价应不高于多少元?()2在实际销售时，由于天气和运输的原因，每盒水果礼盒的进价提高了25%，而每盒水果礼盒的售价比(1)中最高售价减少了1%5m ，月销量比(1)中最低月销量800盒增加了%m ，结果该月水果店销售该水果礼盒的利润达到了4000元，求m 的值.24．如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E 处有一棵盛开的桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE 的长度，小华站在点B 的位置，让同伴移动平面镜至点C 处，此时小华在平面镜内可以看到点E ，且BC ＝2.7米，CD ＝11.5米，∠CDE ＝120°，已知小华的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出DE 的长度．（结果保留根号）参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解题分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH12=AB．【题目详解】∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD．∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH12=AB12=⨯7=3.1．故选A．【题目点拨】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．2、D【解题分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【题目详解】故选项A错误，故选项B错误，故选项C错误，故选项D正确，故选：D．考查整式的除法，完全平方公式，同底数幂相乘以及合并同类项，比较基础，难度不大.3、B【解题分析】由图可知，甲用4小时走完全程40km ，可得速度为10km/h ；乙比甲晚出发一小时，用1小时走完全程，可得速度为40km/h ．故选B4、C【解题分析】试题分析：根据n 边形的内角和公式（n-2）×180º 可得八边形的内角和为（8-2）×180º=1080º，故答案选C.考点：n 边形的内角和公式.5、C【解题分析】先利用切线长定理得到PA PB =，再利用60APB ∠=可判断APB 为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．【题目详解】解：PA ，PB 为O 的切线，PA PB ∴=，60APB ∠=，APB ∴为等边三角形，8AB PA ∴==．故选C ．【题目点拨】本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．6、B【解题分析】全组有x 名同学，则每名同学所赠的标本为：（x-1）件，那么x 名同学共赠：x （x-1）件，所以，x （x-1）=132，故选B.7、D根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【题目详解】解：A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 不符合题意；D 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 符合题意；故选D ．【题目点拨】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．8、A【解题分析】试题分析：在Rt △ABC 中，BC=6米，BCAC =，∴.∴AB 12===（米）.故选A. 【题目详解】请在此输入详解！9、B【解题分析】根据平行线的性质得到°140ABD ∠=，根据BE 平分∠ABD ，即可求出∠1的度数． 【题目详解】解：∵BD ∥AC ，∴°180ABD A ∠+∠=，°140ABD ∠=，∵BE 平分∠ABD ，∴°°1111407022ABD ∠=∠=⨯= 故选B ．【题目点拨】本题考查角平分线的性质和平行线的性质，熟记它们的性质是解题的关键．【解题分析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、x 1=【解题分析】根据解分式方程的步骤，即可解答．【题目详解】方程两边都乘以x 2-，得：32x 2x 2--=-，解得：x 1=，检验：当x 1=时，x 21210-=-=-≠，所以分式方程的解为x 1=，故答案为x 1=．【题目点拨】考查了解分式方程，()1解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解().2解分式方程一定注意要验根．12、-1【解题分析】试题分析：根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出k ＜1，b ＜1，随便写出一个小于1的b 值即可．∵一次函数y=﹣2x+b （b 为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴k ＜1，b ＜1．考点：一次函数图象与系数的关系13、2，12- 【解题分析】试题分析：根据相反数和倒数的定义分别进行求解，﹣2的相反数是2，﹣2的倒数是12-. 考点：倒数；相反数．【解题分析】根据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，从而可以解答本题．【题目详解】解：由题意可得，A 1（1，-12），A 2（1，1），A 3（-2，1），A 4（-2，-2），A 5（4，-2），…， ∵2018÷4=504…2，2018÷2=1009，∴点A 2018的横坐标为：1，故答案为1．【题目点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律． 15、28【解题分析】设这种电子产品的标价为x 元，由题意得：0.9x−21=21×20%，解得：x=28，所以这种电子产品的标价为28元．故答案为28.16、43【解题分析】M 、N 两点关于对角线AC 对称，所以CM=CN ，进而求出CN 的长度．再利用∠ADN=∠DNC 即可求得tan ∠ADN ．【题目详解】解：在正方形ABCD 中，BC=CD=1．∵DM=1，∴CM=2，∵M 、N 两点关于对角线AC 对称，∴CN=CM=2．∵AD ∥BC ，∴∠ADN=∠DNC ，4tan 3DC DNC NC ∠==4tan 3ADN ∴∠=故答案为43【题目点拨】本题综合考查了正方形的性质，轴对称的性质以及锐角三角函数的定义．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）证明见解析；（2）BP=1.【解题分析】分析：（1）连接OB ，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；（2）证明△AOP ∽△ABD ，然后利用相似比求BP 的长．详（1）证明：连接OB ，如图，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠A+∠ADB=90°，∵BC 为切线，∴OB ⊥BC ，∴∠OBC=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，而OA=OB ，∴∠A=∠OBA ，∴∠CBP=∠ADB ；（2）解：∵OP ⊥AD ，∴∠POA=90°，∴∠P+∠A=90°，∴∠P=∠D ，∴△AOP∽△ABD，∴AP AOAD AB=，即1241BP+=，∴BP=1．点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．18、y=x﹣5【解题分析】分析：（1）根据定义，直接变形得到伴生一次函数的解析式；（2）求出顶点，代入伴生函数解析式即可求解；（3）根据题意得到伴生函数解析式，根据P点的坐标，坐标表示出纵坐标，然后通过PQ与x轴的平行关系，求得Q 点的坐标，由PQ的长列方程求解即可.详解：（1）∵二次函数y=（x﹣1）2﹣4，∴其伴生一次函数的表达式为y=（x﹣1）﹣4=x﹣5，故答案为y=x﹣5；（2）∵二次函数y=（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），∵二次函数y=（x﹣1）2﹣4，∴其伴生一次函数的表达式为y=x﹣5，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴（1，﹣4）在直线y=x﹣5上，即：二次函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点在其伴生一次函数的图象上；（3）∵二次函数y=m（x﹣1）2﹣4m，∴其伴生一次函数为y=m（x﹣1）﹣4m=mx﹣5m，∵P点的横坐标为n，（n＞2），∴P的纵坐标为m（n﹣1）2﹣4m，即：P（n，m（n﹣1）2﹣4m），∵PQ∥x轴，∴Q（（n﹣1）2+1，m（n﹣1）2﹣4m），∴PQ=（n﹣1）2+1﹣n，∵线段PQ的长为32，∴（n﹣1）2+1﹣n=32，∴n=372±．点睛：此题主要考查了新定义下的函数关系式，关键是理解新定义的特点构造伴生函数解析式.19、（1）8m；（2）答案不唯一【解题分析】（1）根据入射角等于反射角可得∠APB=∠CPD ，由AB⊥BD、CD⊥BD 可得到∠ABP=∠CDP=90°，从而可证得三角形相似，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出CD的长.（2）设计成视角问题求古城墙的高度.【题目详解】（1）解：由题意，得∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴AB CD BP BP=，∴CD=1.212 1.8⨯=8.答：该古城墙的高度为8m（2）解：答案不唯一，如：如图，在距这段古城墙底部am的E处，用高h（m）的测角仪DE测得这段古城墙顶端A的仰角为α.即可测量这段古城墙AB的高度，过点D作DC⊥AB于点C.在Rt△ACD中，∠ACD=90°，tanα=AC CD，∴AC=α tanα，∴AB=AC+BC=αtanα+h【题目点拨】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．20、（1）24y x =-； 6y x=；（2）10x -<<或3x >；（3）存在，(0,4P -+或(0,4P --或(0,8)P 或10,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解题分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C 坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式； （2）利用图象直接得出结论；（3）分BP BA =、BP BA =、PA PB =三种情况讨论，即可得出结论．【题目详解】（1）一次函数1y ax b 与反比例函数k y x=，相交于点(3,2)B ，(1,)C n -， ∴把(3,2)B 代入k y x=得：23k =， ∴6k =， ∴反比例函数解析式为6y x =， 把(1,)C n -代入6y x =得：61n =-， ∴6n =-，∴点C 的坐标为(1,6)--， 把(3,2)B ，(1,6)C --代入y ax b =+得：23k b b k b =+⎧⎨-=-+⎩， 解得：24k b =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数解析式为24y x =-；（2）根据函数图像可知：当10x -<<或3x >时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∴当10x -<<或3x >时，12y y >；（3）存在(0,4P -+或(0,4P --或(0,8)P 或10,4P ⎛⎫-⎪⎝⎭时，PAB △为等腰三角形，理由如下： 过B 作BD y ⊥轴，交y 轴于D ，∵直线124y x =-与y 轴交于点A ，∴令0x =得，4y =-，∴点A 的坐标为(0,4)-，∵点B 的坐标为(3,2)B ，∴点D 的坐标为(0,2)D ， ∴22(30)(24)AB =-++2236=+35=，①当AP AB =时，则35AP =(0,4)A -，∴点P 的坐标为：1(0,435)P -+、2(0,435)P --； ②当BP BA =时， BAP △是等腰三角形，BD AP ⊥，BD ∴平分AP ，2(4)6DA DP ∴==--=，∵点D 的坐标为(0,2)D ，∴点P 的坐标为(0,26)+，即3(0,8)P ；③当PA PB =时，如图：设PA PB x ==，则6DP DA PA x =-=-，在Rt BDO △中，3DB =，6DP x =-，PB x =，∴由勾股定理得：222PB DB DP =+，2223(6)x x =+-， 解得：154x =， (0,4)A -，∴点P 的坐标为150,44⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即410,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述，当(0,435)P -+或(0,435)P --或(0,8)P 或10,4P ⎛⎫-⎪⎝⎭时，PAB △为等腰三角形． 【题目点拨】 本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，利用图象确定函数值满足条件的自变量的范围，等腰三角形的性质，勾股定理，解（1）的关键是待定系数法的应用，解（2）的关键是利用函数图象确定x 的范围，解（3）的关键是分类讨论．21、（1）直线l 与⊙O 相切；（2）证明见解析；（3）．【解题分析】试题分析：（1）连接OE 、OB 、OC ．由题意可证明，于是得到∠BOE=∠COE ，由等腰三角形三线合一的性质可证明OE ⊥BC ，于是可证明OE ⊥l ，故此可证明直线l 与⊙O 相切；（2）先由角平分线的定义可知∠ABF=∠CBF，然后再证明∠CBE=∠BAF，于是可得到∠EBF=∠EFB，最后依据等角对等边证明BE=EF即可；（3）先求得BE的长，然后证明△BED∽△AEB，由相似三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF的长．试题解析：（1）直线l与⊙O相切．理由如下：如图1所示：连接OE、OB、OC．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∴．∴∠BOE=∠COE．又∵OB=OC，∴OE⊥BC．∵l∥BC，∴OE⊥l．∴直线l与⊙O相切．（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，∴∠EBF=∠EFB．∴BE=EF．（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=1．∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，∴△BED∽△AEB．∴，即，解得；AE=，∴AF=AE﹣EF=﹣1=．考点：圆的综合题．22、（1）1；（2）2217；（3）x83=时，y有最大值，最大值833=．【解题分析】（1）只要证明△OBC是等边三角形即可；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x83≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．②当83＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．【题目详解】（1）由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝1°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝1°．故答案为1．（2）如图1中．∵OB＝4，∠ABO＝30°，∴OA12=OB＝2，AB3=＝3，∴S△AOC12=•OA•AB12=⨯2×33=∵△BOC是等边三角形，∴∠OBC＝1°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，∴AC2227AB BC=+=∴OP243221727AOCSAC===．（3）①当0＜x83≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE＝ON•sin1°32=x，∴S△OMN12=•OM•NE12=⨯1.5x32⨯x，∴y338=x2，∴x83=时，y有最大值，最大值833=．②当83＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H．则BM＝8﹣1.5x，MH＝BM•sin1°32=（8﹣1.5x），∴y12=⨯ON×MH33=23x．当x83=时，y取最大值，y83，③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG ⊥BC 于G ．MN ＝12﹣2.5x ，OG ＝AB ＝3，∴y 12=•MN •OG ＝533， 当x ＝4时，y 有最大值，最大值＝3综上所述：y 83． 【题目点拨】 本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．23、（1）若使水果礼盒的月销量不低于800盒，每盒售价应不高于20元；（2）m 的值为25.【解题分析】（1）设每盒售价应为x 元，根据月销量=980-30×超出14元的部分结合月销量不低于800盒，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；（2）根据总利润=每盒利润×销售数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【题目详解】解：()1设每盒售价x 元.依题意得：()9803014800x --≥解得：20x ≤答：若使水果礼盒的月销量不低于800盒，每盒售价应不高于20元()2依题意：()1201%12125%5m ⎡⎤⎛⎫--⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()8001+m%4000⨯= 令：%m t =化简：240t t -=解得：10t =（舍）214t = 25m ∴=，答：m 的值为25.【题目点拨】考查一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系或不等关系是解题的关键.24、DE 的长度为63+1．【解题分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可．【题目详解】解：过E 作EF ⊥BC ，∵∠CDE ＝120°，∴∠EDF ＝60°，设EF 为x ，DF 3， ∵∠B ＝∠EFC ＝90°，∵∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ∽△EFC ， ∴BC CF AB EF =， 即1.82.7311.5x =+， 解得：x ＝3∴DE (23923+3， 答：DE 的长度为3．【题目点拨】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．。
2022-23学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题10 二次函数的实际应用—抛球问题(含详解)
2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题10 二次函数的实际应用—抛球问题考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）h关于运动时间()s t的函数表达式为1．（2分）（2022九上·萧山期末）竖直向上发射的小球的高度()m2=+，其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度h at bt最高的是（）A．第3秒B．第3.5秒C．第4秒D．第4.5秒2．（2分）（2021九上·临海期末）一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（）A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m3．（2分）（2021九上·鄞州期末）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过t秒时球的高度g=米/为h米，h和t满足公式：表示球弹起时的速度，g表示重力系数，取10秒 2) ，则球不低于3米的持续时间是（ ）A ．0.4 秒B ．0.6 秒C ．0.8 秒D ．1秒 4．（2分）（2021九上·中山期中）如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）具有函数关系为 2205h t t =- ，则小球从飞出到落地的所用时间为 ( )A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s5．（2分）（2021九上·新昌期中）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A ．此抛物线的解析式是y ＝﹣ 15x 2+3.5 B ．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C ．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D ．篮球出手时离地面的高度是2m6．（2分）（2021九上·杭州期中）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如表：下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝ 92；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s ～7s 时，距离地面的高度逐渐下降.其中正确的结论是（ ）A ．②③B ．①②③C ．①②③④D ．②③④7．（2分）（2021九上·青县月考）如图，铅球的出手点 C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度 3 米，则铅球运行路线的解析式为（ ）A ．2316h t =-B ．2316h t t =-+ C ．()21438h t =--+ D ．()21433h t =--+ 8．（2分）（2020九上·新建期中）在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间满足函数解析式y 112=-x 223+x 53+ ，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）A ．6米B ．8米C ．10米D ．12米9．（2分）（2020九上·石家庄月考）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A ．此抛物线的解析式是y=- 15x 2+3.5 B ．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C ．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D ．篮球出手时离地面的高度是2m10．（2分）（2020九上·合肥月考）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点 A ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点 B ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点 C ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）A ．2148575152y x x =--+B ．2148575152y x x =-++C ．2148575152y x x =-+ D ．2148575152y x x =++ 评卷人 得 分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021九上·江油期末）如图是足球守门员在O 处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A 、M 、C 三点的抛物线．其中A 点离地面1.4米，M 点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C 是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C 距守门员的水平距离为 米．12．（2分）（2021九上·栖霞期中）如图，若被击打的小球飞行高度 h （单位： m ）与飞行时间 t （单位： s ）之间具有的关系为 2205h t t =- ，则小球从飞出到落地所用的时间为 s ．13．（2分）（2021九上·柯桥期中）以40m/s 的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位m ）与飞行时间t （单位s ）之间具有函数关系：h ＝20t ﹣5t 2，那么球从飞出到落地要用的时间是 s ．14．（2分）（2021九上·白云期中）发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 米，且时间与高度的关系为 2(0)y ax bx c a =++≠ ．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 秒时炮弹位置达到最高．15．（2分）（2020九上·西宁期末）铅球运行高度 y （单位： m ）与水平距离 x （单位： m ）之间的函数关系满足 2143123y x x =-++ ，此运动员能把铅球推出 m ． 16．（2分）（2020九上·江川期末）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是 2143y x x 632=-++ ，则他将铅球推出的距离是 m ． 17．（2分）（2021九上·柯桥月考）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为 ()214312y x =--+ ，由此可知铅球推出的距离是 m 。
2022年中考数学压轴大题含答案
2022年中考数学压轴题1．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？解：（1）由二次函数交点式表达式得：y ＝a （x +3）（x ﹣4）＝a （x 2﹣x ﹣12）＝ax 2﹣ax ﹣12a ，即：﹣12a ＝4，解得：a =−13，则抛物线的表达式为y =−13x 2+13x +4；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC =√32+42=5，AB ＝4﹣（﹣3）＝7，BC ＝4√2，∠OBC ＝∠OCB ＝45°， 设BC 的解析式为y ＝kx +b ，将点B 、C 的坐标代入解得：{4k +b =0b =4，解得{k =−1b =4， ∴y ＝﹣x +4…①，设直线AC 的解析式为y ＝k ′x +b ′，则有{−3k +b′=0b′=4，解得{k′=43b′=4∴直线AC 的表达式为：y =43x +4，设线段AC 的中点为K （−32，2），过点M 与CA 垂直，直线的表达式中的k 值为−34， 同理可得过点K 与直线AC 垂直，直线的表达式为：y =−34x +78⋯②，①当AC ＝AQ 时，如图1，则AC ＝AQ ＝5，设：QM ＝MB ＝n ，则AM ＝7﹣n ，由勾股定理得：（7﹣n ）2+n 2＝25，解得：n ＝3或4，∵点Q 在点B 的左侧，∴n ＝3故点Q （1，3）；②当AC ＝CQ 时，如图1，CQ ＝5，则BQ ＝BC ﹣CQ ＝4√2−5，则QM ＝MB =8−5√22， 故点Q （5√22，8−5√22）；③当CQ ＝AQ 时，联立①②并解得：x =252（舍去）；故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（5√22，8−5√22）； （3）设点P （m ，−13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4），∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ，∴PN ＝PQ sin ∠PQN =√22（−13m 2+13m +4+m ﹣4）=−√26（m ﹣2）2+2√23，∵−√26＜0，∴PN 有最大值，当m ＝2时，PN 的最大值为：2√23．2．如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D 、E 的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD ，PE ，DE ．（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置时发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；（3）请直接写出△PDE 周长的最大值和最小值．解：（1）∵边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，∴C （0，8），A （﹣8，0），设抛物线解析式为：y ＝ax 2+c ，则 {c =864a +c =0， 解得：{a =−18c =8． ∴抛物线解析式为y =−18x 2+8．（2）设P （x ，−18x 2+8），则F （x ，8），则PF ＝8﹣（−18x 2+8）=18x 2．PD 2＝x 2+[6﹣（−18x 2+8）]2=164x 4+12x 2+4＝（18x 2+2）2 ∴PD =18x 2+2，∴d ＝|PD ﹣PF |＝|18x 2+2−18x 2|＝2 ∴d ＝|PD ﹣PF |为定值2；（3）如图，过点E 作EF ⊥x 轴，交抛物线于点P ，由d ＝|PD ﹣PF |为定值2，得C △PDE ＝ED +PE +PD ＝ED +PE +PF +2＝ED +2+（PE +PF ），又∵D （0，6），E （﹣4，0）∴DE =√62+42=√52=2√13．∴C △PDE ＝2√13+2+（PE +PF ），当PE 和PF 在同一直线时PE +PF 最小，得C △PDE 最小值＝2√13+2+8＝2 √13+10．设P 为抛物线AC 上异于点A 的任意一点，过P 作PM ∥x 轴，交AB 于点M ，连接ME ，如图2．由于E 是AO 的中点，易证得ME ≥PE （当点P 接近点A 时，在△PME 中，显然∠MPE 是钝角，故ME ≥PE ，与A 重合时，等号成立），而ME ≤AE +AM ，所以PE ≤AE +AM ．所以当P 与A 重合时，PE +PF 最大，AE ＝8﹣4＝4，PD =√AO 2+DO 2=√82+62=10．得C △PDE 最大值＝2√13+4+10＝2√13+14．综上所述，△PDE 周长的最大值是2√13+14，最小值是2 √13+10．3．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y ＝kx +n 与y 轴交于点C ，与抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的另一个交点为D ，已知A （﹣1，0），D （5，﹣6），P 点为抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 上一动点（不与A 、D 重合）．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE +PF 的最大值；（3）设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A 、D 的坐标代入直线表达式得：{−k +n =05k +n =−6，解得：{k =−1n =−1， 故直线l 的表达式为：y ＝﹣x ﹣1，将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+3x +4；（2）直线l 的表达式为：y ＝﹣x ﹣1，则直线l 与x 轴的夹角为45°，即：则PE ＝PF ，设点P 坐标为（x ，﹣x 2+3x +4）、则点F （x ，﹣x ﹣1），PE +PF ＝2PF ＝2（﹣x 2+3x +4+x +1）＝﹣2（x ﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE +PF 有最大值，当x ＝2时，其最大值为18；（3）NC ＝5，①当NC 是平行四边形的一条边时，设点P 坐标为（x ，﹣x 2+3x +4）、则点M （x ，﹣x ﹣1），由题意得：|y M ﹣y P |＝5，即：|﹣x 2+3x +4+x +1|＝5，解得：x ＝2±√14或0或4（舍去0），则点M 坐标为（2+√14，﹣3−√14）或（2−√14，﹣3+√14）或（4，﹣5）； ②当NC 是平行四边形的对角线时，则NC 的中点坐标为（0，32）， 设点P 坐标为（m ，﹣m 2+3m +4）、则点M （n ，﹣n ﹣1），N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形，则NC 的中点即为PM 中点，即：{m +n =0−m 2+3m +4−n −1=3，解得：{m =4n =−4， 故点M （﹣4，3）；故点M 的坐标为：（2+√14，﹣3−√14）或（2−√14，﹣3+√14）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．。
压轴题综合练习2021--2022学年浙教版九年级数学上册 含答案
压轴题综合1．如图，在等边三角形ABC 中，点E 、F 分别是边AB 、AC 上两点，将△ABC 沿EF 翻折，点A 正好落在线段BC 上的点D 处，若BD ＝3CD ．若AE ＝13，则点C 到线段DF 的距离是____．2．如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，点E 是边AB 的中点，连接CE ，将△BCE 沿CE 折叠得到△FCE ，CF 与BD 交于点P ，则DP 的长为 ___．3．如图在Rt ABC 中，△BAC =90°，AB = AC =10，等腰直角三角形ADE 绕点A 旋转，△DAE =90°，AD = AE =4，连接DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，连接MP 、PN 、MN ，则△PMN 面积的最小值是_______．4．如图，在正方形ABCD 中，点E 为BC 边上一点，且2CE BE =，点F 为对角线BD 上一点，且2BF DF =，连接AE 交BD 于点G ，过点F 作FH AE ⊥于点H ，若2HG cm =，则正方形ABCD 的边长为_______cm ．5．问题发现：（1）如图△，点A 和点B 均在△O 上，且△AOB ＝90°，点P 和点Q 均在射线AM 上，若△APB ＝45°，则点P 与△O 的位置关系是 ；若△AQB ＜45°，则点Q 与△O 的位置关系是 ． 问题解决：如图△、图△所示，四边形ABCD 中，AB △BC ，AD △DC ，△DAB ＝135°，且AB ＝1，AD ＝22，点P 是BC 边上任意一点．（2）当△APD ＝45°时，求BP 的长度．（3）是否存在点P ，使得△APD 最大？若存在，请说明理由，并求出BP 的长度；若不存在，也请说明理由．6．已知抛物线()()213y x m x m =--+-（m 为常数，1m ）．()14,A m y +，()22,B m y 是该抛物线上不同的两点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O 逆时针旋转90︒得到直线a ，过抛物线顶点P 作PH a ⊥于H ． （1）当3m =时，求出这条抛物线的顶点坐标；（2）若无论m 取何值，抛物线与直线34m y x m k m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（k 为常数）有且仅有一个公共点，求k 的值；（3）当24PH <≤时，试比较1y ，2y 之间的大小．7．已知△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，△DAE ＝△BAC ．（初步感知）（1）特殊情形：如图△，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB EC ．（填＞、＜或＝）（2）发现证明：如图△，将图△中△ADE 的绕点A 旋转，当点D 在△ABC 外部，点E 在△ABC 内部时，求证：DB ＝EC ． （深入研究）（3）如图△，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则△CDB 的度数为 ；线段CE ，BD 之间的数量关系为 ．（4）如图△，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，△BAC ＝△DAE ＝90°，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为△ADE 中DE 边上的高，则△CDB 的度数为 ；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为 ．8．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，a 、b 、c 为实数，且a ≠0（1）当a ＝1且b ＝c ＋1时，在－1＜x ＜3中，恒有y ＜0，求c 的取值范围；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点D 的纵坐标为－1，若△ABC 是直角三角形，当Rt △ABC 面积取得最大值时，求抛物线的解析式；（3）若抛物线与x 轴只有一个公共点M （2，0），与y 轴交于（0，：直线l ：y ＝kx ＋2k 与抛物线交于点P 、Q ，过点P 且与y 轴平行的直线与直线MQ 相交于点N ，求证：对于每个给定的实数k ，点N 的纵坐标均为定值． 9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△是△ABC 的外接圆，连接BO 并延长交边AC 于点D ． （1）如图1，求证：△BAC ＝2△ABD ；（2）如图2，过点B 作BH △AC 于点H ，延长BH 交△O 于点G ，连接OC ，CG ，OC 交BG 于点F ，求证：BF ＝2HG ； （3）如图3，在（2）的条件下，若AD ＝2，CD ＝3，求线段BF 的长．10．如图，菱形ABCD 与菱形EBGF 的顶点B 重合，顶点F 在射线AC 上运动，且120BCD BGF ∠=∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）如图1．当点F 与点O 重合时，直接写出AEFD的值为 ； （2）当顶点F 运动到如图2的位置时，连接CG ，CG BG ⊥，且CG BC =，试探究CG 与DF 的数量关系，说明理由，并直接写出直线CG 与DF 所夹锐角的度数；（3）如图3，取点P 为AD 的中点，若B 、E 、P 三点共线，且当CF ＝2时，请直接写出BP 的长．11．已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B ′和折痕OP ．设BP ＝t ．（1）如图△，当△BOP ＝30°时，直接写出点B ′的坐标为 ；（2）如图△，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB ′上，得点C ′和折痕PQ ，若AQ ＝m ，试用含有t 的式子表示m ；（3）如图△，在（2）的条件下，当点C ′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标．12．在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，D 是BC 上一点，BD ＝AC ，F 是AC 上一点，连接BF 交AD 于E ． （1）如图1，若AC ＝5，CD ＝2，△CAD ＝△CBF ，求EF ：DE 的值； （2）如图2，若△DEB ＝45°，求证：AF ＝CD ；（3）如图3，在（2）问条件下，过B 作AD 的垂线，交AD 延长线于H ，过C 点作CG △AD 垂足为G ，若DH ＝a，BH ＝b ，直接写出DGAE的值（用a ，b 的式子表示）13．函数2223y x mx m =+-+（m 为常数）的顶点为点P ，设其图象为G ． （1）若点()3,2在图象G 上，求m 的值．（2）设直线y m =-与图象G 交于A 、B 两点，当6AB =时，求m 的值． （3）当02x ≤≤时，该函数的最大值为5，求m 的值．（4）若图象G 在直线12x m =+和直线2x m =-间的部分的满足y 随x 的增大而增大时，且点()21,1Q m m --在直线12x m =+和直线2x m =-以及图象G 、x 轴围城的封闭区域内，直接写出m 的取值范围．14．如图，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 为AC 边上一点，连接ED 并延长至F ，使ED FD =，以EF 为底边作等腰Rt EGF ．（1）如图1，若30ADE ∠=︒，4AE =，求CE 的长；（2）如图2，连接BF ，DG ，点M 为BF 的中点，连接DM ，过D 作DH AC ⊥，垂足为H ，连接AG 交DH 于点N ，求证：=DM NG ；（3）如图3，点K 为平面内不与点D 重合的任意一点，连接KD ，将KD 绕点D 顺时针旋转90︒得到K D '，连接K A '，KB ，直线K A '与直线KB 交于点P ，D 为直线BC 上一动点，连接AD '并在AD '的右侧作C D AD '''⊥且C D AD '''=，连接AC '，Q 为BC 边上一点，3CD CQ =，122AB =，当QC C P ''+取到最小值时，直线C P '与直线BC 交于点S ，请直接写出BPS △的面积．15．以BC 为斜边在它的同侧作Rt△DBC 和Rt△ABC ，其中△A ＝△D ＝90°，AB ＝AC ，AC 、BD 交于点P ． （1）如图1，BP 平分△ABC ，求证：BC ＝AB +AP ；（2）如图2，过点A 作AE △BP ，分别交BP 、BC 于点E 、点F ，连接AD ，过A 作AG △AD ，交BD 于点G ，连接CG ，交AF 于点H ，△求证：△ABG △△ADC ；△求证：GH ＝CH ；（3）如图3，点M 为边AB 的中点，点Q 是边BC 上一动点，连接MQ ，将线段MQ 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MK ，连接PK 、CK ，当△DBC ＝15°，AP ＝2时，请直接写出PK +CK 的最小值．16．已知抛物线22y ax bx =++与x 轴交于(1,0)A -和B 两点，且5AB =，与y 轴交于C ，且对于该二次函数图象上的任意两点()111,P x y ，()222,P x y ，当121x x <≤-时，总有12y y <． （1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线:l y kx b =+与该抛物线交于另一点E ，与线段BC 交于点F ． △若45EFB ∠=︒，求点E 的坐标；△当14t k t ≤≤+时，AFEF 的最小值是52，求t 的值．17．如图1，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，等腰△CDE ，CD ＝DE ，△BAC ＝△EDC ，DE 交BC 于点M ，连接BE ．（1）如图1，若△BAC ＝30°，AC ＝3，AD 32=，求DE 的长度； （2）如图2．若DM △BC 求证：2MB +EB ＝BC ．（3）如图3，△A ＝30°，AC △DE ，CN △AB ，EF △CE ，延长DB 至点H ，使得DH ＝DE ，试判断FM 与FN 的数量关系，并写出证明过程．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线215222y x x =-+交x 轴于A 、B ，交y 轴于点C ．（1）求ABC 的面积；（2）D 为抛物线的顶点，连接BD ，点P 为抛物线上点C 、D 之间一点，连接CP ，DP ，过点P 作//PM BD 交直线BC 于点M ，连接DM ，求四边形CPDM 面积的最大值以及此时P 点的坐标：（3）将抛物线沿射线BC 方向平移35个单位后得到新的抛物线2(0)y ax bx c a '=++≠），新抛物线'y 与原抛物线的交点为E ，在原抛物线上是否存在点Q ，使得以B ，E ，Q 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由．19．如图，已知AB 是△O 的弦，OB ＝1，C 是弦AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交△O 于点D ，连接AD ．设△B ＝α，△ADC ＝β．（1）求△BOD 的度数（用含α，β的代数式表示）；（2）若α＝30°，当AC 的长度为多少时，以点A 、C 、D 为顶点的三角形与B 、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．（3）若α＝β，连接AO ，记△AOD 、△AOC 、△COB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，如果S 2是S 1和S 3的比例中项，求OC 的长．20．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是AB 外一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ，BC 与DE 交于点F ，且AB BD ⊥． （1）如图1，若102,CB =6CE =，求DE 的长；（2）如图2，若点H 、G 分别为线段CF 、AE 的中点，连接HG ，求证：12HG BF =； （3）如图3，在（2）的条件下，若22,CE =4CF =，将BDF 绕点F 顺时针旋转角3(060)αα︒<≤︒，得到B D F ''，连接B G '，取B G '中点Q ，连接BQ ，当线段BQ 最小时，请直接写出BQB '的面积．21．已知直线10y kx =+与x 轴相交于B 两点，交y 轴于点A ，且ABO 的面积为45．（1）求直线AB 的解析式；（2）若(),0D t ，点()0,4E ，连接DE ，将线段DE 绕点E 逆时针转90︒得到线段EK ，连接OK ，KD ，设ODK 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F 为OB 上一点，过F 作OB 的垂线交AB 于点G ，在AE 上取点C ，使得CE ED =，连接CG 、GE ，EF ，且2180FEO EDO ∠+∠=︒，当20CEG S =△时，求CK 的长．22．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，DB 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒，请说明四边形ABCD 是“等邻边四边形”； （2）如图2，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4BC =，并将Rt ABC 沿ABC ∠的平分线'BB 方向平移得到'''A B C ，连接'AA ，'BC ，要使平移后的四边形''ABC A 是“等邻边四边形”，应平移多少距离？（即线段'BB 的长）？请直接写出平移的距离；（3）如图3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB BC =，90ABC ADC ∠+∠=︒，BD nBC =，试探究AD ，AC ，CD 之间的数量关系（用含n 的等式表示）．23．ABC 内接于O ，点D 在BC 边上，射线AD 交O 于点E ，点F 在弧BE 上，连接AF ，ADB AFE ∠=∠．（1）如图1，求证：AB AC =；（2）如图2，BE 交弦AF 于点G ，BC 经过O 点，2AGE EAF ∠=∠，求证：AF BE =；（3）如图3，在（2）的条件下，H 为EG 的中点，连接OH 、CH ，若2180ACH ABE ∠+∠=︒，26AB =，求线段OH 的长．24．如图，函数y ＝﹣x 2＋bx ＋c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）两点，m ，n 分别是方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个实数根，且m ＜n ．（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；（2）设抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ，连接AB ，BC ，BD ，CD ．求证：△BCD △△OBA ；（3）对于（1）中所求的函数y ＝﹣x 2＋bx ＋c ，连接AD 交BC 于E ，在对称轴上是否存在一点F ，连接EF ，将线段EF 绕点E 顺时针旋转90°，使点F 恰好落在抛物线上？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝10，点E 是AD 边上一动点，连接BE 、CE ，以BE 为直径作△O ，交BC 于点F ，过点F 作FH △CE 于H ．（1）当F 为BC 中点时，求证EB ＝EC ； （2）当FH △BE 时，求AE 的长；（3）若线段FH 交△O 于点G ，在点E 运动过程中，如果△FOG ＝90°，请求出此时AE 的长．26．如图，在等边ABC 的AC ，BC 边上各取一点E ，D ，使AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点O ． （1）求证：AD ＝BE ；（2）若BO ＝6OE =，求CD 的长． （3）在（2）的条件下，动点P 在CE 上从点C 向终点E 匀速运动，点Q 在BC 上，连结OP ，PQ ，满足△OPQ ＝60°，记PC 为x ，DQ 的长为y ，求y 关于x 的函数表达式．27．已知，点A 是平面直角坐标系内的一点，将点A 绕坐标原点O 逆时针旋转90︒得到点B ，经过A 、O 、B 三点的二次函数的图象记为G ． （1）若点A 的坐标为()1,2． △点B 的坐标为___________． △求图象G 所对应的函数表达式．（2）若点A 的坐标为()(),20m m m ≠，图象G 所对应的函数表达式为2y ax bx =+（a 、b 为常数，0a ≠）．写出b 的值，并用含m 的代数式表示a ．（直接写出即可）（3）在（2）的条件下，直线2x =-与图象G 交于点P ，直线1x =与图象G 交于点Q ．图象G 在P 、Q 之间的部分（包含P 、Q 两点）记为1G ．△当图象G 在21x -≤≤上的函数值y 随自变量x 的增大而增大时，设图象1G 的最高点的纵坐标为1h ，最低点的纵坐标为2h ，记12h h h =-，求h 的取值范围．△连结PQ ，当PQ 与图象1G 围成的封闭图形与x 轴交于点D （点D 不与坐标原点重合）．当12OD ≥时，直接写出m 的取值范围．28．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴交于A (﹣1，0)，B 两点，与y 轴交于点C (0，﹣3a )． （1）求点B 的坐标；（2）若a ＝12，点M 和点N 在抛物线上，且M 的横坐标为4，点N 在第二象限，若△AMN ＝2△OAM ，求点N 的坐标； （3）P 是第四象限内抛物线上的一个动点，直线P A 、PB 分别交y 轴于点M 、N ，判断CM 与CN 的数量关系，并说明理由．29．已知，在ABC 中，AB AC =，1902D BCD B ∠+∠=︒+∠．（1）如图1，求证：AD DC =（2）如图2，连接BD ，交AC 于点E ，若60ADC ∠=︒，求CBD ∠的度数（3）如图3，在（2）的条件下，延长BA 、CD 交于点F ，若1AE =，3DF =，求BF 的长．30．如图，AB 是△O 的直径，C 、D 是△O 上两点．AE 与过点C 的切线垂直，垂足为E ，直线EC 与直径AB 的延长线相交于点P ，弦CD 交AB 于点F ，连接AC 、AD 、BC 、BD ． （1）若△ABC ＝△ABD ＝60°，判断△ACD 的形状，并证明你的结论； （2）若CD 平分△ACB ，求证：PC ＝PF ；（3）在（2）的条件下，若AD ＝52，PF ＝53，求由线段PC 、CB 和线段BP 所围成的图形（阴影部分）的面积．31．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝25，tan△CAB ＝12，P 为AC 上一点，PD △AB 交AB 于点E ，AD △AC 交PD 于点D ，连结BD ，CD ，CD 交AB 于点Q ．（1）若CD △BC ，求证：△AED △△QCB ； （2）若AB 平分△CBD ，求BQ 的长； （3）连结PQ 并延长交BD 于点M ． △当点P 是AC 的中点时，求tan△BQM 的值△当PM 平行于四边形ADBC 中的某一边时，求BMDM的值．32．如图1，已知抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A ，(3,0)B -． （1）求抛物线的解析式及其顶点C 的坐标；（2）设点D 是x 轴上一点，当CDO ACO ∠=∠时，求点D 的坐标；（3）如图2，抛物线与y 轴交于点E ，点P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A 交BE 于点M ，交y 轴于点N ，BMP 和EMN 的面积相等时，求P 的坐标．33．在ABC 中，3AC BC ==，120ACB ∠=︒，在ADE 中，90DAE ∠=︒，30AED ∠=︒，1AD =，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）如图1，当顶点D 在边AB 上时，线段BE 与线段CF 的数量关系是______，线段BE 与线段CF 的位置关系是 ；（2）将ADE 绕点A 旋转，转到图2的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；（3）在ADE 绕点A 旋转的过程中，线段AF 的最大值为______；当//DE CF 时，线段CF 的长为______． 34．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）（1）若抛物线的对称轴为x ＝3，若抛物线与x 轴的两个交点的横坐标比为1：2，求这两个交点的坐标； （2）抛物线的顶点为点C ，抛物线与x 轴交点分别为A 、B ，若△ABC 为等边三角形，求证：b 2—4ac ＝12； （3）若当x ＞—1时，y 随x 的增大而增大，且抛物线与直线y ＝ax —1a ＋c 相切于点D ，若OD ≥22恒成立，求c 的取值范围．参考答案1 【分析】过点C 作CN △FD 于点N ，过点E 作EM △BC 于点M ，首先证明BED CDF △△，得到BE ED BD CD DF CF==，设=CD x ，通过计算用x 表示出相关线段，根据相似比解出x 的值，再证明EMD CNF △△，得到EM ED CN CF=，代入数值计算即可． 【详解】解：过点C 作CN △FD 于点N ，过点E 作EM △BC 于点M ，作图如下：△ABC 为等边三角形△60A B ACB ∠=∠=∠=△折叠△160A ∠=∠=△2+1801120FDC ∠∠=-∠=又△60FCD ∠=△3+=180120FDC FCD ∠∠-∠=△2=3∠∠又△=60B FCD ∠∠=△BED CDF △△ △BE ED BD CD DF CF== 又△3BD CD =△设=CD x ，则3,4BD x BC x ==△=13,AE AE BE AB +=△413BE x =- △4133x x x CF-= △23413x CF x =- △折叠△AF FD =，13AE ED == △234413x AF DF x x ==-- △13413x DF x-= 即：21341334413x x x x x -=-- 化简得：213650x x -=解得：12=5=0x x ，（舍）△1341320137BE AB x =-=-=-=，3257577CF ⨯== 在Rt BME △中，60B ∠= △1722BM BE ==,ME == △7723315222MD BD BM x =-=-=-= 又△2390EMD N ∠=∠∠=∠=，△EMD CNF △△ △EM ED CN CF=即：132=757CN△CN =【点睛】本题考查三角形的相似性质和判定，等边三角形的性质，含30︒的直角三角等知识点，牢记定理内容是解题关键．2 【分析】由勾股定理可求出BD 、EC 的长，连接BF 交CE 于点G ，作FH △BC 于点H ，PQ △BC 于点Q ，根据相似三角形的性质求出BG 的长，再根据面积等式列方程求出FH 的长，再根据相似三角形的性质求出BQ 与CQ 的比，进而求出DP 的长．【详解】解：如图，连接BF 交CE 于点G ，作FH △BC 于点H ，PQ △BC 于点Q ，△四边形ABCD 是矩形，△AB =DC =2，△ABC =△BCD =90°，△BC =3，△.BD =△AE =BE =12AB =12×2=1，△EC =由折叠得，CE 垂直平分BF ，△△BGC =△EBC =90°，△△GCB =△BCE ，△△BGC △△EBC ， △GB BC BE EC=，△BC BE GB EC ⋅==△22BF GB ===，CG =由12BC•FH=12BF•CG得，12×3FH=12解得，FH=95；△△CHF=90°，FC=BC=3，△125CH=；△PQ△FH，△△CPQ△△CFH，△CQ PQCH FH=，△1245935CQ CHPQ FH===，△CQ=43PQ，△△BQP=△BCD=90°，△PQ△DC，△△BPQ△△BDC，△BQ PQBC DC=，△32BQ BCPQ DC==，△BQ=32PQ，△392483PQBP BQDP CQ PQ===，△881717DP BD==，．【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简以及用面积等式列方程等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，计算烦琐，应注意检验所求的结果是否正确．3．92【分析】通过ABC 和ADE 为等腰直角三角形，判定出ADB AEC ≅，得到,,DB EC ABD ACE =∠= 通过已知条件，再设,,ACE x ACD y ∠=︒∠=︒得到PMN 为等腰直角三角形，所以2211,28PMN S PN BD ==当BD 最小时，PMN 的面积最小，D 是以A 为圆心，AD =4为半径的圆上的点，所以点D 在AB 上时，BD 最小，即可得到最终结果．【详解】 Rt ABC 中，△BAC =90°，AB = AC =10，∴ABC 为等腰直角三角形， 又△DAE =90°，AD = AE =4，∴ADE 为等腰直角三角形，(),,,,,BAC DAC DAE DAC BAD CAE ADB AEC SAS DB EC ABD ACE ∴∠-∠=∠-∠∴∠=∠∴≅∴=∠= 点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，11//,,//,,22,,,MP EC MP EC NP BD NP BD MP NP DPM DCE PNC DBC ∴==∴=∠=∠∠=∠ 设,,ACE x ACD y ∠=︒∠=︒,45,45,90,,90,ABD x DBC x PNC DCB y DPN DCB PNC x y DPM DCE x y MPN DPM DPN ∴=︒∠=︒-︒=∠∠=︒-︒∴∠=∠+∠=︒-︒-︒∠=∠=︒+︒∴∠=∠+∠=︒ PMN ∴△是等腰直角三角形，2211,28PMN S PN BD ∴== ∴当BD 最小时，PMN 的面积最小， D 是以A 为圆心，AD =4为半径的圆上的点，∴点D 在AB 上时，BD 最小，1046,BD AB AD =-=-=221196,882PMN S BD ∴==⨯=∴△PMN 面积的最小值是92． 故答案为：92． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，涉及全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，有一定难度和综合性，属于压轴题，熟练掌握这些性质，利用旋转解题是关键．4【分析】如图，过F 作FI BC ⊥于I 点，连接FE 和F A ，得到BIF BCD ，设23BE EI IC acm CE FI acm AB acm ======，，，求出FE ，AH ，AG ，证明BEG DAG ， 得到1122)33cm c GE AG GE HE GH m ⎫==+=-=-⎪⎪⎝⎭，， 最后求值即可． 【详解】如图，过F 作FI BC ⊥于I 点，连接FE 和F A ，FI BC ⊥，四边形ABCD 为正方形，//FI CD ∴，BIF BCD ∴，2BF DF =，23BI BF BC BD ∴==， I ∴ 为BC 的三等分点，2CE BE =，E ∴为 BC 的三等分点，BE EI IC ∴==，∴设BE EI IC acm ===，∴3AB BC acm ==， BFI 为等腰直角三角形，2BI FI acm ∴==，FE FC FA ∴==， H ∴ 为AE 的中点，AE AB ===，122)AH HE AE AG AH GH cm ∴===∴=+=+，， 四边形ABCD 为正方形，∴//BE AD ， BEG DAG ∴，13112332)122)33GE BE AG AD GE AG G cm cm cm c E HE GH a m AB a ∴==⎫∴==+⎪⎪⎝⎭=-=-⎫∴+=-⎪⎪⎝⎭∴=∴==，，，，． 【点睛】 本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是CE= 2BE ，BF=2DF 的利用以及这些性质的熟记．5．（1）点P 在△O 上，点Q 在△O 外；（2）PB2（3−1【分析】（1）如图△中，根据圆周角与圆心角的关系即可判断；（2）如图2中，造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心作△O交BC于P、P′，易知△APD ＝△AP′D＝45°．求出BP′和BP的长即可解决问题；（3）作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作△O，当△O与BC相切于点P时，△APD最大，求出此时BP的值即可；【详解】解：（1）如图△中，△AOB＝45°，△△APB＝12△点P在△O上，△△AQB＜45°，△点Q在△O外．故答案为点P在△O上，点Q在△O外．（2）如图2中，如图构造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心，OA为半径作△O交BC于P、P′，易知△APD＝△AP′D＝45°．延长DO交BC于H，△△DAB＝135°，△DAO＝45°，△△OAB＝△B＝90°，△OA△BC，△△DOA＝△OHB＝90°，△四边形ABHO是矩形，△AB＝OH＝1，OA＝BH，△AD＝△OA＝OD＝OP＝OP′＝2，在Rt△OPH和Rt△OP′H中，易知HP＝HP′=，△BH＝OA＝2，△BP′＝，PB＝2（3）如图△中，存在．作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作△O，当△O与BC相切于点P时，△APD最大，理由：在BC上任意取一点M，连接MA、MD，MD交△O于N，连接AN．△△AND＞△AMD，△APD＝△AND，△△APD＞△AND，连接OP，延长DA交CB的延长线于点G．△AB△BC，△DAB＝135°，△△G＝△EFG＝45°，△△ABG，△EFG都是等腰直角三角形，△AB＝BG＝1，△AG△AD＝OE△AD，△AE＝ED△EG＝EF＝GF EG＝4，设OP ＝PF ＝r ，则OF，OE ＝EF −OF ＝， 在Rt △AOE 中，AE 2＋OE 2＝OA 2，△()222+r =，解得r ＝或4（舍弃）， △BP ＝GF −GB −PF ＝4−1−r−1． 【点睛】本题考查圆综合题、圆周角与圆心角的关系、点与圆的位置关系、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题．6．（1）()1,1-；（2）1k =-;（3）当34m <<时，12y y >，当4m =时，12y y =当45m <≤时，12y y >【分析】（1）将m 3=代入解析式，进而化为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标；（2）联立抛物线与直线解析式，根据题意，令0∆=，根据结果与m 无关，令m 的系数为0，即可求得k 的值；（3）先根据顶点公式求得抛物线的顶点为21613,24m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，根据旋转可得四边形ODHC 是正方形，进而根据坐标与图形的关系求得24114m m PH -+=，根据24PH <≤，又1m ，求得m 的范围，由()14,A m y +，()22,B m y 是抛物线()()213y x m x m =--+-上不同的两点，求得12,y y ，进而根据函数图像比较1y ，2y 之间的大小． 【详解】 （1）3m =()22211y x x x ∴=-=--∴这条抛物线的顶点坐标为()1,1-；（2）()()21334y x m x m m y x m k m ⎧=--+-⎪⎨⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎩即()2313()4m x m x m x m k m--+-=-++ ()22104m x mx k m -+++=若无论m 取何值，抛物线与直线34m y x m k m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（k 为常数）有且仅有一个公共点，∴0∆=()224104m m k m ⎡⎤∴-⨯++=⎢⎥⎣⎦即1k =- （3）122b m a --=， ()2224(3)14613444m m ac b m m -----+-==， ∴抛物线的顶点为21613,24m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭将抛物线的对称轴绕坐标原点O 逆时针旋转90︒得到直线a ，过抛物线顶点P 作PH a ⊥于H ，如图，设PH 交x 轴于点C ，a 交y 轴于点D ，设点P 旋转后的对应点为P '，根据旋转的性质可得 OCP ODP '△≌△，则OC OD =，PH a ⊥，PH x ⊥轴，90DOC ∠=︒∴四边形ODHC 是矩形OC OD=∴四边形ODHC是正方形，∴PH HC CP=+,2161324m m mPH--+-∴=-24114m m-+=()22411270m m m-+=-+≥24114m mPH-+∴=24PH<≤，又1m∴224304501m mm mm⎧-+>⎪--≤⎨⎪>⎩即3,1151m mmm><⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩35m∴<≤()14,A m y+，()22,B m y是抛物线()()213y x m x m=--+-上不同的两点，()()()()214413617y m m m m m∴=+-+-+-=+()()()2222213233y m m m m m m=--+-=+-223332()48y m=+-即当34m≥-时，y随m的增大而增大，∴当35m<≤，y随m的增大而增大，当42m m+=，即4m=时，,A B两点重合，根据图像可知，4m <时，12y y > 当4m =时，12y y = 当4m >时，12y y >35m <≤∴当34m <<时，12y y >，当4m =时，12y y =当45m <≤时，12y y >【点睛】本题考查了二次函数综合，求抛物线顶点坐标，二次函数与一元二次方程的关系，与不等式的关系，二次函数的性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 7．（1）=；（2）见解析；（3）60︒，DB CE =；（4）90︒，2AM BD CD += 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到DB EC =；（2）由旋转得到的结论判断出DAB EAC ∆≅∆，得到DB CE =；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明DAB EAC ∆≅∆，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）AD AE =，AB AC =，AB AD AC AE ∴-=-，即BD CE =故答案为：=， （2）成立．理由：由旋转性质可知DAB EAC ∠=∠，在DAB ∆和EAC ∆中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAB EAC SAS ∴∆≅∆，DB CE ∴=；（3）如图△，设AB ，CD 交于O ， ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，AD AE ∴=，AB AC =，60∠∠︒DAE BAC ==，DAB EAC ∴∠=∠，在DABDAB ∆和EAC ∆中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAB EAC SAS ∴∆≅∆，DB CE ∴=，ABD ACE ∠=∠， BOD AOC ∠=∠，60CDB BAC ∴∠=∠=︒；故答案是：60︒，DB CE =； （4）DAE ∆是等腰直角三角形，45AED ∴∠=︒， 135∴∠=︒AEC ，在DAB ∆和EAC ∆中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAB EAC SAS ∴∆≅∆，135ADB AEC ∴∠=∠=︒，BD CE =，45ADE ∠=︒，90BDC ADB ADE ∴∠=∠-∠=︒，ADE ∆都是等腰直角三角形，AM 为ADE ∆中DE 边上的高，AM EM MD ∴==， 2AM BD CD ∴+=；故答案为：90︒，2AM BD CD +=； 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解题的关键是掌握三角形全等的判定． 8．（1）3c ≤-；（2）21y x =-；（3）见解析 【分析】（1）由－1＜x ＜3中，恒有y ＜0，得出1x =-或3x =时，函数值不大于0，列不等式组即可求得c 的范围；（2）令0y =，设12,x x 是方程20ax bx c ++=的两根，则()()()12,0,00,A x B x C c ，，，根据题意，90C ∠=︒，120x x <<，证明AOC COB ∽，可得212c x x =-，根据根与系数的关系可得2c c a =-，即1ac =-，由顶点D 的纵坐标为－1，2241144b b a +==+≥，计算121=2ABC S c x x ⨯⋅-，根据1a ≥可得1ABC S ≤，进而确定,,a b c 的值，即可求得解析式；（3）根据已知条件，设抛物线的解析式为()22y a x =-，将（0，解析式)22y x =-，设直线2y kx k =+与抛物线交于点P 、Q ，()(),,,P P Q Q P x y Q x y ，联立直线与抛物线解析式，利用根与系数的关系求得,P Q P Q x x x x +=，根据题意求得直线MQ 的直线解析式，进而求得N 的纵坐标，将)22Q Q y x =-，代入N y ，根据,P Q P Q x x x x +=计算即可求得N 的纵坐标为一定值，进而即可得证． 【详解】（1）当1a =且1b c =+时，()21y x c x c =+++，－1＜x ＜3中，恒有y ＜0，1x ∴=-或3x =时，函数值不大于0，即()()()()2211103310c c c c ⎧-++⨯-+≤⎪⎨+++≤⎪⎩3c ∴≤-（2）令0y =，设12,x x 是方程20ax bx c ++=的两根，则()()()12,0,00,A x B x C c ，， 抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，△ABC 是直角三角形，90C ∴∠=︒，120x x <<如图，90AOC BOC ACB ∴∠=∠=∠=︒ 90,90ACO A A B ∴∠+∠=︒∠+∠=︒B ACO ∴∠=∠ AOC COB ∴∽OC AOOB CO∴= 2CO AO BO ∴=⋅12,,OA x OB x OC c =-==- 212c x x ∴=-1212,b cx x x x a a +=-=2cc a∴=-0c ≠1c a∴=-即1ac =-顶点D 的纵坐标为－1，2414ac b a -∴=-244a b ∴=+2241144b b a +∴==+≥121=2ABCS c x x ∴⨯⋅-=====1ABCS∴≤此时1,0,1a b c ===-∴抛物线的解析式为21y x =-（3）抛物线与x 轴只有一个公共点M （2，0），与y 轴交于（0，∴设抛物线的解析式为()22y a x =-，将（0，得()202a -解得a =∴抛物线的解析式为)222y x =-=-+设直线2y kx k =+与抛物线交于点P 、Q ， 设()(),,,P P Q Q P x y Q xy联立得22kx k x +=-+()2240k x k -+=,P Q P Q x x x x ∴+= 设MQ 的直线解析式为y mx n =+，将()2,0M ，(),Q Q Q x y 代入得20Q Q m n mx n y +=⎧⎨+=⎩解得222Q Q Q Q y m x y n x ⎧=⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∴直线MN 的解析式为222Q Q Q Q y y y x x x =---过点P 且与y 轴平行的直线与直线MQ 相交于点N ， 当P x x =时， N y =222Q Q P Q Q y y x x x ---()22Q P Q y x x =--)2322Q Qy x =-))()222222P N Q Q P Q x y x x x x -∴=---- ()24P Q P Q x x x x⎤=-++⎦24⎤⎛⎫=-+⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =-∴对于每个给定的实数k ，点N的纵坐标均为定值-【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与抛物线交点，不等式组的应用，一元二次方程根与系数的关系，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数最值问题，综合运用以上知识是解题的关键． 9．（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）BF =． 【分析】（1）连接OA 并延长AO 交BC 于E ，证明△BAC =2△BAE 和△ABD =△BAE 即可得结论， （2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角，得出MCG △和△FCG 是等腰三角形，得出BM =MC =FG =CG ，MH =HG ，进而由BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ，得出结论； （3）过O 点作OP △AC ，由垂径定理得出12PD =，再由52ABO ADOS AB BO S AD OD ===和平行线分线段成比例定理求出7724DH DP ==，由勾股定理进而可求BH ，再利用相似三角形对应边成比例求出HG ，即可得BF 长． 【详解】解：（1）连接OA 并延长AO 交BC 于E ，△AB =AC ， △AB AC =， △AE 过圆心O ， △AE BC ⊥，BE EC =， △△BAC =2△BAE ， △OA =OB ， △△ABD =△BAE ， △△BAC =2△ABD ；（2）如解图（2），连接OA 并延长AO 交BC 于E ，AE 交BF 于M ，连接MC ， 设2BAC α∠=，则ABD BAE EAC α∠=∠=∠=△AE =EC ，AE △BC ，△BM =MC ，△△MBC =△MCB ，△BG △AC ，AE △BC ，△△EAC +△ACE =90°，△HBC +△ACE =90°，△EAC HBC MCB α∠=∠=∠=，△2CMG MBC MCB α∠=∠+∠=，△BC BC =，△2G BAC α∠=∠=，△△G =△CMG ，△CG =CM =BM ，△AC △BG ，△MH =HG ，△OA =OC ，△ACO EAC α∠=∠=△9090CFG ACO α∠=︒-∠=︒-，△180FCG CFG G ∠=︒-∠-∠，即180(90)290FCG ααα∠=︒-︒--=︒-，△FCG CFG ∠=∠，△FG =CG ，△BM =MC =FG =CG ，又△MH =HG ，△BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ，△BF =2HG ．（3）过O 点作OP △AC ，如解图（3）△AO 是△BAC 的角平分线，△点O 到AB 、AC 的距离相等， △ABO ADO SAB BO S AD OD==， △AD =2，CD =3，△AB =AC =5， △5=2BO OD ，即：2=7OD BD ， △OP △AC ，△52AP PC ==，12PD =， △BH AC ⊥， △OP //BH ，△27DP OP OD DH BH BD ===， △7724DH DP ==， △154AH AD DH =+=，5-4HC DC DH ==，△在Rt ABH中，BH == △BAH G ∠=∠，AHB GHC ∠=∠， △AHB GHC △△，△AH BH HG CH = 即：AH HC BHHG =， 51544=⨯， △HG =， 由（2）得BF =2HG ，△BF =【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系，从而利用相似或勾股定理解题．10．（1（2）FD ，30；（3）【分析】（1）设菱形ABCD 边长=2AB a ，由菱形性质和已知得出30ABD ∠=︒，60BAO ∠=︒，=BF FD AB =，再由含30度角的直角三角形的性质求出=BF FD AB =，1=2AE EF BE AB a ===，进而求得AE FD 的值；（2）菱形ABCD 的边长为2a ，由BGC 是等腰直角三角形CG ==，再已知菱形的条件，求出BOF 是等腰直角三角形，继而得出BF DF ==，从而求出FD =，由B 、D 是关于AC 的轴对称可知15CDF CBF ∠=∠=︒，再由三角形外角的性质可得直线CG 与DF 所夹锐角的度数为30；（3）利用半角模型将BCF △逆时针旋转60°到BAM 位置，从而得出BNF BNM ≅（SAS ），得到一个由CF 、NF 、AN 三条线段长组成的三角形，而且有内角为120°，从而确定三条线段关系，再利用中位线定理和三角形相似在菱形中得出NF 、AN 与菱形边长关系，求出菱形边长即可解答．【详解】解：（1）设菱形ABCD 边长=2AB a ，△在菱形ABCD 中，120BCD BGF ∠=∠=︒，△AC BD ⊥， 60ABC ∠=︒，120BAD ∠=︒，△30ABD ∠=︒，60BAO ∠=︒，=BF FD AB =， △在四边形EBGF 是菱形，120BGF ∠=︒，BE EF =，∴30EBH EFH ∠=∠=︒，60AFE ∴∠=︒，△=60AFE EAO ∠=∠︒，△AE EF =，△1=2AE EF BE AB a ===，AE FD ∴==（2）FD =，直线CG 与DF 所夹锐角的度数为30．理由如下，如图，连接BF ，延长GC 交FD 于N ，设菱形ABCD 的边长为2a ，△CG BG ⊥，且CG BG =，△=45GBC GCB ∠=∠︒，CG == △60GBE ∠=︒，△四边形EBGF 是菱形， 120BGF ∠=︒，1=302GBF BFG GBE ∴∠=∠∠=︒， △15CBF GBC GBF ∠=∠-∠=︒，△301545OBF OBC CBF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，△AC BD ⊥，BO DO =，△45BFO OBF ∠=∠=︒，BF DF =，由（2）可知：BO =，△BF DF ==，△DF ，由B 、D 是关于AC 的轴对称可知，15CDF CBF ∠=∠=︒，又△18015DCN BCG BCD ∠=︒-∠-∠=︒，△30GNF CDF DCN ∠=∠+∠=︒，即直线CG 与DF 所夹锐角的度数为30；（3）BP =过程如下：依题意，作出图形，此时B 、E 、P 三点共线，连接BF ，并将线段BF 绕点B 逆时针旋转60°到BM 位置，连接MG 、MA ，△=60CBA FBM ∠=∠︒，BC BA =△BCF BAM ≅（SAS ）△AM=CF=2，60MAB FCB ∠=∠=︒， △1302EBF GBE ∠=∠=︒， △-30MBN FBM FBN ∠=∠∠=︒，△30MBG FBG ∠=∠=︒，△BNF BNM ≅（SAS ），△=FN MN过M 点作MH △CH ，△60BAO ∠=︒，△60MAH ∠=︒，30HMA ∠=︒，△112AH AM ==，MH == 取OD 的中点Q ，连接QP ，△AP =PD ，△12PQ OA =，//PQ OA ， △BNO BPQ ~， △2233NO BO OQ PQ BQ OQ ===， △2133NO PQ OA ==， 设菱形ABCD 的边长为2a ，则12AO CO AB a ===， △1233AN AO ON a a a =-=-=， 142233MN FN CO ON CF a a a ==+-=+-=-， 213NH NA AH a =+=+， 在Rt MGH 中，222NH MH MN +=，△222241233a a ⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得1=0a （舍去），2=3a ，△1322PQ a ==，32BQ OD ===， △在Rt BPQ 中，222BQ PQ BP +=，△223)2BP += 【点睛】本题是几何旋转综合题，主要考查了菱形的性质、旋转全等、30°直角三角形性质和勾股定理解三角形等，解题关键是利用特殊角进行计算得出其他角度数，利用旋转得到由CF 、NF 、AN 三条线段长组成的三角形，而且有内角为120°，从而通过已知计算．11．（1）()；（2）()2111601166m t t t =-+<<；（3）⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭ 【分析】(1)根据题意得，△OBP =90°，OB =6，在Rt △OBP 中，由△BOP =30°，如图，过点B ′作B M OA '⊥于M 点，根据折叠可得30,6,B OP BOP OB OB ''∠=∠=︒==推出30,B OM ∠=︒'得到13,2B M OB ''==再利用勾股定理求出OM 的长，即可求得答案； (2）由△O B 'P 、△QC 'P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，可知△O B 'P ≅△OBP ，△Q C '。
2024届浙江省温州市瑞安市重点达标名校初中数学毕业考试模拟冲刺卷含解析
2024届浙江省温州市瑞安市重点达标名校初中数学毕业考试模拟冲刺卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．下列运算正确的是 （ ） A ．22a +a=33a B ．()32m =5mC ．()222x y x y +=+D ．63a a ÷=3a2．如图，长度为10m 的木条，从两边各截取长度为xm 的木条，若得到的三根木条能组成三角形，则x 可以取的值为（ ）A ．2mB ．52m C ．3m D ．6m3．某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x （单位：环）．下列说法中正确的是（ ） A ．若这5次成绩的中位数为8，则x ＝8 B ．若这5次成绩的众数是8，则x ＝8 C ．若这5次成绩的方差为8，则x ＝8 D ．若这5次成绩的平均成绩是8，则x ＝8 4．如图，点A 是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ．若△ABC 的面积为3，则k 的值是（ ）A ．3B ．﹣3C ．6D ．﹣65．两个同心圆中大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，AB=8，则形成的圆环的面积是（ ）A．无法求出B．8 C．8πD．16π6．一、单选题如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（）A．B．C．D．7．如图，A,B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束. 设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是A．①B．④C．②或④D．①或③8．我国的钓鱼岛面积约为4400000m2，用科学记数法表示为（）A．4.4×106B．44×105C．4×106D．0.44×1079．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球,这些球除颜色不同外其余都相同,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黑球的概率是( )A．49B．13C．16D．1910．下列计算，正确的是（）A．a2•a2=2a2B．a2+a2=a4C．（﹣a2）2=a4D．（a+1）2=a2+1 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，已知直线m∥n，∠1＝100°，则∠2的度数为_____．12．如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB=8，AD=7，E 为AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP ），使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是_____________．13．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，3BC AD =，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点．设AD a =，DC b =，那么向量EC 用向量,a b 表示是________．14．在正方形ABCD 中，4=AD ，点E 在对角线AC 上运动，连接DE ，过点E 作 EF ED ⊥，交直线AB 于点F （点F 不与点A 重合），连接DF ，设CE x =，tan ADF y ∠=，则x 和y 之间的关系是__________（用含x 的代数式表示）．15．如果方程x 2-4x+3=0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为＿＿＿＿＿＿＿．16．如图，AC 是以AB 为直径的⊙O 的弦，点D 是⊙O 上的一点，过点D 作⊙O 的切线交直线AC 于点E ，AD 平分∠BAE ，若AB=10，DE=3，则AE 的长为_____．17．在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm 的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为______．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. 填空：∠ABC= °，BC= ；判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.19．（5分）解方程： +=1．20．（8分）如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，AD=m ，动点P 从点D 出发，在边DA 上以每秒1个单位的速度向点A 运动，连接CP ，作点D 关于直线PC 的对称点E ，设点P 的运动时间为t （s ）． （1）若m=5，求当P ，E ，B 三点在同一直线上时对应的t 的值．（2）已知m 满足：在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于2，求所有这样的m 的取值范围．21．（10分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点． （1）当直线m 的表达式为y ＝x 时，①在点()11,1P ，(22P ，32222P ⎛ ⎝⎭中，直线m 的平行点是______； ②⊙O 10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标．（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线3y x =的平行点，直接写出n 的取值范围． 22．（10分）小强想知道湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道I上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30°，亭B在点M的北偏东60°，当小明由点M沿小道I向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小强计算湖中两个小亭A、B之间的距离.23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数34y x=与一次函数7y x=-+的图像交于点A，（1）求点A的坐标；（2）设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交34y x=和7y x=-+的图像于点B、C，连接OC，若BC=75OA，求△OBC的面积.24．（14分）矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连接MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问动点M 、N 在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF 的长度；若变化，说明理由．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1、D 【解题分析】根据整式的混合运算计算得到结果，即可作出判断． 【题目详解】A 、22a 与a 不是同类项，不能合并，不符合题意；B 、()32m =6m，不符合题意；C 、原式=22x 2y xy ++，不符合题意；D 、63a a ÷=3a ，符合题意， 故选D ． 【题目点拨】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2、C 【解题分析】依据题意，三根木条的长度分别为x m ，x m ，(10-2x ) m ，在根据三角形的三边关系即可判断. 【题目详解】解：由题意可知，三根木条的长度分别为x m ，x m ，(10-2x ) m ， ∵三根木条要组成三角形， ∴x -x <10-2x <x +x , 解得：552x <<. 故选择C. 【题目点拨】本题主要考察了三角形三边的关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边. 3、D 【解题分析】根据中位数的定义判断A ；根据众数的定义判断B ；根据方差的定义判断C ；根据平均数的定义判断D ． 【题目详解】A 、若这5次成绩的中位数为8，则x 为任意实数，故本选项错误；B 、若这5次成绩的众数是8，则x 为不是7与9的任意实数，故本选项错误；C 、如果x=8，则平均数为15（8+9+7+8+8）=8，方差为15[3×（8-8）2+（9-8）2+（7-8）2]=0.4，故本选项错误； D 、若这5次成绩的平均成绩是8，则15（8+9+7+8+x ）=8，解得x=8，故本选项正确；故选D ． 【题目点拨】本题考查中位数、众数、平均数和方差：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差()()()()22221232...n x x x x x x x xSn-+-+-++-=，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 4、D 【解题分析】试题分析：连结OA ，如图，∵AB ⊥x 轴，∴OC ∥AB ，∴S △OAB =S △CAB =3，而S △OAB =|k|，∴|k|=3，∵k ＜0，∴k=﹣1．故选D ．考点：反比例函数系数k 的几何意义． 5、D 【解题分析】试题分析：设AB 于小圆切于点C ，连接OC ，OB ．∵AB于小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC=AC=12AB=12×8=4cm．∵圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2∴圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）=π•BC2=16π．故选D．考点：1．垂径定理的应用；2．切线的性质．6、D【解题分析】试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D.考点：简单几何体的三视图.7、D【解题分析】分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【题目详解】解：当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①．故选D．8、A【解题分析】4400000=4.4×1．故选A．点睛：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．9、D【解题分析】试题分析：列表如下由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所以的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是19．故答案选D ． 考点：用列表法求概率． 10、C 【解题分析】解：A.224 .a a a ⋅=故错误； B.2222.a a a += 故错误； C.正确；D.()2212 1.a a a +=++ 故选C ． 【题目点拨】本题考查合并同类项，同底数幂相乘；幂的乘方，以及完全平方公式的计算，掌握运算法则正确计算是解题关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11、80°． 【解题分析】如图，已知m ∥n ，根据平行线的性质可得∠1＝∠3，再由平角的定义即可求得∠2的度数. 【题目详解】 如图，∵m ∥n ， ∴∠1＝∠3， ∵∠1＝100°， ∴∠3＝100°，∴∠2＝180°﹣100°＝80°， 故答案为80°． 【题目点拨】本题考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键. 12、52或45或1 【解题分析】 如图所示：①当AP=AE=1时，∵∠BAD=90°，∴△AEP 是等腰直角三角形，∴底边PE=2AE=52； ②当PE=AE=1时，∵BE=AB ﹣AE=8﹣1=3，∠B=90°，∴PB=22PE BE -=4，∴底边AP=22AB PB +=2284+=45；③当PA=PE 时，底边AE=1；综上所述：等腰三角形AEP 的对边长为52或45或1； 故答案为52或45或1．13、122a b +【解题分析】分析：根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出EF ，然后根据向量的三角形法则解答即可． 详解：∵点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，FC =12DC ，∴EF =12（AD +BC ）．∵BC =3AD ，∴EF =12（AD +3AD ）=2AD ，由三角形法则得，EC =EF +FC =2AD +12DC AD ．=a DC ，=b EC ∴，=2a +12b ． 故答案为：2a +12b ． 点睛：本题考查了平面向量，平面向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键，本题还考查了梯形的中位线等于上底与下底和的一半．14、2y x 14=-+或2y x 14=- 【解题分析】①当F 在边AB 上时，如图1作辅助线，先证明FGE ≌EHD ，得2FG EH x 2==，AF 42x =-，根据正切的定义表示即可； ②当F 在BA 的延长线上时，如图2，同理可得：FGE ≌EHD ，表示AF 的长，同理可得结论．【题目详解】解：分两种情况：①当F 在边AB 上时，如图1，过E 作GH //BC ，交AB 于G ，交DC 于H ，四边形ABCD 是正方形，ACD 45∠∴=，GH DC ⊥，GH AB ⊥，2EH CH x ∴==，FGE EHD 90∠∠==， 2DH 4GE ∴==， GFE HED ∠∠=，FGE ∴≌EHD ，2FG EH x 2∴==，2BG CH x 2==， AF 42x ∴=-，Rt ADF 中，AF 42x tan ADF y AD 4∠-===， 即2y x 14=-+； ②当F 在BA 的延长线上时，如图2，同理可得：FGE ≌EHD ，2FG EH x 2∴==， 2BG CH x 2==， AF 2x 4∴=-，Rt ADF 中，AF 2x 42tan ADF y x 1AD 44∠-====-． 【题目点拨】 本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、三角函数等知识，熟练掌握正方形中辅助线的作法是关键，并注意F 在直线AB 上，分类讨论．15、132【解题分析】解方程x 2-4x+3=0得，x 1=1，x 2=3，①当3是直角边时，∵△ABC最小的角为A，∴tanA=13；②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A的邻边=223122-=，∴tanA=12422=；所以tanA的值为13或24．16、1或9【解题分析】(1)点E在AC的延长线上时，过点O作OF⊥AC交AC于点F，如图所示∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAE，∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAC，∴OD//AE,∵DE是圆的切线，∴DE⊥OD,∴∠ODE=∠E=90o,∴四边形ODEF是矩形，∴OF＝DE，EF＝OD＝5，又∵OF⊥AC，∴AF2222534OA OF-=-=，∴AE＝AF+EF＝5+4＝9.（2）当点E在CA的线上时，过点O作OF⊥AC交AC于点F，如图所示同（1）可得：EF＝OD＝5，OF＝DE＝3，在直角三角形AOF中，AF＝224OA OF-=，∴AE＝EF－AF＝5－4＝1.1715cm【解题分析】利用已知得出底面圆的半径为：1cm，周长为2πcm，进而得出母线长，即可得出答案．【题目详解】∵半径为1cm的圆形，∴底面圆的半径为：1cm，周长为2πcm，扇形弧长为：2π=90180R π⨯，∴R=4，即母线为4cm，16115-=cm）．15．【题目点拨】此题主要考查了圆锥展开图与原图对应情况，以及勾股定理等知识，根据已知得出母线长是解决问题的关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、(1) 135;2 2.(2)△ABC∽△DEF.【解题分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．【题目详解】(1)9045135ABC ∠=+=，BC ===故答案为(2)△ABC ∽△DEF .证明：∵在4×4的正方形方格中， 135,9045135ABC DEF ∠=∠=+=，∴∠ABC =∠DEF .∵2,2,AB BC FE DE ====∴2AB BC DE FE ==== ∴△ABC ∽△DEF .【题目点拨】考查勾股定理以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.19、-3【解题分析】试题分析：解得x=－3经检验: x=－3是原方程的根.∴原方程的根是x=－3考点：解一元一次方程点评：在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，要熟练掌握.20、 (1) 1;(1)5≤m ＜． 【解题分析】（1）在Rt △ABP 中利用勾股定理即可解决问题；（1）分两种情形求出AD 的值即可解决问题：①如图1中，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的下方，点E 到BC 的距离为1．②如图3中，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的上方，点E 到BC 的距离为1.【题目详解】解：（1）：（1）如图1中，设PD=t ．则PA=5-t ．∵P、B、E共线，∴∠BPC=∠DPC，∵AD∥BC，∴∠DPC=∠PCB，∴∠BPC=∠PCB，∴BP=BC=5，在Rt△ABP中，∵AB1+AP1=PB1，∴31+（5-t）1=51，∴t=1或9（舍弃），∴t=1时，B、E、P共线．（1）如图1中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为1．作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ=1，CE=DC=3易证四边形EMCQ是矩形，∴CM=EQ=1，∠M=90°，∴2222325-=-EC CM∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，∴△ADC∽△DME，∴AD DG DM EM = ∴355AD = ∴AD=35，如图3中，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的上方，点E 到BC 的距离为1．作EQ ⊥BC 于Q ，延长QE 交AD 于M ．则EQ=1，CE=DC=3在Rt △ECQ 中，22325-=， 由△DME ∽△CDA ，∴DM EM CD AD= 51AD=， ∴35， 综上所述，在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于1，这样的m 的取值范围355≤m ＜35． 【题目点拨】本题考查四边形综合问题，根据题意作出图形，熟练运用勾股定理和相似三角形的性质是本题的关键. 21、（1）①2P ，3P ;②2,22，(22,2--，(22,2，(2,22-;（2）4343n ≤≤． 【解题分析】(1)①根据平行点的定义即可判断；②分两种情形：如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1.如图2，当点B 在原点下方时，同法可求；(2)如图，直线OE 的解析式为3y x =，设直线BC//OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D. 设⊙A 与直线BC 相切于点F ，想办法求出点A 的坐标，再根据对称性求出左侧点A 的坐标即可解决问题；【题目详解】解：（1）①因为P 2、P 3到直线y ＝x 的距离为1，所以根据平行点的定义可知，直线m 的平行点是2P ，3P ，故答案为2P ，3P ．②解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线．设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH ＝1．由直线m 的表达式为y ＝x ，可知∠OAB ＝∠OBA ＝45°． 所以2OB =．直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q ．连接1OQ ，作1Q N y ⊥轴于点N ，可知110OQ =在1Rt OHQ ∆中，可求13HQ =．所以12BQ =．在1Rt BHQ ∆中，可求12NQ NB =所以22ON =．所以点1Q 的坐标为2,22． 同理可求点2Q 的坐标为(22,2--．如图2，当点B 在原点下方时，可求点3Q 的坐标为()22,2点4Q 的坐标为()2,22--，综上所述，点Q 的坐标为()2,22，()22,2--，()22,2，()2,22--． （2）如图，直线OE 的解析式为3y x =，设直线BC ∥OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D ．当CD ＝1时，在Rt △COD 中，∠COD ＝60°，∴23sin 60CD OC ==︒， 设⊙A 与直线BC 相切于点F ，在Rt △ACE 中，同法可得23AC = ∴33OA =， ∴433n = 根据对称性可知，当⊙A 在y 轴左侧时，43n =，观察图象可知满足条件的N的值为：434333n-≤≤．【题目点拨】此题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22、1m【解题分析】连接AN、BQ，过B作BE⊥AN于点E．在Rt△AMN和在Rt△BMQ中，根据三角函数就可以求得AN，BQ，求得NQ，AE的长，在直角△ABE中，依据勾股定理即可求得AB的长．【题目详解】连接AN、BQ，∵点A在点N的正北方向，点B在点Q的正北方向，∴AN⊥l，BQ⊥l，在Rt△AMN中：tan∠AMN=AN MN，∴3在Rt△BMQ中：tan∠BMQ=BQ MQ，∴3过B作BE⊥AN于点E，则BE=NQ=30，∴3在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，AB2＝32+302，∴AB=1．答：湖中两个小亭A、B之间的距离为1米．【题目点拨】本题考查勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23、（1）A(4，3)；（2）28.【解题分析】（1）点A是正比例函数34y x=与一次函数y=-x+7图像的交点坐标，把34y x=与y=-x+7联立组成方程组，方程组的解就是点A的横纵坐标；（2）过点A作x轴的垂线，在Rt△OAD中，由勾股定理求得OA的长，再由BC=75OA求得OB的长，用点P的横坐标a表示出点B、C的坐标，利用BC的长求得a值，根据12OBCS BC OP∆=⋅即可求得△OBC的面积.【题目详解】解：（1）由题意得:347y xy x⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得43xy=⎧⎨=⎩，∴点A的坐标为（4,3）.（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中，由勾股定理得，2222435 OA OD AD=+=+=∴775755BC OA==⨯=.∵P（a，0），∴B（a,34a）,C（a,-a+7），∴BC=37(7)744a a a--+=-，∴7774a-=，解得a=8.∴11782822OBCS BC OP∆=⋅=⨯⨯=.24、（1）①证明见解析；②10；（2）线段EF的长度不变，它的长度为2. ．【解题分析】试题分析：（1）先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得列方程，求出x，最后根据CD=AB=2OP即可求出边CD的长；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB的长，最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变．试题解析：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴=，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得：，解得：x=5，∴CD=AB=AP=2OP=10，∴边CD的长为10；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP，∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，∵∠QFM=∠NFB，∠QMF=∠BNF，MQ=BN，∴△MFQ≌△NFB（AAS），∴QF=QB，∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB==，∴EF=PB=，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为．考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；相似形综合题．。
2022年中考数学压轴题(附答案)
一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝1，且该抛物线与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A，B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ是以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点A，点B．点P为线段AB上一动点（与点A，B不重合）．过点P作PM⊥OA于点M，以OB，OM为邻边作矩形BOMN．点Q在直线BN上，且PQ⊥OP．（1）如图1，①判断△APM的形状，并说明理由；②求证：△PNQ≌△OMP；③若∠PQN＝22.5°，直接写出点P的坐标．（2）作射线OQ交直线AB于点K，∠OPQ的角平分线交边OB于点G．若BGOG＝35，①当∠PKQ为钝角时，直接写出线段PK的长；②当∠PKQ为锐角时，直接写出BK2+AP2的值．3．已知抛物线29 4y ax x c=++与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为1,0、点C 的坐标为()0,3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P ，求PBC 的面积；（3）如图2，有两动点D 、E 在COB △的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C 和点B 同时出发，点D 沿折线COB 按C →O →B 方向向终点B 运动，点E 沿线段BC 按B →C 方向向终点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，在点D 、E 运动过程中，该抛物线上存在点F ，使得依次连接AD 、DF 、FE 、EA 得到的四边形ADFE 是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线264y ax ax =-+与x 轴的一个交点为()2,0A -，与y 轴的交点为C ，点B 为抛物线对称轴上一动点．（1）抛物线的函数表达式为________，抛物线的对称轴为________．（2）线段BC 绕点B 顺时针旋转90︒得到BP ，当点P 落在抛物线上时，求出点B 坐标．（3）当点B 在x 轴上时，M ，N 是抛物线上的两个动点，M 在N 的右侧，若以B ，C ，M ，N 四点为顶点的四边形是平行四边形，求出此时点M 的横坐标．5．如图，抛物线顶点(1,4)P ，与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）Q 是抛物线上除点P 外一点，BCQ △与BCP 的面积相等，求点Q 的坐标：（3）M 是线段BC 上方抛物线上一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交线段BC 于点D ，再过点M 做MN //x 轴交抛物线于点N ，连结DN ，请问是否存在点M 使MDN △为等腰直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．6．已知二次函数y ＝x 2+bx +b ﹣1，其中b 为常数．（1）当y ＝0时，求x 的值；（用含b 的式子表示）（2）抛物线y ＝x 2+bx +b ﹣1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），过点E （4，2）作直线交抛物线于P ，Q 两点，其中点P 在第一象限，点Q 在第四象限，连接AP ，AQ 分别交y 轴于点M （0，m ），N （0，n ）．①当b ＜2时，求点P 的横坐标xP 的值；（用含m ，b 的式子表示）②当b ＝﹣3时，求证：OM •ON 是一个定值．7．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （－1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx ＋b 1经过点A 、C ，连接CD ．（1）分别求抛物线和直线AC 的解析式；（2）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点P ，使得△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1，且点A 1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，在ABC 中，90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，且AD BD ⊥于点D ．（1）判断ABD △的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若22,3,75BQ DQ BQD ==∠=︒，求AQ 的长；（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB 绕着点D 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到DP ，连接BP ，作DE BP ⊥交AP 于点F ．试探究AF 与DE 的数量关系，并说明理由．9．如图1，已知数轴上的点A 、B 对应的数分别是﹣5和1．（1）若P 到点A 、B 的距离相等，求点P 对应的数；（2）动点P 从点A 出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t 秒，问：是否存在某个时刻t ，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2在数轴上的点M 和点N 处各竖立一个挡板（点M 在原点左侧，点N 在原点右侧且OM ＞ON ），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，乙弹珠以5个单位/秒的速度沿数轴向左运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M 和点N 的距离相等，试探究点M 对应的数m 与点N 对应的数n 是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A （1，0），B （0，2），二次函数y ＝x 2+bx ﹣2的图象经过C 点．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线的一个动点且在x轴的下方，则当点P运动至何处时，恰好使△PBC 的面积等于△ABC的面积的两倍．（3）若点Q是抛物线上的一个动点，则当点Q运动至何处时，恰好使∠QAC＝45°？请你求出此时的Q点坐标．11．已知，如图，抛物线y＝14x2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过A、C两点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，若点P关于直线AC的对称点Q落在y轴上，求P点坐标；（3）现将抛物线平移，保持顶点在直线y＝x﹣114，若平移后的抛物线与直线y＝x﹣2交于M、N两点．①求证：MN的长度为定值；②结合（2）的条件，直接写出△QMN的周长的最小值12．已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．(1)求该抛物线解析式；(2)如图1，点M 为抛物线上第二象限内一动点，BM 交y 轴于点N ，当BM 将四边形ABCM 的面积分为1：2两部分时，求点M 的坐标；(3)如图2，点P 为对称轴上D 点下方一动点，点Q 为直线y ＝x 第一象限上的动点，且DP ＝2OQ ，求BP +2BQ 的最小值并求此时点P 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴的正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点．(1)求直线AM 的函数解析式．(2)如果在直线AM 上有一点P ，使得，请求出点P 的坐标．(3)在坐标平面内是否存在点N ，使以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点N 的坐标；若不存在，请说明理由．14．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，如果点(),M x y 满足122x x x -=，122y y y -=，那么称点M 是点A 、B 的“双减点”． 例如：()4,5A -，()6,1B -、当点(),T x y 满足4652x --==-，()5132y --==，则称点()5,3M -是点A 、B 的“双减点”．(1)写出点()1,3A -，()1,4B -的“双减点”C 的坐标；(2)点()6,4E -，点4,43F m m --⎛⎫ ⎪⎝⎭，点(),M x y 是点E 、F 的“双减点”．求y 与x 之间的函数关系式；(3)在（2）的条件下，y 与x 之间的函数图象与y 轴、x 轴分别交于点A 、C 两点，B 点坐标为3,0，若点E 在平面直角坐标系内，在直线AC 上是否存在点F ，使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出F 点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，拋物线24832999y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ．点P 为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m ，直线AD 交y 轴于点C ，过点P 作PF ∥AD 交x 轴于点．F ，PE ∥x 轴，交直线AD 于点E ，交直线DF 于点M ．(1)求直线AD 的表达式及点C 的坐标；(2)当DM ＝3MF 时，求m 的值；(3)试探究点P 在运动过程中，是否存在m ，使四边形AFPE 是菱形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图（1），抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为（2，0），点C 坐标为（0，2）．(1)求抛物线的表达式；(2)如图（1），点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当△PBC 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)如图（2），过点M（1，3）作直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，抛物线y12=-x22x+3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，过点B作BC的垂线，交对称轴于E．(1)如图1，点P为第一象限内的抛物线上一动点，当△PAE面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP 的最小值；(2)如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D'，点A的对应点A'，设原抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F 落在点F′处，在平面上找一点G，使得以A'、D'、F'、G为顶点的四边形为菱形．直接写出D′的坐标．18．如图，在矩形ABCD中，6cmAB=，12cmBC=，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．（1）几秒钟后DPQ的面积等于228cm；（2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，PQ为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．（3）在点P、Q的运动过程中，几秒后DPQ是直角三角形？请直接写出答案．19．已知AB、CD为O的两条弦，//AB CD．（1）如图1，求证弧AC=弧BD；（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA相交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使BE BD=，若OA BC⊥，求证：四边形ABEC为菱形；（3）在（2）的条件下，CH与O相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H，11OF=，24sin25BDC∠=，求CH长．20．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinC＝35．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝94，请直接写出点K被扫描到的总时长．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)y＝x2﹣2x﹣3(2)0）或（20）或（00）【解析】【分析】（1）根据线段相等、对称轴求出A，C两点的坐标，设出抛物线的函数表达式，并代入A，B，C三点坐标，得方程组，解出未知数的值，即可得到函数表达式；（2）根据题意，设出M点的坐标，表示出MN的长度，再分类讨论，当点M、N在x轴下方和下方时，分别根据MN＝MQ、MN＝NQ列出方程，解方程即可．(1)∵B点的坐标为（3，0）且OB＝OC∴C点的坐标为（0，﹣3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，B点的坐标为（3，0）∴A点的坐标为（﹣1，0）设抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）将C（0，﹣3）代人y＝a（x+1）（x﹣3）中解得：a＝1∴抛物线的函数表达式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．(2)∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上∴M、N关于直线x＝1对称设点M（m，m2﹣2m﹣3）且m＞1则MN＝2（m﹣1）①当点M、N在x轴下方时，若∠QMN＝90°且MN＝MQ时，△MNQ为等腰直角三角形∴MQ⊥MN即MQ⊥x轴∴2（m﹣1）＝﹣（m2﹣2m﹣3）解得：m1m2∴点M2﹣Q10）由MQ1＝MN可得﹣（2﹣xN解得：xN＝2∴点N为（22﹣故当∠MNQ2＝90°，MN＝NQ2时，点Q2的坐标为（2﹣5，0）②当点M、N在x轴上方时，若∠QMN＝90°且MN＝MQ时，△MNQ为等腰直角三角形∴MQ⊥MN，即MQ⊥x轴∴2（m﹣1）＝m2﹣2m﹣3解得：m1＝2+5，m2＝2﹣5（舍去）∴点M为（2+5，2+25），点Q3为（2+5，0）由MQ3＝MN，可得2+25＝2+5﹣xN，解得xN＝﹣5∴点N为（﹣5，2+25）当∠MNQ4＝90°，MN＝NQ4时，点Q4的坐标为（﹣5，0）综上所述，存在满足条件的点Q，其坐标分别为（5，0）或（2﹣5，0）或（2+5，0）或（﹣5，0）．,【点睛】本题是二次函数的综合题目，涉及等腰直角三角形的存在性问题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质及判定，熟练运用上述知识是解题的关键．2．（1）①等腰直角三角形，理由见解析，②证明见解析，③(63232)，，（2）52，②225 2【解析】【分析】（1）①求出直线y＝﹣x+6与x轴、y轴交点坐标，得出∠BAO＝45°即可证明；②由①得出BN＝PN＝OM，再根据PQ⊥OP得出∠PQB=∠OPM，即可证明△PNQ≌△OMP；③∠PQN＝22.5°，可得BQ＝PB，设点P坐标为（a，-a+6），列出关于a的方程求解即可；（2）①证△OPG∽△OBP，求出OP长，得出P点坐标，再证△OPB∽△KPO，求出PK 的长即可；②类似①得出P点坐标，求出PK的长即可．【详解】解：（1）①△APM是等腰直角三角形，理由如下：y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点A，点B．当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝6，则点A（6，0）点B（0，6）；∴OA=OB，∴∠BAO＝45°，∵PM⊥OA，∴∠BAO＝∠MPA＝45°，∴PM＝PA，∴△APM是等腰直角三角形；②由①同理可得BN＝PN，∵BN＝OM，∴PN＝OM，∵PQ⊥OP，∴∠QPN+∠OPM＝90°，∵∠POM+∠OPM＝90°，∴∠POM＝∠QPN，∵∠PMO＝∠PNQ＝90°，∴△PNQ≌△OMP；③设点P坐标为（a，-a+6），∵∠PQN＝22.5°，∠PBN＝45°，∴∠PQN＝∠BPQ＝22.5°，∴BQ＝PB，∵△PNQ≌△OMP；∴QN＝PM=-a+6，6a a+=-+，解得，6a=-则点P坐标为(6-；（2）∵BGOG＝35，OB=6，∴94BG=，154OG=，①∵∠OPQ 的角平分线交边OB 于点G ,∴∠OPG ＝∠OBA ＝45°，∵∠PGO ＝45°+∠BPG ，∠BPO ＝45°+∠BPG ，∴∠PGO ＝∠BPO ，∴△OPG ∽△OBP ， ∴OP OG OB OP =，即1546OP OP =，解得3102OP =（负值舍去）， 设点P 坐标为（a ，-a +6），222310(6)()2a a +-+=， 解得，132a =，292a =； 当∠PKQ 为钝角时，92a =，P 坐标为93()22，， 则322AP =，922BP =， ∵∠POK ＝∠OBA ＝45°，∠BPO ＝∠BPO ，∴△OPB ∽△KPO ，∴OP PB KP OP =，即31092223102KP =，解得522KP =；②当∠PKQ 为锐角时，32a =，P 坐标为39()22，， 则92AP =32BP = 由①得，310OP =OP PB KP OP =即31032223102KP =，1522KP =， 152326222BK =-=， BK 2+AP 2=229222562+=22（）（）．【点睛】本题考查了一次函数与图形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关定理进行推理证明．3．（1）239344y x x =-++；（2）458；（3）1013,36⎛⎫ ⎪⎝⎭或()3,3． 【解析】【分析】（1）把A 、C 两点代入抛物线294y ax x c =++解析式，即可得表达式． （2）把解析式配方得顶点式，即可得顶点坐标，令y=0，得B 点的坐标，连接OP ，可求得PBC OPC OPB OBC S S S S =+-=111••••••222p p OC x OB y OB OC +-，即得结果． （3）在△OBC 中，BC ＜OC +OB ，当动点E 运动到终点C 时，另一个动点D 也停止运动，由勾股定理得BC =5，当运动时间为t 秒时，BE =t ，过点E 作EN ⊥x 轴，垂足为N ，根据相似三角形的判定得△BEN ∽△BCO ，根据相似三角形的性质得，点E 的坐标为43(4,)55t t -，分两种情形讨论当点D 在线段CO 上运动时，0＜t ＜3，此时CD =t ，点D 的坐标为（0，3-t ），当点D 在线段OB 上运动时，3≤t ≤5，BD =7-t ，根据平行四边形ADFE 的性质得出坐标．【详解】解：（1）∵抛物线294y ax x c =++经过A （-1，0），C （0，3）两点， ∴9043a c c ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩， 解得343a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴该抛物线的函数表达式为239344y x x =-++； （2）∵抛物线223933753()444216y x x x =-++=--+， ∴抛物线的顶点P 的坐标为375(,)216， ∵239y 344x x =-++， 令y=0，解得：x 1=-1，x 2=4，∴B 点的坐标为（4，0），OB =4，如图，连接OP ，则PBC OPC OPB OBC S S S S =+-，=111222p p OC x OB y OB OC ⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅ =1317513443222162⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ =975648+- =458∴△PBC 的面积为458； （3）∵在△OBC 中，BC ＜OC +OB ，∴当动点E 运动到终点C 时，另一个动点D 也停止运动，∵OC =3，OB =4，∴在Rt △OBC 中，225BC OB OC =+=∴0＜t ≤5，当运动时间为t 秒时，BE =t ，如图，过点E 作EN ⊥x 轴，垂足为N ，则△BEN ∽△BCO ，∴5BN EN BE t BO CO BC === 43BN ,,55t EN t == ∴点E 的坐标为43(4,)55t t -， 下面分两种情形讨论：Ⅰ、当点D 在线段CO 上运动时，0＜t ＜3，此时CD =t ，点D 的坐标为（0，3-t ），设点239,344F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭根据平行四边对角线互相平分，得，2414533933544a t t t a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-+=-++⎪⎩， 消去t 得，237100a a --= ，解得1210,13a a ==- （舍去） 当1103a =时，239163443a a -++=， ∴ F 坐标为1013(,)36Ⅱ、如图，当点D 在线段OB 上运动时，3≤t ≤5，BD=7-t ，()473OD t t =--=- ()3,0D t ∴-根据平行四边的性质，AD DF = ，AE DF =，243(1)(4)53933445t a t a a t ⎧---=--⎪⎪∴⎨⎪-++=⎪⎩，消去t 得，2120a a +-=， 解得14a =-（舍去），23a =当3a =时，2393344a a -++= ∴ F 坐标为（3，3），综上所述：F 坐标为1013(,)36或（3，3）． 【点睛】 本题考查了抛物线的综合运用，本题涉及到抛物线的求解，勾股定理，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，正确运用分类讨论思想是解题的关键．4．（1）20.25 1.54=-++y x x ，直线3x =；（2）12(3,3),(3,1)B B ；（3）M 的横坐标为3259±或436 【解析】【分析】（1）把()2,0A -代入函数解析式，求出a 的值即可得函数关系式，再进行配方可得函数的对称轴；（2）设(3,)B t ，过B 作BE y ⊥轴垂足为E ，过点P 作PF BE ⊥垂足为F ，证明≌CEB BFP 得3,4PF BE BF CE t ====-，可得(7,3)P t t -+，代入抛物线解析式得方程，求解即可；（3）分两种情况，根据平行四边形的判定与性质求解即可．【详解】解：（1）把()2,0A -代入264y ax ax =-+得，4+124=0a a +解得，a=-0.25∴抛物线的函数表达式为20.25 1.54=-++y x x ，由220.25 1.54=0.25(3) 6.25y x x x =-++-⨯-+∴抛物线的对称轴为直线3x =，故答案为：20.25 1.54=-++y x x ，直线3x =；（2）∵点B 为抛物线对称轴上一动点∴设(3,)B t过B 作BE y ⊥轴垂足为E ，过点P 作PF BE ⊥垂足为F∵90CBP ∠=︒，∴CBE BPF ∠=∠，∵,90=∠=∠=︒BC BP CEB BFP ， ∴≌CEB BFP∴3,4PF BE BF CE t ====-∴(3,7)+-P t t ，∵点P 落在抛物线上，∴把(7,3)P t t -+代入20.25 1.54=-++y x x ，整理得2430t t -+=得121,3t t ==所以12(3,3),(3,1)B B（3）①如图，当BC 为边时，∵四边形BCNM 是平行四边形，∴//,=BC MN BC MN∵点B 向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点C ∴设点23,442⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m M m ，则N 坐标为233,842⎛⎫--++ ⎪⎝⎭m m m ∵点N 在抛物线上，∴把233,842⎛⎫--++ ⎪⎝⎭m m N m 代入23442=-++x x y 得223(3)3(3)844242---++=-++m m m m ， 解得436=m ②如图，当BC 为对角线时，∵四边形BNCM 是平行四边形，∴,==CQ BQ NQ MQ∵(3,0),(0,4)B C ，∴(1.5,2)Q ，∴设点23,442⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m M m ，则N 坐标为233,42m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∵点N 在抛物线上，∴把233,42m m N m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入23442=-++x x y 得()()22333344242m m m m ---=-++，解得32592m ±= 所以点M 的横坐标为32592±或436． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、平行四边形的性质、平移的性质、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度．5．（1）2y x 2x 3=-++；（2）1(2,3)Q ，2317117(,)22Q +--，3317117(,)22Q --+；（3）存在，(2,3)M 或5175317(,)22--+ 【解析】【分析】（1）设2(1)4(0)y a x a =-+≠，把C(0,3)代入求出a ，即可得出答案；（2）①过P 作PQ //BC ，交抛物线于点Q ，如图1所示；②求出点G 坐标，可得2PG GH ==，过H 作直线23Q Q //BC ，交x 轴于点H ，分别求出Q 的坐标即可； （3）MDN △为等腰直角三角形，则MN MD =，求出MN 、MD 的长度即可列出等量关系式，从而得出答案．【详解】（1）设2(1)4(0)y a x a =-+≠，把C(0,3)代入抛物线解析式得：43a +=，即1a =-，则抛物线解析式为22(1)423 y x x x =--+=-++；（2）由(3,0)B ，C(0,3)，得到直线BC 解析式为3y x =-+，①过P 作1PQ //BC ，交抛物线于点1Q ，如图1所示，(1,4)P ，∴直线PQ 解析式为5y x =-+，联立得：2235y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，解得：14x y =⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩，即1(2,3)Q ；②过P 作PH x ⊥轴，交BC 于点G ，交x 轴于点H ， 令1x =，代入3y x =-+，得2y =，(1,2)G ∴，2PG GH ∴==，过H 作直线23Q Q //BC ，则直线23Q Q 解析式为1y x =-+，联立得：2231y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2Q ∴，3Q ， 综上所述：点Q 的坐标为1(2,3)Q，2Q，3Q ； （3）MDN △为等腰直角三角形，则MN MD =， 点()2,23M m m m -++，令x m =，代入3y x =-+得：3y m =-+，(,3)D m m ∴-+，函数的对称轴为：1x =，则点N 的横坐标为：2m -， 则|22|MN m =-，2223(3)3MD m m m m m =-++--+=-+，2223m m m ∴-=-+，2223m m m -=-+或2223m m m -+=-+，解得：12m =或21m =-（舍）或3m =4m =当2m =时，2233m m -++=，当m =223m m -++= 故点M 的坐标为：(2,3)或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，设计知识有：用待定系数法求函数解析式、同底等高的面积计算、等腰直角三角形的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．6．（1）x 1=-1，x 2=1-b ；（2）①xP =m -b +1；②OM •ON =2． 【解析】 【分析】（1）令y =0可得x 2+bx +b -1=0，然后解一元二次方程即可解答；（2）①当b <2时，由不等式性质可得：1-b >-1，根据点A 在点B 的左侧，可得A （-1，0），再利用待定系数法求得直线AM 的解斤式为y =mx +m ，联立方程组可得：x 2+（b -m ）x +b -m -1=0，由根与系数关系可得xA +xP =-（b -m ）=m -b ，进而确定xP ；②当b =-3时，二次函数解析式为y =x 2-3x -4，由题意可得P （m +4，m 2+5m ），Q （n +4，n 2+5），再根据直线PQ 过点E （4，2），可推出（mn +2）m -n ）=0，再由P 、Q 不重合，即mn ，得出mn =-2即可．【详解】解：（1）当y =0时，x 2+bx +b -1=0，即（x +1）（x +b -1）=0， ∴x +1=0或x +b -1=0，即x 1=-1，x 2=1-b ； （2）①当b <2时，由（1）可知：x 1=-1，x 2=1-b ， ∵b <2， ∴-b >-2， ∴1-b >-1，∵点A 在点B 的左侧， ∴A （-1，0），设直线AM 的解析式为y =kx +a ， ∵A （-1，0），M 0，m ），∴0k a a m -+=⎧⎨=⎩，解得k m a m =⎧⎨=⎩∴直线AM 的解析式为y =mx +m ，联立方程组，得：2,1y mx my x bx b =+⎧⎨=++-⎩消去y 可得：x 2+（b -m ）x +b -m -1=0， 由根与系数关系，得xA +xP =-（b -m ）=m -b ， ∴xP =m -b +1；②证明：当b =-3时，二次函数解析式为y =x 2-3x -4， ∴A （-1，0），B （4，0）， ∵xP =m +4，∴yP =m +4）2-3（m +4）-4=m 2+5m ， ∴P （m +4，m 2+5m ）， ∴直线AN 的解析式为：(1)01ny x nx n =+=++， 联立方程组可得：234,y x x y nx n ⎧=--⎨=+⎩∴x 2-（3+n ）x -4-n =0∴xQ =4+n ，yQ =n 2+5n ，即Q （n +4，n 2+5n ）， ∵直线PQ 过点E （4，2）， ∴kEP =kEQ ，∴2225254444m m n n m n ++=+-+-，即mn 2+5mn -2m =m 2n +5mn -2n ，即（mn +2）（m -n ）=0， ∵P 、Q 不重合，即m ≠n ， ∴mn =-2，∴OM ·ON =|mn |=2为定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法、一次函数图象和性质、一元二次方程根与系数关系等知识点，本题综合性较强，熟练掌握二次函数的图象及性质、灵活应用根与系数的关系成为解答本题的关键．7．（1）y ＝－x 2+2x +3，y ＝-x +3；（2）存在，（－1，0）或（4，－5）；（3）存在，（1，2）或（1，－3） 【解析】 【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD AD =，进而判断出ABC 的面积和ACP △的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】（1）把(30)A ，、(10)B -，代入2y x bx c =-++， 解得2b =、3c =∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++则C 点为（0，3），又(30)A ，，代入1y kx b =+， 得1k =-，13b =， ∴直线AC 的解析式为3y x =-+， （2）如图，连接BC ，∵点D 是抛物线的对称轴与x 轴的交点， ∴AD BD =， ∴2ABCACDSS=，∵2ACP ACD S S =△△，∴ACP ABC S S =△△，此时，点P 与点B 重合， 即：(10)P -，， 过B 点作PB AC ∥交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为1y x =--①， ∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++②，联立①②解得，10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩，∴P （4，﹣5），∴即点P 的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）； （3）由（1）可知，抛物线解析式为()214y x =--+ 把1x =代入直线AC 解析式3y x =-+得AC 与抛物线对称轴的交点(1,2)M ，如下图所示：22222BM AM ==+，4AB =即222BM AM AB +=则MAB △是等腰直角三角形，符合题意，M 点即为所求Q 点的一种情况，当Q 点在x 轴下方时，设Q 为(1,)m ，0m ＜， 因为线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段1QA 过A1作直线DQ 的垂线于E 点，则1ADQ QEA ≌ ∴2AD QE ==，1DQ EA m ==- ∴12(1)A m m --，∵点A1恰好落在抛物线2y x 2x 3=-++上， 代入，解得m=－3或2m = (舍去) ∴Q （1，－3）综上，Q 点坐标为（1,2）或（1，－3）， 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．8．（1）ABD △是等腰直角三角形，证明见解析；（2）38；（3）2,AF DE =证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求解45,ACD BCD ∠=∠=︒取AB 的中点,G 连接,,CG DG 再证明,,,A C B D 在以G 为圆心，GC 为半径的同一个圆上，从而可得答案.（2）如图， 把ADQ △顺时针旋转90︒得到,BDQ ' 连接,QQ ' 过Q '作,Q F BQ '⊥ 交BQ 的延长线于,F 证明45,32,DQQ QQ ∠=︒='' 证明120,60,BQQ FQQ ∠=︒∠='︒' 求解3236·cos 60,?sin 60,22QF QQ FQ QQ =︒==︒=''' 再利用勾股定理可得答案； （3）如图，连接,BF 证明 ,DPE ABF ∽ 可得,DP DEAB AF= 结合（1）问的结论可得答案. 【详解】解：（1） 90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠， 45,ACD BCD ∴∠=∠=︒取AB 的中点,G 连接,,CG DG90,ACB ADB ∠=∠=︒ ,CG AG BG DG ∴===,,,A C B D ∴在以G 为圆心，GC 为半径的同一个圆上， 45,ABD ACD ∴∠=∠=︒ABD ∴为等腰直角三角形.（2）如图，,90,AD BD ADB =∠=︒把ADQ △顺时针旋转90︒得到,BDQ ' 连接,QQ ' 过Q '作,Q F BQ '⊥ 交BQ 的延长线于,F3,90,,DQ DQ QDQ AQ BQ ''∴∠=︒='==2245,3332,DQQ QQ ''∴∠=︒=+=75,BQD ∠=︒120,60,BQQ FQQ ∴∠=︒∠='︒'3236·cos 60?sin 60QF QQ FQ QQ ∴=︒==︒=''' 327222BF BQ QF ∴=+== 22723638,22BQ ⎛⎫⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭' 38.AQ BQ '∴==（3）2,AF DE =理由如下： 如图，连接,BF2,90,45,BD AD BD ADB ABD BAD AB =∠=︒∠=∠=︒= ,,,DB DP BDP DE BP α=∠=⊥11,,90,,22BE PE BDE PDE DBE FB FP αα∴=∠=∠=∠=︒-=,90,AD DP ADP α=∠=︒+145,2DAP DPA α∴∠=∠=︒-114545,22BAP PDE αα⎛⎫∴∠=︒-︒-==∠ ⎪⎝⎭11180459045,22APB αα⎛⎫∴∠=︒--︒-︒-=︒ ⎪⎝⎭,FB FP =45,90,FBP FPB BFP BFA ∴∠=∠=︒∠=︒=∠ 90,BFA DEP ∴∠=∠=︒ ,DPE ABF ∴∽,DP DEAB AF∴= 2DE DB AF AB ∴== 即2.AF DE = 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，圆的确定，圆周角定理的应用，是典型的综合题，熟练的运用图形的性质，作出恰当的辅助线是解本题的关键.9．（1）点P 对应的数为-2；（2）当t =2或6时，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍；（3）m +13n =0．【解析】 【分析】（1）设点P 对应的数为x ，表示出BP 与PA ，根据BP =PA 求出x 的值，即可确定出点P 对应的数；（2）表示出点P 对应的数，进而表示出PA 与PB ，根据PA =2PB 求出t 的值即可； （3）因为OM ＞ON ，只有甲乙均反弹之后在中点相遇一种情况，设点M 对应的数为m ，点N 对应的数为n ，时间为t ，则M 、N 的中点对应的数为2m n+，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M 和点N 的距离相等列出关系式即可． 【详解】解：（1）点A 、B 对应的数分别是﹣5和1， 设点P 对应的数为x ， 则BP =1-x ，PA =x +5， ∵BP =PA ， ∴1-x =x +5， 解得：x =-2， ∴点P 对应的数为-2； （2）P 对应的数为-5+2t ， ∴PA =2t ，PB =|-5+2t -1|=|2t -6|， ∵PA =2PB ， ∴2t =2|2t -6|， 当t =2t -6时，t =6； 当t +2t -6=0时，t =2；答：当t =2或6时，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍； （3）设点M 对应的数为m ，点N 对应的数为n ，时间为t ， 则M 、N 的中点对应的数为2m n+， ∴MN =n -m ，OM =-m ，ON =n ，∴()()252502t t n m m n t m m ⎧+=-⎪+⎨⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()351073352t n m n m t ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩， 化简得m +13n =0． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．10．（1）；（2）当点P运动至坐标为或时，恰好使△PBC的面积等于△ABC的面积的两倍；（3）或【解析】【分析】（1）如图，过C作于先证明可得再代入二次函数y＝x2+bx﹣2中，再利用待定系数法求解b即可；H再求解直线BC （2）先求解过P作轴交BC于,为：设则再利用再解方程即可；（3）分两种情况讨论：如图，作B关于AC的对称点,N连接作的角平分线H交抛物线于,Q由则再求解的交CN于,解析式，再求解与抛物线的交点坐标即可，如图，同理可得：当平分BAC时，射线与抛物线的交点Q满足按同样的方法可得答案.【详解】解：（1）如图，过C作于则而而二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过C点，解得：∴ 二次函数的解析式为：（2）过P 作轴交BC 于,H设直线BC 为,y mx n =+解得：所以直线BC 为：设则整理得：解得：当2x =时， 当时， 或所以当点P 运动至坐标为或时，恰好使△PBC 的面积等于△ABC 的面积的两倍．（3）如图，作B 关于AC 的对称点,N 连接 作的角平分线 交CN 于,H 交抛物线于,Q由则平分则同理可得直线的解析式为：解得：或（不合题意，舍去）如图，同理可得：当平分BAC时，射线与抛物线的交点Q满足同理：直线为：解得：或（不合题意舍去）【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数关系式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键.11．（1）213y x x 242=-+-；（2）P 点坐标为(6，2)；（3）①【解析】【分析】（1）求出A 、C 点的坐标，再将点代入y ＝14-x 2+bx +c ，即可得解； （2）先求∠OCA =45º，再由对称性可知PC ⊥y 轴，即可求出点P 的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果；（3）①先求出平移后的抛物线，再利用2111()44x m m --+-=x -2，得出2121224,43x x m x x m m +=-⋅=-+，最后利用两点之间的距离公式求解；②作KQ ⊥MN ，连接MK ，MP ，先得出KM =QN 即求KM +MP 的最小值，即KP 的长，最后根据△QMN 的周长的最小值即KQ +KP ，得解．【详解】解：（1）在y ＝x ﹣2中，令y =0，x =2；令x =0，y =-2；∴A (2，0)，C (0，-2)，代入y ＝14-x 2+bx +c 得104242b c c⎧=-⨯++⎪⎨⎪-=⎩， 解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为：213y x x 242=-+-； （2）如图，∵OA =OC =2，∴∠OCA =45°，∵点P 关于直线AC 的对称点Q 在y 轴上，∴∠OCA =∠PCA =45°，∴PC ⊥y 轴，∴P 的纵坐标为-2，由2132242x x -=-+-； 解得16x =，20x =(舍去)，∴P 点坐标为(6，2)；（3）①设顶点为(m ，m ﹣114)，平移后抛物线解析式为2111()44y x m m =--+-， 则2111()44x m m --+-=x -2， 22(42)430x m x m m +-+-+=，设1122(,),(,)M x y N x y ， 则2121224,43x x m x x m m +=-⋅=-+，∴MN 22222121212121212()()()(22)2()8x x y y x x x x x x x x -+--+--++-22= ∴MN 的长度为定值22②如图，作KQ ⊥MN ，连接MK ，MP ，由题知P (6，2)，Q (0，4)，KQ =MN 2，则只需求QM +QN 的最小值即可，∵//,,KQ MN KQ MN =∴KM =QN 即求KM +MP 的最小值，即KP 的长，∵Q (0，4)，KQ 2 ∴K (-2，2)，∴KP 228445+=∴△QMN 的周长的最小值为52【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，算了掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题的关键．12．(1)y＝﹣x2﹣2x+3．(2)M（﹣2，3）或（，119）．(3)最小值为AC＝32P（﹣1，2）．【解析】【分析】（1）根据A、B点的坐标设出抛物线的交点式，再将C点的坐标带图求解，即可得出结论．（2）过A点作AG⊥x轴交BM的延长线于G，则，设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t，进而得出或2，进而建立方程求解，即可得出结论．（3）先判断出△PCD∽△OBQ，进而得出PC2OQ，在判断出A、P、C在同一条直线上时，BP2的最小值，在求出直线AC的解析式，即可得出结论．(1)解：∵二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵点C（0，3）在抛物线上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；(2)解：如图1，过点A作AG⊥x轴交BM的延长线于G，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，设点M（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），∴S△BCM＝12CN（1﹣m），S△ABM＝S△ABG﹣S△AMG＝12AG[（1+3）﹣（m+3）]＝12AG（1﹣m），∴，∵，∴＝14，设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t，∵BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，∴＝12或2，∴，或2，∴或2，∴t＝1或13t ，∴N（0，1）或N（0，13），当N（0，1）时，∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1①，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）②，联立①②解得，或，∴M（﹣2，3）；当N（0，13）时，∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣13x+13③，联立②③解得，或，∴M（，119）；即M（﹣2，3）或（，119）；(3)解：如图2，连接PC，CD，过点C作CH⊥DP于H，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2m+3＝﹣（m﹣1）2+4，∴D（﹣1，4），∵C（0，3），∴CD2，DH＝1，CH＝1，∴DH＝CH，∴∠CDP＝45°，∵点Q为直线y＝x第一象限上的动点，∴∠BOQ＝45°＝∠CDP，∵DP2OQ，∴2，∵2∴＝2∴△PCD∽△OBQ，∴，∴PC2OQ，∴BP2＝BP+PC，连接AP，∵点P是抛物线的对称轴上的点，∴PB＝PA，∴BP+2OQ＝BP+PC＝PA+PC，∴当点A，P，C在同一条直线上时，BP+2OQ最小，最小值为AC＝＝32，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝2，∴点P（﹣1，2）．【点睛】本题考察了二次函数解析式的求法，抛物线的性质，三角形面积公式，相识三角形等问题，需要数形结合解答问题．13．(1)443y x=-+(2)(0，4)或(6，-4)(3)(-3，12)，(3，-4)或(3，4).【解析】【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求得点A，B的坐标，由点M是线段OB的中点可得出点M的坐标，根据A、M的坐标，利用待定系数法即可求得直线AM的解析式；设点P的坐标为，利用三角形的面积公式结合，即可得到关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可求得点P的坐标；设点N的坐标为，分别以△ABM的三边为对角线，利用平行四边形的对角线互相平分即可得到关于m，n的方程，解之即可求解.(1)解：当x=0时，，。
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中考压轴题---23题专练
应用题的题目结构：由两个部分组成
（1）列方程解方程：
①销售问题：-------九宫格法
单利润 = 售价 - 进价
总利润 = 单利润 × 件数
=（售价 - 进价）×件数
= 销售额 - 成本
利润率 = 成本利润× 100%
②几何面积问题：
③二元一次方程组：
④分式方程：
（2）最值问题：
①一次函数最值
②二次函数最值
③不等式整数解
④不定方程整数解
一、一次函数最值：
1、草莓基地为了提高收益，对收获的草莓分拣成A，B两个等级销售，每千克草莓的价格A
级比B级的2倍少4元，3千克A级草莓鼻5千克B级草莓的销售额多4元：
（1）问A，B两个等级草莓每千克各是多少元？
（2）某超市从草莓基地购进200千克草莓，A级草莓不少于40千克，且均价不超过19元.
①问最多购进了A级草莓多少千克？
②超市对购进草莓进行包装销售如图，全部包装销售完，当包装A级草莓多少包时，每日所
获总利润最大？最大总利润为多少元？
2、某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T
恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元.
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲，乙两家分店销售，每件标价180元，甲店按
标价卖出a件，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九
折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同.
①用含a的代数式表示b；
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值；
3、某商店准备采购甲、乙两种消毒水进行售卖，每瓶的进价与利润如表：
已知进货成本1500元采购甲种消毒水的数量和2500元买乙种消毒水的数量相等
（1）求a的值；
（2）若该商店准备拿出12000元全部用来进货，由于仓库存放限制，总数量不多于300瓶，
问如何进货能使消毒水全部售出后利润最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）获得最大利润的进货方案下，该商店预留了甲、乙两种消毒水各若干瓶供店内消
毒使用，剩余的消毒水被抢购一空，共获得利润7350元，商店共预留了多少瓶？
4、某公司生产的一种营养品信息如下表，已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用
80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克：
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完；
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出，若A的数量不低于B的数
量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
二、二次函数最值：
1、某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，使营销阶段发现，当销售单价是25元时，
每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？
（3）商场的销售部结合上述情况，提出了A，B两种销售方案：
①方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
②方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元；
请比较那种方案的最大利润更高，并说明理由.
2、某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一
个月内会以每天0.5元/千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过
一个月），假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去，死去的虾会在当
天以20元/千克的价格售出.
（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为_______元/千克；
（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x
的值；
（3）若放养期间，每天会有各种其他的费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当
20≤x≤30时，经销商获利的最大值为1800元，则a的值为______.(获利 = 销售总额 - 收
购成本 - 其他费用)
三、不等式整数解：
1、马屿红糖闻名遐迩，是瑞安市名特产，某经销商将红糖加工成礼盒装出售，经调测统计发
现，礼盒装每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元/盒）之间有如下关系600x10-y.已知
红糖礼盒装每盒的成本为20元.
（1）求w关于x的函数表达式.
（2）若礼盒装每天销售量不少于200盒，且每盒利润不低于7元，求经销商每天获得的最大
利润。
2、某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间內，销售
单价是40元时，销售量是600件，而且销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x > 40），请你分别用x的代数式来表示销售量
y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
（2）在（1）问条件下，若该商场获得1000元销售利润，问该玩具销售单价x应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少
于400件的销售任务，则商场销售该品牌玩具获得的最大利润是_____元.
3、某单位计划购进A、B、C三种型号的礼品共2700件，其中C型号礼品500件，A型号礼品
比B型号礼品多200件，已知三种型号礼品的单价如表：
（1）计划购进A和B两种型号礼品分别多少件？
（2）实际购买时，厂家给予打折优惠销售（如：8折指原价×0.8），在计划总价额不变的情
况下，准备购进这批礼品
①若只购进B、C两种型号礼品，且B型礼品件数不超过C型礼品的2倍，B型礼品最多购
进多少件？
②若只购进A、B两种型号礼品，它们的单价分别打a折，b折，a < b < 10，a，b均为整
数，且购进的礼品总数比计划多200件，求a，b的值.
4、春临大地，学校决定给长12米，宽9米的一块长方形展示区进行种植改造现将其划分成如
图两个区域：区域1矩形ABCD部分和区域2四周环形部分，区中区域1用甲、乙、丙三种花
卉种植，且EF平分BD，G，H分别为AB，CD中点
（1）若区域1的面积为S（m²），种植均价为180元/m²，区域2的草坪均价为40元/m²，且
两区域的总价为16500元，求S的值.
（2）若AB：BC=4：5，区域2左右两侧草坪环宽相同，均为上、下草坪环宽的2倍：①求AB，
BC的长；
②若甲、丙单价和为360元/m²，乙、丙单价比为13：12，三种花卉单价均为20的整数
倍，当矩形ABCD中花卉的种植总价为14520元时，求种植乙花卉的总价.
5、小黄准备给长8cm，宽6cm的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域①
（阴影部分）和一个环形区域②（空白部分），其中区域①用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满
足PQ∥AD，如图所示：
（1）若区域①的三种瓷砖均价为300元/m²，面积为S（m²），区域②的瓷砖均价200元/m²，
且两区域的瓷砖总价不超过12000元，求S的最大值；
（2）若区域①满足AB:BC=2:3，区域②四周宽度相等：
a、求AB、BC的长；
b、若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m²，乙、丙瓷砖单价之比为5:3，且区域①的三
种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围。
四、不定方程整数解：
1、某商场计划购进A，B两种商品共80件，A商品每件的进价比B商品少40元，用1600元
购进A商品和用2400元购进B商品的数量相同.
（1）求A，B两种商品的进价分别是多少元？
（2）已知A商品的销售单价m（元/件）与A商品的进货量n（件）之间的函数关系如图所示：
①求m关于n的函数关系式；
②因圆材料价格上涨，A，B两种商品的进价均提高了10%，为保证总利润不变，商场决定将
这两种商品的销售价均提高a元，且a不超过A商品原销售单价的9%，求a的最大值.
2、为了丰富同学们的知识，拓展阅读视野，学习图书馆购买了一些科技、文学、历史等书籍，进行组合搭
配成A，B，C三种套型书籍，发放给各班级的图书角供同学们阅读，已知各套型的规格与价格如表：
（1）已知搭配A，C两种套型书籍供15套，需购买书籍的花费是2120元，问A，C两种套型各多少套？
（2）若图书馆用来搭配的书籍共有2100本，现将其搭配成A，B两种套型书籍，这两种套型的总价为30750
元，搭配后剩余多少本书？
（3）若图书馆用来搭配的书籍共有122本，现将其搭配成A，B，C三种套型书籍，且没有剩余，请求出所
有搭配的方案.
3、为落实疫情防控工作，学校食堂定制了一批餐桌隔板组合，隔板组合由板面与卡扣两部分组成，板
面部分分为矩形与正方形，单片矩形板面的价格是单片正方形板面价格的2.5倍，已知食堂需要两种类型的
隔板组合：单桌使用的组合A与双桌使用的组合B，现从工程了解到1套组合A共需48元，1套组合B共
需110元，两种类型隔板的基础数据如下表所示：
（1）请分别求出板面与卡扣的单价；
（2）已知购买组合