菱形的性质及其判定
菱形的性质和判定
求证：CE和FG互相垂直平分。
想一想
你能说出这节课的心得和体会， 让大家与你分享吗？
小结：
菱形的判定方法：
四条边相等
四边形
菱形
平行四边形
图 20.3.1
想一想
菱形的判定方法 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.四条边都相等的四边形是菱形
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（
Ａ. AC⊥BD ，AC与BD互相平分
C
Ｂ. AB=BC=CD=DA
Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
1.菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的特征
菱形是一个轴对称图形
3.菱形的性质 （Ａ）菱形的四条边都相等 （Ｂ）菱形的对角线互相垂直
4.菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, AC=10,BD=8.(1)求菱形周长（2）求菱形面积 (3)求点D到BC的距离。
图 20.3.3
Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
）．
A
D
O
B
C
2、已知如图，△ABC中AD平分∠BAC，DE∥AB交AC 于F， DF∥AC交AB于E。四边形AFDE是怎样的四 边形？说明你的理由。
A
12 E F
34
B
C
D
证明:在△AOB中, ∵ AB= √5,OA=2,OB=1
∴AB2=OA2+OB2
做一做
你能用折纸等办法得到一个菱形吗?动手试一试. 先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中 的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形.
1.1 菱形的性质与判定
第一章特殊平行四边形1．1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质01基础题知识点1菱形的定义1．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)．(请在括号内填上理由)2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法正确(填“正确”或“不正确”)．知识点2菱形的性质3．(泸州中考)菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D)A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直4．(长沙中考)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是(C) A．1 B. 3 C．2 D．2 35．(黔西南中考)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形的边长AB等于(D)A．10 B.7 C．6 D．56．如图，在菱形ABCD中，EF∥AB，对角线AC交EF于点G，那么与∠BAC相等的角的个数有(C)A．3个B．4个C．5个D．6个7．(毕节中考)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于(A)A．3.5 B．4 C．7 D．148．(广州中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB中，AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3.∴BD＝6.9．(济南中考)如图，在菱形ABCD中，CE＝CF.求证：AE＝AF.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠D＝∠B，DC＝BC.∵CE＝CF，∴DC－CF＝BC－CE.∴DF＝BE.∴△ADF≌△ABE.∴AE＝AF.02中档题10．(衢州中考)如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于(A)A．63米B．6米C．33米D．3米11．(昆明中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA＝OB；③∠ADB＝∠CDB；④△ABC是等边三角形．其中一定成立的是(D)A．①②B．③④C．②③D．①③12．(烟台中考)如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为(C)A．28°B．52°C．62°D．72°13．(乌鲁木齐中考)若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3∶1，14．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD.又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD.∴四边形BECD是平行四边形．∴BD＝EC.(2)∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥EC.∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.15．(贵阳中考)已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC.(2)点F是线段BC的中点．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点．03综合题16．(河南中考)如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(B)A．(1，－1)B．(－1，－1)C．(2，0)D．(0，－2)第2课时菱形的判定01基础题知识点1有一组邻边相等的四边形是菱形1．(钦州中考)如图，要使▱ABCD成为菱形，下列添加的条件正确的是(B)A．AC＝AD B．BA＝BCC．∠ABC＝90°D．AC＝BD2．(海南中考)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(B)A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°3．(长春中考)如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC 交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形．证明：∵AF∥CD，FG∥AC，∴四边形ACGF是平行四边形，∠FCG＝∠AFC.∵CE平分∠ACD，∴∠ACF＝∠FCG.∴∠ACF＝∠AFC.∴AC＝AF.∴四边形ACGF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．(潍坊中考)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)5．已知▱ABCD两对角线AC、BD相交于点O，AC＝12 cm，BD＝16 cm，AD＝10 cm，则▱ABCD为菱形．6．如图，在▱ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB、CD的延长线交于点E、F，当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是菱形？请给出证明．解：当AC ⊥EF 时，四边形AECF 是菱形．证明：∵在▱ABCD 中，AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ∥CD ， ∴∠AEO ＝∠CFO.在△EBO 与△FDO 中，⎩⎨⎧∠BEO ＝∠DFO ，∠EOB ＝∠FOD ，BO ＝DO ，∴△EBO ≌△FDO(AAS)． ∴EO ＝FO. 又∵AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形．∴当AC ⊥EF 时，四边形AECF 是菱形．知识点3 四边相等的四边形是菱形7．用直尺和圆规作一个以线段AB 为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是(B)A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形02 中档题8．如图是一张平行四边形纸片ABCD ，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：甲：连接AC ，作AC 的中垂线交AD 、BC 于E 、F ，则四边形AFCE 是菱形． 乙：分别作∠A 与∠B 的平分线AE 、BF ，分别交BC 于点E ，交AD 于点F ，则四边形ABEF 是菱形．对于甲、乙两人的作法，可判断(C)A ．甲正确，乙错误B ．甲错误，乙正确C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误9．(十堰中考)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出下列条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是③(只填写序号)．10．(荆门中考)已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，DF ∥BE ，AC 平分∠BAD.求证：四边形ABCD 是菱形．证明：∵AB ∥CD ， ∴∠BAE ＝∠DCF. ∵DF ∥BE ， ∴∠BEC ＝∠DFA. ∴∠AEB ＝∠CFD.在△AEB 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD.∴AB ＝CD.∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAF. ∵∠BAE ＝∠DCF ，∴∠DAF ＝∠DCF. ∴DA ＝DC.∴四边形ABCD 是菱形．11．(黔南中考改编)如图，已知△ABC ，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于E ，连接CE ，过点C 作CF 平行于BA 交PQ 于点F ，连接AF.求证： (1)△AED ≌△CFD ；(2)四边形AECF 是菱形．证明：(1)∵PQ 为线段AC 的垂直平分线， ∴AD ＝CD.∵CF ∥AB ，∴∠EAD ＝∠FCD ，∠AED ＝∠CFD. 在△AED 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠EAD ＝∠FCD ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD(AAS)．(2)∵△AED ≌△CFD ，∴DE ＝DF ，AD ＝CD. ∴四边形AECF 是平行四边形．又∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EF ⊥AC. ∴四边形AECF 是菱形．03 综合题12．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF.(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ； (2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形．证明：(1)∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，AC ＝AC ， ∴△ABC ≌△ADC. ∴∠BAC ＝∠DAC.∵AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ， ∴△ABF ≌△ADF. ∴∠AFB ＝∠AFD.又∵∠CFE ＝∠AFB ，∴∠AFD ＝∠CFE. (2)∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD.又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠DAC ＝∠ACD. ∴AD ＝CD.又∵AB ＝AD ，CB ＝CD ， ∴AB ＝CB ＝CD ＝AD. ∴四边形ABCD 是菱形．第3课时 菱形的性质与判定的运用01 基础题知识点1 与菱形有关的计算1．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 的长分别是8和6，则菱形的周长等于(C) A ．12 B ．16 C ．20 D ．242．如图，在▱ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB ＝2，则▱ABCD 的周长为(C) A ．4 B ．6 C ．8 D ．123．如图，菱形ABCD 的周长为16，∠ABC ＝120°，则AC 的长为(A)A ．4 3B ．4C ．2 3D ．24．(枣庄中考)如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于(A)A.245B.125C ．5D ．45．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点． (1)求证：四边形BDEF 是菱形；(2)若AB ＝10 cm ，求菱形BDEF 的周长．解：(1)证明：∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点， ∴EF ＝12BC ，EF ∥CB.又∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴DE ＝12AB ，DE ∥AB.∴四边形BDEF 是平行四边形． 又∵AB ＝BC ，∴EF ＝DE.∴四边形BDEF是菱形．(2)∵F是AB的中点，∴BF＝12AB.又∵AB＝10 cm，∴BF＝5 cm.∵四边形BDEF是菱形，∴BD＝DE＝EF＝BF.∴四边形BDEF的周长为4×5＝20(cm)．知识点2菱形的判定6．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是(C)A．AB＝BC B．AC⊥BDC．∠ABC＝90°D．∠1＝∠27．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是(D)A．AB∥DC B．AB＝DCC．AC⊥BD D．AC＝BD8．如图，在△ABC中，AB＜BC＜AC，小华依下列方法作图：①作∠C的平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是(A)A．四边形CEDF为菱形B．DE＝DAC．DF⊥CBD．CD＝BD9．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB ＝AD ，AC ⊥BD.∴∠AOB ＝∠AOD ＝90°.∵点E ，F 分别为边AB ，AD 的中点， ∴OE ＝12AB ＝AE ，OF ＝12AD ＝AF ，AE ＝AF.∴AE ＝OE ＝OF ＝AF.∴四边形AEOF 是菱形． 02 中档题10．(兰州中考)如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，∠B ＝60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则△AEF 的面积是(B)A ．4 3B ．3 3C ．2 3 D. 311．如图，在菱形ABCD 中，过对角线BD 上任一点P ，作EF ∥BC ，GH ∥AB ，下列结论正确的是①②④．(填序号)①图中共有3个菱形；②△BEP ≌△BGP ；③四边形AEPH 的面积等于△ABD 的面积的一半；④四边形AEPH 的周长等于四边形GPFC 的周长．12．如图，在▱ABCD 中，EF 垂直平分AC 交BC 于E ，交AD 于F. (1)求证：四边形AECF 为菱形；(2)若AC ⊥CD ，AB ＝6，BC ＝10，求四边形AECF 的面积．解：(1)证明：∵EF 垂直平分AC ， ∴FA ＝FC ，EA ＝EC.∴∠AFE ＝∠CFE ，∠AEF ＝∠CEF. 又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠AFE ＝∠CEF ＝∠AEF. ∴AF ＝AE.∴AE ＝EC ＝CF ＝FA. ∴四边形AECF 是菱形． (2)∵AC ⊥CD ，AC ⊥EF ， ∴EF ∥CD.又∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF.∴四边形ABEF 为平行四边形． ∴EF ＝AB ＝6. ∵AC ⊥CD ， ∴AB ⊥AC.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝8.∴四边形AECF 的面积为12AC ·EF ＝12×6×8＝24.03 综合题13．(临沂中考)对一张长方形纸片ABCD 进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，展开；第二步：再一次折叠，使点A 落在MN 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BE ，同时，得到线段BA′，EA ′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B 落在AD 上的点B′处，得到折痕EF ，同时得到线段B′F ，展开，如图2. 求证：(1)∠ABE ＝30°； (2)四边形BFB′E 为菱形．证明：(1)∵第二步折叠，使点A 落在MN 上的点A ′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BE ， ∴∠AEB ＝∠A′EB.∵第三步折叠，点B 落在AD 上的点B′处，得到折痕EF ，同时得到线段B′F ， ∴∠A ′EB ＝∠FEB′.∵∠AEB ＋∠A′EB ＋∠FEB′＝180°， ∴∠AEB ＝∠A′EB ＝∠FEB′＝60°. ∴∠ABE ＝90°－∠AEB ＝30°.(2)∵∠A′EB ＝∠FEB′＝60°，EB ′∥BF ， ∴∠A ′EB ＝∠FEB′＝∠BFE ＝∠EFB′＝60°. ∴△BEF 和△EFB′是等边三角形． ∴BE ＝BF ＝EF ＝EB′＝FB′. ∴四边形BFB′E 为菱形．第2课时 矩形的判定01 基础题知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形1．下列命题中正确的是(C)A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形2．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝2，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为(C)A．4 B．3 C．2 D．13．(娄底中考)如图，要使▱ABCD是矩形，则应添加的条件是答案不唯一，如：∠ABC＝90°或AC＝BD(添加一个条件即可)．4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.又∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC.∴AO＝BO＝CO＝DO.∴AO＋CO＝BO＋DO，即AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．知识点2有三个角是直角的四边形是矩形5．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是(C)A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量其中三个角是否都为直角D．测量对角线是否相等6．(来宾中考)顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是矩形．7．如图，已知MN∥PQ，EF与MN、PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，交于B、D，则四边形ABCD是矩形．8．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13.求证：四边形ABCD 是矩形．证明：∵AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝90°.又∵在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即△ABC 是直角三角形，且∠B ＝90°.∴四边形ABCD 是矩形．9．已知：如图，在▱ABCD 中，AF ，BH ，CH ，DF 分别是∠BAD ，∠ABC ，∠BCD ，∠ADC 的平分线．求证：四边形EFGH 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.∵AF ，DF 平分∠DAB ，∠ADC ， ∴∠FAD ＝∠BAE ＝12∠DAB ，∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC.∴∠FAD ＋∠ADF ＝90°. ∴∠AFD ＝90°.同理：∠BHC ＝∠HEF ＝90°. ∴四边形EFGH 是矩形．02 中档题10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，将△ABC 绕点C 旋转180°得到△FEC ，连接AE 、BF.当∠ACB 为60度时，四边形ABFE 为矩形．11．(河南平顶山宝丰县期中)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形，AC 、DE 相交于点O.(1)求证：四边形ADCE 是矩形；(2)若∠AOE ＝60°，AE ＝4，求矩形ADCE 对角线的长．解：(1)证明：∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AB ＝DE ，BD ＝AE ，BD ∥AE. 又∵AB ＝AC ， ∴DE ＝AC.又∵D 为BC 中点， ∴CD ＝BD.∴CD ∥AE ，CD ＝AE.∴四边形ADCE 是平行四边形． 又∵DE ＝AC ，∴四边形ADCE 是矩形． (2)∵四边形ADCE 是矩形， ∴AO ＝EO. ∵∠AOE ＝60°，∴△AOE 为等边三角形． ∴AO ＝AE ＝4.∴AC ＝8，即矩形ADCE 对角线的长为8.12．(巴中中考)如图，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ，F ，连接BE ，CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是EH ＝FH ，并证明； (2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由． 解：(1)证明：∵点H 是BC 的中点， ∴BH ＝CH.在△BEH 和△CFH 中，⎩⎨⎧BH ＝CH ，∠BHE ＝∠CHF ，EH ＝FH ，∴△BEH ≌△CFH(SAS)．(2)连接BF，CE.当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形．理由：∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形．又∵BH＝EH，∴BC＝EF.∴平行四边形BFCE为矩形．03综合题13．(张家界中考)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．解：(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.∴OF＝OC.同理：OC＝OE.∴OE＝OF.(2)由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°.∴EF＝CE2＋CF2＝122＋52＝13.∴OC＝12EF＝13 2.(3)连接AE、AF.当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形．理由：由(1)知OE＝OF，当点O移动到AC中点时，OA＝OC，∴四边形AECF为平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形．第3课时矩形的性质与判定的运用01基础题知识点矩形的性质与判定的运用1．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC＝(C) A．8 B．10 C．12 D．182．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(D) A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BD3．下列说法正确的是(A)A．矩形的对角线互相平分B．矩形的四条边相等C．有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不正确的是(A) A．AC⊥BD B．AC＝BDC．BO＝DO D．AO＝CO5．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB＝5，BC＝12，点A 表示的数是－1，则对角线AC、BD的交点表示的数是(A)A．5.5 B．5 C．6 D．6.56．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD＝60°，OE⊥AC.若AD＝3，则OE ＝(A)A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°.则∠ODC＝25°．8．木工做一个矩形桌面，量得桌面的两组对边长分别为15 cm，8 cm，对角线为17 cm，则这个桌面合格(填“合格”或“不合格”)．9．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE∶∠EDC＝2∶1，求∠BDE的度数．解：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°.∵∠ADE∶∠EDC＝2∶1，∴∠ADE＝60°，∠EDC＝30°.又∵DE⊥AC，∴∠DCE＝90°－30°＝60°.根据矩形的性质可得OC＝OD，∴∠DOC＝180°－2∠DCE＝180°－2×60°＝60°.∴∠BDE＝90°－∠DOC＝30°.10．(聊城中考)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝DC.∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AC，BE＝AD.又∵AD＝DC，∴DC＝BE.∴四边形BECD是平行四边形．又∵BD⊥AC，∴四边形BECD是矩形．02中档题11．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个12．将一个含30°的角的直角三角尺(∠AMF ＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M 是BC 边的中点，则∠AFE 的度数为15°．13．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝20 cm ，点P 和点Q 分别从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为3 cm/s 和2 cm/s ，则最快4s 后，四边形ABPQ 成为矩形．14．(郑州校级模拟)如图，已知矩形ABCD ，P 为BC 上的一点，连接AP ，过D 点作DH ⊥AP交AP 于H ，AB ＝22，BC ＝4，当△CDH 为等腰三角形时，则BP15．如图，在▱ABCD 中，点P 是AB 边上一点(不与A ，B 重合)，CP ＝CD ，过点P 作PQ ⊥CP ，交AD 边于点Q ，连接CQ.(1)若∠BPC ＝∠AQP ，求证：四边形ABCD 是矩形； (2)在(1)的条件下，当AP ＝2，AD ＝6时，求AQ 的长．解：(1)证明：∵∠BPQ ＝∠BPC ＋∠CPQ ＝∠A ＋∠AQP ， 又∵∠BPC ＝∠AQP ， ∴∠CPQ ＝∠A. ∵PQ ⊥CP ，∴∠CPQ ＝∠A ＝90°.又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠CPQ ＝90°.在Rt △CDQ 和Rt △CPQ 中，⎩⎨⎧CQ ＝CQ ，CD ＝CP ，∴Rt △CDQ ≌Rt △CPQ(HL)．∴DQ ＝PQ.设AQ ＝x ，则DQ ＝PQ ＝6－x. 在Rt △APQ 中，AQ 2＋AP 2＝PQ 2. ∴x 2＋22＝(6－x)2. 解得x ＝83.∴AQ 的长是83.03 综合题16．如图，已知在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，点P 在AB 上(不与A 、B 重合)，过P 作PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ，M 为EF 的中点． (1)请判断四边形PECF 的形状，并说明理由；(2)随着P 点在边AB 上位置的改变，CM 的长度是否也会改变？若不变，求CM 的长度；若有变化，求CM 的变化范围．解：(1)四边形PECF 是矩形．理由：在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 2＋BC 2＝32＋42＝52＝AB 2. ∴∠ACB ＝90°.∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，∴∠PEC ＝∠CFP ＝90°. ∴四边形PECF 是矩形． (2)CM 的长度会改变．理由：连接PM ，由(1)证得四边形PECF 是矩形， ∴EF ＝PC ，CM ＝12CP.过点C 作CD ⊥AB ，当CD ＝PC 时PC 最小， ∴PC ＝AC·BC AB ＝125＝2.4.∵点P 在斜边AB 上(不与A 、B 重合)， ∴PC ＜BC ＝4.∴PC 的范围是2.4≤PC ＜4， 即EF 的范围是2.4≤EF ＜4. ∴CM 的范围是1.2≤CM ＜2.。
菱形的性质和判定
E F D B A 1.3 菱形的性质和判定【学习目标】1、会识别菱形；2、掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题；3、会用菱形的知识解决有关问题 重点：菱形的性质和判定定理 难点：菱形性质的灵活运用【知识梳理】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ①边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．【菱形的性质】【例1】 如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．【例2】 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______________．F E DBA 【例3】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．【例4】⑴如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．⑵、菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ． ⑶、如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ） A ．5 B ．10 C ．6 D ．8 ⑷、如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ） A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【例5】如图4，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【例6】⑴、 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等 于 ．⑵、已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为 ．⑶、如图1，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ．210cm B ．220cm C ．240cm D ．280cm ⑷ 、如图2，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．【例7】已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBADC AB C'DCB A EODEFCAB【例8】已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．【菱形的判定】【例9】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．【例10】如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A【例11】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.【例12】如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.。
菱形及其性质
解：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠D＝∠B＝60°. ∴△ABC和△ACD为等边三角形． ∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°.
∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF. ∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF. 又∵∠EAF＝60°， ∴△EAF是等边三角形，∴∠AEF＝60°. 又∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AEF＋∠CEF， ∴60°＋18°＝60°＋∠CEF， ∴∠CEF＝18°.
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。——马克 思
10、涓滴之水终可磨损大石，不是由于 它力量 大，而 是由于 昼夜不 舍的滴 坠。只 有勤奋 不懈的 努力才 能够获 得那些 技巧， 因此， 我们可 以确切 地说： 说：不 积跬步 ，无以 致千里 。——贝多芬 11、一定要做最适合自己的事情，不要 迎合别 人的口 味而去 做一件 不属于 自我的 “难事 ”。一 旦“发 现自我 ”，就 要尽力 而为， 但要全 面了解 自己和 周围的 环境， 知道适 可而止 。 12、要有自信，然后全力以赴--假如具有 这种观 念，任 何事情 十之八 九都能 成功。 ——威 尔逊 13、莫找借口失败，只找理由成功。 14、一个有坚强心志的人，财产可以被 人掠夺 ，勇气 却不会 被人剥 夺的。 ——雨 果 15、积极的人在每一次忧患中都看到一 个机会 ，而消 极的人 则在每 个机会 都看到 某种忧 患。 16、不是境况造就人，而是人造就境况 。
菱形的性质和判定
菱形的性质和判定
（一）导学内容
1.菱形的性质
（1）四条边都相等,
（2）对角线互相垂直平分且平分一组对角.
2、菱形是轴对称图形，其中对称轴有两条，分别是两条对角线。
.用心解决下面三个问题：（口述理由）
（1）已知，如图四边形ABCD是平行四边形，
且ＡＢ＝ＢＣ，则这个平行四边形是菱形。
（2）已知，在平行四边形ABCD中，AC BD
，
问四边形ABCD D
（3）已知，在四边形ABCD
问四边形ABCD
（1）一组临边相等的平行四边形是菱形。
（2）四条边都相等的四边形是菱形。
（3）对角线互相垂直平分且平分一组对角的平行四边形是菱形。
菱形的性质与判定
上节课内容掌握情况验收：平行四边形定义平行四边形的性质；1边2.角3.对角线平行四边形的判定1边2.角3.对角线三角形的中位线定义三角形的中位线性质矩形的定义矩形的性质1边2.角3.对角线矩形的判定1边2.角3.对角线直角三角形的性质上次课作业验收：新课：菱形的性质与判定一，菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．探索新知1如图，已知菱形ABCD，你可以得到菱形的那些性质？（从边，角，对角线三方面思考）图2D CBA二、菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．知识点巩固提高：1. 如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则：①此菱形的边长为___ ．周长为___ ．②此菱形的面积为___③此菱形对角线的交点O到AB的距离为___2. 已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为__ ___cm．3．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC:BD=4:3，那么对角线AC=_____cm，BD=_____cm．4．若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为．5. 如图所示，在菱形ABCD中，若AB＝6，∠DAC＝60°则：①BD＝_________ ②AC＝_________ ③S菱形ABCD＝_________ ．归纳；有一个内角为60°的菱形，短的对角线等于_________；长的对角线等于_________ ．6. 菱形的两邻角之比为1:2，边长为2，则菱形的面积为__________．7. 己知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________ ．8．如图，菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则S菱形ABCD= _________ cm2．9．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2㎝，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为_________ cm．、探索新知2如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是__________ 形，你判定的理由猜想一下菱形的判定方法有哪些？三，菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．判定④；对角线互相垂直平分的四边形是菱形知识点巩固提高1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A、对角线垂直B、两对角线相等C、两对角线互相平分D、两对角线互相垂直平分2．不能判定一个四边形是菱形的条件是（）A、对角线互相平分且有一组邻边相等B、四边相等C、两组对角相等，且一条对角线平分一组对角D、对角线互相垂直3．如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件时，四边形AEDF是菱形4．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（） A．4.5 cm B．4 cm C．53 cm D．43 cm例题精讲1．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，DF∥AC．试判断四边形AFED的形状，并加以证明．2．已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．（3）若∠ACB＝30 ，菱形OCED的面积为83，求AC的长．3．两张等宽的矩形纸片如图所示叠放在一起，他们重合的图形是什么形状，并加以证明．4．如图，□ABCD的对角线BD的垂直平分线与AD、BC分别交于点E、F．求证：四边形BEDF是菱形．新课标第一网本节课的收获：作业：1.___＿＿＿＿的平行四边形叫做菱形。
八年级下册菱形的性质与判定
19、已知矩形 BEDG 和矩形 BNDQ 中，BE=BN，DE=DN． （1）将两个矩形叠合成如图 10，求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若菱形 ABCD 的周长为 20，BE=3，求矩形 BEDG 的面积．
20、如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M，与 BD 相交于点 O，与 BD 相交于点 N，连接 MB，ND．（1）求证：四边形 BMDN 是菱形； （2）若 AB=1，AD=2，求 MD 的长．
①四边形 AEDF 是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形 AEDF 是矩形；③如果 AD 平分∠BAC，
那么四边形 AEDF 是菱形；④如果 AD⊥BC 且 AB=AC，那么四边形 AEDF 是菱形．
其中，正确的有 _________ （只填写序号）．
15、如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，D、E 分别为 AB，AC 边上的中点，连接 DE，将△ ADE 绕点 E 旋转 180°得到△ CFE，连接 AF，AC．（1）求证：四边形 ADCF 是菱形； （2）若 BC=8，AC=6，求四边形 ABCF 的周长．
第 12 题
第 13 题
第 14 题
13、如图，BF 平行于正方形 ABCD 的对角线 AC，点 E 在 BF 上，且 AE=AC，CF∥AE，则∠BCF 的度
数为 _________ ．
14、如图，在△ ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、BC、CA 上，且 DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
A．4
B．6
C．8
D．12
-1-
5、如图，将等边△ABC 沿射线 BC 向右平移到△DCE 的位置，连接 AD、BD，则下列结论：
《18.2.2 菱形的定义、性质和判定》课件
D
C
你能否证明四边形AEDF是
菱形？
菱形性质的应用
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其 中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=900, DE 1 BD 1 10 5cm.
A
2
2
AE AD2 DE 2 132 52 12cm.
在△ABD中，
又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B
O C
同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
D
边 菱形的两组对边平行且相等 A
O
C
菱形的四条边相等
B 数学语言
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
角
菱形的邻角互补
∴∴∴∴∠OA∴A∠ADBD∠D=A=AOBD∥BC+CA=∠B;=CO∠CC=ABD∠B==CCOBDB=ADAC180°
∵ AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
活动三 归纳总结
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.有四条边相等的四边形是菱形.
活动四 学以致用
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5
34
43
5
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
A D
O
C B
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形 的边长为 5 ，面积为 4 。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线 AC长为16 ，此菱形的边长为 10 。
（3）:菱形对角线的平方和等于一边平方
菱形的判定与性质
菱形的判定与性质知识准备：一.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
二菱形的性质：1、边的性质： ；2、角的性质： ；3、对角线的性质：；三.菱形的判定：1、 ；2、 ；3、 ；4、 。
四..菱形的面积1.菱形的面积=底×高2菱形的面积=两条对角线乘积的一半ODCBA类别性质判定对称性平行四边形①两组对边分别平行②两组对边分别相等③两组对角分别相等邻角互补④两条对角线互相平分①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（平行四边形的定义）②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
中心对称一．选择题1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A ．M （5，0），N （8，4） B ．M （4，0），N （8，4） C ．M （5，0），N （7，4） D ．M （4，0），N （7，4）2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）A ．2B ．C ．1D ．3．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ） A ．3：1 B ．4：1 C ．5：1 D ．6：1 4．如图，菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B 、D 两点之间的距离为（ ）A ．15B ．C ．7.5D ．二．填空题5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm ，3cm ，则它的面积是 _________ cm 2．6．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC=8，BD=6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点0到边AB 的距离OH= _________ ．7．如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积为 cm 2．矩形中心对称轴对称菱形中心对称轴对称8．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=13，AC=10，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的周长为 _________ ．9.顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，求证:四边形EFGH 是菱形。
1.1.2菱形形的性质与判定(教案)
3.培养学生的数学建模与问题解决能力，使学生能够运用菱形的性质和判定方法解决实际问题，提高解决几何问题的能力；
4.培养学生的合作交流与表达沟通能力，通过小组讨论、课堂汇报等形式，促使学生分享观点、交流思路，提升团队协作和表达能力。
-强调菱形对角线垂直平分的性质，引导学生发现这一性质在解决几何问题时的重要作用；
-通过具体例子，说明菱形对角线分成的四个三角形面积相等的特点，以便学生在解决相关问题时代入这一性质。
（2）菱形的判定方法：掌握菱形的判定方法，能迅速判断一个四边形是否为菱形。
-通过实例讲解，让学生掌握四边相等的四边形是菱形这一判定方法；
-引导学生理解邻边相等的平行四边形也是菱形，并学会运用这一方法解决问题；
-解释对角线互相垂直平分且相等的四边形是菱形，以及如何利用这一判定方法。
2.教学难点
（1）菱形性质的运用：学生在掌握菱形性质的基础上，如何将这些性质应用于实际问题。
-难点举例：在给定一个菱形的情况下，求菱形的对角线长度、角度或其他相关参数；
1.1.2菱形形的性质与判定（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第七章第一小节，标题为“1.1.2菱形的性质与判定”。教学内容主要包括以下两部分：
1.菱形的性质：
-菱形的定义：四边相等的四边形；
-菱形的对角线互相垂直平分；
-菱形的对角线把菱形分成的四个三角形面积相等；
-菱形的对角线长度相等；
-菱形的两条对角线相交点为菱形的中心，即对角线交点到菱形各顶点的距离相等。
此外，今天的课堂总结环节，学生们提出了很多疑问，这说明他们在学习过程中进行了积极的思考。我感到很高兴，同时也意识到自己在教学中要注重引导学生进行总结和反思，帮助他们巩固知识点。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
乐恩特教育个性化教学辅导教案2）角3）对角线4)对称性1、探究菱形的面积计算方法:练一练：1、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（ )A.6 cm B。
1.5 cm C.3 cm D.0.75 cm2。
在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A。
75° B。
60° C。
45° D。
30°3、菱形的边长是2 cm,一条对角线的长是23 cm，则另一条对角线的长是（）A。
4 cm B.3 cm C.2 cm D。
23 cm精讲精练例1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm,求菱形ABCD的高DH.变式：菱形ABCD 的周长为20 cm ，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。
例2：(09贵阳）如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合)，连接DP 交对角线AC 于E ，连接EB 。
（1）求证:APD EBC ∠=∠;(2）若60DAB ∠=︒,试问：P 点运动到什么位置时，ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的14？为什么？例3：如图，在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，BE=2a ，120BAD ∠=︒,P 点在BD 上,求PE+PC 的最小值.三、用中学习1。
菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A.对角相等 B 。
对边相等 C 。
对角线互相垂直 D.对角线相等2.菱形ABCD 中,AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =21∠BAC ,则菱形的四个内角的度数为_______. 3、。
若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于__________ cm ，它的面积等于________ cm 2.4。
菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是（ ） A 。
168 cm2B 。
336 cm 2C.672 cm2D.84 cm 25.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ）A 。
43 B.83 C 。
103 D 。
123 6.下列语句中，错误的是（ ） A.菱形是轴对称图形,它有两条对称轴 B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到 C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到 D 。
菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到7.菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1∶3,那么菱形的边长为_______。
8、如图，将两张长为8,宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，则菱形周长的最小值是,最大值是.9、如图，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，求FPC ∠的度数。
1、根据菱形的定义，你怎样判定一个四边形是菱形?2、用几何语言叙述：【探究二】菱形的判定方法二:1、若一个四边形的四边相等，你能判定它为菱形吗?说说你的理由.2、归纳：3、用几何语言叙述：【探究三】菱形的判定方法三：于O,则四边形ABCD为菱形吗?请证明.1、如图，在ABCD中，AC BD2、归纳:3、用几何语言叙述：小结：菱形的判定方法，判定时要注意的问题。
练一练：1、下列命题是真命题的有A.两组邻边分别相等的四边形是菱形. B。
一角为60°的平行四边形是菱形。
C.对角线互相垂直的四边形是菱形。
D.菱形的对角线互相垂直平分.2.下列条件中，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．ABCD中，AB=BC B．ABCD中,AC⊥BDC．ABCD中，AC=BD D．ABCD中,AC平分∠BAD3、四边形ABCD的对角线AC、BD于点O，下列各组条件不能判定四边形ABCD是菱形的是( ) A．AB=CD,AD=BC，AC=BDB．∠A=∠C，∠B=∠D，∠OAB=∠OADC．OA=OC，OB=OD,AC⊥BD D．AB=BC=CD=DA精讲精练例1：AD是ABC的角平分线，DE//AC，DF//AB。
求证：四边形AEDF是菱形。
例2 :（2007山东青岛)将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处,折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形?证明你的结论ABCAB C DE FD′例3：变式.□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ,四边形AFCE 是否是菱形？为什么？三、 用中学习1、若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a 时，如图，其他三边长为________；周长为________.2、E 、F 、G 、H 分别是矩形ABCD 四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,求证:四边形EFGH 是菱形。
3、如图，ABC 中，AB=AC ，AD 是A ∠的平分线，E 为AD 延长线上一点，CF//BE 且交AD 于F ，连接BF 、CE 。
求证:四边形BECF 是菱形。
4、(2009齐齐哈尔)如图,边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形90③ABC．③④一个内角的度数是5 如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（）A ．32B ．33C ．34D ．36 如上图，四边形ABCD 是菱形，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，则下列式子不成立．．．的是（） A 。
DE DA = B. CE BD =C 。
90=∠EAC °D. E ABC ∠=∠2 7 如上图，在菱形ABCD 中,对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（) A ．16aB ．12aC ．8aD ．4a8 如图，菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=,则点D 的坐标为．9 菱形ABCD 中,AE 垂直平分BC ，垂足为E ,4cm AB =．那么，菱形ABCD 的面积是,对角线BD 的长是．10 已知菱形ABCD 的面积是212cm ，对角线4AC =cm ，则菱形的边长是cm11 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2,BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长________。
CAFD E B GF ADE BCABCDEODCB OAEO (B )ADxyCADCEBFADO E B C12 如图，矩形ABCD 的两条线段交于点O,过点O 作AC 的垂线EF,分别交AD 、BC 于点E 、F,连接CE ，已知CDE ∆的周长为24cm ，则矩形ABCD 的周长是cm13 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．14 如图，菱形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，5cm AB =，4cm AO =，则BD =cm ．15 如图所示,已知□ABCD ，AC,BD 相交于点O,添加一个条件使平行四边形为菱形,添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）15题图 16题图16 如图2所示,D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC,CA ，AB 上的点,且DE ∥AB,DF ∥CA ，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可） 17 菱形ABCD 的周长为48cm,∠BAD:∠ABC=•1:•2,则BD=•_____,菱形的面积是______． 18 在菱形ABCD 中,AB=4,AB 边上的高DE 垂直平分边AB ，则BD=_____，AC=_____． 19 请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）20 如图所示,在四边形ABCD 中,AB ∥CD,AB=CD=BC ，四边形ABCD 是菱形吗？说明理由．21 如图，四边形ABCD 是菱形,DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F.请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想22 已知：如图，AD 平分∠BAC,DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．求证:四边形AEDF 是菱形．23 如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O ，PD ∥AC ，PC ∥BD ，PD ，PC 相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗?试说明理由．24 已知：如图所示，菱形ABCD 中,E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF ．（1）试说明：AE=AF ；（2)若∠B=60°,点E ，F 分别为BC 和CD 的中点，试说明：△AEF 为等边三角形．25 如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：BOE DOF △≌△;（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结321A B C DE F论．26 如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于E ．（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．27 如图8，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，．（1）求证：ADE CBF △≌△．（5分)（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．（5分）28 如图，在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E,EF ⊥BC 于F ，四边形AEFG 是菱形吗?FDOC BE AAB CD E F G B C ADE F。