中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)

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2024中考备考重难点重难点相似三角形模型及其综合题综合训练(11大题型+满分技巧+限时分层检测)

重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练中考数学中《相似三角形模型及其综合题综合训练》部分主要考向分为五类：一、K型相似二、8字图相似三、A字图相似四、母子型相似五、手拉手相似相似三角形的综合题中各种相似模型的掌握是解决对应压轴题的便捷方法，所以本专题是专门针对相似三角形模型压轴题的，对提高类型的学生可以自主训练。

考向一：K型相似1．（2023•锡山区校级四模）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界），则AP的取值范围是0＜AP≤5，连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM＝2∠ADG时，AP的长是25﹣5．【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD＝5，BC＝AD＝4，∠A＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到∠PMB＝∠A＝90°，BM＝AB＝5，根据勾股定理得到CM＝3，DM＝5﹣3＝2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；根据折叠的性质得到∠ABP＝∠MBP，求得∠ABM＝2∠ABP，根据相似三角形的性质得到＝＝，设AP＝5x，AG＝4x，过M作MH⊥AD于H，根据折叠的性质得到AP＝MP＝5x，AM⊥BP，根据三角形中位线定理得到MN＝AG＝2x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：当M落在CD上时，AP的长度达到最大，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝8，∠A＝∠C＝∠D＝90°，∵△ABP沿直线翻折，∴∠PMB＝∠A＝90°，BM＝AB＝10，∴CM＝＝＝6，∴DM＝10﹣6＝4，∴∠PMD+∠BMC＝90°，∠PMD+∠MPD＝90°，∴∠BMC＝∠MPD，∴△PDM∽△MCB，∴＝，∴＝，∴PD＝3，∴AP＝8﹣3＝5，∴AP的取值范围是0＜AP≤5；如图，∵将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处，∴∠ABP＝∠MBP，∴∠ABM＝2∠ABP，∵∠ABM＝2∠ADG，∴∠ABP＝∠ADG，∵∠DAG＝∠BAP，∴△ADG∽△ABP，∴＝＝，设AP＝5x，AG＝4x，过M作MH⊥AD于H，∵将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处，∴AP＝MP＝5x，AM⊥BP，∴∠DAM＝90°﹣∠BAM＝∠ABP＝∠ADG，∴AM＝DM，∴DH＝AH＝4，HP＝4﹣5x，∵∠BAD＝∠MHA＝90°，∴MH∥AG，∴MH为△ADG的中位线，∴MH＝AG＝2x，在Rt△PHM中，PM2＝PH2+HM2，∴（5x）2＝（2x）2+（4﹣5x）2，解得x1＝5﹣，x2＝5+（不合题意舍去），∴AP＝5x＝25﹣5．故答案为：0＜AP≤5；25﹣5．2．（2023•福田区模拟）综合与探究在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．（1）如图①，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图②，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求EF的长；（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，请直接写出的值．【分析】（1）由折叠的性质得出BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB＝30°，可求出答案；（2）证明△F AB∽△EDF，由相似三角形的性质得出，可求出DE＝2，求出EF＝3，由勾股定理求出DF＝，则可求出AF，即可求出BC的长；（3）过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BF A，，设AN＝x，设FG＝y，则AF ＝2y，由勾股定理得出（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，解出y＝x，则可求出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，∵BC＝2AB，∴BF＝2AB，∴∠AFB＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF＝30°，∴∠CBE＝∠FBC＝15°；（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴△F AB∽△EDF，∴，∴AF•DF＝AB•DE，∵AF•DF＝10，AB＝5，∴DE＝2，∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，∴EF＝3；（3）过点N作NG⊥BF于点G，∵NF＝AN+FD，∴NF＝AD＝BC，∵BC＝BF，∴NF＝BF，∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，∴△NFG∽△BF A，∴，设AN＝x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，设FG＝y，则AF＝2y，∵AB2+AF2＝BF2，∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，解得y＝x．∴BF＝BG+GF＝2x+x＝x．∴＝．3．（2023•桐柏县一模）【初步探究】（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空：△EB'M∽△B'AN （“≌”或“∽”）．【类比探究】（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．【问题解决】（3）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE，DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为或1．【分析】（1）由矩形纸片ABCD如图①折叠，可证△EB'M∽△B'AN；（2）同（1）由四边形ABCD是矩形，如图②折叠，可得∠EB'M＝90°﹣∠AB'N＝∠B'AN，即可得△EB'M ∽△B'AN，（3）分两种情况：当∠DB'E＝90°时，证明Rt△CDE≌Rt△B'DE（HL），得B'D＝CD＝AB＝4，设BP ＝x＝B'P，在Rt△APD中，有（4﹣x）2+62＝（x+4）2，可解得BP＝；当∠B'ED＝90°时，过B'作B'H⊥AB于H，作B'Q⊥BC于Q，则∠B'QE＝∠C＝90°，证明△B'EQ∽△EDC，可得＝＝，设BP＝y＝B'P，在Rt△B'PH中，（﹣y）2+（）2＝y2，可解得BP＝1．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵矩形纸片ABCD如图①折叠，∴∠EB'A＝∠B＝90°，∴∠EB'M＝90°﹣∠AB'N＝∠B'AN，∵∠EMB'＝90°＝∠B'NA，∴△EB'M∽△B'AN，故答案为：∽；（2）（1）中结论成立，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵矩形纸片ABCD如图①折叠，∴∠EB'A＝∠B＝90°，∴∠EB'M＝90°﹣∠AB'N＝∠B'AN，∵∠EMB'＝90°＝∠B'NA，∴△EB'M∽△B'AN；（3）如图所示，当∠DB'E＝90°时，△EB'D是直角三角形，由折叠可得，∠PB'E＝∠B＝90°，BE＝B'E＝CE，∴∠DB'P＝180°，即点P，B'，D在一条直线上，在Rt△CDE和Rt△B'DE中，，∴Rt△CDE≌Rt△B'DE（HL），∴B'D＝CD＝AB＝4，设BP＝x＝B'P，则AP＝4﹣x，PD＝x+4，在Rt△APD中，AP2+AD2＝PD2，∴（4﹣x）2+62＝（x+4）2，解得x＝，∴BP＝；如图所示，当∠B'ED＝90°时，△EB'D是直角三角形，过B'作B'H⊥AB于H，作B'Q⊥BC于Q，则∠B'QE＝∠C＝90°，又∵∠B'ED＝90°，∴∠B'EQ+∠CED＝90°＝∠EDC+∠CED，∴∠B'EQ＝∠EDC，∴△B'EQ∽△EDC，∴＝＝，∵CE＝BE＝BC＝3，CD＝4，∴DE＝＝5，∵△BPE沿PE折叠得到△B'PE，∴B'E＝BE＝3，∴＝＝，解得B'Q＝，EQ＝，∴BQ＝BE﹣EQ＝＝B'H，BH＝B'Q＝，设BP＝y＝B'P，则HP＝BH﹣BP＝﹣y，在Rt△B'PH中，HP2+B'H2＝B'P2，∴（﹣y）2+（）2＝y2，解得y＝1，∴BP＝1．综上所述，BP的长为或1．考向二：8字图相似1．（2023•海州区校级二模）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……【问题提出】（1）如图①，PC是△P AB的角平分线，求证：．小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥P A，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥P A交P A于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．【理解应用】（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC＝1，AB＝2，则DE的长为．【深度思考】（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为6．【拓展升华】（4）如图④，PC是△P AB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△P AB的面积最大值是3．【分析】（1）选择小明的思路，过点BD∥AP交PC的延长线于点D，易证△ACP∽△BCD，得到，由角平分线的性质和平行线的性质得∠BPC＝∠D，可得PB＝BD，等量代换即可证明；选择小红的思路，根据角平分线的性质得到CD＝CE，再利用等面积；（2）利用（1）中的结论得到，再利用勾股定理即可解答；（3）利用（1）中的结论得到，再利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠F AC，再根据相似三角形得到AF的值；（4）作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，在AP的延长线上截取PE＝PB，易得△BPD≌△EPD（SAS），由（1）结论可得，由等量代换可得，利用（1）中的结论得到，求得⊙O的半径为，当P运动到点P′，P′O⊥AD时，△APB的面积最大，计算即可．【解答】（1）证明：选择小明的思路，如图，过点BD∥AP交PC的延长线于点D，∵BD∥AP，∴∠APC＝∠D，又∵∠ACP＝∠BCD，∴△ACP∽△BCD，∴，∵PC是△P AB的角平分线，∴∠APC＝∠BPC，∴∠BPC＝∠D，∴PB＝BD，∴；选择小红的思路，如图，过点C分别作CD⊥P A交P A于点D，作CE⊥PB交PB于点E，作PF⊥BC于点F，∵PC是△P AB的角平分线，∴CD＝CE，∴，，，，∴BC•PF＝PB•CE，P A•CD＝AC•PF，∴，∴，∴．（2）解：∵将△ACD沿AD所在直线折叠点C恰好落在边AB上的E点处，∴AD平分∠BAC，∴，∵AC＝1，AB＝2，∴，∴BD＝2CD，∵∠BAC＝90°，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为：；（3）解：∵AD为∠BAC的角平分线，∴，∠BAD＝∠DAC，∵△ABC中，AB＝6，AC＝4，BD＝3，∴，∴CD＝2，∵AD的垂直平分线EF交BC延长线于F，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠FDA，∵∠F AD＝∠F AC+∠DAC，∠FDA＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠F AC，∵∠AFB＝∠CF A，∴△FBA∽△F AC，∴，∴，∴AF＝6，故答案为：6．（4）解：如图，在AP的延长线上截取PE＝PB，作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，∵PD是△APB的外角平分线，∴∠BPD＝∠EPD，又∵PD＝PD，∴△BPD≌△EPD（SAS），∴DB＝DE，∠BDP＝∠EDP，∴，∵PE＝PB，DB＝DE，∴，∵PC是△APB的角平分线，∴，∴，∴，∴，∴BD＝2，∴CD＝3，∵，∴点P在以半径为的⊙O上，如图，当P运动到点P′，P′O⊥AD时，△APB的面积最大，最大值为，故答案为：3．2．（2023•衢州二模）如图1，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，连接AE，将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，延长EF交CD于点G．（1）求证：DG＝FG；（2）如图2，当点E是BC中点时，求tan∠CGE的值；（3）如图3，当时，连接CF并延长交AB于点H，求的值．【分析】（1）由“HL”可证Rt△AFG≌Rt△ADG，可得DG＝FG；（2）由勾股定理可求GF的长，即可求解；（3）由勾股定理可求BC＝CD＝6x，由面积法可求FN的长，即可求FM的长，通过证明△MFH∽△NFC，可得＝，即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∵将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，∴AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，∴AD＝AF，又∵AF＝AD，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），∴DG＝FG；（2）解：设BC＝CD＝2a，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝a，∵将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，∴BE＝EF＝a，∵EG2＝EC2+CG2，∴（a+DG）2＝a2+（2a﹣DG）2，∴DG＝a，∴tan∠CGE＝＝＝；（3）如图3，过点F作MN⊥AB于M，交CD于N，∵MN⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形BCNM是矩形，∴BC＝MN，∵，∴设BE＝2x，DG＝3x，则EG＝5x，∵EG2＝EC2+CG2，∴25x2＝（CD﹣2x）2+（CD﹣3x）2，∴CD＝6x（负值舍去），∴BC＝6x，∴EC＝4x，CG＝3x，∵S△CFG＝S△ECG，∴CG•FN＝EC•CG，∴FN＝x，∴MF＝x，∵AB∥CD，∴△MFH∽△NFC，∴＝，∴＝＝，∴＝．考向三：A字图相似1．（2023•宿城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为．【分析】过点C′作C′E⊥AD的延长线于点E，设CD与AB′交于点G，根据矩形性质和翻折性质，设B′G＝DG＝x，CG＝CD﹣DG＝5﹣x，利用勾股定理求出x的值，证明△ADG∽△AB′F，求出B′F＝，然后证明△CDF≌△AB′F（AAS），得DF＝B′F＝，再由△C′EF∽△CDF，得＝＝，求出C′E＝，EF＝，证明△ADM∽△AEC′，对应边成比例即可求出DM的长．【解答】解：如图，过点C′作C′E⊥AD的延长线于点E，设CD与AB′交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，由翻折可知：∠BAC＝∠B′AC，∴∠B′AC＝∠DCA，∴GA＝GC，由翻折可知：B′A＝BA＝5，B′C＝BC＝B′C′＝3，∴B′A＝CD＝5，∴B′G＝DG，设B′G＝DG＝x，∴CG＝CD﹣DG＝5﹣x，在Rt△B′CG中，根据勾股定理得：B′G2+B′C2＝CG2，∴x2+32＝（5﹣x）2，∴x＝，∴B′G＝DG＝x＝，∴AG＝CG＝5﹣x＝，∵∠DAG＝∠B′AF，∠ADG＝∠AB′F＝90°，∴△ADG∽△AB′F，∴＝，∴＝，∴B′F＝，∴C′F＝C′B′﹣B′F＝3﹣＝，CF＝CB′+B′F＝3+＝，∵∠CFD＝∠AFB′，∠CDF＝∠AB′F＝90°，CD＝AB′，∴△CDF≌△AB′F（AAS），∴DF＝B′F＝，∵C′E⊥AD，CD⊥AD，∴C′E∥CD，∴△C′EF∽△CDF，∴＝＝，∴＝＝，∴C′E＝，EF＝，∴DE＝DF+EF＝+＝，∴AE＝AD+DE＝3+＝，∵C′E∥DM，∴△ADM∽△AEC′，∴＝，∴＝，∴DM＝．故答案为：．2．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABC中，D在AB上，E在BC上，∠AED＝∠ABC，F在AE上，EF＝DE．（1）如图1，若CE＝BD，求证：BE＝CF；（2）如图2，若CE＝AD，G在DE上，∠EFG＝∠EFC，求证：CF＝2GF；（3）如图3，若CE＝AD，EF＝2，∠ABC＝30°，当△CEF周长最小时，请直接写出△BCF的面积．【分析】（1）先说明∠FEC＝∠EDB，然后用SAS证明△FEC≌△EDB，得到BE＝CF；（2）仿照（1）得△FEC≌△EDH，出现中点倍长中线，利用相似得CF＝2GF；（3）先说明∠CJE＝30°，即点C的轨迹是条直线，然后考虑将军饮马，最后求△BCF的面积．【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠AED+∠FEC，∠DEC＝∠ABC+∠EDB，∠AED＝∠ABC，∴∠FEC＝∠EDB，∵EF＝DE，CE＝BD，∴△FEC≌△EDB（SAS），∴BE＝CF；（2）证明：延长AB至H使DH＝AD，由（1）得△FEC≌△EDH，∴FC＝HE，∠CFE＝∠HED，延长ED至I使DI＝ED，连接AI，则EF＝DE＝IE，∵DH＝AD，∠ADI＝∠HDE，∴△ADI≌△HDE（SAS），∴AI＝HE，∠HED＝∠AID，∴AI＝FC，∠AID＝∠CFE，∵∠EFG＝∠EFC，∴∠EFG＝∠AID，∵∠FEG＝∠IEA，∴△FEG∽△IEA，∴＝，∴＝，∴CF＝2GF；（3）解：延长FE至J使EJ＝EF，∵EF＝DE∴EJ＝DE∵∠FEC＝∠EDB，∴∠CEJ＝∠ADE，∵CE＝AD，∴△CEJ≌△ADE（SAS），∴∠CJE＝∠AED，∵∠AED＝∠ABC，∠ABC＝30°，∴∠CJE＝30°，过E作JC的对称点E'，连接CE'、FE'、CE'、JE'，C△CEF＝EF+CF+CE＝2+CF+CE'≥2+FE'，∴当F、C、E'三点共线时周长最小，当周长最小时如图所示：∵∠CJE＝30°，∴∠EJE'＝60°，∵JE＝JE'，∴△EJE'是正三角形，∴∠JEE'＝60°，EE'＝EJ＝EF，∴∠EFE'＝∠EE'F＝30°，∵CE＝CE'，∴∠CEE'＝∠EE'F＝30°，∴∠CEJ＝90°，∴∠FEC＝90°，∴EC＝＝＝，∵∠AED＝30°，∴∠BED＝60°，∴∠BDE＝90°，∴BE＝2DE＝4，∴S△BCF＝×BC×EF＝BC＝BE+EC＝4+．3．（2023•中山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点P 为射线AO上的一个动点，过点P作PQ⊥AB于点Q，将沿PQ翻折得到R．设△PQR与△AOB重合部分的面积为S，点P的坐标为（m，0）．（1）求AR的长．（用含m的代数式表示）（2）求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．【分析】（1）求出直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B的坐标，得到OA，OB的长，利用勾股定理求AB得长．证出△PQA∽△BOA，利用对应线段成比例，求出AR．（2）点P为射线AO上的一个动点，在移动过程中，△PQR与△AOB重合部分有三种形状，①直角三角形②四边形③直角三角形．分类讨论，利用三角形相似对应边成比例，找边之间的转换关系，解决问题．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，当x＝0时，y＝4，∴点B坐标（0，4），∴OB＝4．当y＝0时，x＝3，∴点A坐标（3，0），∴OA＝3．Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，∴AB＝5．∵∠P AQ＝∠BAC，∠AQP＝∠AOB，∴△PQA∽△BOA，∴，AQ＝，AR＝2AQ＝．（2）在移动过程中，△PQR与△AOB重合部分有三种形状．①点P在线段OA上，△PQR与△AOB重合部分是△PQR．当0≤m＜3时，∵∠P AQ＝∠BAC，∠AQP＝∠AOB，∴△PQA∽△BOA，∴S△APQ：S△ABO＝AP2：AB2＝（3﹣m）2：25，∵S△ABO＝＝6，又∵△PQR≌△PQA，∴S＝（3﹣m）2．②△PQR与△AOB重合部分是四边形CDRQ．作RE⊥OA于E，QF⊥OA于F．当R和B重合时，Q为AB中点，AQ＝2.5，∵△PQA∽△BOA，∴，∴AP＝＝＝，∴OP＝AP﹣AO＝﹣3＝，∴m＝．∴当＜m＜0时，△PQR与△AOB重合部分是四边形CDRQ．∵△PQA∽△BOA，∴∠APQ＝∠ABO，∵∠AOB＝∠OFQ，∴△AOB∽△QFP，∴，∴＝，同理，∴，∴，∵AP＝3﹣m，∴F A＝．∴QF＝AF×＝（3﹣m）．∴RE＝2QF＝（3﹣m），∴PE＝P A﹣2AF＝，∵OD∥RE，∴，∴OD＝＝＝﹣，∵，∴OC＝﹣m，∴CD＝OD﹣OC＝﹣＝﹣m．∵S＝S△PQR﹣S△PCD∴S＝×P A×QF﹣×OP×CD＝．，③△PQR与△AOB重合部分是△BQC，当Q、B重合时，AQ＝5，∴AP＝，OP＝＝，m＝，当时，△PQR与△AOB重合部分是△BQC．∵OC＝OP＝﹣，∴BC＝4﹣OC＝，∵CQ＝，BQ＝，∴S＝＝＝，∴S＝．考向四：母子型相似1．（2023•樊城区模拟）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF ＝6，AD＝9，求CE的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，连接DE、DF分别交AC于M，N，∠EDF＝∠BAD，DF＝AE，若MN＝18，求EF的值．【分析】（1）证△ADC∽△ACB，得＝，即可得出结论；（2）证△BFE∽△BCF，得＝，则BF2＝BE•BC，求出BC＝4，即可得出结论；（3）延长EF与DC相交于点G，证四边形AEGC为平行四边形，得EG＝AC＝2EF，CG＝AE，∠EAC ＝∠G，设EF＝x，则EG＝2x，再证△EDF∽△EGD，得＝＝，则ED＝x，＝＝，设CG＝AE＝k，则DF＝2k，DG＝CD+k，求出CD＝3k，然后证△AEM∽△CDM，得＝＝，进而证△DEF∽△DMN，得＝＝，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB．∴＝，∴AC2＝AD•AB；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝9，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C．又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF．∴＝，∴BF2＝BE•BC，即62＝9BE，∴BE＝4，∴CE＝BC﹣BE＝9﹣4＝5，即CE的长为5；（3）解：如图，延长EF与DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠DAC＝∠BAD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠BAD，∵EF∥AC，∴四边形AEGC为平行四边形，∠DCA＝∠G，∴EG＝AC＝2EF，CG＝AE，∠EAC＝∠G，设EF＝x，则EG＝2x，∵∠EDF＝∠BAD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠EDF，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴＝＝，∴ED2＝EF•EG＝x•2x＝2x2，∴ED＝x（负值已舍去），∴＝＝，设CG＝AE＝k，则DF＝2k，DG＝CD+k，∴＝，解得：CD＝3k，∵AB∥CD，∴△AEM∽△CDM，∴＝＝＝，∴＝，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DMN，∴＝＝，∴EF＝MN＝×18＝24，即EF的值为24．2．（2023•润州区二模）如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足∠BPD＝∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”．（1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°．①求证：点P是点D的“和谐点”；②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）（2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”．①若AD＝1，求出点P的坐标；②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是≤AD＜．【分析】（1）①由∠BDP+∠BPC＝180°考虑平角APC，只要证明∠BPD＝∠BAC即可；②分别做线段DB、BP的中垂线，两条中垂线交于点O，则O为△PDB的外心，以O为圆心，OP为半径作圆交AC于点Q，点Q即为所求．用同弧所对的圆周角相等证明；（2）①通过△PBD∽△ABP求出BP的长度，然后求出直线AC的表达式为：y＝2x，设点P的坐标为（x，2x），利用B、P两点间的距离公式解方程求出点P；②求出两个临界状态时的AD：一是当点P与点C重合时；二是△BDP的外接圆与线段AC恰有一个交点时．【解答】（1）①证明：∵∠BDP+∠BPC＝180°，∠BDP＝∠BAC+∠APD，∴∠BAC+∠APD+∠BPC＝180°，∵∠APD+∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠BPD＝∠BAC，∴点P是点D的“和谐点”；②解：以B为圆心，BP为半径作弧交AC于点Q，点Q即为所求，如图：连接BQ，∵∠BDP＝∠BAC+∠APD，∠BPD＝∠BAC，∴∠BDP＝∠BPD+∠APD，∵∠APD+∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠BDP+∠BPC＝180°，∵BP＝BQ，∴∠BPC＝∠BQP，∴∠BDP+∠BQP＝180°，∴B、Q、P、D四点共圆，∴∠BPD＝∠DQB，∵∠BPD＝∠BAC，∴∠DQB＝∠BAC，∴Q也是点D的“和谐点”；（2）解：①∵∠BPD＝∠BAP，∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴＝，＝，∴BP＝，∵C（2，4），∴直线AC的表达式为：y＝2x，设点P的坐标为（x，2x），∵点B（6，0），∴（x﹣6）2+（2x）2＝30，∴5x2﹣12x+6＝0，∴x1＝，x2＝，∴P（，）或（，）；②当点P与点C重合时，△BDP的外接圆与线段AC恰有两个交点，恰有两个“和谐点”，如图：∵点B（6，0），C（2，4），∴BC＝＝4，由①知△PBD∽△ABP，∴＝，即＝，∴BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝6﹣＝；当△BDP的外接圆与线段AC恰有一个交点时，如图：此时△BDP的外接圆与线段AC相切，则AP⊥PB，且PB为直径，∴∠PDB＝90°，∵点P的坐标为（x，2x），∴AD＝x，PD＝2x，BD＝AB﹣AD＝6﹣x，∵∠P AD+∠PBD＝90°，∠P AD+∠APD＝90°，∴∠APD＝∠PBD，∵∠ADP＝∠PDB＝90°，∴△ADP∽△PDB，∴＝，∴PD2＝AD•DB，即（2x）2＝x（6﹣x），∴x＝，∴AD＝；综上，若满足条件的点P恰有2个，AD长的取值范围是≤AD＜，故答案为：≤AD＜．考向五：手拉手相似1．（2023•宝安区校级三模）【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着A逆时针方向旋转，连接BD和CE．①如图2，找出图中的另外一组相似三角形△BAD∽△CAE；②若AB＝4，AC＝3，BD＝2，则CE＝；【迁移应用】在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，D、E，M分别是AB、AC、BC中点，连接DE和CM．①如图3，写出CE和BD的数量关系BD＝EC；②如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，当D落在AM上时，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若，求MN的长．【创新应用】如图5：，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，tan∠ADE＝2，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，，连接CF，请直接写出CF的取值范围．【分析】【问题背景】①结论：△BAD∽△CAE．利用两边成比例夹角相等两三角形相似证明；②利用相似三角形的性质求解；【迁移应用】①结论：BD＝CE，证明AB＝AC，可得结论；②连接BD，利用相似三角形的性质，求出BD，再利用三角形的中位线定理求解即可；【创新应用】如图5中，过点A作AK⊥BC于点K，过点C作CJ⊥AB于点J，连接FJ．通过计算证明FJ∥AE，求出JF，JC，可得结论．【解答】解：【问题背景】①如图2中，∵△ABC∽△ADE，∴＝，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．故答案为：△BAD∽△CAE；②∵△BAD∽△CAE，∴＝，∴＝，∴CE＝．故答案为：；【迁移应用】①如图3中，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴tan60°＝，∴AB＝AC，∵BD＝AB，EC＝AC，∴BD＝EC．故答案为：BD＝EC；②如图4中，连接BD，MN．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵＝＝，∴△BAD∽△CAE，∴＝＝，∵EC＝2，∴BD＝6，∵BM＝CM，DN＝CN，∴MN＝BD＝3；【创新应用】如图5中，过点A作AK⊥BC于点K，过点C作CJ⊥AB于点J，连接FJ．∵AB＝AC＝2，AK⊥BC，∴BK＝CK＝2，∴AK＝＝＝4，∵•BC•AK＝•AB•CJ，∴CJ＝，∴AJ＝＝＝，∴BJ＝AJ＝2﹣＝，∴BJ：AB＝2：5，∵BF：BE＝2：5，∴＝＝，∴FJ∥AE，∴△BJF∽△BAE，∴＝＝，∴JF＝AE＝，∴CJ﹣JF≤CF≤FJ+CJ，∴≤CF≤．2．（2023•东港市二模）（1）问题发现：如图1，已知正方形ABCD，点E为对角线AC上一动点，将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，得到△BEF，连接CF．填空：①＝1；②∠ACF的度数为90°；（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD和Rt△BEF中，∠EBF＝90°，∠ACB＝∠EFB＝60°，连接CF，请分别求出的值及∠ACF的度数；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线AC上一动点，其余条件不变，取线段EF 的中点M，连接BM，CM，若，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段CF的长．【分析】（1）①由旋转的性质得出BE＝BF，∠EBF＝90°，由正方形的性质得出∠ABC＝90°，AB＝BC，证明△ABE≌△CBF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，则可得出答案；②由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质得出答案；（2）证明△ABE∽△CBF，由相似三角形的性质可得出，则可得出结论；（3）求出EF＝2CM＝2，设CF＝x，则AE＝x，分两种情况解答，由勾股定理可求出答案．【解答】解：（1）①∵将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，∴BE＝BF，∠EBF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∴＝1，故答案为：1；②∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵△ABE≌△CBF，∴∠BAE＝∠BCF＝45°，∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝45°+45°＝90°．故答案为：90°；（2），∠ACF＝90°．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴，同理在Rt△EBF中，∠EFB＝60°，∴，∴，∵∠ABC＝∠EBF，∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，即∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF，∴，∴∠BCF＝∠BAE＝30°，∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝60°+30°＝90°．（3）由（2）知，∵AB＝2，∴CB＝2，∵△ABE∽△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，∴∠EBF＝∠EBC+∠CBF＝∠EBC+∠ABE＝∠ABC＝90°，∵M为EF的中点，∴BM＝EF，由（2）知∠ACF＝90°，∴CM＝EF，∴BM＝CM，又∵△CBM是直角三角形，∴CM＝BC＝，∴EF＝2CM＝2，设CF＝x，则AE＝x，∵∠CAB＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣x，∵∠ECF＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴，∴x＝﹣1或x＝+1（不合题意，舍去），当∠MBC＝90°或∠MCB＝90°时，点M不存在，当E在AC延长线上时，设CF＝x，则AE＝x，∵∠CAB＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，∴CE＝AE﹣AC＝x﹣4，∵∠ECF＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴，∴x＝﹣1（不合题意，舍去）或x＝+1，综上所述，CF的长为﹣1或+1．3．（2023•晋中模拟）综合与实践问题情境：（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．如图2，将△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转15°得到△AB'C'，连接B′D，C′E，求证：B′D＝C′E．深入研究：（2）①如图3，在正方形ABCD和正方形CEFG中，已知点B，C，E在同一直线上，连接DE，AF，交于点P，求AF：DE的值；②如图4，若将正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转一定角度，AF：DE的值变化吗？请说明理由．拓展应用：（3）如图5，若把正方形ABCD和正方形CEFG分别换成矩形ABCD和矩形CEFG，且AD：AB＝CG：CE＝k，请直接写出此时AF：DE的值．【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DAB'＝∠EAC'，然后用SAS判定△DAB'＝△EAC'即可得证；（2）①连接AC、CF，根据正方形的性质得到对应边成比例，对应角相等，判定△ACF∽△DCE后即可求出AF：DE的值；②根据正方形的性质和旋转的性质判定△ACF∽△DCE后求出AF：DE的值即可证明AF：DE的值没有变化；（3）连接AC、CF，根据矩形的性质得到对应边成比例，对应角相等，判定△ACF∽△DCE后即可求出AF：DE的值．【解答】（1）证明：由旋转得：∠DAB'＝∠EAC'，又∵AB'＝AC'，AD＝AE，∴△DAB'≌△EAC'，∴B′D＝C′E；（2）解：①如图1，连接AC、CF，∵四边形ABCD，CEFG是正方形，∴∠ACF＝∠DCE＝90°，AC＝CD，CF＝CE，∴，∴△ACF∽△DCE，∴，即AF：DE＝：1；②成立．证明如下：如图2，连接AC、CF，∵四边形ABCD，CEFG是正方形，∴∠ACD＝∠FCE，∴∠ACF＝∠DCE，∵AC＝CD，CF＝CE，∴，∴△ACF∽△DCE，∴AF：DE＝AC：CD＝：1，∴不变；（3）解：如图3，连接AC、CF，∵四边形ABCD，CEFG是矩形，且AD：AB＝CG：CE＝k，∴∠ACD＝∠FCE，AC＝CD，CF＝CE，∴∠ACF＝∠DCE，，∴△ACF∽△DCE，∴．（建议用时：150分钟）1．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．【分析】（1）由矩形的性质得∠C＝∠ADE＝90°，再证∠AED＝∠DFC，即可得出结论；（2）证Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），得DE＝CF，再证△DCF≌△DCH（SAS），得∠DFC＝∠H，然后由平行线的性质得∠ADF＝∠DFC，即可得出结论；（3）延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，△ADE≌△DCG（SAS），得∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，再证△DFG是等边三角形，得FG＝DF＝11，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°，∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF，∵CH＝DE，∴CF＝CH，∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°，又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H；（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS），∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11，∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的长为3．2．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接P A，PC，求P A+PC的最小值．【分析】（1）由锐角三角函数可求∠BDC＝60°，通过证明△ADG∽△ABE，可得；（2）由“AAS”可证△ABE≌△GMF，可得BE＝MF，AB＝GM＝2，由锐角三角函数可求MF＝BE＝x，DG＝2+x，利用（1）的结论可求解；（3）通过证明△AGC是等边三角形，可得PE＝EF＝AG＝4，由旋转的性质可得P A＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，则当点P，C，P′三点共线时，P A+PC的值最小，即可求解．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，∴，∴∠BDC＝60°，∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，即∠DAG＝∠BAE，∴△ADG∽△ABE，∴；（2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M，∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，∴△ABE≌△GMF（AAS），∴BE＝MF，AB＝GM＝2，∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，∴，∴，设DM＝x，则，∴DG＝GM+MD＝2+x，由（1）可知：，∴，解得x＝1，∴；（3）如图3，连接AC，将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'，矩形ABCD中，AD＝BC＝，AB＝2，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝4，∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，∴△AGC是等边三角形，AG＝AC＝4，∴PE＝EF＝AG＝4，∵将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，∴P A＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，∴，∴当点P，C，P′三点共线时，P A+PC的值最小，此时为．3．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．【分析】问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．证明△EAJ≌△FEC（SAS），推出∠AJE＝∠ECF，可得结论；（2）结论：∠GCF＝α﹣90°；在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．证明方法类似；问题拓展解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．用m表示出BE，CE，可得结论．【解答】解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，∵BJ＝BE，∴AJ＝EC，∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，∴∠CEF＝∠EAJ，∵EA＝EF，∴△EAJ≌△FEC（SAS），∴∠AJE＝∠ECF，∵∠BJE＝45°，∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，∴∠ECF＝135°，∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；（2）结论：∠GCF＝α﹣90°；理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，∴∠EAN＝∠FEC．∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF（SAS）．∴∠ANE＝∠ECF．∵AB＝BC，∴BN＝BE．∵∠EBN＝α，∴，∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝；问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．，∴DG＝m，CG＝2m．在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，∴∠ADP＝60°，∴m，，∴α＝120°，由（2）知，，∵∠AGP＝∠FGC，∴△APG∽△FCG．∴，∴＝，∴，由（2）知，，∴．∴．4．（2023•内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求的值．【分析】（1）由正方形的性质得AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则∠BAC＝∠BCA＝∠DAC ＝∠DCA＝45°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABE≌△ADE；（2）由△ABE≌△ADE，得∠ABE＝∠ADE，可推导出∠EBC＝∠EDC，因为AB∥CD，所以∠FGB＝∠EDC，则∠FGB＝∠EBC，而∠FBE＝90°，则∠FBG＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，所以∠FGB＝∠FBG，即可证明△FBG是等腰三角形；（3）由BE＝BF＝2，∠FBE＝90°，得∠F＝∠BEF＝45°，则∠BAC＝∠F，可证明∠AEG＝∠FBG，进而证明∠AGE＝∠AEG，则AE＝AG，由勾股定理得EF＝＝2，而BF＝GF＝2，所以GE＝2﹣2，由全等三角形的性质得BE＝DE＝2，再证明△AGE∽△CDE，则＝＝﹣1，所以＝﹣1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS）．（2）解：△FBG是等腰三角形，理由如下：∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ADC﹣∠ADE，∴∠EBC＝∠EDC，∵AB∥CD，∴∠FGB＝∠EDC，∴∠FGB＝∠EBC，∵BF⊥BE，∴∠FBE＝90°，∴∠FBG＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，∴∠FGB＝∠FBG，∴BF＝GF，∴△FBG是等腰三角形．（3）解：∵BE＝BF＝2，∠FBE＝90°，∴∠F＝∠BEF＝45°，∴∠BAC＝∠F，∴∠AEG＝∠AGF﹣∠BAC＝∠AGF﹣∠F＝∠FBG，∵∠AGE＝∠FGB，且∠FGB＝∠FBG，∴∠AGE＝∠AEG，∴AE＝AG，∵EF＝＝＝2，BF＝GF＝2，∴GE＝EF﹣GF＝2﹣2，∵△ABE≌△ADE，∴BE＝DE＝2，∵AG∥CD，∴△AGE∽△CDE，∴＝＝＝﹣1，∴＝﹣1，∴的值为﹣1．5．（2023•湖州）【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM．【变式求异】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD ＝2DB，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连结PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．【分析】（1）根据正方形的性质及角的和差推出∠A＝∠DCM，AD＝DC，∠ADP＝∠CDM，利用ASA 即可证明△DAP≌△DCM；（2）作QN⊥BC于点N，则四边形DBNQ是矩形，根据矩形的性质推出∠DQN＝90°，QN＝DB，根据角的和差推出∠DQP＝∠MQN，结合∠QDP＝∠QNM＝90°，推出△DQP∽△NQM，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理求出AB＝6，则DB＝2，根据矩形的性质推出DQ∥BC，进而推出△ADQ∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；（3）根据题意推出CQ＝mnAB，AQ＝（m﹣mn）AB，根据勾股定理求出BC＝AB，根据四边形内角和定理及邻补角定义推出∠AQP＝∠NQM，结合∠A＝∠QNM＝90°，推出△QAP∽△QNM，根据相似三角形的性质得出，根据题意推出△QCN∽△BCA，根据相似三角形的性质求出，据此求解即可．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC，∴∠DCM＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠A＝∠DCM，∵DM⊥PD，∴∠ADP+∠PDC＝∠CDM+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDM，在△DAP和△DCM中，，∴△DAP≌△DCM（ASA）；（2）解：如图2，作QN⊥BC于点N，∵∠ABC＝90°，DQ⊥AB，QN⊥BC，∴四边形DBNQ是矩形，∴∠DQN＝90°，QN＝DB，∵QM⊥PQ，∴∠DQP+∠PQN＝∠MQN+∠PQN＝90°，∴∠DQP＝∠MQN，∵∠QDP＝∠QNM＝90°，∴△DQP∽△NQM，∴，∵BC＝8，AC＝10，∠ABC＝90°，∴，∵AD＝2DB，∴DB＝2，∵∠ADQ＝∠ABC＝90°，∴DQ∥BC，∴△ADQ∽△ABC，∴，∴，∴；（3）解：∵AC＝mAB，CQ＝nAC，∴CQ＝mnAB，∴AQ＝AC﹣CQ＝（m﹣mn）AB，∵∠BAC＝90°，∴，如图3，作QN⊥BC于点N，∵∠BAC+∠ABN+∠BNQ+∠AQN＝360°，∠BAC＝90°，∴∠ABN+∠AQN＝180°，∵∠ABN+∠PBN＝180°，∴∠AQN＝∠PBN，∵∠PQM＝∠PBC，∴∠PQM＝∠AQN，∴∠AQP＝∠NQM，∵∠A＝∠QNM＝90°，∴△QAP∽△QNM，∴，∵∠A＝∠QNC＝90°，∠QCN＝∠BCA，∴△QCN∽△BCA，∴，∴，∴．6．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE．（1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB与BE的位置关系是垂直，＝．（2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k＝时，求证：BC+CD＝2FG．（3）当α＝60°，k＝时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长．。

相似专题四相似三角形的基本模型A字型及其变形初中数学模型

A．4 B．4 2 C．6 D．4 3
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，请添加一个条件： ________∠__A_E_D__＝__∠__B_(_答__案__不__唯__一__) _，使△ABC∽△AED.
4．如图，在▱ABCD中，点P在BC的延长线上，连接AP，交BD于点M，交DC于点 N.求证：AM2＝MN·MP.
专题(四) 相似三角形的基本模型(一)——A字型及其变形
Hale Waihona Puke 【模型展示】(1)A 字型
如图 1，已知：DE∥BC.
结论：△ADE∽△ABC⇒
AD AB
＝AAEC
＝DBCE
.
(2)反 A 字型(共角)
如图 2，已知：∠AED＝∠C.
结论：△ADE∽△ABC⇒
AD AB
＝AAEC
＝DBCE
.
(3)反 A 字型(共边共角) 如图，已知：∠ABD＝∠C. 结论：①△ABD∽△ACB； ②AADB ＝AABC ＝DBCB ； ③AB2＝AD·AC.
【对应训练】
1．(2022·凉山州)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上．若 DE∥BC，
AD DB
＝23
，DE＝6 cm，则 BC 的长为(
C
)
A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．18 cm
2．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC.则线段 AC 的长为 ( B)
解：(1)∵DE∥BC，∴AAEC ＝AADB ＝23 ， ∵AE＝4，∴AC＝6，∴EC＝6－4＝2
(2)∵M 是 BC 的中心，∴S△ABM＝12 S△ABC＝18，又∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，

相似三角形中的“8”字模型(3种题型)(解析版)--中考物理数学专项训练

相似三角形中的“8”字模型(3种题型)一、【知识梳理】8字_平行型条件：CD∥AB,结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;四边形ABCD为一般梯形.条件：CD∥AB,PD=PC.结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)ΔPAD≅ΔPBC左右全等；四边形ABCD为等腰梯形；8字_不平行型条件：∠CDP=∠BAP.结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);二、【考点剖析】8字-平行型1.直接利用“8”字型解题1如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若DE :EC =1:2，则BF :BE =．【答案】3:5．【解析】DE :EC =1:2，可知CE CD =CE AB =23，由CE ⎳AB ，可知BF EF =AB CE=32，故BF :BE =3:5．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型．2如图，P 为▱ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ ∙PI =PR ∙PS ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ⎳CD ，AD ⎳BC ，∴RB ⎳DI ，SD ⎳BQ ．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PR =PD PB =PS PQ，∴PQ ⋅PI =PR ⋅PS ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．3如图，在平行四边形ABCD 中，CD 的延长线上有一点E ，BE 交AC 于点F ，交AD 于点G ．求证：BF 2=FG ∙EF ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ⎳CD ，AD ⎳BC ，∴AB ⎳CE ，AG ⎳BC ．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF BF =CF AF=BF FG ，∴BF 2=FG ∙EF ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．4如图，点C 在线段AB 上，ΔAMC 和ΔCBN 都是等边三角形．求证：(1)MD DC =AM CN；(2)MD ∙EB =ME ∙DC ．【解析】证明：(1)∵ΔAMC 和ΔCBN 是等边三角形，∴∠ACM =∠NCB =∠AMC =60°．∵点C 在线段AB 上，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠NCB =60°=∠AMC ．∴AM ⎳CN ，∴MD DC =AM CN．(2)同(1)易证得CM ⎳BN ，则有ME EB =MC NB．∵ΔAMC 和ΔCBN 是等边三角形，∴MC =AM ，NB =CN ，∴MD DC=ME EB ，∴MD ∙EB =ME ∙DC ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．5如图，已知AB ⎳CD ⎳EF ．AB =m ，CD =n ，求EF 的长．(用m 、n 的代数式表示)．【答案】mn m +n ．【解析】由AB ⎳CD ⎳EF ，则有EF AB =CF BC ，EF CD =BF BC ，即EF m +EF n =1，得EF =mn m +n．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．6如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，AE EC=13，BE 的延长线交CD 的延长线于点G ，交AD 于点F ，求BF :FG 的值．【答案】1:2．【解析】由AF ⎳BC ，可得AF BC =AE EC =13，即AF AD=13，故AF FD =12，由AB ⎳DG ，可得：BF :FG =AF :FD =1:2．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．7如图，l 1⎳l 2，AF :FB =2:5，BC :CD =4:1，求AE :EC 的值．【答案】2:1．【解析】由l 1⎳l 2，得：AG BD =AF FB =25，又BC :CD =4:1，可得AG CD=21，故AE :EC =AG :CD =2:1．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．2.添加辅助线构造“8”字模型解题8过ΔABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 、E ．求证：AE ED =2AF FB．【解析】过点D 作DG ⎳AB 交CF 于点G ．∵DG ⎳AB ∴AE ED =AF GD ，DG BF =CD CB ；∵AD 是中线，　∴BC =2CD ，　∴DG BF =12；∴AE ED =2AF BF．【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．9如图，AD 是ΔABC 的内角平分线．求证：AB AC=BD DC ．【解析】过点C作CM⎳AB交AD的延长线于点M．∵CM⎳AB　∴AB CM=BDDC，∠BAD=∠M∵AD是角平分线∴∠BAD=∠DAC；∴∠M=∠DAC∴AC=CM∴AB AC=BD DC．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．8字-不平行型1如图，∠BEC=∠CDB，下列结论正确的是()A.EF•BF=DF•CFB.BE•CD=BF•CFC.AE•AB=AD•ACD.AE•BE=AD•DC【分析】结合图形利用8字模型相似三角形证明△EFB∽△DFC，然后利用等角的补角相等得出∠AEC=∠ADB，最后证明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的对应边成比例逐一判断即可．【解答】解：∵∠BEC=∠CDB，∠EFB=∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴EF DF=FB FC，∴EF•FC=DF•FB，故A不符合题意：∵△EFB∽△DFC，∴BE CD=BF FC，∴BE•CF=CD•BF，故B不符合题意；∵∠BEC=∠CDB，∠BEC+∠AEC=180°，∠BDC+∠ADB=180°，∴∠AEC=∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴AB AC=AD AE，∴AB•AE=AD•AC，故C符合题意；因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．1.【过关检测】一、选择题(共3小题)1(2023•静安区校级一模)如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是()A. B. C. D.【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG=DE：AB=1：2，BG：EG=AB：DE，==，∴DG=AG，∵BG：EG=AB：DE=2：1，∴GB：BE=2：3，∴S△AGB：S△AEB=2：3，∵AE=EC，∴S△AEB=S△ABC，∴S△AGB=S△ABC，∵△CDE∽△CBA，∴==，∴S △CDE =S △ABC ，∴=，结论成立的是=，故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．2(2023•徐汇区一模)如图，点D 在△ABC 边AB 上，∠ACD =∠B ，点F 是△ABC 的角平分线AE 与CD 的交点，且AF =2EF ，则下列选项中不正确的是()A. B. C. D.【分析】过C 作CG ∥AB 交AE 延长线于G ，由条件可以证明△ACF ≌△GCE (ASA )，得到AF =EG ，CF =CE ，由△ADF ∽△GCF ，再由平行线分线段成比例，即可解决问题．【解答】解：过C 作CG ∥AB 交AE 延长线于G ，∴∠G =∠BAE ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE ，∴∠G =∠CAE ，∴CG =CA ，∵∠ACD =∠B ，∠ECG =∠B ，∴∠ACF =∠ECG ，∴△ACF ≌△GCE (ASA )，∴CF =CE ，AF =EG ，∵AF =2FE ，∴EG =2FE ，令EF =k ，则AF =EG =2k ，AE =GF =3k ，∵△ADF∽△GCF，∴AD：CG=AF：FG=2k：(3k)=2：3，∴=，故A正确．∵AB∥CG，∴CE：BE=GE：AE=2k：(3k)=2：3，∴=，故B正确．∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴==，故C正确．∵=，AC和BD不一定相等，∴不一定等于．故选：D．【点评】本题考查角的平分线，相似三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造相似三角形．3(2022秋•闵行区期末)如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB．如果==3，且量得CD=4cm，则零件的厚度x为()A.2cmB.1.5cmC.0.5cmD.1cm【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵==3，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=2，∵CD=4cm．∴AB=8cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：(10-8)÷2=1(cm)，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．二、填空题(共8小题)4(2022秋•奉贤区期中)如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若，BC=8，则AE的长为4．【分析】由AE∥BC，可得△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD推出==，又有BC的值，再由==1，得出AE=CF，代入即可求解AE的长．【解答】解：∵AE∥BC，∴△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD，∴==，==1，即AE=CF，又BC=8，∴=AE=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．5(2022•浦东新区校级模拟)如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC=2：3，设=，试用向量表示向量，=-　．【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ACB，由DE：BC=2：3，可得DA=CD，即可表示，从而得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∵DE：BC=2：3，∴DA：CA=DE：BC=2：3，∵CD=DA+CA，∴DA=CD，∵=，∴=，∴=-，故答案为：-．【点评】本题考查向量的运算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和向量的运算的解题的关键．6(2022•静安区二模)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，AO：OC=1：4，设=，那么=　．(用含向量的式子表示)【分析】由相似三角形性质可得=4=4，再根据梯形中位线定理即可求得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴==，∴=4=4，∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴=(+)=(+4)=，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，平面向量等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．7(2023•静安区校级一模)在矩形ABCD内作正方形AEFD(如图所示)，矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，且PE=2，那么PF=　-1．【分析】先根据黄金分割的定义可得=，再利用正方形的性质可得：DF∥AE，DF=AE，从而可得=，然后证明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，∴==，∵四边形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF=AE，∴=，∵DC∥AB，∴∠FCP=∠PAE，∠CFP=∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴==，∵PE=2，∴PF=-1，故答案为：-1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．8(2022春•浦东新区校级期中)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是2：3．【分析】过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，根据已知易得DM=BN，再根据S△BCD=2S△ABD，从而可得BC=2AD，然后再证明8字模型相似三角形△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可得==，从而可得=，最后根据△BOC与△BDC 的高相等，即可解答．【解答】解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，∵AD∥BC，∴BN=DM，∵S△BCD=2S△ABD，∴BC•DM=2×AD•BN，∴BC=2AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，∴△AOD∽△COB，∴==，∴=，∵△BOC与△BDC的高相等，∴==，故答案为：2：3．【点评】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9(2022秋•虹口区校级月考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，点E为边BC的中点，点F在边CD上且3CF=CD，EF交对角线AC于点G，则AG：GC=7：2．【分析】如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，首先利用AD∥BC，，点E 为边BC的中点，可以得到AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2，然后利用MH∥EF，DH：HF= DM：ME=3：2=6：4，最后利用又3CF=CD即可求解．【解答】解：如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，∵AD∥BC，，点E为边BC的中点，∴△ADM∽△CME，∴AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2，∵MH∥EF，∴DH：HF=DM：ME=3：2=6：4，又3CF=CD，∴DF=2CF，∴CF：HF=5：4，∴CG：MG=5：4，∴CG=CM，MG=CM，而AM：CM=3：2，∴AM=CM，∴AG=AM+MG=CM，∴AG：GC=CM：CM=7：2．故答案为：7：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质于判定，同时也利用了平行线的性质，解题的关键是会进行比例线段的转换，有一定的难度．10(2022秋•黄浦区期末)如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳(AC和BD的长相等)去测量零件的内孔直径AB．如果==，且量得CD的长是3cm，那么零件的厚度x是0.5cm．的值．【解答】解：∵==，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=3，∵CD=3cm．∴AB=9cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：(10-9)÷2=0.5(cm)，故答案为：0.5．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．11(2022春•闵行区校级月考)如图，梯形ABCD中，∠D=90°，AB∥CD，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果AB=4，且=，那么梯形ABCD的中位线等于7．【分析】过点B作BG⊥EC，利用同高的两个三角形的面积的比先求出EF：BF，再利用相似三角形的性质求出ED、EG，最后利用梯形中位线与上下底的关系得结论．【解答】解过点B作BG⊥EC，垂足为G∵=，∴=．∵AB∥CD，∴△EDF∽△BAF．∴==，∴ED=2，=．∵AD∥BG，∴=．∴EG=6．∵CB绕着点B按顺时针方向旋转，点C落在CD延长线上的点E处，∴BE=BC．∵BG⊥EC，∴EG=GC=6．∴DC=DG+CG=4+6=10．∴梯形ABCD的中位线=(AB+CD)=(4+10)=7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的三线合一、等高的两个三角形的面积比等于底边的比、梯形的中位线等于上下底的和的一半是解决本题的关键．三、解答题(共12小题)1(2023•普陀区一模)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD=1：3．(1)求的值；(2)联结FC，设，，那么= ，= .(用向量、表示)【分析】(1)根据题意可证明四边形AECD为平行四边形，得到AE=CD，则EF：AE=1：3，EF：AF=1：2，易证明△BEF∽△DAF，由相似三角形的性质即可求解；(2)由AF=2EF得，，由三角形法则求出和，再求出，最后利用三角形法则即可求出．【解答】解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE=CD，∵EF：CD=1：3，∴EF：AE=1：3，EF：AF=1：2，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴；(2)联结FC，如图，由(1)可得AF=2EF，∵，∴，，∴=，=，∵，AD=EC，∴，∴==，∴==．故答案为：，．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量，熟练三角形法则是解题关键．2(2023•奉贤区一模)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD=∠BDC．(1)求证：AE•BD=AD•DC；(2)如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．【分析】(1)利用平行线的性质证明∠ADB=∠DBC，然后利用已知条件可以证明△ADE∽△DBC，由此即可解决问题；(2)利用(1)的结论和已知条件可以证明△DEF∽△DBC，接着利用相似三角形的在即可求解．【解答】证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠EAD=∠BDC，∴△ADE∽△DBC，∴AE：AD=DC：BD，∴AE•BD=AD•DC；(2)∵AE：AD=DC：BD，且，∴=，而∠EDF=∠BDC，∴△DEF∽△DBC，∴∠DEF=∠DBC，∴EF∥BC．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行线的性质，比例的基本性质，有一定的综合性．3(2023•青浦区一模)如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF=2AF．(1)求EA：AB的值；(2)如果，，试用、表示向量．【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，易证△AEF∽△DCF，则=，由DF=2AF即可求解；(2)先算出，再根据即可求解．【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△AEF∽△DCF，∴，∴，∵DF=2AF，∴，∴；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵DF=2AF，∴，∵，，∴，，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题关键．4(2022秋•金山区校级期末)已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC 分别相交于点F、G，AF2=FG•FE．(1)求证：△CAD∽△CBG；(2)联结DG，求证：DG•AE=AB•AG．【分析】(1)通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG=∠E，由平行线的性质可得∠E=∠EBC=∠FAG，且∠ACD=∠BCG，可证△CAD∽△CBG；(2)由相似三角形的性质可得=，且∠DCG=∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得=，由平行线分线段成比例可得=，可得结论．【解答】证明：(1)∵AF2=FG⋅FE．∴=，∵∠AFG=∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG=∠E，∵AE∥BC，∴∠E=∠EBC，∴∠EBC=∠FAG，∵∠ACD=∠BCG，∴△CAD∽△CBG；(2)∵△CAD∽△CBG，∴=，∵∠DCG=∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴=，∵AE∥BC，∴=，∴=，∴=，∴DG•AE=AB•AG．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5(2022•松江区二模)已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．(1)求证：；(2)如果BE2=BF•BD，求证：DF=BE．【分析】(1)根据已知易证△DAB∽△EBC，然后利用相似三角形的性质可得∠DAB=∠EBC，=，从而可得AD∥EB，进而证明8字模型相似三角形△ADF∽△EBF，最后利用相似三角形的性质可得=，即可解答；(2)根据已知易证△BFE ∽△BED ，从而利用相似三角形的性质可得∠BEF =∠BDE ，进而可得∠DAF =∠BDE ，然后利用(1)的结论可证△ADF ≌△DBE ，再利用全等三角形的性质即可解答．【解答】证明：(1)∵DA =DB ，EB =EC ，∴=，∵∠ADB =∠BEC ，∴△DAB ∽△EBC ，∴∠DAB =∠EBC ，=，∴AD ∥EB ，∴∠DAF =∠AEB ，∠ADF =∠DBE ，∴△ADF ∽△EBF ，∴=，∴；(2)∵BE 2=BF •BD ，∴=，∵∠DBE =∠EBF ，∴△BFE ∽△BED ，∴∠BEF =∠BDE ，∵∠DAF =∠AEB ，∴∠DAF =∠BDE ，∵∠ADF =∠DBE ，AD =DB ，∴△ADF ≌△DBE (ASA )，∴DF =BE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．6(2023•宝山区二模)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，OB =OC ．(1)求证：AB =CD ；(2)E 是边BC 上一点，联结DE 交AC 于点F ，如果AO 2=OF •OC ，求证：四边形ABED 是平行四边形．【分析】(1)由等腰三角形的性质和判定及平行线的性质，说明△AOB 和△DOC 全等，利用全等三角形的性质得结论；(2)先说明△AOB∽△FOD，再说明AB∥DE，结合已知由平行四边形的判定可得结论．【解答】证明：(1)∵OB=OC，∴∠DBC=∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC．∴∠DAC=∠ADB．∴OA=DO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC(SAS)．∴AB=CD．(2)∵AO2=OF•OC，OA=OD，OC=OB，∴AO•OD=OF•OB，即．∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△FOD．∴∠BAO=∠DFO．∴AB∥DE．又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．【点评】本题主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及平行四边形的判定是解决本题的关键．7(2022秋•徐汇区期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2=BE•BD．(1)求证：△ABE∽△DCE；(2)AE•CD=BC•ED．【分析】(1)根据相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC=∠BDC，由此可得出△ABE ∽△DCE；(2)由(1)中的相似可得出AE：DE=BE：CE，再由∠BEC=∠AED可得△ADE∽△BCE，所以∠EAD=∠EBC，∠ADE=∠BDC=∠BCE，可得△BCD∽△ADE，进而可得结论．【解答】证明：(1)∵AB2=BE•BD，∴AB：BE=BD：AB，∵∠ABE=∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC=∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC=∠BAC，∴△ABE∽△DCE；(2)由(1)中相似可得，AE：DE=BE：CE，∵∠BEC=∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD=∠EBC，∠ADE=∠BDC=∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE=CD：ED，AE•CD=BC•ED．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与安定，涉及A字型相似，8字型相似等相关内容，熟练掌握相关判定是解题关键．8(2022春•杨浦区校级期中)如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E=∠ABC．(1)求证：AB2=AC•AE；(2)如图2，D在BC上且BD=3CD，延长AD交BE于F，若=，求的值．【分析】(1)利用两角相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△AEB，然后利用相似三角形的性质即可解答；(2)过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，利用(1)的结论可得===，先AC=2a，AB=3a，从而求出AE的长，进而求出的值，再根据已知设CD=m，BD=3m，从而求出BC，BE的长，然后证明A字模型相似三角形△ACD∽△AEH，利用相似三角形的性质可得EH=m，再证明8字模型相似三角形△BDF∽△EHF，利用相似三角形的性质可得=，从而求出EF的长，进行计算即可解答．【解答】(1)证明：∵∠E=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△AEB，∴=，∴AB 2=AC •AE ；(2)解：过点E 作EH ∥CB ，交AF 的延长线于点H ，∵△ABC ∽△AEB ，∴===，∴设AC =2a ，AB =3a ，∴=，∴AE =a ，∴==，∵BD =3CD ，∴设CD =m ，则BD =3m ，∴BC =CD +BD =4m ，∴=，∴EB =6m ，∵EH ∥CD ，∴∠ACD =∠AEH ，∠ADC =∠AHE ，∴△ACD ∽△AEH ，∴==，∴EH =m ，∵EH ∥BD ，∴∠BDF =∠DHE ，∠DBF =∠FEH ，∴△BDF ∽△EHF ，∴===，∴EF =BE =m ，∴==，∴的值为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9(2023•崇明区二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G．(1)求证：AG2=GF•GM；(2)联结CG，如果∠BAG=∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形．【分析】(1)由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到△ABG∽△MDG、△ADG∽△FBG，再利用相似三角形的性质得结论；(2)利用“两角对应相等”先说明△GCF∽△GMC，再利用等腰三角形的三线合一说明BD⊥AC，最后利用菱形的判定方法得结论．【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DM，AD∥BC．∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG．∴=，=．∴=．∴AG2=GF•GM．(2)∵AB∥DM，∴∠BAG=∠M．∵∠BAG=∠BCG，∴∠M=∠BCG．∵∠MGC=∠FGC，∴△GCF∽△GMC．∴=，即CG2=GF•GM．∵AG2=GF•GM，∴CG2=AG2．∴CG =AG ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE =CE ．∴GE ⊥AC ，即BD ⊥AC ．∴平行四边形ABCD 是菱形．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性质等知识点是解决本题的关键．10(2021秋•虹口区期末)如图，在梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，BC =2AD ，对角线AC 与BD 交于点E ．点F 是线段EC 上一点，且∠BDF =∠BAC ．(1)求证：EB 2=EF •EC ；(2)如果BC =6，sin ∠BAC =，求FC 的长．【分析】(1)先由AD ∥BC 得到△EAD ∽△ECB ，从而得到，然后由∠BDF =∠BAC 、∠AEB =∠DEF 得证△EAB ∽△EDF ，进而得到，最后得到结果；(2)先利用条件得到AC 、AB 的长，然后利用BC =2AD 得到AD 、BD 的长，再结合相似三角形的性质得到EB 、EC 的长，进而得到EF 的长和FC 的长．【解答】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴△EAD ∽△ECB ，∴，即，∵∠BDF =∠BAC ，∠AEB =∠DEF ，∴△EAB ∽△EDF ，∴，∴，∴EB2=EF•EC．(2)解：∵BC=6，sin∠BAC==，BC=2AD∴AC=9，AD=3，∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°，∴AB===3，∴BD===3，∵△EAD∽△ECB，∴，∴EC=AC=×9=6，EB=BD=×3=2，∵EB2=EF•EC，即(2)2=6EF，∴EF=4，∴FC=EC-EF=6-4=2．【点评】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知“8”字模型相似三角形的判定与性质．11(2021秋•嘉定区期末)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE：AE=2：3，BC=4DE，CE=10．求EH、GE的长．【分析】根据题目的已知并结合图形分析8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，∴△DEH∽△BCH，∴，∵BC=4DE，∴，∵CE=10，∴HC=10-EH，∴，∴EH=2，∵BC=4DE，DE：AE=2：3，∴，∵AD∥BC，∴∠GAE=∠GBC，∠GEA=∠GCB，∴△GAE∽△GBC，∴，∵CE=10，∴GC=10+GE，∴，∴GE=6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，梯形，熟练掌握8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区期末)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，点D为射线AB上一动点，且BD<AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．(1)当点D在边AB上时，①求证：∠AFC=45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；(2)联结CE、BE，如果S△ACE=12，求S△ABE的值．【分析】(1)①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∠ACE=90°-2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G=∠BCD=22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH=DH=BD，再根据CH+BH=BC=5，建立方程求解即可；(2)分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．【解答】解：(1)①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∴∠ACE=90°-2α，∵AC=BC，∴AC=EC，∴∠AEC=∠EAC=[180°-(90°-2α)]=45°+α，∵∠AEC=∠AFC+∠ECF=∠AFC+α，∴∠AFC=45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由(1)知：∠AFC=45°，∴∠BEF=45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG=∠DBC=45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G=∠BCD=∠BAG，∵∠G+∠BAG=∠ABC=45°，∴∠G=∠BCD=22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH=BD，BH=BD，∠BHD=45°，∵∠CDH=∠BHD-∠BCD=45°-22.5°=22.5°=∠BCD，∴CH=DH=BD，∵CH+BH=BC=5，∴BD+BD=5，∴BD==5-5，∴线段BD的长为5-5；(2)Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=AE，∴①AM2+CM2=AC2=25，∵S△ACE=AE•CM=12，∴②AM•CM=12，①+②×2，得：(AM+CM)2=49③，①-②×2，得：(AM-CM)2=49③，∵CM>AM>0，∴AM=3，CM=4，∴AE=6，由(1)知：∠AFC=45°，BE⊥CF，∴∠BEF=45°，∵∠AFC=∠ABC=45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB=180°，∴∠AFB=90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，设EF=BF=x，则AE=x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(x+6)2+x2=50，解得：x=1或x=-7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=AE•BF=×6×1=3；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由(1)知：∠AFC=45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF=45°，BF=EF，∴∠EBF=∠BEF=45°，∴∠BFE=90°，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=AE，与Ⅰ同理可得：AM=EM=4，CM=3，AE=8，设BF=EF=y，则AF=8-y，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(8-y)2+y2=50，解得：y=1或y=7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=AE•BF=×8×1=4；综上，S△ABE的值为3或4．【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．。

2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：16 全等与相似模型-半角模型(学生版)

专题16全等与相似模型-半角模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。

本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。

思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。

【模型展示】1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。

2）等腰直角三角形半角模型条件： ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG=90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等边三角形半角模型（120°-60°型）条件： ABC 是等边三角形， BDC 是等腰三角形，且BD =CD ，∠BDC =120°，∠EDF =60°；结论：①△BDE ≌△CDG ；②△EDF ≌△GDF ；③EF ＝BE ＋FC ；④ AEF 的周长=2AB ；⑤DE 、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC 。

4）等边三角形半角模型（60°-30°型）条件： ABC 是等边三角形，∠EAD =30°；结论：①△BDA ≌△CFA ；②△DAE ≌△FAE ；③∠ECF =120°；④DE 2＝(12BD ＋EC)2+2；5）半角模型（2 - 型）条件：∠BAC =2 ，AB =AC ，∠DAE = ；结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-2 。

相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似

课题：相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似
教学目标：
1、通过习题引入，了解“A字型、旋转型”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质；
2、利用“A字型、旋转型”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题；
3、在“A字型、旋转型”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“A字型、旋转型”相似解题的特点与经验。

教学重点难点：
1、在已知图形中观察关键特征——“A字型、旋转型”；
2、在“A字型、旋转型”图的两个三角形中，探索其相似条件。

教学过程：
一、复习与回顾：
相似三角形的性质和判定定理；
二、引入
相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛，可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。

而识别（或构造）A字型、8字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。

三、新课讲解：
（一）、模型分析有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC与∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B.
（二）、基础巩固
1、若△ABC∽△ADE，你可以得出什么结论？（图1）
2、D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。

（图2）（三）、例题探究：
（四）课堂练习：
三、课堂小结：
我们今天这堂课收获了什么呢？
（1）学习了A型相似；
（2）学会从复杂图形中分解出基本图形。

（3）数学思想：方程思想，转化思想，分类讨论思想四、作业布置：
中考新航线251页。

19 相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型(学生版)

专题19 相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和（双）8（X ）字模型．A 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。

模型1. “A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 1）“A ”字模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：∥ADE ∥∥ABC ∥AD AB ＝AE AC ＝DEBC. 2）反“A ”字模型条件：如图2，∥AE D ＝∥B ；结论：∥ADE ∥∥ACB ∥AD AC ＝AE AB ＝DEBC .3）同向双“A ”字模型条件：如图3，EF ∥BC ；结论：△AE F ∽△ABC ，△AE G ∽△AB D ，△A GF ∽△A D C ⇔EG FG AGBD CD AD== 例1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 上的点，且BE BF CG AH ===，若菱形的面积等于24，8BD =，则EF GH += ．在三角形ABC 中，若BAC ∠FG例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2,EH EF AD =是ABC 的高．8,6BC AD ==，那么EH 的长为____________．例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DEBC的值． (3)如图3，在ABCD 中，45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG 交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长．例5. （2023•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2. “X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 图41）“8”字模型条件：如图1，AB∥CD；结论：∥AOB∥∥COD∥ABCD＝OAOC＝OB OD.2）反“8”字模型条件：如图2，∥A＝∥D；结论：∥AOB∥∥DOC∥ABCD＝OAOD＝OB OC.3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB∥CD；结论：AE BE AB DF CF CD==4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△B O C，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若6AB =，则AEF 的面积为___________．例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，,AB CD AE FD ∥∥，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是（）A ．DH CHFH BH= B ．GE CGDF CB= C ．AF HGCE CG= D ．=FH BFAG FA例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O ∠=︒=是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，求ADBC的值；（2）若2,3DE OE ==，求CD 的长．例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12⋅=⋅S OC ODS OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S 值．模型3. “AX ”字模型（“A 8”模型）【模型解读与图示】图1 图2 图3 1）一“A ”一“8”模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ，△D E F ∽△C B F ⇔AD AE DE DF FEAB AC BC FC BF==== 2）两“A ”一“8”模型条件：如图2，DE ∥AF ∥BC ；结论：111BC DE AF+=. 3）四“A ”一“8”模型条件：如图3，DE ∥AF ∥BC,1111BC DE AF AG+==；结论：AF =AG 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD、相交于点F ，则下列等式中不成立．．．的是（）A ．AD AEDB EC= B ．DE DFBC FC= C ．DE AEBC EC = D ．EF AE BF AC=例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图，AC 与BD 交于点O ，,OA OD ABO DCO =∠=∠，E 为BC 延长线上一点，过点E 作//EF CD ，交BD 的延长线于点F ．（1）求证AOB DOC △≌△；（2）若2,3,1AB BC CE ===，求EF 的长．例3. （2022·重庆九年级期中）如图，AD 与BC 相交于点E ，点F 在BD 上，且AB ∥EF ∥CD ，求证：1AB ＋1CD ＝1EF.例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．课后专项训练1. （2021·山东淄博·中考真题）如图，,AB CD 相交于点E ，且////AC EF DB ，点,,C F B 在同一条直线上．已知,,AC P EF r DB q ===，则,,p q r 之间满足的数量关系式是（）A ．111r q p+=B ．112p r q+= C ．111p q r += D ．112q r p+=2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，对角线AC 与BD 相交于点4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm5．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．6．（2023·广东梅州·九年级统考期末）如图，在ABC 中，点F G 、在BC 上，点E H 、分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2EH EF =，AD 是ABC 的高，15BC =，5AD =，那么EH 的长为．7.（2023·广东深圳·校考三模）如图，在Rt ABC 中，906ACB AC BC ∠=︒==，，D 是AB 上一点，点E 在BC 上，连接CD AE ，交于点F ，若452CFE BD AD ∠=︒=，，则CE ＝．8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，ABC 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，12∠=∠．若4BC =，2AF =，3CF =，则EF =______．9．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且2=，BD与CE相交AE DE△的面积是______．于点F，若DEF的面积是3，则BCF10．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为_____．11．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；∠的大小，如测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得POQ图3．c表示，角度用表示；测量次数不超过Rt ABC中，上的点E，连接∠的值；tan DBC是图1中AB的中点时，求证：BG BF9统考中考真题）已知ABC是等边三角形，点于点F．是ABC的中线，点，在等边ABC中，点的式子表示）CE17．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN△MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若EFBF＝2，求ANND的值；(3)若MN△BE，求ANND的值．18．（2023•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，DB ＝b ，AE ＝c ，EC ＝d ，则S △ADE ，S △ABC 和a ，b ，c ，d 之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE △BC ，则△ADE ＝△B ，且△A ＝△A ，所以△ADE △△ABC ，可得比例式：a ca b c d=++而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得()22ADE ABCS a Sa b =+．根据上述这两个式子，可以推出：()()()22ADE ABCS a a a a c ac Sa b a b a b c d a b c d a b ==⋅=⋅=+++++++．（2）如图3，若△ADE ＝△C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：()()ADE ABCSacSa b c d =++？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在△ABC 的边上，做AH △BC 于H ，可得：1212ABD ADCBD AHS BDSDC DC AH ⋅==⋅．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADE ABCSS= ．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADE ABCSS= ．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，△ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是．19．（2023·河南郑州·校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图1，在Rt ABC △中，306A AB ∠=︒=，，点M 和点P 分别是斜边AB 上的动点，并且满足AM BP =，分别过点M 和点P 作AC 边的垂线，垂足分别为点N 和点Q ，那么MN PQ +的值是一个定值．问题：若2AM BP ==时，MN PQ +值为___________ ；【操作探究】如图2，在Rt ABC △中，90C A AB m α∠=︒∠==，，；爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当AM BP =时，MN PQ +的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图2进行证明，并用含α和m 的式子表示MN PQ +的值．【解决问题】如图3，在菱形ABCD 中，814AB BD ==，．若M 、N 分别是边AD 、BC 上的动点，且AM BN =，作ME BD NF BD ⊥⊥，，垂足分别为E 、F ，则ME NF +的值为__________ ．20．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），ABC 中，AB AC =，D 是AC 的中点，延长BC 至点E ，使DE DB =，延长ED 交AB 于点F ，探究AFAB的值．(1)先将问题特殊化．如图（2），当60BAC ∠=︒时，直接写出AFAB的值； (2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在ABC 中，AB AC =，D 是AC 的中点，G 是边BC 上一点，()12CG n BC n=<，延长BC 至点E ，使DE DG =，延长ED 交AB 于点F ．直接写出AFAB的值（用含n 的式子表示）． 6FH。

初中数学相似三角形的8大模型

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

0 1 模型1：A字型相似
0 2 模型2:“8”字型相似
0 3 模型3：三平行倒数和模型
0 4 模型4：一线三等角
0 5 模型5：半角形似（两个字母型相似）
0 6 模型6：旋转型相似
0 7 模型7：与圆有关的简单相似
0 8 模型8：阿氏圆
知识需知：
阿波罗尼斯圆:在平面上给定两点A、B，设点P在同一平面上且满足PB/PA= λ ，当 λ ＞ 0 且 λ ≠ 1 时，P点的轨迹就是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆（ λ
=1 时P点的轨迹为线段AB是的中垂线）。

相似三角形是几何中重要的模型之一，从历年中考考情来看，相似三角形的应用广泛。

在选择题中，直接应用相似三角形的性质，考察线段或面积比，分值4分，题型简单。

但它其实更多的是作为一种计算工具，在图形的翻折中，利用相似可以更快更简单求解；利用圆中的相似，快速求得线段或角度；在压轴大题二次函数中，利用相似可以简化模型，减少计算量，节约做题时间。

由此可看出相似三角形的重要性。

因此，笔者编写初中常见的八大相似模型，从最简单的“A”字、“8”字相似，到旋转型、半角型相似，从易到难，大家可以有选择性的进行学习。

“喜欢我到什么程度？”绿子问。

“整个世界的老虎全部融化成黄油。

” ——村上春树《挪威的森林》。

中考数学难点突破与经典模型精讲练相似三角形中的“K”字型相似模型(解析版)

专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型【模型展示】如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.CA222“三垂直”模型如图，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.“一线三等角”模型如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.【题型演练】一、单选题1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（）A．163B．4C．3D．2【答案】C【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠D=90°，通过证明∠ABF∠∠DAE，可得AF DEAB AD=，即可求解．【详解】解：∠矩形ABCD，∠∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8∠∠BAG+∠DAE=90°∠折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，∠BF垂直平分AG∠∠ABF+∠BAG=90°∠∠DAE=∠ABF，∠∠ABF∠∠DAE∠AF ABDE AD=即648AF=解之：AF=3．故答案为：C．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．2．如图，边长为10的等边ABC中，点D在边AC上，且3AD=，将含30°角的直角三角板（30F∠=︒）绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q．连接PQ，当//EF PQ 时，DQ长为（）A．6B C．10D．【答案】B【分析】过点Q作QK AC⊥于K，根据等边三角形，和含30︒角的直角三角形，易证得ADP BPQ∽△△，从而求得线段BP，AP，BQ，CQ，CK，QK，DK的长度，最后在Rt DQK△中利用勾股定理可以求得DQ 的长度．【详解】解：过点Q 作QK AC ⊥于K ，在等边ABC 中，60∠=∠=∠=︒A B C ，10AB BC AC ，在Rt EFD 中，60E ∠=︒，30F ∠=︒，∠//EF PQ ，∠60DPQ ∠=︒，30DQP ∠=︒，∠APD ADP APD QPB ∠+∠=∠+∠，∠ADP QPB ∠=∠，又∠∠A =∠B =60°，∠ADP BPQ ∽△△， ∠AD AP PD BP BQ QP==， ∠在Rt PQD △中，30DQP ∠=︒， ∠12PD QP =，即12PD QP =， ∠12AD AP PD BP BQ QP ===， ∠3AD =， ∠312BP =， ∠6BP =，已知10AB =∠1064AP AB BP =-=-=， ∠412BQ =， ∠8BQ =，∠1082CQ BC BQ =-=-=，在Rt CQK △中，60C ∠=︒，∠30KQC ∠=︒， ∠2122CQ KC ===， ∠DK AC AD KC =--，∠10316DK =--=，而sin KQ C CQ ∠=,∠sin 602KQ ︒==∠KQ =在Rt DQK △中，DQ∠DQ =即DQ =故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝4，E 是BC 的中点，连接AE ，tan∠AEB 43=，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D 处，当APD '△是直角三角形时，PD 的值为（）A ．23或67B ．83或247C ．83或307D ．103或187【答案】B【分析】根据矩形的性质得到AB ＝CD ，∠B ＝90°，根据勾股定理求得AE ，当∠APD '是直角三角形时，分两种情况分类计算即可；【详解】∠四边形ABCD 是矩形，∠AB ＝CD ，∠B ＝90°，∠CD ＝4，tan∠AEB 43=，∠BE ＝3，在Rt ∠ABE 中，AE 5=，∠E 是BC 的中点，∠AD ＝6，由折叠可知，PD ＝PD '，设PD ＝x ，则PD '＝x ，AP ＝6﹣x ，当∠APD '是直角三角形时，∠当∠AD 'P ＝90°时，∠∠AD 'P ＝∠B ＝90°，∠AD ∠BC ，∠∠P AD '＝∠AEB ，∠∠ABE ∠∠PD 'A ， ∠AP PD AE AB '=， ∠654x x -=， ∠x 83=， ∠PD 83=； ∠当∠APD '＝90°时，∠∠APD '＝∠B ＝90°，∠∠P AE ＝∠AEB ，∠∠APD '∠∠EBA ， ∠AP PD BE AB '=， ∠634x x -=， ∠x 247=， ∠PD 247=；综上所述：当∠APD '是直角三角形时，PD 的值为83或247；故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．4．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5AD =，E 、F 、G 、H 分别为矩形边上的点，HF 过矩形的中心O ，且HF AD =．E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，则四边形EFGF 的周长为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】连接EG ，证明四边形EHGF 是矩形，再证明AEH DHG △∽△，求得AH 与DH 的长度，由勾股定理求得EH 与HG ，再由矩形的周长公式求得结果．【详解】解：连接EG ，四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，//AB CD ， E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，AE DG ∴=，//AE DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形，AD EG ∴=，矩形是中心对称图形，HF 过矩形的中心O ．EG ∴过点O ，且OH OF =，OE OG =，∴四边形EHGF 是平行四边形，HF AD EG ==，∴四边形EHGF 是矩形，90EHG ∴∠=︒，90A D ∠=∠=︒，90AHE AEH AHE DHG ∴∠+∠=∠+∠=︒，AEH DHG ∴∠=∠，AEH DHG ∴△∽△， ∴AH AE DG DH=，设AH x =，则5DH x =-，122AE DG AB ===， ∴225x x=-，解得，1x =或4，1AH ∴=或4，当1AH =时，4DH =，则HE =HG∴四边形EFGH 的周长2=⨯=同理，当4AH =时，四边形EFGH 的周长2=⨯=；故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形EHGF 是矩形．5．如图，E 、F 、G 、H 分别为矩形的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、HE 、EC 、GA 、GF ，已知AG ∠GF ，AC 则下列结论：∠∠DGA =∠CGF ；∠∠DAG ∠∠CGF ；∠AB =2；∠BE CF ．正确的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】由余角的定义可推出90DGA CGF ∠+∠=︒，并不能说明DGA CGF ∠=∠，说明∠错误；再根据90DAG DGA ∠+∠=︒，可推出DAG CGF ∠=∠，进而可证明DAG CGF ，说明∠正确；连接BD ，由三角形中位线可知12GF BD =DAG CGF 可进一步推出2CF CG CG CF =，即2CF =，即BE =，说明∠正确；在Rt GCF 中，222GF CF CG =+，即可求出CG 长度，即可求出AB=2，说明∠正确．【详解】解：∠90AGF ∠=︒，∠90DGA CGF ∠+∠=︒，∠不能说明DGA CGF ∠=∠，故∠错误．∠90DAG DGA ∠+∠=︒，∠DAG CGF ∠=∠，又∠90ADG GCF ∠=∠=︒∠DAG CGF ，故∠正确．如图连接BD ，由题意可知AC BD =∠G 和F 分别为CD 和BC 的中点，∠12GF BD = ∠DAG CGF ∠AD DG GC CF =，即2CF CG CG CF=，∠CF =在Rt GCF 中，222GF CF CG =+，即222)CG =+, 解得1CG =∠22AB CG ==，故∠正确．∠BE CG =，∠CF BE ，即BE ，故∠正确．综上正确的有∠∠∠共3个．故选B ．【点睛】本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定和性质以及勾股定理，综合性强．能够连接常用的辅助线和证明DAG CGF 是解答本题的关键．6．如图，在ABC 中，490,5cm,cos 5C AB B ∠=︒==．动点D 从点A 出发沿着射线AC 的方向以每秒1cm 的速度移动，动点E 从点B 出发沿着射线BA 的方向以每秒2cm 的速度移动．已知点D 和点E 同时出发，设它们运动的时间为t 秒．连接BD ．下列结论正确的有（）个∠4BC =；∠当AD AB =时，tan 2ABD ∠=；∠以点B 为圆心、BE 为半径画B ，当2513t =时，DE 与B 相切； ∠当CBD ADE ∠=∠时，2511t． A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【分析】利用锐角三角函数求出BC 可判断∠，利用勾股定理求AC ，BD ，AG ，再用正切锐角三角函数定义求值可判断∠，利用相似三角形判定与性质，可判断∠，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断∠【详解】解：在ABC 中，490,5cm,cos 5C AB B ∠=︒==． 4cos 545BC AB B =⋅=⨯=，故∠4BC =正确；作AG ∠BD 于G ，在Rt∠ABC 中，3AC =，∠AD =AB =5，AG ∠BD∠CD =AD -AC=5-3=2，DG =BG ，在Rt∠DCB 中，BD =∠DG =BG在Rt∠BGA 中，AG =∠tan 2AG ABD BG ∠===，故∠当AD AB =时，tan 2ABD ∠=正确；AD =t ，BE =2t ，cos A =35AC AB =，当2513t =时，2513AD t ==，2550221313BE t ==⨯=， ∠50155251313AE AB BE t =-=-=-=， ∠1531325513AE AD ==， ∠cos A ==AE AC AD AB，∠DAE =∠BAC ， ∠∠ADE ∠∠ABC ，∠∠AED =∠ACB =90°，∠∠DEB =90°，∠DE 与B 相切，故∠以点B 为圆心、BE 为半径画B ，当2513t =时，DE 与B 相切正确；过E 作EH ∠AC 于H ，当CBD ADE ∠=∠时，∠∠EHD =∠DCB =90°，∠∠EHD ∠∠DCB ， ∠HE DH CD CB=， ∠AE =5-2t ，∠AH =()35-25t ，EH =()45-25t ，3CD t =-，6113355HD AD AH t t t =-=-+=-， ∠()4115235534t t t --=-，整理得211801250t t -+=，因式分解得()()112550t t --=， ∠2511t 或5t =（舍去），故∠当CBD ADE ∠=∠时，2511t正确；正确的结论有4个．故选择D ．【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键．二、填空题7．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O，AB =E 为OC 上一点，2OE =，连接BE ，过点A 作AF BE ⊥于点F ，与BD 交于点G ，则EF 的长是______．【分析】根据正方形的性质求出5AO BO CO ===，证明EBO EAF ∽△△得到EF AE OE BE =，即可求出答案.【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB =90AOB ∠=︒∴，OA=OB=OC=OD ，∠222OA AB =,∠5AO BO CO ===，AF BE ⊥，EBO EAF ∴∠=∠，EBO EAF ∴∽△△，即EF AE OE BE= 2OE =，5OB OA ==，BE ∴=7AE =，2EF ∴=EF =. 【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知识点是解题的关键.8．如图，在矩形ABCD 中，9AB =，12BC =，F 是边AD 上一点，连接BF ，将ABF △沿BF 折叠使点A 落在G 点，连接AG 并延长交CD 于点E ，连接GD ．若DEG △是以DG 为腰的等腰三角形，则AF 的长为________．或9 2【分析】分两种情形：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM∠AD于M，GN∠CD于N．设AF=x，证明∠BAF∠∠ADE，推出AB AFDA DE=，可得DE=43x，再证明AM=MD=6，在Rt∠FGM中，利用勾股定理构建方程求解．如图2中，当DG=DE时，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM∠AD于M，GN∠CD于N．设AF=x．∠四边形ABCD是矩形，∠AD=BC=12，∠BAF=∠ADE=90°，由翻折的性质可知，AF=FG，BF∠AG，∠∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF+∠BAE=90°，∠∠ABF=∠DAE，∠∠BAF=∠ADE=90°，∠∠BAF∠∠ADE，∠AB AF DA DE=，∠912xDE=，∠DE=43x，∠GM∠AD，GN∠CD，∠∠GMD=∠GND=∠MDN=90°，∠四边形GMDN是矩形，∠GM=DN=EN=23 x，∠GD=GE，∠∠GDE=∠GED，∠∠GDA+∠GDE=90°，∠GAD+∠GED=90°，∠∠GDA=∠GAD，∠GA =GD =GE ，∠GM ∠DE ，∠AM =MD =6，在Rt ∠FGM 中，则有()222()263x x x =-+，解得x =（舍弃），∠AF ．如图2中，当DG =DE 时，由翻折的性质可知，BA =BG ，∠∠BAG =∠BGA ，∠DG =FE ，∠∠DGE =∠DEG ，∠AB ∠CD ，∠∠BAE =∠DEG ，∠∠AGB =∠DGE ，∠B ，G ，D 共线，∠BD 15=，BG =BA =9，∠DG =DE =6，∠∠BAF ∠∠ADE ， ∠AF AB DE AD =， ∠9612AF =， ∠AF =92，综上所述，AF 或92．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE 沿直线DE 翻折得到FDE ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为______．【分析】根据∠ABC 为等边三角形，∠ADE 与∠FDE 关于DE 成轴对称，可证∠BDF ∠∠CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ∠AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求DE AF ⋅= 【详解】解：如图，作∠ABC 的高AL ，作∠BDF 的高DH ，∠∠ABC 为等边三角形，∠ADE 与∠FDE 关于DE 成轴对称，∠∠DFE =∠DAE = 60°，AD = DF ，∠∠CFE +∠FEC =∠CFE +∠DFB = 120°，∠∠DFB = ∠CEF ，又∠B =∠C = 60°，∠∠BDF ∠∠CFE ， ∠BD CF BE CE= ，即BF CF CE BD ⋅=，设CF = x (x > 0)，∠BF =4CF ，∠BF = 4x ，∠BD =3， ∠243x CE =， ∠45BC BF CF x x x =+=+=，∠53AD AB BD BC BD DF x =-=-==-，2453x AE EF x ==-， ∠∠BDF ∠∠CFE ， ∠DF BD EF CF=， ∠2533453x x x x -=- 解得：x =2，∠CF =4，∠BC =5x =10，∠在Rt ∠ABL 中，∠B =60°，∠AL =AB∠S △ABC=1102⨯⨯= ∠在Rt ∠BHD 中，BD =3，∠B =60°，∠DH =BDsin60°=3= ∠S △BDF=11822BF DH ⋅=⨯= ∠∠BDF ∠∠CFE ， ∠223924BDF CFE S BD S CF ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∠S△BDF =∠S △CEF ，又∠AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，∠AD =DF ，∠ADF 为等腰三角形，DE ∠AF ，∠S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF==，∠DE AF⋅=故答案为．【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．三、解答题10．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF∠EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：∠AEF∠∠DCE；(2)∠AEF与∠ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设ABkBC=，是否存在这样的k值，使得∠AEF与∠BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在，k【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得Rt∠AEF∠Rt∠DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，∠CGF是等腰三角形，据此即可证得∠AEF与∠ECF相似；(3)假设∠AEF与∠BFC相似，存在两种情况：∠当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；∠当∠AFE＝∠BFC，使得∠AEF与∠BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝13ka，BF＝23ka，再由∠AEF∠∠DCE，即可求得k值．（1）证明：∠EF∠EC，∠∠FEC＝90°，∠∠AEF＋∠DEC＝90°，∠∠AEF＋∠AFE＝90°，∠∠DEC＝∠AFE，又∠∠A＝∠EDC＝90°，∠∠AEF∠∠DCE；（2）解：∠AEF∠∠ECF．理由：∠E为AD的中点，∠AE＝DE，∠∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∠∠AEF∠∠DEG(ASA)，∠EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∠EF∠CE，∠CE垂直平分FG，∠∠CGF是等腰三角形．∠∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．又∠∠A＝∠FEC＝90°，∠∠AEF∠∠ECF；（3）解：存在k使得∠AEF与∠BFC相似．理由：假设∠AEF与∠BFC相似，存在两种情况：∠当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；∠当∠AFE＝∠BFC，使得∠AEF与∠BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，∠∠AEF∠∠BCF，∠12AFAE BF BC ， ∠AF ＝13ka ，BF ＝23ka ， ∠∠AEF ∠∠DCE ， ∠AE AF DC DE =，即113212ka a ka a =，解得，k =．∠存在k ∠AEF 与∠BFC 相似．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．11．（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD∠=︒，若CE CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5CD =【分析】（1）由∠DPC =∠A =B =90°，可得∠ADP ＝∠BPC ，即可证到∠ADP ∽∠BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝α，可得∠ADP =∠BPC ，即可证到∠ADP ∽∠BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证∠ABD ∽∠DFE ，求出DF =4，再证∠EFC ∽∠DEC ，可求FC ＝1，进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1，∠∠DPC =∠A =∠B =90°，∠∠ADP ＋∠APD =90°，∠BPC ＋∠APD = 90°， ∠∠ADP = ∠BPC ，∠∠ADP ∽∠BPC ，AD AP BP BC∴=， ∠AD ⋅BC = AP ⋅BP ，（2）结论仍然成立，理由如下，BPD DPC BPC ∠=∠+∠，又BPD A ADP ∠=∠+∠，DPC BPC A ADP ∴∠+∠=∠+∠，DPC A ∠=∠，设DPC A α∠=∠=，BPC ADP ∴∠=∠，ADP BPC ∴∽△△，AD AP BP BC∴=， ∠AD ⋅BC = AP ⋅BP ，（3）45EFD ∠=︒，45B ADE ∴∠=∠=︒，BAD EDF ∴∠=∠，ABD DFE ∴∽，AB AD DF DE∴=， ADE 是等腰直角三角形，DE ∴=， 2AB =4DF ∴=，45,45EFD ADE ∠=︒∠=︒，135EFC DEC ∴∠=∠=︒，EFC DEC ∴∽，FC EC EC CD∴=， 5EC =4CD DF FC FC =+=+， ()245EC FC CD FC FC ∴=⋅=⋅+=， 1FC ∴=，【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．12．【感知】如图∠，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC ∠=∠=∠=︒．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明）【探究】如图∠，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B DPC ∠=∠=∠．若4PD =，8PC =，6BC =，求AP 的长．【拓展】如图∠，在ABC 中，8AC BC ==，12AB =，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A ∠=∠，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或203．【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；拓展：证明∠ACP ∠∠BPE ，分CP =CE 、PC =PE 、EC =EP 三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】探究：证明：∠DPB ∠是APD △的外角，∠DPB A PDA ∠=∠+∠，即DPC CPB A PDA ∠+∠=∠+∠，∠A DPC ∠=∠，∠PDA CPB ∠=∠，又∠A B ∠=∠，∠DAP PBC △△∽， ∠PD AP PC BC=， ∠4PD =，8PC =，6BC =， ∠486AP =，解得：3AP =；拓展：∠AC =BC ，∠∠CPB 是∠APC 的外角，∠∠CPB =∠A +∠PCA ，即∠CPE +∠EPB =∠A +∠PCA ，∠∠A =∠CPE ，∠∠ACP =∠BPE ，∠∠A =∠B ，∠∠ACP ∠∠BPE ，当CP =CE 时，∠CPE =∠CEP ，∠∠CEP ＞∠B ，∠CPE =∠A =∠B ，∠CP =CE 不成立；当PC =PE 时，∠ACP ∠∠BPE ，则PB =AC =8，∠AP =AB -PB =12-8=4；当EC =EP 时，∠CPE =∠ECP ，∠∠B =∠CPE ，∠∠ECP =∠B ，∠PC =PB ，∠∠ACP ∠∠BPE ， ∠AC AP PC BP BE EP ==，即8128PB PB PB BE BE-==-，解得：163PB =， ∠AP =AB -PB =16201233-=，综上所述：∠CPE 是等腰三角形时，AP 的长为4或203．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF AE ⊥于点F ，设()0AD AEλλ=>．（1）若1λ=，求证：CE FE =；（2）若3,4AB AD ==，且D B F 、、在同一直线上时，求λ的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1615【分析】（1）根据矩形的性质可得，90//B AD BC AB CD AD BC ∠=︒==，，，，再根据已知条件DF AE ⊥，即可证明DFA ∠ABE △，则AF BE =，进而通过线段的和差关系求得；（2）由勾股定理求得BD 的长度，再由ABD △的面积求得AF 的长度，则可用勾股定理求得DF 的长度，则可得BF 的长度，再由DFA ∠ABE △，求得EB 的长度，在Rt ABE 中，根据勾股定理即可求得AE ，即可求得λ的值．【详解】（1）∠1λ=， ∠1AD AE=， ∠AD AE =，又∠四边形ABCD 是矩形，∠90//B AD BC AB CD AD BC ∠=︒==，，，，∠DAF AEB ∠=∠，∠DF AE ⊥，∠90DFA B ∠=∠=︒，∠在DFA 和ABE △中，DFA B DAF AEB AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠DFA ∠ABE △，∠AF BE =，∠=AE AD BC =，∠AE AF BC BE -=-，∠CE FE =；（2）如图，D B F 、、三点共线，∠3,4AB AD ==，∠5BD =，∠DF AE ⊥， ∠1122ABD S AB AD BD AF =⋅=⋅△， ∠341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∠165DF ==， ∠169555BF BD DF =-=-=， ∠//AD BE ， ∠在ADF △和EBF △中，FAD FEB ADF EBF AFD EFB ∠=∠∠=∠∠=∠，，，∠ADF △∠EBF △， ∠AD DF EB BF=，即164595EB =， ∠94EB =，∠154AE ==， ∠14161554AD AE λ===．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角形面积、相似比等，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点，利用勾股定理求解线段的长．14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ，点G 在线段EF 上，满足FG∠GE ＝1∠2，设BE ＝x ．（1）求证：AD DF AB BE=；（2）当点G 在∠ADF 的内部时，用x 的代数式表示∠ADG 的余切；（3）当∠FGD ＝∠AFE 时，求线段BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）361x x --；（3．【分析】（1）根据题意可证明∠DAF ＝∠BAE ，又由于∠ABE ＝∠ADF ＝90°，即证明∠ADF∠∠ABE ，所以AD DF AB BE=．（2）作GH∠CF 于H ，根据题意可求出DF ＝3BE ＝3x ，根据平行线分线段成比例得出13GH FH FG EC FC FE ===，即可列出关于x 的等式，从而得出GH 和FH 的长，即可求出HD 的长，cot∠ADG ＝cot∠DGH ＝GH HD，即可求出结果．（3）作EM//GD 交DC 于点M ，即可知12FD FG DM GE ==，可求出DM ，从而求出CM ，根据图形可证明∠ABE∠∠ECM ，即可得到AB EC BE CM=，即列出关于x 的方程，解出x 即可．【详解】（1）如图，因为AF∠AE ，∠∠EAF ＝∠BAD ＝∠ADF ＝90°．∠同角的余角相等，∠∠DAF ＝∠BAE ．∠∠ABE ＝∠ADF ＝90°．∠∠ADF∠∠ABE ． ∠AD DF AB BE=．（2）由31DF AD BE AB ==，得DF ＝3BE ＝3x ．如图，作GH∠CF 于H ，那么GH//BC//AD ．根据题意结合平行线分线段成比例得：13GH FH FG EC FC FE ===． ∠EC BC BE =-，FC CD DF =+， ∠13313GH FH x x ==-+．即GH ＝1(3)3x -，FH ＝1(31)3x +．在Rt∠GHD 中，HD ＝DF －FH ＝13(31)3x x -+＝123x -＝1(61)3x -， ∠∠ADG ＝∠DGH ，∠cot∠ADG ＝cot∠DGH ＝GH HD ＝1(3)31(61)3x x --=361x x --．（3）当点G 在∠ADF 内部时，很明显∠FGD 和∠AFE 不相等．所以点G 在∠ADF 外部．如图，作EM//GD 交DC 于点M ，那么12FD FG DM GE ==． ∠DM ＝6x ，∠MC ＝1－6x ．如果∠FGD ＝∠AFE ，那么AF//GD//EM ．∠∠AEM ＋∠EAF ＝180°．∠∠AEM ＝90°．∠∠ABE∠∠ECM ． ∠AB EC BE CM =．即1316x x x-=-．整理，得x 2－9x ＋1＝0．解得1x =23x >（不符合题意，舍去）．所以BE【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，矩形，余角，平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．15．如图，已知四边形ABCD ，∠B ＝∠C ＝90°，P 是BC 边上的一点，∠APD ＝90°．（1）求证：ABP PCD △△；（2）若BC ＝10，CD ＝3，PD ＝AB 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得BAP CPD ∠=∠，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用勾股定理求出PC 的长，从而可得BP 的长，再利用相似三角形的性质即可得．【详解】（1）90,90B C APD ∠=∠=︒∠=︒，90BAP APB CPD APB ∠+∠=∠+∠=∴︒，BAP CPD ∴∠=∠，在ABP 和PCD 中，BAP CPD B C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，ABP PCD ~∴；（2）在Rt PCD 中，3,CD PD ==6PC ∴，10BC =，4PB BC PC ∴=-=，由（1）已证：ABP PCD △△，AB PB PC CD ∴=，即463AB =，解得8AB =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．16．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是矩形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ，若∠AFG ＝∠ACD ．（1）求证：∠∠MFC ∠∠MCA ；∠若AB ＝5，AC ＝8，求CF BE的值．（2）若DM ＝CM ＝2，AD ＝3，请直接写出EF 长．【答案】（1）∠见解析；∠FC EB ＝85；（2）EF 【分析】（1）∠根据两角对应相等两三角形相似，证明即可．∠证明∠AEF∠∠ABC ，推出AF AC ＝AE AB ，推出AF AE ＝AC AB，推出∠FAC∠∠EAB ，可得结论．（2）利用勾股定理求出AM ，AC ，由MFC∠∠MCA ，推出CM AM ＝FM CM ，求出MF ，AF ，由∠AEF∠∠ABC ，推出EF BC ＝AF AC ，可得结论．【详解】（1）∠证明：∠∠AFG ＝∠ACD ，∠∠FCA +∠F AC ＝∠FCA +∠MCF ，∠∠F AC ＝∠MCF ，∠∠FMC ＝∠CMA ，∠∠MFC ∠∠MCA ．∠解：∠四边形AEFG ，四边形ABCD 都是矩形，∠FG ∠AE ，CD ∠AB ，∠∠AFG ＝∠F AE ，∠ACD ＝∠CAB ，∠∠AFG ＝∠ACD ，∠∠F AE ＝∠CAB ，∠∠AEF ＝∠ABC ＝90°，∠∠AEF ∠∠ABC ， ∠AF AC ＝AE AB ， ∠AF AE ＝AC AB， ∠∠F AE ＝∠CAB ，∠∠F AC ＝∠EAB ，∠∠F AC ∠∠EAB ， ∠FC EB ＝AC AB ＝85．（2）解：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠D ＝90°，AD ＝BC ＝3，∠DM ＝MC ＝2，AD ＝3，∠CD ＝4，AM AC 5， ∠∠MFC ∠∠MCA ， ∠CM AM ＝FM CM，∠FM ＝2CM AM∠AF ＝AM ﹣FM ∠∠AEF ∠∠ABC ， ∠EF BC ＝AF AC ，∠3EF ＝135，∠EF【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．17．如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，EF ⊥BE 交CD 于点F ．（1）求证：ABE DEF ∆∆；（2）连结BF ，若ABEEBF ∆∆，试确定点E 的位置并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）点E 为AD 的中点．理由见解析【分析】（1）根据同角的余角相等证明∠ABE =∠DEF ，再由直角相等即可得出两三角形相似的条件；（2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出AB AB DE AE=，即可得出DE =AE ．【详解】（1）证明∠四边形ABCD 是正方形，∠∠A =∠D =90°，∠∠AEB +∠ABE =90°，∠EF ∠BE ，∠∠AEB +∠DEF =90°，∠∠ABE =∠DEF ．在∠ABE 和∠DEF 中， ABE DEF A D ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∠∠ABE ∠∠DEF ；（2）∠∠ABE ∠∠DEF ， ∠AB BE DE EF=， ∠∠ABE ∠∠EBF ，∠AB BE AE EF=，∠AB AB DE AE=，∠DE=AE，∠点E为AD的中点．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解决（1）的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键．18．如图，正方形ABCDP是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．（1）求证：∠BEP∠∠CPF；（2）当∠P AB＝30°时，求∠PEF的面积．【答案】（1）详见解析；（2）2-【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求证∠BEP∠∠CPF；（2）由题意可知∠BPE＝30°，60°，根据含30度的直角三角形的性质即可求出答案．【详解】（1）∠PE平分∠APB，PF平分∠APC，∠∠APE＝12∠APB，∠APF＝12∠APC，∠∠APE+∠APF＝12（∠APB+∠APC）＝90°，∠∠EPF＝90°，∠∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，∠∠BEP＝∠FPC，∠∠B＝∠C＝90°，∠∠BEP∠∠CPF；（2）∠∠PAB＝30°，∠∠BPA＝60°，∠∠BPE＝30°，在Rt∠ABP中，∠PAB ＝30°，AB∠BP ＝1，在Rt∠BPE 中，∠BPE ＝30°，BP ＝1，∠EP ∠CP1，∠FPC ＝60°，∠PF ＝2CP ＝2，∠∠PEF 的面积为：12PE•PF ＝2 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．19．如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与A 、C 重合），连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，已知3AD =，5AC =．设AP 的长为x ．(1)AB =___________；当1x =时，PE =_________； (2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当PCE 是等腰三角形时，请求出x 的值．【答案】(1)4AB =,34PE PB = (2)PE PB 为定值，34PE PB = (3)75x =或4x = 【分析】（1）作PM AB ⊥于M 交CD 于N ．由BMP PNE ∆∆∽，推出PE PN PB BM =，只要求出PN 、BM 即可解决问题；（2）结论：PE PB的值为定值．证明方法类似（1）；（3）分两种情形讨论求解即可解决问题；（1）解：作PM AB ⊥于M 交CD 于N ．四边形ABCD 是矩形，3BC AD ∴==，5AC =，90ABC ∠=︒，4AB ∴=．在Rt APM △中，1PA =，35PM =，45AM =， 165BM AB AM ∴=-=， 3MN AD ==，125PN MN PM ∴=-=， 90PMB PNE BPE ∠=∠=∠=︒，90BPM EPN ∴∠+∠=︒，90EPN PEN ∠+∠=︒，BPM PEN ∴∠=∠，BMP PNE ∴△∽△， ∴12351645PE PB===，故答案为4，34．（2）结论：PE PB的值为定值．理由：由PA x =，可得35PM x =．45AM x =，445BM x =-，335PN x =-， BMP PNE △∽△， ∴33354445x PE PN PB BM x -===-；（3）∠当点E 在线段CD 上时，连接BE 交AC 于F ．90PEC ∠>︒，所以只能EP EC =，EPC ECP ∴∠=∠，90BPE BCE ∠=∠=︒，BPC BCP ∴∠=∠，BP BC ∴=，BE ∴垂直平分线段PC ，在Rt BCF 中，cos CF BC BCF BC AC∠==， ∴335CF =， 95CF ∴=， 1825PC CF ∴==， 187555x PA ∴==-=． ∠当点E 在DC 的延长线上时，设BC 交PE 于G ．90PCE ∠>︒，所以只能CP CE =．CPE E ∴∠=∠，90GPB GCE ∠=∠=︒，PGB CGE ∠=∠，PBG E CPE ∴∠=∠=∠，90ABP PBC ∠+∠=︒，90APB CPE ∠+∠=︒，4AB AP ∴==，综上所述，x 的值为75或4．【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．20．【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DE EC 的值（用含k 的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）DE =（3【分析】（1）根据ASA 证明BCE CDG △△≌；（2）由（1）得9CE DG ==，由折叠得BCF BFC ∠=∠，进一步证明HF HG =，由勾股定理得2222HF FE DH DE +=+，代入相关数据求解即可；（3）如图，连结HE ，分点H 在D 点左边和点H 在D 点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE 的长，再由勾股定理得2222HF FE DH DE +=+，代入相关数据求解即可．【详解】（1）如图，BFE △由BCE 折叠得到，BE CF ∴⊥，90ECF BEC ∴∠+∠=︒．又四边形ABCD 是正方形，90D BCE ∴∠=∠=︒，90ECF CGD ∴∠+∠=︒，BEC CGD ∴∠=∠，又正方形,ABCD,BC CD ∴=，()BCE CDG AAS ∴△△≌．（2）如图，连接EH ，由（1）得BCE CDG △△≌， 9CE DG ∴==，由折叠得BC BF =，9CE FE ==，BCF BFC ∴∠=∠．四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，BCG HGF ∴∠=∠，又BFC HFG ∠=∠，HFG HGF ∴∠=∠，HF HG ∴=． 45HD HF =，9DG =， 4HD ∴=，5HF HG ==．90D HFE ∠=∠=︒2222HF FE DH DE ∴+=+，2222594DE ∴+=+，DE ∴=DE =-．（3）如图，连结HE ，由已知45HD HF =可设4DH m =，5HG m =，可令DE x EC=， ∠当点H 在D 点左边时，如图，同（2）可得，HF HG =，9DG m ∴=，由折叠得BE CF ⊥，90ECF BEC ∴∠+∠=︒，又90D ∠=︒，90ECF CGD ∴∠+∠=︒，BEC CGD ∴∠=∠，又90BCE D ∠=∠=︒，CDG BCE ∴△∽△，DG CD CE BC∴=， CD AB k BC BC ==， 91m k CE ∴=， 9m CE FE k∴==， 9mx DE k ∴=． 90D HFE ∠=∠=︒，2222HF FE DH DE ∴+=+，222299(5)(4)m mx m m k k ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∴=x =舍去）．DE EC∴=∠当点H 在D 点右边时，如图，同理得HG HF =，DG m ∴=，同理可得BCE CDG △∽△，可得m CE FE k ==，mx DE k∴=， 2222HF FE DH DE +=+，2222(5)(4)m mx m m k k ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∴=x =．DE EC∴=【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．21．在矩形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，将ADE 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处．（1）如图1，若3tan 4EFC ∠=，求:AB BC 的值；（2）如图2，在线段BF 上取一点G ，使AG 平分BAF ∠，延长AG ，EF 交于点H ，若FG BG CF =+，求:AB BC 的值．【答案】（1）45；（2）35．【分析】（1）根据3tan 4EFC ∠=，可设3CE k =，则4CF k =，5DE EF k ==，再证明ABF FCE ~，由相似三角形性质即可用k 表示出BF ，从而求得比值；（2）过点G 作GM AF ⊥于点M ，由FG BG CF =+可得1122FG BC AF ==，再证MFG BFA ，从而12GM FM FG AB BF AF ===，设BG x =，由角平分线性质可得：BG MG x ==，2AB AM x ==，设FM y =，则2BF y =，由222AB BF AF +=列方程即可求出43y x =，再根据AB AB BC AF=即可求出比值．【详解】解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，90B C D ︒∴∠=∠=∠=，由折叠的性质得：90AFE D ︒∠=∠=，EF ED =，AF AD =，3tan 4CE EFC CF ∴∠==，设3CE k =，则4CF k =，5DE EF k ∴==，又90AFB BAF ︒∠+∠=，90AFB EFC ∠+∠=︒，BAF EFC ∴∠=∠，∠ABF FCE ~，AB BF CF CE∴=， ∠843k BF k k=， 6BF k ∴=，∠6410BC BF CF k k k =+=+=，84105AB k BC k ∴==；（2）如解图2，过点G 作GM AF ⊥于点M ，FG BG CF =+，=FG BG CF BC ++， 1122FG AD BC ∴== AD AF =，12FG AF ∴= MFG BFA ∠=∠，90FMG FBA ︒∠=∠=， MFGBFA ∴， ∠12GM FM FG AB BF AF ===，设BG x =， AG 平分,,BAF GB AB GM AF ∠⊥⊥， BG MG x ∴==，2AB AM x ==，设FM y =，则2BF y =，222AB BF AF +=222(2)(2)(2)x y x y ∴+=+，解得43y x = 而=AF AM MF +，∠410233x x x +=， ∠231053AB AB x BC AF x ===．【点睛】本题考查了四边形的综合问题，也考查了三角形相似的判定与性质、勾股定理、三角函数和角平分线的性质．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．难点是构造垂直利用角平分线性质得线段相等并利用相似进行求解．22．问题提出（1）如图1，在矩形ABCD 中，4cm AB =，点E 为AB 的中点，点F 在BC 上，过点E 作//EG BC交FD 于点G ．若5cm EG =，则EFD △的面积为_________．问题探究（2）如图2，在矩形ABCD 中，6cm,9cm AB BC ==，点P 是AD 边上一动点，点Q 是CD 的中点将．ABP 沿着BP 折叠，点A 的对应点是A '，将QDP △沿着PQ 折叠，点D 的对应点是D ．请问是否存在这样的点P ，使得点P 、A '、D 在同一条直线上？若存在，求出此时AP 的长度；若不存在，请说明理由．问题解决（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形ABCD 中，4cm BC =，点D 到BC 的距离为5cm,AD CD ⊥，且CD =．若过点D 作//BC MN ，过点A 作MN 的垂线，交MN 于点E ，交CB 的延长线于点H ，过点C 作CF MN ⊥于点F ，连接AC ．设AE 的长为(cm)x ，四边形ABCD 的面积为()2cm y ． ∠根据题意求出y 与x 之间的函数关系式；∠在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用． 1.73)【答案】（1）210cm ；（2）存在，6cm AP =或3cm AP =；（3）∠210y x =+⎝⎭；∠963.3元．【分析】（1）先由矩形的性质得//,4AD BC CD AB ==，再由三角形面积公式求解即可；（2）由折叠的性质得：,APB A PB DPQ D PQ ∠=∠∠'=∠'，再证BAP PDQ ∽，然后根据相似三角形的性质列比例式求解；（3）∠先证得AED DFC ∽，然后根据相似三角形的性质求得DE DF ==，然后根据面积公式列式求解；∠根据二次函数性质求最值【详解】解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，∠//,4AD BC CD AB ==．∠//EG BC ，∠////AD EG BC ．∠点E 为AB 的中点，∠EFD EGD EGF S S S =+111222EG CD =⨯⨯+12EG CD ⨯⨯ 12EG CD =⨯⨯ 1542=⨯⨯ 10=故答案为：210cm ；（2）存在，理由如下：∠四边形ABCD 是矩形，∠90,9,6cm BAD ADC BC AD AB CD ∠=∠=︒===．∠Q 是CD 的中点，∠3cm DQ =．由折叠的性质得：,APB A PB DPQ D PQ ∠=∠∠'=∠'，当点P 、A '、D 三点在同一条直线上时，180APB A PB DPQ D PQ ∠+∠+∠+=''∠︒， ∠90APB DPQ ∠+∠=︒．∠90APB ABP ∠+∠=︒，∠ABP DPQ ∠=∠．∠∠90BAP PDQ ∠=∠=︒，∠BAP PDQ ∽， ∠AB AP PD DQ =，即693AP AP =-，解得：6cm AP =或3cm AP =；（3）∠根据题意做出辅助线，如图所示．由题意得：5CF EH ==．∠AD CD ⊥，∠90EDA CDF ∠+∠=︒．∠CF MN ⊥，∠90DCF CDF ∠+∠=︒，∠EDA DCF ∠=∠．又∠90AED DFC ∠=∠=︒，∠AED DFC ∽， ∠CF DF CD DE AE DA==．由AE x =，则5AH x =-．∠5,CF CD ==，∠5DF DE x==∠DE DF ==， ∠EACF DEA DFC ABC y S S S S =--+四边形1111(5)542222x x ⎫=+⨯-⨯+⨯⨯⎪⎪⎝⎭(5)x -2210x x =- 210x =++⎝⎭∠由∠知，210y x =+⎝⎭，当x =时，四边形ABCD 的面积取得最小值为210cm ⎛+ ⎝⎭，∠最低造价为1060963.3⎛⨯≈ ⎝⎭（元）， ∠四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．。

专题相似三角形中的对角互补模型(老师版)

专题09相似三角形中的基本模型-对角互补模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。

本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。

该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.【常见模型及结论】（1）对角互补相似1条件：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝∠EOF ＝90°，点O 是AB 的中点，辅助线：过点O 作OD ⊥AC ，垂足为D ，过点O 作OH ⊥BC ，垂足为H ，结论：①△ODE ∼△OHF ；②OE BC OF AC =（思路提示：OE OD BH BCOF OH OH AC===）.（2）对角互补相似2条件：如图，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90°，∠BOC ＝α.辅助线：作法1：如图1，过点C 作CF ⊥OA ，垂足为F ，过点C 作CG ⊥OB ，垂足为G ；结论：①△ECG ∼△DCF ；②CE ＝CD·tan α.（思路提示：CE CG CD CF =，CF =OG ，在Rt △COG 中，CGtan OG α=）辅助线：作法2：如图2，过点C 作CF ⊥OC ，交OB 于F ；结论：①△CFE ∼△COD ；②CE ＝CD·tan α.（思路提示：CE CF tan CD CO α==，在Rt △OCF 中，CFtan OCα=）（3）对角互补相似3条件：已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°辅助线：过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ；结论：①△DAE ∼△DCF ；②ABCD 四点共圆。

相似三角形中的基本模型-半角模型(解析版)

相似三角形中的基本模型--半角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。

本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型(相似模型)【常见模型及结论】1)半角模型(正方形中的半角相似模型)条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF=45°结论：如图1，△AMN∽△AFE且AFAM=AEAN=EFMN=2．(思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE)；图1图2结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且AFAM=ACAB=2；图3图4结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN.2)半角模型(特殊三角形中的半角相似模型)(1)含45°半角模型图1图2条件：如图1，已知∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=∠DAE=45°；结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②ABBE=ADAE=CDAC；③AB⋅AC=BE⋅CD(AB2=BE⋅CD)(2)含60°半角模型条件：如图1，已知∠BAC=120°，∠ADE=∠DAE=60°；结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②ADBD=CEAE=ACAB；③AD⋅AE=BD⋅CE(DE2=BD⋅CE)1(2023·山东济南·九年级期中)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M，N．下列结论：①AB2=BN⋅DM；②AF平分∠DFE；③AM⋅AE=AN⋅AF；④BE+DF=2MN．其中正确的结论是()A.①②③④B.①②③C.①③D.①②【答案】A【分析】①转证AB:BN=DM:AB，因为AB=AD，所以即证AB:BN=DM:AD．证明△ABN∽△MDA；②把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADH证明△AFH≌△AFE(SAS)；③即证AM:AN=AF:AE，证明△AMN∽△AFE(两角相等)；④由②得BE十DF=EF，当E点与B点重合、F与C重合时，根据正方形的性质，结论成立．【详解】①∵∠BAN=∠BAM+∠MAN=∠BAM+45°，∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，∴∠BAN=∠AMD．又∠ABN=∠ADM=45°，∴△ABN∽△MDA，∴AB:BN=DM:AD，∵AD=AB，∴AB2=BN⋅DM．故①正确；②如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠EAF=∠HAF，∵AE=AH，AF=AF，∴△AEF≌△AHF，∴∠AFH =∠AFE ，即AF 平分∠DFE ，故②正确；③∵AB ∥CD ，∴∠DFA =∠BAN ，∵∠AFE =∠AFD ，∠BAN =∠AMD ，∴∠AFE =∠AMN ，又∠MAN =∠FAE ，∴△AMN ∽△AFE ，∴AM :AF =AN :AE ，即AM ·AE =AN ·AF ，故③正确；④由②得BE +DF =DH +DF =FH =FE ，过A 作AO ⊥BD ，作AG ⊥EF ，则△AFE 与△AMN 的相似比就是AG :AO ，易证△ADF ≌△AGF (AAS )，则可知AG =AD =2AO ，从而得证，故④正确，故选：A ．【点睛】此题考查了正方形的性质、相似(包括全等)三角形的判定和性质、旋转的性质等知识点，综合性极强，难度较大．2(2023·山东滨州·统考中考模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若AE =5，∠EAF =45°，则AF 的长为．【答案】4103【分析】取AB 的中点M ，连接ME ，在AD 上截取ND =DF ，设DF =DN =x ，则NF =2x ，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME ∽△FNA ，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x 的值，在直角三角形ADF 中利用勾股定理即可求出AF 的长．【详解】解：取AB 的中点M ，连接ME ，在AD 上截取ND =DF ，设DF =DN =x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠BAD =∠B =90°，AD =BC =4，∴NF =2x ，AN =4-x ，∵AB =2，∴AM =BM =1，∵AE =5，AB =2，∴BE =1，∴ME =BM 2+BE 2=2，∵∠EAF =45°，∴∠MAE +∠NAF =45°，∵∠MAE +∠AEM =45°，∴∠MEA =∠NAF ，∴△AME ∽△FNA ，∴AM FN =ME AN ，∴12x=24-x ，解得：x =43∴AF =AD 2+DF 2=4103故答案为4103．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．3(2023·福建龙岩·统考一模)如图，∠ACB =90°,AC =BC ,∠DCE =45°，如果AD =3,BE =4，则BC 的长是( )．A.5B.52C.62D.7【答案】C【详解】分析：由于△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，设DE=x，则AB=7+x，可以得出△ACE∽△CDE∽△BDC，根据相似三角形的性质，列出关于x方程，解出x，再计算BC的长．详解：设DE=x，则AB=7+x．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠DCE=∠CAE=∠DBC=45°∴△ACE∽△CDE∽△BDC，设CD=a，CE=b，则有以下等式：x：b=b：3+x，x：a=a：4+x，x：a=b：AC，整理得：b2=x(x+3)，a2=x(x+4)，x•AC=ab，x2(x+3)(x+4)=a2b2=x2•AC2=x2(x+7)22，解得：x=5；∴AB=12，∴AC=BC=62．故选C．点睛：本题主要考查了三角形相似的性质和判定、等腰直角三角形的性质，以及列方程求解的能力．4(2023·广东·九年级专题练习)如图，ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点D为BC边上的点，点E为线段CD上一点，且CE=1，AB=23，∠DAE=60°，则DE的长为．【答案】7 3【分析】利用含30°角的直角三角形的性质及图形的相似可求DE的长．【详解】解：如图，作AF⊥BC于F，作EG⊥AC于G．∵ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC．∴∠B=∠C=30°．在R tΔCEG中，∠C=30°．∴EG=12CE=12，CG=32．∴AG=23-32=332．∵AF⊥BC．∴∠AFC=90°．∴AF=12AC=3．∵∠DAE=60°=∠FAC．∴∠DAF=∠EAG．∵∠AFD=∠AGE=90°．∴ΔADF∽ΔAGE．∴AF AG =DFEG，即3332=DF12．∴DF=13．由勾股定理得：AE2=AG2+EG2=AF2+EF2．∴EF2=3322+12 2-(3)2=4．∴EF=2．DE=2+13=73故答案为：73【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质及相似三角形的判定，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键．5(2023·辽宁沈阳·统考二模)在菱形ABCD中，∠B=60°．点E，F分别在边BC，CD上，且BE= CF．连接AE，AF．(1)如图1，连接EF ，求证：△AEF 是等边三角形；(2)AG 平分∠EAF 交BC 于点G ．①如图2，AG 交EF 于点M ，点N 是BC 的中点，当BE =4时，求MN 的长．②如图3，O 是AC 的中点，点H 是线段AG 上一动点(点H 与点A ，点G 不重合)．当AB =12，BE =4时，是否存在直线OH 将△ACE 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出AH AG 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)①MN =23；②12或57【分析】(1)证△ABE ≌△ACF ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；(2)①连接AN ，证△NAM ∽△BAE ，列出比例式，根据相似比即可求解；②分点H 为AG 中点和点N 为EC 中点两种情况，根据相似比，求出比值即可．【详解】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，∵∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠ACB =∠ACD =∠BAC =60°，∵BE =CF ，∴△ABE ≌△ACF ；∴AE =AF ，∴∠BAE =∠CAF ，∴∠EAF =60°，∴△AEF 是等边三角形；(2)①连接AN ，∵点N 是BC 的中点，∴∠ANB =90°，∵∠B =60°，∴∠BAN =30°，∴cos ∠BAN =AN AB=32，由(1)知，△AEF 是等边三角形，∠EAF =60°，AG 平分∠EAF∴∠AME =90°，∠EAM =30°，∴cos ∠EAM =AM AE=32，∠BAN -∠EAN =∠EAM -∠EAN ，即∠BAE =∠NAM ，∴△NAM ∽△BAE∴MN BE =AM AE，∴MN 4=32，∴MN =23②如图，当点H 为AG 中点时，即AH AG=12；∵O 是AC 的中点，∴OH ∥EC ，∴△AMO ∽△AEC ,∵AO AC =12，∴S △AMO S △AEC =14，即S △AMO S 四边形MECO=13；同理，如图所示，当点N 为EC 中点时，ON ∥AE ，S △CON S 四边形NEAO=13；连接FG ，作FP ⊥BC ，交BC 延长线与点P ，∵BE =CF =4，AB =BC =12，∴CE =8,∵CD ∥AB ，∴∠B =∠DCP =60°，∴∠CFP =30°，∴CP =2，FP =CF 2-CP 2=23，∵AE =AF ，AG =AG ，∠EAG =∠FAG ，∴△EAG ≌△FAG ，∴EG =FG ，设EG =x ,CG =8-x ，PG =10-x ，(10-x )2+(23)2=x 2，解得，x =5.6，∵EN =CN =4，AH AG =EN EG =45.6=57；综上，AH AG的值为：12或57．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关几何知识，构建几何模型证明相似或全等．6(2023山东九年级期中)如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点(不与点B ，C ，D 重合)，AM ，AN 分别交BD 于点E ，F ，且∠MAN 始终保持45°不变．(1)求证：AF AM=22；(2)求证：AF ⊥FM ；(3)请探索：在∠MAN 的旋转过程中，当∠BAM 等于多少度时，∠FMN =∠BAM ？写出你的探索结论，并加以证明．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)∠BAM =22.5．【分析】(1)先证明A 、B 、M 、F 四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM =90°，根据等腰直角三角形性质即可解决问题．(2)由(1)的结论即可证明．(3)由：A ．B 、M 、F 四点共圆，推出∠BAM =∠EFM ，因为∠BAM =∠FMN ，所以∠EFM =∠FMN ，推出MN ∥BD ，得到CMCB =CN CD，推出BM =DN ，再证明△ABM ≌△ADN 即可解决问题．【详解】解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABD =∠CBD =45°，∠ABC =90°，∵∠MAN =45°，∴∠MAF =∠MBE ，∴A 、B 、M 、F 四点共圆，∴∠ABM +∠AFM =180°，∴∠AFM =90°，∴∠FAM =∠FMA =45°，∴AM =2AF ，∴AF AM=22．(2)由(1)可知∠AFM =90°，∴AF ⊥FM ．(3)结论：∠BAM =22.5时，∠FMN =∠BAM理由：∵A 、B 、M 、F 四点共圆，∴∠BAM =∠EFM ，∵∠BAM =∠FMN ，∴∠EFM =∠FMN ，∴MN ∥BD ，∴CM CB =CN CD，∵CB =DC ，∴CM =CN ，∴MB =DN ，在△ABM 和△ADN 中，∵AB =AD ，∠ABM =∠ADN ，BM =DN ，∴△ABM ≌△ADN ，∴∠BAM =∠DAN ，∵∠MAN =45°，∴∠BAM +∠DAN =45°，∴∠BAM =22.5°．7(2022·广东深圳·统考二模)【教材呈现】(1)如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，点A 为公共顶点，∠BAC =∠G =90°，若△ABC 固定不动，将△AFG 绕点A 旋转，边AF ，AG 与边BC 分别交于点D ，E (点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合)，则结论BE ⋅CD =AB 2是否成立(填“成立”或“不成立”)；【类比引申】(2)如图2，在正方形ABCD 中，∠EAF 为∠BAD 内的一个动角，两边分别与BD ，BC 交于点E ，F ，且满足∠EAF =∠ADB ，求证：△ADE ∽△ACF ；【拓展延伸】(3)如图3，菱形ABCD 的边长为12cm ，∠BAD =120°，∠EAF 的两边分别与BD ，BC 相交于点E ，F ，且满足∠EAF =∠ADB ，若BF =9cm ，则线段DE 的长为cm ．【答案】(1)成立；(2)证明见解析；(3)53cm ．【分析】(1)根据等腰三角形性质得出∠DAC =∠AEB ，再证△BEA ∽△CAD 即可；(2)根据正方形性质得出∠CAF =∠DAE 即可；(3)如图3，在DE 上取一点M ，使∠MAD =30°，过M 作MN ⊥AD 于N ，根据四边形ABCD 为菱形，且∠BAD =120°，证出∠MAD =∠MDA =30°，再证△ACF ∽△AME ，求出AC =3AM ，利用菱形ABCD 的边长为12cm ，求出CF =3ME =3cm 即可．【详解】解：(1)结论BE ⋅CD =AB 2成立理由：如图1，∵△ABC 和△AFG 都是等腰直角三角形，∴∠B =∠C =∠FAG =45°∵∠DAC =∠CAE +45°，∠AEB =∠CAE +45°，∴∠DAC =∠AEB又∵∠B =∠C ，∴△BEA ∽△CAD ，∴BE AC =AB CD ，∵AC =AB ，∴BE ⋅CD =AB 2，故答案为：成立(2)证明：如图2，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠CAD =∠ACB =∠ADB =45°，∵∠EAF =∠ADB ，∴∠EAF =∠CAD =45°，∴∠ACF +∠CAE =∠DAE +∠CAE ，∴∠CAF =∠DAE ，又∵∠ACB =∠ADB ，∴△ADE ∽△ACF ；(3)线段DE 的长为53cm理由：如图3，在DE 上取一点M ，使∠MAD =30°，过M 作MN ⊥AD 于N ，又∵四边形ABCD 为菱形，且∠BAD =120°，∴∠CAD =∠ACB =∠ADC =60°，∴∠MDA =12∠ADC =30°∴∠MAD =∠MDA =30°，∴∠AME =60°，∴∠AME =∠ACB =60°，∵∠CAD =60°，∠MAD =30°，∴∠CAM =30°，∵∠EAF =∠ADB ，∴∠EAF =∠CAM =30°，∴∠CAF =∠MAE ，∴△ACF ∽△AME ，∴CF ME =AC AM，∵AN =12AD ，AN =AM cos30°=32AM ，∴2AN =3AM ，2AN =AD ，∴MA =MD =33AD ，∵AD =AC ，∴AC =3AM ，∴CF ME =ACAM=3，∵菱形ABCD的边长为12cm，∴BC=AD=12cm，∵BF=9cm，∴CF=3ME=3cm，∴ME=3cm，∵MD=33AD，∴MD=33×12=43cm ，∴DE=ME+MD=43+3=53cm，∴线段DE的长为53cm．故答案为53．【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题关键．课后专项训练1(2023·广东深圳·九年级校考阶段练习)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M，N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：①AN=EN，AN⊥EN；②BE+DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④EF2=2BM2+2DN2．其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】A【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，则∠1=∠4，AE=AH，BE=DH，可证得△BNA ≌△BNC，从而得到AN=CN，∠NCE=∠BAN，进而得到∠NEC=∠NCE=∠BAN，再由四边形内角和定理可得AN=NE,AN⊥NE，故①正确；再证明△AFE≌△AFH，可得EF=FH=DF+DH=DF+ BE,∠AFH=∠AFE，故②正确；再由∠MAN=∠NDF=45°,∠ANM=∠DNF，可得∠AMN=∠AFD=∠AFE，从而得到∠DFE=2∠AMN，故③正确；再证明△AMN∽△AFE，△AEN是等腰直角三角形，可得AE=2AN，从而得到EF=2MN，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，则∠DAG=∠BAM,AM=AG，∠ADG=∠ABM=45°，证明△ANG≌△ANM，可得MN=GN，再由勾股定理，可得故④正确，即可求解．【详解】解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，则∠1=∠4，AE=AH，BE=DH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,∠ABD=∠CBD=45°，在△BNA和△BNC中，BN=BN ∠NBA=∠BA=BCNBC∴△BNA≌△BNC，∴AN=CN，∠NCE=∠BAN，∵CN=EN，∴∠NEC=∠NCE=∠BAN，∵∠NEC+∠BEN=180°，∴∠BAN+∠BEN=180°，∴∠ABC+∠ANE=180°，∴∠ANE=90°，∴AN=NE,AN⊥NE，故①正确；∴∠3=∠AEN=45°，∵∠1=∠4，∴∠2+∠4=∠2+∠1=45°，∴∠3=∠FAH=45°，∵AF=AF,AE=AH，∴△AFE≌△AFH，∴EF=FH=DF+DH=DF+BE,∠AFH=∠AFE，故②正确；∵∠MAN=∠NDF=45°,∠ANM=∠DNF，∴∠AMN=∠AFD=∠AFE，又∵∠AFE=∠AFD,∠DFE=∠AFE+∠AFD，∴∠DFE=2∠AMN，故③正确；∵∠MAN=∠EAF,∠AMN=∠AFE，∴△AMN∽△AFE，∴NMEF =ANAE，∵AN=NE,AN⊥NE，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AE=2AN，∴NMEF =ANAE=12，∴EF=2MN，如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，则∠DAG=∠BAM,AM=AG，∠ADG=∠ABM=45°，∴∠NDG=90°，即△GDN是直角三角形，∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=∠DAG+∠DAN=∠GAN=45°=∠MAN，∵AN=AN，∴△ANG≌△ANM，∴MN=GN，∴MN2=DN2+DG2=DN2+BM2，∴EF2=2MN2=2DN2+2BM2，故④正确；故选A．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法，添加辅助线构造全等三角形解决问题．2(2022·广东深圳·统考一模)如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，CF=2DF，连接AE，AF与对角线BD交于点M，N，连接MF，EN．给出结论：①∠EAF=45°；②AN⊥EN；③tan∠AMN=3；④DN:MN:BM=2:5:3．其中正确的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④【答案】A【分析】将△ABE顺时针旋转，使得AB与AD重合，此时得△ADG，将△AFD逆时针旋转，使得AD与AB 重合，此时得△ABH，根据∠HAF=∠GAE=90°，即可求得∠HAE=∠FAE=45°，①正确；根据∠HAE=∠FAE=45°可得△AMN∼△DFN，即可求tan∠AMN=tan∠DFN=ADDF =63=3，即可得③正确；根据如图正方形构造直角坐标系，求出直线AE、AF、BD的解析式，再联立解析式，即可求得M、N两点的坐标，再根据坐标求出DN、MN、BM、AN、NE，即可知AN=NE=3102，则有∠EAN=∠AEN=45°，则有∠ANE=90°，AN⊥NE，②正确；根据DN、MN、BM长度可知DN:MN:BM=3:5:4，④错误．【详解】将△ABE顺时针旋转，使得AB与AD重合，此时得△ADG，将△AFD逆时针旋转，使得AD与AB 重合，此时得△ABH，链接EF，如图所示：为了方便计算，设正方形的边长为6，则有AB=BC=CD=AD=6，则有BE=EC=3=DG，CF=4，DF=2=BH，∠BAE=∠DAG，则有：HE=5=FG，利用勾股定理，易求得：AH=AF=210，AE=AG=35，EF=5，BD=62，根据图形的旋转，可知∠HAB=∠FAD，∠BAE=∠DAG，∴∠HAF=∠GAE=90°，∵AH=AF，HE=5=FG，AE=AE，∴△AHE≅△AFE，同理可证得△AEF≅△AGF，∴∠HAE=∠FAE，又∵∠HAF=∠GAE=90°，∴∠HAE=∠FAE=45°，故①正确；∵∠HAE=∠FAE=45°，∠ANM=∠DNF，∴△AMN∼△DFN，同理可证△AMN∼△BME，∴∠AMN=∠DFN，∴tan∠AMN=tan∠DFN=ADDF =62=3，故③正确；以B为坐标原点O，AB所在的直线为y轴，以BC所在的直线为x轴，构建直角坐标系，则有A点坐标为(0,6)，B点坐标为(0,0)，C点坐标为(6,0)，D点坐标为(6,6)，F点坐标为(6,4)，E点坐标为(3,0)，则直线AF的解析式为：y=-13x+6，BD的解析式为y=x，AE的解析式为y=-2x+6，联立：y=-13x+6 y=x，得到N点坐标为：92,9 2，同理的M点坐标为(2,2)，过M点作MP垂直于BC，交BC于P点，过N点作NQ垂直于DC，交DC于Q点，则有MP=2，DQ=DC-QC=6-92=32，则有BM=(2-0)2+(2-0)2=22，DN=6-9 22+6-922=322，则有MN=BD-BM-DN=62-22-322=522，则有：DN:MN:BM=322:522:22=3:5:4，故④错误；根据N点坐标为：92 ,92，A点坐标为：(0,6)，E点坐标为：(3,0)，可得AN=0-9 22+6-922=NE=3-922+0-922=3102，则在△AEN中，∠EAN=∠AEN=45°，∴∠ANE=90°，∴AN⊥NE，故②正确；故选：A．【点睛】本题考查了直角坐标系的构建、相似三角形以及坐标系中求解两点间距离等知识．准确作出辅助线并构建直角坐标系是解答本题的关键．3如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C ，AB 、AC 分别交对角线BD于点E、F，若AE=4，则EF⋅ED的值为()A.4B.6C.8D.16【答案】D【分析】先根据正方形的性质、旋转的性质可得∠EAF=∠EDA=45°，再根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠EDA=45°，由旋转的性质得：∠B AC =∠BAC，∴∠B AC =∠EDA，即∠EAF=∠EDA，在△AEF和△DEA中，∠EAF=∠EDA ∠AEF=∠DEA，∴△AEF∼△DEA，∴EF AE =AEDE，即EF4=4DE，∴EF⋅DE=16，故选：D．【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．4如图，菱形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD边上的动点，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论：①ΔBEC≌ΔAFC；②ΔECF为等边三角形；③∠AGE=∠AFC；④若AF=1，则GFGE=12．其中正确个数为()A.4B.3C.2D.1【答案】B【分析】由SAS证明△BEC≌△AFC，①正确；由全等三角形的形状得CE=CF，∠BCE=∠ACF，再由∠BCE+∠ECA=∠BCA=60°，得∠ACF+∠ECA=60°，得△CEF是等边三角形，②正确；由∠AGE=∠CAF+∠AFG=60°+∠AFG，∠AFC=∠CFG+∠AFG=60°+∠AFG，得∠AGE=∠AFC，故③正确；④过点E 作EM ∥BC 交AC 下点M 点，易证△AEM 是等边三角形，则EM =AE ，由AF ∥EM ，则△AFG ∽△MEG ，得④错误．【详解】解：①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD =4，∠BAC =∠CAD ．∵∠BAD =120°，∴∠BAC =∠CAD =60°，∴ΔABC 和ΔACD 都是等边三角形，∴∠B =∠CAD =60°，BC =AC ．∵BE =AF ，∴ΔBEC ≌ΔAFC SAS ，故①正确．②∵ΔBEC ≌ΔAFC ，∴CE =CF ，∠BCE =∠ACF ．∵∠BCE +∠ECA =∠BCA =60°，∴∠ACF +∠ECA =60°，∴ΔCEF 是等边三角形，故②正确．③∵∠AGE =∠CAF +∠AFG =60°+∠AFG ，∠AFC =∠CFG +∠AFG =60°+∠AFG ，∴∠AGE =∠AFC ，故③正确．④过点E 作EM ∥BC 交AC 于点M ，∴∠AEM =∠B =60°，∠AME =∠ACB =60°，∴ΔAEM 是等边三角形，∴EM =AE ．∵BE =AF =1，∴AE =AB -BE =4-1=3，∴EM =AE =3．∵AF ∥EM ，∴ΔAFG ~ΔMEG ，∴GF GE=AF EM =13﹐故④错误，正确个数为3．故选B ．【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．5(2023·浙江绍兴·校联考三模)矩形ABCD 中，AB =6，AD =12，连接BD ，E ，F 分别在边BC ，CD 上，连接AE ，AF 分别交BD 于点M ，N ，若∠EAF =45°，BE =3，则DN 的长为．【答案】1255【分析】根据矩形的性质，由勾股定理得出BD ，延长AB 至P ，使PB =AB =6，过P 作BC 的平行线交DC 的延长线于Q ，得正方形APQD ，延长AE 交PQ 于H ，连接HF ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点P 重合，得到△APG ，由旋转的性质可得PG =PF ，∠APG =∠ADF =90°，AG =AF ，∠PAG =∠DAF ，证出∠GAF =90°，得出∠GAH =∠FAH =45°，可证△AGH ≌△AFH ，得出GH =FH ，证出FH =DF +PH ，设DF =x ，则FQ =12-x ，利用勾股定理列出方程求出x =4，然后由DF ∥AB ，得△DFN ∽△BAN ，所以DF AB=DN BN =23，即可求出DN 的长．【详解】解：在矩形ABCD 中，∵∠BAD =90°，AB =6，AD =12，∴BD =AB 2+AD 2=62+122=65，如图，延长AB 至P ，使PB =AB =6，过P 作BC 的平行线交DC 的延长线于Q ，得正方形APQD ，延长AE交PQ于H，连接HF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点P重合，得到△APG，∵四边形APQD是正方形，∴AP=PQ=DQ=AD，∠PAD=∠APH=∠Q=∠ADQ=90°，由旋转得：△APG≌△ADF，∴PG=DF，∠APG=∠ADF=90°，AG=AF，∠PAG=∠DAF，∴∠PAG+∠PAF=∠PAF+∠DAF=90°，即∠GAF=90°，C ，P，H三点共线，∵∠HAF=45°，∴∠GAH=90°-45°=45°，∴∠GAH=∠FAH=45°，在△AGH和△AFH中，AG=AF∠GAH=∠FAH AH=AH，∴△AGH≌△AFH SAS ，∴GH=FH，∵GH=PG+PH=DF+PH，∴FH=DF+PH，设DF=x，则FQ=DQ-DF=12-x，∵AB=BP=6，BE∥PQ，∴AEEH =ABBP=1，∴AE=EH，∴PH=2BE=2×3=6，∴FH=DF+PH=6+x，HQ=12-6=6，在Rt△QFH中，由勾股定理得：FQ2+HQ2=FH2，∴(12-x2+62=x+62，解得：x=4，∴DF=4，∵DF∥AB，∴△DFN∽△BAN，∴DFAB =DN BN=23，∴DN=25BD=25×65=1255．故答案为：1255．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键．6(2023·成都市·九年级专题练习)如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②AEBE=ADCD；③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；④BE2+DC2=DE2；⑤BE=EF-DC；其中正确的选项是(填序号)【答案】①③④【分析】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；②当△ABE∽△ACD时，该比例式成立；③根据旋转的性质，△ADC ≌△ABF ，进而得出△ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积；④据①知BF =CD ，EF =DE ，∠FBE =90°，根据勾股定理判断．⑤根据①知道△AEF ≌△AED ，得CD =BF ，DE =EF ；由此即可确定该说法是否正确．【详解】解：①根据旋转的性质知∠CAD =∠BAF ，AD =AF ．∵∠BAC =90°，∠DAE =45°，∴∠CAD +∠BAE =45°，∴∠EAF =45°，∴△AED ≌△AEF ；故本选项正确；②∵AB =AC ，∴∠ABE =∠ACD ；∴当∠BAE =∠CAD 时，△ABE ∽△ACD ，∴AE BE =AD CD ；当∠BAE ≠∠CAD 时，△ABE 与△ACD 不相似，即AE BE ≠AD CD；∴此比例式不一定成立，故本选项错误；③根据旋转的性质知△ADC ≌△AFB ，∴S △ABC =S △ABD +S △ABF =S 四边形AFBD ，即三角形ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积，故本选项正确；④∵∠FBE =45°+45°=90°，∴BE 2+BF 2=EF 2．∵△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，∴△AFB ≌△ADC ，∴BF =CD ．又∵EF =DE ，∴BE 2+DC 2=DE 2，故本选项正确；⑤根据①知道△AEF ≌△AED ，得CD =BF ，DE =EF ，∴BE +DC =BE +BF >DE =EF ，即BE +DC >FE ，故本选项错误．综上所述：正确的说法是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，三角形三边的关系，相似三角形的性质与判定，解题时注意旋转前后对应的相等关系．7(2023·上海宝山·校考一模)如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE =∠B =30°，且AD AE=32，那么DE BC 的值是．【答案】13318-1．【分析】由已知可得△ABE ∼△DAE ，从而可知AB BE =AD AE=32，AE 2=BE ∙DE ，设AB =3x ，则BE =2x ，再利用勾股定理和等腰三角形性质用x 表示DE 和BC ，从而解答【详解】解：∵∠BAE =∠DAE +∠BAD ，∠ADE =∠B +∠BAD ，又∵∠DAE =∠B =30°，∴∠BAE =∠ADE ，∴△ABE ∼△DAE ，∴AB BE =AD AE =32，AE 2=BE ∙DE ，过A 点作AH ⊥BC ，垂足为H ，设AB =3x ，则BE =2x ，∵∠B =30°，∴AH =12AB =32x ，BH =332AB =332x ，∴EH =BH -BE =332-2 x ，在Rt △AHE 中，AE 2=AH 2+EH 2=32x 2+332x -2x 2=13-63 x 2，又∵AE 2=BE ∙DE ，∴13-63 x 2=2x ∙DE ，∴DE =13-632x ，∵AB =AC ，AH ⊥BC ，∴BC =2BH =33x ，∴DE BC=13-632x 33x =13318-1，故答案为：DE BC =13-632x 33x=13318-1 .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用三角形相似得到AB 与BE 的关系是解题的关键．8(2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中)通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．(1)思路梳理∵AB =CD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合.∵∠ADC =∠B =90°，∠FDG =180°，∴点F ，D ，G 共线.根据(从“SSS ，ASA ，AAS ，SAS ”中选择填写)，易证△AFG ≌，得EF =BE +DF ．(2)类比引申如图2，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°.若∠B ，∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系时，仍有EF =BE +DF ．(3)联想拓展如图3，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45°.猜想BD ，DE ，EC 应满足的等量关系，并写出推理过程．(4)思维深化如图4，在△ABC 中，∠BAC =60°，AB =AC ，点D ，E 均在直线BC 上，点D 在点E 的左边，且∠DAE =30°，当AB =4，BD =1时，直接写出CE 的长．【答案】(1)SAS，△AFE(2)∠B+∠D=180°(3)DE2=BD2+EC2，理由见解析(4)CE的长为87或83【分析】(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFE≌△AFG进而得到EF=FG，即可证明结论；(2)∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF与(1)的证法类同；(3)把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE ，连接DE ，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE 得到BE =EC、AE =AE、∠C=∠ABE 、∠EAC=∠E AB，，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E BD=90°，所以E B2+BD2=E D2，证△AE D≌△AED，利用DE =DE 得到DE2=BD2+EC2；(4)分两种情况：点D在BC边上或点D在BC的延长线上，①当点D在BC边上时，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，利用三角函数求出BG，DG，AF，再证明△AFE∽△AGD，运用相似三角形性质即可求出EF，再由CE=CF-EF可求得CE；②当点D在CB的延长线上时，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，与①同理可求得EF，再由CE=CF+EF求出CE即可．【详解】(1)解：∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，AE=AG∠EAF=∠FAG AF=AF，∴△AFE≌△AFG SAS ，∴EF=FG，即：EF=BE+DF．故答案为：SAS，△AFE；(2)解：∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，理由如下：∵AB=AD，∴如图2:把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，AE=AG∠FAE=∠FAG AF=AF，∴△AFE≌△AFG SAS ，∴EF=FG，即：EF=BE+DF．故答案为：∠B+∠D=180°；(3)解：猜想：DE2=BD2+EC2．理由如下：如图3：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE ，连接DE ，∴△AEC≌△ABE ，∴BE =EC，AE =AE，∠C=∠ABE ，∠EAC=∠E AB，在Rt△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABC+∠ABE'=90°，即∠E BD=90°，∴E B2+BD2=E D2，又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠E AB+∠BAD=45°，即∠E AD=45°，在△AE D和△AED中，AE =AE∠E AD=∠DAE AD=AD，∴△AE D≌△AED SAS ，∴DE=DE ，∴DE2=BD2+EC2；(4)解：点D，E均在直线BC上，点D在点E的左侧，BD=1，∴分两种情况：点D在BC边上或点D在CB的延长线上，①当点D在BC边上时，如图4-1，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，∵AB=AC=4，∠BAC=60°，∴BF=CF=2，∠BAF=∠CAF=30°，AF=3BF=23，∵∠AGD=90°，∠B=60°，BD=1，∴BG=12BD=12，DG=3BG=32，∴AG=AB-BG=4-12=72，∵∠DAE=30°，∴∠DAF+∠BAD=∠DAF+∠FAE=30°，∴∠BAD=∠FAE，∵∠AFE=∠AGD=90°，∴△AFE∽△AGD，∴EFDG =AFAG，∴EF32=2372，∴EF=67，∴CE=CF-EF=2-67=87；②当点D在CB的延长线上时，如图4-2，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，由①知，BF=CF=2，∠BAF=∠CAF=30°，∵∠DGB=90°，∠DBG=∠ABC=60°，∴BG=12BD=12，DG=3BG=32，∴AG=AB+BG=4+12=92，∵∠DAE=∠BAF=30°，∴∠DAG+∠BAE=∠BAE+∠EAF，∴∠DAG=∠EAF，∴△DAG∽△EAF，∴EFDG =AF AG，∴EF32=2392，∴EF=23，∴CE=CF+EF=2+23=83．综上所述，CE的长为87或83．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角函数定义、勾股定理的应用等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的判定和性质，合理添加辅助线并灵活运用分类讨论思想是解题的关键．9(2023·陕西西安·九年级校考期中)问题研究，如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E为底边BC 上的两个动点(不与B、C重合)，且∠DAE=∠B．(1)请在图中找出一个与△ABE相似的三角形，这个三角形是；(2)若∠BAC=90°，分别过点D、E作AB、AC的垂线，垂足分别为F、G，且DF、EG的反向延长线交于点M，若AB=1，求四边形AFMG的面积；问题解决(3)如图所示，有一个矩形仓库ABCD，其中AB=40米，AD=30米，现计划在仓库的内部的E、F两处分别安装监控摄像头，其中点E在边BC上，点F在边DC上．设计要求∠EAF=45°且CE=CF，则CE的长应为多少米？【答案】(1)ΔDAE；(2)四边形的面积为12；(3)CE的长为70+45385米．【分析】(1)根据已知条件及相似三角形的判定可直接得出；(2)把ΔABD绕点A逆时针旋转90°得到ΔACH，连接EH，根据旋转可得ΔABD≅ΔACH，利用三角形全等的性质得出BD=CH，AD=AH，∠ACH=∠B，利用角和边之间的关系可得：ΔCEH为直角三角形，根据勾股定理及等量代换得出CE2+BD2=EH2，根据全等三角形的判定得出ΔHAE≅ΔDAE，得EH=DE，再求出各三角形的面积确定SΔCGE+SΔBDF=SΔDEM，再根据图形中三角形的关系得出S四边形AFMG=SΔABC，即可求得四边形面积；(3)根据(2)中思路，作图：延长AD到S，延长BC到G，使AS=BG=AB，连接SG，延长AF交SG于点H，连接EH，延长GS到T，使ST=BE，连接AT，则四边形ABGS为正方形，根据全等三角形的判定定理得出ΔATH≅ΔAEH，根据全等三角形的性质及等量代换得出∠HAT=∠HAE，再利用三角形全等的判定证明ΔATH≅ΔAEH，设CE=CF=x，可得出ST=30-x，GE=x+10，DF=40-x，在根据相似三角形的判定和性质得出ADAS=DFSH，将各边代入得出SH，HE，GH，在RtΔADF中，利用勾股定理得出方程求解即可．【详解】解：(1)∵∠AEB=∠DEA，∠B=∠DAE，∴ΔDAE~ΔABE，故答案为：ΔDAE；(2)如图所示：把ΔABD绕点A逆时针旋转90°得到ΔACH，连接EH，∴ΔABD≅ΔACH，∠DAH=90°，∴BD=CH，AD=AH，∠ACH=∠B，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ACH=45°，∴∠ECH=∠ACB+∠ACH=90°，∴CE2+CH2=EH2，∴CE2+BD2=EH2，∵∠DAE=∠B，∴∠DAE=45°，∵∠DAH=90°，∴∠HAE=∠DAE=45°，在ΔHAE和ΔDAE中，AH=AD∠HAE=∠DAE AE=AE，∴ΔHAE≅ΔDAE，∴EH=DE，∴CE2+BD2=DE2，∵MG⊥AC于点G，∠ACB=45°，∴∠DEM=∠CEG=∠ACB=45°，∴CG=EG，∴CE2=2CG2，∵SΔCGE=12×CG×CE=CG22，∴SΔCGE=CE24，同理可得：SΔBDF =BD24，在ΔDEM中，∠DEM=∠EDM=45°，∴∠M=90°，同理可得：SΔDEM=DE2 4，∵CE2+BD2=DE2，∴SΔCGE+SΔBDF=SΔDEM，∴S四边形AFMG =S五边形AFDEG+SΔCGE+SΔBDF，即S四边形AFMG=SΔABC，∵SΔABC=12×AB×AC=12，∴S四边形AFMG=12，即四边形的面积为12；(3)如图，延长AD到S，延长BC到G，使AS=BG=AB，连接SG，延长AF交SG于点H，连接EH，延长GS到T，使ST=BE，连接AT，则四边形ABGS为正方形，∴BG=GS=AS=AB=40，DS=CG=40-30=10，在ΔABE和ΔAST中，AB=AS∠ABE=∠ASTBE=ST，∴∠BAE=∠SAT，AB=AT，∴∠HAT=∠HAS+∠SAT=∠HAS+∠BAE=45°，，∴∠HAT=∠HAE，在ΔATH和ΔAEH中，AT=AE∠HAT=∠HAEAH=AH，∴ΔATH≅ΔAEH，∴HT=HE，设CE=CF=x，则ST=BE=BC-CE=30-x，GE=x+10，DF=40-x，∵DF∥SH，∴ΔADF~ΔASH，∴ADAS=DFSH，即：3040=40-xSH，解得：SH=160-4x3，∴HE=HT=HS+ST=160-4x3+30-x=250-7x3，GH=GS-SH=40-160-4x3=4x-403，∴在Rt ΔADF 中，x +10 2+4x -4032=250-7x 3 2，解得：x 1=70+45385，x 2=70-45385(舍去)，即CE 的长为70+45385米．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的运用求解等，根据题意作出相应辅助线，融会贯通综合运用这些知识点是解题关键．10(2023·陕西汉中·九年级统考期末)如图，△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC ，点D 为BC 边上一点．(1)如图1，若AD =AM ，∠DAM =120°．①求证：BD =CM ；②若∠CMD =90°，求BD CD的值．(2)如图2，点E 为线段CD 上一点，且CE =4，AB =63，∠DAE =60°，求DE 的长．【答案】(1)①见解析，②BD CD=12(2)6.5【分析】(1)①通过证明△ABD ≌△ACM ，即可求证；②由①可得BD =CM ，再根据等边对等角求出∠ACM 和∠ACB 的度数，即可得出∠MCD =60°，最后根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半即可求证；(2)过点E 作EG ⊥AC 于G ，过A 作AF ⊥BC 于F ，证明△ADF ∽△AEG ，可以求出DF ，利用勾股定理可以求出EF 的长，从而可以求解．【详解】(1)证明：①∵∠BAC =120°，∠DAM =120°，∴∠BAC -∠CAD =∠DAM -∠CAD ，即∠BAD =∠MAC ，在△ABD 和△ACM 中，AB =AC∠BAD =∠MAC AD =AM，∴△ABD ≌△ACM SAS ，∴BD =CM ；②∵∠BAC =120°，AB =AC ，∴∠ACB =12180°-120° =30°，由①可得：△ABD ≌△ACM ，∴∠ACM =∠ACB =30°，∴∠DCM =∠ACM +∠ACB =60°，∵∠CMD =90°，∴在△CDM 中，∠CDM =180°-90°-60°=30°，∴CM =12CD ，整理得：CM CD =12，由①可得BD =CM ，∴BD CD=12．(2)过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠C =12180°-120° =30°，∵EG ⊥AC ，AB =AC =63，∴AF =12AC =33，在Rt △ACF 中，根据勾股定理可得：CF =AB 2-AF 2=9，∵CE =4，∴EF =CF -CE =9-4=5，∵EG ⊥AC ，∠C =30°，∴EG =12EC =2，在Rt △CEG 中，根据勾股定理可得：CG =CE 2-EG 2=23，∴AG =AC -CG =63-23=43，∵AB =AC ，∠BAC =120°，AF ⊥BC ，∴∠CAF =12∠BAC =60°，∵∠DAE =60°，∴∠DAE -∠EAF =∠CAF -∠EAF ，即∠DAF =∠EAG ，∵∠AFD =∠AGE =90°，∴△ADF ∽△AEG ，∴DF EG =AF AG ，即DF 2=3343，解得：DF =32，∴DE =DF +EF =32+5=6.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．11(2023·辽宁沈阳·九年级统考期末)【教材呈现】(1)如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠G =90°，BC =6，若△ABC 固定不动，将△AFG 绕点A 旋转，边AF 、AG 与边BC 分别交于点D ，E (点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合)①求证：AE 2=DE •BE ；②求BE •CD 的值；【拓展探究】(2)如图2，在△ABC 中，∠C =90°，点D ，E 在边BC 上，∠B =∠DAE =30°，且AD =34AE ，请直接写出DE BC 的值．【答案】(1)①证明见解析；②18；(2)25318-2【分析】(1)①只需要证明△ABE ∽△DAE ，得到AE DE =BE AE，即可推出AE 2=DE ∙BE ；②先证明∠AEB =∠DAC ，则可证△AEB ∽△DAC ，推出BE ∙CD =AB ∙CA ，然后利用勾股定理求出AB =AC =32，即可得到BE ∙CD =AB ∙CA =18；(2)设AD =3x ，AE =4x ，先证明△ADE ∽△BDA ，推出BD AB =AD AE =34，设BD =3y ，AB =4y ，得到DE =AE ⋅AD AB=3x 2y ，求出AC =2y ，BC =23y ，则CD =BC -BD 23-3 y 在直角△ACD 中，AD 2=CD 2+AC 2，则9x 2=23-3 2y 2+4y 2，即可推出x 2y2=25-1239，由此求解即可．【详解】解：(1)①∵△ABC 和△AGF 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠G =90°，∴∠B =∠C =∠GAF =。

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相似模型【相似模型一：A 字型】特征模型结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB CBDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD特征模型结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D 顺着比，交叉乘 ③ △BOC∽△DOA特征模型结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE② △ABD∽△ACE特征模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=特征模型结论ECD BAA BDC EEDCBA90度，45度； 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六：三角形内接矩形模型】特征模型结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H G FED C BA【相似模型七：十字模型】特征模型结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，则△CDE ∽△BCD ，CE CDBD BC平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，①D 为中点，②AE ⊥BD ，③BE ：EC＝2：1，④∠ADB ＝∠CDE ，⑤∠AEB ＝∠CED ，⑥∠BMC ＝135°，⑦2BMMC =，这七个结论中，“知二得五”【A 型，X 型，三平行模型】1.如图，在△ABC 中，EF ∥DC ，∠AFE =∠B ，AE =6，ED =3，AF =8，则AC =_________，CDBC=_________．F E DCBABCDE FA2．如图，AB ∥CD ，线段BC ，AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF =∠C ，其中AF =6，DF =3，CF =2，则AE =_________．3.如图，在Rt △ABD 中，过点D 作CD ⊥BD ，垂足为D ，连接BC 交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，若AB =15，CD =10，则BF :FD =_____________．FEBCAN MEDCBA4.如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，AC ，分别交BD 于M ，N ，则BM :DN =_____________．5.如图所示，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ．则下列结论：①△EFD ∽△ABD ；②EF BF CD BD =；③1EF EF FD BF AB CD BD BD +=+=；④111AB CD EF+=．其中正确的有___________． F EDCBA图26.在△ABC 中，AB=9，AC=6，点M 在边AB 上，且AM=3，点N 在AC 边上.当AN= 时，△AMN 与原三角形相似.7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 是边AB 的中点，现有一点P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为 .8.如图，已知O 是坐标原点，点A.B 分别在y x 、轴上，OA=1，OB=2，若点D 在x 轴下方，且使得△AOB 与△OAD 相似，则这样的点D 有个.9.如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=16cm ，BC=8cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动；动点Q 同时从点B 出发，沿BC 方向运动,如果点P 的运动速度均为4cm/s ，Q 点的运动速度均为2cm/s ，那么运动几秒时，△ABC 与△PCQ 相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落地边AC上，记为点B＇，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图，四边形中，平分，，，为的中点．（1）求证：；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若，，求的值．13.如图，在中，为上一点，，，，于，连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形，并证明．14.如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，交于点．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若，求的值．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB= _________.19.如图所示，AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则S1:S2:S3=__________.20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于点G，则线段BG与GC的数量关系是___.21. 如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD=AB=4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 .22.如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在边AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．（1）求证：；（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG 、AF ，分别交DE 于M 、N 两点．如图2，若AB =AC =1，直接写出MN 的长；如图3，求证MN 2=DM【母子型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。

求AD 、BD 的长.DP PEBQ QC图2A DMN EC GB图1Q PA DBEC 图3GNMF EDCBA2. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F ．求证：FC FB FD ⋅=2．AB FED3.如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。

4.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。

求证：AD 2=AB ·AF5.已知ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ∆∆和的高，这时CAB DEF ∆∆和是否相似？A EF B D AB MC NFEGDCAB6.已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。

求证：△BEF ∽△ACF7.已知，如图，CE 是直角三角形斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连结AP BG AP ⊥,，垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ⋅=2.8.如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90D B ，由点D 作AC 的垂线交AB 于E ，交AC 于F 。

求证：AE AB AD ⋅=2。

9.已知ABC ∆中，CD ACB ,90︒=∠是高，若b AC a BC ==,，q AD h CD ==,，p BD =，且4,3==b a ，则=c ，=p ，=q ，=h .10.若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为cm 2和cm 8，则两条直角边的长分别为，斜边上的高为 .11.如图，ABC Rt ∆，AB CD ACB ⊥︒=∠,90于D ，,6cm BD =cm AD 4=，则=BC .FBCAEDBCDF12.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＞BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，CD=4，AC=54，则EF:AF=（） A ．1:2 B ．5:2 C ．5:5 D ．52:513.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，若AD ：BD=9：4则AC ：BC 的值为（）A ．9：4B ．3：2C ．4：9D ．2：314.如图所示，CD 是Rt △ABC 斜边AB 边上的高，23=AC AB ，则=BCCD（） A ．2:5 B ．2:3 C ．3:2 D ．3:215.如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=10cm ，AB 上的高CD=6cm ，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长。

16.如图，在ABC ∆中，BC AH BAC ⊥︒=∠,90于H ，以AC 和AB 为边在ABC Rt ∆形外作等边三角形ABD ∆和ACE ∆，求证：BDH ∆∽AEH ∆.17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，BD =2，AD =8，则CD =_________，AC =_________，BC =________．CE AFDBD C18.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BFA =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有_____________（填写序号）．19.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CE ⊥AB 于点E ，D 在AB 的延长线上，且∠DCB =∠A ，BD :CD =1:2，45AE ，则△BCD 的面积是（）A ．13B 5C ．23D 25DB E C20.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ，若∠BFA =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有_____________．ABCDEFOAB CD EF21.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3．点D 是BC 边上一动点（不与点B ，C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为________．OFE DCBA22.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，M 为DE 的中点，AM 与BE 相交于点N ，AD 与BE 相交于点F ．求证：（1）DE ADCE CD=；（2）△BCE ∽△ADM ；（3）猜想AM 与BE 的位置关系，并说明理由．ABCDE MN F23.如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于点F ．求证：AC CF BC DF ⋅=⋅．FCA DB24.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，点M 在CD 上，DH ⊥BM 且与AC 的延长线交于点E ．求证：（1）△AED ∽△CBM ；（2）AE CM AC CD ⋅=⋅．HM EBDAC FE DC BA25.如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①BE=2AE ；②△DFP ∽△BPH ；③△PFD ∽△PDB ；④DP 2=PH•PC 其中正确的是（）A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①③④ 26.如图，在△ABC 中，AB=AC=，BC=4，点E 为BC 边上一动点，连接AE ，作∠AEF=∠B ，EF 与△ABC 的外角∠ACD 的平分线交于点，当EF ⊥AC 时，EF 的长为（）27.如图，Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：22AC AEBC CE =.【三角形内接矩形模型】1.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在△ABC 的边上．求证：111AB CD EF+=．H G FED C BA【半角模型】1.如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，它们的斜边长为2．若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF ，AG 与边BC 的交点分别为D ，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）． ①请写出图中所有的相似三角形_____________________； ②若BD 12，则CE =________.GFED C BA2.如图1，将两个全等的等腰直角三角形如图摆放（顶点A 重合），所有的点都在同一平面内．请找出图1中的相似三角形（不包括全等）；（2）如图2，已知A 是等边△PQR 的边RQ 延长线上的点，B 是QR 延长线上的点．若∠APB =120°，请找出图2中的相似三角形．图221R QBAP3.如图，在中，,为延长线上一点，为延长线上一点，且满足.求证：.4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点E ，F 在AB 上，∠ECF =45°．（1）求证：△ACF ∽△BEC ；（2）设△ABC 的面积为S ，求证：AF ·BE =2S ．45°F ECB A5.如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且∠APB =120°，CD =3，设AC =x ，BD =y ，求y 与x 之间的函数关系式．PD C A图1GFEDCBA【旋转模型】1.如图，D 是Rt △ABC 的斜边AB 上一点，点E 在AC 上，连接DE ，CD ，且∠ADE =∠BCD ，CF ⊥CD 交DE 的延长线于点F ，连接AF ．求证：AF ⊥AB ．BD ECFA2.问题背景：某学习小组正在研究如下问题：如图1所示，四边形ABCD 与四边形CEFG 均为正方形，且点E 、G 分别在边BC 上、CD 上，连接DE 、BG ，点M 是BG 中点,连接CM ，试猜测CM 与DE 的数量关系与位置关系，学习小组经过分析，得到结论：CM 与DE 的数量关系为CM =12DE ,位置关系为CM DE .解决问题：小华从旋转的角度提出一个问题：如图2，将正方形CEFG 绕点C 顺时针旋转一定角度，其他条件不变.此时，“问题背景”中的两个结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由.MGF EDCBAMGFEDCBA类比探究：这时，小颖提出了一个问题：如图3所示，四边形ABCD 与四边形CEFG 均为菱形，且ÐABC =ÐECG ,其他条件不变.此时，CM 与DE 有怎样的数量关系？直接写出结论.拓展延伸这时，小刚提出了一个更加一般化的问题：如图4所示，,且AB BC =ab，其他条件不变，此时，CM 与DE 又有怎样的数量关系？直接写出结论.MGFED CBAMGF ED CBA3.如图1，在Rt△ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE. 将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当︒=0α时，_____________=BD AE ；② 当︒=180α时，.__________=BDAE（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，DBAE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.4.请你认真阅读下面的小探究系列,完成所提出的问题.(1)如图1,将角尺放在正方形ABCD 上,使角尺的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点D 重合,角尺的一边交CB 于点F,另一边交BA 的延长线于点G.求证:EF=EG;图1 图2 图3(2)如图2,移动角尺,使角尺的顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线BD 上,其余条件不变,请你思考后直接回答EF 和EG 的数量关系:EF________EG(用“=”或“≠”填空);(3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识,完成下题:如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩ECD A（图1）E DBAC （图2）（备用图）CBA形ABCD”,使角尺的一边经过点A(即点G、A重合),其余条件不变,若AB=4,AD=3,求EFEG的值.5.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是OC上任意一点,AG⊥BE于点G,交BD于点F. (1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系;明明发现,AF与BE分别在△AOF和△BOE中,可以通过证明△AOF和△BOE全等,得到AF与BE的数量关系;请回答:AF与BE的数量关系是________.(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,请参考明明思考问题的方法,求AFBE的值.6.将一副三角尺如图①摆放(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°.在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°).点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C,且BC=2.(11分)(1)求证:△ADC∽△APD;(2)求△APD的面积;(3)如图②,将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),此时的等腰直角三角尺记为△DE'F',DE'交AC于点M,DF'交BC于点N,试判断PMCN 的值是否会随着α的变化而变化.如果不变,请求出PMCN的值;反之,请说明理由.7.如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．（1）求证：BE·AD=CD·AE；（2）根据图形特点，猜想BCDE可能等于哪两条线段的比（只需写出图形中已有线段的一组比即可），并证明你的结论．ABCDE8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．E ，F 分别是AC ，BC 边上一点，且CE =13AC ，BF =13BC ．求∠EDF 的度数．EFC DBA9.数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ．图2MDAl图1DMAB F（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为___________； ②在平移过程中，AMDM的值为___________（用含x 的代数式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算AMDM的值．（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m <≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算AMDM的值（用含x 的代数式表示）．10.如图，在矩形ABCD 中，点M 是AD 的中点，AD =42，CD =22，直角∠PME 绕点M 进行旋转，其两边分别和BC ，CD 交于点P 和点E ，连接PE 交MC 于点Q ．（1）判断线段MP ，ME 的数量关系，并进行证明；（2）当动点P ，E 分别在线段BC 和CD 上运动时，设PC =x ，MQ =y ，求y 与x 之间的函数关系式．M QPBCA ED11.已知，矩形ABCD 中，8,6==BC AB ,对角线BD AC ,相交于点O ，以O 为顶点作︒=∠90MON ，图4BA MD图3DM AB且F E BC AB ON OM ,,,交于点分别与射线。

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